μαθηματικά β γυμνασίου

μαθηματικά β γυμνασίου

Κάθε αντίτυπο φέρει την υπογραφή ενός εκ των συγγραφέων Σειρά: Γυμνάσιο, Θετικές Επιστήμες Μαθηματικά Β Γυμνασίου, Βασίλης Διολίτσης Ιωάννα Κοσκινά Νικολέττα Μπάκου Θεώρηση Κειμένου: Κυριάκος Εμμανουηλίδης Στοιχειοθεσία Σελιδοποίηση: Τίνα Νερούτσου Σχεδιασμός Εξωφύλλου: Γεωργία Λαμπροπούλου Υπεύθυνος Έκδοσης: Αποστόλης Αντωνόπουλος e-mail συγγραφέων: bdiolitsis@gmail.com ioannakosk@yahoo.gr nbakou@hotmail.com Copyright 2010 ΕΚΔΟΣΕΙΣ ΠΟΥΚΑΜΙΣΑΣ, Βασίλης Διολίτσης Ιωάννα Κοσκινά Νικολέττα Μπάκου, για την ελληνική γλώσσα σε όλο τον κόσμο ISBN: 978-960-6881-19-0 Απαγορεύεται η με οποιονδήποτε τρόπο, μέσο και μέθοδο αναδημοσίευση, αναπαραγωγή, μετάφραση, διασκευή, θέση σε κυκλοφορία, παρουσίαση, διανομή και η εν γένει πάσης φύσεως χρήση και εκμετάλλευση του παρόντος έργου στο σύνολό του ή τμηματικά, καθώς και της ολικής αισθητικής εμφάνισης του βιβλίου (στοιχειοθεσίας, σελιδοποίησης κ.λπ.) και του εξωφύλλου του, σύμφωνα με τις διατάξεις της υπάρχουσας νομοθεσίας περί προστασίας πνευματικής ιδιοκτησίας και των συγγενικών δικαιωμάτων περιλαμβανομένων και των σχετικών διεθνών συμβάσεων. Σωτήρος και Αλκιβιάδου 132, Τ.Κ. 185 35 Πειραιάς τηλ.: 210 4112507, fax: 210 4116752 url: www.poukamisas.gr, e-mail: publications@poukamisas.gr

Βασίλης Διολίτσης Ιωάννα Κοσκινά Νικολέττα Μπάκου μαθηματικά β γυμνασίου

ΠΡΟΛΟΓΟΣ Γιατί πρέπει να ξέρουμε Μαθηματικά; Σε τι θα χρησιμεύσουν στη ζωή μας; Μια ερώτηση με την οποία έρχεται σίγουρα αντιμέτωπος ένας μαθηματικός τουλάχιστον μία φορά ή και περισσότερες στην καριέρα του. Όσο για την απάντηση; Για όσους κατανοούν τις λειτουργίες της επιστήμης, η απάντηση είναι σχεδόν προφανής: η αρχή και το τέλος του κόσμου, η ροή των πραγμάτων, η δομή της φύσης και του σύμπαντος, όλα διέπονται από τέλειους, συμμετρικούς, μαθηματικούς κανόνες. Η αρμονία μιας επιστήμης, που συχνά φαντάζει δυσνόητη, δύσκολη και κουραστική, αποκαλύπτεται μόνο σε όσους αφιερώσουν χρόνο για να ασχοληθούν μαζί της. Και εδώ έρχεται το δικό μας χρέος, να φανερώσουμε τη μαγεία της επιστήμης αυτής στους νέους. Πιστεύουμε ότι το παρόν βιβλίο απευθύνεται στο μαθητή της Β Γυμνασίου, που αναζητά κάθε πολύτιμη βοήθεια έτσι ώστε να γκρεμίσει τα εμπόδια που τον χωρίζουν από την επιθυμητή και ουσιαστική γνώση των Μαθηματικών και να είναι σε θέση να επιλύει σύνθετα θέματα. Κάθε κεφάλαιο ακολουθεί την εξής δομή: Συνοπτική θεωρία με σχόλια και παρατηρήσεις Χρήσιμη μεθοδολογία επίλυσης ασκήσεων και αντίστοιχες εφαρμογές Ερωτήσεις κατανόησης Ασκήσεις προς λύση, χωρισμένες σε κατηγορίες ανάλογα με το βαθμό δυσκολίας τους Επαναληπτικές ασκήσεις Κριτήρια αξιολόγησης Ανακεφαλαίωση Στο τέλος του βιβλίου υπάρχουν απαντήσεις και εκτενείς υποδείξεις τόσο των ερωτήσεων κατανόησης όσο και των ασκήσεων, έτσι ώστε ο μαθητής να ελέγχει την ορθότητα των λύσεών του αλλά και να έχει την απαραίτητη βοήθεια ώστε να συνεχίσει την προσπάθειά του. Ελπίζουμε το βιβλίο αυτό να αποτελέσει χρήσιμο εγχειρίδιο στα χέρια κάθε μαθητή αλλά και συναδέλφου μαθηματικού. Καλή συνέχεια στην ατέρμονη προσπάθεια της πραγματικής κατάκτησης των Μαθηματικών. Οι συγγραφείς

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ μέρος α άλγεβρα ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Εξισώσεις Ανισώσεις 1.1 Η έννοια της μεταβλητής Αλγεβρικές παραστάσεις 13 1.2 Εξισώσεις α βαθμού 21 1ο κριτήριο αξιολόγησης 36 1.3 Επίλυση τύπων 37 1.4 Επίλυση προβλημάτων με τη χρήση εξισώσεων 41 1.5 Ανισώσεις α βαθμού 49 2ο κριτήριο αξιολόγησης 65 3ο κριτήριο αξιολόγησης 67 4ο κριτήριο αξιολόγησης 69 Επαναληπτικές ασκήσεις 70 Ανακεφαλαίωση 72 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 Πραγματικοί αριθμοί 2.1 Τετραγωνική ρίζα θετικού αριθμού 75 2.2 Άρρητοι αριθμοί Πραγματικοί αριθμοί 89 1ο κριτήριο αξιολόγησης 99 2.3 Προβλήματα 99 2ο κριτήριο αξιολόγησης 105 Επαναληπτικές ασκήσεις 107 Ανακεφαλαίωση 110 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 Συναρτήσεις 3.1 Η έννοια της συνάρτησης 113 3.2 Καρτεσιανές συντεταγμένες Γραφική παράσταση συνάρτησης 127 3.3 Η συνάρτηση y = αx 145 3.4 Η συνάρτηση y = αx + β 157 1ο κριτήριο αξιολόγησης 169 2ο κριτήριο αξιολόγησης 170 3.5 Η συνάρτηση Η υπερβολή 171 3ο κριτήριο αξιολόγησης 179 Επαναληπτικές ασκήσεις 181 Ανακεφαλαίωση 184 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 Περιγραφική στατιστική 4.1 Βασικές έννοιες της Στατιστικής: Πληθυσμός Δείγμα 187 4.2 Γραφικές παραστάσεις 191 4.3 Κατανομή συχνοτήτων και σχετικών συχνοτήτων 201 4.4 Ομαδοποίηση παρατηρήσεων 213 4.5 Μέση τιμή Διάμεσος 223 Κριτήριο αξιολόγησης 235 Επαναληπτικές ασκήσεις 236 Ανακεφαλαίωση 238

μέρος β γεωμετρία ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Εμβαδά επίπεδων σχημάτων Πυθαγόρειο θεώρημα 1.1 1.2 Εμβαδόν επίπεδης επιφάνειας Μονάδες μέτρησης επιφανειών 243 1.3 Εμβαδά επίπεδων σχημάτων 249 1ο κριτήριο αξιολόγησης 265 1.4 Πυθαγόρειο θεώρημα 267 2ο κριτήριο αξιολόγησης 278 3ο κριτήριο αξιολόγησης 279 Επαναληπτικές ασκήσεις 282 Ανακεφαλαίωση 283 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 Τριγωνομετρία Διανύσματα 2.1 Εφαπτομένη οξείας γωνίας 287 2.2 Ημίτονο και συνημίτονο οξείας γωνίας 297 2.3 Μεταβολές ημιτόνου, συνημιτόνου και εφαπτομένης 305 2.4 Οι τριγωνομετρικοί αριθμοί των γωνιών 317 1ο κριτήριο αξιολόγησης 328 2.5 Η έννοια του διανύσματος 329 2.6 Άθροισμα και διαφορά διανυσμάτων 337 2.7 Ανάλυση διανύσματος σε δύο κάθετες συνιστώσες 347 2ο κριτήριο αξιολόγησης 353 Επαναληπτικές ασκήσεις 353 Ανακεφαλαίωση 355 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 Μέτρηση κύκλου 3.1 Εγγεγραμμένες γωνίες 359 3.2 Κανονικά πολύγωνα 375 1ο κριτήριο αξιολόγησης 389 3.3 Μήκος κύκλου 391 3.4 Μήκος τόξου 399 3.5 Εμβαδόν κυκλικού δίσκου 411 3.6 Εμβαδόν κυκλικού τομέα 421 2ο κριτήριο αξιολόγησης 433 3ο κριτήριο αξιολόγησης 435 Επαναληπτικές ασκήσεις 437 Ανακεφαλαίωση 439 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 Γεωμετρικά στερεά Μέτρηση στερεών 4.1 Ευθείες και επίπεδα στο χώρο 443 4.2 Στοιχεία και εμβαδόν πρίσματος και κυλίνδρου 449 4.3 Όγκος πρίσματος και κυλίνδρου 457 4.4 Η πυραμίδα και τα στοιχεία της 463 4.5 Ο κώνος και τα στοιχεία του 469 4.6 Η σφαίρα και τα στοιχεία της 475 1ο κριτήριο αξιολόγησης 481 2ο κριτήριο αξιολόγησης 482 Ανακεφαλαίωση 484 Λύσεις ασκήσεων (άλγεβρα) 489 Λύσεις ασκήσεων (γεωμετρία) 515

μέρος α' άλγεβρα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ1 Εξισώσεις Ανισώσεις

Εξισώσεις Ανισώσεις 1.1 Η έννοια της μεταβλητής Αλγεβρικές παραστάσεις Στοιχεία θεωρίας Μεταβλητή λέγεται ένα σύμβολο, κυρίως γράμμα, με το οποίο μπορούμε να συμβολίσουμε έναν οποιοδήποτε αριθμό. Για να παραστήσουμε μια μεταβλητή μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε γράμματα του ελληνικού και του λατινικού αλφάβητου, όπως α, β, γ, x, y, z, t,... Αριθμητική παράσταση λέγεται μια παράσταση που περιέχει πράξεις με αριθμούς. Αλγεβρική παράσταση λέγεται μια παράσταση που περιέχει πράξεις με αριθμούς και μεταβλητές. Οι προσθετέοι της αλγεβρικής παράστασης λέγονται όροι της παράστασης. Επιμεριστική ιδιότητα λέγεται η ιδιότητα που συνδέει τις δύ ο βασικές πράξεις, την πρόσθεση και τον πολλαπλασιασμό. Συμβολικά: α(β + γ) = αβ + αγ ή αβ + αγ = α(β + γ) Αναγωγή ομοίων όρων λέγεται η διαδικασία με την οποία μπορούμε να γράψουμε σε απλού- στερη μορφή μια αλγεβρική παράσταση χρησιμοποιώντας την επιμεριστική ιδιότητα. Προσοχή Το σύμβολο του πολλαπλασιασμού ( ) παραλείπεται μεταξύ των αριθμών και των μεταβλητών ή μεταξύ των μεταβλητών ενώ πρέπει οπωσδήποτε να χρησιμοποιείται για τον πολλαπλασιασμό αριθμών, γιατί αν δε βάλουμε το σύμβολο ( ) μεταξύ δυο αριθμών θα φαίνεται ως ένας αριθμός. ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ 1η κατηγορία Αναγωγή ομοίων όρων Αναγωγή ομοίων όρων είναι η αντικατάσταση του αθροίσματος των ομοίων όρων με το αποτέλεσμά τους. Για να κάνουμε πιο εύκολα τις πράξεις, χρησιμοποιούμε την επιμεριστική ιδιότητα. Π.χ. 3x + 8x = (3 + 8)x = 11x ΕΚΔΟΣΕΙΣ ΠΟΥΚΑΜΙΣΑΣ 13

ΚΕΦΑΛΑΙΟ1 1. Να απλοποιήσετε τις παραστάσεις: α. 15x 5x + 8x β. 4α 3α 5α γ. 10y + 8y + 2y δ. 7ω 2ω ω + 5ω ε. 10x + 2 + 7x 8 στ. β 2β + 3β 4β ΛΥΣΗ Έχουμε ότι: α. 15x 5x + 8x = (15 5 + 8)x = 18x β. 4α 3α 5α = ( 4 3 5)α = 12α γ. 10y + 8y + 2y = (10 + 8 + 2)y = 20y δ. 7ω 2ω ω + 5ω = (7 2 1 + 5)ω = 9ω ε. 10x + 2 + 7x 8 = ( 10 + 7)x + 2 8 = 3x 6 στ. β 2β + 3β 4β = (1 2 + 3 4)β = 2β Παρατήρηση Μια αλγεβρική παράσταση μπορεί να περιέχει παραπάνω από μία μεταβλητή. Εργαζόμαστε όπως παραπάνω για κάθε μεταβλητή ξεχωριστά. 2. Να απλοποιήσετε τις παραστάσεις: α. 3x 8y + 4x + 5y β. 8φ 4φ + 2α + 7φ + α γ. 2φ + 3ω 5φ 4ω δ. 2α 3β + 2β 5α + 4β ΛΥΣΗ Έχουμε ότι: α. 3x 8y + 4x + 5y = 3x + 4x 8y + 5y = (3 + 4)x + ( 8 + 5) y = 7x + ( 3)y = 7x 3y β. 8φ 4φ + 2α + 7φ + α = 8φ 4φ + 7φ + 2α + α = (8 4 + 7)φ + (2 + 1)α = 11φ + 3α γ. 2φ + 3ω 5φ 4ω = 2φ 5φ + 3ω 4ω = (2 5)φ + (3 4)ω = 3φ + ( 1)ω = 3φ ω δ. 2α 3β + 2β 5α + 4β = 2α 5α + 4β 3β + 2β = (2 5)α + (4 3 + 2)β = 3α + 3β 14 ΕΚΔΟΣΕΙΣ ΠΟΥΚΑΜΙΣΑΣ

Εξισώσεις Ανισώσεις 2η κατηγορία Υπολογισμός παραστάσεων Απλοποιούμε πρώτα τις παραστάσεις (απαλοιφή παρενθέσεων, αναγωγή ομοίων όρων) και έπειτα αντικαθιστούμε στις μεταβλητές τις τιμές που μας δίνει η εκφώνηση της άσκησης. 3. Να υπολογίσετε την τιμή των παραστάσεων: α. Α = 2(3φ + 5ω) 3(φ + 3ω), όταν φ = 1, ω = 2 β. Β = 2(x 2y) + 4(3x y), όταν x = 2, y = 4 ΛΥΣΗ α. Απλοποιούμε πρώτα την παράσταση Α: Α = 2(3φ + 5ω) 3(φ + 3ω) = 6φ + 10ω 3φ 9ω = (6 3)φ + (10 9)ω = 3φ + ω Επομένως, όταν φ = 1 και ω = 2 έχουμε: Α = 3( 1) + 2 = 3 + 2 = 1 β. Ομοίως, για την παράσταση Β: Β = 2(x 2y) + 4(3x y) = 2x 4y + 12x 4y = (2 + 12) x + ( 4 4)y = 14x + ( 8)y = 14x 8y Επομένως όταν x = 2 και y = 4 έχουμε: B = 14( 2) 8 4 = 28 32 = 60 4. Να υπολογίσετε την τιμή των παραστάσεων: α. A = 5(2x 4y) + 4(x + 5y) + y όταν x 0,5 και y = 2007 β. B = 5(x + 2y) + 2(5x + y) + 3y όταν x + y = 15 1 ΕΚΔΟΣΕΙΣ ΠΟΥΚΑΜΙΣΑΣ 15