ΑΛΓΕΒΡΑ Τ Ν Ο Π Σ Ι Κ Η Τ Λ Η

Transcript

1 Τ Ν Ο Π Σ Ι Κ Η Τ Λ Η ΑΛΓΕΒΡΑ Τα ςημαντικότερα ςημεία τησ θεωρίασ Ερωτήςεισ εμπζδωςησ- απαντήςεισ Μεθοδολογία αςκήςεων Προτεινόμενεσ αςκήςεισ του βιβλίου - διεξοδική ανάλυςη των λφςεων (ςκζψη-βήματα-επεξήγηςη πράξεων) B ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Σύμθωνα με ηην διδακηέα ύλη 0-07 ΣΕΤΥΟ Α Ολύμποσ 9, Τ.Κ. 50, Θεζζαλονίκη, ηηλ info@tsiara.online website: Απαγορεύεηαι η αναηύπωζη: Άρθρο ηοσ Νόμοσ 9 ηης 5/ Μαρηίοσ 9

2 Τα ςημαντικότερα ςημεία τησ θεωρίασ Ερωτήςεισ εμπζδωςησ- απαντήςεισ Μεθοδολογία αςκήςεων Προτεινόμενεσ αςκήςεισ του βιβλίου - διεξοδική ανάλυςη των λφςεων (ςκζψη-βήματα-επεξήγηςη πράξεων) Από το βιβλίο της Α Γυμνασίου 7.8. Δςνάμειρ πητών απιθμών με εκθέτη υςσικό σελ Δςνάμειρ πητών απιθμών με εκθέτη ακέπαιο 7.0. Τςποποιημένη μοπυή μεγάλων και μικπών απιθμών 9 Από το βιβλίο της Β Γυμνασίου ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο - ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ - ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ. Η έννοια τηρ μεταβλητήρ Αλγεβπικέρ παπαστάσειρ. Εξισώσειρ α βαθμού 5. Επίλςση πποβλημάτων με τη σπήση εξισώσεων

3 ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ 5. Εξισώσεις α βαθμού 5 x+( Τι λέγεται εξίσωση; Εξίσωση με έναν άγνωστο ονομάζεται μια ισότητα που περιέχει αριθμούς και μία μεταβλητή, η οποία είναι ο άγνωστος. Αν ο άγνωστος δεν είναι υψωμένος σε κάποια δύναμη και δε βρίσκεται στον παρονομαστή, λέμε ότι έχουμε μια εξίσωση πρώτου βαθμού.. Ποιο είναι το πρώτο και ποιο το δεύτερο μέλος μιας εξίσωσης; Πρώτο μέλος μιας εξίσωσης ονομάζεται η παράσταση που βρίσκεται αριστερά από το () και δεύτερο μέλος μιας εξίσωσης ονομάζεται η παράσταση που βρίσκεται δεξιά από το (). Σκοπός της παραγράφου αυτής, είναι να μάθουμε να λύνουμε εξισώσεις. Η εργασία που κάνουμε για να βρούμε τη λύση μιας εξίσωσης τη λέμε επίλυση μιας εξίσωσης ή πιο απλά λύση της εξίσωσης. Η σειρά που ακολουθούμε για τη λύση μιας εξίσωσης είναι η παρακάτω :. Κάνουμε απαλοιφή παρονομαστών (αν φυσικά υπάρχουν) πολλαπλασιάζοντας τους όρους της εξίσωσης με το ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο των παρονομαστών (Ε.Κ.Π.). Αν δεν υπάρχουν παρονομαστές ξεκινάμε από το επόμενο βήμα παραλείποντας το.

4 ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Απαλείφουμε τις παρενθέσεις (αν υπάρχουν) κάνοντας επιμεριστικούς πολλαπλασιασμούς.. έτσι ώστε οι άγνωστοι να είναι στο ένα μέλος και οι γνωστοί στο άλλο, προσέχοντας να αλλάζουμε πρόσημο στους όρους που μεταφέρουμε.., δηλαδή προσθέτουμε τους αγνώστους με τους αγνώστους και τους γνωστούς με τους γνωστούς. Η αναγωγή των αγνώστων γίνεται με τη βοήθεια της επιμεριστικής ιδιότητας. 5. και τα δύο μέλη της εξίσωσης. Την επιμεριστική ιδιότητα που στη γενική της μορφής γράφεται : αβ + αγ α(β + γ) ή α(β + γ) αβ + αγ Η επιμεριστική ιδιότητα ισχύει και στην περίπτωση που αντί για πρόσθεση έχουμε αφαίρεση. Δηλαδή ισχύει : αβ - αγ α(β - γ) ή α(β - γ) αβ - αγ Στη λύση εξισώσεων χρησιμεύει πολύ, γιατί βγάζοντας τον κατάλληλο κοινό παράγοντα κάνουμε εύκολα τις πράξεις (πρώτος τύπος της ιδιότητας). Επίσης χρησιμεύει στην απαλοιφή παρενθέσεων (δεύτερος τύπος της ιδιότητας). Όταν χωρίζουμε γνωστούς από αγνώστους και μεταφέρουμε έναν όρο από το ένα μέλος στο άλλο οπωσδήποτε πάντα αλλάζει το πρόσημό του. Ειδικές μορφές εξίσωσης. Αδύνατη εξίσωση. Οταν σε μια εξίσωση, αφού εκτελέσουμε με τη σειρά και τα πέντε βήματα λύσης της εξίσωσης (ή τα τρία τελευταία, ανάλογα με το είδος της εξίσωσης) καταλήξουμε σε μια εξίσωση της μορφής 0x 5, τότε η εξίσωσης αυτή ονομάζεται αδύνατη. Η εξίσωση 0x 5 ονομάζεται αδύνατη, γιατί δεν έχει λύση. Παρατηρούμε πως το ο μέλος της είναι πάντα μηδέν, όποιος αριθμός και αν είναι ο x. Συνεπώς δεν μπορεί ποτέ να γίνει ίσο με το 5. Δηλαδή δεν υπάρχει ρητός ο οποίος πολλαπλασιασμένος με το μηδέν να μας δίνει τον 5.. Ταυτότητα ή αόριστη. Εκτελούμε τα βήματα λύσης της εξίσωσης και καταλήγουμε σε μια εξίσωση της μορφής 0x 0. Η εξίσωσης 0x 0 επαληθεύεται για οποιαδήποτε τιμή του x. Ετσι πάντα το πρώτο μέλος είναι ίσο με το δεύτερο μέλος. Μια τέτοια εξίσωση, η οποία επαληθεύεται για όλες τις τιμές του x, λέγεται ταυτότητα ή αόριστη. Γενικά για τη λύση της εξίσωσης αx β (), όπου α, β ρητοί, ισχύουν τα εξής : i) Αν α 0 τότε η () έχει λύση x α β (διαιρέσαμε με τον συντελεστή του αγνώστου). ii)αν α 0 και β 0 η () γράφεται 0x β και είναι αδύνατη. iii) Αν α 0 και β 0 η () γράφεται 0x 0 και είναι αόριστη.

5 ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ 7 Η διαδικασία επίλυσης της εξίσωσης αx β ονομάζεται διερεύνηση. Το σύμβολο το χρησιμοποιούμε για να δηλώσουμε ότι μια μεταβλητή δεν μπορεί να πάρει μια συγκεκριμένη τιμή. Διαβάζεται "διάφορο". Ετσι παραπάνω που χρησιμοποιήσαμε το συμβολισμό α 0 εννοούμε πως το α δεν παίρνει τη τιμή μηδέν. Να εξετάσετε αν ο αριθμός που δίνεται είναι η λύση της εξίσωσης:. α) - x + x -7 β) x + 5 7,5 x 0,5 γ) -x + 7x - x Για να βρούμε αν ο αριθμός που δίνεται είναι η λύση της κάθε εξίσωσης αρκεί να λύσουμε τις εξισώσεις και αν η λύση τους είναι ο αριθμός που δίνεται για καθεμιά από αυτές τότε έχουμε λύση της εξίσωσης. α) x+ x x 8 x 8. Το + αλλάζει πρόσημο και γίνεται -. x 9 Άρα το x -7 δεν είναι λύση της εξίσωσης

6 8 ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ β) x+ 5 7,5 x 7,5 5 x,5 x,5 x 0,8 Άρα το x 0,5 δεν είναι λύση της εξίσωσης γ) x+ 7x x 7x 0x 0 0x x Άρα το x είναι η λύση της εξίσωσης. Να λύσετε τις εξισώσεις: α) x + + x - 5 β) y + y -y γ) t - (t +) t + (t + ) + α) x+ + x 5 x x 5 x β) 9+ 7y+ y y + 7y+ y+ y + 9 0y 0 0y y

7 ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ 9 t t+ t+ t+ + γ) t t t+ t+ + t t t t + + t+ t + t Κάνουμε τους πολλαπλασιασμούς (επιμεριστική ιδιότητα) Αντίθετοι λέγονται οι αριθμοί που έχουν άθροισμα 0. Για παράδειγμα: , +, 0. Να λύσετε τις εξισώσεις: α) (x + ) - (x-) (x+) β) (y+) + (y-) y - (y-) γ) (ω + ) + - (ω - ) Για να λύσουμε τις εξισώσεις θα ακολουθήσουμε τα βήματα επίλυσης εξισώσεων. α) ( x+ ) ( x ) ( x+ ) 8x+ x+ x+ 8x x x x x x Κάνουμε τους πολλαπλασιασμούς

8 50 ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ β) ( y+ ) + ( y ) y ( y ) y+ + y 8 y y+ y+ y y + y + 8 y y y γ) ( ω + ) + - ( ω - ) ω ω + 8 ω + ω ω - 8ω 8-8 ω - Κάνουμε τους πολλαπλασιασμούς Κάνουμε τους πολλαπλασιασμούς. Να λύσετε τις εξισώσεις: x+ x 5 α) β) 7x 5x+ γ) x x. Για να λύσουμε τις εξισώσεις ακολουθούμε την εξής σειρά:. Κάνουμε απαλοιφή παρανομαστών με το ΕΚΠ. Απλοποιούμε τα κλάσματα. Κάνουμε τους πολλαπλασιασμούς (επιμεριστική ιδιότητα). 5...

9 ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ 5 α) x + x 5 x+ x 5 x+ x 5 x x 5 x Κάνουμε απαλοιφή παρονομαστών με το Απλοποιούμε τα κλάσματα Κάνουμε τους πολλαπλασιασμούς β) 7x 5x+ 7x 5x+ 8x 5x+ 8x 5x+ + x 0 x 0 0 x x x γ) ( ) ( ) x x x x x x x+ x x x 7 Κάνουμε απαλοιφή παρονομαστών με το Κάνουμε τους πολλαπλασιασμούς Κάνουμε απαλοιφή παρονομαστών με το Κάνουμε τους πολλαπλασιασμούς 5. Να λύσετε τις εξισώσεις: α) x + x x, β) 5 5 y y+ 7 y y+,

10 5 ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ω - γ) ( ω + ) - 7 (- ω) + 7 Για να λύσουμε τις εξισώσεις θα ακολουθήσουμε τη σειρά των εξισώσεων. α) 5 x + x x x+ 5 x x 5 Κάνουμε απαλοιφή παρονομαστών Απλοποιούμε τα κλάσματα x+ 5x+ 0+ x 0 x 5x+ x+ 0 0 x Κάνουμε τους πολλαπλασιασμούς Το ΕΚΠ μπαίνει μπροστά από όλους τους όρους μετά το πρόσημό τους. β) y y+ 7 y y+ ( + ) + ( ) y y 7 y y y y 7 y+ 9y y y y+ 9y y y y γ) ω - ( ω + ) - 7 (- ω) + 7 Κάνουμε απαλοιφή παρονομαστών Απλοποιούμε τα κλάσματα Κάνουμε τους πολλαπλασιασμούς Χωρίζουμε γνωστούς από αγνώστους Διαιρούμε με το συντελεστή του αγνώστου Κάνουμε απαλοιφή παρονομαστών Απλοποιούμε τα κλάσματα

11 ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ω (- ω) 7 7 ω+ -9 -ω +7 ω- 7 ω+ -9 -ω +7 ω- 7ω+8-9-ω+7ω- 7ω - 7ω +ω--8+9 ω+ ω ω ω- Κάνουμε τους πολλαπλασιασμούς Χωρίζουμε γνωστούς από αγνώστους Διαιρούμε με το συντελεστή του αγνώστου. Να λύσετε τις εξισώσεις: x x α) x 5 t+ + t t+ 5 β) 5 + t Έτσι, έχουμε τρόπους λύσεις: ος τρόπος Στις παραπάνω εξισώσεις το πρόβλημα που αντιμετωπίζουμε είναι ότι μέσα σε κάθε παρένθεση υπάρχουν δύο όροι. Είναι γνωστό πως για να κάνουμε απαλοιφή παρονομαστών, πρέπει κάθε όρος να πολλαπλασιάζεται με το ΕΚΠ. Θεωρούμε την παρένθεση σαν ένα όρο για να πολλαπλασιάσουμε με το ΕΚΠ. Έπειτα εφαρμόζουμε την επιμεριστική ιδιότητα ώστε να απλοποιήσουμε τα κλάσματα και να απαλειφτούν οι παρονομαστές. ος τρόπος Απαλείφουμε τις παρενθέσεις ώστε να φαίνονται «καθαρά» οι όροι και έπειτα πολλαπλασιάζουμε όλους τους όρους με το ΕΚΠ.

12 5 ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ α) Η εξίσωση θα λυθεί με τον ο τρόπο. x x x 5 x x + 5 x x+ 5 x + 9x x+ 5 8 x + 9x x+ x x 9 8x x 8 x + β) Η εξίσωση θα λυθεί με το ο τρόπο Εφαρμόζουμε την επιμεριστική ιδιότητα Κάνουμε απαλοιφή παρονομαστών Κάνουμε τους πολλαπλασιασμούς Διαιρούμε με το συντελεστή του αγνώστου t+ + t t t t+ + t t t 0 t+ + t 7 t+ t+ 5 0 t t 7 t+ t + 5 t t+ t t t 5 t 5 t Κάνουμε απαλοιφή παρενθέσεων Κάνουμε απαλοιφή παρονομαστών με το ΕΚΠ, δηλαδή το Απλοποιούμε τα κλάσματα Κάνουμε τους πολλαπλασιασμούς Χωρίζουμε γνωστούς από αγνώστους Διαιρούμε με το συντελεστή του αγνώστου 7. + x Να λύσετε τις εξισώσεις: α) + β) t t +

13 ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ 55 Για να λύσουμε τις εξισώσεις οι οποίες αποτελούνται από σύνθετα κλάσματα, αρκεί να κάνουμε τα σύνθετα κλάσματα απλά. Υπάρχουν δύο τρόποι: ος τρόπος: Ένα κλάσμα εκφράζει μία διαίρεση, δηλαδή είναι: α α : β β ος τρόπος: Όταν ο αριθμητής και ο παρονομαστής ενός κλάσματος αποτελείται από κλάσμα τότε πολλαπλασιάζουμε τους άκρους όρους και είναι ο αριθμητής του απλού κλάσματος καθώς πολλαπλασιάζουμε και τους μέσους όρους που είναι ο α β αδ παρονομαστής του κλάσματος. Δηλαδή είναι: γ βγ δ α) Η εξίσωση θα λυθεί με τον ο τρόπο

14 5 ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ +x + Κάθε κλάσμα εκφράζει μια διαίρεση + x : + Γράφουμε το κλάσμα α β ως α: β + x : + + x 5 : + x 5 + x 0 + x 0 + x 0 + x 0 x 0 x Κάνουμε τα κλάσματα ομώνυμα, ΕΚΠ (,) Κάνουμε την πρόσθεση μέσα στην παρένθεση Αφήνουμε το πρώτο κλάσμα όπως είναι, αντί για διαίρεση κάνουμε πολλαπλασιασμό και αντιστρέφουμε τους όρους του δεύτερου κλάσματος Εφαρμόζουμε την ιδιότητα χιαστί x και απλοποιούμε τα κλάσματα. x β) Η εξίσωση θα λυθεί με το ο τρόπο t t + t t Δημιουργούμε ένα κλάσμα σε κάθε όρο των κλασμάτων + ΕΚΠ (,), ΕΚΠ (,)

15 ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ 57 t t + t t 5 t t t 0 t t 0 0t t+ 0t 0+ t t t 7 Κάνουμε όλα τα κλάσματα ομώνυμα Κάνουμε τις πράξεις Πολλαπλασιάζουμε τους άκρους όρους που θα είναι οι αριθμητές και τους μέσους όρους που θα είναι οι παρονομαστές 8. Για ποια τιμή του x είναι Α Β; α) αν Α 5x -, B - x β) αν Α (x - ) + B x + Δίνονται οι παραστάσεις Α και Β. Για να βρούμε την τιμή του x θα εξισώσουμε τις παραστάσεις Α και Β. Θα προκύψει μια εξίσωση με άγνωστο x. Ακολουθούμε τη σειρά των εξισώσεων και βρίσκουμε τη λύση της. α) Α 5x - Β - x Είναι Α Β

16 58 ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ 5x x 5x+ x + 7x 5 7x x,5 β) αν Α (x - ) + B x + Είναι Α Β x ( x ) + + ( x ) + + x + + x x x x x + 9 0x 9 0x x,9 x Κάνουμε απαλοιφή παρονομαστών με το Κάνουμε την επιμεριστική ιδιότητα 9. Δίνεται η εξίσωση: μ (x + ) - (μ - ) x + α) Αν μ να αποδείξετε ότι η εξίσωση έχει λύση x 8. β) Αν η εξίσωση έχει λύση x 7 να αποδείξετε ότι μ γ) Αν μ να λύσετε την εξίσωση Θα αντικαταστήσουμε στην εξίσωση τις τιμές για τα μ και το x που δίνονται και θα λύσουμε την εξίσωση αντίστοιχα προς τους άλλους αγνώστους για να επαληθεύσουμε τις λύσεις που δίνονται.

17 ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ 59 α) Για μ θα αποδείξουμε ότι η λύση της εξίσωσης είναι το x 8. µ x+ µ x+ x+ x+ x+ x+ Αντικαθιστούμε όπου μ το Κάνουμε τους πολλαπλασιασμούς Κάνουμε την πράξη στην παρένθεση x+ x+ x x + x 8 Είναι x 8 x 8 β) Για x 7 θα αποδείξουμε ότι η λύση της εξίσωσης είναι το μ. µ µ Αντικαθιστούμε όπου x το 7 7µ + µ - µ µ + µ -µ µ - -µ µ Εφαρμόζουμε την επιμεριστική ιδιότητα γ) Για μ θα βρούμε τη λύση της εξίσωσης με άγνωστο το x. µ x+ µ x+ x+ x+ x + x+ Αντικαθιστούμε όπου μ το Κάνουμε τους πολλαπλασιασμούς Κάνουμε τις πράξεις x + x + x x + 0x Η εξίσωση είναι αδύνατη

18 0 ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ 0. Δίνεται το παρακάτω τρίγωνο. α) Να βρείτε την τιμή του x, ώστε να είναι ισοσκελές με βάση τη ΒΓ. Ποιο είναι σ αυτή την περίπτωση το μήκος κάθε πλευράς; β) Να βρείτε την τιμή του x, ώστε να είναι ισοσκελές με βάση την ΑΒ. Ποιο είναι σ αυτή την περίπτωση το μήκος κάθε πλευράς; γ) Να αποδείξετε ότι δεν υπάρχει τιμή του x, ώστε να είναι ισοσκελές με βάση την ΑΓ. Ισοσκελές είναι το τρίγωνο που έχει τις δύο του πλευρές και τις προσκείμενες στη βάση του γωνίες ίσες. α) Έτσι για να βρούμε τα μήκη των πλευρών του τριγώνου πρέπει να υπολογίσουμε το «χ». Θα δημιουργήσουμε την ισότητα ΑΒ ΑΓ, από την οποία θα βρούμε το x. β) Εφόσον η βάση του τριγώνου τώρα είναι η ΑΒ οι ίσες πλευρές θα είναι: ΑΓ ΒΓ, από τις οποίες με αντικατάσταση θα βρούμε το x. α) Εφόσον το τρίγωνο ΑΒΓ είναι ισοσκελές με βάση τη ΒΓ έχουμε: ΑΒ ΑΓ x+ x+ 5 x x 5 x Αντικαθιστούμε τις πλευρές με τις τιμές που δίνονται Βρίσκουμε τα μήκη των πλευρών: ΑΒ x ΑΓ x

19 ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΒΓ x β) Τώρα το τρίγωνο έχει βάση την πλευρά ΑΒ αλλά και πάλι ισοσκελές. ΑΓ ΓΒ x+ 5 x+ x x 5 x x x Αντικαθιστούμε τις πλευρές με τις τιμές που δίνονται Βρίσκουμε τα μήκη των πλευρών του ΑΒ x ΑΓ x ΒΓ x γ) Το τρίγωνο είναι και πάλι ισοσκελές αλλά με βάση την ΑΓ έχουμε: ΑΒ ΒΓ x+ x+ x x 0x Αντικαθιστούμε τις πλευρές με τις τιμές που δίνονται Η εξίσωση είναι αδύνατη. Δίνεται το ορθογώνιο του παρακάτω σχήματος. Να βρείτε τους αριθμούς x, y και ω (το ω παριστάνει μοίρες).

20 ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Για να βρούμε τους αριθμούς x, y θα εκμεταλλευτούμε την ισότητα των απέναντι πλευρών σε ένα ορθογώνιο. Για να βρούμε το ω θα σχηματίσουμε εξίσωση με το 90 που είναι οι μοίρες που αντιστοιχούν στις γωνίες. Οι απέναντι πλευρές σε ένα ορθογώνιο είναι ίσες. y+ 5 y y+ y 5 y y y Άρα οι πλευρές είναι: y y Για να υπολογίσουμε το x θα πάρουμε την εξίσωση: x x + x x x Η πλευρά είναι: x - Για τη γωνία ω ισχύει ότι εφόσον είναι ορθή δηλαδή κάθετη θα ισούται: ω ο ω ω 0 ω 0 ω 5 ο