דוגמאותלשאלותבגאומטרייה כוללהצעותשונותלדרכיפתרון שאלות 1,2,3 מתאימיםלשלישהראשוןשלכיתהח', יתר השאלותמתאימות לשלישהשלישישלכיתהח' E במשולש. נקודהעלהצלע במשולש, נקודהעלהצלע E נמקומדועמשולש דומהלמשולשE E 1 1.1 I שווהבשניהמשולשים כיהיאזווית משותפת. E 1 = כיהןזוויותמתאימותשוותבין הישריםהמקבילים 1 = כיסכוםהזוויותבכלמשולש הוא 180 אםשלושזוויותשלמשולששוותלשלוש זוויותשלמשולשאחר אזהמשולשיםדומים. (תלמידשהשתמשבמשפטזהולאצייןאתהזווית השלישית, יקבלרקחלקמהניקודעלהשאלה) דרך אפשרית I שווהבשניהמשולשים כיהיאזווית משותפת. E 1 = כיהןזוויותמתאימותשוותבין הישריםהמקבילים אםשתיזוויות שלמשולששוותלשתיזוויות שלמשולשאחר אזהמשולשיםדומים..2 ו-. היאנקודתהחיתוךשלהישרים האםהמשולשים ו- E חופפים? ב. האםהמשולשים ו- E דומים? נמקו. ב. איןאפשרותלדעתאםהמשולשים חופפיםכיאיןמידעלגבישוויון צלעות. בכלמשפטחפיפהמופיע שוויוןלפחותשלצלעאחת. המשולשיםדומיםכייששלוש הזוויותבמשולשאחדשוותלשלוש הזוויותבמשולשהאחר. שניזוגות שלזוויותמתחלפותשוותזולזו E = E ו- = וזוויותקודקודיותהשוותזולזו 1 = 2 נימוקנוסף: אםשתיזוויות שלמשולששוות לשתיזוויותשלמשולשאחראזהמשולשים דומים. I 1 2 E 1 = 2 כיהןזוויותקודקודיות השוותזולזו = כי הן זוויות מתחלפות שוות בין הישרים המקבילים = E כיהןזוויות מתחלפות שוותביןהישריםהמקבילים המשולשיםאינםחופפים לאקייםמשפט חפיפהזז"ז. ב. לפיסעיףא' אםשלושזוויותשל משולששוותלשלושזוויותשל משולשאחר אזהמשולשיםדומים. 1
היאנקודהבאמצעהקטע. E נמקומדועהמשולשים ו- E חופפים..3 1 2 E רשמובכתיבמתמטימהבשאלהנתוןומהצריךלהוכיח: נתון: = E צריך להוכיח: E ב. הוכיחו: דרך אפשרית = נתון 1 = 2 כיהןזוויותקודקודיותהשוותזולזו = כי הן זוויות מתחלפות שוות בין הישרים המקבילים לחילופין) המשולשיםחופפיםלפימשפטהחפיפה זווית, צלע, זווית (ניתן להשתמש בזוויות, E 2
M P.4 1 1 E F נתון:, EF (הקדקודיםרשומיםבהתאמה) M ו- EP הםחוציהזוויות ו- E בהתאמה. נמקו מדוע M שווה ל.EP שלדשלהוכחה נמצאאתהשוויונותביןשניהמשולשיםעלפיהחפיפההנתונה ב. נחפוףאתהמשולשים M ו- PEF בעזרתשלושהשוויונות ג. נסיקמסקנהעלסמךחפיפתהמשולשים. נוכיחשהמשולשיםM ו- PEF חופפים זהלזה: = E בהתאםלחפיפה בנתון 1 = E 1 חצאיזוויותשוות, שוותזולזו = EF בהתאםלחפיפה = F בהתאםלחפיפה M לפימשפטהחפיפה PEF זווית, צלע, זווית M = EP I זוויות ו- E שוותבהתאםלחפיפהגם חצאיהזוויותשוות. מתקבליםהמשולשיםM ו- PEF החופפיםזהלזהעפ"ימשפטהחפיפה זווית, צלע, זווית. הצלעותEP ו- M שוותכיהןצלעות מתאימותשוותבמשולשיםהחופפים. ב. האםניתןלהוכיחאתשוויוןהצלעות M ו- EP בדרךנוספת? 3
5. המרובע הוא מלבן. מאונך לאלכסוןהמלבן M. = α בטאואתגודל M הזוויתM בעזרת α. I כלזוויותהמלבןישרותואםחלקמהזווית הישרהגודלוαאזהמשליםהואα.90 M מאונך ל- ומשולש M הוא משולשישרזווית. אםזווית M גודלה α 90 אזגודלהשלהזוויתהשלישיתהוא α. גםזווית היאישרההמשליםשל הזוויתהואα 90. מכאןש-. M = 90 α נתון: M = α ב. הסבר: = = α זוויותמתחלפות שוותביןישריםמקבילים (צלעותנגדיות במלבןמקבילותזולזו) = 90 M עלפיהנתון M = 90 α סכוםהזוויותהחדות במשולשישרזוויתהוא 90 II משלימה את זווית = 90 α לזווית ישרה M = 90 M עלפיהנתון M = α סכוםזוויותבמשולש הוא 180 M = 90 α משלימה את הזווית לזווית ישרה. 4
M P המרובע הואמלבן. P = M כךש נקודותעלהאלכסון M ו- P כמהזוגותשלמשולשיםחופפיםבסרטוט? ב. בחרושניזוגותשלמשולשיםחופפים ונמקומדועהםחופפים..6 ב. בסרטוט 3 זוגותמשולשיםחופפים ננמקמדועמשולש P חופףלמשולש M I לשניהמשולשיםשתיצלעותשוות:.P = M ו- = = כיהןזוויותמתחלפות שוותביןהישריםהמקבילים ו- שהן צלעותנגדיותבמלבן (במלבןצלעותנגדיות מקבילות). - P לפימשפטהחפיפה M צלע, זווית, צלע = כיבמלבןהצלעותהנגדיות שוות P = M נתון כיבמלבןהצלעותהנגדיות מקבילות = זוויותמתחלפותשוותבין ישריםמקבילים P לפימשפטהחפיפה M צלע, זווית, צלע ננמקמדועמשולש P חופףלמשולש M הצלעות ו- שוותכיצלעותנגדיותבמלבןשוות = כיהןזוויותמתחלפותשוותביןהישריםהמקבילים ו- שהן צלעותנגדיותבמלבן, ובמלבןצלעותנגדיות מקבילות. הצלעות P ו- M שוותכילקטעיםשוויםמחבריםקטע משותף PM - P לפימשפטהחפיפה M צלע, זווית, צלע 5
P המרובע הואמלבן. מאונךלאלכסוןהמלבן M במשולש הואגובהלצלע P כמהזוגותשלמשולשיםחופפיםבסרטוט? ב. בחרושניזוגותשלמשולשיםחופפים ונמקומדועהםחופפים..7 M ב. בסרטוט 3 זוגותמשולשיםחופפים ננמק מדוע משולש P חופף למשולש M = כי... כי... = כי... = 90 = M P כי... P = M כי... P לפימשפטהחפיפה M I הצלעות ו- שוות = כיהןזוויותמתחלפות שוותביןהישריםהמקבילים ו- שהן צלעותנגדיותבמלבן (במלבןצלעותנגדיות מקבילות). M ו- P גבהיםבמשולש, הזוויות M ו- P הןישרות. סכוםהזוויות החדותבמשולשהוא 90 הזוויותP ו- M שוות. - P לפימשפטהחפיפה M זווית, צלע, זווית. באופןדומהניתןלהוכיח שמשולשים P ו- M חופפים. 6
E לפניכםשנימשולשיםישריזווית. = F, EF.8 הסבירומדועהמשולשים ו- EF חופפים. ב. השלימו: = F = = EF זוויותישרות הצלעות ו- F שוותכיהוספנוקטעמשותףשווהלצלעות השוות ו- F EF ו- כיהןזוויותמתאימותשוותביןהישריםהמקבילים = EF - לפימשפטהחפיפה EF זווית, צלע, זווית השלימו: = E = E I = EF כי הצלעות שוותזולזוכיהוספנואותוקטעלשתיהצלעות ו-,F שהיהנתון שהןשוות = EF כי - לפימשפטחפיפה EF 7
משולש משולששווהשוקיים ).( =, נמקומדועהמשולש הואמשולששווהשוקיים..9 I נתוניםישריםמאונכיםוזוויות ו- ישרות. במשולששווהשוקייםזוויותהבסיסשוות וזוויות ו- שוות. אםנחסרמהזוויות הישרות אתזוויותהבסיס נקבלשתיזוויותשוות ו- במשולש. אםבמשולש שתי זוויותשוותאזהמשולש שווהשוקיים. = = α זוויותבסיסשוות במשולששווהשוקיים = 90 = נתוןשהישרים מאונכיםומתקבלותזוויותישרות = = 90 α הפרשזוויות שוות משולש משולששווהשוקיים כיאם במשולש שתי זוויותשוותאזהמשולששווה שוקיים 10. הקטע הואקוטרבמעגלשמרכזוO. הקטעO הוארדיוס ( נקודהעלהיקףהמעגל). נמקומדוע משולש הואמשולשישרזווית. O דרךאפשרית: O = כיO הואתיכוןלצלע O O = O = O שלושתהקטעיםהללוהםרדיוסיםבמעגל, וכלהרדיוסיםשווים. משולש ישרזווית כיאםבמשולשהתיכוןלצלעשווהלמחציתהצלעאותההואחוצה אזהמשולשישרזווית. 8
.11 משולש ישרזווית 90 ) = (. תיכון ל-, = 65 חשבו את זווית 65 I משולש הואמשולשישרזווית. תיכוןליתר. במשולשישרזוויתהתיכוןליתר שווהלמחציתהיתר. = במשולש שווהשוקייםזוויותהבסיסשוותו. = = 65 = 50 כיסכוםהזוויותבמשולשהוא.180 = 130 כיהיאזוויתצמודהלזווית. משולשישרזווית נתון = 65 נתון = 25 סכום הזוויותבמשולשהוא 180 תיכוןליתר נתון = = במשולשישרזוויתתיכון ליתרשווהלמחציתהיתר = 25 כיזוויותבסיסבמשולששווה שוקייםשוותזולזו = 130 כיסכום הזוויותבמשולש הוא 180 9
.12 מלבן 1 α מהגודלהשל2 אם 18 = α? נמקו. ב. מהגודלהשל1 אם 32 = α? נמקו. ג. האםיתכןש- = 92 α? נמקו. 2 1 בהנחהש- = 30.α ד. 1 חשבואתגודלהזוויותבמשולש. ד. 2 מההיחסביןשלושהזוויותשלהמשולש? ה. 1 מהצריךלהיותגודלהשלαכדישמשולש יהיהמשולששווהשוקיים? מה המרובעשהתקבל? ה 2. מהצריךלהיותגודלהשלαכדישהמלבן יהיהריבוע? נמקו. דרך אפשרית לפתרון: = 72 2 - סכוםהזוויותבמשולשהוא.180 = 32 1 - הצלעות הנגדיותבמלבןמקבילותוהזוויותהמתחלפותביןישרים מקביליםשוותזולזו ב. ג. ד. לאיתכן כיזוויותהמלבןישרותולאיתכןשחלקמהזוויתהישרהיהיהגדולמ 90. אם 30 = αאז 60 = 1 כימשלימהאת α לזוויתישרה ו- = 30 1 כיאלו זוויותמתחלפותביןמקבילים. ידועש 90 =. והיחסבין זוויותהמשולש 1 : 1 : הוא.1 : 2 : 3 ה. אם 45 = αאזגם 45 = 1 וגם 45 = 1. אםבמשולש () יששתי זוויות שוות אז המשולש שווה שוקיים ו. = אם במלבן הצלעות הסמוכות שוות אז המלבן הוא ריבוע. 10
.13 משולש ישרזווית 90 ) = ( תיכוןלצלע 12 ס"מ =, 5 ס"מ = חשבואתשטחיהמשולשים,, ב. חשבואתהיקףהמשולש דרך אפשרית 5 12 שטחמשולש הואמחציתמכפלתהניצבים: = 30 ו השטחהוא 2 30 סמ"ר. נעבירגובהמהקודקוד לצלע. גובהזההואגובהלשניהמשולשים. נתוןש- הואתיכוןלצלע ומחלקאתהצלע לשניחצאים. שטחיהמשולשים ו- שווים, כיהגובהשווהואורכיהצלעאליהיורדהגובהשווים. סכום השטחיםשלשניהמשולשים ו- הואשטחהמשולשהגדול., שטחכלאחדמהמשולשיםהוא 15 סמ"ר. הערה: באופןכלליהוכחשהתיכוןמחלקאתהמשולשלשנימשולשיםשווישטח. ב. למציאתהיקףהמשולש ישלמצואאתאורךהיתרבעזרתמשפטפיתגורס: 5 2 + 12 2 = 2 25 + 144 = 169 2 = 169 = = 169, 13 ס"מ 13, > 0 תיכוןליתרו 6.5 ס"מ = = = כיתיכוןליתרבמשולשישרזווית שווהלמחציתהיתר והיקףהמשולש הוא 25 ס"מ = 12 6.5 + 6.5 + 11
.14 משולש הואמשולשישרזוויתושווהשוקיים 90 ) = ( H גובהלבסיס..H במשולש הואגובהלצלע HM במשולשH, הואתיכוןלצלע HE נמקומדועהמרובע EHM הואריבוע. M 2 1 E H ישרזוויתושווהשוקיים נתון = = 45, = 90 H נתון = 45 2 גובהלבסיסבמשולש 1 = שווהשוקייםהואגםחוצהזווית מכאן = 1 ו H משולשישרזוויתושווהשוקייםאם במשולששתיזוויותשוותאזהמשולששווה שוקיים HE תיכון לצלע היתרבמשולש ישרזוויתושווהשוקיים H HE = E תיכוןליתרבמשולשישרזווית שווהלמחציתהיתר וכן HE תיכוןלבסיסבמשולששווה שוקייםהואגםגובה I נוכיחשמרובע EHM הואמלבן: נתוןשזוויות ו- M הןישרות. H גובהבמשולשוהואגםחוצה זוויתומכאןשזוויות 1 ו- 2 בנות 45 HE תיכוןלצלע שהיאהיתר במשולשH, וE EH = וגםזווית HE בת 45. זווית EH משלימהאת סכוםהזוויותבמשולש ל 180 ו היא זוויתישרה. אםבמרובעשלושזוויות ישרותגםהרביעיתישרהוהמרובעהוא מלבן. ב. נוכיחשהמלבןהואריבוע: הוסברמדועE EH = ומלבןשלו זוג צלעותסמוכותשוותהואריבוע. HM נתון MH = 90 מרובע EHM הואמלבן כימרובע בעל שלוש זוויותישרותהואמלבן. ב. EHM הואריבוע כימלבןבעל צלעותסמוכותשוותהואריבוע. 12