ΑΡΜΟΝΙΚΗ ΔΙΕΓΕΡΣΗ ΧΟΡΔΗΣ ΠΟΥ ΕΙΝΑΙ ΠΑΚΤΩΜΕΝΗ ΣΤΟ ΕΝΑ ΑΚΡΟ ΤΗΣ Κ. ΕΥΤΑΞΙΑΣ ΚΩΝΣΤΑΝΤΙΝΟΣ ΕΥΤΑΞΙΑΣ
= μ, T = =L ΣΥΝΟΡΙΑΚΕΣ AΡΧΙΚΕΣ ΣΥΝΘΗΚΕΣ (, ( L, si (1 ( ANAZHTOYME ΤΗ ΛΥΣΗ (, ΣΤΗ ΜΟΝΙΜΗ ΚΑΤΑΣΤΑΣΗ
ΜΕΤΑΒΑΤΙΚΑ ΦΑΙΝΟΜΕΝΑ k m ΙΔΙΟΣΥΧΝΟΤΗΤΑ
ΜΕΤΑΒΑΤΙΚΑ ΦΑΙΝΟΜΕΝΑ k m F( F( F cos ΑΡΧΙΖΕΙ ΕΝΑΣ ΑΝΤΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΜΕΤΑΞΥ ΤΩΝ ΔΥΟ ΣΥΧΝΟΤΗΤΩΝ!
H ΔΙΕΓΕΡΣΗ ΘΕΛΕΙ ΝΑ ΕΠΙΒΑΛΕΙ ΤΗ ΣΥΧΝΟΤΗΤΑ ΤΗΣ ω. ΤΟ ΣΥΣΤΗΜΑ ΘΕΛΕΙ ΝΑ ΔΙΑΤΗΡΗΣΕΙ ΤΗΝ ΙΔΙΟΣΥΧΝΟΤΗΤΑ ΤΟΥ ΣΤΗΝ ΑΡΧΗ ΕΧΟΥΜΕ ΕΠΑΛΛΗΛΙΑ ΚΑΙ ΤΩΝ ΔΥΟ ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΩΝ. ΟΙ ΕΛΕΥΘΕΡΕΣ ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ ΤΕΛΙΚΑ «ΠΕΘΑΙΝΟΥΝ» ΛΟΓΩ ΑΠΟΣΒΕΣΕΩΝ. ΤΟ ΑΡΧΙΚΟ ΣΤΑΔΙΟ ΤΗΣ ΣΥΝΥΠΑΡΞΗΣ ΤΩΝ ΔΥΟ ΚΙΝΗΣΕΩΝ ΕΙΝΑΙ ΤΟ ΜΕΤΑΒΑΤΙΚΟ ΣΤΑΔΙΟ.
ΤΙ ΓΙΝΕΤΑΙ ΑΝ ΑΓΝΟΗΣΟΥΜΕ ΤΑ ΜΕΤΑΒΑΤΙΚΑ ΦΑΙΝΟΜΕΝΑ; F( k m m d ( d k F cos d ( F cos d m F ( m cos k m
d ( F ( cos d m F m F A k A ΓΙΑΤΙ;
ΣΥΖΗΤΑΜΕ ΜΕ ΤΟΥΣ ΤΥΠΟΥΣ! ΠΡΟΣΠΑΘΟΥΜΕ ΝΑ ΚΑΤΑΛΑΒΟΥΜΕ ΤΙΣ ΑΔΥΝΑΜΙΕΣ ΤΟΥΣ.
F ( m cos ΚΑΤΙ ΔΕΝ ΠΑΕΙ ΚΑΛΑ! Για = ( F m ΑΓΝΟΕΙΤΑΙ Η ΑΔΡΑΝΕΙΑ! ΔΕΝ ΜΠΟΡΕΙ ΕΝΑ ΣΩΜΑ ΜΕ ΜΗ ΜΗΔΕΝΙΚΗ ΑΔΡΑΝΕΙΑ ΑΚΑΡΙΑΙΑ ΝΑ ΒΡΕΘΕΙ ΣΕ ΘΕΤΙΚΗ ΑΠΟΜΑΚΡΥΝΣΗ!
F ( m cos ΚΑΤΙ ΔΕΝ ΠΑΕΙ ΚΑΛΑ! Για = F ( m ΠΑΡΑΒΙΑΖΕΤΑΙ Ο Θ.Ν.Δ! ΔΕΝ ΜΠΟΡΕΙ ΕΝΑ ΣΩΜΑ ΑΚΑΡΙΑΙΑ ΝΑ ΒΡΕΘΕΙ ΣΕ ΑΡΝΗΤΙΚΗ ΑΠΟΜΑΚΡΥΝΣΗ ΑΠΟ ΔΥΝΑΜΗ ΑΝΤΙΘΕΤΗΣ ΦΟΡΑΣ!
F ( m cos ΔΕΝ ΜΑΣ ΔΙΗΓΕΙΤΑΙ ΟΛΗ ΤΗΝ ΙΣΤΟΡΙΑ! Η ΔΙΗΓΗΣΗ ΔΕΝ ΕΙΝΑΙ ΣΩΣΤΗ ΓΙΑ ΤΗΝ ΑΡΧΗ ΤΗΣ ΙΣΤΟΡΙΑΣ.
m F d d cos ] ( ( [ ] ( ( [ 1 1 m F d d cos ( ( 1 1 ( ( d d Έστω ότι έχουμε βρει μια λύση: Έστω ότι έχουμε βρει μια λύση της εξίσωσης της Ελεύθερης Ταλάντωσης.
B m F cos cos / ( } cos {cos / ( m F 1 cos 1 cos 1 1 ( m F ΑΡΧΙΚΕΣ ΣΥΝΘΗΚΕΣ = : = / d d
ΑΠΟ ΤΙ ΕΞΑΡΤΑΤΑΙ Ο ΧΡΟΝΟΣ ΜΕΤΑΒΑΣΗΣ ΣΤΗ ΜΟΝΙΜΗ ΚΑΤΑΣΤΑΣΗ;
ΑΣ ΕΠΑΝΕΛΘΟΥΜΕ ΣΤΟ ΚΥΡΙΟ ΘΕΜΑ ΜΑΣ.
Υ Π Ο Θ Ε Σ Ε Ι Σ T F F, (, F d, d dm d ΤΙ ΠΡΕΠΕΙ ΝΑ ΚΑΝΟΥΜΕ; d, dm d T (,
ΤΟ ΣΤΟΙΧΕΙΩΔΕΣ ΤΜΗΜΑ ΤΗΣ ΧΟΡΔΗΣ ΙΚΑΝΟΠΟΙΕΙ ΤΗ Δ.Ε:, ( 1, ( Η ΛΥΣΗ ΤΗΣ ΕΞΕΙΔΙΚΕΥΕΤΑΙ ΑΠΟ ΤΙΣ ΣΥΝΟΡΙΑΚΕΣ ΣΥΝΘΗΚΕΣ ΑΡΧΙΚΕΣ ΣΥΝΘΗΚΕΣ ΠΟΥ ΠΡΕΠΕΙ ΝΑ ΙΚΑΝΟΠΟΙΕΙ Η (,
, ( (3 Η ΛΥΣΗ (, ΠΡΕΠΕΙ ΝΑ ΙΚΑΝΟΠΟΙΕΙ ΤΗ ΔΙΑΦΟΡΙΚΗ ΕΞΙΣΩΣΗ ΚΑΙ ΤΙΣ ΤΙΣ ΣΥΝΘΗΚΕΣ(1 ΚΑΙ (. L si, (, ( 1, ( (1 (
ΤΟ ΣΤΟΙΧΕΙΩΔΕΣ ΤΜΗΜΑ ΤΗΣ ΧΟΡΔΗΣ ΙΚΑΝΟΠΟΙΕΙ ΤΗ Δ.Ε:,, 1 (, ( f, ( 1, (
ΟΠΟΥ ΣΤΗ ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΝΤΑΜΕ ΤΗΝ ΠΟΣΟΤΗΤΑ ΑΥΤΟ ΘΑ ΓΙΝΕΤΑΙ ΓΙΑ ΛΟΓΟΥΣ ΣΥΝΤΟΜΙΑΣ ΓΡΑΦΗΣ
ΑΝΑΖΗΤΟΥΜΕ ΛΥΣΗ ΤΗΣ ΜΟΡΦΗΣ: (, f ( si ΤΙ ΑΠΕΙΚΟΝΙΖΕΙ ΜΙΑ ΤΕΤΟΙΑ ΛΥΣΗ; ΓΙΑΤΙ ΔΙΚΑΙΟΛΟΓΕΙΤΑΙ ΜΙΑ ΤΕΤΟΙΑ ΑΝΑΖΗΤΗΣΗ; ΔΙΚΑΙΟΛΟΓΕΙΤΑΙ Η ΠΑΡΟΥΣΙΑ ΤΗΣ ω ΓΙΑΤΙ ΔΕΝ ΑΝΑΖΗΤΟΥΜΕ ΛΥΣΗ: ΔΙΚΑΙΟΛΟΓΕΙΤΑΙ Η ΠΑΡΟΥΣΙΑ ΤΗΣ f(; (, f ( cos
(, f ( si TEΛΙΚΑ ΑΥΤΟ ΠΟΥ ΑΝΑΖΗΤΟΥΜΕ ΕΙΝΑΙ Η f( ΑΝ ΥΠΑΡΧΕΙ!
, ( 1, ( f si (, ( ( ( f d f d cos( si( ( B A f
(, f ( si f ( Asi( B cos( (, { Asi( B cos( }si ΑΠΟ ΤΗΝ ΑΡΜΟΝΙΚΟΤΗΤΑ ΣΤΟ ΧΡΟΝΟ ΣΤΗΝ ΑΡΜΟΝΙΚΟΤΗΤΑ ΣΤΟ ΧΩΡΟ
(, { Asi( B cos( }si ΠΟΙΑ ΕΙΝΑΙ ΤΑ Α, Β; ΘΑ ΚΑΘΟΡΙΣΤΟΥΝ ΑΠΟ ΤΙΣ ΔΥΟ ΣΥΝΟΡΙΑΚΕΣ-ΑΡΧΙΚΕΣ ΣΥΝΘΗΚΕΣ
(, { Asi( B cos( }si ΠΡΩΤΗ ΣΥΝΟΡΙΑΚΗ ΣΥΝΘΗΚΗ: (, (, { Asi( B cos( }si Bsi B = (, { Asi( }si
A }si si( {, ( L A L si }si si( {, ( ΔΕΥΤΕΡΗ ΣΥΝΟΡΙΑΚΗ ΣΥΝΘΗΚΗ L si, (
( L, { Asi( L}si si A L si(
Σ Υ Ν Ο Ψ Η f (, f ( si ( Asi( B cos( B = A L si( (, si( si si( L
TI ΠΕΡΙΓΡΑΦΕΙ Η ΕΞΙΣΩΣΗ ΑΥΤΗ; ΠΕΡΙΓΡΑΦΕΙ ΚΥΜΑ; L si si( si(, ( (, ( f ( (, ( T X
(, si( si( L si( ΕΣΤΩ ΣΕ ΕΛΕΥΘΕΡΗ ΧΟΡΔΗ ΙΔΙΩΝ ΠΑΡΑΜΕΤΡΩΝ ΔΙΑΔΙΔΕΤΑΙ ΑΡΜΟΝΙΚΟ ΚΥΜΑ ΣΥΧΝΟΤΗΤΑΣ ω: k k μ Τ (, si( si si( L
(, si( si si( L TI AΠEIKONIZEI ΤΟ λ; (, si( kl si( ksi TI AΠEIKONIZEI ΤΟ k;
(, si( si si( L (, si( k si si( kl ΜΙΑ ΜΟΡΦΗ ΛΥΣΗ! ΑΠΟ ΤΗΝ ΑΡΜΟΝΙΚΟΤΗΤΑ ΣΤΟ ΧΡΟΝΟ ΣΤΗΝ ΑΡΜΟΝΙΚΟΤΗΤΑ ΣΤΟ ΧΩΡΟ ΥΠΑΡΧΕΙ ΛΥΣΗ ΓΙΑ ΚΑΘΕ ω
(, si( si si( L (, si( k si si( kl si( kl ΥΠΑΡΧΕΙ ΛΥΣΗ ΓΙΑ ΚΑΘΕ ω
L 8 9 L si si(, ( L 9 8 L si si( si(, (
L 8 9 L si si(, ( L 9 8 L L 9 8, 9 4,,, Δ Ε Σ Μ Ο Ι L L 9 6, 9 3, Κ Ο Ι Λ Ι Ε Σ
(, si( si si( L ΠΕΡΙΟΡΙΣΜΟΣ: Η ΣΧΕΣΗ ΙΣΧΥΕΙ ΓΙΑ ΣΥΧΝΟΤΗΤΕΣ ΠΟΥ ΔΕΝ ΜΗΔΕΝΙΖΟΥΝ ΤΟΝ ΠΑΡΟΝΟΜΑΣΤΗ. ΕΞΑΙΡΟΥΝΤΑΙ ΟΙ ΣΥΧΝΟΤΗΤΕΣ: L si( kl
ΤΙ ΓΙΝΕΤΑΙ ΟΤΑΝ L si( kl
AΠΕΙΡΙΖΕΤΑΙ ΤΟ ΜΕΓΙΣΤΟ ΠΛΑΤΟΣ! MΠΟΡΕΙ ΝΑ ΣΥΜΒΕΙ ΑΥΤΟ;
1.Η ΜΕΛΕΤΗ ΓΙΝΕΤΑΙ ΣΕ ΠΡΟΤΥΠΟ ΧΟΡΔΗΣ. ΣΤΙΣ ΣΥΧΝΟΤΗΤΕΣ L ΠΑΡΑΒΙΑΖΟΝΤΑΙ ΟΛΕΣ ΟΙ ΠΑΡΑΔΟΧΕΣ! ΔΕΝ ΙΣΧΥΕΙ Η, ( 1, ( ΚΑΙ ΚΑΤΑ ΠΡΟΕΚΤΑΣΗ Η ΛΥΣΗ (ΑΠΕΙΡΙΣΜΟΣ ΠΛΑΤΟΥΣ L si si( si(, (
(ΑΠΕΙΡΙΣΜΟΣ ΠΛΑΤΟΥΣ. Απώλεια ενέργειας στο εσωτερικό της χορδής. 3. Απώλεια ενέργειας λόγω σύζευξης με αλλα συστήματα. Ακτινοβολία ηχητικών κυμάτων. 4. Ισχυρή αλληλεπίδραση με τον διεγέρτη που οδηγεί σε παραμόρφωση της αρμονικής διαταραχής που αυτός θέλει να αναγκάσει να κάνει το άκρο της χορδής.
Η ΜΕΛΕΤΗ ΤΗΣ ΔΙΕΥΘΕΤΙΣΗΣ L si( kl ΠΟΥ ΑΚΟΛΟΥΘΕΙ ΓΙΝΕΤΑΙ ΜΕ ΤΙΣ ΕΠΙΦΥΛΑΞΕΙΣ ΠΟΥ ΑΝΑΦΕΡΑΜΕ
L si( L L T L L si si( si(, (
si( si si( si( L L L L L si si( si(, (
(, si( si( si T L L L ΙΔΙΟ-ΣΥΧΝΟΤΗΤΕΣ ΕΙΝΑΙ ΑΠΕΙΡΕΣ
ΕΝΑΣ ΑΡΜΟΝΙΚΟΣ ΤΑΛΑΝΤΩΤΗΣ ΕΧΕΙ ΜΙΑ ΣΥΧΝΟΤΗΤΑ ΣΥΝΤΟΝΙΣΜΟΥ. Η ΧΟΡΔΗ ΕΧΕΙ ΑΠΕΙΡΕΣ. ΤΙ ΚΟΙΝΟ ΕΧΟΥΝ; EINAI IΔΙΟ-ΣΥΧΝΟΤΗΤΕΣ
= 1 L 1 L 1 L ΠΑΡΑΔΟΞΟ!
= L L = 3 ΠΑΡΑΔΟΞΟ!
(, si( si( si Τ ΠΛΑΤΟΣ ΣΤΙΣ ΚΟΙΛΙΕΣ ΑΠΕΙΡΙΖΕΤΑΙ ΚΑΙ ΓΙΑ
ΠΡΟΣΟΧΗ! T L L L = L=λ
L L
Η ΔΙΑΙΣΘΗΣΗ ΣΑΣ ΤΙ ΛΕΕΙ; H EMΠΕΔΗΣΗ ΘΑ ΕΙΝΑΙ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΗ ΦΑΝΤΑΣΤΙΚΗ ΜΙΓΑΔΙΚΗ;
ΜΙΑ ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ
( = =L ΣΥΝΟΡΙΑΚΕΣ ΣΥΝΘΗΚΕΣ (, ( L, ΑΡΧΙΚΕΣ ΣΥΝΘΗΚΕΣ (, ( u (, (,
cos( si, ( A L L ΕΙΝΑΙ ΤΥΧΑΙΟ ΠΟΥ ΑΝΑΠΤΥΣΟΣΟΝΤΑΙ ΤΕΤΟΙΑ ΣΤΑΣΙΜΑ ΚΥΜΑΤΑ;
ΥΠΕΝΘΥΜΙΣΗ: ΕΧΟΥΜΕ ΕΣΤΙΑΣΕΙ ΣΤΗΝ ΜΟΝΙΜΗ ΚΑΤΑΣΤΑΣΗ. ΕΧΟΥΜΕ ΑΓΝΟΗΣΕΙ ΤΑ ΜΕΤΑΒΑΤΙΚΑ ΦΑΙΝΟΜΕΝΑ!
AΛΛΗ ΔΙΕΓΕΡΣΗ
= μ Τ = =L (, (1 u ( L, ( L, u cos ( ΣΥΝΟΡΙΑΚΕΣ-ΑΡΧΙΚΕΣ ΣΥΝΘΗΚΕΣ
ΤΟ ΣΤΟΙΧΕΙΩΔΕΣ ΤΜΗΜΑ ΤΗΣ ΧΟΡΔΗΣ ΙΚΑΝΟΠΟΙΕΙ ΤΗ Δ.Ε: 1, (, ( (, ( u L L u cos, (, ( (1 (3 Η ΛΥΣΗ (, THΣ (3 ΠΡΕΠΕΙ ΝΑ ΙΚΑΝΟΠΟΙΕΙ ΤΙΣ ΣΥΝΟΡΙΑΚΕΣ ΣΥΝΘΗΚΕΣ(1 ΚΑΙ (.
H ΛΥΣΗ ΕΙΝΑΙ: u (, si( si L si( T L L L
MIΑ ΟΜΟΙΟΤΗΤΑ ΜΙΑ ΔΙΑΦΟΡΟΠΟΙΗΣΗ u (, si( si L si( (, si( si si( L
AΛΛΗ ΔΙΕΓΕΡΣΗ
F F έ dm ή dm ( L, ( L, dm F έ dm F ήdm F έ dm ( ( dm L, F F ήdm έ dm
}, ( { T F F dm ή dm έ A }si si( {, ( F L TA F dm έ si si cos( ( si( si( cos(, ( k kl kt F cos( kl kt F A
F (, si( ksi( kt cos( kl cos( kl 1 kl 1,,3,... Σ Υ Ν Τ Ο Ν Ι Σ Μ Ο Σ f L 1 4 L 1 4. 4 L
=1 L 1 4 L. 4
=13 L 1 4 L. 4
Η ΔΙΑΙΣΘΗΣΗ ΣΑΣ ΤΙ ΛΕΕΙ; H EMΠΕΔΗΣΗ ΣΤΙΣ ΣΥΧΝΟΤΗΤΕΣ ΣΥΝΤΟΝΙΣΜΟΥ ΘΑ ΕΙΝΑΙ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΗ ΦΑΝΤΑΣΤΙΚΗ ΜΙΓΑΔΙΚΗ; ΣΤΙΣ ΑΛΛΕΣ ΣΥΧΝΟΤΗΤΕΣ;