38. Χ. Λεμονίδης (2006). Οι βασικές αλλαγές που πραγματοποιούνται στα νέα βιβλία των Μαθηματικών της Α και Γ τάξης του Δημοτικού Σχολείου. Στο Τα νέα διδακτικά βιβλία του Δημοτικού Σχολείου. Πρακτικά Ημερίδων. 27 η και 30 η Περιφέρειες Σχολικών Συμβούλων Αθηνών. Σελ. 88-110. ΟΙ ΒΑΣΙΚΕΣ ΑΛΛΑΓΕΣ ΠΟΥ ΠΡΑΓΜΑΤΟΠΟΙΟΥΝΤΑΙ ΣΤΑ ΝΕΑ ΒΙΒΛΙΑ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΤΗΣ Α ΚΑΙ Γ ΤΑΞΗΣ ΤΟΥ ΔΗΜΟΤΙΚΟΥ ΣΧΟΛΕΙΟΥ Χαράλαμπος Λεμονίδης Καθηγητής Διδακτικής Μαθηματικών Π.Τ.Δ.Ε. Φλώρινας Πανεπιστημίου Δυτικής Μακεδονίας e-mail: lemonidi@auth.gr Περίληψη Στην εργασία αυτή θα παρουσιάσουμε τις βασικότερες αλλαγές και νεωτερισμούς στα καινούργια βιβλία των Μαθηματικών στην Α και Γ τάξη του Δημοτικού Σχολείου. Οι αλλαγές παρουσιάζονται σε δύο άξονες. Πρώτον αλλαγές ως προς την παιδαγωγική και διδακτική θεωρία που υιοθετούμαι στα βιβλία αυτά και δεύτερον οι βασικές αλλαγές στα περιεχόμενα και οι νέες αντιλήψεις για την ανάπτυξη αυτών των περιεχομένων. Οι διδακτικές και παιδαγωγικές αρχές αλλά και οι περισσότερες αλλαγές των περιεχομένων βασίζονται στις αρχές και τα αποτελέσματα των ερευνών που πραγματοποιήθηκαν από τη σχολή για τη διδασκαλία των Μαθηματικών με την επωνυμία «Μαθηματικά της Φύσης και της Ζωής». Ι. ΕΙΣΑΓΩΓΗ Μια ομάδα επιστημόνων, μαθηματικών, δασκάλων μεταπτυχιακών φοιτητών, και φοιτητών υπό την καθοδήγηση του Χ. Λεμονίδη στο Τμήμα Δημοτικής Εκπαίδευσης της Φλώρινας εργάζεται για τον εκσυγχρονισμό της διδασκαλίας των Μαθηματικών. Η αντίληψη μας για την διδασκαλία των μαθηματικών εκφράζεται από την επωνυμία «Μαθηματικά της Φύσης και της Ζωής» 1. Μέσα στα πλαίσια της έρευνας μας και για την εκπαίδευση των φοιτητών μας δημιουργήσαμε σύγχρονο εκπαιδευτικό υλικό για τη διδασκαλία των Μαθηματικών. Τα βιβλία της Α και Γ τάξης που προέκυψαν από το υλικό αυτό τα εφαρμόσαμε για πολλά χρόνια κυρίως στα σχολεία της Φλώρινας αλλά και της Θεσσαλονίκης. Τα μαθηματικά ήταν και είναι ένα μάθημα που διδάσκεται σε όλες τις βαθμίδες της εκπαίδευσης και υπήρχε πάντοτε στα αναλυτικά προγράμματα σε όλη τη διάρκεια της ιστορίας τη εκπαίδευσης. Οι παιδευτικές λειτουργίες και η χρησιμότητα του μαθήματος 1 Πολλά στοιχεία για τα «Μαθηματικά της Φύσης και της Ζωής» μπορείτε να βρείτε στην ιστοσελίδα: http://www.eled.uowm.gr/mathslife.html
αυτού είναι αυτονόητες. Οξύνει και προάγει τη λογική και την κριτική σκέψη, βρίσκει εφαρμογή σε πολλά φαινόμενα της καθημερινής ζωής, σε πολλές επιστήμες, κτλ. Για τους Έλληνες τα μαθηματικά αποτελούν μια ιδιαιτερότητα, είναι από τα βασικότερα στοιχεία του πολιτισμού τους. Οι Έλληνες μαθηματικοί όπως ο Πυθαγόρας, ο Ευκλείδης, ο Αρχιμήδης, κ.ά. καθόρισαν την πορεία των μαθηματικών αλλά και των επιστημών σε παγκόσμιο επίπεδο. Τα μαθηματικά τους διδάσκονται μέχρι και σήμερα σε όλον τον κόσμο. Πιστεύουμε ότι μπροστά στην βαριά αυτή πολιτισμική κληρονομιά η σύγχρονη Ελλάδα για να ανταποκριθεί έχει πολλά βήματα να κάνει. Στο επίπεδο το επιστημονικό και το θεσμικό του κράτους δεν έχει αναπτυχθεί όσο έπρεπε η έρευνα για την ιστορία των μαθηματικών. Για παράδειγμα, δεν υπάρχουν ινστιτούτα έρευνας της ιστορίας των μαθηματικών που θα αναδεικνύουν τα ελληνικά μαθηματικά. Οι Έλληνες εκπαιδευτικοί που διδάσκουν τα μαθηματικά γνωρίζουν από καθόλου έως ελάχιστα πράγματα για την ιστορία των μαθηματικών. Αλλά και η εκπαίδευση των μαθηματικών στην Ελλάδα δεν βρίσκεται σε καλύτερη κατάσταση. Ο μέσος Έλληνας διακατέχεται συνήθως από το αίσθημα της αριθμοφοβίας και η αρνητική του στάση προς τα μαθηματικά πηγάζει κυρίως από τη σχολική του εκπαίδευση. Τα μαθηματικά προσελκύουν συνήθως αυτούς που ήδη είχαν έφεση και ακολούθησαν θετική κατεύθυνση στις σπουδές τους. Αρέσουν δηλαδή σε αυτούς που έχουν ήδη διαμορφωμένη στάση και η εκπαίδευση του σχολείου δεν μπορεί να την επηρεάσει. Γενικά ξεκινούμε από μια αρχή που λέει ότι τα μαθηματικά είναι για όλους. Αυτή η αυτονόητη αρχή της υποχρεωτικής εκπαίδευσης σημαίνει ότι σε όλους τους μαθητές, είτε έχουν ή όχι ιδιαίτερη κλίση, είτε ανήκουν σε εθνικές μειονότητες, είτε έχουν μαθησιακές δυσκολίες, κ.ά, το εκπαιδευτικό σύστημα οφείλει να διδάξει τα μαθηματικά και να μη δημιουργηθεί αρνητική στάση προς το μάθημα αυτό. Αυτό το σύνθετο έργο εκτός από το κατάλληλο εκπαιδευτικό υλικό αναφέρεται περισσότερο στον εκπαιδευτικό και τη διδασκαλία που θα πραγματοποιήσει μέσα στην τάξη. Τα βιβλία των μαθηματικών αλλά και η διδασκαλία των εκπαιδευτικών θα πρέπει να δίνουν σε όλους τους μαθητές ανεξαιρέτως, την ευκαιρία να προβληματιστούν, να ασχοληθούν με ευχάριστες για αυτούς δραστηριότητες και να μάθουν σύμφωνα με την προσωπική τους υποδομή και ρυθμούς. Μια δεύτερη αρχή της σύγχρονης διδασκαλίας που ακολουθούμε στα βιβλία μας είναι ότι ο μαθητής μαθαίνει καλύτερα όταν δρα και ανακαλύπτει μόνος του τη γνώση με βάση αυτό που ήδη γνωρίζει. Ο μαθητής ασχολείται με καταστάσεις και προβλήματα οικεία και ευχάριστα μέσα από τα οποία οδηγείται, πιθανώς με αντιφάσεις και λάθη, στη νέα γνώση. Μέσα στην τάξη οι μαθητές προβληματίζονται, επικοινωνούν, δουλεύουν συλλογικά, εκθέτουν τις σκέψεις τους χωρίς το φόβο του λάθους. Στα βιβλία μας λοιπόν τις περισσότερες φορές ξεκινάει η διδασκαλία με παιχνίδια, δραστηριότητες ή προβλήματα τα οποία προέρχονται από το άμεσο περιβάλλον του παιδιού και προσπαθούμε να είναι ευχάριστα σε αυτό. Με προβληματισμό, συζήτηση, επένδυση της προϋπάρχουσας γνώσης και ομαδική δουλειά οι μαθητές ανακαλύπτουν τα μαθηματικά. Για αυτό το λόγο ονομάσαμε τα βιβλία μας αλλά και τη σχολή που πρεσβεύουμε «Μαθηματικά της Φύσης και της Ζωής». Δίνουμε μεγάλη σημασία στο τι καταστάσεις χρησιμοποιούμε για να παρουσιάσουμε τα μαθηματικά. Θέλουμε να είναι καταστάσεις ευχάριστες και οικίες για τα παιδιά και να λειτουργούν παιδευτικά. Έτσι λοιπόν χρησιμοποιούμε κατοικίδια και άγρια ζώα που μετρούμε το βάρος, τα πόδια και τις γέννες τους για να κάνουμε τον πολλαπλασιασμό. Προτείνονται παιχνίδια με νομίσματα ο ταμίας της τράπεζας- για να ασκηθούν οι μαθητές στην πρόσθεση και την ανάλυση των αριθμών. Παρουσιάζονται έργα από τη λαϊκή παράδοση και τη σύγχρονη τέχνη για
να διδαχτεί η γεωμετρία. Δίνονται πολλά στοιχεία από την ιστορία των μαθηματικών. Για παράδειγμα, οι μικροί ήρωες του βιβλίου ονομάζονται Πυθαγόρας και Υπατία που ήταν η πρώτη γυναίκα μαθηματικός. ΙΙ. ΠΑΙΔΑΓΩΓΙΚΕΣ ΚΑΙ ΔΙΔΑΚΤΙΚΕΣ ΑΡΧΕΣ Μαθηματικά που παρουσιάζονται με βάση τη φύση, τη ζωή και τον πολιτισμό Είναι γνωστή η παιδαγωγική και διδακτική αρχή ότι κάποιος μαθαίνει καλύτερα, όταν οι καταστάσεις τις οποίες αντιμετωπίζει του είναι οικείες και έχει θετικά συναισθήματα για αυτές. Δίνουμε λοιπόν μεγάλη σημασία στο περιεχόμενο των καταστάσεων και των προβλημάτων με τα οποία διδάσκουμε τα μαθηματικά. Επιδιώκουμε αυτό το περιεχόμενο να είναι οικείο και ευχάριστο στα παιδιά για να δημιουργεί διάθεση να ασχοληθούν με τα μαθηματικά. Εμείς στα μαθηματικά της φύσης και της ζωής αντλούμε τις καταστάσεις τις οποίες χρησιμοποιούμε ως αφετηρία για την εισαγωγή των μαθηματικών εννοιών από τη φύση, τη ζωή και τον πολιτισμό. Όσον αφορά τη φύση δίνουμε έμφαση σε κανόνες και τρόπους προστασίας του περιβάλλοντος. Όταν λέμε πολιτισμό εννοούμε τη ζωγραφική, τη λαϊκή παράδοση και γενικότερα τα έργα της τέχνης. Εννοούμε επίσης, την ιστορία των ελληνικών αλλά και των παγκόσμιων μαθηματικών. Έτσι για παράδειγμα με τα έξη πόδια των εντόμων ή τα οκτώ πόδια του χταποδιού εισάγουμε την προπαίδεια του έξη και του οκτώ. Σε θέματα αναδάσωσης, ανακύκλωσης και υγιεινής διατροφής θέτουμε προβλήματα των τεσσάρων πράξεων (Εικόνα 1). Για την γεωμετρία χρησιμοποιούμε πίνακες μοντέρνας τέχνης και έργα της λαϊκής παράδοσης, όπως τα εργόχειρα, για να ανακαλύψουν οι μαθητές τα γεωμετρικά σχήματα, τη συμμετρία κτλ. Όπου δίνεται η ευκαιρία κάνουμε αναφορές στην ιστορία των μαθηματικών, στους έλληνες μαθητικούς αλλά και σε μαθηματικούς από όλο τον κόσμο.
Εικόνα 1: Πρόβλημα πολλαπλασιασμού και διαίρεσης με θέμα την ανακύκλωση Οι προϋπάρχουσες γνώσεις και ικανότητες των μαθητών. Η γνώση μέσα και έξω από το σχολείο. Ο μαθητής ζει και μαθαίνει καθημερινά τόσο μέσα στο σχολείο του όσο και έξω από αυτό. Εκτός από το σχολείο το παιδί μαθαίνει στον ελεύθερο χρόνο του, στη ζωή του μέσα στην οικογένεια και στο ευρύτερο κοινωνικό περιβάλλον. Ο τρόπος σκέψης και η γνώση που παράγεται μέσα στο σχολείο δεν πρέπει να είναι σε δυσαρμονία και ασύνδετη με τη γνώση που αποκτά ο μαθητής έξω από το σχολείο. Γνωρίζουμε ότι ο άνθρωπος μαθαίνει χτίζοντας τη νέα γνώση επάνω στη γνώση που ήδη κατέχει. Αυτό που λέμε προϋπάρχουσα γνώση του ανθρώπου. Οι φορείς που διαμορφώνουν το εκπαιδευτικό σύστημα αλλά και οι δάσκαλοί θα πρέπει να γνωρίζουν τις προϋπάρχουσες γνώσεις και τις ικανότητες των μαθητών, ώστε με βάση αυτές να δομείται η διδασκαλία. Στα βιβλία των μαθηματικών της φύσης και της ζωής αναπτύσσουμε κάθε φορά τα περιεχόμενα, παίρνοντας σοβαρά υπόψη τις γνώσεις που έχει ήδη ο μαθητής σχετικά με αυτά τα περιεχόμενα. Έτσι για παράδειγμα όταν ο μαθητής έρχεται για πρώτη φορά στο δημοτικό σχολείο αλλά και στο νηπιαγωγείο ξέρει πολλά πράγματα για τους αριθμούς, τις πράξεις, τα γεωμετρικά σχήματα κτλ. Οι μαθητές προτού διδαχτούν την προπαίδεια δε σημαίνει ότι δεν γνωρίζουν τίποτα από αυτήν και δε διαθέτουν ικανότητες για να υπολογίζουν τα γινόμενα. Μπορούν να μετρούν προφορικά ανά 2, ανά 5 ανά 10 όπως κάνουν στο κρυφτό, πράγμα που θα τους βοηθήσει να μάθουν εύκολα τον πίνακα της προπαίδειας του 2, του 5 και του 10. Αυτές τις εμπειρίες και τις γνώσεις των παιδιών το σχολείο θα πρέπει να τις συνδέσει με τη διδασκαλία. Με αυτό τον τρόπο τα παιδιά θα
αισθάνονται ότι τα μαθηματικά που μαθαίνουν στο σχολείο είναι ζωντανά, έχουν αξία και συνδέονται με την πραγματικότητα και την καθημερινή τους ζωή. Ανακαλυπτική μέθοδος διδασκαλίας. Η κίνηση από το συγκεκριμένο προς το αφηρημένο. Οι νέες μαθητοκεντρικές θεωρίες μάθησης και διδασκαλίας υποστηρίζουν ότι το άτομο κατασκευάζει μόνο του τη νέα γνώση με βάση τα γνωστικά σχήματα που ήδη διαθέτει. Σε μια διαδικασία λοιπόν σύγχρονης μάθησης ο μαθητής θα πρέπει να προβληματιστεί και να χειριστεί κατάλληλες καταστάσεις οι οποίες θα του δώσουν την ευκαιρία να χρησιμοποιήσει την προϋπάρχουσα γνώση του και να κινηθεί ώστε να ανακαλύψει και να κατασκευάσει μόνος του τη νέα γνώση. Στη διδασκαλία που προτείνουμε, θέλουμε να οδηγήσουμε τους μαθητές να ανακαλύψουν μόνοι τους τα μαθηματικά και να κινηθούν από το συγκεκριμένο προς το αφηρημένο. Ο μαθητής που ανακαλύπτει μόνος του τις μαθηματικές έννοιες καταλαβαίνει καλύτερα γιατί ασχολείται με τα μαθηματικά και που εφαρμόζονται αυτά. Τα μαθηματικά έτσι είναι πιο λειτουργικά έχουν νόημα και είναι πιο δυναμικά για το μαθητή. Στα μαθηματικά της φύσης και της ζωής σε κάθε καινούργιο μάθημα όταν πρόκειται να εισάγουμε καινούργιες έννοιες προτείνουμε, στο βιβλίο του δασκάλου, μια εισαγωγική δραστηριότητα. Η εισαγωγική αυτή δραστηριότητα έχει βιωματικό χαρακτήρα. Είναι ένα παιχνίδι, ένα πρόβλημα, ένα λογοτεχνικό κείμενο, κτλ. Οι μαθητές εργάζονται ομαδικά ή ατομικά σε αυτές τις βιωματικές δραστηριότητες και οδηγούνται στο να ανακαλύψουν τις νέες μαθηματικές έννοιες. Στο βιβλίο του μαθητή συνήθως η πρώτη δραστηριότητα είναι προέκταση της εισαγωγικής δραστηριότητας και έχει το σήμα της ανακάλυψης (σκύλος ανιχνευτής). Επικοινωνία μέσα στην τάξη και μεταγνωστικές διαδικασίες μάθησης Η μάθηση ενός ατόμου καθορίζεται και επηρεάζεται άμεσα από το ευρύτερο κοινωνικό, φυσικό και πολιτιστικό περιβάλλον. Στα βιβλία «Μαθηματικά της φύσης και της ζωής» τα περιεχόμενα και οι οδηγίες που προτείνονται στοχεύουν στο να ενεργοποιήσουν τους μαθητές ώστε να εκφράσουν τις σκέψεις τους και να επικοινωνήσουν για τα μαθηματικά. Επιδιώκουμε δηλαδή να γίνεται συζήτηση μέσα στην τάξη για μαθηματικά θέματα, να εκτίθενται και να δοκιμάζονται οι γνώσεις, να αξιολογούνται οι προτάσεις και τα λάθη, να αναπτύσσονται υποθέσεις, συλλογισμοί και τεκμηριώσεις. Αν ζητήσουμε από τον μαθητή να περιγράψει τον τρόπο με τον οποίο βρήκε το αποτέλεσμα σε ένα νοερό υπολογισμό, τον βάζουμε να σκεφτεί, να κατανοήσει και να οργανώσει τον τρόπο με τον οποίο σκέφτηκε. Αναπτύσσοντας ο μαθητής αυτή τη διαδικασία την οποία ονομάζουμε μεταγνωστική, κατανοεί καλύτερα. Είναι ωφέλιμο σε πολλές στιγμές της διδασκαλίας των μαθηματικών όπως στη διαδικασία λύσης προβλήματος να ζητούμαι από το μαθητή να εκφράσει και να δικαιολογήσει τον τρόπο που σκέφτηκε για να λύση το πρόβλημα. Καλό είναι να ανακοινώνονται οι ποικίλες μέθοδοι και τρόποι σκέψης σε όλη την τάξη, να ακολουθεί συζήτηση, στην οποία αξιολογούνται και επιλέγονται οι πιο σύντομοι και αποτελεσματικοί τρόποι.
Ένας άλλος ρόλος για το δάσκαλο Σε μια παραδοσιακή λογική διδασκαλίας ο δάσκαλος μιλάει όλη την ώρα, παρουσιάζει αυτός τις νέες έννοιες και ζητά από τους μαθητές του να κάνουν εφαρμογές για να τις μάθουν. Είναι αυτός μόνο που αξιολογεί και επιβεβαιώνει το σωστό. Δεν ξέρει τις πραγματικές δυνατότητες και τις προϋπάρχουσες γνώσεις των μαθητών του γιατί δεν δίνεται η ευκαιρία να σκεφτούν σε ανοιχτά πεδία και να.εκφράσουν τη σκέψη τους. Γνωρίζει μόνο τις επίσημες γνώσεις των μαθητών του, μέσα από αξιολόγηση, όπως αυτές παρουσιάζονται στα βιβλία. Στο πνεύμα της λογικής της σύγχρονης διδασκαλίας που υιοθετούμε στα «Μαθηματικά της φύσης και της ζωής», προβλέπεται για το δάσκαλο ένας νέος ρόλος μέσα στην τάξη. Αντί να μεταφέρει άμεσα και να ανακοινώνει τη νέα γνώση θα πρέπει να θέτει προβλήματα και διδακτικές καταστάσεις και να αφήνει τους μαθητές να ανακαλύπτουν μόνοι τους τη γνώση. Να δίνει χρόνο στους μαθητές να σκεφτούν και ο λόγο για να εκφραστούν. Μόνο όταν ο δάσκαλος ακούει τους μαθητές του μπορεί να καταλάβει τον τρόπο με τον οποίο σκέφτονται, μπορεί να γνωρίζει τις προϋπάρχουσες γνώσεις τους, να δίνει σημασία στα λάθη τους και να προσπαθεί να ερμηνεύσει τις αιτίες τους. Οι επιστολές στους γονείς των μαθητών Σε κάθε ενότητα των βιβλίων των Μαθηματικών της φύσης και της ζωής περιλαμβάνεται μια επιστολή προς το γονέα /κηδεμόνα, περιλαμβάνονται δηλαδή συνολικά εννιά επιστολές προς τους γονείς. Με τις επιστολές αυτές θέλουμε να εξηγήσουμε στο γονέα /κηδεμόνα τα περιεχόμενα και τις έννοιες των μαθηματικών που θα διδαχτεί το παιδί του στο σχολείο. Σε πολλά σημεία, δίνονται εξηγήσεις σχετικά με τον τρόπο που μαθαίνει το παιδί, τις ιδιαιτερότητες της μάθησης, τα εμπόδια κτλ. Με τις επιστολές επιδιώκουμε κυρίως να αλλάξει ο προσανατολισμός της ενασχόλησης με τα μαθηματικά στο σπίτι (Λεμονίδης Χ., Χατζηλιαμή Μ., 2005). Γι αυτό προτείνονται κάποιες δραστηριότητες και παιχνίδια με τα παιδιά στο σπίτι. Μέσα στο περιβάλλον της οικογένειας, αλλά και έξω από αυτό δίνονται πολλές ευκαιρίες για να εφαρμόσουν τα παιδιά τα μαθηματικά που μαθαίνουν στο σχολείο. Οι γονείς μπορούν να παίξουν μαζί με τα παιδιά τους διάφορα παιχνίδια τα οποία βασίζονται σε μαθηματικές έννοιες όπως είναι το φιδάκι, το τάγκραμ κ.ά. Να θέσουν στα παιδιά τους ερωτήσεις και να συζητήσουν για διάφορα θέματα όπου εμφανίζονται μαθηματικές έννοιες. Με αυτό τον τρόπο τα παιδιά θα αισθανθούν ότι τα μαθηματικά που μαθαίνουν στο σχολείο είναι σημαντικά αφού ενδιαφέρονται και μπορούν να μιλήσουν για αυτά με τους γονείς τους. Θα αισθανθούν επίσης ότι τα μαθηματικά που μαθαίνουν στο σχολείο δεν περιορίζονται μόνο στο σχολικό περιβάλλον αλλά βρίσκουν εφαρμογή και στην καθημερινή ζωή. Παράδειγμα μιας επιστολής παρουσιάζεται παρακάτω στην Εικόνα 2.
Εικόνα 2: 7 η επιστολή προς το γονέα / κηδεμόνα μαθητών της Γ τάξης
ΙΙΙ. ΑΛΛΑΓΕΣ ΣΤΑ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΑΡΙΘΜΟΙ ΚΑΙ ΠΡΑΞΕΙΣ ΣΤΗΝ Α ΤΑΞΗ Καταργείται η διάκριση μεταξύ προαριθμητικών και αριθμητικών εννοιών και εισάγονται αμέσως οι αριθμοί Στα παλιά βιβλία υπήρχε διάκριση μεταξύ των προαριθμητικών και των αριθμητικών εννοιών ως σπόρια μιας στρουκτουραλιστικής λογικής για τη διδασκαλία από την εποχή των «Μοντέρνων Μαθηματικών» (Λεμονίδης, Χ., 1998α). Η διδασκαλία ακολουθούσε το δρόμο της επιστήμης των μαθηματικών διδάσκοντας τους αριθμούς και τις πράξεις με βάση τη θεωρία των συνόλων. Στα νέα βιβλία ακολουθείται ο δρόμος της κατανόησης του παιδιού και οι αριθμοί εισάγονται με βάση τις προϋπάρχουσες γνώσεις των μαθητών και με φυσικές εμπειρικές καταστάσεις που αντιμετωπίζονται οι αριθμοί στην καθημερινή ζωή του παιδιού. Αυτές οι καταστάσεις είναι η προφορική αρίθμηση, η καταμέτρηση αντικειμένων, η σύγκριση ποσοτήτων, κτλ. Τα παιδιά σήμερα ζουν σ ένα ψηφιακό περιβάλλον και πριν έρθουν στο σχολείο διαθέτουν αρκετές γνώσεις και δεξιότητες σχετικά με τους αριθμούς ( Χ. Λεμονίδης, 2003α, σελ. 37-56). Διδάσκονται μεγαλύτεροι αριθμοί, διδάσκονται αριθμοί μέχρι το 100 Στα παλιά βιβλία της Α τάξης διδάσκονταν οι αριθμοί μέχρι το 20, οι αριθμοί και οι πράξεις διδάσκονταν ταυτόχρονα μέχρι κάποιο συγκεκριμένο μέγεθος, π.χ. αριθμοί μέχρι το 5 και πράξεις μέχρι το 5, αριθμοί μέχρι το 10 και πράξεις μέχρι το 10. Σύμφωνα με το νέο αναλυτικό πρόγραμμα οι αριθμοί διδάσκονται μέχρι το 100 και αλλάζει η σχέση μεταξύ του μεγέθους των αριθμών και του μεγέθους των αριθμών στις πράξεις. Διδάσκονται, δηλαδή, αριθμοί σε μεγαλύτερο μέγεθος από ότι οι αριθμοί των πράξεων. Η ύλη του νέου βιβλίου της Α τάξης είναι χωρισμένη σε τρεις περιόδους. Στην πρώτη περίοδο διδάσκονται οι αριθμοί μέχρι το 20 και προσθέσεις με αριθμούς μέχρι το 10. Στη δεύτερη περίοδο διδάσκονται αριθμοί μέχρι το 50 και προσθέσεις και αφαιρέσεις μέχρι το 10. Στη τρίτη περίοδο διδάσκονται αριθμοί μέχρι το 100 και προσθέσεις και αφαιρέσεις μέχρι το 20. Διδάσκονται επίσης προσθέσεις και αφαιρέσεις με αριθμούς μεγαλύτερους από το 20 όπου οι αριθμοί είναι δεκάδες π.χ. 40-20, 60-30. Οι πράξεις αυτές με αριθμούς μεγαλύτερους του 20 έχουν ως στόχο την εξάσκηση των μαθητών στους διψήφιους αριθμούς μέχρι το 100 και τους κανόνες του συστήματος αρίθμησης. Η επιλογή αυτή, να διδάσκονται δηλαδή αριθμοί μέχρι το 100 και οι αριθμοί να είναι μεγαλύτεροι σε μέγεθος από ότι το μέγεθος των αριθμών στις πράξεις έγινε για τους εξής λόγους: Η μάθηση των αριθμών βοηθάει πολύ τη μάθηση των πράξεων και αντίστροφα. Για παράδειγμα οι μαθητές που γνωρίζουν καλά τους διψήφιους αριθμούς και την ανάλυσή τους σε δεκάδες και μονάδες βοηθούνται από αυτή τη γνώση και στην εκτέλεση των πράξεων. Στις περισσότερες χώρες της Ευρώπης και της Αμερικής με σύγχρονα εκπαιδευτικά συστήματα οι μαθητές στην Α τάξη διδάσκονται τους αριθμούς μέχρι το 100. Τα παιδιά σήμερα ζουν μέσα σε ένα ψηφιακό περιβάλλον και έχουν πολλές εμπειρίες αριθμών από την καθημερινή τους ζωή. Η μάθηση των αριθμών τους είναι ευχάριστη και τους μαθαίνουν αρκετά εύκολα όταν η διδασκαλία μεθοδεύεται σωστά.
Δίνεται έμφαση στην αθροιστική ανάλυση και σύνθεση των αριθμών Στα βιβλία των μαθηματικών της φύσης και της ζωής η ανάλυση και τη σύνθεση των αριθμών σε άθροισμα κατέχει μια κυρίαρχη θέση στη διδασκαλία των αριθμών. Η ικανότητα των μαθητών να αναλύουν και να συνθέτουν τους αριθμούς αθροιστικά έχει ευεργετικά αποτελέσματα στο να εκτελούν πράξεις. Ήδη από την εισαγωγή ακόμη των αριθμών υπάρχει η λογική της αθροιστικής ανάλυσης των αριθμών. Χρησιμοποιούνται χειραπτικά εκπαιδευτικά υλικά για την αισθητοποίηση των αριθμών που παρουσιάζουν μια αθροιστική δομή των ποσοτήτων όπως είναι το δίχρωμο αριθμητήριο, οι βάσεις και τα ζάρια. Στο δίχρωμο αριθμητήριο παρουσιάζονται οι ποσότητες (χάντρες) οργανωμένες με βάση τη δεκάδα π.χ. το 13 είναι 10 χάντρες της πρώτης σειράς του αριθμητηρίου και 3 χάντρες από τη δεύτερη σειρά-, αλλά και με βάση το πέντε. Οι πέντε χάντρες μιας σειράς είναι διαφορετικού χρώματος από τις άλλες πέντε. Έτσι ο αριθμός οκτώ παρουσιάζεται ως άθροισμα του 5 και 3, πέντε χάντρες ενός χρώματος και 3 χάντρες άλλου χρώματος (βλέπε, Χ. Λεμονίδης 2003β). Στη συνέχεια για κάθε αριθμό παρουσιάζονται και όλες οι δυνατές αναλύσεις σε άθροισμα δύο όρων. Δίνεται ιδιαίτερη βαρύτητα στα αθροίσματα του αριθμού 10 (1+9, 2+8, ), τα αθροίσματα της μορφής 5+ν (5+1, 5+2, ), τα διπλά αθροίσματα της μορφής ν+ν (1+1, 2+2, 3+3, ), τα μισά ή τις διαφορές της μορφής 2ν-ν (2-1, 4-2, 6-3, ), και τέλος αθροίσματα ή διαφορές μεταξύ των μονάδων και των δεκάδων ενός διψήφιου αριθμού: π.χ. 10+4, 30+6, 17-7, 36-6. Περισσότερος χρόνος και μεγαλύτερη έμφαση στους κανόνες του συστήματος αρίθμησης Στα νέα βιβλία αφιερώνεται περισσότερος χρόνος (τρία μαθήματα) και δίνεται μεγαλύτερη έμφαση στην εισαγωγή της ανάλυσης των διψήφιων αριθμών σε δεκάδες και μονάδες. Στα προηγούμενα βιβλία οι μαθητές μόλις συναντούσαν τους διψήφιους αριθμούς προχωρούσαν αμέσως με έναν φορμαλιστικό τρόπο στην ανάλυση των αριθμών σε δεκάδες και μονάδες (Λεμονίδης, Χ., 2003γ). Στα νέα βιβλία οι μαθητές διδάσκονται και χειρίζονται από πολύ νωρίς τους διψήφιους αριθμούς χωρίς να αναφέρονται στην ανάλυσή τους σε δεκάδες και μονάδες. Στη συνέχεια πραγματοποιείται μια προοδευτική μετάβαση στη διάκριση των δεκάδων και των μονάδων, με βάση τις ικανότητες και τις προϋπάρχουσες γνώσεις των μαθητών. Οικίες καταστάσεις, για τους μαθητές, οι οποίες τους οδηγούν στο διαχωρισμό των δεκάδων και των μονάδων, είναι η καταμέτρηση με ομαδοποίηση ανά δέκα συλλογών με μεγάλο πλήθος αντικειμένων, ανταλλαγές νομισμάτων κ.ά. Επίσης γλωσσική σύνθεση των αριθμών-λέξεων βοηθάει πολύ και κάνει εύκολη την ανάλυση των αριθμών σε άθροισμα δεκάδων και μονάδων, π.χ. το τριάντα έξι είναι τριάντα και έξι. Έτσι λοιπόν ασκούμε τους μαθητές στην εύρεση αθροισμάτων και διαφορών της μορφής, 10+ν, 20+ν, 30+ν, 1ν-ν, 2ν-ν, 3ν-ν,, π.χ. 20+4=24, 24-4=20. Δηλαδή, να βρίσκω τους αριθμούς που προκύπτουν όταν προσθέτω ή αφαιρώ από διψήφιους αριθμούς τις μονάδες. Έμφαση στους νοερούς υπολογισμούς Νοερούς ή νοητικούς υπολογισμούς λέμε τους υπολογισμούς με το μυαλό χωρίς μολύβι και χαρτί. Οι νοεροί υπολογισμοί είναι χρήσιμοι και χρησιμοποιούνται στην καθημερινή ζωή πολύ περισσότερο από ό,τι οι γραπτοί υπολογισμοί. Η εξάσκηση στους νοερούς υπολογισμούς δημιουργεί καλύτερη και βαθύτερη κατανόηση της έννοιας των αριθμών. Η νοερή εργασία αναπτύσσει ικανότητες για τη λύση προβλημάτων και βοηθά
στην κατανόηση και στην ανάπτυξη των γραπτών μεθόδων υπολογισμού (I. Thompson, 1999, p. 147). Στη σειρά των βιβλίων μας «Μαθηματικά της φύσης και της ζωής» δίνουμε μεγάλη έμφαση στους νοερούς υπολογισμούς πολύ συχνά, στο επάνω μέρος της σελίδας μέσα στο ορθογώνιο πλαίσιο με σήμα τον Πυθαγόρα που σκέφτεται, προτείνονται νοεροί υπολογισμοί. Οι νοεροί υπολογισμοί αναφέρονται στις τέσσερις πράξεις αλλά και στους πολυψήφιους αριθμούς. Στις διδακτικές οδηγίες αλλά και σε άλλα σημεία του βιβλίου του δασκάλου εξηγούμαι και δίνουμε μεγάλη βαρύτητα στους τρόπους ή στις στρατηγικές με τις οποίες υπολογίζουν οι μαθητές τις πράξεις. Οι δάσκαλοι θα πρέπει να γνωρίζουν τις διάφορες στρατηγικές που μπορεί να χρησιμοποιήσουν οι μαθητές τους όταν υπολογίζουν (Λεμονίδης, Χ., 1998β). Θα πρέπει επίσης κατά τη διδασκαλία των υπολογισμών στην τάξη να δίνεται η ευκαιρία στα παιδιά να συζητούν και να εκθέτουν τους τρόπους με τους οποίους υπολογίζουν. Η διαδικασία αυτή της συζήτησης και της έκθεσης των μεθόδων υπολογισμού έχει τα εξής πλεονεκτήματα: - Το παιδί όταν μιλάει και λέει τον τρόπο που υπολόγισε αναστοχάζεται, σκέφτεται πως σκέφτηκε, αυτή η διαδικασία (η μεταγνωστική) είναι για το παιδί μια πολύ χρήσιμη διανοητική ενεργεία. - Μέσα στην τάξη υπάρχει πλουραλισμός και ακούγονται όλες οι προτάσεις και οι τρόποι σκέψης των μαθητών. Οι μαθητές ακούνε τους συμμαθητές τους και βλέπουν και άλλους τρόπους υπολογισμού που μπορεί να εφαρμοστούν. Οι δάσκαλοι ακούνε τους μαθητές τους και γνωρίζουν τον τρόπο με τον οποίο σκέφτονται και υπολογίζουν. ΑΡΙΘΜΟΙ ΚΑΙ ΠΡΑΞΕΙΣ ΣΤΗΝ Γ ΤΑΞΗ Οι αριθμοί επεκτείνονται μέχρι το 10.000 Οι αριθμοί σύμφωνα με το παλιό αναλυτικό πρόγραμμα διδάσκονταν μέχρι το 1.000. Στο νέο αναλυτικό πρόγραμμα οι αριθμοί, και όχι οι πράξεις, θα διδάσκονται μέχρι το 10.000. Για τη διδασκαλία των φυσικών αριθμών αφιερώνονται 4 κεφάλαια (1, 14, 40 και 53). Οι λόγοι για τους οποίους έγινε η επέκταση αυτή των αριθμών είναι οι ίδιοι που εκθέτονται προηγουμένως για τους αριθμούς στην Α τάξη. Στη διδασκαλία για να παρουσιάσουμε εμπειρικά τους πολυψήφιους αριθμούς χρησιμοποιούμε πολυποίκιλο εποπτικό υλικό που είναι τα εξής: Ο κάθετος άβακας στον οποίο παρουσιάζονται ξεχωριστά σε διαφορετικές στήλες και με χάνδρες διαφορετικού χρώματος οι διάφορες τάξεις μεγέθους του αριθμού (μονάδες, δεκάδες, κτλ). Ο μετρητής των χιλιομέτρων και το παιχνίδι με τις κάρτες. Χρησιμοποιούμε επίσης την αριθμομηχανή με την οποία πραγματοποιούμε πολλές ασκήσεις για την κατανόηση της δομής των αριθμών και του συστήματος αρίθμησης. Παρουσιάζονται από την ιστορία εναλλακτικά αριθμητικά συστήματα όπως είναι το Αρχαίο Ελληνικό και το Ρωμαϊκό αριθμητικό σύστημα. Η εισαγωγή των κλασμάτων και των δεκαδικών αριθμών Με βάση το παλιό αναλυτικό πρόγραμμα οι κλασματικοί αριθμοί εισάγονταν στην Β τάξη και οι δεκαδικοί αριθμοί στην Δ τάξη. Σύμφωνα με το νέο αναλυτικό πρόγραμμα στην Γ τάξη εισάγονται οι κλασματικοί αριθμοί αλλά και οι δεκαδικοί αριθμοί. Η διδακτική επιλογή που γίνεται είναι να παρουσιαστούν αρχικά τα κλάσματα και με βάση τα δεκαδικά κλάσματα να εισαχθούν οι δεκαδικοί αριθμοί.
Τα κλάσματα σε αντίθεση με τους δεκαδικούς αριθμούς δεν χρησιμοποιούνται πολύ στην καθημερινή ζωή, αυτά που χρησιμοποιούμαι περισσότερο είναι τα τέταρτα της ώρας, τα τέταρτα του κιλού στο βάρος και τις συνταγές. Επιλέγουμε λοιπόν αυτές τις εμπειρίες των μαθητών από την καθημερινή ζωή για εισάγουμε τις κλασματικές μονάδες. Σε αυτήν την εισαγωγική φάση χρησιμοποιούμε περισσότερο το σχήμα του κλάσματος που είναι το μέρος όλο σε συνεχή ποσά αλλά και σε διακριτά αντικείμενα. Η κλασματική μονάδα παρουσιάζεται ως ένα από τα πολλά ίσα μέρη στα οποία είναι χωρισμένη μια ποσότητα. Στόχος μας είναι να συνδέσουν οι μαθητές την ποσότητα της κλασματικής μονάδας με την ονομασία και τη συμβολική γραφή του κλάσματος. Τα απλά κλάσματα παρουσιάζονται με βάση τις κλασματικές μονάδες. Παρουσιάζονται επίσης το κλάσμα που έχει ίσο αριθμητή και παρονομαστή και είναι ίσο με τη μονάδα και τα ισοδύναμα κλάσματα χρησιμοποιώντας οικεία εποπτικά υλικά και καταστάσεις για τα παιδιά. Οι μαθητές τώρα εξαιτίας των τιμών σε ΕΥΡΩ και των υποδιαιρέσεών του διαθέτουν πολλές εμπειρίες και προϋπάρχουσα γνώση σε σχέση με τους δεκαδικούς αριθμούς. Στη διδασκαλία μας προσπαθούμε να εκμεταλλευτούμε αυτήν την προϋπάρχουσα γνώση των μαθητών. Εισάγουμε τους δεκαδικούς αριθμούς με βάση τα δεκαδικά κλάσματα με μια δραστηριότητα στην αριθμομηχανή όπου οι μαθητές πληκτρολογούν τα δεκαδικά κλάσματα ως διαίρεση και στην οθόνη εμφανίζονται δεκαδικοί αριθμοί. Διδάσκονται η συμβολική γραφή και η ονοματολογία των δεκαδικών αριθμών. Παρουσιάζονται κάποιες προσθέσεις και αφαιρέσεις δεκαδικών αριθμών, όχι με τους συστηματικούς κανόνες υπολογισμού, αλλά σε μια αρχική φάση με βάση την εμπειρία και τις προϋπάρχουσες γνώσεις των παιδιών. Η διδασκαλία των γραπτών πράξεων (αλγόριθμων) Στα παλιά βιβλία οι γραπτές πράξεις διδάσκονταν πολύ γρήγορα χωρίς οι μαθητές να εκφράσουν τις άτυπες στρατηγικές υπολογισμού και χωρίς κατανοήσουν πλήρως τη σημασία της πράξης αυτής. Στα νέα βιβλία στη διδασκαλία των τυπικών γραπτών πράξεων (των αλγόριθμων) ακολουθούμε μια διδασκαλία με διαφορετική λογική. Αρχικά χωρίς να διδαχτεί καμία πράξη προτείνουμε στους μαθητές προβλήματα για να εκφράσουν τους άτυπους και τους προσωπικούς τους τρόπους υπολογισμού. Εξασκούνται επίσης στους νοερούς υπολογισμούς στην πράξη αυτή και στο τέλος παρουσιάζονται οι αλγόριθμοι σαν μια φυσιολογική κατάληξη. Με τους αλγόριθμους οι μαθητές αντιμετωπίζουν πράξεις τις οποίες δεν μπορούν να αντιμετωπίσουν με το νοερό υπολογισμό. Στην τάξη αυτή, ο καινούργιος αλγόριθμος που παρουσιάζεται είναι ο αλγόριθμος του πολλαπλασιασμού. Η πράξη του πολλαπλασιασμού Η προπαίδεια Σύμφωνα με το νέο αναλυτικό πρόγραμμα, αλλά το ίδιο ίσχυε και στο προηγούμενο πρόγραμμα, η προπαίδεια διδάσκεται σε δύο τάξεις στην Β και στην Γ τάξη. Αυτό συμβαίνει γιατί η απομνημόνευση των γινομένων της προπαίδειας για να πραγματοποιηθεί από την πλευρά των μαθητών απαιτεί αρκετό χρόνο και εξάσκηση. Η διδασκαλία της προπαίδειας αρχίζει με τα γινόμενα των αριθμών, τα οποία κατά ένα μεγάλο μέρος είναι γνωστά στους μαθητές και είναι εύκολα στο χειρισμό τους. Τέτοια γινόμενα είναι οι στήλες του δύο, του δέκα και του πέντε. Με τα γινόμενα του 2, 5 και 10, εξασκούνται οι μαθητές στις στήλες της προπαίδειας και συνηθίζουν να βλέπουν την
εξέλιξη των γινομένων από το ένα μέχρι το δέκα. Στη συνέχεια προχωρούμε στις στήλες του τρία και του τέσσερα και μετά στις στήλες των μεγαλύτερων αριθμών (6, 7, 8 και 9). Οι μαθητές κατά τη διάρκεια της μάθησης της προπαίδειας, για τον υπολογισμό των γινομένων, ασκούνται και χρησιμοποιούν τις εξής στρατηγικές: - Χρησιμοποιούν την αντιμεταθετική ιδιότητα (7x3 = 3x7). - Χρησιμοποιούν τα πολλαπλάσια του 10, π.χ. κάποιος μπορεί να χρησιμοποιήσει το γινόμενο10x8 = 80 για να υπολογίσει το γινόμενο 9x8 = 72. - Υπολογίζουν τα γινόμενα με διπλασιασμό, π.χ. χρησιμοποιούν το γινόμενο 2x7 = 14 για να υπολογίσουν το 4x7 διπλασιάζοντας το 14. - Υπολογίζουν με τη χρήση τoυ μισού, χρησιμοποιείται αποκλειστικά για τον υπολογισμό των γινομένων τις μορφής 5 x, τα οποία υπολογίζονται παίρνοντας το μισό του 10x - Αύξηση κατά ένα. Αυξάνουν ένα γνωστό γινόμενο προσθέτοντας τον πολλαπλασιαστή μία φορά. Όταν είναι γνωστό ή υπολογίζεται εύκολα το γινόμενο 5x8 = 40 τότε το γινόμενο 6x8 βρίσκεται με υπολογισμό 40+8. - Μείωση κατά ένα. Μειώνουν ένα γνωστό γινόμενο αφαιρώντας τον πολλαπλασιαστή μια φορά. Συχνά υπολογίζουν 9x7 = 70 7. Αυτή η στρατηγική του ένα λιγότερο χρησιμοποιείται στα γινόμενα της μορφής 9x και 4x Σύμφωνα, με τα παραπάνω, σε κάθε στήλη της προπαίδειας ασκούμε τους μαθητές στο να χρησιμοποιούν κάποια γινόμενα ως σημεία αναφοράς για να βρίσκουμε κάποια άλλα. Τέτοια γινόμενα, είναι τα γινόμενα του 10 και του 5. Εξασκούμε επίσης, τους μαθητές στο να κινούνται πάνω στη στήλη με βάση τις φορές, για παράδειγμα, δύο φορές οι δύο φορές μας κάνουν τέσσερις φορές, οι εννιά φορές είναι μια φορά λιγότερο από τις δέκα φορές κτλ. Ο αλγόριθμος του πολλαπλασιασμού Όπως αναφέρθηκε προηγουμένως ο αλγόριθμος του πολλαπλασιασμού αποτελεί το τελικό στάδιο αφού προηγουμένως οι μαθητές εξασκηθούν σε νοερούς υπολογισμούς του πολλαπλασιασμού και εκφράσουν τις άτυπες ή προσωπικές τους στρατηγικές υπολογισμού (Λεμονίδης, Χ., 2003δ). Αρχικά οι μαθητές εκτελούν πράξεις πολλαπλασιασμού διψήφιου με μονοψήφιο αριθμό στη συνέχεια υπάρχουν τα κεφάλαια (28, 29) με τίτλο «προς τον πολλαπλασιασμό». Στα κεφάλαια αυτά οι μαθητές γνωρίζουν τον ελληνικό πολλαπλασιασμό. Ο ελληνικός πολλαπλασιασμός είναι ένας ιστορικός αλγόριθμος του πολλαπλασιασμού που τον εφάρμοζαν οι Έλληνες με τον Ευτόκιο γύρω στον 5 ο αιώνα μ.χ. Ο ελληνικός πολλαπλασιασμός αναφέρεται περισσότερο σε υπολογισμό επιφανειών και πραγματοποιείται με τη βοήθεια ενός πίνακα στον οποίο οι αριθμοί που θα πολλαπλασιαστούν αναλύονται σε δεκάδες και μονάδες. Ο σημερινός αλγόριθμος του πολλαπλασιασμού παρουσιάζεται με βάση τον ελληνικό πολλαπλασιασμό. Ο ελληνικός πολλαπλασιασμός χρησιμοποιείται βοηθητικά ώστε οι μαθητές να κατανοήσουν τη δομή του γραπτού πολλαπλασιασμού και να μπορέσουν να ερμηνεύσουν πολλές από τις ιδιότητές του. ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Στα παλιά βιβλία η γεωμετρία καταλάμβανε πολύ μικρό χώρο στο αναλυτικό πρόγραμμα και παρουσιάζονταν με έναν φορμαλιστικό και στερεότυπο τρόπο. Στα Μαθηματικά της Φύσης και της Ζωής προσπαθήσαμε να αναβαθμίσουμε την γεωμετρία, αφενός αυξάνοντας την ποσότητα που κατέχει η γεωμετρία στο πρόγραμμα και αφετέρου εκσυγχρονίζοντας ποιοτικά τα περιεχόμενα της γεωμετρίας. Συνδέσαμε τη γεωμετρία με την τέχνη και τον πολιτισμό όπου είναι ο φυσικός της χώρος (Εικόνα 3).
Παρουσιάζουμε τις γεωμετρικές έννοιες μέσα από θέματα της ζωγραφικής, της λαϊκής παράδοσης και γενικά μέσα από τον ελληνικό και το διεθνή πολιτισμό. Στα μοτίβα και σε πολλά περιεχόμενα της γεωμετρίας όπως τη συμμετρία, παζλ, μωσαϊκά, πλακόστρωτα, κ.ά., υιοθετούμε την λογική των εθνομαθηματικών. Χρησιμοποιούμε δηλαδή κατάστασης από την ελληνική λαϊκή παράδοση αλλά και από την διεθνή για να παρουσιάσουμε τη γεωμετρία με έναν τρόπο ώστε να συνδέεται με τον πολιτισμό μας (Θεοδώρου, Ε. και Λεμονίδης, Χ., 2005). Εισάγονται πολλά καινούργια περιεχόμενα της γεωμετρίας τα οποία δεν υπήρχαν στο προηγούμενο αναλυτικό πρόγραμμα. Αυτά τα περιεχόμενα είναι: Η χάραξη γραμμών και σχημάτων με χάρακα. Κίνηση και προσανατολισμός στις δύο διαστάσεις του τετραγωνισμένου χαρτιού (Καρτεσιανό επίπεδο). Ανάλυση και σύνθεση σχημάτων σε παζλ, μωσαϊκά και πλακόστρωτα. Η έννοια της συμμετρίας. Εικόνα 3: Άσκηση γεωμετρίας σε πίνακα του Πικάσο. ΛΥΣΗ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΟΣ Στη λογική των νέων αναλυτικών προγραμμάτων αλλά και στον τρόπο που αποδίδονται τα περιεχόμενα στη σειρά των βιβλίων μας Τα μαθηματικά της φύσης και της ζωής, δίνεται μεγάλη σημασία και αφιερώνεται πολύς χρόνος στη λύση προβλήματος. Η λύση προβλήματος εμφανίζεται με δύο μορφές: Αφενός αποτελεί μέθοδο διδασκαλίας, δηλαδή, οι μαθητές διδάσκονται τα μαθηματικά μέσω της λύσης προβλημάτων. Θέτονται προβλήματα μέσω της λύσης των οποίων οι μαθητές ευρετικά κινούνται στο να ανακαλύψουν νέες έννοιες. Αφετέρου υπάρχουν ειδικά μαθήματα που είναι αφιερωμένα στη λύση προβλήματος. Στο βιβλίο της Α τάξης υπάρχουν 5 στα 52 τέτοια μαθήματα και στη Γ τάξη υπάρχουν 6 στα 48 μαθήματα. Δίνουμε μεγάλη σημασία στο θέμα και το πλαίσιο μέσα στο οποίο τίθενται τα προβλήματα, θέλουμε να είναι ευχάριστα και να κινούν το ενδιαφέρον των παιδιών για να ασχοληθούν με αυτά. Επιλέγουμε θέματα από τη φύση όπως είναι τα άγρια και τα κατοικίδια ζώα και τα πτηνά της χώρας μας. Θέματα σχετικά με τον πολιτισμό και την προστασία του περιβάλλοντος. Παρουσιάζουμε επίσης θέματα που είναι σε πολλές
περιπτώσεις διαθεματικά, δηλαδή, συνδέονται με τα περιεχόμενα των άλλων μαθημάτων όπως είναι η Μελέτη Περιβάλλοντος, η Γλώσσα, τα Εικαστικά, κ.ά. Προτείνουμε μια μεγάλη ποικιλία προβλημάτων μέσω των οποίων επιδιώκουμε να ασκήσουμε τους μαθητές σε διάφορες ικανότητες. Κάποια από αυτά τα είδη προβλημάτων περιγράφονται στη συνέχεια: Προβλήματα έρευνας. Στα προβλήματα αυτά η λύση δεν φαίνεται εξαρχής και οι μαθητές είναι αναγκασμένοι να πραγματοποιήσουν μια έρευνα για να βρουν τη λύση. Τα προβλήματα αυτά εκτός του ότι ασκούν τους μαθητές στο να ερευνούν τους κάνουν να συνειδητοποιήσουν ότι σε ένα πρόβλημα δεν απαντούμε αμέσως προτείνοντας μια πράξη αλλά διαβάζουμε την εκφώνηση και σκεφτόμαστε τη ή τις λύσεις. Στην Εικόνα 4 παρουσιάζεται ένα παράδειγμα τέτοιου προβλήματος από την Α τάξη. Προβλήματα με πολλές λύσεις. Τα προβλήματα αυτά μπορεί να είναι και προβλήματα έρευνας, το χαρακτηριστικό τους είναι ότι έχουν πολλές λύσεις. Με αυτά οι μαθητές συνειδητοποιούν ότι σε ένα πρόβλημα δεν υπάρχει μόνο μια λύση αλλά μπορεί να υπάρχουν πολλές λύσεις. Στην Εικόνα 5 παρουσιάζεται ένα παράδειγμα τέτοιου προβλήματος από την Α τάξη. Προβλήματα με εικόνα. Στην εκφώνηση του προβλήματος παρουσιάζεται μια εικόνα μέσα από την οποία οι μαθητές θα πρέπει να επιλέξουν τα δεδομένα. Αυτό ασκεί τους μαθητές στο να επιλέγουν τα δεδομένα του προβλήματος μέσα από ένα πλαίσιο που είναι συνήθως από τον κόσμο του παιδιού. Προβλήματα με ερωτήσεις που είναι δυνατόν να απαντηθούν ή να μην απαντηθούν. Στα προβλήματα αυτά τίθενται ερωτήσεις από τις οποίες κάποιες μπορεί να απαντηθούν αλλά και κάποιες δεν μπορεί να απαντηθούν με βάση τα δεδομένα της εκφώνησης. Με τέτοιου είδους προβλήματα. οι μαθητές ασκούνται στο να διαβάζουν με προσοχή τα δεδομένα του προβλήματος και συνειδητοποιούν ότι μια εκφώνηση έχει συγκεκριμένο πλήθος πληροφοριών και μπορεί να υπάρχουν ερωτήματα σε ένα πρόβλημα τα οποία δεν μπορεί να απαντηθούν με βάση τα δεδομένα της εκφώνησης. Προβλήματα επιλογής της σωστής απάντησης. Στα προβλήματα αυτά δίνονται απαντήσεις μέσα από τις οποίες οι μαθητές θα πρέπει να επιλέξουν τη σωστή απάντηση. Στις απαντήσεις που προτείνονται συμπεριλαμβάνονται λάθος απαντήσεις οι οποίες είναι από τα συνήθη λάθη που κάνουν οι μαθητές. Δημιουργία ή συμπλήρωση προβλήματος. Εδώ ζητείται από τους μαθητές να συνθέσουν ένα δικό τους πρόβλημα με δεδομένο μια πράξη ή μια εικόνα. Δίνεται μια εκφώνηση χωρίς ζητούμενο και ζητείται από τους μαθητές να βρουν και να γράψουν το ζητούμενο στην εκφώνηση. Δίνονται επίσης, ανακατωμένες οι προτάσεις της εκφώνησης ενός προβλήματος και οι μαθητές καλούνται να τις βάλουν στη σωστή σειρά.
Εικόνα 4: Πρόβλημα έρευνας Εικόνα 5: Πρόβλημα με πολλές λύσεις
VI. ΣΥΖΗΤΗΣΗ Η αλλαγή που φέρνουν τα νέα αναλυτικά προγράμματα και τα βιβλία των Μαθηματικών της Φύσης και της Ζωής στη διδασκαλία και μάθηση των μαθηματικών είναι σημαντική, βασίζεται σε σύγχρονα δεδομένα της επιστήμης της διδακτικής των μαθηματικών, σε έρευνες στην Ελλάδα αλλά και σε πολυετή εφαρμογή στην πράξη. Αυτή η μεγάλη και μακροχρόνια προσπάθεια για τον εκσυγχρονισμό της διδασκαλίας των μαθηματικών στο Δημοτικό Σχολείο δεν έχει ολοκληρωθεί. Απομένει να γίνει η εφαρμογή της στη πράξη και σε αυτό κυρίαρχο ρόλο έχουν οι εκπαιδευτικοί. Οι εκπαιδευτικοί για να εφαρμόσουν μεγάλες αλλαγές όπως είναι αυτή με τα μαθηματικά θα πρέπει να έχουν πολύ καλή επιμόρφωση και στήριξη. Δυστυχώς στη Ελλάδα δεν υπάρχουν στην εκπαίδευση σταθεροί, διαχρονικοί και σοβαροί μηχανισμοί και θεσμοί που να στηρίζουν τις εκπαιδευτικές αλλαγές. Η εφαρμογή καινοτομιών στην εκπαίδευση επαφίεται, τις περισσότερες φορές, στην καλή θέληση του εκπαιδευτικού. Η καλή θέληση και το φιλότιμο του εκπαιδευτικού καλούνται να υπερκεράσουν την έλλειψη ενημέρωσης και την αργή και γραφειοκρατική λειτουργία των κρατικών εκπαιδευτικών θεσμών. Μια πρώτη αδυναμία είναι ότι από το Σεπτέμβριο του 2006 θα αλλάξουν τα βιβλία όλων των τάξεων. Η συνήθης πρακτική σε αυτό το θέμα λέει ότι τα βιβλία αλλάζουν από τις πρώτες τάξεις και κάθε χρόνο εισάγεται ένα καινούργιο βιβλίο. Έτσι η αλλαγή γίνεται σε μια γενιά μαθητών από την αρχή μέχρι το τέλος. Μια δεύτερη αδυναμία είναι ότι τα βιβλία δεν τα είχαν από πριν οι εκπαιδευτικοί για να τα μελετήσουν και να ενημερωθούν. Θα τα έχουν την τελευταία στιγμή όταν θα πρέπει να διδάξουν. Μια τρίτη αδυναμία είναι ότι το περισσότερο βάρος της ενημέρωσης επιβαρύνει τους σχολικούς συμβούλους οι οποίοι έχουν περιορισμένες δυνατότητες για αυτό το έργο. Εδώ πρέπει να σημειώσουμε ότι με την ευκαιρία της εφαρμογής των καινοτομιών ξεβράζονται και φαίνονται αδυναμίες θεσμών και ρόλων όπως είναι για παράδειγμα ο συγκεντρωτισμός και γραφειοκρατική λειτουργία του Παιδαγωγικού Ινστιτούτου, η έλλειψη σοβαρών και μόνιμων θεσμών επιμόρφωσης των εκπαιδευτικών, ο ρόλος των σχολικών συμβούλων και των περιφερειών της εκπαίδευσης. Θα μπορούσα να συνεχίσω με αυτόν τον τρόπο για να εκθέσω διάφορες αδυναμίες αλλά δε θέλω να δημιουργώ ένα κλίμα πεσιμισμού. Θέλω να σκέφτομαι αισιόδοξα. Πιστεύω ότι είναι μια μεγάλη ευκαιρία για εκσυγχρονισμό στην εκπαίδευση την οποία δεν πρέπει να αφήσουμε να πάει χαμένη. ΑΝΑΦΟΡΕΣ Λεμονίδης, Χ., (1998α). Διδασκαλία των πρώτων αριθμητικών εννοιών. Ερευνητική διάσταση της Διδακτικής των Μαθηματικών. Περιοδική έκδοση του Παραρτήματος Κεντρικής Μακεδονίας της Ελληνικής Μαθηματικής Εταιρείας. τ. 3 σσ. 87-122. Λεμονίδης, Χ., (1998β). Διαδικασίες που χρησιμοποιούν οι μαθητές της Α τάξης του Δημοτικού σε πράξεις και προβλήματα προσθετικού τύπου. Συμπεράσματα και προτάσεις για τη διδασκαλία. Πρακτικά 1 ης Διημερίδας του Πανεπιστημίου Κρήτης στη Διδακτική των Μαθηματικών. σσ. 161-174. Λεμονίδης, Χ. (2003α). Μια νέα πρόταση διδασκαλίας των Μαθηματικών στις πρώτες τάξεις του Δημοτικού Σχολείου. Εκδόσεις Πατάκη. Αθήνα.
Λεμονίδης, Χ. (2003β). Μια διαφορετική διδασκαλία των αριθμών και των πράξεων στην αρχή του σχολείου. Γέφυρες. Τεύχος 9, σελ. 22-29. Λεμονίδης, Χ. (2003γ). Η διδασκαλία του συστήματος αρίθμησης στις πρώτες τάξεις του Δημοτικού Σχολείου. Πρακτικά 3 ης Διημερίδας Διδακτικής Μαθηματικών. Πανεπιστήμιο Κρήτης, Π.Τ.Δ.Ε. Ρεθύμνου, σελ. 189-198. Λεμονίδης, Χ. (2003δ). Η εισαγωγή των πράξεων του πολλαπλασιασμού και της διαίρεσης στο Δημοτικό: μια πειραματική εφαρμογή. Περιοδικό «Μέντορας», τεύχος 7, σελ. 34-48, Παιδαγωγικό Ινστιτούτο. Λεμονίδης Χ., Χατζηλιαμή Μ. (2005). Τα λειτουργικά χαρακτηριστικά της οικογένειας και οι αριθμητικές γνώσεις των νηπίων. Πρακτικά 4 ης Διεθνούς Διημερίδας Διδακτικής Μαθηματικών. Πανεπιστήμιο Κρήτης, Π.Τ.Δ.Ε. Ρεθύμνου, σελ. 83-92. Θεοδώρου Ε., Λεμονίδης Χ., (2005). Εθνομαθηματικά και Γεωμετρία: μια νέα διαθεματική πρόταση για τη διδασκαλία της Γεωμετρίας στις πρώτες τάξεις του Δημοτικού. Πρακτικά 4 ης Διεθνούς Διημερίδας Διδακτικής Μαθηματικών. Πανεπιστήμιο Κρήτης, Π.Τ.Δ.Ε. Ρεθύμνου, σελ. 221-229. Thompson, I., (1999). Written methods of calculation, in I. Thompson (ed.), Issues in Teaching Numeracy in Primary Schools, Open University Press, Buckingham, pp. 169 183.