Μέτρηση του όγκου και του εμβαδού ορθών πρισμάτων Κανονική Πυραμίδα 1 Βάσης) (Απόστημα) 2 1 ό Βάσης) (Ύψος) 3

Transcript

1 Βασικά σύνολα αριθμών -Σύνολο φυσικών: Ν = {0,., } ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ -Σύνολο ακεραίων: Ζ= { ,, } Συμβολίζουμε με ν=κ και τους άρτιους και τους περιττούς αντίστοιχα. * -Σύνολο ρητών: Q =, Z & Z -Άρρητος λέγεται ένας αριθμός που δεν μπορεί να γραφτεί με τη μορφή κλάσματος; ακεραίων, π.χ. οι αριθμοί, και οι γνωστοί αριθμοί e,7, και,4. -Σύνολο πραγματικών: είναι το σύνολο που περιέχει τους ρητούς και μη ρητούς αριθμούς και συμβολίζεται με. Ισχύει: Q. Μέτρηση του όγκου και του εμβαδού ορθών πρισμάτων Κανονική Πυραμίδα E ( ί Βάσης) (Απόστημα) V ( ό Βάσης) (Ύψος) Σφαίρα E 4 και Αναλογίες 4 V Κώνος Η κάθετη πλευρά γύρω από την οποία περιστρέψαμε το ορθογώνιο τρίγωνο, λέγεται ύψος (υ) του κώνου. Η υποτείνουσα του ορθογωνίου τριγώνου λέγεται γενέτειρα του κώνου (λ). E V και Για ασκήσεις, συνήθως θέτω τον έναν λόγο ίσο με λ.. Δυνάμεις..., ν παράγοντες του α 0, 0 ( ) 0 Λογάριθμοι log, >0 log και log 0 log και log Αλλαγή Βάσης: log log log log ( ) log log Επιμέλεια: Κωνσταντίνος Λαβίδας, Μαθηματικός

2 0 ( ) ( ) 0 ( ) ( ) ( ), 0 Ρίζες n n και, 0 έτσι και, log log log με, 0 k log k log, >0 ln e, 0 * 0 0 n n ( ) n, 0 Βασικές Ταυτότητες ( ) και ( ) ( ) και ( ) ( )( ) ( ) και ( ) ( ) ( ) και ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )(... ) ( )( ) ( ) ( )( )( ) ( ) ( ) Ταυτότητα Euler ( )[( ) ( ) ( ) ] ( )( ) Αν 0 ή τότε 0 Ταυτότητα Lgrnge ( )( ) ( ) ( ) Επιμέλεια: Κωνσταντίνος Λαβίδας, Μαθηματικός

3 Βασικές ανισότητες 0 0, : ό 0, : ό 0, : ό 0, : ό z ό z k k 0 0 ( ό ) 0 0 Δεν αφαιρούμε και δεν διαιρούμε ανισότητες κατά μέλη. 0, : ί 0 ενώ και 0 & 0 ή & 0 Απόλυτη τιμή αριθμού Απόσταση ενός αριθμού από το μηδέν - πάντα μη αρνητικός αριθμός ( 0 ) 0 και για 0 0 και + + η ισότητα ισχύει για ομόσημους ή ένας τουλάχιστον από και έτσι τους δύο είναι μηδέν. - + η ισότητα ισχύει για ετερόσημους ή ένας τουλάχιστον από τους δύο είναι μηδέν ή (με >0) ή ή και για 0 Επιμέλεια: Κωνσταντίνος Λαβίδας, Μαθηματικός

4 Τριγωνομετρία β α ω γ β: Απέναντι κάθετη γ: Προσκείμενη κάθετη ω: γωνία σε μοίρες Πυθαγόρειο Θεώρημα (ισχύει μόνο σε ορθογώνιο τρίγωνο): και και Τριγωνομετρικοί αριθμοί γωνίας ω, και και ( ) Μετατροπή ακτινίων σε μοίρες και αντίστροφα α: γωνία σε ακτίνια και μ: γωνία σε μοίρες, οπότε: και και, ενώ, και Βασικές τριγωνομετρικές ταυτότητες k k Z k k Z k k Z k k Z k k Z Επιμέλεια: Κωνσταντίνος Λαβίδας, Μαθηματικός 4

5 Αναγωγή στο ο τεταρτημόριο ( ) ημ(-θ)=-ημθ ημ(π-θ)=ημθ ημ(π+θ)=-ημθ ( ) συν(-θ)=συνθ συν(π-θ)=-συνθ συν(π+θ)=-συνθ ( ) εφ(-θ)=-εφθ εφ(π-θ)=-εφθ εφ(π+θ)=εφθ ( ) σφ(-θ)=-σφθ σφ(π-θ)=-σφθ σφ(π+θ)=σφθ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Μνημονικός κανόνας Οι τριγωνομετρικοί αριθμοί των τόξων: Α) ί ( ) παραμένουν ίδιοι, δηλαδή: ( ί ) : ό, αλλάζουν, δηλαδή: Β) το πρόσημο (+) ή (-) είναι ίδιο με το πρόσημο του αρχικού τριγωνομετρικού αριθμού στο αντίστοιχο τεταρτημόριο. Τριγωνομετρικοί αριθμοί Βασικών τόξων Μοίρες ακτίνια 0 π ή ημω συνω 0-0 εφω 0 Δεν Ορίζ. - 0 Δεν Ορίζ. 0 Επιμέλεια: Κωνσταντίνος Λαβίδας, Μαθηματικός 5

6 σφω Δεν Ορίζ. 0 - Δεν Ορίζ. 0 Δεν Ορίζ. Τριγωνομετρικοί αριθμοί αθροίσματος και διαφοράς δύο τόξων ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Τριγωνομετρικοί αριθμοί διπλάσιου τόξου. Από-τετραγωνισμός Τριγωνομετρικών αριθμών (χρήσιμο στα ολοκληρώματα) Νόμος ημίτονων Νόμος συνημίτονων Για επίλυση τριγώνου Σε κάθε τρίγωνο ΑΒΓ ισχύει: Σε κάθε τρίγωνο ΑΒΓ για κάθε πλευρά του, ισχύει: R όπου R η ακτίνα του περιγεγραμμένου κύκλου του τριγώνου ΑΒΓ. Επιμέλεια: Κωνσταντίνος Λαβίδας, Μαθηματικός 6

7 Επίλυση Εξίσωσης Για την επίλυση οποιασδήποτε εξίσωσης πέρα του πρώτου βαθμού, δηλαδή από δευτέρου τουλάχιστον αξιοποιώ την ιδιότητα 0 ά α=0 ή β=0 ή γ=0 ή δ=0 δηλαδή μετασχηματίζω την εξίσωση σε γινόμενο πρώτων παραγόντων ίσο με το μηδέν και παίρνω κάθε παράγοντα ίσο με το μηδέν. Παρόλα αυτά σε κάποιες περιπτώσεις μπορώ να εργαστώ όπως: Περίπτωση δευτέρου βαθμού της μορφής: b c 0 με 0 Έχουμε τη διακρίνουσα b 4c Τύποι του Viet Δ 0 Δύο άνισες πραγματικές Για την εξίσωση δευτέρου βαθμού b b c 0 με 0, ισχύουν ρίζες, b Άθροισμα ριζών S Δ = 0 Μία πραγματική ρίζα διπλή b c Γινόμενο ριζών P οπότε Δ 0 Δεν έχει ρίζες στο σύνολο των b c 0 S P 0 πραγματικών αριθμών Παραγοντοποίηση και Μορφές τριωνύμου b c με 0 Δ 0, Παραγοντοποιείται: Δ = 0, Παραγοντοποιείται: b c ( )( ) b b c ( ) Δ 0, Δεν παραγοντοποιείται Περίπτωση νιοστού βαθμού της μορφής ό 0 ό 0 ό δεν έχει 0 πραγματικές ρίζες. ό 0 Βασικές τριγωνομετρικές εξισώσεις, Z, Z Συχνές Εξισώσεις 0, Z, Z 0, Z, Z Επιμέλεια: Κωνσταντίνος Λαβίδας, Μαθηματικός 7

8 , Z, Z Η εξίσωση 0 με α,β 0, μετασχηματίζεται σε ( ) 0, Z, Z, 4 Z, 4 Z διότι ( ) όπου και με Εκθετικές και λογαριθμικές εξισώσεις k k k log k e k ln k log log k k log k ln k e k k Εξισώσεις με απόλυτα ή (με >0) ή Επίλυση ανίσωσης Ανισώσεις με απόλυτα ή,για >0 και,για 0 Ανισώσεις δευτέρου βαθμού. Είναι της μορφής 0ή 0. Για την επίλυση αυτών μπορούμε να ακολουθούμε και την παρακάτω διαδικασία. ο βήμα. Βρίσκουμε τις ρίζες αν υπάρχουν της εξίσωσης 0 ο βήμα. Τοποθετούμε τις ρίζες της εξίσωσης στον άξονα των πραγματικών αριθμών τοποθετώντας επίσης και τα σύμβολα του απείρου ( ) και ( ) στις δύο άκρες του άξονα. ο βήμα. Συμπληρώνουμε πίνακα μεταβολών του προσήμου της, Επιμέλεια: Κωνσταντίνος Λαβίδας, Μαθηματικός 8

9 - αν έχουμε δύο ρίζες (Δ>0), ξεκινώντας από το πρόσημο του α (συντελεστής του ) και εναλλάξ βάζουμε πρόσημα στα τρία διαστήματα που σχηματίζονται. Επιπλέον σημειώνουμε κύκλους μικρούς, πάνω στις γραμμές που αντιστοιχούν στις ρίζες. πρόσημο Ομόσημο του α πρόσημο Ετερόσημο του α πρόσημο Ομόσημο του α - αν έχουμε μια ρίζα (Δ=0), τοποθετούμε το πρόσημο του α (συντελεστής του ) και στα δύο διαστήματα που σχηματίζονται. Επιπλέον σημειώνουμε κύκλο μικρό, πάνω στην γραμμή που αντιστοιχεί στην ρίζα. πρόσημο πρόσημο Ομόσημο του α Ομόσημο του α - αν δεν έχουμε ρίζες (Δ<0), τοποθετούμε το πρόσημο του α (συντελεστής του ) στο διάστημα που σχηματίζεται. πρόσημο Ομόσημο του α 4 ο βήμα. Γράφουμε την λύση της ανίσωσης, η οποία θα είναι τα διαστήματα εκείνα που το πρόσημο το οποίο έχουμε τοποθετήσει είναι ίδιο με το πρόσημο της ανίσωσης που θέλουμε να λύσουμε. Για παράδειγμα, αν θέλουμε να λύσουμε την 0 τότε το πρόσημο της ανίσωσης είναι (+). Ανισώσεις της μορφής A( ) B( ) ( ) 0 Βρίσκω το πρόσημο του κάθε παράγοντα. Εισαγάγω αυτά σε έναν ευρύτερο, πίνακα και βρίσκω το πρόσημο του γινομένου των προσήμων του κάθε παράγοντα. A ( ) Ανισώσεις της μορφής 0 B ( ) ή A ( ) 0 B ( ) ή A ( ) ( ) B ( ) Μετασχηματίζονται σε γινόμενο παραγόντων και έτσι εμπίπτουν στην προηγούμενη περίπτωση. Επιμέλεια: Κωνσταντίνος Λαβίδας, Μαθηματικός 9

10 Βασικοί Γεωμετρικοί τόποι Πρωταρχικές έννοιες -Συντελεστή διεύθυνσης ή κλίση ευθείας:, όπου ω η γωνία που σχηματίζει η ευθεία με τον θετικό ημιάξονα Οχ κινούμενη αντίθετα από του δείκτες του ρολογιού ω 80 -Αν η γωνία ω που σχηματίζει με τον άξονα είναι ορθή τότε δεν ορίζεται συντελεστής διεύθυνσης Παράλληλες ευθείες: Κάθετες ευθείες: Συντελεστής διεύθυνσης ευθείας που διέρχεται από δυο σημεία, ) και, ), ( ( Εξίσωση ευθείας A B 0 με A 0 ή B 0 αν 0 0 ό k ά ό ά & 0 ό ά Απόσταση σημείου M0( 0, 0) από την ευθεία ε: A B 0 A0 B0 dm ( 0, ) A B -Απόσταση δύο σημείων (, ) και (, ) είναι ( ) ( ) ( ) -Εξίσωση ευθείας η οποία έχει κλίση -Εξίσωση ευθείας που διέρχεται (συντελεστή διεύθυνσης) και διέρχεται από δυο σημεία A(, ) και από το σημείο (, ) : B(, ) ( ) ( ) ( ). ( ) Κύκλος Ονομάζεται κύκλος με κέντρο Κ ο γεωμετρικός τόπος C των σημείων του επιπέδου τα οποία ισαπέχουν από το Κ. Εξίσωση Κύκλου ( 0) ( 0) κύκλος κέντρου K( 0, 0) και ακτίνα ρ Κ( 0, 0 ) κύκλος κέντρου K(0,0) και ακτίνα ρ - Εφαπτομένη του κύκλου κέντρου K( 0, 0) και ακτίνα ρ σε σημείο του A(, ) ( )( ) ( )( ) Ο ρ M(, ) Γενικά: αν A B 0 με A B 4 0 A B Τότε αναπαριστά κύκλο, κέντρου K, και ακτίνας A B 4 Επιμέλεια: Κωνσταντίνος Λαβίδας, Μαθηματικός 0

11 Παραβολή Ονομάζεται παραβολή με εστία το σημείο Ε και διευθετούσα την ευθεία δ, ο γεωμετρικός τόπος C των σημείων του επιπέδου τα οποία ισαπέχουν από την Ε και τη δ. Εξίσωση Παραβολής p Εστία E p, 0 και διευθετούσα p : P Α M(,) p>0 p E,0 p δ: p p Εστία E 0, και διευθετούσα p : =p p>0 E0, p p δ: Έλλειψη Ονομάζεται έλλειψη με εστίες τα σημεία E και Ε ο γεωμετρικός τόπος C των σημείων του επιπέδου των οποίων το άθροισμα των αποστάσεων από τα E και Ε είναι σταθερό και μεγαλύτερο του EE. Εξίσωση Έλλειψης α β, όπου β α γ Εστίες ' (,0) και (,0) Μεγάλος άξονας α Μικρός άξονας β A E( γ,0) B B M (, ) E(γ,0) ( ME ) ( ME) με γα. Α Επιμέλεια: Κωνσταντίνος Λαβίδας, Μαθηματικός

12 β α, όπου β α γ Εστίες ' (0, ) και (0, ) Μεγάλος άξονας β Μικρός άξονας α B Β Α E( 0, γ) E( 0, γ) Υπερβολή Ονομάζεται υπερβολή με εστίες τα σημεία E και Ε ο γεωμετρικός τόπος C των σημείων του επιπέδου των οποίων η απόλυτη τιμή της διαφοράς των αποστάσεων από τα E και Ε είναι σταθερή και μικρότερη του ( EE ). Εξίσωση Υπερβολής A Μ(,), όπου β γ α Ε (-γ,0) Ο Α Α Ε(γ,0) Εστίες α β Εστίες ' (,0) και (,0), όπου β ' (0, ) και (0, ) γ α ( ME) ( ME) α και α γ E(0,γ) Α Ο Α Ε (0,-γ) Επιμέλεια: Κωνσταντίνος Λαβίδας, Μαθηματικός

13 Συναρτήσεις Κατασκευή γραφικής παράστασης η οποία απορρέει από κάποια άλλη συνάρτηση f( ) έτσι: Η f ( ) c κατασκευάζεται μετακινώντας την C f κατακόρυφα (c>0: πάνω ενώ για c<0: κάτω) Η f ( c) κατασκευάζεται μετακινώντας την C f οριζόντια (c>0: αριστερα ενώ για c<0: δεξιά) Η f( ) είναι συμμετρική της C f ως προς τον άξονα Η f( ) είναι συμμετρική της C f ως προς τον άξονα Η f( ) είναι συμμετρική της C f ως προς κέντρο την αρχή των αξόνων. Γραφικές παραστάσεις Βασικών Συναρτήσεων Η πολυωνυμική συνάρτηση f ( ) α β >0 Π.Ο.= R και Σ.Τ.= R <0 Π.Ο.= R και Σ.Τ.= R =0 =β με Π.Ο.: R και Σ.Τ.= β Η πολυωνυμική συνάρτηση f ( ), 0 α. α>0 Π.Ο.= R και Σ.Τ.= 0, α<0 Π.Ο.= R και Σ.Τ.=,0 Προσοχή: Η συνάρτηση f ( ) ( ) 4 f ( ) f ( ) με 0, μετασχηματίζεται σε οπότε η κατασκευή της εμπίπτει σε μετατόπιση της οριζόντια κατά (δες κατασκευή της f ( c) ) και κάθετα κατά 4 Επιμέλεια: Κωνσταντίνος Λαβίδας, Μαθηματικός

14 Η πολυωνυμική συνάρτηση f ( ) α, α 0. α<0 Π.Ο.= R και Σ.Τ.=R α>0 Π.Ο.= R και Σ.Τ.= R Η ρητή συνάρτηση α f ( ), α 0. α>0 Π.Ο.=,0 0, και Σ.Τ.=,0 0, α<0 Π.Ο.=,0 0, και Σ.Τ.=,0 0, Η συνάρτηση f ( ) Η συνάρτηση g( ) Π.Ο.= 0, και Σ.Τ.= 0, Π.Ο.= R και Σ.Τ.= 0, Επιμέλεια: Κωνσταντίνος Λαβίδας, Μαθηματικός 4

15 Οι τριγωνομετρικές συναρτήσεις π π =ημ π π =συν f ( ) ημ Περίοδος Τ=π Π.Ο.= R και Σ.Τ.=, f ( ) συν Περίοδος Τ=π Π.Ο.= R και Σ.Τ.=, Η συνάρτηση f ( ) ( ), έχει περίοδο T με ελάχιστη τιμή την και μέγιστη τιμή την. Για την γραφική της παράσταση μοιάζει με την f ( ) ημ αρκεί να μελετηθεί σε διάστημα μιας περιόδου δηλαδή, [0, ]. Το αντίστοιχο ισχύει για τις συναρτήσεις ( ) ( ) f. Για τις συναρτήσεις: f ( ) ( ), f ( ) ( ) η μόνη διαφορά με τις βασικές είναι η περίοδος δηλαδή T και βέβαια αρκεί να μελετηθεί σε διάστημα μιας περιόδου. Η συνάρτηση f ( ) με α,β 0, μετασχηματίζεται σε f ( ) ( ) όπου και με η οποία έχει περίοδο T με ελάχιστη τιμή την και μέγιστη τιμή την. Για την γραφική της παράσταση μοιάζει με την f ( ) ημ αρκεί να μετακινηθεί κατά φ (στην περίπτωση που φ>0) αριστερά ή δεξιά αντίστοιχα. π/ π/ π/ f ( ) εφ Περίοδος Τ=π Π.Ο.= R k k και Σ.Τ.= R =εφ Επιμέλεια: Κωνσταντίνος Λαβίδας, Μαθηματικός 5

16 f ( ) Περίοδος Τ=π Π.Ο.=, Σ.Τ.= R R k k Z και Η εκθετική συνάρτηση f ( ) α, 0 α. α α> (α) Π.Ο.= R και Σ.Τ.= 0, α 0<α< (β) Π.Ο.= R και Σ.Τ.= 0, Η λογαριθμική συνάρτηση f ( ) log, 0 α α α> Π.Ο.= 0, και Σ.Τ.= R 0<α< Π.Ο.= 0, και Σ.Τ.= R Επιμέλεια: Κωνσταντίνος Λαβίδας, Μαθηματικός 6