Καρτεσιανές συντεταγμένες Γραφική παράσταση συνάρτησης Εφαρμογές

Transcript

1 Καρτεσιανές συντεταγμένες Γραφική παράσταση συνάρτησης Εφαρμογές Να βρείτε για καθεμιά από τις παρακάτω γραμμές αν είναι γραφική παράσταση κάποιας συνάρτησης () (1) (3) (4) (5) (6) Αν υπάρχει ευθεία κάθετη στον άξονα των που τέμνει μια γραμμή σε περισσότερα από ένα σημεία, η γραμμή αυτή δεν μπορεί να είναι γραφική παράσταση συνάρτησης. Έτσι έχουμε: Εκτός από τη γραμμή του σχήματος (), όλες οι υπόλοιπες μπορεί να είναι γραφικές παραστάσεις συναρτήσεων.

2 Δίνεται το σημείο Μ(-4,5). Να βρείτε το συμμετρικό του α) τον άξονα ' β) τον άξονα ' γ) την αρχή 0 των αξόνων. α) Το συμμετρικό του σημείου Μ(-4,5) ως προς τον άξονα χ'χ είναι το σημείο Κ(-4, -5) β) Το συμμετρικό του σημείου Μ(-4,5) ως προς τον άξονα ' είναι το σημείο Λ(4,5) γ) Το συμμετρικό του σημείου Μ(-4,5) ως προς την αρχή 0 των αξόνων είναι το σημείο Ν(4, -5). Να αποδειχθεί ότι τα σημεία Α(,-3), Β(-1,), Γ(4,5) είναι κορυφές ισοσκελούς και ορθογώνιου τριγώνου. Βρίσκω τα μήκη των πλευρών του τριγώνου και έχω: ( ) ( ) ( ) ( ) ΑΒ Σελίδα

3 3 ( ) ( ) ( ) ΑΓ ( ) ( ) ( ) ΒΓ Επειδή (ΑΒ)(ΒΓ) το τρίγωνο ΑΒ, ΒΓ. ΑΒΓ είναι ισοσκελές με ίσες πλευρές τις Επειδή ( ) ( ) ΑΓ Και ( ) ( ) ( ) ( ) ΑΒ + ΒΓ ( ΑΓ ) ( ΑΒ ) + ( ΒΓ ) Ισχύει δηλαδή το Πυθαγόρειο Θεώρημα άρα το τρίγωνο είναι ορθογώνιο με ορθή γωνία την ˆΒ Να υπολογίσετε το α αν γνωρίζεται ότι το σημείο Α(3, α+1) είναι σημείο του άξονα των Γνωρίζουμε, ότι το σημείο Α (3, α+1) είναι σημείο του άξονα των. Οπότε, σύμφωνα με τα παραπάνω, η τεταγμένη του πρέπει να ισούται με 0. Άρα: α+1 0 α -1 Να εξετάσετε αν το σημείο Α(1, 0) είναι σημείο της γραφικής παράστασης της συνάρτησης φ με τύπο φ() -+1. Σύμφωνα με τα παραπάνω για να είναι το Α(1, 0) σημείο της γραφικής παράστασης της συνάρτησης με τύπο φ() -+1 αρκεί να ισχύει φ(1) 0 φ(1) Άρα το Α(1,0) είναι σημείο της γραφικής παράστασης της συνάρτησης φ(χ) χ -χ+1. Σελίδα 3

4 4 Αν γνωρίζετε ότι το σημείο Α(, 1) ανήκει στη γραφική παράσταση της συνάρτησης φ με τύπο φ() 3 --α να υπολογίσετε τον αριθμό α. Το σημείο Α ανήκει στη γραφική παράσταση της συνάρτησης φ, επομένως σύμφωνα με τα παραπάνω ισχύει: φ() α 1 8--α 1 -α α -5 α 5 Να βρείτε το σημείο στο οποίο τέμνει τον άξονα των η γραφική 1 φ() παράσταση της συνάρτησης: + 1 Mε -1 έχουμε: Αν Α(0, α) είναι το σημείο τομής της γραφικής παράστασης της φ με τον άξονα των θα έχουμε: 0 1 φ(0) α α α Άρα το σημείο τομής της γραφικής παράστασης της συνάρτησης φ με τον άξονα είναι το Α(0, -1). Να υπολογίσετε το α αν γνωρίζετε ότι το σημείο Α (α-16, 7) είναι σημείο του άξονα των Γνωρίζουμε ότι το σημείο Α(α -16, 7) είναι σημείο του άξονα των. Οπότε, σύμφωνα με τα παραπάνω, η τετμημένη του πρέπει να ισούται με 0. Άρα: α-16 0 α 16 Δίνεται η συνάρτηση 3χ + κ. Να βρείτε το κ, ώστε το ζεύγος (3,0) να ανήκει στη γραφική παράσταση της συνάρτησης. Σελίδα 4

5 5 Επειδή το ζεύγος (3,0) ανήκει στη γραφική παράσταση της συνάρτησης 3χ + κ, οι συντεταγμένες του θα την επαληθεύουν. Άρα θα έχουμε: κ κ κ κ -7 Να υπολογίσετε το α αν γνωρίζετε ότι το σημείο Α(α+, α+1), είναι σημείο της διχοτόμου της γωνίας του πρώτου - τρίτου τεταρτημορίου. Γνωρίζουμε ότι το σημείο Α (α+, α+1) είναι σημείο της διχοτόμου της γωνίας του πρώτου τρίτου τεταρτημορίου. Οπότε, σύμφωνα με τα παραπάνω, η τετμημένη του πρέπει να ισούται με την τεταγμένη του. Άρα: α+ α+1 α -1 Άρα για να είναι το σημείο Α (α+, α+1), σημείο της διχοτόμου της γωνίας του πρώτου - τρίτου τεταρτημορίου πρέπει να είναι α -1. Να βρεθούν τα α,β ώστε τα σημεία Α(0,3) και Β(-1,) να ανήκουν στην γραφική παράσταση της συνάρτησης f() α 5χ + 3β Αφού το σημείο Α(0,3) ανήκει στην γραφική παράσταση της συνάρτησης θα πρέπει αν βάλουμε στον τύπο της f() όπου χ το 0 να βρούμε f()3. Άρα θα έχουμε: 3 α β 3 3β β β Σελίδα 5

6 6 Όμοια αφού το Β(-1,) ανήκει στη γραφική παράσταση της συνάρτησης θα έχουμε: ( ) ( ) α β α β (βάζουμε όπου β το 1 που βρήκαμε και έχουμε:) α α α 6 Άρα πρέπει α-6 και β1 Να υπολογίσετε την απόσταση των σημείων Α(-1, ) και Β(, -4) Σύμφωνα με τα παραπάνω θα είναι: ( ΑΒ) ( + 1) + ( 4 ) 3 + ( 6) Άρα η απόσταση των παραπάνω σημείων Α και Β είναι ίση με 45 Να βρεθούν τα σημεία που η γραφική παράσταση της συνάρτησης f(χ) χ 1 χ + Για χ 0 έχουμε τέμνει τους άξονες f(0) 0+ Άρα η γραφική παράσταση τέμνει τον στο σημείο 1 Α 0, Για f() 0 έχουμε: χ-1 0 χ 1 0 χ 1 χ+ Άρα η γραφική παράσταση τέμνει τον χχ στο Β(1,0) Σελίδα 6