Διεύθυνση επικοινωνίας: Μαντζουκίδης Κωνσταντίνος Πτυιούος Τμήματος Χημείας Α.Π.Θ. Τ.Θ. 1373, Τ.Κ. 57500, Τρίλοφος Θεσσαλονίκης Τηλ: 390 6489 6974 995091 e-mail : costasmantz@gmail.com Το μεγαλύτερο και πιο σημαντικό μέρος της συγγραφής που ακολουθεί, έει κατατεθεί στη συμβολαιογράφο Ε. Φίτζιου με αριθμό Πράξης Κατάθεσης Εγγράφου 10.087/1-4-010 ISBN 978-960-93-3636-9 Κωνσταντίνος Μαντζουκίδης, Ιανουάριος 01, Θεσσαλονίκη Eκτύπωση Βιβλιοδεσία www.ziti.gr Π. ZHTH & Σια OE 18 ο λμ Θεσσαλονίκης - Περαίας T.Θ. 4171 Περαία Θεσσαλονίκης T.K. 570 19 Tηλ.: 39.07. - Fax: 39.07.9 e-mail: info@ziti.gr BIBΛIOΠΩΛEIO ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ: Aρμενοπούλου 7-546 35 Θεσσαλονίκη Tηλ.: 310-03.70 Fax 310-11.305 e-mail: sales@ziti.gr BIBΛIOΠΩΛEIO AΘHNΩN - ENΩΣH EKΔOTΩN BIBΛIOY ΘEΣΣAΛONIKHΣ: Στοά του Bιβλίου (Πεσμαζόγλου 5) - 105 64 AΘHNA Tηλ.-Fax: 10-311.097 AΠOΘHKH AΘHNΩN - ΠΩΛHΣH XONΔPIKH: Aσκληπιού 60 - Eξάρεια 114 71, Aθήνα Tηλ.-Fax: 10-3816.650 e-mail: athina@ziti.gr ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΟ ΒΙΒΛΙΟΠΩΛΕΙΟ: www.ziti.gr
Πρόλογος Σκοπός της εργασίας αυτής είναι η ανάδειξη ενός πρωτότυπου γεωμετρικού μηανισμού ο οποίος μου έδωσε πολλές απαντήσεις σε παλαιότερα ερωτήματα αλλά και ταυτόρονα μου δημιούργησε αρκετά νέα καθώς και αρκετές προσδοκίες. Η προσέγγιση του μηανισμού αυτού προσπάθησα να είναι όσο γίνεται πιο μαθηματικά τεκμηριωμένη. Τα αποτελέσματα αυτής, σε κάποια σημεία με οδήγησαν σε συμπεράσματα πέραν των μαθηματικών, για τα οποία γίνεται απλώς νύξη. Ιδιαίτερη αίσθηση μου προκάλεσε η μαθηματική φιλοσοφία που πηγάζει μέσα από τον μηανισμό. Το ότι δηλαδή όλα ξεκινούν από τους λόγους και τα σήματα. Από αυτούς προκύπτουν οι πιο γνωστές γεωμετρικές σέσεις και κατόπιν, η ανάγκη μέτρησης αυτών, μας οδήγησε στον ορισμό μονάδας, αριθμών και αριθμητικών πράξεων. Η κλιμακούμενη ανάπτυξη του μηανισμού κρατάει αμείωτο το ενδιαφέρον μέρι τέλους και οι μαθηματικά τεκμηριωμένες αποδείξεις πιστεύω ότι άρουν την όποια δογματική αποδοή ή απόρριψη αυτών. Τέλος, υπογραμμίζοντας την απλότητα του μηανισμού αυτού καθώς και την αβίαστη ακολουθία αποτελεσμάτων και συμπερασμάτων, σας αναφέρω ότι οι γνώσεις που απαιτούνται για την κατανόησή του είναι απλά γυμνασιακές, πράγμα που τον κάνει εύκολα προσβάσιμο σε πολλούς. 3
4
Περιεόμενα Κεφάλαιο 1 ΜΗΧΑΝΙΣΜΟΣ ΚΑΙ ΓΙΝΟΜΕΝΟ ΕΥΘΥΓΡΑΜΜΩΝ ΤΜΗΜΑΤΩΝ Εύρεση τετραγώνου και τετραγωνικής ρίζας οποιουδήποτε πραγματικού θετικού αριθμού (ευθύγραμμου τμήματος)... 7 Κατασκευαστική επαλήθευση Πυθαγορείου Θεωρήματος... 11 Εύρεση γινομένου και πηλίκου δύο ευθυγράμμων τμημάτων... 13 Γεωμετρική απόδειξη ιδιοτήτων του πολλαπλασιασμού... 17 Γεωμετρικός υπολογιστής (τριγωνοκομπιουτεράκι)... 4 Απόδειξη Πυθαγορείου Θεωρήματος... 9 Κεφάλαιο ΜΗΧΑΝΙΣΜΟΣ ΚΑΙ ΕΛΛΕΙΨΗ Γινόμενο δυο ευθυγράμμων τμημάτων και έλλειψη... 31 Σέση έλλειψης και ορθογωνίου τριγώνου Επέκταση του πυθαγορείου θεωρήματος στην έλλειψη... 35 Κεφάλαιο 3 ΜΗΧΑΝΙΣΜΟΣ ΚΑΙ ΝΙΟΣΤΗ ΔΥΝΑΜΗ Εύρεση τρίτης δύναμης ευθυγράμμου τμήματος... 37 Εύρεση νιοστής δύναμης ευθυγράμμου τμήματος (α τρόπος)... 40 Εύρεση νιοστής δύναμης ευθυγράμμου τμήματος (β τρόπος)... 4 Γεωμετρική εύρεση αθροίσματος ν πρώτων όρων της συνάρτησης ψ = ν... 47 Γραφική παράσταση της συνάρτησης ψ = ν... 49 Άθροισμα συνεόμενων όρων της συνάρτησης ψ = ν... 51 Εύρεση νιοστής δύναμης ευθυγράμμου τμήματος κλιμακωτά (γ τρόπος)... 57 5
Κεφάλαιο 4 ΜΗΧΑΝΙΣΜΟΣ ΚΑΙ ΔΕΥΤΕΡΟΒΑΘΜΙΑ ΕΞΙΣΩΣΗ Γεωμετρική επίλυση της δευτεροβάθμιας εξίσωσης... 61 Σέση δευτεροβάθμιας εξίσωσης και έλλειψης... 64 Σέση δευτεροβάθμιας εξίσωσης και απόστασης των ριζών... 68 Καμπύλη δυνατότητας λύσεων δευτεροβάθμιας εξίσωσης... 69 Αντιστοιία δευτεροβάθμιας εξίσωσης και ορθογωνίου τριγώνου... 7 Κεφάλαιο 5 ΜΗΧΑΝΙΣΜΟΣ ΚΑΙ ΑΡΙΘΜΟΣ Φ Εισαγωγή... 79 Γενικά για τον αριθμό Φ... 80 Σέση γεωμετρικής προόδου Φ και ακολουθίας Fibonacci...83 Γραφική παράσταση της γεωμετρικής προόδου του Φ με τη κλιμακωτή μέθοδο... 86 Απόδειξη της σέσης φ = 1+φ... 87 Εφαρμογή του μηανισμού για τρεις συνεόμενους όρους της γεωμετρικής προόδου με λόγο Φ (ρυσή έλλειψη)... 88 Εύρεση ρυσής τομής... 97 Εφαρμογή του μηανισμού στους όρους 1 φ φ. Προσεγγιστική εύρεση του αριθμού π από τον αριθμό φ... 99 Εύρεση περιμέτρου κύκλου (προσεγγιστικά)... 104 Τετραγωνισμός του κύκλου (προσεγγιστικά)... 111 Μετατροπή σφαίρας σε ορθογώνιο παραλληλεπίπεδο (προσεγγιστικά)... 10 Κυβισμός σφαίρας (προσεγγιστικά)... 11 Εύρεση περιμέτρου κύκλου με τη ρήση του κύκλου... 131 Σέση μηανισμού και μαιάνδρου... 134 6
Κεφάλαιο 1 ΜΗΧΑΝΙΣΜΟΣ ΚΑΙ ΓΙΝΟΜΕΝΟ ΕΥΘΥΓΡΑΜΜΩΝ ΤΜΗΜΑΤΩΝ Για την καλύτερη κατανόηση του μηανισμού είναι απαραίτητο να ξεκινήσουμε με μία γνωστή και συγκεκριμένη μέθοδο εύρεσης του τετραγώνου οποιουδήποτε ευθύγραμμου τμήματος γιατί αυτή αποτελεί τη βάση του μηανισμού, η οποία θα αναπτυθεί παρακάτω. Πιστεύω ότι είναι κατανοητό πως για να οριστεί γραμμικά (μονοδιάστατα) οποιαδήποτε μη μονοδιάστατο μέγεθος (δυνάμεις, ρίζες, σήματα στο επίπεδο ή στο ώρο κ.λ.π.), πρέπει πρώτα να οριστεί η μονάδα μέτρησης, για αυτόν τον λόγο και ενώ τα γενεσιουργά μονοδιάστατα μεγέθη παραμένουν σταθερά ως προς το μέγεθος, οι γραμμικές απεικονίσεις των μη μονοδιάστατων μεγεθών παίρνουν μεγέθη και τιμές εξαρτώμενες του μεγέθους της μονάδας μέτρησης που αυθαίρετα εμείς κάθε φορά ορίζουμε. ΕΥΡΕΣΗ ΤΕΤΡΑΓΩΝΟΥ & ΤΕΤΡΑΓΩΝΙΚΗΣ ΡΙΖΑΣ ΟΠΟΙΟΥΔΗΠΟΤΕ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΥ ΘΕΤΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ (ΕΥΘΥΓΡΑΜΜΟΥ ΤΜΗΜΑΤΟΣ) Έστω ευθύγραμμο τμήμα ΒΓ =. Από το σημείο Β φέρνουμε ευθεία ε κάθετη στη ΒΓ και παίρνουμε τμήμα ΑΒ = 1.Φέρνουμε το ευθύγραμμο τμήμα ΑΓ και από το Γ ευθεία κάθετη στο ΑΓ η οποία τέμνει την ευθεία ε στο σημείο Δ. Το ευθύγραμμο τμήμα ΒΔ ισούται με το τετράγωνο του ευθυγράμμου τμήματος ΒΓ. ΒΔ = ΒΓ. 7
ΑΠΟΔΕΙΞΗ: ε ΣΧΕΔΙΟ 1 Α 1 Β Γ Δ Στο Γ Δ ορθογώνιο τρίγωνο είναι γνωστό από την ομοιότητα των τριγώνων που σηματίζονται φέρνοντας το ύψος ΒΓ προς την υποτείνουσα ότι ισύει: ΑΒ ΒΔ Α Δ = ΒΓ 1 ΒΔ = ΒΓ ΒΔ = ΒΓ Επίσης ισύει: ΑΒ ΑΓ = ΑΓ ΑΔ ΑΓ ΑΒ Δ Γ ~ Γ Δ Α Δ άρα: = ΑΒ ΑΔ ΑΓ = 1 ( + 1) ΑΓ = + 1 ΑΓ = +1 Επίσης ΓΔ = ΑΒ Δ Γ ~ Γ Β Δ ΑΒ ΓΒ Δ άρα = 1 ΓΔ = ΑΓ ΒΓ ΑΓ ΓΔ ( +1) 8
ΣΧΟΛΙΑ: - Όλα τα ευθύγραμμα τμήματα βρέθηκαν με αναλογίες όμοιων τριγώνων, κάτι που θα μας ρειαστεί παρακάτω. - Είναι απαραίτητη η ρήση μοναδιαίου ευθύγραμμου τμήματος, (μονάδας μέτρησης) έτσι ώστε να έει και νόημα η έννοια της μέτρησης του τετραγώνου ενός ευθυγράμμου τμήματος. - Ο άξονας στον οποίο παριστάνονται τα τετράγωνα ευθυγράμμων τμημάτων μας δίνει μονοδιάστατα το εμβαδόν των γεωμετρικών δυσδιάστατων τετραγώνων. Γ 1 Γ ΣΧΕΔΙΟ Α Β Γ Δ Έτσι το εμβαδόν του τετραγώνου ΒΓΓ 1Γ αριθμητικά ισούται με το μήκος του ευθυγράμμου τμήματος. ΒΔ εφόσον θεωρήσουμε το ΑΒ ευθύγραμμο τμήμα ίσο με τη μονάδα. 9
ΕΥΡΕΣΗ ΤΟΥ ΤΕΤΡΑΓΩΝΟΥ & ΤΗΣ ΤΕΤΡΑΓΩΝΙΚΗΣ ΡΙΖΑΣ ΕΝΟΣ ΑΡΙΘΜΟΥ ΣΕ ΟΡΘΟΚΑΝΟΝΙΚΟ ΣΥΣΤΗΜΑ ΑΞΟΝΩΝ Σ ένα ορθοκανονικό σύστημα αξόνων,θέτουμε την ορθή κορυφή ενός γνώμονα πάνω στον άξονα στην τιμή του αριθμού α του οποίου την τιμή του τετραγώνου του, θέλουμε να βρούμε. Τον προσαρμόζουμε έτσι ώστε η μία κάθετη πλευρά του να περνά από την τιμή 1 του άξονα ψψ. Τότε, η άλλη κάθετη πλευρά του τέμνει τον άξονα ψψ σε σημείο που η απόλυτη τιμή του είναι ίση με τον αριθμό α υψωμένο στο τετράγωνο ( α ). Ομοίως,για να υπολογίσουμε την τετραγωνική ρίζα ενός αριθμού α, στον άξονα ψψ τοποθετούμε την μία κάθετη πλευρά του γνώμονα ώστε να περνάει από τον αριθμό αυτόν και περιστρέφουμε τον γνώμονα έτσι ώστε η άλλη κάθετη πλευρά του να περνάει από το σημείο ( 0,1) και η κορυφή της ορθής του γωνίας να βρίσκεται στον άξονα. Το σημείο αυτό στον άξονα είναι η τιμή της τετραγωνικής ρίζας του αριθμού α. Α(0,1) ΣΧΕΔΙΟ 3 Γ (- α,0) 1 Β α Γ( α,0) α Δ(0,α ) Στο ίδιο αποτέλεσμα οδηγούμαστε και εάν κατασκευάσουμε κύκλο με διάμετρο το ευθύγραμμο τμήμα ΑΔ = ΑΒ + ΒΔ = 1 + α. Τα σημεία Γ, Γ που ο κύκλος τέμνει τον άξονα είναι οι δύο ρίζες α και α Η μέθοδος αυτή μπορεί να ρησιμοποιηθεί για να μας επαληθεύσει κατασκευαστικά την ορθότητα του Πυθαγορείου Θεωρήματος. 10
ΚΑΤΑΣΚΕΥΑΣΤΙΚΗ ΕΠΑΛΗΘΕΥΣΗ ΠΥΘΑΓΟΡΕΙΟΥ ΘΕΩΡΗΜΑΤΟΣ Έστω τυαίο ορθογώνιο τρίγωνο ΒΓ στο οποίο θέλουμε να επαληθεύσουμε το Πυθαγόρειο Θεώρημα. Α Δ ΣΧΕΔΙΟ 4 Ι Κ γ Λ β Ξ Α Ι γ β Μ α Ν Β α Γ Ο ψ 11
Σε ευθεία παίρνουμε ευθύγραμμο τμήμα ΚΛ = ΑΒ. Από το σημείο Κ φέρνουμε ευθεία ψ κάθετη στην ευθεία και ορίζουμε τυαίο ευθύγραμμο τμήμα ΙΚ. Φέρνουμε το ΙΛ και από το σημείο Λ ευθεία κάθετη στην ΙΛ που τέμνει την ψ στο σημείο Μ. Οπότε στο Ι Λ Δ Μ ορθογώνιο τρίγωνο ισύει ΚΛ ΙΚ ΚΜ = ΚΛ ΚΜ = (1). ΙΚ Από το σημείο Μ φέρνουμε ευθεία κάθετη στην ψ και παίρνουμε ευθύγραμμο τμήμα ΜΝ = ΒΓ. Επίσης στην ευθεία ψ παίρνουμε ευθύγραμμο τμήμα Ι Μ = ΙΚ. Όπως και πριν, φέρνουμε την Ι Ν και την κάθετη σε αυτήν που τέμνει την ευθεία ψ στο σημείο Ο. Στο Ι Ν Ο ορθογώνιο τρίγωνο ισύει: ΜΝ ΜΝ Ι Μ ΜΟ = ΜΝ ΜΟ = ΜΟ = (). Ι Μ ΙΚ Δ Τέλος στην ευθεία ορίζουμε ευθύγραμμο τμήμα ΚΞ = ΑΓ, φέρνουμε το τμήμα ΙΞ και την κάθετη σε αυτό η οποία επίσης τέμνει την ευθεία ψ στο σημείο Ο. Για το ορθογώνιο τρίγωνο Ι Δ Ξ Ο ισύει ΚΞ ΙΚ ΚΟ = ΚΞ ΚΟ = (3). ΙΚ Έουμε ΚΟ = ΚΜ + ΜΟ και με αντικατάσταση από τις σέσεις (1),() και (3) έουμε ΚΞ ΚΛ ΜΝ = + ΚΞ = ΚΛ + ΜΝ ΑΓ = ΑΒ + ΒΓ ΙΚ ΙΚ ΙΚ δηλαδή η ισύς του Πυθαγόρειου Θεωρήματος σε τυαίο ορθογώνιο τρίγωνο Α Δ Β Γ. 1
ΕΥΡΕΣΗ ΓΙΝΟΜΕΝΟΥ ΚΑΙ ΠΗΛΙΚΟΥ ΔΥΟ ΕΥΘΥΓΡΑΜΜΩΝ ΤΜΗΜΑΤΩΝ Η ανάπτυξη του συγκεκριμένου μηανισμού στην ουσία ξεκινά από την δυνατότητα υπολογισμού γινομένου και πηλίκου δύο συνεόμενων ευθυγράμμων τμημάτων που βρίσκονται στην ίδια ευθεία. Όπως και στην προηγούμενη κατασκευή έτσι και εδώ,από τη στιγμή που θα προκύψει γινόμενο δηλαδή αλλαγή διάστασης από μία σε δύο, πρέπει να οριστεί μονάδα μέτρησης. Έστω δύο συνεόμενα στην ίδια ευθεία ευθύγραμμα τμήματα ΒΓ = και ΓΕ = ψ. ΣΧΕΔΙΟ 5 Ζ ε ψ A 1 B Γ ψ Ε ψ Η Δ ε Από το σημείο Β φέρνουμε κάθετη ευθεία ε στην ΒΕ και ορίζουμε ευθύγραμμο τμήμα ΑΒ = 1. 13
Από το σημείο Ε φέρνουμε ευθεία ε κάθετη στην ΒΕ. Από το σημείο Α φέρνουμε ευθεία η οποία διέρεται από το Γ και τέμνει την ε στο σημείο Η. Από το Γ φέρνουμε ευθεία κάθετη στην ΑΗ η οποία τέμνει την ε στο σημείο Δ και την ε στο σημείο Ζ. Αποδεικνύεται πώς ΑΠΟΔΕΙΞΗ: ΓΕ ΒΓ ΓΕ = ΕΖ και = ΕΗ ΒΓ Α Δ Β Γ~Γ Δ Ε Ζ γιατί i) Α Β Γ=Γ Ε Ζ=90 και ii) Β Α Γ=Ε Γ Ζ επειδή πλευρές γωνιών κάθετες και ΑΒ ΓΕ γωνίες οξείες. Άρα = ΒΓ ΓΕ = ΑΒ ΕΖ και ΒΓ ΕΖ επειδή από κατασκευής ΑΒ = 1 ισύει ΒΓ ΓΕ = ΕΖ (1) ή ψ = ΕΖ Επίσης Α Δ Β Γ~Η Δ Ε Γ γιατί : i)α Β Γ=Γ Ε Η=90 Άρα ή ΑΒ ΒΓ ΣΧΟΛΙΟ: ΕΗ = ΓΕ και ii)α Γ Β=Η Γ Ε κατακορυφήν γωνίες. ΓΕ ΕΗ = και επειδή από κατασκευής ΑΒ = 1 ισύει: ΒΓ ΑΒ ΓΕ = ΕΗ () ΒΓ ψ Από τη σέση (1) προκύπτει ότι = ΕΗ ΕΖ ΒΓ = ή ΓΕ ΕΖ =, αλλά στο Γ Ε Δ Ζ ψ ισύει εφε Γ Ζ= ψ ΕΖ δηλαδή το ευθύγραμμο τμήμα ΒΓ = δίνει αριθμητικά την εφαπτομένη της γωνίας Ε Γ Ζ. εφ Ε Γ Ζ=εφ Β Α Γ= 14
ΕΥΡΕΣΗ ΜΗΚΟΥΣ ΤΩΝ ΥΠΟΛΟΙΠΩΝ ΕΥΘΥΓΡΑΜΜΩΝ. ΤΜΗΜΑΤΩΝ ΤΟΥ ΜΗΧΑΝΙΣΜΟΥ Στο κεφάλαιο 1 είαμε βρει και αποδείξει ότι - ΒΔ = ΑΓ = +1 ΓΔ = +1 Υπολογισμός του ΖΗ ευθύγραμμου τμήματος ΖΗ = ΖΕ + ΕΗ ψ ΖΗ = ψ + ΖΗ = ψ 1 + ( + ) ψ 1 ΖΗ = ψ ΖΗ = ( +1) ΖΗ = ΕΗ ΑΔ Υπολογισμός του ΓΖ ευθύγραμμου τμήματος Επειδή Γ Β Δ Δ~Γ Ε Δ ΓΖ ΓΕ Ζ ισύει : = ΓΔ ΒΓ ΓΕ ΓΖ = ΓΔ ΒΓ ψ ΓΖ = + 1 ΓΖ = ψ ΓΖ = ΓΕ ΑΓ +1 15
Υπολογισμός του ΓΗ ευθύγραμμου τμήματος Επειδή Γ Β Δ Α~Γ Ε Δ Η ισύει: ΓΗ ΓΕ = ΑΓ ΒΓ ΓΕ ΓΗ = ΑΓ ΒΓ ψ ΓΗ = + 1 ΓΗ = ΑΓ ΕΗ Υπολογισμός του ΔΖ ευθύγραμμου τμήματος ΔΖ = ΔΓ + ΓΖ ΔΖ = + 1 + ψ + 1 ΔΖ = ( + ψ ) + 1 ΔΖ = ΒΕ ΑΓ ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ: - Με τον μηανισμό αυτό έουμε τη δυνατότητα να παραστήσουμε γραμμικά το εμβαδόν οποιουδήποτε παραλληλογράμμου με ύψος και βάση ψ αρκεί να ορίσουμε μονάδα μέτρησης μήκους. Το ευθύγραμμο τμήμα ΖΕ που προκύπτει είναι ίσο με το εμβαδόν του παραλληλογράμμου. - Επίσης το εμβαδόν οποιουδήποτε τριγώνου με βάση ίση με και ύψος ΖΕ ίσο με ψ ισούται με το μισό του ευθύγραμμο τμήματος ΖΕ. 16