τα βιβλία των επιτυχιών

Transcript

1 Τα βιβλία των Εκδόσεων Πουκαμισάς συμπυκνώνουν την πολύχρονη διδακτική εμπειρία των συγγραφέων μας και αποτελούν το βασικό εκπαιδευτικό υλικό που χρησιμοποιούν οι μαθητές των φροντιστηρίων μας. Μέσα από τη διαρκή τους αξιοποίηση στις τάξεις μας διασφαλίζουμε τον εμπλουτισμό τους, τη συνεχή τους βελτίωση και την επιστημονική τους αρτιότητα, καθιστώντας τα βιβλία των Εκδόσεών μας εγγύηση για την επιτυχία των μαθητών. τα βιβλία των επιτυχιών

2

3 Νίκος Τάσος Μαθηματικά Επαναληπτικά Θέματα Γ ΛΥΚΕΙΥ Θετικων Σπουδων και Σπουδων ικονομιας & Πληροφορικης

4 Κάθε γνήσιο αντίτυπο φέρει την υπογραφή του συγγραφέα Σειρά: Γενικό Λύκειο Γ Λυκείου: Θετικεσ Σπουδεσ και Σπουδεσ ικονομιασ & Πληροφορικησ Μαθηματικά Eπαναληπτικά Θέματα Νίκος Τάσος ISBN: Επιμέλεια κειμένου: Γωγώ Κουτσούγερα Σχεδιασμός έκδοσης: Μαλβίνα Κότο Σελιδοποίηση: Μαλβίνα Κότο Συμπληρωματική σελιδοποίηση: Γεωργία Λαμπροπούλου Σχεδιασμός εξωφύλλου: Αλέξανδρος Γιαννακούλιας Εικόνα εξωφύλλου: Shutterstock Υπεύθυνη έκδοσης: Γωγώ Κουτσούγερα Copright 208 ΕΚΔΣΕΙΣ ΠΥΚΑΜΙΣΑΣ, Νίκος Τάσος για την ελληνική γλώσσα σε όλο τον κόσμο Κυκλοφορία έκδοσης: Νοέμβριος 208 Επικοινωνία με συγγραφέα: Απαγορεύεται η με οποιονδήποτε τρόπο, μέσο και μέθοδο αναδημοσίευση, αναπαραγωγή, μετάφραση, διασκευή, θέση σε κυκλοφορία, παρουσίαση, διανομή και η εν γένει πάσης φύσεως χρήση και εκμετάλλευση του παρόντος έργου στο σύνολό του ή τμηματικά, καθώς και της ολικής αισθητικής εμφάνισης του βιβλίου (στοιχειοθεσίας, σελιδοποίησης κ.λπ.) και του εξωφύλλου του, σύμφωνα με τις διατάξεις της υπάρχουσας νομοθεσίας περί προστασίας πνευματικής ιδιοκτησίας και των συγγενικών δικαιωμάτων περιλαμβανομένων και των σχετικών διεθνών συμβάσεων. Αριθμός έκδοσης: η Αριθμός αντιτύπων: 300 Λ. Βουλιαγμένης 46 & Αλεξιουπόλεως, ΤΚ Αργυρούπολη Τ info@ekdoseispoukamisas.gr

5 Περιεχομενα ΘΕΜΑ Α I. ρισμοί... II. Αποδείξεις θεωρημάτων III. Ερωτήσεις τύπου σωστό λάθος IV. Συμπλήρωση ημιτελών προτάσεων V. Αληθείς ή ψευδείς ισχυρισμοί με αιτιολόγηση ΘΕΜΑ Β Θέματα ΘΕΜΑ Γ Θέματα ΘΕΜΑ Δ Θέματα ΚΡΙΤΗΡΙΑ ΑΞΙΛΓΗΣΗΣ ο κριτήριο αξιολόγησης ο κριτήριο αξιολόγησης ο κριτήριο αξιολόγησης ο κριτήριο αξιολόγησης ο κριτήριο αξιολόγησης ο κριτήριο αξιολόγησης ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Βιβλιογραφία

6 θέμα Α

7

8 ΘΈΜΑ Α I. ρισμοί ΚΕΦ. o Όριο Συνέχεια συνάρτησης Τι ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση με πεδίο ορισμού ένα μη κενό υποσύνολο Α του (; Πραγματική συνάρτηση με πεδίο ορισμού ένα μη κενό υποσύνολο Α του ' ονομάζουμε μια διαδικασία (έναν κανόνα) f, με την οποία κάθε στοιχείο A αντιστοιχίζεται σε ένα μόνο στοιχείο '. 2 α. Τι ονομάζουμε πεδίο ορισμού μιας πραγματικής συνάρτησης f, της οποίας δίνεται μόνο ο τύπος της = f(); β. Τι ονομάζουμε σύνολο τιμών μιας συνάρτησης f: A ( με τύπο = f() και πώς συμβολίζεται; α. Πεδίο ορισμού μιας συνάρτησης f, της οποίας δίνεται μόνο ο τύπος = f(), ονομάζεται το «ευρύτερο» υποσύνολο του ', στο οποίο έχει νόημα πραγματικού αριθμού η παράσταση f(). Συμβολικά: A = { ' / f() '} β. Σύνολο τιμών μιας συνάρτησης, με πεδίο ορισμού Α, ονομάζουμε το σύνολο όλων των στοιχείων του ' που το καθένα είναι αντίστοιχο ενός τουλάχιστον στοιχείου του Α και συμβολίζουμε με f(a). Συμβολικά: f(a) = { ' / υπάρχει ένα τουλάχιστον A, τέτοιο, ώστε = f()} 3 Τι ονομάζουμε γραφική παράσταση μιας συνάρτησης f: A ( και πώς συμβολίζεται; Γραφική παράσταση μιας συνάρτησης f, με πεδίο ορισμού Α, ονομάζουμε το σύνολο των σημείων Μ(, ), A, για τα οποία ισχύει = f(). Δηλαδή, το σύνολο των σημείων M(, f()), A, και συνήθως τη συμβολίζουμε C f.

9 m a θ η μ α τ ι κ α γ λ υ κ ε ι ο υ ε π α ν α λ η π τ ι κ α θ ε μ α τ α 4 Να σχεδιάσετε τη γραφική παράσταση των συναρτήσεων: α. f() = α + β, α 0 ε. f() = και f() = β. f() = α 2, α 0 στ. f() = ημ και f() = συν και f() = εφ γ. f() = α 3, α 0 ζ. f() = α, 0 < α δ. f() = α, α 0 η. f() = log α, 0 < α α. f() = α + β, α 0 α > 0 α < 0 α = 0 β. f() = α 2, α 0 α > 0 α < 0 γ. f() = α 3, α 0 α > 0 α < 0 δ. f() = α, α 0 α > 0 α < 0 2

10 ε. f() = και f() = = = ΘΈΜΑ Α στ. f() = ημ και f() = συν και f() = εφ π 2π = ημ π 2π = συν π/2 π/2 3π/2 = εφ ζ. f() = α, 0 < α α > 0 < α < α α η. f() = og α, 0 < α α > 0 < α < α α 3

11 m a θ η μ α τ ι κ α γ λ υ κ ε ι ο υ ε π α ν α λ η π τ ι κ α θ ε μ α τ α 5 α. Πότε μια συνάρτηση f, με πεδίο ορισμού ένα σύνολο Α, ονομάζεται άρτια; β. Ποια συμμετρία εμφανίζει η γραφική της παράσταση; α. Μια συνάρτηση f, με πεδίο ορισμού ένα σύνολο Α, θα λέγεται άρτια, όταν για κάθε A ισχύει: A και f( ) = f() β. Η γραφική παράσταση μιας άρτιας συνάρτησης έχει άξονα συμμετρίας τον άξονα. M ( α, β) β M(α, β) α α 6 α. Πότε μια συνάρτηση f, με πεδίο ορισμού ένα σύνολο Α, ονομάζεται περιττή; β. Ποια συμμετρία εμφανίζει η γραφική της παράσταση; α. Μια συνάρτηση f, με πεδίο ορισμού ένα σύνολο Α, θα λέγεται περιττή, όταν για κάθε A ισχύει: A και f( ) = f() β. Η γραφική παράσταση μιας περιττής συνάρτησης έχει κέντρο συμμετρίας την αρχή των αξόνων. β M(α, β) α α β M ( α, β) 7 Πότε δύο συναρτήσεις f, g λέγονται ίσες; Πώς συμβολίζονται; Δύο συναρτήσεις f, g είναι ίσες, όταν και μόνο όταν: έχουν το ίδιο πεδίο ορισμού Α και για κάθε A ισχύει ότι f() = g(). Συμβολίζονται f = g. 4 8 Έστω οι συναρτήσεις f: A ( και g: B ( και Γ ένα υποσύνολο των A και B. Πότε οι συναρτήσεις λέγονται ίσες στο Γ; Έστω οι συναρτήσεις f: A ' και g: B ' και Γ ένα υποσύνολο του A B, δηλαδή Γ A B. Αν για κάθε Γ είναι f() = g(), τότε λέμε ότι οι συναρτήσεις f, g είναι ίσες στο σύνολο Γ.

12 ΘΈΜΑ Α 9 Έστω οι συναρτήσεις f: A ( και g: B (. Πότε και πώς ορίζονται οι παρακάτω συναρτήσεις; α. το άθροισμα f + g γ. το γινόμενο f g β. η διαφορά f g δ. το πηλίκο g f Έστω δύο συναρτήσεις f, g με πεδία ορισμού Α και Β αντίστοιχα. Τότε: α. Το άθροισμά τους είναι η συνάρτηση f + g με: πεδίο ορισμού Γ = A B, τύπο (f + g)() = f() + g(). β. Η διαφορά τους είναι η συνάρτηση f g με: πεδίο ορισμού Γ = A B, τύπο (f g)() = f() g(). γ. Το γινόμενό τους είναι η συνάρτηση f g με: πεδίο ορισμού Γ = A B, τύπο (f g)() = f() g(). δ. Το πηλίκο τους είναι η συνάρτηση f g με: πεδίο ορισμού Γ = A B { '/g() = 0}, τύπο ( f g ) () = f() g(). 0 Έστω οι συναρτήσεις f: A ( και g: B (. Πώς ορίζεται η σύνθεση της f με την g και πώς συμβολίζεται; Ποιο είναι το πεδίο ορισμού της; Η σύνθεση της συναρτήσης f με τη συνάρτηση g, την οποία συμβολίζουμε g f, είναι μια συνάρτηση: με πεδίο ορισμού D g f = { A/f() B} και με τύπο (g f)() = g(f()). Πότε μια συνάρτηση f λέγεται γνησίως αύξουσα σε ένα διάστημα Δ του πεδίου ορισμού της; Μια συνάρτηση f, ορισμένη σε ένα διάστημα Δ, λέγεται γνησίως αύξουσα στο Δ, αν για κάθε, 2 Δ με < 2 είναι f( ) < f( 2 ). 2 Πότε μια συνάρτηση f λέγεται γνησίως φθίνουσα σε ένα διάστημα Δ του πεδίου ορισμού της; Μια συνάρτηση f, ορισμένη σε ένα διάστημα Δ, λέγεται γνησίως φθίνουσα στο Δ, αν για κάθε, 2 Δ με < 2 είναι f( ) > f( 2 ). 5

13 m a θ η μ α τ ι κ α γ λ υ κ ε ι ο υ ε π α ν α λ η π τ ι κ α θ ε μ α τ α 3 Πότε μια συνάρτηση f είναι γνησίως μονότονη σε ένα διάστημα Δ του πεδίου ορισμού της; Αν η συνάρτηση f είναι γνησίως αύξουσα ή γνησίως φθίνουσα στο πεδίο ορισμού της, τότε λέγεται γνησίως μονότονη. 4 Πότε μια συνάρτηση f, με πεδίο ορισμού Α, λέμε ότι παρουσιάζει στο 0 A (ολικό) μέγιστο; Μια συνάρτηση f, με πεδίο ορισμού ένα σύνολο Α, λέμε ότι παρουσιάζει στο 0 A ολικό μέγιστο ή απλά μέγιστο, όταν: f() f( 0 ), για κάθε A 5 Πότε μια συνάρτηση f, με πεδίο ορισμού Α, λέμε ότι παρουσιάζει στο 0 A (ολικό) ελάχιστο; Μια συνάρτηση f, με πεδίο ορισμού ένα σύνολο Α, λέμε ότι παρουσιάζει στο 0 A ολικό ελάχιστο ή απλά ελάχιστο, όταν: f() f( 0 ), για κάθε A 6 Τι λέγονται ολικά ακρότατα μιας συνάρτησης f; Το (ολικό) ελάχιστο και το (ολικό) μέγιστο μιας συνάρτησης f, αν υπάρχουν, λέγονται ολικά ακρότατα της f. 7 Πότε μια συνάρτηση f: A ( ονομάζεται ; Μια συνάρτηση f: A ' ονομάζεται ένα προς ένα και τη συμβολίζουμε με, όταν και μόνο όταν για κάθε, 2 A ισχύει ότι: Αν 2, τότε f( ) f( 2 ) 8 Πότε μια συνάρτηση f: A ( είναι ; Μια συνάρτηση f: A ' είναι, όταν και μόνο όταν για κάθε, 2 A ισχύει ότι: Αν f( ) = f( 2 ), τότε = 2 9 Πότε μια συνάρτηση f, με πεδίο ορισμού Α, είναι αντιστρέψιμη και ποια είναι η αντίστροφή της; 6