Απαντήσεις 51 5. Εφαρµογές των παραλληλογράµµων α Εφαρµογές στα τρίγωνα α.1 Στο τρίγωνο AB Γ είναι Ε // (1) Επίσης Ζ, ΕΗ, άρα Ζ // ΕΗ () Από τις (1), () έχουµε ότι το ΕΗΖ είναι παραλληλόγραµµο. α. Στο τρίγωνο AB Γ είναι MN = //. Οµοίως στο τρίγωνο Β Γ είναι EZ = // οπότε EZ = // ΜΝ δηλαδή το MNZE είναι παραλληλόγραµµο. α. Έστω K, Λ, M, N τα µέσα των διαγωνίων και των δύο απέναντι πλευρών. Στο τρίγωνο Οµοίως στο τρίγωνο οπότε είναι MK = // ΛΝ δηλαδή το Λ AB Γ είναι MK = // Λ N = // MKN είναι παραλληλόγραµµο. AB α.4 Στο τρίγωνο AB Γ είναι M // AB (1) και Μ = () M Οµοίως στο τρίγωνο BM είναι ZE // M () και ZE = (4) α) από τις (1), () έχουµε ότι EZ // AB β) από τις (), (4) έχουµε ότι AB = 4ZE α.5 Στο τρίγωνο AB Γ είναι Ε // Στο τρίγωνο ABZ από το µέσο έχουµε παράλληλη την Κ προς τη BZ, οπότε K µέσο της AZ α.6 Έστω Z το µέσο της AB και H το σηµείο τοµής των Ε και B Γ. Στο τρίγωνο AB Γ είναι Z Ε //. Στο τρίγωνο EZ από το µέσο B έχουµε παράλληλη την BH προς τη EZ, οπότε H µέσο της E
5 Απαντήσεις α.7 Είναι AE = // ZΓ άρα το AE ΓΖ είναι παραλληλόγραµµο. Στο τρίγωνο ABH από το µέσο E έχουµε παράλληλη την E Θ προς τη AH, οπότε Θ µέσο της BH ή B Θ = ΘΗ Οµοίως στο τρίγωνο ΘΓ από το µέσο Z έχουµε παράλληλη την HZ προς τη ΘΓ, οπότε H µέσο της Θ ή H = ΘΗ. Άρα H = ΘΗ = BH α.8 Φέρνουµε MZ // BE. Στο τρίγωνο BE Γ από το µέσο M έχουµε παράλληλη την MZ προς τη BE, οπότε Z µέσο της E Γ ή ΓΖ = ΖΕ. Στο τρίγωνο AMZ από το µέσο έχουµε παράλληλη την Ε προς τη MZ, οπότε E µέσο της AZ ή AE = ΖΕ. Άρα ΓΕ = ΑΕ α.9 Το τρίγωνο ABZ είναι ισοσκελές διότι η AE είναι ύψος και διχοτόµος. Άρα το E θα είναι µέσο της BZ. α) Στο BZ Γ είναι EM // ΓZ (ενώνει τα µέσα) άρα και EM // β) Είναι EM = ΓΖ = ΑΖ = ΑΓ ΑΒ διότι AB = AZ γ) Αφού EM // θα είναι A EM = A Γ = ως εντός εκτός κι επί τα αυτά. α.10 Φέρνουµε τη διαγώνιο Β. Στο τρίγωνο ΓΒ έχουµε ΖΕ // Β, άρα και ZH // Ο. Στο τρίγωνο OΓ από το µέσο Z έχουµε παράλληλη την ZH προς τη Ο, οπότε H µέσο της O Γ. ηλαδή ΓΟ ΓΗ = = 4 1 1 1 1 α.11 Είναι Ζ = Γ = AB = AE = AE Επίσης είναι και Ζ // ΑΕ οπότε στο τρίγωνο ΜΑΕ το τµήµα EZ θα ενώνει τα µέσα των πλευρών. (Βλέπε και µεθοδολογία του αντίστοιχου µαθήµατος) α.1 Προεκτείνουµε την B η οποία τέµνει την A Γ στο σηµείο E. Το τρίγωνο ABE είναι ισοσκελές διότι η A είναι ύψος και διχοτόµος. Άρα το θα είναι µέσο της BE. α) Στο ΒΕΓ αφού, M µέσα των πλευρών οπότε Μ // ΕΓ άρα και Μ // ΑΓ β) Είναι M = ΓE = + ΑE = ΑΓ + ΑΒ διότι AB = AE γ) Στο τρίγωνο ABE από το µέσο έχουµε παράλληλη την Z προς την AE, οπότε Z µέσο της AB. Εποµένως η Μ διχοτοµεί την AB.
Απαντήσεις 5 β Βαρύκεντρο και ορθόκεντρο τριγώνου β.1 α) Είναι BE = // Γ άρα το BE Γ θα είναι παραλληλόγραµµο, άρα B Γ, Ε διχοτοµούνται οπότε το Z θα είναι µέσο της. β) Στο τρίγωνο Β Γ είναι Ζ, ΓΟ διάµεσοι, οπότε το σηµείο H θα είναι το βαρύκεντρο του τριγώνου, άρα ΓΗ = ΟΗ 1 4 γ) Είναι AH = AO + OH = ΓΟ + ΟΗ = ΓΗ + ΓH = ΓΗ = ΓΗ β. Στο τρίγωνο ΒΕΓ είναι BA, EK ύψη οπότε το σηµείο Ρ θα είναι το ορθόκεντρο του τριγώνου. Εποµένως και το ύψος από την κορυφή Γ θα διέρχεται από το Ρ δηλαδή ΓΡ ΒΕ β. Έστω Κ, Ρ τα σηµεία τοµής των AM και AN αντίστοιχα µε την διαγώνιο Β. Στο τρίγωνο A Γ είναι O, AM διάµεσοι, οπότε το σηµείο K θα είναι το βαρύκεντρο του τριγώνου. Οµοίως και στο τρίγωνο Α το Ρ θα είναι βαρύκεντρο. Από τις ιδιότητες του βαρύκεντρου έχουµε: O BO Κ = και ΒΡ =, όµως Ο = ΒΟ, άρα Κ = ΒΡ. Κ BΡ Κ BΡ Κ Τέλος KO = και PO = οπότε K Ρ = KO + OP = + = = Κ ηλαδή Κ = ΚΡ = ΡΒ β.4 Έστω, E, Ζ τα µέσα των πλευρών AB, A Γ και αντίστοιχα. Φέρνουµε τις διαµέσους AZ, BE και Γ οι οποίες τέµνονται στο βαρύκεντρο Θ. Η διάµεσος AZ τέµνει την πλευρά Ε του τριγώνου ΕΖ στο σηµείο K. Το AEZ είναι παραλληλόγραµµο γιατί AE // Ζ και Α // ΕΖ οπότε οι διαγώνιοί του θα διχοτοµούνται. Εποµένως το K θα είναι το µέσο της Ε, δηλαδή η ZK θα είναι διάµεσος στο τρίγωνο ΕΖ. Οµοίως δείχνουµε ότι ΕΛ, Μ είναι διάµεσοι στο ΕΖ άρα το Θ θα είναι το βαρύκεντρο του τριγώνου.
54 Απαντήσεις β.5 Έστω Β = µ β, ΓΕ = µ γ και Θ βαρύκεντρο. Είναι ΒΘ = µ β και ΓΘ = µ γ άρα ΒΘ = ΓΘ Επίσης 1 Θ = µ β και Θ µ γ E = άρα Θ = EΘ Τέλος είναι B ΘE = Γ Θ ως κατακορυφήν, οπότε τα τρίγωνα ΒΘΕ και ΓΘ είναι ίσα (Π-Γ-Π). Άρα BE = Γ εποµένως και AB = β.6 α) Είναι Θ βαρύκεντρο στο τρίγωνο Α και Λ βαρύκεντρο στο τρίγωνο ΒΘΓ. 1 Εποµένως ΘΛ = Θ και Θ = A, άρα ΘΛ = A 9 BΘ β) Στο τρίγωνο ΒΘΓ είναι K = // (µέσα των πλευρών) BΘ Επίσης ΘΕ = (βαρύκεντρο) οπότε K = // ΕΘ, ΘΕΚ παραλληλόγραµµο. β.7 Φέρνουµε τη διάµεσο ΓΕ και τη ΖΗ ΓΚ Το K είναι βαρύκεντρο του Α άρα KE = ΓΚ Επίσης στο τρίγωνο Κ Γ είναι ΖΗ = // (µέσα των πλευρών) Οπότε ΚΕ = // ΖΗ δηλαδή ΚΕΗΖ παραλληλόγραµµο, άρα ΕΗ // ΚΖ β.8 Φέρνουµε τη BM η οποία ενώνει τα µέσα των πλευρών του τριγώνου ΕΓ οπότε ΒΜ // ΕΓ Έστω ΑΑ' ΕΓ. Τότε ΑΑ' ΒΜ, δηλαδή η AA ' είναι φορέας ύψους του τριγώνου ΑΒΜ. Επίσης φορείς υψών του ίδιου τριγώνου είναι οι MM' AB και Β ΑΓ. Άρα θα διέρχονται από το ίδιο σηµείο (ορθόκεντρο) του τριγώνου ΑΒΜ δηλαδή συντρέχουν.
Απαντήσεις 55 γ Ιδιότητες ορθογωνίου τριγώνου ΑΒ γ.1 Είναι Ε = = cm (ενώνει τα µέσα των πλευρών) Επίσης είναι Ε // ΑΒ, όµως AB οπότε και E. ΓE Άρα στο ορθογώνιο τρίγωνο ΕΓ θα είναι Μ =. Όµως ΓΕ = ΒΕ = 5 cm, άρα Μ =,5 cm γ. Έστω M το µέσο της B Γ. Στο ορθογώνιο τρίγωνο B Γ είναι Μ = ως διάµεσος που αντιστοιχεί στην υποτείνουσα. Οµοίως στο τρίγωνο BE Γ είναι ΕΜ =, άρα Μ = ΕΜ γ. Είναι Αφού είναι ΕΖ = (ενώνει τα µέσα των πλευρών) Β = 0 Οπότε EZ = θα είναι ΑΓ =. ΑΒ γ.4 α) Είναι M Λ = // οπότε ΜΛ = // ΑΚ, άρα το AK ΛΜ είναι ορθογώνιο παραλληλόγραµµο, αφού είναι παραλληλόγραµµο µε µία ορθή γωνία. β) Είναι KM = (ενώνει τα µέσα των πλευρών) και ΑΛ = (διάµεσος στην υποτείνουσα) εποµένως KM + ΑΛ = γ.5 Είναι Ε = // Ε = // ΑΓ ZE = // εποµένως το A ΓΕΖ είναι παραλληλόγραµµο. Επίσης αφού Β = 0 θα είναι ΑΓ = = ΓΕ άρα το παραλληλόγραµµο A ΓΕΖ αφού έχει δύο διαδοχικές πλευρές ίσες θα είναι ρόµβος.
56 Απαντήσεις γ.6 Στο τρίγωνο AEB η Ε είναι ύψος και διάµεσος άρα το τρίγωνο θα είναι ισοσκελές µε ΑΕ = ΕΒ Όµως EB =, άρα AE = οπότε η γωνία A θα είναι ορθή. γ.7 Αφού είναι Β = Γ και B διχοτόµος, άρα = Γ (1) Επίσης αφού B // ΜΕ θα είναι = MEΓ () Από (1), () έχουµε ότι Γ = MEΓ δηλαδή ME = MΓ. Όµως M Γ =. Άρα στο τρίγωνο ΑΕΓ είναι ΜΕ = οπότε A EΓ = γ.8 Αφού A // θα είναι B K A = B AK = 0 άρα το τρίγωνο ΑΒΚ θα είναι ισοσκελές και αφού η ΒΛ είναι διάµεσος, θα είναι διχοτόµος και ύψος. Επίσης στο ορθογώνιο τρίγωνο AB Λ AB Γ αφού A = 0 θα είναι ΒΛ = = ΑΒ γ.9 α) Είναι Ε = διάµεσος του ορθογωνίου τριγώνου Α Β και Ζ = διάµεσος του ορθογωνίου τριγώνου Α Γ οπότε τα τρίγωνα ΑΖΕ και ΖΕ είναι ίσα ( Ε = ΑΕ, Ζ = ΑΖ και ΕΖ κοινή) άρα E Z A = 90 EZ β) Είναι M = διάµεσος του ορθογωνίου τριγώνου EZ, αλλά ΕΖ = γιατί ενώνει τα µέσα των πλευρών, άρα M = 4 = γ.10 Είναι E ZΓ = E Z + E Z ( ZΓ εξωτερική του τριγώνου) Άρα E Z Γ E Z = E Z (1) Ακόµη ZE // AB οπότε E Z Γ = B Επίσης αφού είναι Ε διάµεσος στο ορθογώνιο Α Γ E το τρίγωνο ΕΓ θα είναι ισοσκελές, οπότε E Z = Γ αρά από την (1) E Z = B Γ 90
Απαντήσεις 57 γ.11 Είναι M A = M AB A B (1) Επίσης ΑΜ = = MB αφού είναι διάµεσος στο ορθογώνιο τρίγωνο δηλαδή το τρίγωνο ΜΑΒ είναι ισοσκελές, άρα M A B = B () Τέλος Γ = A B () ως οξείες γωνίες µε κάθετες πλευρές. Άρα η (1) µε τις (), () γίνεται M A = B Γ γ.1 Στο ορθογώνιο τρίγωνο ΑΗΒ η HE είναι διάµεσος στην AB υποτείνουσα οπότε HE = = EB, άρα H1 = B. Οµοίως στο ορθογώνιο τρίγωνο Θ είναι Θ = B1 και επειδή Θ = Θ1, έχουµε Θ 1 = B1. Έτσι είναι H 1+ Θ1 = B + B1 = 90 Άρα στο τρίγωνο ΘΣΗ θα είναι και Σ = 90, δηλαδή ΘΖ ΕΗ γ.1 Τα τρίγωνα ΒΖΜ και ΑΜ είναι ίσα ( AM = BΜ, και A M = BM Z ) άρα ΒΖ = Α. Επίσης B M A = 10 άρα B M Z = 60, οπότε = M B Z = 0 Ακόµη το τρίγωνο MZ είναι ισοσκελές µε M = ΜΖ και άρα M Z = 0 Z = (1) Ζ M = 90. 10 (). Από (1), () έχουµε M Z = MB Z άρα ΒΖ = Ζ γ.14 Είναι Επίσης Άρα θα είναι A K = Γ+ Γ A A K + B+ B A = A K + B+ A K Γ = A K = 0 180 180 A A K = Γ+ A A K + B+ =, οπότε αφού A = A K Γ 180 B Γ = 10, άρα στο ορθογώνιο τρίγωνο ΚΑ είναι Α = ΑΚ
58 Απαντήσεις γ.15 Φέρνουµε την ΟΓ ΚΒ, τότε στο ορθογώνιο ΑΟ είναι = ΟΑ = ρ και εποµένως K Γ = ΚΒ = ρ ρ = ρ Στο ορθογώνιο τρίγωνο OK Γ είναι ΚΓ = ρ και OK = 4ρ δηλαδή OK ΚΓ =. Άρα Γ O K = B 0 και B K O = 60 Όµως οι γωνίες A O K και K O είναι παραπληρωµατικές, ως εντός κι επί τα αυτά παραλλήλων, άρα A OK = 10 γ.16 Εφόσον MN // KB αρκεί να αποδείξουµε ότι ΑΛ ΚΒ και έστω O το σηµείο τοµής των ΑΛ και KB. Από την ισότητα των τριγώνων AKB και A Λ προκύπτει ότι A Λ = AKB οπότε στο τρίγωνο AKO έχουµε K A O + A K O = K A O + A Λ = 180 = 90 και εποµένως A OK = 90, δηλαδή ΑΛ ΚΒ γ.17 Αν είναι M το µέσο της EZ θα δείξουµε ότι το M ισαπέχει από τα Β, οπότε θα ανήκει στη µεσοκάθετο της Β που είναι η ΑΓ. Πράγµατι το τρίγωνο ΒΖΕ είναι ορθογώνιο στη B και η BM είναι διάµεσος προς την υποτείνουσα, EZ άρα BM = (1). Το τρίγωνο ΕΖ είναι ορθογώνιο ( E Z = 90 ) και η Μ διάµεσος προς την υποτείνουσα EZ, άρα θα EZ είναι και Μ = (). Από τις (1) και () ισχύει ΜΒ = Μ Εργασία 1 Λ Σ Σ 4 Σ 5 Σ 6 Β 7 Α 8 Β 9 10 1 γ, β, δ 11 Στο ισόπλευρο τρίγωνο.
Απαντήσεις 59 1 Είναι ΜΑ = = ΜΒ = ΜΓ οπότε ο κύκλος ( Μ, ΜΒ) διέρχεται από τα Α και Γ 1 Έστω M µέσο της AB, τότε στο τρίγωνο ΑΒ το E είναι µέσο της Α οπότε είναι Ζ, M µέσα των B Γ Β ΜΕ = //. Στο τρίγωνο Α ΑΓ, ΒΑ, άρα ZM = // < ME + MZ = + Β Β Στο τρίγωνο MEZ όµως ισχύει EZ < + = 14 Όταν είναι Οµοίως όταν E Γ και Α τότε το M είναι µέσο της ΑΓ E A και B τότε το M είναι µέσο της Α B Φέρνουµε την EZ // AB, τότε είναι Z1 = B = Γ, άρα το τρίγωνο EZ Γ είναι ισοσκελές, οπότε το A ΖΕ είναι παραλληλόγραµµο γιατί ΕΖ = // Α. Εποµένως το µέσο M της Ε θα είναι και µέσο της AZ. Ο γεωµετρικός τόπος του µέσου M της AZ όταν το Z κινείται στη B Γ είναι η σταθερή ευθεία K Λ Αντίστροφα, αν M τυχαίο σηµείο της ΛΚ, η AM τέµνει τη στο Z. Οι παράλληλες ZE και Z προς τις AB και A Γ αντίστοιχα, σχηµατίζουν παραλληλόγραµµο Α ΖΕ, δηλαδή Α = ΖΕ = ΕΓ. Επειδή AZ, Ε διαγώνιοί του, θα διχοτοµούνται, άρα η Ε διέρχεται από το µέσο Μ της AZ 15 α) Το A Ε Ζ είναι ορθογώνιο (έχει ορθές γωνίες) άρα θα έχει ίσες διαγωνίους. β) Έστω K η τοµή των AM, EZ Z 1+ A 1 = 90 Στο τρίγωνο KZA, αρκεί να αποδείξουµε ότι Είναι AM = = MΓ οπότε το ΜΑΓ ισοσκελές άρα A1 = Γ (1) Ακόµη τα τρίγωνα ZAE και ΑΕ είναι ίσα, άρα Z1 = 1. Αλλά B = 1 ως οξείες µε κάθετες πλευρές άρα Z1 = B (). Προσθέτουµε (1)+() A 1+ Z1 = Γ+ B = 90 γ) Έστω Λ η τοµή των ΑΜ, Ζ. Αρκεί να αποδείξουµε ότι ΒΛ // ΕΖ ή αρκεί ότι το ΒΛΖΕ είναι παραλληλόγραµµο. Επειδή όµως Z Λ // ΕΒ, αρκεί να αποδείξουµε ότι ΖΛ = ΕΒ, το οποίο ισχύει διότι τα τρίγωνα ΑΖΛ και ΕΒ είναι ίσα. B