ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΑΞΗ Β

Transcript

1

2 ΥΜΝΑΣΙΟ Α. Τι λέγεται τετραγωνική ρίζα ενός θετικού αριθμού α και πώς συμβολίζεται αυτή; Β. Ποιος αριθμός ονομάζεται άρρητος;. Πώς ορίζονται οι πραγματικοί αριθμοί; Α. Τι λέγεται ημίτονο μιας οξείας γωνίας ω ενός ορθογωνίου τριγώνου; Β. Τι λέγεται εφαπτομένη μιας οξείας γωνίας ω ενός ορθογωνίου τριγώνου;. Μπορεί το ημίτονο και το συνημίτονο μιας οξείας γωνίας να είναι οποιοσδήποτε αριθμός ή να υπάρχει περιορισμός; Να λύσετε την εξίσωση: x Στο διπλανό σχήμα, το ΑΒ είναι 3x 5 x 3 = τραπέζιο με ΑΒ και Α = = 90. Αν ΑΒ = 10m, Β = 13m και το ύψος ΒΖ έχει μήκος το μισό του τμή- 10m 13m ματος Ζ, να υπολογίσετε: Α. Την πλευρά Z Β. Το εμβαδόν του τριγώνου ΒΖ.. Το εμβαδόν του τραπεζίου ΑΒ Να δικαιολογήσετε σε κάθε περίπτωση την απάντησή σας. Στο διπλανό σχήμα δίνεται ο κύκλος (Ο, 10m). Αν η γωνία Α = 30, να 30 υπολογίσετε: Α. Τη γωνία ΒΑ. φ O ω Β. Τη γωνία ΑΒ = φ.. Τη γωνία Β = ω.. Το εμβαδόν του κυκλικού τομέα ΟΒ. Να δικαιολογήσετε σε κάθε περίπτωση την απάντησή σας.

3 ΥΜΝΑΣΙΟ Α. Τι λέγεται τετραγωνική ρίζα ενός θετικού αριθμού α; Β. ιατί δεν ορίζεται η τετραγωνική ρίζα ενός αρνητικού αριθμού; Α. Τι λέγεται ημίτονο μιας οξείας γωνίας ω ενός ορθογωνίου τριγώνου; Β. Τι λέγεται συνημίτονο μιας οξείας γωνίας ω ενός ορθογωνίου τριγώνου;. Ποια σχέση συνδέει την εφαπτομένη μιας οξείας γωνίας ω ενός ορθογωνίου τριγώνου με το ημίτονο και το συνημίτονό της; Να λύσετε την παρακάτω ανίσωση και να παραστήσετε τις λύσεις της στην ευθεία των αριθμών: x 6 1 x 3 < 1 x Το τραπέζιο ΑΒ του διπλανού σχήματος έχει τις γωνίες Α και ορθές. Επίσης είναι ΑΒ = 9cm, Β = 10cm και = 15cm. Να υπολογίσετε: Α. το ύψος ΒΕ του τραπεζίου Β. την περίμετρο και το εμβαδόν του τραπεζίου. E Αν το εμβαδόν ενός κυκλικού δίσκου είναι 78,5cm, να βρείτε: Α. την ακτίνα του ρ Β. το μήκος του κύκλου. 9cm 15cm 10cm

4 ΥΜΝΑΣΙΟ Α. Τι γνωρίζετε για τη γραφική παράσταση της συνάρτησης y = αx και πώς ονομάζεται ο α; Β. Τι γνωρίζετε για τη γραφική παράσταση της y = αx + β, β 0.. Ποιες από τις παρακάτω προτάσεις είναι σωστές και ποιες λάθος; α. Η γραφική παράσταση της y = 3x + έχει κλίση. β. Η γραφική παράσταση της y = x περνά από την αρχή των αξόνων. γ. Οι γραφικές παραστάσεις των y = κx + λ και y = x για κ = δεν έχουν κοινό σημείο. δ. Στη συνάρτηση y = 5x τα ποσά x και y είναι αντιστρόφως ανάλογα. Α. Να διατυπώσετε το Πυθαγόρειο Θεώρημα. Β. Να διατυπώσετε το αντίστροφο του Πυθαγορείου Θεωρήματος.. Στο διπλανό σχήμα το τρίγωνο ΚΛΜ ( Κ = 90 ) M είναι ορθογώνιο και ΚΝ ΜΛ. Ποιες από τις παρακάτω σχέσεις είναι σωστές και ποιες λάθος; α. ΚΛ + ΜΛ = ΚΜ N β. ΚΛ + ΚΜ = ΜΛ K γ. ΚΛ ΜΛ = ΚΜ δ. ΜΝ = ΚΜ ΚΝ Να βρείτε τις κοινές ακέραιες λύσεις των ανισώσεων: 9 (x + ) >x 4 (x 1) και x + 3 6x 3 x 1 6 Αν το μήκος ενός κύκλου (Ο, ρ) είναι 50,4cm, να βρείτε: Α. Το εμβαδόν του κυκλικού δίσκου (Ο, ρ). Β. Το μήκος τόξου 45 του κύκλου (Ο, ρ) Λ. Το εμβαδόν κυκλικού τομέα που αντιστοιχεί σε επίκεντρη γωνία 45 στον κύκλο (Ο, ρ). Στο διπλανό σχήμα το Α είναι ύψος του τριγώ- νου ΑΒ και Α = 10cm. Αν Β = 45 και = 10cm 30 να βρείτε τις πλευρές ΑΒ, Β και Α ( ίνεται: 1,4, 3 1,7 ).

5 ΥΜΝΑΣΙΟ ΘΕΜΑΤΑ Α. Να διατυπώσετε το Πυθαγόρειο Θεώρημα. Β. Να σχεδιάσετε τρίγωνο ΕΖ με = 90 και να συμπληρώσετε τις ισότητες: ΕΖ =, Ε =. και Ζ =. Να διατυπώσετε το αντίστροφο του Πυθαγορείου Θεωρήματος. Α. Πότε μια γωνία xy λέγεται εγγεγραμμένη σε κύκλο (Ο, ρ); Β. Ποια σχέση συνδέει μια εγγεγραμμένη γωνία με την επίκεντρη που έχει το ίδιο αντίστοιχο τόξο;. Να σχεδιάσετε μια εγγεγραμμένη γωνία. Αν το αντίστοιχο τόξο της είναι 40, πόσων μοιρών είναι η εγγεγραμμένη γωνία; Να βρείτε τις κοινές λύσεις των παρακάτω ανισώσεων και να τις παραστήσετε στην ευθεία των αριθμών: 8x (3x 1) > 10 x x 1 4 x 15 5 Σε ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒ είναι Α = 90, Α = 9cm και ημ Β = 0,6. Να υπολογίσετε τις πλευρές Β και ΑΒ. (Να κάνετε σχήμα) Στο διπλανό σχήμα η Β είναι διάμετρος του κύκλου και δίνονται ΑΒ = 6cm και Α = 8cm. Α. Τι είδους τρίγωνο είναι το ΑΒ; Αιτιολογήστε την απάντησή σας. Να υπολογίσετε την πλευρά Β. 6cm 8cm Β. Να βρείτε το εμβαδόν του τριγώνου O ΑΒ.. Να βρείτε το εμβαδόν του γραμμοσκιασμένου μέρους του σχήματος.

6 ΥΜΝΑΣΙΟ Α. Ποια είναι η γραφική παράσταση της συνάρτησης y = αx + β, α, β 0 και από ποιο σημείο του άξονα x x διέρχεται; Β. Τι λέγεται κλίση της ευθείας y = αx και με τι ισούται; Α. Ποιο σχήμα ονομάζεται κανονικό πολύγωνο; Β. Ποια σχέση συνδέει τη γωνία φ του κανονικού πολυγώνου με την κεντρική του γωνία ω. Να βρεθούν οι κοινές λύσεις των ανισώσεων: 14(x + ) + 6( x) >7(x + 1) και x 3 x 4 x Στο τρίγωνο ΑΒ δίνεται: = 60, Α = 6cm και Β = 7cm. Να υπολογίσετε: 6cm Α. το ύψος Α του ΑΒ. 60 Β. το εμβαδόν του ΑΒ. 7cm ίνεται ισόπλευρο τρίγωνο ΑΒ πλευράς 1cm. Με κέντρο Β και ακτίνα ρ = ΒΕ, όπου ΒΕ ύψος του τριγώνου, γράφουμε τόξο ΚΛ. Να υπολογιστεί το εμβαδόν του γραμμοσκιασμένου σχήματος. Κ E Λ

7 ΥΜΝΑΣΙΟ α. Να διατυπωθεί το Πυθαγόρειο Θεώρημα (σχήμα σχέση). β. Να διατυπωθεί το αντίστροφο του Πυθαγορείου Θεωρήματος. γ. Να γραφούν οι τύποι που δίνουν το εμβαδόν: τετραγώνου, παραλληλογράμμου, τριγώνου, τραπεζίου (σχήμα). α. Τι γνωρίζετε για τη γραφική παράσταση της συνάρτησης y = αx + β. Πως λέγεται το α; β. Τι γνωρίζετε για τη συνάρτηση y = α, α 0 και για τη γραφική της παράσταση; x (Πρόχειρα σχήματα) Να βρεθούν οι κοινές λύσεις των ανισώσεων: 1 x 5 x 16 >x 3 6 x (3x 1) 3 1< x Στο τραπέζιο ΑΒ δίνονται: Α = = 90, ΑΒ = 16cm, Β = 15cm, Α = 1cm. Να βρείτε τις Β,, το εμβαδόν του τριγώνου Β, τους τριγωνομετρικούς αριθμούς της γωνίας. είξτε ότι το τρίγωνο Βείναι ορθογώνιο. Σε τρίγωνο ΑΒ με περίμετρο 30cm δίνονται ΑΒ = x +, Α = 5x 3, Β = 10x 4. Να βρεθεί ο x. Να εξετάσετε αν το τρίγωνο είναι ορθογώνιο. E

8 ΥΜΝΑΣΙΟ Α. Τι γνωρίζετε για τη γραφική παράσταση των συναρτήσεων: α. y = αx β. y = αx + β γ. y = α x Β. Ποια συνάρτηση εκφράζει τα ανάλογα και ποια τα αντιστρόφως ανάλογα ποσά;. Τι λέγεται κλίση ευθείας; Να πάρετε ορθογώνιο τρίγωνο ΟΑ με = 90 και ΑΟ = ω. Α. Να ορίσετε τους τριγωνομετρικούς αριθμούς της οξείας γωνίας ω. Β. Να αποδείξετε ότι εφω = ημω συνω.. ιατί το ημίτονο και το συνημίτονο οξείας γωνίας είναι αριθμοί μικρότεροι της μονάδας; Να βρεθούν οι κοινές λύσεις των ανισώσεων: x + (3x 5) 3 και x x 1 <1 4 Α. Αν το x είναι πραγματικός αριθμός. Β. Αν το x είναι ακέραιος. Η περίμετρος ενός ισοσκελούς τριγώνου είναι 54cm και η βάση του 4cm. Να βρείτε: Α. Τις ίσες πλευρές Β. το ύψος και. το εμβαδόν του τριγώνου. (Να κάνετε και το αντίστοιχο σχήμα) Στο παρακάτω σχήμα το ΑΒ είναι ορθογώνιο παραλληλόγραμμο με ΑΒ = 10cm και Β = 5cm, ενώ τα τόξα Ε και ΒΖ έγιναν με κέντρο τις κορυφές Α και του ορθογωνίου, αντίστοιχα και ακτίνα ρ = 5cm. Να υπολογίσετε την περίμετρο και το εμβαδόν της σκιασμένης επιφάνειας. E Z

9 ΥΜΝΑΣΙΟ Να μεταφέρετε στην κόλλα σας τις παρακάτω προτάσεις ορθά συμπληρωμένες. Α. Τετραγωνική ρίζα α ενός αριθμού α, λέγεται ο..αριθμός, ο οποίος όταν υψωθεί στο.. δίνει τον αριθμό. Β. Αν α 0, τότε ( α ) =. Αν α = x, όπου α 0, τότε x.0 και x =. 0 =. ίνεται το ορθογώνιο τρίγωνο του διπλανού σχήματος.να μεταφέρετε στην κόλλα σας τις παρακάτω ισότητες, την παρακάτω πρόταση και την παρακάτω ανισότητα ορθά συμπληρωμένες: ω Α. ημω = Β. συνω = εφω = Όταν η οξεία γωνία ω αυξάνεται, τότε.. το συνημίτονό της Ε. Ισχύει.< ημω < και ημω συνω = ίνονται οι ανισότητες: (x 1) 3(x 1) >0 (1) και x +1 x 1 x 3 () Α. Να λύσετε την ανισότητα (1) Β. Να λύσετε την ανισότητα (). Να βρείτε τις κοινές λύσεις των ανισοτήτων (1) και () Α. Να βρείτε την εξίσωση της ευθείας (η) που διέρχεται από την αρχή των αξόνων και από το σημείο Α(1, ). Β. Βρείτε την εξίσωση της ευθείας (ε), η οποία είναι παράλληλη στην ευθεία (η) (του ερωτήματος (α)) και διέρχεται από το σημείο Β(3,1).. Να βρείτε σε ποια σημεία η ευθεία (ε) τέμνει τους άξονες xx και yy. ίνεται ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒ ( Α = 90 ) με Β = 10cm, ΑΒ = 6cm. Έστω Μ το μέσο της ΑΒ, τότε με κέντρο Α και ακτίνα ΑΜ σχηματίζεται το τόξο ΜΚ K (όπωςπαρουσιάζεται στο σχήμα). Α. Να υπολογίσετε το μήκος της κάθετης πλευράς Α. Β. Να υπολογίσετε το μήκος του τόξου ΜΚ.. Να υπολογίσετε το γραμμοσκιασμένο εμβαδόν του παραπάνω σχήματος. M

10 ΥΜΝΑΣΙΟ Α. Ποια είναι η γραφική παράσταση της συνάρτησης y = αx; Β. Ποια είναι η γραφική παράσταση της συνάρτησης y = αx + β, β 0;. Ποια είναι η κλίση της ευθείας y = γx + δ; Να σχεδιάσετε ένα ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒ ( Α = 90 ) και να ορίσετε τους τριγωνομετρικούς αριθμούς της οξείας γωνίας Β. Να βρείτε τις κοινές λύσεις των παρακάτω ανισώσεων και να τις παραστήσετε σε άξονα πραγματικών αριθμών: 4(x 3) < 5x και x x 5 x Στο διπλανό σχήμα το τρίγωνο ΑΒ είναι εγγεγραμμένο σε ημικύκλιο κέντρου Ο και διαμέτρου Β. Αν η ακτίνα του ημικυκλίου είναι 10cm και η Α = 16cm 16cm Α. Να δείξετε ότι η γωνία Α είναι ορθή O 10cm Β. Να βρείτε το εμβαδόν του τριγώνου ΑΒ. Να βρείτε το εμβαδόν της γραμμοσκιασμένης επιφάνειας. Στο διπλανό σχήμα είναι: Α = 60 και Β = 130. Να υπολογίσετε τις γωνίες 130 θ, ω, φ, x του σχήματος. θ ω O 60 x S φ G

11 ΥΜΝΑΣΙΟ Σε ένα ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒ με Β = 90 να οριστούν τα ημ Α, συν Α, εφ Α και να εξετάσετε τι τιμές μπορεί να πάρει το ημίτονο και το συνημίτονο (να γίνει σχήμα). Α. Τι γραμμή είναι η γραφική παράσταση της συνάρτησης y = αx και ποια είναι η σημασία του α; Β. Τι γραμμή είναι η γραφική παράσταση της συνάρτησης y = αx + β; Στο διπλανό τρίγωνο είναι: Ύψος Α = 8cm, Β = 70 και = 30. Να υπολογιστούν οι πλευρές του τριγώνου ΑΒ καθώς και το εμβαδόν αυτού. ίνονται: ημ70 = 0,94 συν70 = 0,34 εφ70 =, 75 8cm ημ30 = 0,5 συν30 = 0,87 εφ30 = 0, Α. Να υπολογίσετε τις τιμές των παραστάσεων: Α = Β = ( 9 4) +( 5) ( 16 1) Β. Αν Α = 0 και Β = 1 να εξετάσετε αν η τιμή x = Α + Β είναι ρίζα της εξίσωσης: 3(x ) 1 x x = 6 Στο διπλανό σχήμα είναι ΑΒ = 1cm, Α = 5cm και το Β είναι διάμετρος του κύκλου. Να βρείτε: Α. τη γωνία ΒΑ O Β. το εμβαδόν του τριγώνου ΑΒ. το εμβαδόν του γραμμοσκιασμένου τμήματος.

12 ΥΜΝΑΣΙΟ α. Πότε ένα πολύγωνο λέγεται κανονικό; Τι λέγεται κεντρική γωνία ω ενός κανονικού ν γώνου και με τι ισούται; β. Τι λέγεται γωνία φ ενός κανονικού ν γώνου και τι σχέση έχουν η κεντρική γωνία ω με τη γωνία φ του κανονικού ν γώνου; γ. Να εξετάσετε αν υπάρχει κανονικό πολύγωνο που να έχει κεντρική γωνία 16. α. Πότε δύο ποσά x και y λέγονται αντιστρόφως ανάλογα; (ορισμός) Παράδειγμα. β. Αν δύο ποσά είναι αντιστρόφως ανάλογα, τι σχέση έχουν τα γινόμενα των αντίστοιχων τιμών τους; γ. Τι γνωρίζετε για τη γραφική παράσταση των αντιστρόφως ανάλογων ποσών; α. Να λύσετε την εξίσωση: 6(ω + ) + 3 = 3 (ω 4) β. Να λυθεί η ανίσωση: 5 x x + + x 4 8 γ. Να εξετάσετε αν η λύση της εξίσωσης είναι και λύση της ανίσωσης. Ένα οικόπεδο έχει σχήμα τριγώνου ΑΒ (βλέπε σχήμα). ίνονται γωνία Α = 60, γωνία ΒΑ = 30 και Α = 8m. Να υπολογίσετε: α. Α = x = ; και Β = y = ; β. το εμβαδόν του οικοπέδου. 45 γ. Πόσο θα πληρώσει κάποιος για την αγορά του αν το κόστος είναι / m ; Στο διπλανό σχήμα ο κύκλος (Ο, ρ) έχει ΛΜ = 3m, ΚΜ = 4m. y x Λ 8m 60 α. Να υπολογιστεί η ΛΜΚ. β. Να βρεθεί η ακτίνα ρ του κύκλου. γ. Να υπολογίσετε το μήκος και το εμβαδόν Κ του κυκλικού δίσκου. O Μ

13 ΥΜΝΑΣΙΟ Α. Αφού μεταφέρετε στην κόλλα σας τις παρακάτω προτάσεις, συμπληρώστε στα κουτάκια Σ(σωστό) ή Λ(λάθος): Όταν δύο ποσά με τιμές x και y είναι αντιστρόφως ανάλογα τότε: α. το γινόμενο των αντίστοιχων τιμών τους είναι σταθερό β. ο λόγος των αντίστοιχων τιμών τους είναι σταθερός. Β. Στον παρακάτω πίνακα τιμών τα ποσά με τιμές x και y είναι αντιστρόφως ανάλογα; ικαιολογήστε την απάντησή σας. x y Τι γνωρίζετε για τη γραφική παράσταση της συνάρτησης y = α με α 0. x Α. Τι ονομάζεται κανονικό πολύγωνο; Β. Να κατασκευάσετε κανονικό ν γωνο (πολύγωνο με ν πλευρές)εγγεγραμμένο σε κύκλο (Ο, ρ). Να δείξετε σ αυτό το σχήμα μία κεντρική του γωνία, να την ονομάσετε και να γράψετε τον τύπο που την υπολογίζει.. Στο παραπάνω σχήμα να ονομάσετε μία γωνία του κανονικού ν γώνου και τη σχέση που τη συνδέει με την κεντρική του γωνία. Να λυθεί η εξίσωση: 8 x (x 1) = x +1 x. 3 Μια ευθεία διέρχεται από την αρχή των αξόνων και από το σημείο Α(4,3). Ποιος είναι ο τύπος της συνάρτησης που έχει την ευθεία αυτή για γραφική παράσταση. Στο διπλανό σχήμα η Β είναι διάμετρος του κύκλου και το σημείο Α βρίσκεται πάνω στον κύκλο. Αν Α = 1cm και το εμβαδόν του κύκλου είναι 314 cm να υπολογιστούν: Α. η ακτίνα ρ του κύκλου Β. το μήκος της πλευράς ΑΒ και. το εμβαδόν του τριγώνου ΑΒ. O 1cm

14 ΥΜΝΑΣΙΟ Α. Να διατυπωθεί το Πυθαγόρειο Θεώρημα. Β. Να γίνει κατάλληλο σχήμα του Πυθαγορείου Θεωρήματος.. ράψτε την ισότητα που προκύπτει από το Πυθαγόρειο Θεώρημα. Α. ράψτε τους λόγους με τους οποίους ορίζονται το ημίτονο, το συνημίτονο και η εφαπτομένη μιας οξείας γωνίας ενός ορθογωνίου τριγώνου. Β. ράψτε επίσης τους παραπάνω τριγωνομετρικούς αριθμούς χρησιμοποιώντας τις πλευρές του ορθογωνίου τριγώνου ΑΒ για την οξεία γωνία ω. ω. ράψτε τη σχέση που συνδέει τους τρεις τριγωνομετρικούς αριθμούς της γωνίας ω. 30 Να βρεθούν οι κοινές λύσεις των ανισώσεων: 3x 10 > x + και x +1 (x 3) 4 ίνονται τα ορθογώνια τρίγωνα ΑΒ και Β, οι πλευρές ΑΒ = 4cm, Α = 3cm και η γωνία 4cm = 30. Να υπολογισθεί η πλευρά. Στο διπλανό σχήμα η Β είναι διάμετρος του 3cm κύκλου και ΑΒ = 6cm, Α = 8cm. Α. Να υπολογίσετε την ακτίνα του κύκλου. O Β. Να υπολογίσετε τον εμβαδόν του γραμμοσκιασμένου χωρίου του σχήματος.

15 ΥΜΝΑΣΙΟ Α. Σε ορθογώνιο τρίγωνο να ορίσετε τους τριγωνομετρικούς αριθμούς μιας οξείας γωνίας του ω. Β. Τι τιμές μπορούν να πάρουν το ημω και το συνω (να δικαιολογήσετε την απάντησή σας). Να αποδείξετε τον τύπο, εφω = ημω συνω. Α. Να αναφέρετε τους τύπους του μήκους κύκλου και του εμβαδού κυκλικού δίσκου ακτίνας ρ. Β. Πόσες μοίρες και πόσα ακτίνια έχει ο κύκλος; μ. Να αποδείξετε ότι το μήκος l ενός τόξου μ ισούται με: l = πρ 360. Να εξετάσετε αν η λύση της εξίσωσης: 3(x 1) 5x 3 x = 1 είναι και λύση της ανίσωσης: 4 1 (x 1) 3 x 1 x 5 > x. Στο διπλανό σχήμα να υπολογίσετε τις γωνίες x, y, ω, φ. (Να δικαιολογήσετε τις απαντήσεις σας) Σε ημικύκλιο διαμέτρου ΑΒ = 6cm δίνεται σημείο του, έτσι ώστε Α = Β. Να υπολογίσετε τις πλευρές και τις γωνίες ω E x y O φ του τριγώνου ΑΒ. O

16 ΥΜΝΑΣΙΟ Α. Να διατυπώσετε το Πυθαγόρειο Θεώρημα, να κάνετε το σχήμα και να γράψετε τη σχέση του Πυθαγορείου Θεωρήματος για το σχήμα που φτιάξατε. Β. Να διατυπώσετε το αντίστροφο του Πυθαγορείου Θεωρήματος. Α. Έστω ω μια οξεία γωνία ενός ορθογωνίου τριγώνου. Να ορίσετε τους τριγωνομετρικούς αριθμούς ημω, συνω και εφω, αφού κάνετε το σχήμα. Β. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας στο τετράδιό σας τη λέξη Σωστό ή Λάθος. α. ημ5 < ημ35 β. συν37 > συν48 γ. εφ73 > εφ87. Να λύσετε την εξίσωση: x 1 x = 11 6 Στο παρακάτω τρίγωνο ΑΒ έχουμε φέρει το ύψος Α. Αν ΑΒ = 15cm., Α = 1cm και Α = 0cm. Α. να υπολογίσετε το Β 15cm 1cm 0cm Β. να υπολογίσετε το. να εξετάσετε αν το τρίγωνο ΑΒ είναι ορθογώνιο. Ο παρακάτω κύκλος έχει κέντρο Ο και ακτί- να cm. Αν η γωνία ΑΟΒ = 90 να υπολο- O cm γίσετε το εμβαδόν του γραμμοσκιασμένου κυκλικού τμήματος.

17 ΥΜΝΑΣΙΟ Α. Τι λέγεται τετραγωνική ρίζα ενός θετικού αριθμού α; Β. Αν α 0 να γράψετε το αποτέλεσμα της παράστασης ( α ) =... ιατί δεν ορίζεται η τετραγωνική ρίζα ενός αρνητικού αριθμού; Α. Να διατυπώσετε το Πυθαγόρειο Θεώρημα. Β. Να διατυπώσετε το αντίστροφο του Πυθαγορείου Θεωρήματος.. Να σχεδιάσετε ένα ορθογώνιο τρίγωνο ΚΛΜ, με Κ = 90. Να συμπληρώσετε τις παρακάτω ισότητες ώστε να εκφράζουν ή να προκύπτουν από το Πυθαγόρειο Θεώρημα: ΚΜ =.. ΛΜ =.. Να βρείτε τις κοινές λύσεις των ανισώσεων: 6 x 1 x 3 3 και 7(x + 5) > (x 1) 3 και να τις παραστήσετε στον άξονα. ίνεται ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒ ( Α = 90 ) με ΑΒ = 1cm και Β = 15cm. Να υπολογίσετε: Α. την πλευρά Α του τριγώνου Β. τους τριγωνομετρικούς αριθμούς της γωνίας Β του τριγώνου. ίνεται κύκλος (Ο, ρ), μια διάμετρός του ΑΒ και ένα σημείο του τέτοιο ώστε Α = 6cm και Β = 8cm. Α. Να βρείτε (χωρίς μέτρηση) τη γωνία και το 6cm 8cm εμβαδόν του τριγώνου ΑΒ. Β. Να υπολογίσετε την ακτίνα ρ του κύκλου (Ο, ρ).. Να υπολογίσετε το εμβαδόν του σκιασμένου μέρους του σχήματος. O

18 ΥΜΝΑΣΙΟ Α. Να δώσετε τον ορισμό της τετραγωνικής ρίζας θετικού αριθμού. Β. ια τους x, y ισχύει: y = x Από τα παρακάτω να επιλέξετε τη σωστή απάντηση: Α Β Ο x είναι: θετικός ή μηδέν αρνητικός ή μηδέν οποιοσδήποτε αριθμός Ο y είναι: θετικός ή μηδέν αρνητικός ή μηδέν οποιοσδήποτε αριθμός Ισχύει η σχέση: x = y y = x x = y Α. Να δώσετε τους ορισμούς του ημιτόνου και του συνημιτόνου οξείας γωνίας ω ορθογωνίου τριγώνου (σχήμα) Β. Να συμπληρώσετε κατάλληλα τις παρακάτω φράσεις: α. Όταν αυξάνεται μια οξεία γωνία, τότε. το ημίτονό της. β. Όταν αυξάνεται μια οξεία γωνία, τότε... το συνημίτονό της. γ. Αν δύο οξείες γωνίες έχουν ίσα ημίτονα, τότε οι γωνίες είναι Να βρείτε ποιες από τις παρακάτω εξισώσεις έχουν την ίδια λύση: Α. 4x + 6 = 1 x Β. x x 1 x + 1 = (x 1) + 10 = 3x + 5 Σε ένα ισοσκελές τρίγωνο ΑΒ είναι: ΑΒ = Α = 5cm και Β = 6cm. Να υπολογίσετε το ύψος Α του τριγώνου και το εμβαδόν του. Αν οικόπεδο έχει το παρακάτω σχήμα και Α = Β = = = 90, Α και Β ημικύκλια, Α = 0m, = 35m, να υπολογίσετε: Α. το εμβαδόν του οικοπέδου Β. πόσα μέτρα συρματόπλεγμα θα χρειαστούμε για να το περιφράξουμε;

19 ΥΜΝΑΣΙΟ Α. ώστε τον ορισμό της τετραγωνικής ρίζας ενός θετικού αριθμού α. Β. Να χαρακτηρίσετε τις παρακάτω ισότητες με Σ αν είναι σωστές και με Λ αν είναι λάθος: 16 = 8 0,9 = 0,3 0= 0 9 = 3 ( 5) = = 4 Τι ονομάζουμε ημίτονο, συνημίτονο και εφαπτομένη μιας οξείας γωνίας ω ενός ορθογωνίου τριγώνου; Α. ράψτε τους παραπάνω τριγωνομετρικούς αριθμούς και με τους κατάλληλους λόγους των πλευρών ενός ορθογωνίου τριγώνου ΑΒ (κάνετε σχήμα). Β. Συμπληρώστε τους παραπάνω τριγωνομετρικούς αριθμούς: ημ30 =., συν45 =, ημ60 =.. Να λύσετε τις παρακάτω ανισώσεις, στη συνέχεια αφού παραστήσετε τις λύσεις τους στον ίδιο άξονα, να βρείτε τις κοινές τους λύσεις: 3(x ) < (x +1) x και x 3 7x x 5 Στο διπλανό σχήμα να βρεθούν: Α. Η πλευρά Α 1cm 10cm Β. Η πλευρά. Το εμβαδόν του τριγώνου ΑΒ. Στο διπλανό σχήμα το τρίγωνο ΑΒ είναι ορθογώνιο και η Β είναι διάμετρος του κύκλου. Αν ΑΒ = 6cm και Α = 8cm να υπολογίσετε: Α. τη διάμετρο Β Β. το μήκος του κύκλου. το εμβαδόν του τριγώνου ΑΒ. το εμβαδόν του γραμμοσκιασμένου μέρους του σχήματος. 30 Β Α 6cm 8cm O

20 ΥΜΝΑΣΙΟ Α. Να διατυπώσετε το Πυθαγόρειο Θεώρημα. Β. Να διατυπώσετε το αντίστροφο του Πυθαγορείου Θεωρήματος.. Στο διπλανό ορθογώνιο τρίγωνο να χαρακτηρίσετε ως Σωστή (Σ) ή Λάθος (Λ) κάθε μία από τις παρακάτω σχέσεις: α. Β = ΑΒ Α β. Α = Β ΑΒ γ. Α = Β ΑΒ δ. ΑΒ = Α + Β Α. Τι ονομάζουμε ημίτονο, συνημίτονο και εφαπτομένη οξείας γωνίας ορθογωνίου τριγώνου; Β. Να σχεδιάσετε ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒ ( Α = 90 ) και να εκφράσετε τους τριγωνομετρικούς αριθμούς της γωνίας Β.. Να γράψετε με τι είναι ίσοι οι τριγωνομετρικοί αριθμοί της γωνίας 60. Να βρεθούν οι κοινές ακέραιες λύσεις των ανισώσεων: 6(x 3) 3(x + 1) > 1(x 5) 8(x 4) και 1 5(x +1) 18 x 1 6 Στο παρακάτω σχήμα η Β είναι διάμετρος του κύκλου και ΑΒ = Α. Να βρείτε τις γωνίες του τριγώνου ΑΒ. O Β. Αν ο κύκλος έχει ακτίνα 4cm, να βρείτε 45 O 4cm τις πλευρές ΑΒ και Α. Στο διπλανό σχήμα δίνεται κύκλος (Ο, ρ) με ρ = 4cm και γωνία ΒΑ = 45. Να υ- πολογίσετε το εμβαδόν του γραμμοσκιασμένου μέρους.

21 ΥΜΝΑΣΙΟ Α. ιατυπώστε το Πυθαγόρειο Θεώρημα και εφαρμόστε το σε ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒ με Α = 90. Β. Να εξετάσετε αν το τρίγωνο ΚΛΜ, που έχει πλευρές ΚΛ = 5cm, ΛΜ = 1cm, ΜΚ = 13cm, είναι ορθογώνιο (να γίνει σχήμα). Α. Τι λέγεται τετραγωνική ρίζα ενός θετικού αριθμού α; Β. Να συμπληρώσετε: Αν α 0 και α = x τότε.. Αν α 0 τότε ( ) α =, 0 =. Α. Να λυθεί η εξίσωση: x 3 5x 1 x = Β. Να λυθεί η ανίσωση και να παρασταθεί στην ευθεία των αριθμών η λύση της: 1 x +1 x + 3 x + 7 > 6 Στο διπλανό σχήμα το τρίγωνο ΑΒ είναι εγγεγραμμένο σε ημικύκλιο κέντρου Ο και διαμέτρου Β. Αν η ακτίνα του ημικυκλίου είναι 10cm και η Α = 16cm, να υπολογίσετε: Α. τη γωνία Α (δικαιολογήστε την απάντησή σας) Β. το εμβαδόν του τριγώνου ΑΒ. το εμβαδόν της γραμμοσκιασμένης επιφάνειας. 16cm O 10cm Α. Βρείτε την εξίσωση της ευθείας που περνάει από την αρχή Ο των αξόνων και από το σημείο Α(, 8 ). Β. Να συμπληρώσετε τον παρακάτω πίνακα τιμών της συνάρτησης y = 4x 3: x 3 y 5 4. Ποια σχέση συνδέει τις δύο ευθείες των ερωτημάτων (α) και (β); ικαιολογήστε την απάντησή σας.

22 ΥΜΝΑΣΙΟ Α. Τι γνωρίζετε για τη γραφική παράσταση της συνάρτησης y = α x Β. Τι γνωρίζετε για τη γραφική παράσταση της συνάρτησης y = α x + β, β 0. Να εξετάσετε αν η ευθεία με εξίσωση y = 3 x 11 διέρχεται από το σημείο (,5) Α. Να διατυπώσετε το Πυθαγόρειο Θεώρημα. Β. Να διατυπώσετε το αντίστροφο του Πυθαγορείου Θεωρήματος.. Ένα τρίγωνο ΑΒ έχει πλευρές ΑΒ = 6m, Β = 10m, Α = 8m. Να εξετάσετε αν το τρίγωνο ΑΒ είναι ορθογώνιο. Να βρείτε τις κοινές λύσεις των ανισώσεων: x x 5 >x και 4 4 (x + ) + 6 < (x 3) 3m Στο διπλανό σχήμα δίνονται ΒΑ = 45, Α = 6m, = 3m. 6m Να υπολογίσετε τις πλευρές ΑΒ, 45 Α και την εφ. Στο διπλανό σχήμα είναι ΑΒ = 6cm και Β = Α. Να αιτιολογήσετε ότι η γωνία είναι ορθή. O 3cm Β. Να υπολογίσετε τις γωνίες Α, Β.. Να υπολογίσετε το μήκος L του κύκλου.

23 ΥΜΝΑΣΙΟ Τι λέγεται τετραγωνική ρίζα ενός θετικού αριθμού α και πώς συμβολίζεται;. Να γράψετε την πρόταση που είναι γνωστή ως Πυθαγόρειο Θεώρημα. Β. Να γράψετε την πρόταση που είναι γνωστή ως το αντίστροφο του Πυθαγορείου Θεωρήματος.. Στο παρακάτω ορθογώνιο τρίγωνο να δ γράψετε την ισότητα που εκφράζει το Πυθαγόρειο Θεώρημα με τις πλευρές α, δ, κ. Να λύσετε την εξίσωση: x x 3x = x 8 Ένα κανονικό πολύγωνο έχει γωνία φ = 140. Α. Να βρείτε πόσες μοίρες είναι η κεντρική γωνία ω. Β. Να βρείτε πόσες πλευρές έχει το κανονικό πολύγωνο (δηλαδή το πλήθος ν των πλευρών του). Στο παρακάτω σχήμα είναι Α = 3, Α = 5, Β = 30 α κ και Α = 90. Α. Στο ορθογώνιο τρίγωνο Α να υπολογίσετε με τη βοήθεια του Πυθαγορείου Θεωρήματος την 30 πλευρά = x. Β. Στη συνέχεια, στο ορθογώνιο τρίγωνο Β να υπολογίσετε με τη βοήθεια της τριγωνομετρίας την πλευρά Β = y. x

24 ΥΜΝΑΣΙΟ Α. Πότε δύο ποσά λέγονται ανάλογα; Β. Με ποια σχέση συνδέονται οι τιμές x, y δύο ανάλογων ποσών;. Ποια τα χαρακτηριστικά γνωρίσματα της γραφικής παράστασης που περιγράφει δύο ανάλογα ποσά; ίνεται κύκλος κέντρου Ο και ακτίνας ρ. Α. Ποια γωνία λέγεται εγγεγραμμένη και ποια επίκεντρη σ αυτόν τον κύκλο; Β. Ποια σχέση συνδέει την εγγεγραμμένη με την αντίστοιχη επίκεντρη γωνία; Να κάνετε και το κατάλληλο σχήμα. ίνονται οι ανισώσεις: + x x +1 3 < x + x 7 και 6 x 1 3 x 3 > 3 Να βρείτε τις κοινές λύσεις τους και να τις παραστήσετε στην ευθεία των αριθμών. ίνεται ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒ με Α την ορθή γωνία του, ΑΒ = 1cm και Α = 5cm. ράφουμε ημικύκλιο με διάμετρο το τμήμα Β. Υπολογίστε το μήκος του ημικυκλίου καθώς και το εμβαδόν του (δηλαδή του μισού κυκλικού δίσκου). 4 Στον παρακάτω πίνακα δίνονται οι παρατηρήσεις μιας μεταβλητής X και οι αντίστοιχες συχνότητές τους. Χ Συχνότητα (v) 5 3 ; Σύνολο 0 Υπολογίστε: Α. τη συχνότητα της παρατήρησης 3 Β. τη μέση τιμή των παρατηρήσεων. τη διάμεσο των παρατηρήσεων. G

25 ΥΜΝΑΣΙΟ Α. Πώς ορίζεται το ημίτονο, το συνημίτονο και η εφαπτομένη οξείας γωνίας ορθογωνίου τριγώνου; Β. ικαιολογήστε γιατί ισχύει 0 < ημω <1 β α. Να αποδείξετε τη σχέση: εφω = ημω συνω. γ ω Α. Να διατυπώσετε το Πυθαγόρειο Θεώρημα. Β. Να εκφράσετε το αντίστροφο του Πυθαγορείου Θεωρήματος.. Χαρακτηρίστε ως σωστές ή λάθος τις ισότητες: α. Α = Β ΑΒ β. ΑΒ = Α + Β γ. ΑΒ Α = Β που αναφέρονται στο διπλανό ορθογώνιο ( Α = 90 ) τρίγωνο ΑΒ Να βρείτε τις κοινές, αν υπάρχουν, λύσεις των ανισώσεων: 4 x + 4 >1 x και 1 5x 4 3 και να τις παραστήσετε στην ευθεία των ρητών αριθμών. Το διπλανό ορθογώνιο ( Α = 90 ) τρίγωνο ΑΒ έχει υποτείνουσα Β = 8cm. Να βρείτε τις πλευρές ΑΒ και Α. 60 8cm G ίνεται η ευθεία: x + y = 4. Α. Να βρείτε την κλίση της ευθείας. Β. Να βρείτε τα σημεία τομής της ευθείας αυτής με τους άξονες.. Το σημείο Α( 1, ) είναι και σημείο της δοθείσας ευθείας; ικαιολογήστε την απάντησή σας.

26 ΥΜΝΑΣΙΟ Α. Στο ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒ ( Α = 90 ) τι ονομάζεται ημβ και τι συνβ για την οξεία γωνία Β (να κάνετε σχήμα) Β. Να συμπληρώσετε τον παρακάτω πίνακα: ωνία ω ημω συνω εφω Α. Να δώσετε τον ορισμό της τετραγωνικής ρίζας ενός θετικού αριθμού α. Β. Να χαρακτηρίσετε τις παρακάτω προτάσεις ως σωστό (Σ) ή λάθος (Λ): α = 5 β. Ο αριθμός 5 είναι άρρητος γ. Αν α 0, τότε ( α ) = α Α. Να λύσετε την ανίσωση: (x 18) >7(x +1) + Β. Να λύσετε την ανίσωση: x +1 x x x Να βρείτε τις κοινές λύσεις των δύο παραπάνω ανισώσεων. ίνεται το ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒ ( Α = 90 ). Αν Α = 8m και Β = 10m Α. Να βρείτε την πλευρά ΑΒ 8cm Β. Να βρείτε την περίμετρο και το εμβαδόν του 10cm τριγώνου. Να βρείτε το ημβ και το συν. ίνεται η συνάρτηση ευθείας (ε): y = x 4 Α. Να συμπληρώσετε τον παρακάτω πίνακα τιμών: x 0 3 y 0 7 Β. Να κάνετε γραφική παράσταση της συνάρτησης.. Να εξετάσετε αν το σημείο Α(5, 6) ανήκει στην παραπάνω ευθεία.

27 ΥΜΝΑΣΙΟ Α. Τι λέγεται κλίση της ευθείας y = αx. Ποια είναι η γραφική παράσταση της συνάρτησης y = αx + β β 0, από ποιο σημείο διέρχεται και ποια η σχέση της με τη γραφική παράσταση y = αx Να υπολογίσετε τους τριγωνομετρικούς αριθμούς της γωνίας των 60 (με το κατάλληλο σχήμα). Να βρεθούν οι κοινές λύσεις των ανισώσεων: 5(x + 1) 9x 3 4(x + ) x (x 1) 3 < 0 Μια ευθεία διέρχεται από την αρχή 45 των αξόνων και από το σημείο Α( 3, 6) Α. Να βρείτε την κλίση της ευθείας O Β. Να γράψετε την εξίσωση της ευθείας. Στο παρακάτω σχήμα έχουμε κύκλο (Ο, ρ) με Β =. Να υπολογίσετε: Α. τη γωνία ΒΟ και την ακτίνα του κύκλου Β. το εμβαδόν του κύκλου. το εμβαδόν του γραμμοσκιασμένου τμήματος.

28 ΥΜΝΑΣΙΟ Α. Τι λέμε εξίσωση και τι λέμε ανίσωση; Β. Να γράψετε στην κόλλα σας τις παρακάτω προτάσεις συμπληρωμένες: α. Σε μια εξίσωση μπορούμε να «μεταφέρουμε» όρους από το ένα μέλος στο άλλο, β. Αν και τα δύο μέλη μιας ισότητας διαιρεθούν με τον ίδιο αριθμό, τότε προκύπτει. Να γράψετε στην κόλλα σας την παρακάτω πρόταση συμπληρωμένη και να τη διατυπώσετε με λόγια. Αν α <β και γ <0 τότε αγ βγ. Α. Συμπληρώστε στην κόλλα σας τις παρακάτω προτάσεις: α. Κάθε γωνία που η κορυφή της ανήκει στον κύκλο και οι πλευρές της τέμνουν τον κύκλο λέγεται.. β. Οι εγγεγραμμένες γωνίες ενός κύκλου που βαίνουν στο ίδιο τόξο ή ίσα τόξα είναι γ. Κάθε εγγεγραμμένη γωνία που βαίνει σε ημικύκλιο είναι.. Β. Να αντιστοιχίσετε στην κόλλα σας τα στοιχεία της γραμμής Α, με τα στοιχεία της γραμμής Β: ΡΑΜΜΗ Α Μήκος κύκλου μ ΡΑΜΜΗ Β πρ 360 Εμβαδόν κυκλικού τομέα 360 ν Εμβαδόν κυκλικού δίσκου πρ μ 360 Μήκος τόξου πρ Κεντρική γωνία κανον. Πολυγών. πρ Αν x = 49 ( ) 3 + 9, και y = , να βρείτε την τιμή της παράστασης: Κ = x xy + y. Να σχεδιάσετε ένα ορθοκανονικό σύστημα αξόνων και να βρείτε: Α. Τη θέση των σημείων: Α(,1), Β(6,4), ( 6, 8), ( 3, 4), Ε(0, 5). Β. Την απόσταση του σημείου ( 6, 8) από την αρχή των αξόνων Ο(0, 0).. Την απόσταση μεταξύ των σημείων Α(,1) και Β(6, 4). Σε ένα ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒ( Α = 90 ) η υποτείνουσα Β είναι 15m και η κάθετη πλευρά ΑΒ είναι κατά 3m μεγαλύτερη από την κάθετη πλευρά Α. Αν η περίμετρος του ορθογωνίου τριγώνου είναι 36m, να υπολογίσετε: Α. Τις κάθετες πλευρές ΑΒ και Α. Β. Το εμβαδόν του ορθογωνίου τριγώνου.. Το ύψος του ορθογωνίου τριγώνου που αντιστοιχεί στην υποτείνουσα.

29 ΥΜΝΑΣΙΟ Α. Να σχεδιάσετε ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒ με Α = 90 και να ορίσετε τους τρεις τριγωνομετρικούς αριθμούς της οξείας γωνίας Β. Β. ια το τρίγωνο του διπλανού σχήματος να συμπληρώσετε τις παρακάτω ισότητες: ημω =, συνω =., εφω =. Αν ημθ = και συνθ =, τότε εφθ = 13 Να βάλετε σε κύκλο τη σωστή απάντηση: Α : 5 1 Β : 1 5 : 13 5 : 13 1 Α. Τι λέγεται τετραγωνική ρίζα ενός θετικού αριθμού α και πώς συμβολίζεται; Β. Να συμπληρώσετε: 4cm 7cm 5cm Αν α 0 και α = x, τότε... Να εξετάσετε αν είναι σωστές (Σ) ή λανθασμένες (Λ) οι παρακάτω ισότητες: 8 = 4, 4 =, 0 = 0, 0, 09 = 0,3, ( ) 7 = = 10 Να βρείτε αν η λύση της εξίσωσης: 1 x 3 3x = x 6 είναι και λύση της ανίσωσης: 3( x 4) ( x 7) < 5( x ) Στο διπλανό σχήμα το ΑΒ είναι ορθογώνιο τραπέζιο με ΑΒ = 16 cm, Β = 13 cm, ΒΕ = 1 cm και Ε = 5cm.. Να εξετάσετε αν το ΒΕ είναι ύψος του τραπεζίου. 1cm 13cm Β. Να υπολογίσετε την περίμετρο και το εμβαδόν του τραπεζίου. 5cm E Στο παρακάτω σχήμα το τρίγωνο ΑΒ είναι εγγεγραμμένο σε κύκλο κέντρου Ο και διαμέτρου Β = 17 cm. 8. Να αιτιολογήσετε το είδος του τριγώνου ΑΒ. O Β. Να υπολογίσετε το μήκος της πλευράς Α, αν ΑΒ = 15 cm. Να υπολογίσετε την επίκεντρη γωνία ΑΟ, αν Β = 8. 15cm

30 ΥΜΝΑΣΙΟ Α. Ποια συνάρτηση εκφράζει δύο ανάλογα ποσά x, y και ποια είναι η γραφική παράσταση της συνάρτησης αυτής; Β. Ποια είναι η γραφική παράσταση της συνάρτησης y = αx + β για β 0 και πώς λέγεται ο αριθμός α;. Στο διπλανό σχήμα έχουν σχεδιαστεί οι τρεις παράλληλες ευθείες της στήλης Α. Να αντιστοιχίσετε κάθε ευθεία της στήλης Α με την εξίσωσή της από τη στήλη Β. 1 y x ε 1 ε ε 3 -. Να διατυπώσετε το Πυθαγόρειο Θεώρημα. Β. Να διατυπώσετε το αντίστροφο του Πυθαγορείου Θεωρήματος.. Το διπλανό τρίγωνο είναι ορθογώνιο με Α = 90. γ Να χαρακτηρίσετε ως Σωστή (Σ) ή Λανθασμένη (Λ) καθεμιά από τις παρακάτω σχέσεις: α. α = β + γ β. γ = β α γ. β = α γ α Στήλη Α Στήλη Β ε 1 y = x ε y = x + 1 ε 3 y = x + y = x 1 Α. Να λύσετε τις ανισώσεις: 3(x )<(x +1) x και x 3 7x x 5 Β. Να παραστήσετε τις λύσεις των ανισώσεων στην ευθεία των αριθμών και να βρείτε τις κοινές ακέραιες λύσεις τους. Στο διπλανό ορθογώνιο τραπέζιο ΑΒ με Α = = 90, = 60 και ΑΒ = 8cm, Α = 3 3 cm να υπολογίσετε: Α. τα ευθύγραμμα τμήματα ΒΕ και Ε. Β. την περίμετρο του τραπεζίου ΑΒ.. το εμβαδόν του τραπεζίου ΑΒ. Στο διπλανό σχήμα το τρίγωνο ΑΒ είναι εγγεγραμμένο στο ημικύκλιο κέντρου Ο και διαμέ- 6cm 74 τρου Β. ίνονται: ΑΒ = 6cm, ΟΒ = 5cm και ΑΒ = 74. Να υπολογίσετε: 5cm Α. τις γωνίες του τριγώνου ΑΒ (δικαιολογήστε τις απαντήσεις σας) Β. το ευθύγραμμο τμήμα Α.. το εμβαδόν της γραμμοσκιασμένης επιφάνειας. O β E 60 G

31 ΥΜΝΑΣΙΟ ΘΕΜΑΤΑ Α. Τι ονομάζουμε εγγεγραμμένη γωνία; (Ορισμός και σχήμα) Β. Ποια είναι η σχέση μιας εγγεγραμμένης και μιας επίκεντρης γωνίας που αντιστοιχούν στο ίδιο τόξο ενός κύκλου;. Με τι ισούται μία εγγεγραμμένη γωνία που βαίνει σε ημικύκλιο; Να δικαιολογήσετε την απάντησή σας. Α. Τι ονομάζουμε τετραγωνική ρίζα ενός θετικού αριθμού x; Β. Να εξηγήσετε γιατί δεν υπάρχει η τετραγωνική ρίζα αρνητικού αριθμού.. Να αντιγράψετε στο γραπτό σας τις ισότητες και να τις συμπληρώσετε: α =. αν α 0, 0 =. Στο διπλανό σχήμα δίνεται ότι ΑΒ = 6m, Β = 8m και Α = 4. Οι γωνίες ΑΒ 4 και Α είναι ορθές. Να υπολογίσετε: 6m Α. το ευθύγραμμο τμήμα Α Β. το ευθύγραμμο τμήμα 8m. το εμβαδόν του τετραπλεύρου ΑΒ.. ίνονται: ημ4 = 0,67, συν4 = 0,74, εφ4 = 0,9 Μία σφαίρα εγγράφεται σε έναν κύλινδρο (δηλ. χωράει ακριβώς μέσα σε έναν κύλινδρο όπως φαίνεται στο σχήμα). Η σφαίρα έχει α- κτίνα ρ = 10m. Να βρείτε: O ρ ρ Α. Το εμβαδόν της ολικής επιφάνειας του κυλίνδρου. Β. Τον όγκο της σφαίρας.. Τον όγκο του χώρου που περικλείεται ανάμεσα στη σφαίρα και τον κύλινδρο. ίνεται π = 3,14 Να λύσετε την εξίσωση: 3 + x x = 5 x. 4

32 ΥΜΝΑΣΙΟ Α. Να αναφέρετε το Πυθαγόρειο Θεώρημα. Β. Να εφαρμόσετε το Πυθαγόρειο Θεώρημα στο διπλανό ορθογώνιο τρίγωνο Α. Ποια γωνία λέγεται επίκεντρη; Β. Ποια γωνία λέγεται εγγεγραμμένη;. Ποια είναι η σχέση μεταξύ μιας επίκεντρης και μιας εγγεγραμμένης που αντιστοιχούν στο ίδιο τόξο; ίνεται η παρακάτω ανίσωση: x +1 x +1 < Α. Να λυθεί η ανίσωση. Β. Να βρεθούν οι θετικές ακέραιες λύσεις που επαληθεύουν την ανίσωση. ίνεται το παρακάτω τραπέζιο ΑΒ στο οποίο Α = 10cm, Ζ = 8cm, ΑΒ = 6cm και = 30. Α. Να υπολογίσετε το ύψος ΑΖ. Β. Να υπολογίσετε τα Β και Η. 30 (ίνεται ότι ,4). Να υπολογίσετε την περίμετρο και το εμβαδόν του τραπεζίου ΑΒ. D Z H Στο διπλανό σχήμα το τόξο ΑΒ είναι 90, το τόξο Β είναι 3x, το τόξο είναι x + 90 και το τόξο Α είναι Α. Να αποδείξετε ότι το x ισούται με 30. Β. Να υπολογίσετε τα τόξα Β και. 60 3x. Να εξηγήσετε γιατί το ευθύγραμμο τμήμα Α είναι x + 90 διάμετρος του κύκλου.. Αν το μήκος του Α είναι 4cm, να υπολογίσετε το εμβαδόν και το μήκος του κύκλου.

33 ΥΜΝΑΣΙΟ Α. Πότε δύο ποσά λέγονται ανάλογα; (παράδειγμα) Πότε δύο ποσά λέγονται αντιστρόφως ανάλογα; (παράδειγμα) Β. Από ποια συνάρτηση εκφράζονται;. Ποια είναι η γραφική τους παράσταση; Α. Πότε μία γωνία λέγεται εγγεγραμμένη και πότε επίκεντρη; Β. Ποια είναι η σχέση μεταξύ επίκεντρης και εγγεγραμμένης γωνίας που βαίνουν στο ίδιο τόξο;. Πότε δύο τόξα μ είναι ίσα; ικαιολογήστε την απάντησή σας. Να βρείτε αν η λύση της εξίσωσης: x +1 3 = 3x x είναι και λύση της ανίσωσης: (x 18) >7(x +1) + Σε ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒ ( Α = 90 ) δίνεται ΑΒ = 1cm και εφ =,4. Να βρεθούν οι άλλες πλευρές του τριγώνου και οι τριγωνομετρικοί αριθμοί της γωνίας Β. ίνεται τρίγωνο ΑΒ εγγεγραμμένο σε κύκλο (Ο, ρ) με ΑΒ = 6cm και Α = 8cm. Να υπολογίσετε: 6cm 8cm Α. τη γωνία Α(αναλυτικά) Β. την ακτίνα του κύκλου και το εμβαδόν του τριγώνου ΑΒ.. το εμβαδόν της γραμμοσκιασμένης επιφάνειας. O

34 ΥΜΝΑΣΙΟ Α. Να γράψετε το Πυθαγόρειο Θεώρημα. Β. Αν σε ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒ είναι β = α + γ ποια είναι η ορθή γωνία; Να κάνετε το σχήμα.. Να διατυπώσετε το αντίστροφο του Πυθαγορείου Θεωρήματος. Α. Τι ονομάζεται τετραγωνική ρίζα ενός θετικού αριθμού; Β. Ποιοι αριθμοί δεν έχουν τετραγωνική ρίζα και γιατί;. Να συμπληρώσετε τις ισότητες: ( α ) = με α 0 0 =., 1 = Να βρεθούν οι κοινές λύσεις των ανισώσεων: Α. x 4 x < 1 x. 6 3 x +1 x 1 <1 3 Να σχηματίσετε ορθογώνιο τρίγωνο ΕΖ με γωνία ορθή όπου Ε = 4cm και ΕΖ = 5cm. Α. Να υπολογίσετε τα ημίτονα, συνημίτονα και τις εφαπτομένες των οξειών γωνιών του τριγώνου ΕΖ. Β. Να υπολογίσετε το εμβαδόν του τριγώνου ΕΖ. Στο σχήμα είναι ΚΛ = 5cm και ΚΜ = 1cm. Η ΜΛ είναι διάμετρος του κύκλου. Να βρείτε: K Α. την ακτίνα του κύκλου Β. το μήκος του κύκλου Μ O Λ. το εμβαδόν της γραμμοσκιασμένης επιφάνειας.

35 ΥΜΝΑΣΙΟ Α. Εάν ω είναι μία οξεία γωνία ενός ορθογωνίου τριγώνου να ορίσετε τα ημω και συνω (ορισμοί, σχήμα). Β. Ποιες τιμές μπορεί να πάρει το ημω και συνω.. Όταν αυξάνεται η γωνία ω πώς μεταβάλλεται το ημω και το συνω; Α. Να διατυπώσετε το Πυθαγόρειο Θεώρημα. Β. Σε ένα ορθογώνιο τρίγωνο ΚΛΜ με Κ = 90 να γράψετε το Πυθαγόρειο Θεώρημα.. Να διατυπώσετε το αντίστροφο του Πυθαγορείου Θεωρήματος. Να βρείτε τις κοινές λύσεις των ανισώσεων και να τις παραστήσετε στην ευθεία των αριθμών: Α. 5x 3(x ) 6(x 1) και Β. x +1 8 x 5 x 7 > 4 ίνεται η ευθεία με εξίσωση x + y = 6, με x, y πραγματικούς αριθμούς: Α. Να βρείτε τα σημεία στα οποία τέμνει τους άξονες. Β. Να σχεδιάσετε τη γραφική της παράσταση.. Να βρείτε την κλίση της ευθείας. Στο πλαϊνό σχήμα η ΑΒ είναι διάμετρος του κύκλου, η γωνία ΑΒ = 55 και το τόξο Β = 30. Να υπολογίσετε τις γωνίες του τριγώνου Α και να δείξετε ότι η γωνία ΑΒ είναι ίση με τη γωνία Α. (Να δικαιολογηθούν όλες οι απαντήσεις)

36 ΥΜΝΑΣΙΟ Α. ιατυπώστε το Πυθαγόρειο Θεώρημα. Β. Ποια είναι η σχέση που συνδέει τις πλευρές ορθογωνίου τριγώνου; (με σχήμα). ιατυπώστε το αντίστροφο του Πυθαγορείου Θεωρήματος. Α. Τι ονομάζεται τετραγωνική ρίζα θετικού αριθμού; Πώς συμβολίζεται; Β. Ποιοι αριθμοί λέγονται άρρητοι; Ποιους άρρητους αριθμούς γνωρίζετε;. Εξετάστε ποιες από τις παρακάτω σχέσεις είναι σωστές και ποιες λάθος: α β = α β, αβ = α β, α ± β = α ± β Να βρείτε τις κοινές λύσεις των ανισώσεων και να παραστήσετε στην ευθεία των αριθμών τις λύσεις τους: 1 x x 1 και x (x 1) x 6 3 ια να κατέβει με ασφάλεια ένα καροτσάκι τη ράμπα αναπήρων θα πρέπει η γωνία ω που σχηματίζει η ράμπα με το δρόμο να μην υπερβαίνει τις 0. Αν η ράμπα είναι,5m και η α- πόσταση από το έδαφος 75cm κατεβαίνει με ασφάλεια το καροτσάκι; Στο παρακάτω σχήμα να βρεθούν: Β. ΑΒ 8cm 6cm. το εμβαδόν του κύκλου. το εμβαδόν του ΑΒ Ε. το εμβαδόν της γραμμοσκιασμένης επιφάνειας. O

37 ΥΜΝΑΣΙΟ Α. Τι γνωρίζετε για τη γραφική παράσταση της συνάρτησης y = αx; Β. Τι γνωρίζετε για τη γραφική παράσταση της συνάρτησης y = αx + β όπου β 0;. Τι γνωρίζετε για τη γραφική παράσταση της συνάρτησης y = α όπου α <0; x Α. Να σχεδιάσετε ένα ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒ με ( Α = 90 ) και με βάση αυτό το σχήμα να γράψετε συμπληρωμένες τις ισότητες: ημβ = συνβ =.. εφβ = Β. Να δικαιολογήσετε ότι: συνβ <1. Να δικαιολογήσετε ότι: ημβ <εφβ. Να βρείτε τις κοινές λύσεις των ανισώσεων: x x 1 1 < και x + 5 x Ένα ισοσκελές τρίγωνο ΑΒ έχει περίμετρο 36cm και ίσες πλευρές ΑΒ = Α = 13cm. Να υπολογίσετε τη βάση του Β, το ύψος του Α και το εμβαδόν του. Σε ένα κύκλο δύο κάθετες χορδές του είναι ΑΒ = 6cm και Α = 8cm. Να υπολογίσετε την ακτίνα, το μήκος και το εμβαδόν του κύκλου.

38 ΥΜΝΑΣΙΟ Α. Τι ονομάζουμε συνάρτηση; Β. Τι ονομάζουμε γραφική παράσταση συνάρτησης;. Να συμπληρώσετε τον παρακάτω πίνακα τιμών της συνάρτησης με τύπο y = x 5 (είξτε αναλυτικά με ποιο τρόπο συμπληρώσατε τον πίνακα). x y 0 Α. Αναφέρατε το Πυθαγόρειο Θεώρημα (Ευθύ). Β. Αναφέρατε το αντίστροφο του Πυθαγορείου Θεωρήματος.. ίνεται τρίγωνο ΑΒ με μήκη πλευρών α = 9cm, β = 10cm και γ = 13cm. Είναι το τρίγωνο αυτό ορθογώνιο; Βρείτε τις κοινές λύσεις των παρακάτω ανισώσεων: (x +1) 3 x + 1 x 13 6 και x < x 1 x Το τραπέζιο ΑΒ του διπλανού σχήματος είναι ισοσκελές με ΑΒ // και Α = Β. Αν 10cm είναι ΑΒ = 10cm, = 0cm, Α = Β = 13cm, να βρείτε: 13cm 13cm Α. Το ύψος του τραπεζίου. Β. Το εμβαδόν του τραπεζίου. 0cm. Τους τριγωνομετρικούς αριθμούς της γωνίας. Το τετράπλευρο ΑΒ του διπλανού σχήματος είναι ορθογώνιο με διαστάσεις α = 1cm και β = 8cm. Με κέντρα τις κορυφές του γράφουμε στο εσωτερικό του τεταρτοκύκλια ακτίνας cm. Με κέντρο το σημείο τομής των διαγωνίων του γράφουμε κύκλο ακτίνας 3cm. Βρείτε το εμβαδόν της γραμμοσκιασμένης περιοχής. 8cm O D 1cm G

39 ΥΜΝΑΣΙΟ Να σχεδιάσετε ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒ ( Α = 90 ). Β. Να διατυπώσετε το Πυθαγόρειο Θεώρημα στο τρίγωνο αυτό.. Να διατυπώσετε το αντίστροφο του Πυθαγορείου Θεωρήματος. Α. Τι ονομάζουμε τετραγωνική ρίζα ενός θετικού αριθμού α;. ιατί δεν ορίζουμε ρίζα αρνητικού αριθμού;. Αν α >0, τότε ( α ) = ;. 0 ; Να λύσετε την εξίσωση: (x 1) 3(3 x) 3x 3 + x x 4 = x x 3 Έστω τρίγωνο ΑΒ εγγεγραμμένο σε κύκλο με κέντρο Ο και διάμετρο ΑΒ, με Α = 16cm και Β = 1cm. Αν με κέντρο Κ και διάμετρο ΟΑ φέρω ημικύκλιο, όπως δείχνει το διπλανό σχήμα, να υπολογιστεί η περίμετρος και το εμβαδόν της γραμμοσκιασμένης επιφάνειας. Ορθογώνιο τρίγωνο έχει περίμετρο 30cm, ενώ η μια κάθετη πλευρά του είναι τα K O 5 της άλ- 1 λης. Αν η υποτείνουσα είναι 13cm να υπολογίσετε την εφαπτομένη κάθε μιας από τις οξείες γωνίες του.

40 ΥΜΝΑΣΙΟ Α. Αν δύο ποσά x και y είναι αντιστρόφως ανάλογα, τότε ποια ιδιότητα έχουν οι αντίστοιχες τιμές τους; Β. Πώς ονομάζεται η γραφική παράσταση της συνάρτησης y = α και που βρίσκεται x αν α < 0.. Η γραφική παράσταση της y = α παρουσιάζει συμμετρία και ως προς τι; x Α. ράψτε τους ορισμούς των τριγωνομετρικών αριθμών οξείας γωνίας ορθογωνίου τριγώνου. Β. Μεταξύ ποιων αριθμών βρίσκονται το ημίτονο και το συνημίτονο οξείας γωνίας ορθογωνίου τριγώνου. Αιτιολογήστε την απάντησή σας.. Να συμπληρώσετε τον παρακάτω πίνακα, αφού τον αντιγράψετε στην κόλλα αναφοράς: ημίτονο συνημίτονο εφαπτομένη ίνονται η εξίσωση: 7 [x (x 3) + 1] = 18 και η ανίσωση: Α. Να λυθεί η εξίσωση. x (x 1) 3 > 1 x Β. Να λυθεί η ανίσωση και να παρασταθούν οι λύσεις της γραφικά.. Να εξετάσετε αν η λύση της εξίσωσης ανήκει στις λύσεις της ανίσωσης. Στο διπλανό ημικύκλιο είναι: ΑΒ = 6cm, ΟΒ = 5cm και ΑΒ = Α. Να υπολογιστούν οι γωνίες του τριγώνου ΑΒ. 6cm Β. Να υπολογιστεί η πλευρά Α του τριγώνου. 5cm Ο. Να υπολογιστεί το εμβαδόν του γραμμοσκιασμένου τμήματος. Στο παρακάτω σχήμα είναι: ΒΑ = Α = 90, ΒΑ = 30 5cm Α = 60 και Α = 5cm. Να υπολογίσετε τις πλευρές Β, Α και

41 ΥΜΝΑΣΙΟ Α. Τι ονομάζεται τετραγωνική ρίζα ενός θετικού αριθμού α; Β. Να συμπληρώσετε τα κενά: α. Αν α 0 τότε ( ) α =.. β. 0 =... Να χαρακτηρίσετε τις παρακάτω προτάσεις με την ένδειξη Σωστό (Σ) ή Λάθος (Λ): α. 4 =, β = 4 + 3, γ. ( 13) = 13, δ. 0, 4 = 0, Α. Ποια γωνία ονομάζεται εγγεγραμμένη σε κύκλο; Β. Ποια σχέση συνδέει την εγγεγραμμένη με την επίκεντρη γωνία που βαίνουν στο ίδιο τόξο;. Να χαρακτηρίσετε τις παρακάτω προτάσεις με την ένδειξη Σωστό (Σ) ή Λάθος (Λ): α. Το μήκος ενός κύκλου με διάμετρο δ, δίνεται από τον τύπο l = π δ. β. Το εμβαδόν ενός κυκλικού τομέα γωνίας μ μοιρών και ακτίνας ρ δίνεται από τον τύπο: πρ μ Ε = 180 γ. Ο τύπος μετατροπής ακτινίων α σε μοίρες μ είναι ο α π = μ 180. δ. Το μήκος τόξου ενός κυκλικού τομέα μ μοιρών δίνεται από τον τύπο: l = Α. Να λυθεί η ανίσωση: 1 4 x x 1 x Β. Να λυθεί η ανίσωση: 1 + ( 3x ) < 4 3 (1 x). Να βρεθούν οι κοινές ακέραιες λύσεις των δύο παραπάνω ανισώσεων. ίνεται τραπέζιο ΑΒ, ΑΒ //. Α. Αν ΑΒ = cm, Β = 3cm, Α = 1cm και = 60, = 30, να υπολογίσετε τα 1cm cm πρ μ 360. τμήματα Ζ, ΖΕ, Ε, ΑΖ Β. Αν είναι διπλάσια της ΑΒ, να υπολογίσετε Z E το εμβαδόν του τραπεζίου ΑΒ.. Στο παραπάνω σχήμα η Α είναι διάμετρος του κύκλου. Αν το μήκος του κύκλου είναι 8πcm και η ΑΒ είναι 45, να υπολογίσετε: Α. Την ακτίνα του κύκλου και το τόξο Β σε μοίρες. Β. Αν η διάμετρος είναι 8cm και ΑΟΒ = 90, να βρείτε το εμβαδόν του κυκλικού τομέα ΑΟΒ και το μήκος του τόξου ΑΒ.. Το εμβαδόν της γραμμοσκιασμένης επιφάνειας. 45 3cm O

42 ΥΜΝΑΣΙΟ Α. Τι γνωρίζετε για τη γραφική παράσταση της συνάρτησης y = αx; Β. Τι γνωρίζετε για τη γραφική παράσταση της συνάρτησης y = αx + β.. Να χαρακτηριστούν οι παρακάτω προτάσεις ως: «σωστή» ή «λάθος». α. Η γραφική παράσταση της συνάρτησης y = 3x + έχει κλίση. β. Στη συνάρτηση y = 1x τα ποσά x και y είναι ανάλογα. γ. Η γραφική παράσταση της συνάρτησης y = 3x περνά από την αρχή των αξόνων. Α. Πότε ένα πολύγωνο λέγεται κανονικό; Β. Να γράψετε τους τύπους που δίνουν την κεντρική γωνία ω και τη γωνία φ του κανονικού ν γώνου.. Να εξετάσετε ποια από τα παρακάτω πολύγωνα είναι κανονικά: α. Ορθογώνιο β. Τετράγωνο γ. Τραπέζιο δ. Ισόπλευρο τρίγωνο Να βρεθούν οι κοινές ακέραιες λύσεις των ανισώσεων: 3(x 1) x 6 3 (x 1) 3 x 3 x 7 + < x 5 6 και Στο διπλανό σχήμα είναι: η γωνία ΒΑ = ω και εφω = 3 4, το ευθύγραμμο τμήμα Β = 9cm και το = 16cm. ω Α. Να υπολογίσετε το ύψος Α και τις πλευρές ΑΒ, Α. Β. Να δείξετε ότι το τρίγωνο ΑΒ είναι ορθογώνιο.. Να βρείτε το εμβαδόν του τριγώνου (ΑΒ). 9cm 1cm Στο ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒ ( Α = 90 ), Α = 1cm, Β = cm. Με κέντρο την κορυφή Β και ακτίνα ΒΑ γράφουμε τόξο Α στο εσωτερικό του τριγώνου. Α. Να υπολογίσετε τις γωνίες του τριγώνου ΑΒ Β. Το μήκος της πλευράς ΒΑ.. Το εμβαδόν του γραμμοσκιασμένου μικτόγραμ- μου χωρίου (Α) ( 3 1,7)