ΑΝΑΠΤΥΞΗ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΜΑΤΟΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΑΝΕΛΑΣΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΤΟΙΧΟΠΛΗΡΩΜΕΝΩΝ ΠΛΑΙΣΙΩΝ ΟΠΛΙΣΜΕΝΟΥ ΣΚΥΡΟΔΕΜΑΤΟΣ ΚΑΙ ΕΠΑΛΗΘΕΥΣΗ ΜΕ ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΚΑ ΔΕΔΟΜΕΝΑ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ ΠΟΛΥΤΕΧΝΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΑΝΑΠΤΥΞΗ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΜΑΤΟΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΑΝΕΛΑΣΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΤΟΙΧΟΠΛΗΡΩΜΕΝΩΝ ΠΛΑΙΣΙΩΝ ΟΠΛΙΣΜΕΝΟΥ ΣΚΥΡΟΔΕΜΑΤΟΣ ΚΑΙ ΕΠΑΛΗΘΕΥΣΗ ΜΕ ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΚΑ ΔΕΔΟΜΕΝΑ ΔΙΑΤΡΙΒΗ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΟΥΔΙΠΛΩΜΑΤΟΣ ΕΙΔΙΚΕΥΣΗΣ ΣΤΑΥΡΟΥΛΑ Γ. ΣΚΑΦΙΔΑ Πολιτικού Μηχανικού ΠΑΤΡΑ 213

i ΠΡΟΛΟΓΟΣ Η παρούσα διατριβή εκπονήθηκε στο Εργαστήριο Κατασκευών του Τμήματος Πολιτικών Μηχανικών του Πανεπιστημίου Πατρών. Την επίβλεψη της διατριβής είχε ο Αναπληρωτής Καθηγητής Ευστάθιος Ν. Μπούσιας τον οποίο και ευχαριστώ θερμά για την επιστημονική καθοδήγηση και την συνολική βοήθεια που μου παρείχε καθ όλη τη διάρκεια εκπόνησης της εργασίας μου στα πλαίσια του Μεταπτυχιακού Διπλώματος Ειδίκευσης. Ειδικές ευχαριστίες στον κ. Λάμπρο Κούτα για την συνεργασία, τη βοήθεια και την στήριξη που μου προσέφερε όλο αυτό το διάστημα. Ευχαριστώ θερμά και τα υπόλοιπα μέλη της Τριμελούς Επιτροπής κ. Αθανάσιο Τριανταφύλλου και κα. Κορίνα Παπανικολάου για το χρόνο που αφιέρωσαν στην ανάγνωση της παρούσας καθώς και για τις πολύτιμες υποδείξεις τους.

ii ΠΕΡΙΛΗΨΗ Στην παρούσα εργασία διερευνάται η συμπεριφορά των τοιχοπληρωμένων πλαισίων Ο.Σ. υπό την δράση πλευρικών ανακυκλιζόμενων φορτίσεων. Πιο συγκεκριμένα, εξετάζοντας την απόκριση μίας σειράς πειραματικών δοκιμίων και τροποποιώντας το σχετικό προσομοίωμα των Crisafulli and Carr (27), αναπτύσσεται ένα νέο απλοποιητικό προσομοίωμα ανάλυσης για την μαθηματική αναπαράσταση του τοίχου πλήρωσης. Το προτεινόμενο προσομοίωμα είναι μπορεί να χρησιμοποιηθεί τόσο για τις ανάγκες του σχεδιασμού όσο και για τις ανάγκες της αποτίμησης ενός τοιχοπληρωμένου φορέα οπλισμένου σκυροδέματος, δίνοντας ικανοποιητικά αποτελέσματα όχι μόνο στο εύρος της ελαστικής απόκρισης αλλά και μετά την εμφάνιση ανελαστικών φαινομένων. Η απλότητα και το σχετικά μικρό υπολογιστικό κόστος που απαιτείται για την εφαρμογή του, το καθιστούν κατάλληλο για την ανάλυση ακόμη και μεγάλης κλίμακας κατασκευών. Η διάρθρωση της εργασίας παρουσιάζεται συνοπτικά στην συνέχεια. Στο Κεφάλαιο 1 γίνεται μία σύντομη παρουσίαση του θέματος της προσομοίωσης των τοιχοπληρώσεων που διερευνάται στην παρούσα εργασία, συνοδευόμενη από μία συνοπτική ανασκόπηση των διαθέσιμων μεθόδων που έχουν χρησιμοποιηθεί στη βιβλιογραφία. Στο Κεφάλαιο 2 γίνεται μία σύντομη περιγραφή των προσομοιωμάτων ινών που εφαρμόζονται για την αναπαράσταση των γραμμικών μελών Ο.Σ. του περιβάλλοντος πλαισίου. Τα προσομοιώματα ινών είναι αξιόπιστα σε ότι αφορά την περιγραφή της αλληλεπίδρασης κάμψης και αξονικής δύναμης, αλλά αδυνατούν να αναπαραστήσουν φαινόμενα διατμητικής φύσης που μπορεί να αναπτυχθούν στα μέλη σκυροδέματος του πλαισίου. Για το λόγο αυτό η χρήση τους προτείνεται να εφαρμόζεται με επιφύλαξη όταν φαινόμενα διατμητικής φύσης αναμένεται να καθορίσουν την συμπεριφορά των μελών Ο.Σ.. Στο Κεφάλαιο 3 παρουσιάζεται το προτεινόμενο προσομοίωμα ανάλυσης που αναπτύχθηκε για την ανάλυση της τοιχοπλήρωσης. Το προσομοίωμα απαρτίζεται από δύο διαγώνια και ένα οριζόντιο ελατήριο και λαμβάνει υπόψη τη θλιπτική (κατά την διαγώνιο) και διατμητική συμπεριφορά του τοίχου πλήρωσης. Οι καταστατικοί νόμοι των υλικών που υιοθετούνται για την περιγραφή της απόκρισης των επιμέρους στοιχείων είναι ο νόμος ανακύκλισης της τοιχοποιίας σε αξονική θλίψη του Crisafulli

iii (1997) και το τροποποιημένο προσομοίωμα των Ibarra-Krawinkler (Lignos and Krawinkler, 211 & 212). Στο Κεφάλαιο 4 το τροποποιημένο προσομοίωμα επαληθεύεται σε μία σειρά από δοκίμια τοιχοπληρωμένων πλαισίων Ο.Σ. συγκρίνοντας τα αναλυτικά με τα αντίστοιχα πειραματικά αποτελέσματα. Γενικά, το προσομοίωμα αναπαριστά με αρκετά καλή ακρίβεια την πραγματική απόκριση για το σύνολο των εξεταζόμενων δοκιμίων, παρά την διαφορετική γεωμετρία και την ποικιλία των χρησιμοποιούμενων υλικών. Ανάμεσα στα εξεταζόμενα δοκίμια περιλαμβάνεται ένα πλαίσιο που παρουσιάζει άνοιγμα στο εσωτερικό του τοίχου πλήρωσης καθώς και ένα 3-ώοφο τοιχοπληρωμένο πλαίσιο, έτσι ώστε να διερευνηθεί η αποτελεσματικότητα του προσομοιώματος και για τις δύο αυτές ιδιαίτερες περιπτώσεις. Αναγνωρίζοντας ότι μία από τις μεγαλύτερες δυσκολίες που προκύπτουν κατά την πρακτική εφαρμογή ενός αναλυτικού προσομοιώματος αφορά τον καθορισμό των επιμέρους παραμέτρων, στο Κεφάλαιο 5 πραγματοποιείται μία εκτεταμένη παραμετρική μελέτη με σκοπό την καθοδήγηση του μέλλοντα χρήστη σχετικά με την επιλογή τους. Στα πλαίσια της παραμετρικής μελέτης, μεταβάλλεται η τιμή κάθε παραμέτρου μεμονωμένα και εξετάζεται η τροποποίηση των χαρακτηριστικών της απόκρισης που προκαλείται. Κατά αυτόν τον τρόπο δίνεται η δυνατότητα προσδιοριστούν τα εύρη τιμών στα οποία πρέπει να κυμαίνεται η κάθε παράμετρος για την απόκτηση ενός αξιόπιστου προσομοιώματος. Στο Κεφάλαιο 6 συνοψίζονται τα αποτελέσματα των αναλύσεων και διατυπώνονται γενικευμένα συμπεράσματα σχετικά με την αποτελεσματικότητα και την αξιοπιστία του προτεινόμενου προσομοιώματος ανάλυσης, αλλά και τους σχετικούς περιορισμούς που απορρέουν από τον ορισμό του και αναδεικνύονται κατά την πρακτική εφαρμογή του.

iv ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΠΡΟΛΟΓΟΣ... i ΠΕΡΙΛΗΨΗ.. ii ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ.. iv ΚΑΤΑΛΟΓΟΣ ΣΧΗΜΑΤΩΝ.. vii ΚΑΤΑΛΟΓΟΣ ΠΙΝΑΚΩΝ.. xii 1. ΕΙΣΑΓΩΓΗ... 1 1.1. ΔΙΑΤΥΠΩΣΗ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΟΣ 1 1.2. ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΚΗ ΑΝΑΣΚΟΠΗΣΗ... 3 1.2.1. Συμπεριφορά τοιχοπληρωμένων πλαισίων Ο.Σ..... 3 1.2.2. Μηχανισμοί αστοχίας. 5 1.2.3. Προσομοίωση τοιχοπληρώσεων. 9 2. ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΜΕΛΩΝ Ο.Σ. 19 2.1. ΕΙΣΑΓΩΓΗ 19 2.2. ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΜΕΛΗ ΚΑΤΑΝΕΜΗΜΕΝΗΣ ΑΝΕΛΑΣΤΙΚΟΤΗΤΑΣ 19 2.3. ΣΥΝΟΠΤΙΚΗ ΠΕΡΙΓΡΑΦΗ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΜΑΤΩΝ ΙΝΩΝ.. 21 2.3.1. Εντατική κατάσταση σε επίπεδο διατομής. 21 2.3.2. Αριθμός διατομών κατά μήκος του μέλους 22 2.3.3. Διακριτοποίηση διατομών.. 23 2.4. ΚΑΤΑΣΤΑΤΙΚΟΙ ΝΟΜΟΙ ΥΛΙΚΩΝ.. 23 2.4.1. Σκυρόδεμα.. 23 2.4.2. Χάλυβας.. 24 2.5. ΜΕΙΟΝΕΚΤΗΜΑΤΑ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΜΑΤΩΝ ΙΝΩΝ. 25 3. ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗ ΤΟΙΧΟΠΛΗΡΩΣΗΣ... 27 3.1. ΕΙΣΑΓΩΓΗ 27 3.2. ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΟ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΜΑ ΤΟΙΧΟΠΛΗΡΩΣΗΣ. 27 3.3. ΚΑΤΑΣΤΑΤΙΚΟΙ ΝΟΜΟΙ ΥΛΙΚΩΝ... 3 3.3.1. Συμπεριφορά διαγώνιων θλιπτήρων/ελκυστήρων.. 3 3.3.2. Συμπεριφορά διατμητικού ελατηρίου. 41 3.4. ΕΚΤΙΜΗΣΗ ΙΔΙΟΤΗΤΩΝ ΣΤΟ ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΟ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΜΑ... 44 3.4.1. Σύνοψη παραμέτρων... 44 3.4.2. Αρχική δυσκαμψία.. 45 3.4.3. Διαρροή διατμητικού ελατηρίου & συντελεστής κράτυνσης. 47

v 3.4.4. Αντοχή διαγώνιου θλιπτήρα/ελκυστήρα. 48 3.4.5. Αρχική και μειωμένη διατομή διαγώνιου θλιπτήρα/ελκυστήρα. 49 3.4.6. Χαρακτηριστικά επίπεδα γωνιακής παραμόρφωσης ορόφου (IDR).. 5 3.4.7. Παραμορφώσεις ε' m & ε cl στο διαγώνιο θλιπτήρα/ελκυστήρα... 51 3.4.8. Εμπειρικές παράμετροι... 52 4. ΕΠΑΛΗΘΕΥΣΗ ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΟΥ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΜΑΤΟΣ. 54 4.1. ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΚΑ ΔΕΔΟΜΕΝΑ. 54 4.2. ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ... 56 4.3. ΕΠΙΛΟΓΗ ΠΑΡΑΜΕΤΡΩΝ & ΜΕΘΟΔΟΣ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑΣ ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑΤΩΝ... 58 4.3.1. Επιλογή παραμέτρων προσομοιώματος στις επιμέρους αναλύσεις 58 4.3.2. Ποσοτικοποίηση αποτελεσματικότητας προσομοιώματος. 6 4.4. ΣΥΓΚΡΙΤΙΚΑ ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑΤΑ ΑΝΑΛΥΣΕΩΝ... 62 4.4.1. Δοκίμιο Pires, M2... 62 4.4.2. Δοκίμιο Pires, M3... 64 4.4.3. Δοκίμιο Pires, M4... 66 4.4.4. Δοκίμιο Pires, M6... 68 4.4.5. Δοκίμιο Colorado, T1. 7 4.4.6. Δοκίμιο Colorado, T2.. 72 4.4.7. Δοκίμιο Koutas, U1. 75 4.5. ΣΧΟΛΙΑΣΜΟΣ ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑΤΩΝ 78 5. ΠΑΡΑΜΕΤΡΙΚΗ ΜΕΛΕΤΗ 8 5.1. ΠΕΡΙΓΡΑΦΗ ΣΤΟΧΩΝ & ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑΣ... 8 5.2. ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑΤΑ ΠΑΡΑΜΕΤΡΙΚΗΣ ΜΕΛΕΤΗΣ... 81 5.2.1. Εισαγωγικές παρατηρήσεις. 81 5.2.2. Παραμετρική μελέτη δοκιμίου Μ2, Pires... 81 5.2.2.1. Παράμετρος a 1... 82 5.2.2.2. Παράμετρος γ. 84 5.2.2.3. Παράμετρος A red... 86 5.2.2.4. Παράμετρος G un... 88 5.2.2.5. Παράμετρος A re... 9 5.2.2.6. Παράμετρος L S... 92 5.2.2.7. Παράμετρος c S... 94

vi 5.2.2.8. Παράμετρος IDR 1... 95 5.2.2.9. Παράμετρος IDR 2... 97 5.2.2.1. Παράμετρος IDR 3... 99 5.2.3. Παραμετρική μελέτη δοκιμίου Μ6, Pires... 11 5.2.3.1. Παράμετρος a 1... 12 5.2.3.2. Παράμετρος γ... 13 5.2.3.3. Παράμετρος A red... 15 5.2.3.4. Παράμετρος G un... 17 5.2.3.5. Παράμετρος A re... 19 5.2.3.6. Παράμετρος L S... 111 5.2.3.7. Παράμετρος c S... 113 5.2.3.8. Παράμετρος L K... 115 5.2.3.9. Παράμετρος IDR 1... 118 5.2.3.1. Παράμετρος IDR 2... 119 5.2.3.11. Παράμετρος IDR 3... 121 5.3. ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΑ ΠΑΡΑΜΕΤΡΙΚΗΣ ΜΕΛΕΤΗΣ. 123 6. ΣΥΝΟΨΗ ΚΑΙ ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΑ... 126 ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ.. 13 ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ Α.. 134

vii ΚΑΤΑΛΟΓΟΣ ΣΧΗΜΑΤΩΝ Σχήμα 1.1 Εντατική κατάσταση στην τοιχοποιία, (i) στα πρώιμα στάδια της απόκρισης (διατμητικό τοίχωμα) και (ii) μετά την αποκόλληση από το περιβάλλον πλαίσιο. 3 Σχήμα 1.2 Σχηματική αναπαράσταση μηχανισμών αστοχίας στον τοίχο πλήρωσης... 7 Σχήμα 1.3 Σχηματική αναπαράσταση μηχανισμών αστοχίας στο πλαίσιο Ο.Σ... 8 Σχήμα 1.4 Συγκριτικά διαγράμματα λόγου w/l diag συναρτήσει της παραμέτρου λ h... 13 Σχήμα 1.5 Προσομοιώματα πολλαπλών θλιπτήρων (α) Syrmakezis & Vratsanou (1986) (β) Chrysostomou (22), (γ) El-Dakhakhni et al. (23) και (δ) Crisafulli & Carr (27).. 15 Σχήμα 1.6 Νόμοι υστέρησης : (α) Crisafulli (1997), (β) Fardis & Panagiotakos (1997) και (γ) Chrysostomou et al. (199).. 16 Σχήμα 2.1 Σχηματική αναπαράσταση μη-γραμμικών μελών, (α) με βάση τις μετακινήσεις και (β) με βάση τις δυνάμεις. 2 Σχήμα 2.2 Προσομοίωμα σκυροδέματος (Concrete2), νόμος σ-ε σε μονοτονική και ανακυκλιζόμενη φόρτιση 24 Σχήμα 2.3 Προσομοίωμα χάλυβα (Steel2), νόμος σ-ε σε ανακυκλιζόμενη φόρτιση.. 25 Σχήμα 3.1 Σχηματική αναπαράσταση του 4-κομβου στοιχείου τοιχοπλήρωσης των Crisafulli & Carr (27).. 29 Σχήμα 3.2 Σχηματική αναπαράσταση προτεινόμενου προσομοιώματος.. 29 Σχήμα 3.3 Σχηματική αναπαράσταση της γενικής μορφής του μέλους Two-Node- Link 29 Σχήμα 3.4 Νόμοι υστέρησης τοιχοποιίας σε αξονική θλίψη, Crisafulli (1997) 3 Σχήμα 3.5 Περιβάλλουσα αντοχής σε θλίψη σύμφωνα με τους Sargin (1971) και Crisafulli (1997).. 32 Σχήμα 3.6 Χαρακτηριστικά σημεία της απόκρισης του προσομοιώματος του Crisafulli (1997), (i) νόμος φόρτισης - αποφόρτισης, (ii) περιβάλλουσα σε θλίψη (νόμος 1) και αποφόρτιση από την περιβάλλουσα (νόμος 2), (iii) και (iv) επαναφόρτιση μετά από ολική αποφόρτιση (νόμοι 4 & 5), (v) εφελκυσμός (νόμος 6), (vi) ανακυκλιζόμενη θλίψη. 33 Σχήμα 3.7 Μεταβολή εμβαδού διαγώνιου θλιπτήρα/ελκυστήρα ανάλογα με το επίπεδο της θλιπτικής παραμόρφωσης 41 Σχήμα 3.8 Περιβάλλουσα αντοχής διατμητικού ελατηρίου.. 42 Σχήμα 3.9 Βασικοί μηχανισμοί μείωσης της αντοχής ή/και της δυσκαμψίας του διατμητικού ελατηρίου, σύμφωνα με το τροποποιημένο προσομοίωμα των Ibarra- Krawinkler... 43 Σχήμα 3.1 Συνηθέστεροι τρόποι αστοχίας της τοιχοπλήρωσης σύμφωνα με τους Bertoldi et al. (1993) 48 Σχήμα 3.11 Γεωμετρία παραμορφωμένου πλαισίου 51 Σχήμα 3.12 Περιβάλλουσα θλιπτικής αντοχής, χαρακτηριστικά σημεία της απόκρισης και μεταβολή του εμβαδού του διαγώνιου θλιπτήρα 52

viii Σχήμα 3.13 Περιβάλλουσα αντοχής και χαρακτηριστικά σημεία της απόκρισης του διατμητικού ελατηρίου 52 Σχήμα 4.1 Γεωμετρικά χαρακτηριστικά δοκιμίων, (i) Pires M2-M6, (ii) Colorado T1 & T2 και (iii) Koutas et al. 56 Σχήμα 4.2 Pires M2, Αναλυτική και πειραματική απόκριση δοκιμίου... 63 Σχήμα 4.3 Pires M2, Διακύμανση δείκτη f.. 64 Σχήμα 4.4 Pires M2, Συσσωρευτική ενέργεια παραμόρφωσης... 64 Σχήμα 4.5 Pires M3, Αναλυτική και πειραματική απόκριση δοκιμίου... 65 Σχήμα 4.6 Pires M3, Διακύμανση δείκτη f.. 66 Σχήμα 4.7 Pires M3, Συσσωρευτική ενέργεια παραμόρφωσης... 66 Σχήμα 4.8 Pires M4, Αναλυτική και πειραματική απόκριση δοκιμίου... 67 Σχήμα 4.9 Pires M4, Διακύμανση δείκτη f.. 68 Σχήμα 4.1 Pires M4, Συσσωρευτική ενέργεια παραμόρφωσης.. 68 Σχήμα 4.11 Pires M6, Αναλυτική και πειραματική απόκριση δοκιμίου. 69 Σχήμα 4.12 Pires M6, Διακύμανση δείκτη f 69 Σχήμα 4.13 Pires M6, Συσσωρευτική ενέργεια παραμόρφωσης. 7 Σχήμα 4.14 Colorado T1, Αναλυτική και πειραματική απόκριση δοκιμίου... 71 Σχήμα 4.15 Colorado T1, Διακύμανση δείκτη f.. 72 Σχήμα 4.16 Colorado T1, Συσσωρευτική ενέργεια παραμόρφωσης... 72 Σχήμα 4.16 Colorado T2, Αναλυτική και πειραματική απόκριση δοκιμίου... 74 Σχήμα 4.17 Colorado T2, Διακύμανση δείκτη f.. 74 Σχήμα 4.18 Colorado T2, Συσσωρευτική ενέργεια παραμόρφωσης... 74 Σχήμα 4.19 Koutas U1, Αναλυτική και πειραματική απόκριση δοκιμίου.. 76 Σχήμα 4.2 Koutas U1, Διακύμανση δείκτη f. 76 Σχήμα 4.21 Koutas U1, Συσσωρευτική ενέργεια παραμόρφωσης.. 76 Σχήμα 4.22 Koutas U1, Διαγράμματα τέμνουσας ορόφου απόλυτης μετατόπισης ορόφου 77 Σχήμα 5.1 Απόκριση προσομοιώματος Μ2, Pires για διάφορες τιμές της παραμέτρου a 1. 78 Σχήμα 5.2 Διακύμανση δείκτη f στο θεωρούμενο διάστημα της απόκρισης του προσομοιώματος Μ2, Pires για διάφορες τιμές της παραμέτρου a 1... 79 Σχήμα 5.3 Αυξομείωση χαρακτηριστικών μεγεθών του δείκτη f στο προσομοίωμα Μ2, Pires για διάφορες τιμές της παραμέτρου a 1 83 Σχήμα 5.4 Απόκριση προσομοιώματος Μ2, Pires για διάφορες τιμές της

παραμέτρου γ... 84 Σχήμα 5.5 Διακύμανση δείκτη f στο θεωρούμενο διάστημα της απόκρισης του προσομοιώματος Μ2, Pires για διάφορες τιμές της παραμέτρου γ. 85 Σχήμα 5.6 Αυξομείωση χαρακτηριστικών μεγεθών του δείκτη f στο προσομοίωμα Μ2, Pires για διάφορες τιμές της παραμέτρου γ. 85 Σχήμα 5.7 Απόκριση προσομοιώματος Μ2, Pires για διάφορες τιμές της παραμέτρου A red.. 86 Σχήμα 5.8 Διακύμανση δείκτη f στο θεωρούμενο διάστημα της απόκρισης του προσομοιώματος Μ2, Pires για διάφορες τιμές της παραμέτρου A red... 87 Σχήμα 5.9 Αυξομείωση χαρακτηριστικών μεγεθών του δείκτη f στο προσομοίωμα Μ2, Pires για διάφορες τιμές της παραμέτρου A red. 87 Σχήμα 5.11 Διακύμανση δείκτη f στο θεωρούμενο διάστημα της απόκρισης του προσομοιώματος Μ2, Pires για διάφορες τιμές της παραμέτρου G un... 88 Σχήμα 5.12 Αυξομείωση χαρακτηριστικών μεγεθών του δείκτη f στο προσομοίωμα Μ2, Pires για διάφορες τιμές της παραμέτρου G un 89 Σχήμα 5.13 Απόκριση προσομοιώματος Μ2, Pires για διάφορες τιμές της παραμέτρου A re... 89 Σχήμα 5.14 Διακύμανση δείκτη f στο θεωρούμενο διάστημα της απόκρισης του προσομοιώματος Μ2, Pires για διάφορες τιμές της παραμέτρου A re. 9 Σχήμα 5.15 Αυξομείωση χαρακτηριστικών μεγεθών του δείκτη f στο προσομοίωμα Μ2, Pires για διάφορες τιμές της παραμέτρου A re. 91 Σχήμα 5.16 Απόκριση προσομοιώματος Μ2, Pires για διάφορες τιμές της παραμέτρου L S. 91 Σχήμα 5.17 Διακύμανση δείκτη f στο θεωρούμενο διάστημα της απόκρισης του προσομοιώματος Μ2, Pires για διάφορες τιμές της παραμέτρου L S.. 92 Σχήμα 5.18 Αυξομείωση χαρακτηριστικών μεγεθών του δείκτη f στο προσομοίωμα Μ2, Pires για διάφορες τιμές της παραμέτρου L S.. 93 Σχήμα 5.19 Απόκριση προσομοιώματος Μ2, Pires για διάφορες τιμές της παραμέτρου c S. 93 Σχήμα 5.2 Διακύμανση δείκτη f στο θεωρούμενο διάστημα της απόκρισης του προσομοιώματος Μ2, Pires για διάφορες τιμές της παραμέτρου c S.. 94 Σχήμα 5.21 Αυξομείωση χαρακτηριστικών μεγεθών του δείκτη f στο προσομοίωμα Μ2, Pires για διάφορες τιμές της παραμέτρου c S... 94 Σχήμα 5.22 Απόκριση προσομοιώματος Μ2, Pires για διάφορες τιμές της παραμέτρου IDR 1... 95 Σχήμα 5.23 Διακύμανση δείκτη f στο θεωρούμενο διάστημα της απόκρισης του προσομοιώματος Μ2, Pires για διάφορες τιμές της παραμέτρου IDR 1. 95 Σχήμα 5.24 Αυξομείωση χαρακτηριστικών μεγεθών του δείκτη f στο προσομοίωμα Μ2, Pires για διάφορες τιμές της παραμέτρου IDR 1.. 96 Σχήμα 5.25 Απόκριση προσομοιώματος Μ2, Pires για διάφορες τιμές της παραμέτρου IDR 2... 97 Σχήμα 5.26 Διακύμανση δείκτη f στο θεωρούμενο διάστημα της απόκρισης του προσομοιώματος Μ2, Pires για διάφορες τιμές της παραμέτρου IDR 2... 97 Σχήμα 5.27 Αυξομείωση χαρακτηριστικών μεγεθών του δείκτη f στο προσομοίωμα Μ2, Pires για διάφορες τιμές της παραμέτρου IDR 2.. 98 ix

Σχήμα 5.28 Απόκριση προσομοιώματος Μ2, Pires για διάφορες τιμές της παραμέτρου IDR 3... 99 Σχήμα 5.29 Διακύμανση δείκτη f στο θεωρούμενο διάστημα της απόκρισης του προσομοιώματος Μ2, Pires για διάφορες τιμές της παραμέτρου IDR 3. 99 Σχήμα 5.3 Αυξομείωση χαρακτηριστικών μεγεθών του δείκτη f στο προσομοίωμα Μ2, Pires για διάφορες τιμές της παραμέτρου IDR 3.. 1 Σχήμα 5.31 Απόκριση προσομοιώματος Μ6, Pires για διάφορες τιμές της παραμέτρου a 1. 11 Σχήμα 5.32 Διακύμανση δείκτη f στο θεωρούμενο διάστημα της απόκρισης του προσομοιώματος Μ6, Pires για διάφορες τιμές της παραμέτρου a 1... 13 Σχήμα 5.33 Αυξομείωση χαρακτηριστικών μεγεθών του δείκτη f στο προσομοίωμα Μ6, Pires για διάφορες τιμές της παραμέτρου a 1 13 Σχήμα 5.34 Απόκριση προσομοιώματος Μ6, Pires για διάφορες τιμές της παραμέτρου γ... 14 Σχήμα 5.35 Διακύμανση δείκτη f στο θεωρούμενο διάστημα της απόκρισης του προσομοιώματος Μ6, Pires για διάφορες τιμές της παραμέτρου γ. 15 Σχήμα 5.36 Αυξομείωση χαρακτηριστικών μεγεθών του δείκτη f στο προσομοίωμα Μ6, Pires για διάφορες τιμές της παραμέτρου γ. 15 Σχήμα 5.37 Απόκριση προσομοιώματος Μ6, Pires για διάφορες τιμές της παραμέτρου A red.. 16 Σχήμα 5.38 Διακύμανση δείκτη f στο θεωρούμενο διάστημα της απόκρισης του προσομοιώματος Μ6, Pires για διάφορες τιμές της παραμέτρου A red 16 Σχήμα 5.39 Αυξομείωση χαρακτηριστικών μεγεθών του δείκτη f στο προσομοίωμα Μ6, Pires για διάφορες τιμές της παραμέτρου A red 17 Σχήμα 5.4 Απόκριση προσομοιώματος Μ6, Pires για διάφορες τιμές της παραμέτρου G un... 18 Σχήμα 5.41 Διακύμανση δείκτη f στο θεωρούμενο διάστημα της απόκρισης του προσομοιώματος Μ6, Pires για διάφορες τιμές της παραμέτρου G un. 18 Σχήμα 5.42 Αυξομείωση χαρακτηριστικών μεγεθών του δείκτη f στο προσομοίωμα Μ6, Pires για διάφορες τιμές της παραμέτρου G un. 19 Σχήμα 5.43 Απόκριση προσομοιώματος Μ6, Pires για διάφορες τιμές της παραμέτρου A re 11 Σχήμα 5.44 Διακύμανση δείκτη f στο θεωρούμενο διάστημα της απόκρισης του προσομοιώματος Μ6, Pires για διάφορες τιμές της παραμέτρου A re.. 11 Σχήμα 5.45 Αυξομείωση χαρακτηριστικών μεγεθών του δείκτη f στο προσομοίωμα Μ6, Pires για διάφορες τιμές της παραμέτρου A re.. 111 Σχήμα 5.46 Απόκριση προσομοιώματος Μ6, Pires για διάφορες τιμές της παραμέτρου L S. 112 Σχήμα 5.47 Διακύμανση δείκτη f στο θεωρούμενο διάστημα της απόκρισης του προσομοιώματος Μ6, Pires για διάφορες τιμές της παραμέτρου L S... 112 Σχήμα 5.48 Αυξομείωση χαρακτηριστικών μεγεθών του δείκτη f στο προσομοίωμα Μ6, Pires για διάφορες τιμές της παραμέτρου L S... 113 Σχήμα 5.49 Απόκριση προσομοιώματος Μ6, Pires για διάφορες τιμές της παραμέτρου c S. 114 Σχήμα 5.5 Διακύμανση δείκτη f στο θεωρούμενο διάστημα της απόκρισης του προσομοιώματος Μ6, Pires για διάφορες τιμές της παραμέτρου c S... 114 x

Σχήμα 5.51 Αυξομείωση χαρακτηριστικών μεγεθών του δείκτη f στο προσομοίωμα Μ6, Pires για διάφορες τιμές της παραμέτρου c S 115 Σχήμα 5.52 Απόκριση προσομοιώματος Μ6, Pires για διάφορες τιμές της παραμέτρου L K 116 Σχήμα 5.53 Διακύμανση δείκτη f στο θεωρούμενο διάστημα της απόκρισης του προσομοιώματος Μ6, Pires για διάφορες τιμές της παραμέτρου L K.. 116 Σχήμα 5.54 Αυξομείωση χαρακτηριστικών μεγεθών του δείκτη f στο προσομοίωμα Μ6, Pires για διάφορες τιμές της παραμέτρου L K... 117 Σχήμα 5.55 Αυξομείωση χαρακτηριστικών μεγεθών του δείκτη f στο προσομοίωμα Μ6, Pires για διάφορες τιμές της παραμέτρου c K (με L K =.2). 117 Σχήμα 5.56 Απόκριση προσομοιώματος Μ6, Pires για διάφορες τιμές της παραμέτρου IDR 1 118 Σχήμα 5.57 Διακύμανση δείκτη f στο θεωρούμενο διάστημα της απόκρισης του προσομοιώματος Μ6, Pires για διάφορες τιμές της παραμέτρου IDR 1.. 119 Σχήμα 5.58 Αυξομείωση χαρακτηριστικών μεγεθών του δείκτη f στο προσομοίωμα Μ6, Pires για διάφορες τιμές της παραμέτρου IDR 1... 119 Σχήμα 5.59 Απόκριση προσομοιώματος Μ6, Pires για διάφορες τιμές της παραμέτρου IDR 2 12 Σχήμα 5.6 Διακύμανση δείκτη f στο θεωρούμενο διάστημα της απόκρισης του προσομοιώματος Μ6, Pires για διάφορες τιμές της παραμέτρου IDR 2.. 12 Σχήμα 5.61 Αυξομείωση χαρακτηριστικών μεγεθών του δείκτη f στο προσομοίωμα Μ6, Pires για διάφορες τιμές της παραμέτρου IDR 2... 121 Σχήμα 5.62 Απόκριση προσομοιώματος Μ6, Pires για διάφορες τιμές της παραμέτρου IDR 3 122 Σχήμα 5.63 Διακύμανση δείκτη f στο θεωρούμενο διάστημα της απόκρισης του προσομοιώματος Μ6, Pires για διάφορες τιμές της παραμέτρου IDR 3.. 122 Σχήμα 5.64 Αυξομείωση χαρακτηριστικών μεγεθών του δείκτη f στο προσομοίωμα Μ6, Pires για διάφορες τιμές της παραμέτρου IDR 3... 123 xi

xii ΚΑΤΑΛΟΓΟΣ ΠΙΝΑΚΩΝ Πίνακας 3.1 Παράμετροι για τον υπολογισμό της θλιπτικής αντοχής (Bertoldi et al.,1993)... 49 Πίνακας 3.2 Συσχέτιση παραμορφωσιακών μεγεθών με επίπεδα IDR. 51 Πίνακας 3.3 Προτεινόμενες τιμές και όρια ανοχής εμπειρικών παραμέτρων σύμφωνα με τον Crisafulli (1997)... 53 Πίνακας 4.1 Στοιχεία σχετικά με τη φόρτιση δοκιμίων... 55 Πίνακας 4.2 Γεωμετρικά χαρακτηριστικά δοκιμίων 55 Πίνακας 4.3 Μηχανικές ιδιότητες υλικών δοκιμίων 55 Πίνακας 4.4 Καθορισμός ιδιοτήτων ανάλυσης 57 Πίνακας 4.5 Ιδιότητες προσομοιώματος απερίσφικτου & περισφιγμένου σκυροδέματος δοκών... 59 Πίνακας 4.6 Ιδιότητες προσομοιώματος απερίσφικτου & περισφιγμένου σκυροδέματος υποστυλωμάτων.. 59 Πίνακας 4.7 Ιδιότητες προσομοιώματος διαμήκους οπλισμού δοκών & υποστυλωμάτων.. 59 Πίνακας 4.8 Μηχανικές ιδιότητες προσομοιώματος τοιχοπλήρωσης. 6 Πίνακας 4.9 Εμπειρικές παράμετροι προσομοιώματος τοιχοπλήρωσης.. 6 Πίνακας 4.1 Χαρακτηριστικά επίπεδα IDR... 6 Πίνακας 4.11 Συγκεντρωτικοί δείκτες αποτελεσματικότητας στα επιμέρους προσομοιώματα ανάλυσης.. 78 Πίνακας 4.12 Σύγκριση χαρακτηριστικών μεγεθών πειράματος/ανάλυσης 79

1 1. ΕΙΣΑΓΩΓΗ 1.1. ΔΙΑΤΥΠΩΣΗ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΟΣ Η χρήση της τοιχοποιίας για την πλήρωση των εσωτερικών ή/και εξωτερικών ανοιγμάτων σε πλαισιακούς φορείς οπλισμένου σκυροδέματος (Ο.Σ.), είναι μία ευρέως διαδεδομένη πρακτική, ακόμη και σε περιοχές υψηλής σεισμικής επικινδυνότητας. Για το λόγο αυτό πολλοί ερευνητές προσπάθησαν να αποσαφηνίσουν τον τρόπο που η τοιχοποιία αλληλοεπιδρά με το περιβάλλον πλαίσιο Ο.Σ. και να ερμηνεύσουν τη συμπεριφορά του σύνθετου αυτού δομικού συστήματος υπό στατικές και δυναμικές φορτίσεις. Παρά την πληθώρα των ερευνητικών εργασιών, η συμπεριφορά των τοιχοπληρώσεων σε ένα πλαισιακό φορέα Ο.Σ. δεν έχει ακόμη διευκρινιστεί με σαφήνεια, με αποτέλεσμα πολύ συχνά και με την συναίνεση των διαφόρων κανονισμών οι τοίχοι πλήρωσης να αγνοούνται από τα προσομοιώματα ανάλυσης. Οι λόγοι που, παρά τις εκτεταμένες μελέτες των τελευταίων δεκαετιών, δεν έχει κατοχυρωθεί μία κοινώς αποδεκτή θεωρία για την προσομοίωση των τοιχοπληρωμένων πλαισίων Ο.Σ. σχετίζονται άμεσα με την πολυμορφία της τοιχοπλήρωσης ως δομικού μέλους. Η τοιχοποιία είναι ένα πολυφασικό μέσο, που μπορεί να απαρτίζεται από πολλούς διαφορετικούς συνδυασμούς υλικών, ενώ εφαρμόζεται σε ποικίλες γεωμετρικές διατάξεις ακολουθώντας διαφορετικές κατασκευαστικές πρακτικές. Επιπρόσθετα, η συμπεριφορά ενός τοιχοπληρωμένου πλαισίου φαίνεται να εξαρτάται, όχι μόνο από τα χαρακτηριστικά του τοίχου πλήρωσης και του περιβάλλοντος πλαισίου ως μεμονωμένα δομικά στοιχεία, αλλά και από τον τρόπο που τα δύο αυτά μέρη αλληλεπιδρούν μεταξύ τους, παράγοντας κατά περίπτωση διαφορετικούς μηχανισμούς αστοχίας. Η εκτίμηση όλων των παραμέτρων που επιδρούν στη συνολική ή/και τοπική απόκριση των τοιχοπληρωμένων πλαισίων Ο.Σ. εμπεριέχει σημαντικό βαθμό αβεβαιότητας, γεγονός που λειτουργεί αποτρεπτικά στην ανάπτυξη ενός αξιόπιστου προσομοιώματος ανάλυσης ευρείας χρήσης. Παρά τις αδιαμφισβήτητες δυσκολίες που αναφέρονται παραπάνω, η απόκριση τοιχοπληρωμένων φορέων Ο.Σ. σε πρόσφατα σεισμικά συμβάντα (Japan 211, Haiti 21, Italy 29 κ.α.), αναδεικνύει την αναγκαιότητα εδραίωσης αναλυτικών προσομοιωμάτων για την προσομοίωση των τοίχων πλήρωσης. Η ύπαρξη τους αλλάζει σημαντικά την συμπεριφορά του εν γένει εύκαμπτου και πλάστιμου πλαισιακού φορέα. Ανάμεσα στα πλεονεκτήματα που συνεπάγεται η εφαρμογή της τοιχοπλήρωσης είναι η αύξηση της αντοχής του φορέα και η μείωση της πλευρικής έντασης που καλούνται να αναλάβουν τα

2 μέλη Ο.Σ.. Από την άλλη πλευρά παρατηρείται μείωση της ικανότητας παραμόρφωσης του συστήματος, με την εμφάνιση ψαθυρών μορφών αστοχίας. Ακόμη, η συνεκτίμηση των τοιχοπληρώσεων μεταβάλει την δυσκαμψία του συστήματος, γεγονός που έχει άμεσο αντίκτυπο στην σεισμική του συμπεριφορά και τρωτότητα. Ειδικά στα αρχικά στάδια της απόκρισης, πριν την αποκόλληση της τοιχοποιίας από το περιβάλλον πλαίσιο και την ανάπτυξη εκτεταμένων ρωγμών στον τοίχο πλήρωσης, αυξάνεται η δυσκαμψία και κατά συνέπεια μειώνεται η ιδιοπερίοδος του συστήματος, ενώ ο μηχανισμός αντίστασης του φορέα είναι παρόμοιος με αυτόν ενός διατμητικού τοιχώματος. Ανομοιόμορφη κατανομή των τοιχοπληρώσεων σε κάτοψη μπορεί να οδηγήσει στην δημιουργία ενός στρεπτικά ευαίσθητου συστήματος, ενώ η ανομοιομορφία καθ ύψος είναι υπεύθυνη σε πολλές περιπτώσεις για την δημιουργία μηχανισμού ορόφου. Συνοψίζοντας όλα τα παραπάνω συνάγεται ότι η αναζήτηση μιας ενιαίας και αξιόπιστης προσέγγισης για την αναλυτική προσομοίωση των τοιχοπληρώσεων σε έναν πλαισιακό φορέα Ο.Σ. είναι ακόμη και σήμερα επίκαιρη, τόσο για τις ανάγκες του σχεδιασμού νέων κατασκευών όσο και για την αποτίμηση υφιστάμενων. Η συνήθης πρακτική εξαίρεσης των τοίχων πλήρωσης από τα προσομοιώματα ανάλυσης δεν είναι ρεαλιστική για τις μη-σεισμικά σχεδιασμένες κατασκευές και θα πρέπει να επανεξεταστεί. Άλλωστε, η εξέλιξη των υλικών και των μεθοδολογιών ενίσχυσης κατασκευών που περιλαμβάνουν τοίχους πλήρωσης, μπορεί να μετατρέψει την τοιχοποιία σε ένα αναπόσπαστο δομικό στοιχείο που συμβάλλει καθοριστικά στον μηχανισμό αντίστασης του φορέα έναντι σεισμικών ή άλλων δράσεων. Αναγνωρίζοντας την αναγκαιότητα εδραίωσης κατάλληλων προσομοιωμάτων για την αναπαράσταση των τοιχοπληρώσεων, η παρούσα εργασία πραγματεύεται το θέμα της προσομοίωσης των τοίχων πλήρωσης σε πλαισιακούς φορείς Ο.Σ.. Η διερεύνηση ξεκινά με την βιβλιογραφική ανασκόπηση των σχετικών ερευνητικών εργασιών και καταλήγει στην ανάπτυξη ενός νέου απλοποιημένου προσομοιώματος για την περιγραφή της συμπεριφοράς των τοιχοπληρώσεων υπό στατικές ανακυκλιζόμενες πλευρικές φορτίσεις. Το αναλυτικό προσομοίωμα επαληθεύεται με τη χρήση πειραματικών δεδομένων τα οποία αφενός επιβεβαιώνουν την αποτελεσματικότητά του και αφετέρου αποσαφηνίζουν τον ρόλο των επιμέρους παραμέτρων που απαιτούνται για τον ορισμό του.

3 1.2. ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΚΗ ΑΝΑΣΚΟΠΗΣΗ 1.2.1. Συμπεριφορά τοιχοπληρωμένων πλαισίων Ο.Σ. Η διερεύνηση της συμπεριφοράς των τοιχοπληρωμένων πλαισίων Ο.Σ. αποτέλεσε αντικείμενο έρευνας πληθώρας ερευνητών. Η συμπεριφορά αυτή είναι αποτέλεσμα του συνδυασμού ενός ψαθυρού δομικού στοιχείου όπως η τοιχοποιία με τα πλάστιμα μέλη Ο.Σ., δύο μέρη που επιδεικνύουν διαφορετική ικανότητα παραμόρφωσης και αντοχής. Κατά συνέπεια, η αλληλεπίδραση του πλαισίου με τον τοίχο πλήρωσης εμφανίζει μία σύνθετη εικόνα απόκρισης με έντονα μη-γραμμικά χαρακτηριστικά. Μάλιστα η απόκριση του συστήματος διαφοροποιείται ανάλογα με τα μηχανικά και γεωμετρικά χαρακτηριστικά του τοίχου και του περιβάλλοντος πλαισίου, τις συνθήκες συνάφειας στις διεπιφάνειες αλλά και την ίδια την φόρτιση. Η εκτός επιπέδου συμπεριφορά των τοιχοπληρωμένων πλαισίων Ο.Σ. δεν εξετάζεται στην παρούσα εργασία, αν και η εκτός επιπέδου αστοχία ενός τοίχου πλήρωσης μπορεί να έχει σοβαρές συνέπειες στην διατήρηση της ολότητας του συστήματος. Αντίθετα, το ενδιαφέρον επικεντρώνεται στην απόκριση υπό την δράση πλευρικών φορτίων στο επίπεδο του πλαισίου. Η περιγραφή των βασικών χαρακτηριστικών της εντός επιπέδου απόκρισης του συστήματος πλαίσιο Ο.Σ.-τοίχος πλήρωσης ακολουθεί στην συνέχεια. Σχήμα 1.1 Εντατική κατάσταση στην τοιχοποιία, (i) στα πρώιμα στάδια της απόκρισης (διατμητικό τοίχωμα) και (ii) μετά την αποκόλληση από το περιβάλλον πλαίσιο Σε πρώιμα στάδια της απόκρισης, χάρη στην αντοχή του δεσμού που αναπτύσσεται στην διεπιφάνεια τοίχου-πλαισίου, το τοιχοπληρωμένο πλαίσιο συμπεριφέρεται μονολιθικά σαν διατμητικό τοίχωμα (Σχ.1.1(i)). Καθώς οι πλευρικές δυνάμεις αυξάνονται, το συμβιβαστό των παραμορφώσεων τοιχοποιίας-πλαισίου Ο.Σ. αρχίζει να παραβιάζεται λόγω της διαφορετικής παραμορφωσιακής ικανότητας των δύο μερών, με αποτέλεσμα η τοιχοποιία να αρχίζει να αποκολλάται από το περιβάλλον πλαίσιο. Το επίπεδο της παραμόρφωσης για το οποίο επέρχεται η αποκόλληση του τοίχου πλήρωσης από το

4 πλαίσιο εξαρτάται κυρίως από τις συνθήκες συνάφειας στην διεπιφάνεια. Η αποκόλληση συνοδεύεται από μείωση της δυσκαμψίας, αλλά δεν επηρεάζει σημαντικά την αντοχή του συστήματος. Η επαφή διατηρείται σε μία περιοχή γύρω από τις απέναντι γωνίες της θλιβόμενης διαγωνίου, ενώ οι πρώην εφελκυστικές τάσεις που αναπτύσσονταν στις περιοχές που εμφανίζεται η αποκόλληση απελευθερώνονται. Κατά συνέπεια η εντατική κατάσταση στην τοιχοποιία τροποποιείται, και περιορίζεται στην ανάπτυξη ενός θλιπτικού πεδίου τάσεων σε μία λωρίδα τοιχοποιίας κατά μήκος της διαγωνίου. Ο μηχανισμός αντίστασης που αναπτύσσεται είναι παρόμοιος με αυτόν που προκύπτει από τη δράση ενός δικτυώματος που συνδέει το υποστύλωμα που υπόκειται σε πλευρική φόρτιση, την δοκό και την θλιβόμενη διαγώνιο, παρατήρηση η οποία οδήγησε στην γένεση των απλοποιητικών προσομοιωμάτων θλιπτήρων/ελκυστήρων που θα περιγραφούν στην συνέχεια. Περαιτέρω αύξηση των πλευρικών δυνάμεων προκαλεί πρόσθετη αποκόλληση της τοιχοποιίας από το πλαίσιο, η οποία συνοδεύεται από ρηγμάτωση του τοίχου και σημαντική μείωση της πλευρικής δυσκαμψίας του συστήματος. Η αστοχία του φορέα επέρχεται με την ανάπτυξη μηχανισμού είτε στο περιβάλλον πλαίσιο Ο.Σ. είτε στην τοιχοποιία. Οι πιο συχνές μορφές αστοχίας που εμφανίζονται στο πλαίσιο Ο.Σ. είναι αποτέλεσμα των ισχυρών εφελκυστικών τάσεων που αναπτύσσονται στη βάση του υποστυλώματος που βρίσκεται στην πλευρά που ασκείται η πλευρική φόρτιση και οδηγούν σε διαρροή του διαμήκους οπλισμού ή/και αστοχία της αγκύρωσης. Εξίσου κρίσιμη είναι η συγκέντρωση διατμητικών τάσεων περί το μέσο του ύψους των υποστυλωμάτων ή/και κοντά στους κόμβους δοκού-υποστυλώματος, στην οποία οφείλεται η εμφάνιση διατμητικών μορφών αστοχίας στο πλαίσιο. Αν το πλαίσιο Ο.Σ. είναι επαρκώς σχεδιασμένο ώστε να μπορεί να αντισταθεί στους παραπάνω μηχανισμούς, η βλάβη επικεντρώνεται στον τοίχο πλήρωσης και το σύστημα επιδεικνύει άλλοτε σταδιακή και άλλοτε ραγδαία μείωση της αντοχής και της δυσκαμψίας του μέχρι την τελική θραύση. Η συμπεριφορά των τοιχοπληρωμένων πλαισίων Ο.Σ. που περιγράφεται παραπάνω είναι γενική και αφορά κυρίως την περίπτωση μονώροφων πλαισίων ενός ανοίγματος, το οποίο γεμίζεται πλήρως με τοιχοποιία. Πλαίσια στα οποία παρεμβάλλονται ανοίγματα στο εσωτερικό των τοίχων πλήρωσης καθώς και οι περιπτώσεις πολυώροφων πλαισίων ή πλαισίων με πολλαπλά κατά μήκος ανοίγματα παρουσιάζουν διαφοροποιήσεις στην γενική

5 εικόνα της απόκρισής τους. Στις επόμενες παραγράφους γίνεται μία σύντομη αναφορά στα σημαντικότερα σημεία που τροποποιούν την απόκριση των εν λόγω συστημάτων. Η συμπεριφορά των πολυώροφων πλαισίων ακολουθεί τα γενικά χαρακτηριστικά που περιγράφονται παραπάνω. Ο μηχανισμός δικτυώματος αναπτύσσεται στο επίπεδο κάθε ορόφου, με τη διαφορά ότι οι αξονικές δυνάμεις που μεταφέρονται μέσω των υποστυλωμάτων είναι μεγαλύτερες, οδηγώντας σε σημαντική αύξηση ή μείωση της δυσκαμψίας και της αντοχής των υποστυλωμάτων της εφελκυόμενης και της θλιβόμενης πλευράς αντίστοιχα. Η βλάβη συγκεντρώνεται στο επίπεδο του πρώτου ορόφου, όπου αναπτύσσονται μεγαλύτερες διατμητικές δυνάμεις, ενώ είναι αρκετά πιθανόν να προκύψει αστοχία λόγω της δημιουργίας «μηχανισμού ορόφου». Πλαίσια πολλαπλών ανοιγμάτων δεν θα εξεταστούν στην παρούσα εργασία, αν και η απόκρισή τους είναι ανάλογη με την περίπτωση των πλαισίων ενός ανοίγματος. Οι διαφορές που προκύπτουν πηγάζουν από το γεγονός ότι η παραμόρφωση κάθε εσωτερικού υποστυλώματος παρεμποδίζεται και από τους δύο τοίχους πλήρωσης που συνορεύουν με το εν λόγω γραμμικό μέλος. Σαν αποτέλεσμα αναπτύσσονται σημαντικές δυνάμεις που σε πολλές περιπτώσεις οδηγούν στην αστοχία των εσωτερικών υποστυλωμάτων. Η ύπαρξη ανοιγμάτων στον τοίχο πλήρωσης διαφοροποιεί σημαντικά την συμπεριφορά του τοιχοπληρωμένου πλαισίου και εισάγει ακόμη μεγαλύτερες αβεβαιότητες στην εκτίμηση της απόκρισης του. Συνήθως παρατηρείται έναρξη της βλάβης στην περιοχή γύρω από τα ανοίγματα, η οποία οδηγεί σε άμεση μείωση της αντοχής και της δυσκαμψίας του συστήματος. Ο μηχανισμός δικτυώματος τροποποιείται καθώς η θλιβόμενη διαγώνιος μπορεί να διακόπτεται από την παρουσία του ανοίγματος. Γενικά, η συμπεριφορά των τοιχοπληρωμένων πλαισίων στα οποία παρεμβάλλονται μικρότερα ή μεγαλύτερα ανοίγματα, εμφανίζει διαφορετικά χαρακτηριστικά ανάλογα με την θέση, την γεωμετρία και το εύρος του ανοίγματος. 1.2.2. Μηχανισμοί αστοχίας Σύμφωνα με τα αποτελέσματα των πειραματικών και αναλυτικών ερευνών των τελευταίων δεκαετιών, οι μηχανισμοί αστοχίας που αναπτύσσουν τα τοιχοπληρωμένα πλαίσια μπορούν να χωριστούν σε δύο μεγάλες κατηγορίες: (Α) αστοχίες στον τοίχο πλήρωσης και (Β) αστοχίες στο περιβάλλον πλαίσιο Ο.Σ.. Οι επιμέρους μηχανισμοί

6 αστοχίας για κάθε κατηγορία περιγράφονται στη συνέχεια, με αναφορά στις ερευνητικές εργασίες των Crisafulli (1997) και Mehrabi and Shing (1997). Α) Αστοχία τοίχου πλήρωσης (α) διαγώνια ρηγμάτωση λόγω διάτμησης (κλιμακωτές ρωγμές) Η διαγώνια ρηγμάτωση χαρακτηρίζεται από την εμφάνιση κλιμακωτών ρωγμών κατά μήκος των αρμών και κατά τη φορά της διαγωνίου (Σχ.1.2α). Είναι ένας από τους συνηθέστερους τρόπους αστοχίας του τοίχου πλήρωσης και απαντάται κυρίως σε τοιχοπληρωμένα πλαίσια στα οποία είτε το πλαίσιο έχει μικρή αντοχή, είτε οι αρμοί πλήρωσης έχουν πολύ χαμηλότερη αντοχή σε σχέση με την τοιχοποιία και το πλαίσιο. (β) διατμητική ολίσθηση (οριζόντια ρωγμή) Η διατμητική ολίσθηση προκύπτει με την ανάπτυξη μίας μεγάλης ρωγμής που ξεκινά λίγο χαμηλότερα από το σημείο εφαρμογής του πλευρικού φορτίου και διευρύνεται κατά μήκος των αρμών προς την απέναντι πλευρά του τοίχου ακολουθώντας μία περίπου ευθεία διαδρομή στο ύψος του μέσου του ορόφου (Σχ.1.2β). Η ανάπτυξη του μηχανισμού ολίσθησης ευνοείται από την γεωμετρία του πλαισίου στην περίπτωση πλαισίων με χαμηλό λόγο ύψους προς μήκος ανοίγματος, Η/L, καθώς και την χαμηλή αντοχή των αρμών πλήρωσης. (γ) διαγώνια ρηγμάτωση λόγω εφελκυσμού Οι κύριες τάσεις που αναπτύσσονται στο κεντρικό τμήμα της τοιχοποιίας μετά την αποκόλληση από το περιβάλλον πλαίσιο αποτελούνται από μία θλιπτική συνιστώσα κατά τη διεύθυνση της διαγωνίου και μία εφελκυστική συνιστώσα κάθετη στην τελευταία. Σε περιπτώσεις όπου η αντοχή του κονιάματος των αρμών είναι σημαντική, καθώς και στις περιπτώσεις όπου η κατακόρυφη τάση κυριαρχεί έναντι της διατμητικής (πλαίσια με σχετικά μεγάλο λόγο ύψους προς μήκος ανοίγματος), η εφελκυστική αστοχία της τοιχοποιίας καθορίζει την απόκριση του συστήματος. Η ρηγμάτωση λόγω εφελκυσμού συνήθως ξεκινά στο μέσο του τοίχου όπου οι εφελκυστικές τάσεις μεγιστοποιούνται και διαδίδεται προς τις γωνίες με κλίση περίπου ίση με tanθ (Σχ.1.2γ). Η εμφάνιση εφελκυστικών ρωγμών είναι ιδιαίτερα κρίσιμη στην περίπτωση που η τοιχοποιία απαρτίζεται από διάτρητα τούβλα, καθώς προκαλεί σημαντικές βλάβες στον τοίχο πλήρωσης και προκύπτει κίνδυνος για εμφάνιση εκτός επιπέδου αστοχίας.

7 Σχήμα 1.2 Σχηματική αναπαράσταση μηχανισμών αστοχίας στον τοίχο πλήρωσης (δ) σύνθλιψη στις γωνίες Αυτή η μορφή αστοχίας είναι αποτέλεσμα της συγκέντρωσης θλιπτικών τάσεων στις γωνίες της θλιβόμενης διαγωνίου (Σχ.1.2δ). Είναι ένας σχετικά σπάνιος μηχανισμός αστοχίας που συναντάται σε περιπτώσεις φορέων στους οποίους ο τοίχος πλήρωσης είναι ασθενής, ενώ το περιβάλλον πλαίσιο Ο.Σ. ισχυρό. (ε) ρηγμάτωση λόγω κάμψης (στη βάση) Η δημιουργία καμπτικών ρωγμών στην τοιχοποιία είναι ένας πολύ σπάνιος μηχανισμός αστοχίας που μπορεί να προκύψει στην περίπτωση πολυώροφων πλαισίων στα οποία η συγκέντρωση των καμπτικών ροπών στη βάση είναι σημαντική. Εμφανίζεται με την ανάπτυξη μίας μεγάλης ρωγμής που ξεκινά από τη βάση της εφελκυόμενης πλευράς του τοίχου πλήρωσης και κατευθύνεται προς την απέναντι πλευρά ακολουθώντας σχεδόν οριζόντια πορεία (Σχ.1.2ε). Η εμφάνιση του εν λόγω μηχανισμού αστοχίας προϋποθέτει να μην έχει προηγηθεί η αποκόλληση του τοίχου από το περιβάλλον πλαίσιο οπότε ο φορέας συμπεριφέρεται ακόμη μονολιθικά και ανθίσταται στο σύνολό του έναντι της ροπής ανατροπής που αναπτύσσεται στη βάση. (στ) διαγώνια θλίψη (κεντρικά) Η αστοχία λόγω διαγώνιας θλίψης είναι άμεσα συνδεδεμένη με την εμφάνιση ρωγμών λόγω εφελκυσμού κατά μήκος της διαγωνίου. Με την δημιουργία των ρωγμών οι εφελκυστικές τάσεις που ασκούνταν στην τοιχοποιία κάθετα στην διαγώνιο απελευθερώνονται και τα ανεξάρτητα κομμάτια τοιχοποιίας που παρεμβάλλονται των ρωγμών καταπονούνται σε μοναοαξονική θλίψη. Σαν αποτέλεσμα με την αύξηση του

8 πλευρικού φορτίου οι ρωγμές διευρύνονται και δημιουργείται μηχανισμός αστάθειας που οδηγεί στην αστοχία του φορέα. Β) Αστοχία πλαισίου Ο.Σ. (α) αστοχία λόγω κάμψης Η δημιουργία καμπτικού μηχανισμού αστοχίας στο περιβάλλον πλαίσιο επέρχεται με τον σχηματισμό πλαστικών αρθρώσεων στην κορυφή και στη βάση των υποστυλωμάτων. Μία διαφορετική κατανομή των πλαστικών αρθρώσεων στα υποστυλώματα μπορεί να προκύψει στην περίπτωση που προηγείται η ανάπτυξη διατμητικής ρωγμής ολίσθησης στην τοιχοπλήρωση. Καθώς το διάγραμμα των καμπτικών ροπών καθ ύψος μεταβάλλεται, οι πλαστικές αρθρώσεις σχηματίζονται στο ένα άκρο και στο μέσο των υποστυλωμάτων του πλαισίου σύμφωνα με το δεύτερο γράφημα του Σχ.1.3α, όπου η ροπή κάμψης μεγιστοποιείται. (β) αστοχία λόγω εφελκυσμού με διαρροή του διαμήκους οπλισμού Η λειτουργία του μηχανισμού δικτυώματος οδηγεί στην ανάπτυξη σημαντικών αξονικών δυνάμεων στα υποστυλώματα της εφελκυόμενης πλευράς του τοιχοπληρωμένου πλαισίου. Ως αποτέλεσμα μπορεί να προκύψει διαρροή του διαμήκους οπλισμού, η οποία γίνεται εμφανής με την ανάπτυξη οριζόντιων ρωγμών καθ ύψος του εφελκυόμενου υποστυλώματος. Με την αύξηση του πλευρικού φορτίου η επιμήκυνση του υποστυλώματος μεγαλώνει και η τοιχοποιία τείνει να περιστραφεί εντός του πλαισίου Ο.Σ. οδηγώντας στην ανάπτυξη μίας εκτεταμένης ρωγμής στη βάση (Σχ.1.3β). Σχήμα 1.3 Σχηματική αναπαράσταση μηχανισμών αστοχίας στο πλαίσιο Ο.Σ.

9 (γ) αστοχία της αγκύρωσης Η αστοχία της αγκύρωσης εμφανίζεται με την ολίσθηση του διαμήκους οπλισμού στην βάση των υποστυλωμάτων. Πρόκειται για έναν μηχανισμό αστοχίας που μπορεί να αποφευχθεί αν εξασφαλιστεί επαρκές μήκος αγκύρωσης στις διαμήκεις ράβδους. (δ) διατμητική αστοχία υποστυλωμάτων Η διατμητική αστοχία των υποστυλωμάτων οφείλεται στην συγκέντρωση διατμητικών τάσεων στις επιφάνειες επαφής τοίχου-υποστυλώματος. Στην διατμητική αντοχή των υποστυλωμάτων συνεισφέρει ο οπλισμός διάτμησης και το σκυρόδεμα, ενώ η ύπαρξη αξονικής θλιπτικής έντασης στο μέλος οδηγεί σε αύξηση της διατμητικής του αντοχής. Παρ όλα αυτά, η σημαντική συγκέντρωση διατμητικής έντασης στη βάση του θλιβόμενου υποστυλώματος (ή/και στην κορυφή του εφελκυόμενου) σε συνδυασμό με την ανεπάρκεια του οπλισμού διάτμησης (λόγω του μικρού ογκομετρικού ποσοστού του οπλισμού διάτμησης στην διατομή ή/και των κακών συνθηκών αγκύρωσής του κυρίως σε παλαιότερες κατασκευές) οδηγεί στην δημιουργία διατμητικών ρωγμών στα υποστυλώματα που στην πληθώρα των περιπτώσεων καθορίζουν και τη αστοχία του φορέα. (ε) αστοχία κόμβου δοκού-υποστυλώματος Η αστοχία του κόμβου δοκού-υποστυλώματος είναι και αυτή αποτέλεσμα της συγκέντρωσης σημαντικών διατμητικών τάσεων στις επιφάνειες επαφής τοίχου-πλαισίου κοντά στις γωνίες της διαγωνίου. Αυτή η συγκέντρωση των τάσεων μπορεί να προκαλέσει αστοχία των κόμβου με την ανάπτυξη μίας ευρείας διατμητικής ρωγμής που διέρχεται μέσα από τον κόμβο (Σχ.1.3ε). Η ανάπτυξη διατμητικής ρωγμής στον κόμβο είναι καθοριστική για την απόκριση του συστήματος καθώς εμποδίζει την μεταβίβαση των δυνάμεων από τη δοκό στα υποστυλώματα και στην τοιχοπλήρωση, προκαλώντας την αποδόμηση του συνολικού μηχανισμού αντίστασης του φορέα. 1.2.3. Προσομοίωση τοιχοπληρώσεων Σχετικά με την προσομοίωση των τοιχοπληρώσεων, επικρατούν δύο διαφορετικές προσεγγίσεις: (i) απλοποιημένα μακρο-μοντέλα και (ii) λεπτομερειακά μικρομοντέλα. Στην πρώτη προσέγγιση χρησιμοποιείται η θεώρηση του «ισοδύναμου δικτυώματος», οπότε συνδυάζοντας ένα ή περισσότερα ελατήρια (θλιπτήρες/ελκυστήρες),

1 προκύπτει ένα απλοποιημένο προσομοίωμα ικανό να αναπαραστήσει την συνολική συμπεριφορά του τοιχοφατνώματος και την αλληλεπίδρασή του με το περιβάλλον πλαίσιο. Η δεύτερη προσέγγιση περιλαμβάνει προσομοιώματα που περιγράφουν λεπτομερώς τα επιμέρους στοιχεία που απαρτίζουν τον τοίχο (τοιχοσώματα, κονίαμα, διεπιφάνεια επαφής κ.ο.κ.) και το περιβάλλον πλαίσιο, και προσπαθούν να αποδώσουν την ακριβή συμπεριφορά του τοίχου πλήρωσης σε τοπικό επίπεδο. Προσομοιώματα θλιπτήρων/ελκυστήρων Η βασική αρχή αυτής της οικογένειας προσομοιωμάτων αναπτύχθηκε από τον Polyakov (196) και βασίζεται στην εξής παρατήρηση: ενώ στα πρώτα στάδια της απόκρισης ενός πλευρικά φορτιζόμενου τοιχοφατνώματος, το σύστημα αποκρίνεται μονολιθικά, σύντομα η τοιχοποιία τείνει να αποκολληθεί από το περιβάλλον πλαίσιο δημιουργώντας έναν μηχανισμό αντίστασης παρόμοιο με αυτόν που θα δημιουργούσε η ύπαρξη ενός αξονικού μέλους κατά μήκος της διαγωνίου που συνδέει τις δύο αντίθετες γωνίες του φατνώματος, όπου η επαφή του τοίχου με το πλαίσιο διατηρείται. Πολλοί ερευνητές ενστερνίστηκαν την θεωρία του Polyakov και επιχείρησαν να την εξελίξουν αναπτύσσοντας προσομοιώματα ενός ή περισσότερων θλιπτήρων/ελκυστήρων για την αναπαράσταση του τοίχου πλήρωσης. Ανάμεσα στους πρώτους που υιοθέτησαν την πρόταση του Polyakov διακρίνεται ο Holmes (1961), o οποίος αντικατέστησε τον τοίχο πλήρωσης με έναν διαγώνιο θλιπτήρα, με απλή στήριξη στα άκρα, πάχος ίσο με το πάχος του τοίχου πλήρωσης και πλάτος ίσο με το 1/3 της διάστασης της διαγωνίου: w L diag 1 (1.1) 3 Ο Stanford Smith (1962) διεξήγαγε μία σειρά από πειράματα σε τοιχοπληρωμένα μεταλλικά πλαίσια, επιχειρώντας να συσχετίσει το πλάτος του διαγώνιου θλιπτήρα με την σχετική δυσκαμψία τοίχου-πλαισίου. Για την αξιολόγηση της σχετικής δυσκαμψίας, οι Smith (1966; 1967) και Smith and Carter (1969) προτείνουν τον υπολογισμό της παραμέτρου λ h σύμφωνα με τη σχέση:

11 H h 4 Emtmsin(2 ) 4E I H m (1.2) όπου Ε m, t m και H m το μέτρο ελαστικότητας, το πάχος και το ύψος του τοίχου πλήρωσης, Ε και Ι το μέτρο ελαστικότητας και η ροπή αδράνειας των υποστυλωμάτων αντίστοιχα και θ η γωνία που σχηματίζει η τοιχοδιαγώνιος με τον οριζόντιο άξονα. Οι δύο ερευνητές συσχέτισαν το μήκος επαφής, α, της τοιχοποιίας με το περιβάλλον πλαίσιο με την παράμετρο λ h, στηριζόμενοι στη θεώρηση δοκού επί ελαστικού εδάφους: a H (1.3) 2 h το οποίο χρησιμοποίησαν στην συνέχεια για να εκτιμήσουν μέσα από μία σειρά παραδοχών το πλάτος του διαγώνιου θλιπτήρα/ελκυστήρα και τον αναμενόμενο μηχανισμό αστοχίας. Παρόλα αυτά, τα πειράματα στα οποία στηρίζεται η ερευνητική εργασία των Smith και Carter διενεργήθηκαν σε μεταλλικά πλαίσια πληρωμένα με κονίαμα, τα οποία δεν παρουσιάζουν την ανομοιογένεια που συναντάται στην περίπτωση που εφαρμόζονται οι διάφοροι τύποι τοιχοποιίας. Ο Mainstone (1971), βασιζόμενος σε μία σειρά αναλυτικών και πειραματικών αποτελεσμάτων, πρότεινε τη χρήση της ακόλουθης εμπειρικής σχέσης για τον προσδιορισμό του πλάτους του διαγώνιου μέλους: w L diag.3 (1.4).16 h την οποία τροποποίησε στην συνέχεια μαζί με τον Weeks (Mainstone, 1974; Mainstone and Weeks, 197) ως εξής: w L diag.4 (1.5).175 h Η εν λόγω σχέση περιλαμβάνεται στις προτάσεις των FEMA-274 και FEMA-36, καθώς η χρήση της έγινε αποδεκτή από πληθώρα ερευνητών που ασχολήθηκαν με την

12 συμπεριφορά τοιχοπληρωμένων πλαισίων. Σύγκριση των αποτελεσμάτων της εν λόγω εξίσωσης με τις αντίστοιχες σχέσεις που προτάθηκαν από άλλους ερευνητές αποδεικνύει ότι η Εξ.1.5 δίνει ένα κάτω όριο του πλάτους του διαγώνιου μέλους, κατάλληλο για τις ανάγκες του σχεδιασμού αλλά ενδεχομένως ανεπαρκές για τις ανάγκες της αποτίμησης. Οι Bazan and Meli (198), βασιζόμενοι σε μία σειρά παραμετρικών αναλύσεων σε μονώροφα τοιχοπληρωμένα πλαίσια, πρότειναν την επόμενη εξίσωση για τον υπολογισμό του πλάτους του διαγώνιου θλιπτήρα στην περίπτωση που αναμένεται αστοχία κατά την διαγώνιο: w L EA c c EA c c.2sin αν 1 5 (1.6) G A GA diag w w w w όπου Α c, E c διατομή και το μέτρο ελαστικότητας των υποστυλωμάτων του πλαισίου και G w, A w το μέτρο διάτμησης και η διατομή του τοίχου πλήρωσης αντίστοιχα. Μία ακόμη σχέση υπολογισμού του πλάτους του διαγώνιου μέλους από τους Liauw και Kwan (1984), για τιμές της γωνίας θ στο διάστημα 25 < θ < 5 περιγράφεται από την επόμενη εξίσωση: w L diag.95sin 2 (1.7) 2 h Μία ενδιαφέρουσα προσέγγιση αποτελεί η πρόταση των Decanini και Fantin (1987), οι οποίοι ανέπτυξαν δύο τύπους υπολογισμού του πλάτους του διαγώνιου στοιχείου, λαμβάνοντας υπόψη την κατάσταση του τοίχου πλήρωσης (ρηγματωμένη ή αρηγμάτωτη), καθώς και τη σχετική δυσκαμψία τοίχου και περιβάλλοντος πλαισίου Ο.Σ.:

13 w L 1 diag w L 2 diag.748.85 h 7.85 h : ά.393.13 h 7.85 h.77.1 h 7.85 h : έ.47.4 h 7.85 h (1.8) Ανάλογες σχέσεις προτείνονται και από άλλους ερευνητές αλλά θα παραληφθούν για λόγους συντομίας. Στο Σχ. 1.4 παρουσιάζονται τα συγκριτικά διαγράμματα του λόγου w/d, (d = L diag ) συναρτήσει της παραμέτρου λ h, σύμφωνα με τις προτάσεις διαφόρων ερευνητών. Σύμφωνα με το σχήμα επιβεβαιώνεται η παρατήρηση που προηγήθηκε σχετικά με την χρήση της σχέσης του Mainstone ως κάτω όριο για τον υπολογισμό του ενεργού εμβαδού της τοιχοδιαγωνίου. w/d 1.9.8.7.6.5.4 Holmes Pauley & Priestley Mainstone Liauw & Kwan, θ=25 Liauw & Kwan, θ=5 Decanini & Fantin, αρηγμάτωτη Decanini & Fantin, ρηγματωμένη.3.2.1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 λ h Σχήμα 1.4 Συγκριτικά διαγράμματα λόγου w/l diag συναρτήσει της παραμέτρου λ h Τα προσομοιώματα που κάνουν χρήση ενός διαγώνιου θλιπτήρα μπορούν με κατάλληλη βαθμονόμηση να αποδώσουν την αρχική δυσκαμψία του συστήματος, αλλά αδυνατούν να περιγράψουν τη σύνθετη συμπεριφορά των τοιχοπληρωμένων πλαισίων και τους διάφορους μηχανισμούς αστοχίας που εμφανίζουν. Όπως έχει διαπιστωθεί από διάφορους ερευνητές (Reflak and Fajfar, 1991; Saneinejad and Hobbs, 1995; Buonopane

14 and White, 1999) οι καμπτικές ροπές και οι διατμητικές δυνάμεις που αναπτύσσονται στα υποστυλώματα λόγω της αλληλεπίδρασης με τον τοίχο πλήρωσης δεν μπορούν να αναπαρασταθούν με ένα μόνο διαγώνιο μέλος. Για το λόγο αυτό, τα προσομοιώματα ενός θλιπτήρα εξελίχθηκαν σε προσομοιώματα πολλαπλών θλιπτήρων/ελκυστήρων με σκοπό να αναπαραστήσουν με μεγαλύτερη ακρίβεια την συμπεριφορά του τοίχου και την αλληλεπίδρασή του με το περιβάλλον πλαίσιο. Ανάμεσα στις σημαντικότερες ερευνητικές εργασίες προς αυτήν την κατεύθυνση είναι αυτές των Syrmakezis και Vratsanou (1986) και του Chrysostomou (22). Οι Syrmakezis και Vratsanou χρησιμοποίησαν πέντε παράλληλα διαγώνια μέλη για να περιγράψουν την συμπεριφορά του τοίχου σε κάθε διεύθυνση (Σχ.1.5α). Από την άλλη πλευρά, ο Chrysostomou προτείνει τη χρήση τριών διαγώνιων μελών σε κάθε διαγώνιο, όπου το κεντρικό διαγώνιο μέλος συνδέει τις δύο απέναντι γωνίες στους κόμβους δοκούυποστυλώματος, ενώ τα άλλα συνδέουν σημεία σε κρίσιμες θέσεις κατά μήκος των δύο απέναντι υποστυλωμάτων. Οι θέσεις στις οποίες καταλήγουν ή/και εκκινούν τα δύο έκκεντρα τοποθετημένα διαγώνια στοιχεία, καθορίζονται από την παράμετρο α, η οποία εκφράζει ποσοστό του ύψους ή του μήκους του φατνώματος που αντιστοιχεί στην θέση σχηματισμού πλαστικής άρθρωσης στο υποστύλωμα ή την δοκό αντίστοιχα (Σχ.1.5.β). Ανάλογα με την διεύθυνση της φόρτισης μόνο τα τρία θλιβόμενα διαγώνια μέλη είναι ενεργά σε κάθε περίπτωση. Οι El-Dakhakhni et al. (23) τροποποίησαν το προσομοίωμα του Chrysostomou, προτείνοντας διαφορετικές αποστάσεις των έκκεντρων διαγώνιων στοιχείων από το κόμβο δοκού-υποστυλώματος, σύμφωνα με το Σχ.1.5γ. Τα παραπάνω προσομοιώματα περιγράφουν με μεγαλύτερη ακρίβεια την εντατική κατάσταση που προκύπτει στα μέλη του πλαισίου λόγω της αλληλεπίδρασης με τον τοίχο πλήρωσης, αλλά δεν μπορούν να αναπαραστήσουν τη συμπεριφορά του συστήματος όταν αναπτύσσεται μηχανισμός διατμητικής ολίσθησης. Προκειμένου να ληφθεί υπόψη και ο εν λόγω μηχανισμός αντιστασης, οι Crisafulli και Carr (27) ανέπτυξαν ένα πρωτοποριακό προσομοίωμα ανάλυσης, στο οποίο δύο διαγώνιοι θλιπτήρες/ελκυστήρες και ένα διατμητικό ελατήριο ανά διεύθυνση, συγχωνεύονται σε ένα ενιαίο 4-κομβο «επιφανειακό» στοιχείο (Σχ.1.5δ).

15 Σχήμα 1.5 Προσομοιώματα πολλαπλών θλιπτήρων (α) Syrmakezis & Vratsanou (1986) (β) Chrysostomou (22), (γ) El-Dakhakhni et al. (23) και (δ) Crisafulli & Carr (27) Υστερητική συμπεριφορά διαγώνιων θλιπτήρων/ ελκυστήρων Για να περιγραφεί η συμπεριφορά του τοίχου πλήρωσης υπό ανακυκλιζόνενες στατικές ή δυναμικές φορτίσεις απαιτείται η ανάπτυξη κατάλληλων νόμων υστέρησης. Διαφορετικοί νόμοι υστέρησης έχουν αναπτυχθεί προκειμένου να εφαρμοστούν στα αντίστοιχα προσομοιώματα θλιπτήρων/ελκυστήρων που περιγράφονται παραπάνω. Ανάμεσα στις διάφορες προσεγγίσεις αξίζει να σημειωθεί η πρόταση των Chrysostomou et al.(199), η οποία αποτελεί τροποποίηση του νόμου των Soroushian et al. (1988) και απαρτίζεται από δύο εξισώσεις. Η πρώτη εξίσωση καθορίζει την περιβάλλουσα αντοχής των διαγωνίων, ενώ η δεύτερη την υστερητική συμπεριφορά τους. Το σχήμα των βρόγχων ρυθμίζεται μέσω έξι παραμέτρων, οι οποίες έχουν φυσικό νόημα και μπορούν να προσδιοριστούν μέσω κατάλληλων πειραματικών διατάξεων. Το προσομοίωμα λαμβάνει υπόψη την μείωση της αντοχής και της δυσκαμψίας του τοίχου πλήρωσης λόγω της ανακύκλισης. Ο Crisafulli (1997) στα πλαίσια της διδακτορικής διατριβής του τροποποιεί τον νόμο ανακύκλισης του Sargin (1971) για να περιγράψει την συμπεριφορά της τοιχοποιίας υπό αξονική φόρτιση. Ο τροποποιημένος νόμος υστέρησης χρησιμοποιείται από τους Crisafulli και Carr για τον προσδιορισμό της απόκρισης των διαγώνιων μελών που ενσωματώνονται στο 4-κομβο μέλος «τοιχοφατνώματος». Ακόμη, βασιζόμενος στο απλό ελαστοπλαστικό

16 νόμο υστέρησης προτείνει έναν νόμο ανακύκλισης για την τοιχοποιία σε διάτμηση, ο οποίος ενσωματώνεται στον ορισμό του διατμητικού ελατηρίου. Το προσομοίωμα του Crisafulli δύναται να αναπαραστήσει με πολύ καλή ακρίβεια τα αποτελέσματα πειραματικών εργασιών, αν και απαιτεί τον προσδιορισμό πολλών εμπειρικών και μηχανικών παραμέτρων. Μία διαφορετική προσέγγιση για την περιγραφή της συμπεριφοράς ενός τοιχοπληρωμένου πλαισίου υπό ανακυκλιζόμενη φόρτιση καθιστούν τα προσομοιώματα που βασίζονται στην θεώρηση του «μηχανισμού ορόφου». Τα εν λόγω προσομοιώματα λαμβάνουν υπόψη την σχέση τέμνουσας ορόφου και σχετικής παραμόρφωσης ορόφου στο τοιχοπληρωμένο πλαίσιο Ο.Σ. και αναπτύσσουν ανελαστικούς νόμους υστέρησης με γνώμονα την συνολική αυτή συμπεριφορά του συστήματος. Ο νόμος ανακύκλισης που προτείνουν οι Fardis και Panagiotakos (1997) ανήκει σε αυτήν την κατηγορία προσομοιωμάτων. Η περιβάλλουσα αντοχής απαρτίζεται από μία τρι-γραμμική καμπύλη που αναπαριστά τα βασικά χαρακτηριστικά της απόκρισης του συστήματος, ενώ η μορφή των βρόγχων υστέρησης ρυθμίζεται από τρεις εμπειρικές παραμέτρους. Σχήμα 1.6 Νόμοι υστέρησης : (α) Crisafulli (1997), (β) Fardis & Panagiotakos (1997) και (γ) Chrysostomou et al. (199)

17 Λεπτομερειακά «μικρο-μοντέλα» Όπως έχει προαναφερθεί, τα απλοποιητικά προσομοιώματα θλιπτήρων/ελκυστήρων μπορούν να αποδώσουν μόνο την γενική εικόνα της απόκρισης ενός τοιχοπληρωμένου πλαισίου. Η αναπαράσταση όλων των επιμέρους μηχανισμών αστοχίας που παρουσιάζονται στην ενότητα 1.2.2, απαιτεί την ανάπτυξη λεπτομερειακών προσομοιωμάτων, που χρησιμοποιούν την μέθοδο των πεπερασμένων στοιχείων και μία σειρά από καταστατικούς νόμους για να περιγράψουν με ακρίβεια την συμπεριφορά του τοίχου πλήρωσης και του περιβάλλοντος πλαισίου σε τοπικό επίπεδο. Πολλοί ερευνητές συνεισέφεραν προς αυτήν την κατεύθυνση αναπτύσσοντας λεπτομερειακά προσομοίωματα για την ανάλυση των τοιχοπληρωμένων πλαισίων. Οι μελέτες που αναφέρονται ενδεικτικά στην συνέχεια στοχεύουν στην απόκτηση μίας ευρύτερης εικόνας των διαθέσιμων μεθόδων ανάλυσης και των παραδοχών στις οποίες βασίζονται. Πολλοί ερευνητές, όπως οι Lotfi (1992), Lourenco (1996), Attard et al. (27) καθώς και οι Mehrabi και Shing (1997), χρησιμοποίησαν έναν συνδυασμό από συνεχή μέλη και μέλη διεπιφάνειας για να αναπαραστήσουν τον μηχανισμό θραύσης των λιθοσωμάτων και των αρμών αντίστοιχα. Στην εργασία των Chiou et al. (1999) τα τοιχοπληρωμένα πλαίσια Ο.Σ. προσομοιώθηκαν διακριτοποιώντας τόσο την τοιχοποιία όσο και τα μέλη σκυροδέματος με μία σειρά από «μπλοκ» τα οποία συνδέονται μεταξύ τους με τη χρήση ελατηρίων προκειμένου να ληφθεί υπόψη η αστοχία λόγω εφελκυσμού ή/και διάτμησης. Σε μία από τις πιο σύγχρονες μελέτες στον συγκεκριμένο τομέα, οι Stavridis and Shing (21) συνδυάζουν τα πλεονεκτήματα των προσομοιωμάτων κατανεμημένων και διακριτών ρωγμών για να αναπαραστήσουν τους διαφορετικούς μηχανισμούς αστοχίας που ενδέχεται να αναπτυχθούν στο τοιχοπληρωμένο πλαίσιο. Παρότι συμπεραίνουν ότι η χρήση λεπτομερειακών προσομοιωμάτων είναι απαραίτητη για την ακριβή αναπαράσταση της απόκρισης των τοιχοπληρωμένων φορέων, αναγνωρίζουν το σημαντικό υπολογιστικό κόστος και την πολυπλοκότητα της εφαρμογής τους και ενθαρρύνουν την χρήση ενός απλοποιητικού προσομοιώματος για την εκτίμηση των γενικών χαρακτηριστικών της απόκρισης των εν λόγω συστημάτων. Γενικά, η ανάπτυξη λεπτομερειακών προσομοιωμάτων για την αναπαράσταση του τοίχου και του περιβάλλοντος πλαισίου συνοδεύεται από τον καθορισμό πολύπλοκων καταστατικών νόμων, ικανών να περιγράψουν την σύνθετη συμπεριφορά των επιμέρους

18 μερών στα οποία διαιρείται ο φορέας και κατά συνέπεια να αποδώσουν με ακρίβεια την ανελαστική απόκριση του συστήματος. Οι εν λόγω καταστατικοί νόμοι εμπεριέχουν πολυάριθμες παραμέτρους πολλές από τις οποίες δεν είναι εύκολο να προσδιοριστούν. Περισσότερες λεπτομέρειες σχετικά με τις ειδικές παραδοχές κάθε προσομοιώματος αλλά και τους περιορισμούς που προκύπτουν από την εφαρμογή του δεν θα αναπτυχθούν εδώ καθώς ξεφεύγουν από ανάγκες της παρούσας εργασίας. Θα πρέπει εντούτοις να σημειωθεί ότι η εξέλιξη των προσομοιωμάτων που επιχειρούν την λεπτομερή αναπαράσταση των ανελαστικών φαινομένων που λαμβάνουν χώρα κατά τη φόρτιση ενός φορέα προϋποθέτει την ανάπτυξη ισχυρών υπολογιστικών εργαλείων, ικανών να υποστηρίξουν το σημαντικό υπολογιστικό κόστος που απαιτεί η πρακτική εφαρμογή τους. Συνεπώς, αν και αποτελούν ίσως την δελεαστικότερη και πιο αξιόπιστη προσέγγιση για την ανελαστική ανάλυση τοιχοπληρωμένων φορέων, η πολυπλοκότητα των προσομοιωμάτων που έχουν μέχρι σήμερα αναπτυχθεί, οι επιμέρους περιορισμοί και κυριότερα ο σημαντικός υπολογιστικός φόρτος που προκύπτει από την εφαρμογή τους, αποτελούν τροχοπέδη στην χρησιμοποίησή τους για την ανάλυση πραγματικών κατασκευών.

19 2. ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΜΕΛΩΝ Ο.Σ. 2.1. ΕΙΣΑΓΩΓΗ Η μελέτη της ανελαστικής απόκρισης κατασκευών από οπλισμένο σκυροδέμα απαιτεί την ανάπτυξη κατάλληλων προσομοιωμάτων ανάλυσης, ικανών να λάβουν υπόψη, έμμεσα ή άμεσα, την μη γραμμικότητα του υλικού υπό την επίδραση στατικών και ανακυκλιζόμενων φορτίσεων. Διακρίνονται δύο μεγάλες κατηγορίες προσομοιωμάτων για την ανελαστική ανάλυση γραμμικών μελών: (α) προσομοιώματα συγκεντρωμένης ανελαστικότητας και (β) προσομοιώματα κατανεμημένης ανελαστικότητας. Τα προσομοιώματα συγκεντρωμένης ανελαστικότητας βασίζονται στο γεγονός ότι οι ανελαστικές παραμορφώσεις συνήθως επικεντρώνονται στα άκρα των μελών. Συνεπώς, στα εν λόγω προσομοιώματα, η ανελαστική συμπεριφορά του μέλους προκύπτει ορίζοντας δύο στροφικά ελατήρια με κατάλληλους νόμους Μ-θ στα άκρα των γραμμικών ελαστικών μελών. Αντίθετα, στα προσομοιώματα κατανεμημένης ανελαστικότητας η μηγραμμικότητα μπορεί να εμφανιστεί σε οποιαδήποτε διατομή κατά μήκος του μέλους και η συνολική συμπεριφορά προκύπτει με κατάλληλη ολοκλήρωση της απόκρισης των επί μέρους διατομών. Όσον αφορά την απόκριση της κάθε διατομής, αυτή καθορίζεται από τη γεωμετρία, τη θέση και τον καταστατικό νόμο των υλικών που την απαρτίζουν. Στην παρούσα εργασία η προσομοίωση των μελών οπλισμένου σκυροδέματος γίνεται με τη χρήση προσομοιωμάτων ινών (κατανεμημένη ανελαστικότητα), συνοπτική περιγραφή των οποίων ακολουθεί στις επόμενες παραγράφους. 2.2. ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΜΕΛΗ ΚΑΤΑΝΕΜΗΜΕΝΗΣ ΑΝΕΛΑΣΤΙΚΟΤΗΤΑΣ Υπάρχουν δύο προσεγγίσεις για την μαθηματική ανάπτυξη ενός μη γραμμικού μέλους κατανεμημένης ανελαστικότητας: (α) με βάση τις μετακινήσεις (displacement based) και (β) με βάση τις δυνάμεις (force based). Στην πρώτη περίπτωση γίνεται η θεώρηση ότι η αξονική παραμόρφωση, ε x, διατηρείται σταθερή κατά μήκος του μέλους και η καμπυλότητα, φ, μεταβάλλεται γραμμικά (Σχ.2.1α). Η θεώρηση αυτή είναι ακριβής μόνο για πρισματικά γραμμικά ελαστικά μέλη. Ως αποτέλεσμα για να αποδοθεί το δυνατόν ακριβέστερα η συμπεριφορά

2 κατά μήκος ενός ανελαστικού μέλους που εμπίπτει σε αυτή την κατηγορία, απαιτείται υψηλού βαθμού διακριτοποίηση. Στην δεύτερη περίπτωση θεωρείται ότι ικανοποιείται «ακριβώς» η ισότητα εσωτερικών και επικόμβιων δυνάμεων. Κατά αυτό τον τρόπο προκύπτει σταθερή αξονική δύναμη κατά μήκος του μέλους και γραμμική μεταβολή των καμπτικών ροπών (Σχ.2.1β), θεώρηση η οποία είναι ακριβής για κάθε μέλος στο οποίο ασκούνται μόνο επικόμβιες δυνάμεις σύμφωνα με την κλασική θεωρία «δοκού» (Euler-Bernoulli beam theory). Ο βαθμός διακριτοποίησης για να επιτευχθεί ίδιου βαθμού ακρίβεια με την περίπτωση (α) είναι αισθητά μικρότερος, καθώς συνήθως αρκεί ένα μόνο μέλος ανά δομικό στοιχείο. Σχήμα 2.1 Σχηματική αναπαράσταση μη-γραμμικών μελών, (α) με βάση τις μετακινήσεις και (β) με βάση τις δυνάμεις Κάθε μία από τις παραπάνω διατυπώσεις εμπεριέχει τις δικές της παραδοχές και απαιτεί κατάλληλο χειρισμό τόσο για την επίτευξη της επιθυμητής ακρίβειας όσο και για την αξιολόγηση των αποτελεσμάτων της ανάλυσης. Για τις ανάγκες της παρούσας εργασίας έγινε χρήση ανελαστικών μελών σύμφωνα με την περίπτωση (β). Στη συνέχεια και για λόγους πληρότητας παρουσιάζονται συνοπτικά οι βασικές αρχές που διέπουν την συμπεριφορά των εν λόγω ανελαστικών μελών σε ένα δομικό σύστημα. Η διαδικασία που ακολουθείται συνήθως σε ένα πρόγραμμα ανάλυσης είναι η εξής: Για γνωστές επικόμβιες μετακινήσεις U e, τα επί μέρους μέλη επιστρέφουν τις δυνάμεις αντίστασης, P e που αναπτύσσουν και (τελικά) το μητρώο δυσκαμψίας, K e. Τα ανελαστικά μέλη που περιγράφονται εδώ (force based nonlinear elements) λειτουργούν αντίστροφα. Δηλαδή, με γνωστές τις δυνάμεις αντίστασης, P e δίνουν τις μετακινήσεις στους κόμβους, U e και το αντίστοιχο μητρώο ευκαμψίας, F e. Για να γίνει η προσαρμογή του προσομοιώματος στο πρόγραμμα ανάλυσης, εκτελείται μία επαναληπτική διαδικασία κατά την οποία οι τάσεις που αναπτύσσονται σε επίπεδο διατομών, s s (x), αυξομειώνονται έως ότου προκύψει ισορροπία μεταξύ των παραμορφώσεων, ε s (x), κατά μήκος του μέλους και των επικόμβιων μετατοπίσεων, U e. Οι δυνάμεις που προκύπτουν στο τέλος της

21 επαναληπτικής διαδικασίας είναι οι δυνάμεις αντίστασεις, P e που αναπτύσσει το μέλος και το μητρώο δυσκαμψίας, K e προκύπτει αντιστρέφοντας το μητρώο ευκαμψίας, δηλαδή K e = (F e ) -1. Γίνεται σαφές ότι η συνολική απόκριση εξαρτάται από το προφίλ των τάσεων και των παραμορφώσεων που αναπτύσσεται σε κάθε διατομή κατά μήκος του μέλους. Πιο συγκεκριμένα, οι επικόμβιες μετατοπίσεις και το μητρώο ευκαμψίας του μέλους προκύπτουν από τις παραμορφώσεις, ε s (x), και τις τιμές ευκαμψίας, f s (x), κάθε διατομής σύμφωνα με τις σχέσεις: w U N x xdx N x x L (2.1) L m e T s T s n Q Q n n n1 2 w F N xf N xdx N x f N x L (2.2) L m e T s T s n T Q T Q Q n T Q n n1 2 όπου N Q οι συναρτήσεις σχήματος που επιβάλλουν σταθερή τιμή αξονικής δύναμης και γραμμική μεταβολή της καμπτικής ροπής. Τα αθροίσματα προκύπτουν από ολοκλήρωση Gauss-Lobato, θεωρώντας m διατομές κατά το μήκος L του μέλους με βάρη w n, n=1:m, η κάθε μία. Η εφαρμογή ολοκλήρωσης κατά Gauss-Lobato προτιμάται έναντι της κλασικής ολοκλήρωσης κατά Gauss, καθώς τοποθετεί δύο σημεία ολοκλήρωσης στα άκρα του μέλους όπου αναμένεται να αναπτυχθούν σημαντικές ανελαστικές παραμορφώσεις. 2.3. ΣΥΝΟΠΤΙΚΗ ΠΕΡΙΓΡΑΦΗ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΜΑΤΩΝ ΙΝΩΝ 2.3.1. Εντατική κατάσταση σε επίπεδο διατομής Σύμφωνα με τα παραπάνω, ο προσδιορισμός της εντατικής κατάστασης σε επίπεδο διατομής αποκτά πρωταρχικό ρόλο στον υπολογισμό της εντατικής και παραμορφωσιακής κατάστασης του συνολικού φορέα. Το σκοπό αυτό εξυπηρετούν τα προσομοιώματα ινών, στα οποία η διατομή διακριτοποιείται σε έναν αριθμό μικρότερων μερών (ίνες), η συμπεριφορά των οποίων περιγράφεται από τον κατάλληλο νόμο σ-ε ανάλογα με το υλικό που αναπαριστούν. Έτσι, αν η παραμόρφωση σε μία διατομή n, η παραμόρφωση κάθε επί μέρους ίνας προκύπτει ως:

22 a (2.3) s s fib, i fib, i n όπου το διάνυσμα συνδέει γεωμετρικά τους δύο όρους, και ώστε να ικανοποιείται το συμβιβαστό των παραμορφώσεων. Η εντατική κατάσταση σε κάθε διατομή προκύπτει συνθέτοντας την συμπεριφορά των μεμονωμένων ινών που την απαρτίζουν. Πιο συγκεκριμένα, με γνωστές τις τιμές της τάσης, και του εφαπτομενικού μέτρου ελαστικότητας, (καθώς προκύπτουν από τον νόμο σ-ε της ίνας i), υπολογίζονται η τάση, και η εφαπτομενική δυσκαμψία, σε επίπεδο διατομής: k T s s n afib, i fib, i Afib, i i1 (2.4) 1 yfib, i zfib, i T s s s T, n fib, i fib, i fib, i fib, i fib, i fib, i fib, i fib, i fib, i fib, i k k 2 (2.5) i1 i1 2 z fib, i y fib, iz fib, i z fib, i k a E A a E A y y y z Στο σημείο αυτό αξίζει να σημειωθεί ότι εξ ορισμού τα προσομοιώματα ινών λαμβάνουν αυτόματα υπόψη την αλληλεπίδραση μεταξύ κάμψης και αξονικής δύναμης, καθώς τα εντατικά μεγέθη στο μέλος προκύπτουν από ολοκλήρωση των τάσεων και των παραμορφώσεων καθ όλο το ύψος της διατομής. Αντίθετα, δεν λαμβάνουν υπόψη την αλληλεπίδραση κάμψης-αξονικής δύναμης με την διάτμηση. 2.3.2. Αριθμός διατομών κατά μήκος του μέλους Ο αριθμός των διατομών που απαιτείται για τον ακριβή υπολογισμό της εντατικής και παραμορφωσιακής κατάστασης κατά μήκος ενός μέλους αποτελεί αντικείμενο διερεύνησης ανάλογα με τα χαρακτηριστικά του εξεταζόμενου προβλήματος. Σύμφωνα με βιβλιογραφικές αναφορές (Taucer et al., 1991) και τη σχετική διερεύνηση που έγινε στα

23 πλαίσια της παρούσας εργασίας ένας αριθμός 6-8 διατομών είναι επαρκής για την προσομοίωση υποστυλωμάτων και δοκών συνήθων κατασκευών. 2.3.3. Διακριτοποίηση διατομών Ο αριθμός των ινών που απαρτίζουν κάθε διατομή είναι ένας ακόμη παράγοντας που χρήζει διερεύνησης. Δεδομένου ότι πρόκειται για διατομές οπλισμένου σκυροδέματος, κάθε ράβδος οπλισμού αποτελεί μία μεμονωμένη ίνα στην διατομή. Ο αριθμός των ινών στα οποία διακριτοποιείται το σκυρόδεμα της επικάλυψης και το σκυρόδεμα του πυρήνα επιλέγεται μετά από δοκιμές έτσι ώστε να εξαλείφεται η επιρροή του μεγέθους των ινών στα αποτελέσματα της ανάλυσης. Όσο μεγαλύτερος είναι ο βαθμός διακριτοποίησης, τόσο ακριβέστερη είναι εν γένει η αναλαμβανόμενη απόκριση. Ωστόσο το υπολογιστικό κόστος αυξάνεται σημαντικά με την αύξηση του αριθμού των ινών λειτουργώντας αποτρεπτικά στην εφαρμογή ενός πολύ πυκνού κάνναβου. 2.4. ΚΑΤΑΣΤΑΤΙΚΟΙ ΝΟΜΟΙ ΥΛΙΚΩΝ Σε μία διατομή οπλισμένου σκυροδέματος συναντώνται τρία υλικά: α) το σκυρόδεμα της επικάλυψης, β) το περισφιγμένο σκυρόδεμα του πυρήνα και γ) ο χάλυβας του διαμήκους οπλισμού κάμψης. Κάθε υλικό περιγράφεται από τον δικό του καταστατικό νόμο, όπως αναλύεται στην συνέχεια: 2.4.1. Σκυρόδεμα Για τις ανάγκες της παρούσας εργασίας, η συμπεριφορά του σκυροδέματος περιγράφεται από το μαθηματικό προσομοίωμα του υλικού Concrete2 που διατίθεται στο Opensees. Για τον ορισμό του προσομοιώματος απαιτείται ο καθορισμός επτά (7) παραμέτρων: (α) θλιπτική αντοχή του σκυροδέματος, f c, (β) παραμόρφωση που αντιστοιχεί στην μέγιστη θλιπτική τάση, ε ο, (γ) παραμένουσα θλιπτική τάση, f cu, (δ) παραμόρφωση, ε cu για την οποία η τάση της περιβάλλουσας αντοχής αποκτά την τιμή f cu, (ε) εφελκυστική αντοχή, f t, (στ) μέτρο ελαστικότητας, Ε t για αποφόρτιση σε εφελκυσμό και (ζ) μία εμπειρική παράμετρος, λ, που ορίζεται ως ο λόγος της αρχικής κλίσης της καμπύλης σ-ε προς τη κλίση της καμπύλης κατά την αποφόρτιση από παραμόρφωση ε cu.

24 Η αρχική κλίση, Ε ο, ισούται με το πηλίκο 2(f c / ε ο ), ενώ η μορφή της περιβάλλουσας αντοχής και των βρόγχων υστέρησης του προσομοιώματος απεικονίζονται στο Σχ. 2.2. Για τον προσδιορισμό των χαρακτηριστικών σημείων της καμπύλης σ-ε του περισφιγμένου σκυροδέματος του πυρήνα χρησιμοποιείται το προσομοίωμα περίσφιγξης των Mander et al. (1988). Σχήμα 2.2 Προσομοίωμα σκυροδέματος (Concrete2), νόμος σ-ε σε μονοτονική και ανακυκλιζόμενη φόρτιση 2.4.2. Χάλυβας Για την προσομοίωση του οπλισμού χρησιμοποιείται το υλικό Steel2, το οποίο αποτελεί εφαρμογή του προσομοιώματος των Menegotto Pinto (1973) από τους Filippou et al. (1983). Έξι (6) παράμετροι είναι απαραίτητοι για την περιγραφή του υστερητικού νόμου συμπεριφοράς του χάλυβα σύμφωνα με το παραπάνω προσομοίωμα (Σχ.2.3): (α) τάση διαρροής, f y, (β) αρχικό μέτρο ελαστικότητας, E s, (γ) συντελεστής β που ορίζει την κλίση της καμπύλης αντοχής στον κλάδο κράτυνσης, β=ε hard / E s και (δ) τρείς (3) εμπειρικές σταθερές, R o, c R1, c R2 που ελέγχουν την μορφή των βρόγχων υστέρησης. Προτεινόμενες τιμές των τριών εμπειρικών παραμέτρων είναι οι: R o =2, c R1 =.925, c R2 =.15. Η μορφή των βρόγχων μπορεί να διαφέρει σημαντικά για διαφορετικές τιμές των εμπειρικών σταθερών R o, c R1, c R2, για το λόγο αυτό κρίνεται απαραίτητο να επιλέγονται με προσοχή και μετά από σχετική διερεύνηση.

25 Σχήμα 2.3 Προσομοίωμα χάλυβα (Steel2), νόμος σ-ε σε ανακυκλιζόμενη φόρτιση 2.5. ΜΕΙΟΝΕΚΤΗΜΑΤΑ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΜΑΤΩΝ ΙΝΩΝ Στις προηγούμενες παραγράφους παρουσιάζεται συνοπτικά η προσομοίωση μελών οπλισμένου σκυροδέματος με τη χρήση προσομοιωμάτων ινών. Αν και η παραπάνω μέθοδος προσομοίωσης είναι ιδιαίτερα δελεαστική στη σύλληψή της, δεν παύει να εμπεριέχει τους περιορισμούς και τα μειονεκτήματα ενός μαθηματικού προσομοιώματος ανάλυσης. Ενώ, λοιπόν, βασίζεται στην πραγματική γεωμετρία του μέλους και υπολογίζει την απόκρισή του μελετώντας την συμπεριφορά των υλικών που το απαρτίζουν, μειονεκτεί σε σχέση με άλλες μεθόδους ανάλυσης στο γεγονός ότι παρουσιάζει αυξημένες απαιτήσεις κατά την εφαρμογή της. Η ανάπτυξη επαναληπτικών αλγορίθμων υψηλού βαθμού δυσκολίας είναι απαραίτητη ώστε να αυξηθεί ο βαθμός ακρίβειας και να περιοριστεί ο απαιτούμενος χρόνος επίλυσης ενός προσομοιώματος ινών. Ακόμη, αν και όπως προαναφέρθηκε η αλληλεπίδραση κάμψης και αξονικής δύναμης λαμβάνεται αυτόματα υπόψη στα εν λόγω προσομοιώματα, δεν υπάρχουν ακόμη αξιόπιστα μαθηματικά προσομοιώματα για να περιγράψουν την αλληλεπίδραση μεταξύ κάμψης διάτμησης και αξονικής δύναμης. Κατά συνέπεια η χρήση τους δεν ενδείκνυται για προβλήματα στα οποία είναι σημαντική η επίδραση φαινομένων διατμητικής φύσης.

26 Τέλος, ένα επιπλέον μειονέκτημα των προσομοιωμάτων ινών προκύπτει από την εμφάνιση κάποιων τοπικών φαινομένων που οδηγούν σε παραπλανητικά συμπεράσματα σχετικά με την απόκριση του εξεταζόμενου μέλους. (Coleman et al., 21). Τα φαινόμενα αυτά συνήθως αφορούν την συγκέντρωση ανελαστικών παραμορφώσεων σε μία διατομή του μέλους (π.χ. βάση υποστυλώματος) και οφείλουν την εμφάνισή τους στα χαρακτηριστικά του νόμου ανακύκλισης του μέλους μετά το μέγιστο (αρνητικοί κλάδοι αντοχής κ.ο.κ) καθώς και στον αριθμό και τη θέση των θεωρούμενων διατομών κατά μήκος του μέλους. Η εκτενής παρουσίαση των παραδοχών που οδηγούν στην απώλεια αντικειμενικότητας στην αναλαμβανόμενη απόκριση ξεφεύγει από τις απαιτήσεις της παρούσας εργασίας, καθώς αφορά την τοπική και όχι την συνολική απόκριση που εξετάζεται εδώ.

27 3. ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗ ΤΟΙΧΟΠΛΗΡΩΣΗΣ 3.1. ΕΙΣΑΓΩΓΗ Υπάρχουν διάφορες προτάσεις στην βιβλιογραφία για την προσομοίωση των τοιχοπληρώσεων. Βασική επιδίωξη κάθε προσομοιώματος είναι να αποδώσει την επιρροή της τοιχοπλήρωσης στην συνολική απόκριση ή/και τοπικά σε μεμονωμένα σημεία του φορέα. Για να επιτευχθεί ο παραπάνω στόχος επιλέγονται κατάλληλα: (i) το προσομοίωμα ανάλυσης και (ii) οι καταστατικοί νόμοι των υλικών που θα εφαρμοστούν. Στην συνέχεια αναπτύσσεται ένα νέο απλοποιημένο προσομοίωμα, στο οποίο γίνεται χρήση τριών μη-γραμμικών ελατηρίων με κατάλληλους νόμους υστέρησης για την περιγραφή της ανελαστικής συμπεριφοράς των τοιχοπληρώσεων υπό την δράση πλευρικών φορτίων. Όπως γίνεται αντιληπτό το προσομοίωμα ανήκει στην οικογένεια των μακρο-μοντέλων, που επιδιώκουν μέσω απλοποιητικών παραδοχών να αποδώσουν την συνολική απόκριση του εξεταζόμενου φορέα, αδιαφορώντας για την λεπτομερειακή αναπαράσταση των ανελαστικών φαινομένων που λαμβάνουν χώρα στον τοίχο πλήρωσης κατά την εξέλιξη της φόρτισης. 3.2. ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΟ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΜΑ ΤΟΙΧΟΠΛΗΡΩΣΗΣ Το προσομοίωμα ανάλυσης που παρουσιάζεται στην παρούσα εργασία για την αναπαράσταση των τοιχοπληρώσεων αποτελεί τροποποίηση του προσομοιώματος των Crisafulli and Carr (27). Εσωτερικά το προσομοίωμα των Crisafulli and Carr αποτελείται από δύο διαγώνια στοιχεία και ένα διατμητικό ελατήριο που συνδέονται με τους ακραίους κόμβους κάθε διαγωνίου (Σχήμα 3.1). Τα επί μέρους στοιχεία που απαρτίζουν το προσομοίωμα της τοιχοπλήρωσης συνθέτονται σε ένα ενιαίο μέλος (4-node infill panel), έτσι ώστε να εδραιωθεί μια εσωτερική συσχέτιση της απόκρισης των διαγώνιων στοιχείων με αυτή του διατμητικού ελατηρίου. Κατ επέκταση δίνεται η δυνατότητα να αυτοματοποιηθεί ο σχεδιασμός του φατνώματος σε ένα πρόγραμμα ανάλυσης μόνο με τον ορισμό των 4 γωνιακών κόμβων, μειώνοντας την πολυπλοκότητα του προσομοιώματος από την οπτική γωνία του χρήστη. Παρόλα αυτά, ταυτόχρονα περιορίζεται και η δυνατότητα του χρήστη να ελέγχει τα επιμέρους χαρακτηριστικά της απόκρισης του προσομοιώματος, ενώ η συμπεριφορά και ο τρόπος σύμφωνα με τον οποίο

28 αλληλεπιδρούν τα διαγώνια στοιχεία με τα διατμητικά ελατηρία παρουσιάζουν σημεία ασάφειας. Το προσομοίωμα που προτείνεται εδώ, υιοθετεί την ιδέα των Crisafulli and Carr ως προς τον συνδυασμό διαγώνιων στοιχείων και διατμητικών ελατηρίων για την περιγραφή της συμπεριφοράς του τοίχου πλήρωσης. Η διαφορά των δύο προσομοιωμάτων έγκειται στο γεγονός ότι στην παρούσα εφαρμογή δεν επιβάλλεται εξωτερικά κάποια μορφή αλληλεπίδρασης των επιμέρους στοιχείων που απαρτίζουν το προσομοίωμα του τοίχου πλήρωσης, πέρα από αυτήν που προκύπτει από την κατανομή της δύναμης και της δυσκαμψίας μεταξύ των μελών κατά τη διάρκεια της φόρτισης. Πιο συγκεκριμένα, στο παρόν προσομοίωμα ανάλυσης γίνεται η θεώρηση ότι η συνολική συμπεριφορά της τοιχοποιίας αποτελεί άθροισμα των εξής δύο μηχανισμών, (i) διαγώνια θλίψη κατά την διεύθυνση της διαγωνίου και (ii) διάτμηση κατά την οριζόντια διεύθυνση. Σε αντίθεση με την περίπτωση του τοιχο-φατνώματος των Crisafulli and Carr, οι εν λόγω δύο μηχανισμοί δεν ενσωματώνονται σε ένα ενιαίο μέλος, αλλά αποδίδονται με την χρήση τριών ανεξάρτητων γραμμικών ελατήριων (Σχήμα 3.2). Δύο γραμμικά ελατήρια («διαγώνιοι θλιπτήρες/ελκυστήρες») συνδέουν τους κόμβους του φατνώματος και παραμορφώνονται αξονικά κατά την διεύθυνση της εκάστοτε διαγωνίου. Ένα ακόμη γραμμικό ελατήριο («διατμητικό») ενώνει τους κόμβους μίας εκ των δύο διαγωνίων και παραμορφώνεται αξονικά κατά την οριζόντια διεύθυνση. Η μαθηματική εφαρμογή του προσομοιώματος πραγματοποιήθηκε στο πρόγραμμα ανάλυσης OpenSees, με χρήση του μέλους Two-Node-Link (Σχήμα 3.3). Το μέλος συνδέει δύο κόμβους και μπορεί γενικά να έχει από 1 έως 6 βαθμούς ελευθερίας. Στην συγκεκριμένη εφαρμογή, τα διαγώνια στοιχεία (θλιπτήρες/ελκυστήρες) προσομοιώνονται με ένα Two-Node-Link, με ενεργό βαθμό ελευθερίας αυτόν που συντρέχει με την εκάστοτε διεύθυνση της διαγωνίου και ορίζεται από τη θέση των γωνιακών κόμβων του φατνώματος. Το διατμητικό ελατήριο αποτελεί με τη σειρά του ένα Two-Node-Link, που όμως δρα στην οριζόντια διεύθυνση.

29 Σχήμα 3.1 Σχηματική αναπαράσταση του 4-κομβου στοιχείου τοιχοπλήρωσης των Crisafulli & Carr (27) Σχήμα 3.2 Σχηματική αναπαράσταση προτεινόμενου προσομοιώματος Σχήμα 3.3 Σχηματική αναπαράσταση της γενικής μορφής του μέλους Two-Node-Link

3 3.3. ΚΑΤΑΣΤΑΤΙΚΟΙ ΝΟΜΟΙ ΥΛΙΚΩΝ 3.3.1. Συμπεριφορά διαγώνιων θλιπτήρων/ελκυστήρων Η συμπεριφορά των δύο διαγώνιων θλιπτήρων/ελκυστήρων ορίζεται από τον καταστατικό νόμου του υλικού που αναπτύχθηκε από τον Crisafulli (1997) για να περιγράψει την απόκριση της τοιχοποιίας υπό ανακυκλιζόμενη θλίψη. Μία σειρά από νόμους συνθέτουν το μαθηματικό προσομοίωμα ανάλυσης έτσι ώστε να ληφθεί υπόψη η διαφορετική απόκριση του μέλους στα διάφορα στάδια φόρτισης, αποφόρτισης και επαναφόρτισης. Η σχέση σ-ε σε κάθε χρονική στιγμή εξαρτάται από την τρέχουσα εντατική κατάσταση αλλά και την ιστορία της απόκρισης σ-ε. Ακόμη, λαμβάνεται μέριμνα για φαινόμενα όπως η εμφάνιση κενών στη ρηγματωμένη τοιχοποιία που δεν επιτρέπουν την ομαλή μεταβίβαση της δύναμης μεταξύ των τοιχοσωμάτων, ή φαινόμενα κόπωσης του υλικού λόγω της επιβολής επαναλαμβανόμενων μικρών κύκλων φόρτισης-αποφόρτισης (small inner cycles). Το προσομοίωμα υλικού του Crisafulli προγραμματίστηκε κατάλληλα προκειμένου να εφαρμοστεί στο πρόγραμμα ανάλυσης OpenSees και να χρησιμοποιηθεί στην ανάλυση μιας σειράς δοκιμίων τοιχοπληρωμένων πλαισίων. Στην συνέχεια και για λόγους πληρότητας παρουσιάζονται οι μαθηματικές σχέσεις που συνθέτουν το προσομοίωμα συμπεριφοράς σ-ε που προτάθηκε από τον Crisafulli. Ο βασικός κορμός του προσομοιώματος περιγράφεται σύμφωνα με 6 νόμους υστέρησης, οι οποίοι απεικονίζονται γραφικά στο Σχ. (3.4). Σχήμα 3.4 Νόμοι υστέρησης τοιχοποιίας σε αξονική θλίψη, Crisafulli (1997)

31 Νόμος 1 : Περιβάλλουσα αντοχής σε θλίψη Για την περιβάλλουσα αντοχής της τοιχοποιίας υπό θλιπτική αξονική καταπόνηση ο Crisafulli χρησιμοποίησε έναν νόμο που είχε αρχικά προταθεί από τον Sargin (1971) για να περιγράψει τη συμπεριφορά του σκυροδέματος. Έτσι η σχέση μεταξύ της αξονικής παραμόρφωσης, ε m και της θλιπτικής τάσης, f m δίνεται από τη σχέση: f m f ' m m m A1 A2 1 m m m m 1 A1 2 A2 m m 2 2 (3.1α) όπου f' m η μέγιστη θλιπτική τάση, ε' m η αντίστοιχη παραμόρφωση και, σταθερές που αποτελούν συνάρτηση των ιδιοτήτων του υλικού, όπως περιγράφεται στη συνέχεια. Εναλλακτικά της παραπάνω σχέσης, ο Crisafulli προτείνει την απλούστερη παραβολική σχέση: f 2 m m m fm 1 u m (3.1β) Το εφαπτομενικό μέτρο ελαστικότητας για τις περιπτώσεις (α) και (β), υπολογίζεται παραγωγίζοντας ως προς την παραμόρφωση ε m και ισούται με: ή m m A1 2 A2 1 (2 A1 2 A2 ) f m m m t 2 2 m m m 1 A1 2 A 2 m m m m t 2f m1 u m 2 2 (3.2α) (3.2β)

32 Η σταθερά προκύπτει θεωρώντας ότι σε μηδενική παραμόρφωση, το μέτρο ελαστικότητας ισούται με το αρχικό μέτρο ελαστικότητας της τοιχοποιίας, δηλαδή Ε t =E mo για ε m =, οπότε: 1 m m f m (3.3) Η σταθερά προκύπτει θεωρώντας ότι τη στιγμή που το υλικό εξαντλεί την παραμορφωσιμότητά του, δηλαδή ε m =ε u, η τάση είναι μηδενική, f m =, οπότε: (3.4) m 2 1 1 u Το προσομοίωμα διατίθεται και με τις δύο εκδοχές της περιβάλλουσας καμπύλης που περιγράφονται παραπάνω και απεικονίζονται γραφικά στο Σχ.3.5, δίνοντας τη δυνατότητα στο χρήστη να επιλέξει την μορφή που ανταποκρίνεται καλύτερα στην περίπτωση που εξετάζει. Σχήμα 3.5 Περιβάλλουσα αντοχής σε θλίψη σύμφωνα με τους Sargin (1971) και Crisafulli (1997)

33 Σχήμα 3.6 Χαρακτηριστικά σημεία της απόκρισης του προσομοιώματος του Crisafulli (1997), (i) νόμος φόρτισης - αποφόρτισης, (ii) περιβάλλουσα σε θλίψη (νόμος 1) και αποφόρτιση από την περιβάλλουσα (νόμος 2), (iii) και (iv) επαναφόρτιση μετά από ολική αποφόρτιση (νόμοι 4 & 5), (v) εφελκυσμός (νόμος 6), (vi) ανακυκλιζόμενη θλίψη Νόμος 2 : Αποφόρτιση από την περιβάλλουσα Έστω ότι τα σημεία 1 και 2 είναι γνωστά και προκαθορισμένα σημεία από τα οποία διέρχεται η καμπύλη αποφόρτισης ή επαναφόρτισης, τότε η τάση, f m, και το μέτρο ελαστικότητας, Ε t, σε ένα ενδιάμεσο σημείο της καμπύλης με παραμόρφωση ε m, υπολογίζονται από τις ακόλουθες σχέσεις: m xx 2 1 1 ( 2 1) 1 2 2x 3x f f f f (3.5) E t ( 2 x)(1 x x ) ( x x )( 2 x) E s 2 2 1 2 3 1 2 3 2 2 1 2x 3x (3.6)

34 όπου, Ε s το επιβατικό μέτρο ελαστικότητας μεταξύ των σημείων 1 και 2, δηλαδή: E s f2 f1 2 1 (3.7) ενώ οι σταθερές Β 1, Β 2, Β 3 υπολογίζονται σύμφωνα με τις παρακάτω οριακές συνθήκες: Για m x f f και t E1 Για 1 m 1 m 1 x f f και t E2 2 m 2 οπότε: 1 E 1 s 2 1 3 E 2 (1 ) 2 3 1 Es (3.8) Αν η αποφόρτιση ξεκινά από το σημείο (ε un, f un ) της περιβάλλουσας, η καμπύλη αποφόρτισης στοχεύει σε σημείο (ε pl, ) του οριζόντιου άξονα με παραμένουσα παραμόρφωση ε pl και μηδενική τιμή τάσης. Τα σημεία (ε un, f un ) και (ε pl, ) χρησιμοποιούνται στη θέση των σημείων 1 και 2 των εξ. (3.5)-(3.6) για να υπολογιστεί κάθε ενδιάμεσο σημείο της καμπύλης [2]. Για την τιμή της πλαστικής παραμόρφωσης υιοθετείται η παρακάτω σχέση: f pl un un a f m un Emo fun a f m (3.9) όπου εμπειρική σταθερά που ρυθμίζει την τάση σε βοηθητικό σημείο Α(ε α, f α ), έτσι ώστε fa a f m. Το εφαπτομενικό μέτρο ελαστικότητας που αντιστοιχεί στο σημείο (ε pl, ) υπολογίζεται από τη σχέση:

35 E un 1 m pl, u mo pl, u e1 (3.1) όπου γ pl,u και e 1 εμπειρικές σταθερές. Ο εκθέτης e 1 ελέγχει την επιρροή της τιμής της παραμόρφωσης ε un, στην μείωση του μέτρου ελαστικότητας στο σημείο (ε pl, ). Αν e 1 =, η επιρροή της παραμόρφωσης ε un είναι μηδενική, ενώ για μεγαλύτερες τιμές της σταθεράς e 1 η μείωση του μέτρου ελαστικότητας E pl,u γίνεται εντονότερη όσο μεγαλύτερη η τιμή της παραμόρφωσης ε un, για την οποία ξεκινά η αποφόρτιση από την περιβάλλουσα αντοχής. Όσον αφορά το εφαπτομενικό μέτρο ελαστικότητας τη στιγμή που αρχίζει η αποφόρτιση από την περιβάλλουσα θεωρείται η σχέση: E (3.11) un un mo όπου γ un μία ακόμη εμπειρική σταθερά. Νόμος 3 : Κατάσταση μηδενικής τάσης Ο τρίτος νόμος υστέρησης εφαρμόζεται στις περιπτώσεις που δεν αναπτύσσεται τάση στην τοιχο-διαγώνιο, δηλαδή: (i) όταν βρίσκεται υπό εφελκυστικές παραμορφώσεις (ε m > ), (ii) όταν υπερβαίνεται η οριακή παραμόρφωση αστοχίας (ε m ε ult ) και (iii) όταν υπερβαίνεται η εφελκυστική αντοχή της (ε m ε pl ). Νόμοι 4 5 : Επαναφόρτιση μετά από ολική αποφόρτιση Η επαναφόρτιση μετά από πλήρη αποφόρτιση στοχεύει στο σημείο (ε re, f re ) της περιβάλλουσας αντοχής, και η καμπύλη που ακολουθεί παρουσιάζει διπλή καμπυλότητα, με σημείο καμπής (ε ch, f ch ). Ουσιαστικά, η καμπύλη επαναφόρτισης περιγράφεται σε όλο το μήκος της από τις σχέσεις (3.5) και (3.6), με τη διαφορά ότι επιλέγονται διαφορετικά σημεία 1 και 2 για κάθε τμήμα. Στο πρώτο τμήμα της (Νόμος 4) το σημείο 1 ταυτίζεται με το σημείο (ε pl, ) και το σημείο 2 με το σημείο καμπής (ε ch, f ch ), ενώ στο δεύτερο τμήμα της (Νόμος 5) το σημείο καμπής (ε ch, f ch ) αντιστοιχίζεται στο σημείο 1 των σχέσεων (3.5) και (3.6) και το σημείο (ε re, f re ) στο σημείο 2. Για τον υπολογισμό των συντεταγμένων του σημείου καμπής (ε ch, f ch ) εφαρμόζονται οι παρακάτω σχέσεις:

36 f f ch ch re (3.12) Όπου: ch f ch b (3.13) Ech fun b pl a ch un pl Eun E ch fun un b (3.14) (3.15) ενώ οι α ch και β ch είναι εμπειρικές σταθερές που ρυθμίζουν το εύρος των βρόγχων υστέρησης. Το εφαπτομενικό μέτρο ελαστικότητας τη στιγμή που ξεκινά η επαναφόρτιση από το σημείο (ε pl, ) θεωρείται ίσο με: E E (3.16) pl, r pl, r pl, u un όπου γ pl,r εμπειρική σταθερά με τιμή μεγαλύτερη της μονάδας. Το σημείο (ε re, f re ) στο οποίο στοχεύει η καμπύλη επαναφόρτισης υπολογίζεται σύμφωνα με τη σχέση: re un re un pl a (3.17) όπου α re εμπειρική σταθερά. Ακόμη, το μέτρο ελαστικότητας τη στιγμή που η καμπύλη επαναφόρτισης φτάνει στο σημείο (ε re, f re ) εξαρτάται από την τιμή της παραμόρφωσης τη στιγμή που ξεκίνησε η αποφόρτιση από την περιβάλλουσα. Η σχέση εξάρτησης των δύο μεγεθών περιγράφεται ως εξής: 2 re un m 2.5 s un m (3.18) Νόμος 6 : Συμπεριφορά σε εφελκυσμό Γίνεται η υπόθεση ότι, όταν δεν έχει προηγηθεί θλίψη, η σχέση σ-ε σε εφελκυσμό είναι γραμμική ελαστική μέχρι να εξαντληθεί η εφελκυστική αντοχή, f' t. Από το σημείο αυτό

37 και μετά το υλικό δεν αναλαμβάνει άλλες εφελκυστικές τάσεις. Το μέτρο ελαστικότητας σε εφελκυσμό ισούται με το αρχικό μέτρο ελαστικότητας, Ε mo. Αν έχουν προηγηθεί κάποιοι κύκλοι φόρτισης σε θλίψη, προκύπτει μείωση της εφελκυστικής αντοχής και του μέτρου ελαστικότητας σε εφελκυσμό, η οποία εξαρτάται από την τιμή της πλαστικής παραμόρφωσης, ε pl. Συγκεκριμένα, η τιμή της εφελκυστικής αντοχής θεωρείται ότι μηδενίζεται αν η πλαστική παραμόρφωση υπερβεί την παραμόρφωση ε ' m, ενώ για ε ' m < ε pl < ισχύουν οι ακόλουθες σχέσεις: f t E t pl f t1 m E mo pl 1 m (3.19) όπου f t και Ε t οι μειωμένες τιμές της εφελκυστικής αντοχής και του μέτρου ελαστικότητας σε εφελκυσμό αντίστοιχα. Η σχέση σ-ε τον εφελκυσμό είναι γραμμική και ακολουθεί τη σχέση: m t m pl f E (3.2) Τέλος, όταν η παραμόρφωση αλλάζει πρόσημο πριν την εξάντληση της μειωμένης εφελκυστικής αντοχής, f t, η επαναφόρτιση ακολουθεί την ίδια γραμμή. Συμπληρωματικοί κανόνες Οι έξι βασικοί νόμοι υστέρησης συμπληρώνονται από μία σειρά από κανόνες που εφαρμόζονται σε ειδικές περιπτώσεις και περιγράφονται στη συνέχεια: Αποφόρτιση από τον Νόμο 4 ή 5 Όταν η αποφόρτιση ξεκινά από κάποιο σημείο εντός του Νόμου 5, χρησιμοποιούνται οι εξ.(3.5) (3.6), όπως και στην περίπτωση αποφόρτισης από την περιβάλλουσα. Όμως, για αποφόρτιση από τον Νόμο 4 θεωρείται ότι το αρχικό μέτρο ελαστικότητας είναι ίσο με: E E (3.21) 1 2 t un

38 όπου Ε t το εφαπτομενικό μέτρο ελαστικότητας τη στιγμή που ξεκινά η αποφόρτιση. Επαναφόρτιση από τον Νόμο 2 Εξετάζονται δύο περιπτώσεις ανάλογα με τις συντεταγμένες του σημείου της καμπύλης [2] στο οποίο αρχίζει η επαναφόρτιση (ε re,i, f re,i ) και τις συντεταγμένες του σημείου καμπής (ε ch, f ch ). - Περίπτωση Α: ε re,i >.9 ε ch και f re,i >.9 f ch Η καμπύλη επαναφόρτισης στην περίπτωση αυτή ακολουθεί τον νόμο 4 μέχρι το σημείο καμπής και μετά εισέρχεται στον κλάδο ισχύος του νόμου 5. Το σημείο 2 στις σχέσεις (3.5)-(3.6) είναι το σημείο (ε re,i, f re,i ) και το εφαπτομενικό μέτρο ελαστικότητας, Ε 2, λαμβάνεται ως: min(1.2,.9 ) (3.22) 2 E re, i s - Περίπτωση B: ε re,i <.9 ε ch και f re,i <.9 f ch Η καμπύλη επαναφόρτισης ακολουθεί κατευθείαν τον νόμο 5 από το σημείο 1 (ε re,i, f re,i ) μέχρι το σημείο 2 (ε re, f re ) στην περιβάλλουσα. Το εφαπτομενικό μέτρο ελαστικότητας στο σημείο 1 λαμβάνεται ίσο με: 1 max(2 E, 1.2 ) E (3.23) t s un Συσσώρευση βλάβης λόγω της ανακύκλισης Η συσσώρευση σημαντικού επιπέδου βλάβης λόγω της ανακύκλησης οδηγεί σε αύξηση της στοχευόμενης παραμόρφωσης, ε re πάνω στην περιβάλλουσα και τροποποιεί τη μορφή της καμπύλης επαναφόρτισης. Για να ληφθούν υπόψη τα παραπάνω φαινόμενα εφαρμόζεται η εξής διαδικασία: - Αν η αποφόρτιση ξεκινά από την περιβάλλουσα η τιμή της στοχευόμενης παραμόρφωσης, ε re αρχικοποιείται με την τιμή ε re = ε un. - Αν η αποφόρτιση πραγματοποιείται είτε από την περιβάλλουσα είτε από κάποιο εσωτερικό βρόγχο σε επίπεδο παραμόρφωσης μεγαλύτερο από αυτό του

39 προηγούμενου κύκλου (ε un,i < ε un ), ο μετρητής των εσωτερικών κύκλων φόρτισης, n cy, μηδενίζεται και τίθεται ε un = ε un,i. - Κάθε φορά που αλλάζει η φορά παραμόρφωσης και ξεκινά η επαναφόρτιση, ο μετρητής των κύκλων αυξάνεται, n cy = n cy +1 - Το ποσό της αύξησης της τιμής ε re που αντιστοιχεί σε κύκλο n cy υπολογίζεται ως: a (3.24) re re e un, i re, i 2 ncy όπου ε un,i και ε re,i αφορούν τον εσωτερικό κύκλο φόρτισης που εξετάζεται και e 2 εμπειρική σταθερά. - Η τιμή της τάσης στο σημείο καμπής (ε ch, f ch ) δίνεται από την ακόλουθη σχέση: f ch f (3.25) ch re.5 f.4 re ncy Επιρροή τοπικών κενών Η ανάπτυξη ρωγμών στην τοιχοποιία, μειώνουν την ικανότητα της να παραλάβει θλιπτικές τάσεις, καθώς μέχρι να κλείσουν οι ρωγμές υπάρχουν κενά που ανακόπτουν την ομαλή μεταβίβαση των τάσεων μεταξύ των γειτονικών τοιχοσωμάτων. Για το λόγο αυτό θεωρείται ότι υπάρχει ένα όριο εφελκυστικής παραμόρφωσης, ε cl, για την οποία οι ρωγμές έχουν κλείσει μερικώς και η τοιχοποιία αρχίζει να αναλαμβάνει θλιπτικές τάσεις. Η καμπύλη επαναφόρτισης που ξεκινά από το σημείο (ε cl, ) ακολουθεί τον νόμο 4, με την τιμή του μέτρου ελαστικότητας στο σημείο 2 να υπολογίζεται ως: 2 cl 2 cl pl, r cl m pl pl un un cl (3.26) όπου cl.15 pl, r, ενώ εφαρμόζονται οι περιορισμοί 2.2 1 και 2.9 s για να εξασφαλιστεί η ομαλή μετάβαση από τον εφελκυσμό στην θλίψη.

4 Μία ακόμη ειδική περίπτωση που καλύπτεται εδώ παρουσιάζεται όταν η τοιχοποιία αστοχεί σε εφελκυσμό χωρίς να έχει προηγηθεί θλίψη. Καθώς αλλάζει η διεύθυνση της φόρτισης, η ρηγματωμένη τοιχοποιία μπορεί αναπτύσσει θλιπτικές τάσεις αρκεί ε m ε pl ή ε m ε cl. Ο νόμος συμπεριφοράς σε αυτήν την περίπτωση ακολουθεί τα χαρακτηριστικά του νόμου 4, όπως και στη γενική περίπτωση, με τη διαφορά ότι η μεταβατική καμπύλη στοχεύει στο σημείο 1 πάνω στην περιβάλλουσα με παραμόρφωση 1 /. Για το σημείο 2 από το οποίο αρχίζει η φόρτιση θεωρείται 2.1 mo. f t mo Σχέση αξονικής δύναμης παραμόρφωσης Το σύνολο των παραπάνω νόμων και κανόνων συνθέτουν το μαθηματικό προσομοίωμα που περιγράφει την απόκριση της τοιχοδιαγωνίου σε όρους τάσης αξονικής παραμόρφωσης για οποιαδήποτε ιστορία φόρτισης. Η τιμή της αξονικής δύναμης, F a, και της αξονικής μετατόπισης, δ a, στον διαγώνιο θλιπτήρα/ελκυστήρα, προκύπτει άμεσα από το ζεύγος f m ε m σύμφωνα με τις παρακάτω σχέσεις: F f A a m ms L a m strut (3.27) όπου Α ms το εμβαδόν του διαγώνιου θλιπτήρα/ελκυστήρα και L strut το μήκος του. Μεταβλητή διατομή διαγώνιου θλιπτήρα/ελκυστήρα Καθώς το τοιχοπληρωμένο πλαίσιο υπόκειται σε επαναλαμβανόμενους κύκλους φόρτισης, η τοιχοποιία αποκολλάται από το περιβάλλoν πλαίσιο και εμφανίζονται σημαντικού επιπέδου βλάβες κατά τη διαγώνιο. Ως αποτέλεσμα, η ικανότητα του διαγώνιου στοιχείου να αναλαμβάνει μέρος της οριζόντιας φόρτισης μειώνεται, γεγονός που μπορεί να αποδοθεί σε μείωση του εμβαδού επιρροής του. Για το λόγο αυτό γίνεται η θεώρηση ότι η επιφάνεια του διαγώνιου θλιπτήρα/ελκυστήρα μεταβάλλεται ανάλογα με το επίπεδο της θλιπτικής αξονικής παραμόρφωσης στο μέλος (Σχ.3.6) σύμφωνα με τις παρακάτω σχέσεις:

41 ms ms1 ms ms1 ms1 ms2 ms a,1 a a,1 a,2 a,1, 1,2 ms2,2 (3.28) Οι τιμές των ορίων δ α,1 και δ α,2 αλλά και η μεταβλητότητα του εμβαδού της ισοδύναμης διατομής του θλιπτήρα εξαρτώνται από τα χαρακτηριστικά της τοιχοποιίας και επιλέγονται κατάλληλα ανάλογα με την περίπτωση που εξετάζεται. Σχήμα 3.7 Μεταβολή εμβαδού διαγώνιου θλιπτήρα/ελκυστήρα ανάλογα με το επίπεδο της θλιπτικής παραμόρφωσης 3.3.2. Συμπεριφορά διατμητικού ελατηρίου Το διατμητικό ελατήριο καλείται να αναπαράγει την ικανότητα της τοιχοποιίας να αναλάβει μέρος της οριζόντιας δύναμης μέσω των διατμητικών τάσεων που αναπτύσσονται στην επιφάνειά της. Ο εν λόγω μηχανισμός ενεργοποιείται ταυτόχρονα με την εφαρμογή της οριζόντιας φόρτισης και αποτελεί τον κυρίαρχο μηχανισμό ανάληψης της πλευρικής έντασης κατά τα πρώτα στάδια φόρτισης του φορέα, κατά τα οποία η τοιχοπλήρωση διατηρεί την ακεραιότητά της και συμπεριφέρεται μονολιθικά με το περιβάλλον πλαίσιο, σχεδόν όπως ένα διατμητικό τοίχωμα. Με την εξέλιξη της φόρτισης και την ανάπτυξη σημαντικού επιπέδου βλάβης στην τοιχοποιία (δημιουργία ρωγμών, αποκόλληση των αρμών κ.ο.κ.) επέρχεται και η εξασθένιση του παραπάνω μηχανισμού. Με βάση τις παραπάνω παρατηρήσεις, θεωρείται ότι η συμπεριφορά του διατμητικού ελατηρίου υπό μονοτονική φόρτιση ακολουθεί την τριγραμμική καμπύλη που παρουσιάζεται στο Σχ.3.7. Η περιβάλλουσα περιγράφεται με 5 βασικές παραμέτρους: (i) αρχική δυσκαμψία, Κ ο στον ελαστικό κλάδο, (ii) παραμόρφωση διαρροής, δ y, (iii) κλίση της καμπύλης, βκ ο, στον κλάδο κράτυνσης, (iv) παραμόρφωση δ c στo μέγιστο και (v)

42 παραμόρφωση δ u για την οποία επέρχεται η θραύση και τμήμα μόνο της αρχικής αντοχής παραμένει ως απομένουσα. Για τον νόμο υστέρησης του διατμητικού ελατηρίου δεν υιοθετήθηκε η πρόταση του Crisafulli αλλά χρησιμοποιήθηκε ένα από τα διαθέσιμα υλικά της βιβλιοθήκης του OpenSees (Bilin Material), το οποίο αποτελεί τροποποίηση του προσομοιώματος των Ibarra-Krawinkler (Lignos and Krawinkler, 211 & 212). Ο λόγος για τον οποίο εξετάζεται ένα διαφορετικό προσομοίωμα σε σχέση με την αρχική πρόταση του Crisafulli προκύπτει από την προσπάθεια να αποδεσμευτεί η συμπεριφορά του διατμητικού ελατηρίου από την απόκριση των διαγώνιων θλιπτήρων/ ελκυστήρων. Υπενθυμίζεται ότι στην περίπτωση του 4-κομβου προσομοιώματος των Crisafulli and Carr (27), η ένταση στο διατμητικό ελατήριο είναι συνάρτηση της αντίστοιχης έντασης στα θλιβόμενα διαγώνια μέλη. Η μονοτονική καμπύλη του προμοιώματος που υιοθετείται στην παρούσα μελέτη και παρουσιάζεται στο Σχ.3.7 θέτει τα όρια αντοχής και παραμορφωσιμότητας του υλικού, ενώ μία σειρά από νόμους, που λαμβάνουν υπόψη την σταδιακή απομείωση της φέρουσας ικανότητας του προσομοιώματος λόγω της ανακύκλισης, καθορίζουν την υστερητική συμπεριφορά του. Στη γενική μορφή του προσομοιώματος, η βαθμιαία εξασθένιση της φέρουσας ικανότητας του διατμητικού ελατηρίου λόγω της ανακύκλισης αποτυπώνεται με την μείωση της αντοχής πριν (basic strength deterioration) και μετά (post-capping strength deterioration) την είσοδο στον κατιόντα κλάδο της περιβάλλουσας αντοχής καθώς και μείωση της δυσκαμψίας (unloading/reloading stiffness deterioration) του προσομοιώματος στους κλάδους φόρτισης αποφόρτισης (Σχ.3.8). Σχήμα 3.8 Περιβάλλουσα αντοχής διατμητικού ελατηρίου

43 Σχήμα 3.9 Βασικοί μηχανισμοί μείωσης της αντοχής ή/και της δυσκαμψίας του διατμητικού ελατηρίου, σύμφωνα με το τροποποιημένο προσομοίωμα των Ibarra- Krawinkler Ο ρυθμός μείωσης της φέρουσας ικανότητας του προσομοιώματος λόγω της ανακύκλισης καθορίζεται σχετίζεται με την ενέργεια που καταναλώνεται από το σύστημα σύμφωνα με την πρόταση των Rahnama και Krawinkler (1993). Πιο συγκεκριμένα, γίνεται η υπόθεση ότι κάθε μέλος έχει μία εγγενή ικανότητα απορρόφησης ενέργειας, E t, η οποία είναι ανεξάρτητη από την εξωτερικά επιβαλλόμενη φόρτιση. Η ενέργεια αυτή εκφράζεται ως: E F LF (3.29) t p y y όπου ο όρος L εκφράζει την συσσωρευτική ικανότητα παραμόρφωσης του μέλους, p δ p είναι η πλαστική παραμόρφωση και F y η ενεργός δύναμη διαρροής. Η μείωση της αντοχής λόγω της ανακύκλισης (basic & post-capping strength deterioration) επιτυγχάνεται μεταθέτοντας τα όρια της περιβάλλουσας αντοχής παράλληλα προς τον οριζόντιο άξονα με ρυθμό: F (1 ) F (3.3) i i i1 όπου F i οποιαδήποτε τιμή αναφοράς της δύναμης πάνω στην περιβάλλουσα του κύκλου i (για ευκολία χρησιμοποιείται η διασταύρωση με τον κατακόρυφο άξονα) και β i ενεργειακή παράμετρος που υπολογίζεται ως:

44 E i Et i i1 j1 E j c (3.31) όπου Ε i είναι η ενέργεια που απορροφάται σε έναν κύκλο i, Ε j η συνολική ενέργεια που έχει απορροφηθεί από το σύστημα, E t η εγγενής ικανότητα απορρόφησης ενέργειας από την Εξ. (3.29), και εμπειρική παράμετρος που ελέγχει τον ρυθμό μείωσης της αντοχής. Η ίδια λογική εφαρμόζεται για την μείωση της δυσκαμψίας φόρτισης/αποφόρτισης λόγω της ανακύκλισης. Επιλέγοντας διαφορετικές τιμές της παραμέτρου L ανά περίπτωση, προκύπτει και διαφορετικός ρυθμός μείωσης για κάθε μηχανισμό εξασθένισης της φέρουσας ικανότητας του μέλους. Συνεπώς μπορούν να θεωρηθούν 2 διαφορετικές τιμές της παραμέτρου L και αντίστοιχα 2 τιμές της παραμέτρου c ως εξής: L S = παράμετρος μείωσης της αντοχής L K = παράμετρος μείωσης της δυσκαμψίας φόρτισης/αποφόρτισης c S = εκθετική παράμετρος μείωσης της αντοχής c K = εκθετική παράμετρος μείωσης της δυσκαμψίας φόρτισης/αποφόρτισης 3.4. ΕΚΤΙΜΗΣΗ ΙΔΙΟΤΗΤΩΝ ΣΤΟ ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΟ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΜΑ 3.4.1. Σύνοψη παραμέτρων Στη συνέχεια συνοψίζονται όλες οι παράμετροι που απαιτούνται για τον καθορισμό των νόμων συμπεριφοράς των διαγώνιων θλιπτήρων/ελκυστήρων και του διατμητικού ελατηρίου. Αρχικά, η συμπεριφορά των θλιπτήρων/ελκυστήρων καθορίζεται από 1 μηχανικές παραμέτρους και 9 εμπειρικές. Οι 1 μηχανικές παράμετροι είναι: αρχικό μέτρο ελαστικότητας, E mo θλιπτική αντοχή, f' m εφελκυστική αντοχή, f t παραμόρφωση ε ' m που αντιστοιχεί στην μέγιστη τιμή της θλιπτικής τάσης παραμόρφωση αστοχίας, ε ult εφελκυστική παραμόρφωση, ε cl για την οποία θεωρείται ότι οι ρωγμές έχουν κλείσει μερικώς και το διαγώνιο μέλος αναπτύσσει θλιπτικές τάσεις

45 αρχική διατομή, Α ms,1 μειωμένη διατομή, Α ms,2 τιμές αξονικής μετατόπισης, δ a,1 και δ a,2 που ορίζουν τα όρια μεταβολής της διατομής του θλιπτήρα/ελκυστήρα. Οι 9 εμπειρικές παράμετροι υπεισέρχονται για να ρυθμίσουν την μορφή της καμπύλης απόκρισης υπό ανακυκλιζόμενες φορτίσεις και συνοψίζονται ως εξής: a re, a ch, β ch, β a, γ un, γ pl,u, γ pl,r, e 1 και e 2. Όσον αφορά το διατμητικό ελατήριο, χρειάζονται 6 παράμετροι για να περιγραφεί η περιβάλλουσα και 4 εμπειρικές παράμετροι για τον έλεγχο της υστερητικής συμπεριφοράς του ελατηρίου. Ονομαστικά οι παράμετροι που υπεισέρχονται στο προσομοίωμα του διατμητικού ελατηρίου είναι οι εξής: αρχική δυσκαμψία, Κ spr δυσκαμψία βκ spr στον κλάδο κράτυνσης παραμόρφωση διαρροής, δ y παραμόρφωση δ c στο μέγιστο παραμόρφωση θραύσης, δ u απομένουσα αντοχή, ως υποπολλαπλάσιο της δύναμης διαρροής, κf y Ακόμη, ορίζονται οι εμπειρικές παράμετροι: Λ S, Λ Κ, c S, και c Κ. 3.4.2. Αρχική δυσκαμψία Η αρχική δυσκαμψία της τοιχοπλήρωσης εκτιμάται σύμφωνα με την παρακάτω σχέση του, που προτείνεται από τους Fardis and Panagiotakos (1997), σύμφωνα με την οποία: K panel G Gm ( Lpanelt panel ) ma H H (3.32) panel panel όπου L panel, H panel το καθαρό μήκος και ύψος της τοιχοπλήρωσης αντίστοιχα, t panel το πάχος του τοίχου, και G m το μέτρο διάτμησης της τοιχοποιίας όπως προκύπτει από σχετικά πειράματα σε διαγώνια θλίψη (ASTM E519-81).

46 Η αρχική δυσκαμψία της τοιχοπλήρωσης μοιράζεται μεταξύ των διαγώνιων θλιπτήρων/ελκυστήρων και του διατμητικού ελατηρίου σύμφωνα με τις ακόλουθες σχέσεις: panel panel Kspr, h panel Gm H panel K, (1 ) (1 ) G strut h panel m L t L t panel panel H panel (3.33) όπου η παράμετρος γ ορίζει το ποσοστό της αρχικής δυσκαμψίας της τοιχοπλήρωσης που αποδίδεται στο διατμητικό ελατήριο. Κατάλληλες τιμές της παραμέτρου γ εκτιμώνται στο διάστημα.5-.7. Επιπρόσθετα, η αρχική δυσκαμψία του διαγώνιου μέλους, εκπεφρασμένη ως προς την οριζόντια διεύθυνση ισούται με: K E w t mo 1 panel 2 ini, strut, h cos (3.34) Lstrut όπου w 1 το αρχικό πλάτος του διαγώνιου μέλους, t panel το πάχος του τοίχου, L strut το μήκος της διαγωνίου και θ η γωνία που σχηματίζει το διαγώνιο μέλος με τον οριζόντιο άξονα. Συνεπώς, εξισώνοντας τις σχέσεις (3.33) και (3.34) υπολογίζεται το αρχικό μέτρο ελαστικότητας του διαγώνιου στοιχείου: L L 1 mo (1 ) G 2 cos strut panel m w 1 H panel (3.35) Εναλλακτικά, οι κατάλληλες τιμές για τις παραμέτρους γ και Ε mo μπορούν να εκτιμηθούν μέσω μιας επαναληπτικής διαδικασίας, έτσι ώστε η τελική τιμή της παραμέτρου Ε mo να προσεγγίζει την τιμή του μέτρου ελαστικότητας, όπως υπολογίζεται από την σχέση των Bertoldi et al. (1993):

47 E mo E m 1 v sin cos mh mv Gm mh 4 4 cos sin 2 2 1 2 (3.36) όπου ν το μέτρο του Poisson για την τοιχοπλήρωση, και Ε mh, E mv οι τιμές του μέτρου ελαστικότητας της τοιχοπλήρωσης παράλληλα και κάθετα στους αρμούς αντίστοιχα, όπως υπολογίζονται από τα σχετικά πειράματα θλίψης. Καθώς η εφαρμογή της Εξ.(3.36) απαιτεί τον προσδιορισμό τριών ακόμη παραμέτρων, παρουσιάζεται μόνο ως συμπληρωματικό εργαλείο για την κατανομή της δυσκαμψίας μεταξύ των διαφόρων στοιχείων που απαρτίζουν το προσομοίωμα. 3.4.3. Διαρροή διατμητικού ελατηρίου & συντελεστής κράτυνσης Στα αρχικά στάδια της απόκρισης το τοιχοπληρωμένο πλαίσιο Ο.Σ. δρα ως διατμητικό τοίχωμα, παρουσιάζοντας σημαντική πλευρική δυσκαμψία. Καθώς, όμως, το σύστημα παραμορφώνεται, η επαφή της τοιχοποιίας με το περιβάλλον πλαίσιο περιορίζεται σε μία μικρή περιοχή κοντά στους κόμβους δοκού-υποστυλώματος που συνδέουν τη θλιβόμενη διαγώνιο και η πλευρική δυσκαμψία του συστήματος αρχίζει να μειώνεται. Στο παρόν προσομοίωμα, η υψηλή αρχική δυσκαμψία αποδίδεται στον ελαστικό κλάδο απόκρισης του διατμητικού ελατηρίου, ο οποίος σταματά με τη διαρροή του διατμητικού ελατηρίου σε οριζόντια μετατόπιση: F af a L t y 1 cr 1 cr panel panel y (3.37) Kspr Kspr Kspr όπου τ cr η διατμητική αντοχή της τοιχοποιίας όπως προκύπτει από τα σχετικά πειράματα σε διαγώνια θλίψη και α 1 παράμετρος που εκφράζει τη δύναμη διαρροής του διατμητικού ελατηρίου ως το ποσοστό της δύναμης ρηγματωσης, F cr. Η τελευταία υπολογίζεται σύμφωνα με τη σχέση των Fardis and Panagiotakos (1997), όπως υποδεικνύεται στην Εξ.(3.37). Η τιμή του συντελεστή α 1 εξαρτάται από τα μηχανικά χαρακτηριστικά της τοιχοποιίας. Σύμφωνα με τα πειράματα που εξετάστηκαν, τιμές στο εύρος.25-.35 δίνουν ικανοποιητικά αποτελέσματα.

48 Η διαρροή του διατμητικού ελατηρίου συνοδεύεται από σημαντική μείωση της δυσκαμψίας, καθώς ο πρώην ελαστικός κλάδος με δυσκαμψία Κ spr, ακολουθείται από τον κλαδο κράτυνσης με σημαντικά μικρότερη δυσκαμψία βκ spr.5% Κ spr. 3.4.4. Αντοχή διαγώνιου θλιπτήρα/ελκυστήρα Η θλιπτική αντοχή της τοιχο-διαγωνίου εκτιμάται θεωρώντας 4 πιθανούς τρόπους αστοχίας, σύμφωνα με τους Bertoldi et al. (1993). Οι συνηθέστεροι τρόποι αστοχίας που συναντώνται σε τοιχοπληρωμένα πλαίσια Ο.Σ. είναι οι εξής: (i) διαγώνια θλίψη, (ii) σύνθλιψη στις γωνίες της τοιχο-διαγωνίου, (iii) διατμητική ολίσθηση κατά μήκος των αρμών, και (iv) διαγώνιος εφελκυσμός. Σχήμα 3.1 Συνηθέστεροι τρόποι αστοχίας της τοιχοπλήρωσης σύμφωνα με τους Bertoldi et al. (1993) Οι αντίστοιχες τιμές αντοχής για κάθε μία από τις παραπάνω περιπτώσεις αστοχίας υπολογίζονται σύμφωνα με τις επόμενες σχέσεις: f f f f m1 1 2 h h m2.12.88 m3 m4 1.16 tan f mv 1.12sincos 1 2 1.2sin.45cos.3.6cr.3v w/ L h diag w/ L diag cr o v (3.38)

49 όπου f mv θλιπτική αντοχή κάθετα στους αρμούς, τ o διατμητική αντοχή που προκύπτει από το triplet test (συνοχή), τ cr διατμητική αντοχή, όπως προκύπτει από πειράματα τοιχοποιίας σε διαγώνια θλίψη, σ v τάση κάθετα στο επίπεδο του τοίχου λόγω των φορτίων βαρύτητας. Οι συντελεστές Κ 1 και Κ 2 εξαρτώνται από τη σχετική δυσκαμψία του συστήματος τοιχοποιία-πλαίσιο σκυροδέματος, όπως εκφράζεται μέσω της παραμέτρου λ h (Εξ.1.2) και επιλέγονται σύμφωνα με τον Πιν.3.1. Τελικά η θλιπτική αντοχή του διαγώνιου στοιχείου λαμβάνεται ως η μικρότερη εκ των τεσσάρων τιμών θλιπτικής αντοχής που υπολογίζονται από τις σχέσεις (3.38), δηλαδή: f min( f, f, f, f ) (3.39) ' m m1 m2 m3 m4 Πίνακας 3.1 Παράμετροι για τον υπολογισμό της θλιπτικής αντοχής (Bertoldi et al.,1993) λ h < 3.14 3.14< λ h <7.85 λ h > 7.85 Κ 1 1.3.77.47 Κ 2 -.178.1.4 Η εφελκυστική αντοχή του διαγώνιου ελκυστήρα, f' t είναι αισθητά μικρότερη από την θλιπτική αντοχή. Για το λόγο αυτό είτε θεωρείται μηδενική ή της αποδίδεται μία πολύ μικρή τιμή (π.χ. f' t =.5ΜΡa που θεωρήθηκε στις εφαρμογές της παρούσας εργασίας). 3.4.5. Αρχική και μειωμένη διατομή διαγώνιου θλιπτήρα/ελκυστήρα Η διατομή του θλιπτήρα/ελκυστήρα υπολογίζεται πολλαπλασιάζοντας το θεωρητικό πλάτος του με το πάχος του τοίχου. Όπως αναφέρεται στην ενότητα 1.2.3, πολλοί ερευνητές προσπάθησαν να υπολογίσουν το ενεργό πλάτος του διαγώνιου θλιπτήρα, συσχετίζοντας το με τα χαρακτηριστικά της τοιχοποιίας και του περιβάλλοντος πλαισίου. Στην παρούσα εργασία έγινε χρήση των σχέσεων που προτείνουν οι Decanini και Fantin (1987) θεωρώντας (α) αρηγμάτωτη και (β) ρηγματωμένη τοιχοποιία, και περιγράφονται από τη Εξ.(1.8). Εφαρμόζοντας τις δύο σχέσεις της Εξ.(1.8). υπολογίζεται το αρχικό, w 1 και το μειωμένο, w 2, πλάτος του διαγώνιου μέλους. Ο συντελεστής μείωσης της αρχικής διατομής του διαγώνιου μέλους, ορίζεται ως Α red = w 2 /w 1.

5 3.4.6. Χαρακτηριστικά επίπεδα γωνιακής παραμόρφωσης ορόφου (IDR) Σε μία προσπάθεια να συσχετιστεί η συμπεριφορά του οριζόντιου διατμητικού ελατηρίου και των διαγώνιων μελών κάτω από ένα κοινό πρίσμα, τη συμπεριφορά του τοιχο-φατνώματος ως ένα ενιαίο δομικό στοιχείο, έγιναν οι ακόλουθες υποθέσεις: - Υπάρχει ένα χαρακτηριστικό επίπεδο γωνιακής παραμόρφωσης, IDR 1, για το οποίο έχουν αναπτυχθεί εκτεταμένες ρωγμές στην τοιχοπλήρωση, με αποτέλεσμα να χάσει τη συνοχή της και να αρχίσει να συσσωρεύει βλάβες με ολοένα αυξανόμενο ρυθμό. Για το λόγο αυτό το επίπεδο γωνιακής παραμόρφωσης IDR 1 συνδέεται με το σημείο που ξεκινά ο κατιόν κλάδος της περιβάλλουσας αντοχής του διατμητικού ελατηρίου και η μείωση του εμβαδού του διαγώνιου μέλους. - Η γωνιακή παραμόρφωση ορόφου IDR 2 αντιστοιχεί στο σημείο που το εμβαδόν του διαγώνιου μέλους αποκτά την τελική μειωμένη τιμή της, Α ms,2. - Τέλος, για γωνιακή παραμόρφωση ορόφου IDR 3 επέρχεται η ολική αστοχία τόσο του διαγώνιου θλιπτήρα/ελκυστήρα όσο και του διατμητικού ελατηρίου. Στο σημείο αυτό πρέπει να σημειωθεί ότι η τιμή του όρου IDR 3 είναι συνήθως μεγαλύτερη από την πραγματική παραμόρφωση αστοχίας σε ένα πείραμα είτε γιατί κάποια άλλη μορφή αστοχίας στο περιβάλλον πλαίσιο σκυροδέματος (π.χ. διατμητική αστοχία στους κόμβους των υποστυλωμάτων) προηγείται της αστοχίας του τοίχου πλήρωσης, είτε γιατί το πείραμα διακόπτεται πριν την ολική κατάρρευση του τοίχου. Η αξονική παραμόρφωση στο διαγώνιο θλιπτήρα/ελκυστήρα και η οριζόντια μετατόπιση στο διατμητικό ελατήριο σχετίζονται άμεσα με το επίπεδο γωνιακής παραμόρφωσης ορόφου, IDR, σύμφωνα με τις επόμενες σχέσεις: IDR H (3.4) 1 L 1 IDR H 2 L 1 H 2 (3.41)

51 όπου L και Η το μήκος και το ύψος του πλαισίου και IDR=δ/Η, η γωνιακή παραμόρφωση ορόφου. Η εξ.(3.41) προκύπτει γεωμετρικά υποθέτοντας ότι η κάθετη μετατόπιση στους κόμβους δοκού-υποστυλώματος που συνδέουν τα άκρα του διαγώνιου μέλους είναι αμελητέα, οπότε ισχύει η σχέση (L diag - ΔL diag ) 2 =Η 2 +(L-δ) 2 (Σχ.3.1). Σχήμα 3.11 Γεωμετρία παραμορφωμένου πλαισίου Πίνακας 3.2 Συσχέτιση παραμορφωσιακών μεγεθών με επίπεδα IDR Επίπεδο IDR Διατμητικό ελατήριο Διαγώνιος θλιπτήρας/ελκυστήρας IDR 1 - δ a,1 or ε a,1 IDR 2 δ c δ a,2 or ε a,2 IDR 3 δ u δ a,ult or ε a,ult 3.4.7. Παραμορφώσεις ε' m & ε cl στο διαγώνιο θλιπτήρα/ελκυστήρα Για να ολοκληρωθεί ο ορισμός του προσομοιώματος της τοιχοπλήρωσης, υπολείπονται δύο ακόμη παραμορφωσιακά μεγέθη, (α) η παραμόρφωση ε' m που αντιστοιχεί στη μέγιστη θλιπτική τάση του διαγώνιου θλιπτήρα/ελκυστήρα και (β) η εφελκυστική παραμόρφωση ε cl για την οποία θεωρείται ότι έχουν κλείσει μερικώς οι ρωγμές και το πρώην εφελκυόμενο διαγώνιο μέλος αρχίζει να αναπτύσσει θλιπτικές τάσεις. Η παραμόρφωση ε' m είναι ένα μέγεθος που προσδιορίζεται πειραματικά. Καθώς η απόκριση των τοιχοπληρωμένων πλαισίων χαρακτηρίζεται από έναν απότομο αρχικό κλάδο μέχρι την μέγιστη αντοχή, η τιμή της παραμόρφωσης ε' m είναι γενικά χαμηλή, και συνήθως αντιστοιχεί σε επίπεδα IDR μεταξύ.1-.5%. Η εφελκυστική παραμόρφωση ε cl, σύμφωνα με τον Crisafulli κυμαίνεται στο διάστημα (,.3).

52 Στα ακόλουθα σχήματα παρουσιάζεται η συμπεριφορά του διαγώνιου θλιπτήρα και του διατμητικού ελατηρίου, όπως προκύπτουν από την στατική μη γραμμική ανάλυση (Pushover) ενός τοιχοπληρωμένου πλαισίου Ο.Σ.. Εμβαδόν, A [m 2 ].12.1.8.6 8 -.5 -.1 -.15 -.2 -.25 -.3 -.35 -.4 A 1 A 2 Δύναμη, F a,strut [kn] 6 4 2 δ a (ε, m ) δ a (IDR 1 ) -.5 δ a (IDR 2 ) -.1 -.15 -.2 -.25 -.3 Αξονική μετατόπιση, δ [m] a -.35 δ a (IDR 3 ) -.4 Σχήμα 3.12 Περιβάλλουσα θλιπτικής αντοχής, χαρακτηριστικά σημεία της απόκρισης και μεταβολή του εμβαδού του διαγώνιου θλιπτήρα Δύναμη, F spr [kn] 25 2 15 1 5 βk spr K spr δ y,spr δ (IDR1 ) δ (IDR3 ).1.2.3.4.5 Οριζόντια μετατόπιση, δ [m] Σχήμα 3.13 Περιβάλλουσα αντοχής και χαρακτηριστικά σημεία της απόκρισης του διατμητικού ελατηρίου 3.4.8. Εμπειρικές παράμετροι Όπως προαναφέρθηκε, στο προτεινόμενο προσομοίωμα για την ανάλυση των τοιχοπληρώσεων υπεισέρχονται μία σειρά εμπειρικών παραμέτρων που αφορούν είτε τη συμπεριφορά των διαγώνιων θλιπτήρων/ελκυστήρων είτε τη συμπεριφορά του

53 διατμητικού ελατηρίου. Οι εμπειρικές παράμετροι που σχετίζονται με τα διαγώνια μέλη συνοψίζονται στον Πίν.3.3, στον οποίο παρέχονται ακόμη τα όρια ανοχής και οι προτεινόμενες τιμές για κάθε παράμετρο όπως καθορίστηκαν από τον Crisafulli. Περεταίρω διερεύνηση των κατάλληλων τιμών των εν λόγω παραμέτρων πραγματοποιήθηκε στα πλαίσια παραμετρικών αναλύσεων και θα παρουσιαστεί στο Κεφ.5. Σε γενικές γραμμές οι τιμές των παραμέτρων που προτείνονται από τον Crisafulli λειτουργούν ικανοποιητικά και στο παρόν προσομοίωμα ανάλυσης. Δύο από τις εν λόγω παραμέτρους διαφοροποιούνται σημαντικά, οι Α re και G un, τα προτεινόμενα όρια εφαρμογής των οποίων προκύπτουν στα διαστήματα (.8, 1.5) και (.5,.9) αντίστοιχα. Όσον αφορά το διατμητικό ελατήριο, ο καταστατικός νόμος που περιγράφει τη συμπεριφορά του εμπεριέχει τέσσερις εμπειρικές παραμέτρους που ρυθμίζουν τον ρυθμό απομείωσης της αντοχής (L S, c S ) και της δυσκαμψίας φόρτισης/αποφόρτισης (L K, c K ). Σύμφωνα με τα αποτελέσματα των αναλύσεων που πραγματοποιήθηκαν στα πλαίσια της παρούσας εργασίας τιμές της παραμέτρου L S μεταξύ.3-.4 και της c S μεταξύ.5-1. αποδίδουν με ικανοποιητική ακρίβεια την συμπεριφορά των εξεταζόμενων πλαισίων. Η μείωση της δυσκαμψίας φόρτισης/αποφόρτισης δεν είναι πάντοτε κρίσιμη, δεδομένου ότι η συνεισφορά του διατμητικού ελατηρίου είναι σημαντικότερη στους πρώτους κύκλους φόρτισης/αποφόρτισης, οπότε η δυσκαμψία του τοιχοπληρωμένου πλαισίου δεν αποκλίνει σημαντικά από την ελαστική. Για το λόγο αυτό, δίνεται η δυνατότητα να απενεργοποιηθεί ο εν λόγω μηχανισμός βλάβης ορίζοντας μία μεγάλη τιμή της παραμέτρου L Κ ( 1). Αν η μείωση της δυσκαμψίας αναμένεται να είναι κρίσιμη, οι παράμετροι L Κ και c Κ προτείνεται να λαμβάνονται μεταξύ.2-.5 και.25-1. αντίστοιχα. Πίνακας 3.3 Προτεινόμενες τιμές και όρια ανοχής εμπειρικών παραμέτρων σύμφωνα με τον Crisafulli Παράμετρος Προτεινόμενες τιμές Οριακές τιμές G un 1.5 2.5 A re.2.4 A ch.3.6.1.7 B a 1.5 2. B ch.6.7.5.9 G plu.5.7-1. G plr 1.1 1.5 1 e 1 1.5 2. e 2 1. 1.5

54 4. ΕΠΑΛΗΘΕΥΣΗ ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΟΥ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΜΑΤΟΣ 4.1. ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΚΑ ΔΕΔΟΜΕΝΑ Μία σειρά πειραμάτων σε τοιχοπληρωμένα πλαίσια οπλισμένου σκυροδέματος υπό στατική ανακυκλιζόμενη πλευρική φόρτιση, προσομοιώνονται αναλυτικά προκειμένου να ελεγχθεί η αποτελεσματικότητα και η αξιοπιστία του προτεινόμενου προσομοιώματος τοιχοπλήρωσης. Η σύγκριση των αποτελεσμάτων των επιμέρους αναλύσεων με την πειραματική απόκριση των δοκιμίων αποδεικνύει την ικανότητα του προσομοιώματος να αναπαραστήσει την συνολική συμπεριφορά του συστήματος με ικανοποιητική ακρίβεια, ενώ παράλληλα αναδεικνύει τις επιμέρους αδυναμίες και τα όρια εφαρμογής του. Οι πρώτες τέσσερις (4) από τις εξεταζόμενες δοκιμές αφορούν μονώροφα πλαίσια Ο.Σ., σε κλίμακα 2/3 που πληρώνονται με μία σειρά από διάτρητα τούβλα διαστάσεων 3x2x15mm, και εξετάστηκαν από τους Pires and Carvalho (1992) και Pires (199). Ακόμη, μελετήθηκαν δύο (2) δοκιμές, που πραγματοποιήθηκαν στο Πανεπιστήμιο του Colorado στα πλαίσια ενός ευρύτερου ερευνητικού προγράμματος και αναφέρονται στην ερευνητική δουλειά των Stavridis (29), Kyriakides (211) και Koutromanos (211). Τα σχετικά δοκίμια αποτελούνται από μονώροφα πλαίσια Ο.Σ. σε κλίμακα 2/3, όπως και τα προηγούμενα τέσσερα πειράματα, όμως εδώ ο τοίχος πλήρωσης κατασκευάζεται με δύο σειρές συμπαγών τούβλων διαστάσεων2x57x 95mm. Στο ένα εκ των δύο πειραματικών δοκιμίων, ο τοίχος πλήρωσης παρουσιάζει άνοιγμα διαστάσεων 89x51.4cm. Τέλος, μελετάται ένα 3-ώροφο πλαίσιο οπλισμένου σκυροδέματος, το οποίο εξετάστηκε πρόσφατα στο Εργαστήριο Κατασκευών του Πανεπιστημίου Πατρών (Koutas et al., 214). Το 3-ώροφο πλαίσιο κατασκευάζεται σε κλίμακα 2/3 και πληρώνεται με δύο σειρές από διάτρητα τούβλα διαστάσεων 185x85x55mm με εσωτερικό κενό 6mm. Για την πλήρωση των αρμών σε όλα τα εξεταζόμενα δοκίμια χρησιμοποιήθηκε τσιμεντοκονίαμα. Τα παραπάνω πειραματικά δοκίμια, αποτελούν σε κάθε περίπτωση τμήματα ενός ευρύτερου φορέα και υπόκεινται σε στατική ανακυκλιζόμενη πλευρική φόρτιση μέσω υδραυλικών επιταχυντών. Διαφορετικές διατάξεις χρησιμοποιούνται σε κάθε περίπτωση για την επιβολή σταθερής αξονικής δύναμης στο επίπεδο του ορόφου, έτσι ώστε να προσομοιωθεί η επίδραση των φορτίων βαρύτητας των ανώτερων ορόφων. Στον Πίν.4.1 συνοψίζονται ορισμένα στοιχεία που αφορούν την φόρτιση των δοκιμίων, ενώ στους πίνακες 4.2 και 4.3 παρουσιάζονται τα γεωμετρικά χαρακτηριστικά και οι ιδιότητες των υλικών που χρησιμοποιούνται για την κατασκευή των δοκιμίων.

55 Πίνακας 4.1 Στοιχεία σχετικά με τη φόρτιση δοκιμίων Δοκίμιο Αξονικό Φορτίο Υποστ. IDR max Αριθμός κύκλων [kn] [%] [-] Pires, M2 1 5.5 18 Pires, M3 1 5.5 17 Pires, M4 1 6.1 18 Pires, M6 1 5.4 16 Colorado, T1 156 1.3 15 Colorado, T2 156 1.7 18 Koutas, U1 4/όροφο.88 * 6 Σημείωση * : O συγκεκριμένος όρος αναφέρεται στη συνολική γωνιακή παραμόρφωση του πλαισίου, ΙDR=δ top /H tot. Καθώς η βλάβη συσσωρεύεται στο επίπεδο του 1 ου ορόφου η αντίστοιχη τιμή IDR του 1ου ορόφου είναι περίπου ίση μς +2% στην θετική διεύθυνση και -2.7% στην αρνητική. Δοκίμιο t panel [mm] Πίνακας 4.2 Γεωμετρικά χαρακτηριστικά δοκιμίων L [mm] H [mm] (bxh) column [mm]x[mm] (bxh) beam [mm]x[mm] Pires, M2 15 225 1825 15x15 15x2 8Φ8 Pires, M3 15 225 1825 15x15 15x2 8Φ8 Pires, M4 15 225 1825 15x15 15x2 8Φ8 Pires, M6 15 225 1825 15x15 15x2 4Φ8 Color., T1 19.5 36 193 28x28 24x28 8Φ11 Color., T2 19.5 36 193 28x28 24x28 8Φ11 Koutas, U1 11 25 2 17x23 17x33 6Φ12 A s,col A s,beam A sw 3Φ8 3Φ8 3Φ8 3Φ8 3Φ8 3Φ8 3Φ8 3Φ8 2Φ19 2Φ19 2Φ19 2Φ19 2Φ12 2Φ12 Φ4/5 Φ4/1 Φ4/1 Φ4/5 Φ6.4/267 Φ6.4/267 Φ6/13 Πίνακας 4.3 Μηχανικές ιδιότητες υλικών δοκιμίων Δοκίμιο f c [MPa] f y [MPa] f yw [MPa] G m [MPa] τ cr [MPa] τ o [MPa] f vm [MPa] Pires, M2 28.3 434 523 59.4.35 2.1 Pires, M3 33.2 434 523 59.4.35 2.1 Pires, M4 38.5 434 523 946.41.35 2.5 Pires, M6 35.2 434 523 1.51.4 2.3 Colorado, T1 3.1 458 458 29 1. * - 17.93 Colorado, T2 3.1 458 458 19 1. * - 17.93 Koutas, U1 28. 5 22 162 **.9 ** - 5.7 Σημείωση * : Η τιμή της παραμέτρου τ cr δεν ήταν διαθέσιμη οπότε η επιλογή της έγινε με γνώμονα τα πειραματικά χαρακτηριστικά της απόκρισης Σημείωση ** : Οι τιμές των G m και τ cr έχουν εκτιμηθεί με τη χρήση 3 μόλις δοκιμίων και ενδέχεται να αναθεωρηθούν μετά την ολοκλήρωση και των υπόλοιπων προγραμματισμένων πειραμάτων.

56 Σχήμα 4.1 Γεωμετρικά χαρακτηριστικά δοκιμίων, (i) Pires M2-M6, (ii) Colorado T1 & T2 και (iii) Koutas et al. 4.2. ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ Όπως έχει ήδη προαναφερθεί, όλες οι αναλύσεις πραγματοποιήθηκαν στο πρόγραμμα ανάλυσης OpenSees, το οποίο είναι ένα λογισμικό ανοιχτού κώδικα που διατίθεται από το Πανεπιστήμιο του Berkeley, California. Οι ιδιότητες της ανάλυσης καθορίζονται μέσω των επτά (7) εντολών που περιγράφονται στη συνέχεια και οι οποίες συνιστούν στο σύνολό τους ένα αντικείμενο ανάλυσης (analysis object): i. Σύστημα (system) : ορίζει την κατάστρωση του γραμμικού συστήματος εξισώσεων και της μεθόδους αποθήκευσης και επίλυσης του εν λόγω συστήματος κατά τα διάφορα στάδια της ανάλυσης ii. Δοκιμή σύγκλισης (test) : καθορίζει τον αλγόριθμο που εφαρμόζεται για την επίτευξη της επιθυμητής σύγκλισης σε κάθε βήμα της ανάλυσης iii. Σύστημα αρίθμησης (numberer) : καθορίζεται ο τρόπος αρίθμησης των βαθμών ελευθερίας και των εξισώσεων που απαρτίζουν το σύστημα iv. Δεσμεύσεις (constraints) : ορίζει τον τρόπο διαχείρισης των δεσμευμένων βαθμών ελευθερίας από το σύστημα επίλυσης v. Αλγόριθμος (algorithm) : καθορίζει τον αλγόριθμο που θα εφαρμοστεί για την επίλυση του μη-γραμμικού συστήματος εξισώσεων σε κάθε βήμα vi. Μέθοδος ολοκλήρωσης (integrator) : καθορίζει τη μέθοδο ολοκλήρωσης, το προβλεπόμενο βήμα της ανάλυσης για χρόνο t+δt, το εφαπτομενικό μητρώο και τη διόρθωση του βήματος σε κάθε επανάληψη vii. Ανάλυση (analysis) : καθορίζει τον τύπο της ανάλυσης (στατική ή δυναμική)

57 Για κάθε μία από τις παραπάνω εντολές προβλέπονται μία σειρά από επιλογές τις οποίες διαλέγει ο χρήστης ανάλογα με τα χαρακτηριστικά του φορέα που καλείται να επιλύσει και τον τύπο της επιβαλλόμενης φόρτισης. Για τις ανάγκες της παρούσας εργασίας κατασκευάστηκαν δύο διαφορετικά αντικείμενα ανάλυσης (analysis objects), ένα για τα φορτία βαρύτητας και ένα για την περίπτωση της ανακυκλιζόμενης φόρτισης (Πιν.4.4). Πίνακας 4.4 Καθορισμός ιδιοτήτων ανάλυσης Εντολή Ανάλυση για φορτία βαρύτητας Ανάλυση για ανακυκλιζόμενη φόρτιση system SparseGEN UmfPack test NormDispIncr NormDispIncr numberer Plain Plain constraints Plain Plain algorithm Newton KrylovNewton integrator LoadControl DisplacementControl analysis Static Static Η βασική διαφορά των δύο αντικείμενων ανάλυσης έγκειται στο γεγονός ότι ο αλγόριθμος ολοκλήρωσης για τα φορτία βαρύτητας εφαρμόζεται με έλεγχο των δυνάμεων (LoadControl) ενώ στην περίπτωση της ανακυκλιζόμενης φόρτισης χρησιμοποιείται έλεγχος των μετατοπίσεων (DisplacementControl). Πιο συγκεκριμένα, στην πρώτη περίπτωση το συνολικό φορτίο βαρύτητας, G (κατανεμημένο στα μέλη και αξονικό στους κόμβους δοκού-υποστυλώματος) διασπάται σε n μικρότερα φορτία G/n και επιβάλλεται σταδιακά στον φορέα αφού ικανοποιηθεί η ισορροπία σε κάθε βήμα. Στην περίπτωση της ανακυκλιζόμενης φόρτισης, ο φορέας εισέρχεται στην ανελαστική περιοχή της απόκρισής του εμφανίζοντας σταδιακή μείωση της αντοχής και της δυσκαμψίας του. Σαν αποτέλεσμα, η μέθοδος των δυνάμεων αδυνατεί να ανταποκριθεί στην πτώση του φορτίου αντίστασης του φορέα, κάτι που δεν ισχύει για την μέθοδο των μετακινήσεων, αρκεί να εφαρμοστεί ένα επαρκώς μικρό βήμα μετακίνησης. Διαφορετικός είναι και ο αλγόριθμος επίλυσης που εφαρμόζεται σε κάθε περίπτωση. Για την ανάλυση των φορτίων βαρύτητας η απλή μέθοδος Newton-Raphson επαρκεί για την επίλυση του μη-γραμμικού συστήματος εξισώσεων. Στην περίπτωση των ανακυκλιζόμενων κύκλων φόρτισης χρησιμοποιείται η τροποποιημένη μέθοδος Krylov- Newton (Scott and Fenves, 21), καθώς παράγει πιο σταθερά αποτελέσματα και

58 συμβάλλει στην αποφυγή των αριθμητικών ασταθειών που προκύπτουν από την εφαρμογή της απλής Newton-Raphson σε συστήματα με έντονα μη-γραμμικούς νόμους υστέρησης. Η μέθοδος σύγκλισης που εφαρμόζεται και στις δύο περιπτώσεις είναι ο Έλεγχος της μεταβολής των μετακινήσεων ( Norm Displacement Increment ), σύμφωνα με τον οποίο αν το σύστημα των εξισώσεων που σχηματίζεται από τον αλγόριθμο ολοκλήρωσης σε ένα βήμα i είναι KΔU i = R(U i ), τότε ο έλεγχος επίτευξης της επιθυμητής σύγκλισης διαμορφώνεται ως εξής: ΔU i < tol, όπου tol = το αποδεκτό σφάλμα (όριο ανοχής). Το σύστημα αρίθμησης που υιοθετείται δεν έχει ιδιαίτερη σημασία για την περίπτωση μικρών συστημάτων όπως τα δοκίμια που αναλύονται στην παρούσα εργασία. Για το λόγο αυτό εφαρμόζεται το σύστημα απλής αρίθμησης (plain numberer), το οποίο διαβάζει με την σειρά του κόμβους που ορίζουν τη γεωμετρία του συστήματος και τους αριθμεί. Ακόμη, ενεργοποιείται η επιλογή των δεσμεύσεων απλού τύπου (plain constraints), η οποία εφαρμόζει ομογενείς συνθήκες δέσμευσης στα σημεία στα οποία καλείται (π.χ. πάκτωση βάσης υποστυλωμάτων, επιβολή ίσων μετακινήσεων στο επίπεδο του ορόφου). Σε ότι αφορά την εντολή που καθορίζει την κατάστρωση και επίλυση του μηγραμμικού συστήματος εξισώσεων που περιγράφουν την συμπεριφορά του εξεταζόμενου φορέα (system), υιοθετούνται δύο διαφορετικές επιλογές. Στην περίπτωση των φορτίων βαρύτητας το σύστημα εξισώσεων επιλύεται χρησιμοποιώντας τις ρουτίνες της βιβλιοθήκης Supernodal LU, ενώ για την περίπτωση της ανακυκλιζόμενης φόρτισης εφαρμόζονται οι ρουτίνες επίλυσης της βιβλιοθήκης UmfPack (Unsymmetric multifrontal sparse LU factorization package). Σε γενικές γραμμές, βασική επιδίωξη κάθε πακέτου ανάλυσης είναι η βελτιστοποίηση του χρόνου και των εξαγόμενων της ανάλυσης. Για περισσότερες λεπτομέρειες ο αναγνώστης καλείται να ανατρέξει στις σχετικές πηγές των James (1999), Davis et al. (1995 & 1997) και Davis (24). 4.3. ΕΠΙΛΟΓΗ ΠΑΡΑΜΕΤΡΩΝ & ΜΕΘΟΔΟΣ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑΣ ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑΤΩΝ 4.3.1. Επιλογή παραμέτρων προσομοιώματος στις επιμέρους αναλύσεις Στην παρούσα ενότητα παρουσιάζονται οι τιμές των παραμέτρων που χρησιμοποιήθηκαν για την αναλυτική προσομοίωση των πειραμάτων. Για την καλύτερη εποπτεία των δεδομένων, το σύνολο των παραμέτρων κατηγοριοποιείται ως εξής: (α) ιδιότητες σκυροδέματος υποστυλωμάτων & δοκών,

59 (β) ιδιότητες διαμήκους οπλισμού, (γ) μηχανικές ιδιότητες προσομοιώματος τοιχοπλήρωσης, (δ) εμπειρικές παράμετροι προσομοιώματος τοιχοπλήρωσης, και (ε) χαρακτηριστικά επίπεδα ΙDR Στους πίνακες που ακολουθούν συνοψίζονται οι ιδιότητες των υλικών σε όλα τα επιμέρους προσομοιώματα ανάλυσης: Πίνακας 4.5 Ιδιότητες προσομοιώματος απερίσφικτου & περισφιγμένου σκυροδέματος δοκών Δοκίμιο f c [MPa] ε co [%] f cu [MPa] ε cu [%] f * c [MPa] ε * co [%] f * cu [MPa] ε * cu [%] Pires, M2 28.3.195 1.4.5 33.2.365 7.1 1.86 Pires, M3 33.2.218 1.7.5 34.7.268 12.2 1.7 Pires, M4 38.5.247 5.8.5 4..296 14..98 Pires, M6 35.2.227 1.8.5 4.2.385 14.1 1.6 Colorado, T1 3.1.248 4.5.5 - - - - Colorado, T2 3.1.248 4.5.5 - - - - Koutas, U1 28..194 7..5 - - - - Πίνακας 4.6 Ιδιότητες προσομοιώματος απερίσφικτου & περισφιγμένου σκυροδέματος υποστυλωμάτων Δοκίμιο f c ε co f cu ε cu f * c ε * co f * cu ε * cu [MPa] [%] [MPa] [%] [MPa] [%] [MPa] [%] Pires, M2 28.3.195 1.4.5 35..425 8.7 2.4 Pires, M3 33.2.218 1.7.5 35.1.279 12.3 1.37 Pires, M4 38.5.247 5.8.5 4.4.37 14.1 1.24 Pires, M6 35.2.227 1.8.5 41.9.442 14.7 2.6 Colorado, T1 3.1.248 4.5.5 3.9.28 1.8 1.25 Colorado, T2 3.1.248 4.5.5 3.9.28 1.8 1.25 Koutas, U1 28..194 7..5 28.9.224 7.2.97 Πίνακας 4.7 Ιδιότητες προσομοιώματος διαμήκους οπλισμού δοκών & υποστυλωμάτων Δοκίμιο f y E s β sh R C R1 C R2 [MPa] [GPa] [%] [-] [-] [-] Pires, M2 434 2 2. 18.5.925.15 Pires, M3 434 2 2. 18.5.925.15 Pires, M4 434 2 2. 18.5.925.15 Pires, M6 434 2 2. 18.5.925.15 Colorado, T1 458 2 2. 18.5.925.15 Colorado, T2 458 2 2. 18.5.925.15 Koutas, U1 55 2.5 18.5.925.15

6 Πίνακας 4.8 Μηχανικές ιδιότητες προσομοιώματος τοιχοπλήρωσης Specimen f' m f' t (w 1 /d) (w 2 /d) ε' m ε cl γ a 1 [MPa] [MPa] [-] [-] [%] [%] [-] [-] Pires, M2 -.97.5.25.175 -.13.2.6.3 Pires, M3 -.97.5.25.163 -.1.2.6.3 Pires, M4-1.5.5.25.158 -.5.2.6.3 Pires, M6-1.25.5.25.163 -.13.2.6.3 Colorado, T1-2.55.5.27.189 -.13.2.7.3 Colorado, T2-2.55.5.27.149 -.13.2.4.1 Koutas, U1-2.14 *.5.28.196 -.5.2.7.3 Πίνακας 4.9 Εμπειρικές παράμετροι προσομοιώματος τοιχοπλήρωσης Specimen A ch A re B a B ch G un G plu G plr e 1 e 2 L S L K c S c K Pires, M2.3 1.5 1..9.7 1. 1.1 3. 1..3 1.5 1. Pires, M3.3 1.5 1..9.5 1. 1.1 3. 1..3 1.5 1. Pires, M4.3 1.5 1..9.9 1. 1.1 3. 1..3.2.5.8 Pires, M6.3 1.5 1..9.7 1. 1.1 3. 1..3.2.9 1. Colorado, T1.3.8 1..9.5 1. 1.1 3. 1..4.2.6.25 Colorado, T2.3.8 1..9.5 1. 1.1 3. 1. 1.5 1..25 Koutas, U1.3.8 1..9.7 1. 1.1 3. 1..3.25.5 1. Πίνακας 4.1 Χαρακτηριστικά επίπεδα IDR Specimen IDR 1 (%) IDR 2 (%) IDR 3 (%) Pires, M2.5 1.2 8. Pires, M3.21.6 8. Pires, M4.12.8 8. Pires, M6.35 1.1 8. Colorado, T1.5.55 2.8 Colorado, T2.8 1.25 2.3 Koutas, U1 1. 2.5 8. 4.3.2. Ποσοτικοποίηση αποτελεσματικότητας προσομοιώματος Ο έλεγχος της αποτελεσματικότητας του προτεινόμενου προσομοιώματος ανάλυσης γίνεται συγκρίνοντας τα αποτελέσματα των αναλύσεων με την πραγματική απόκριση των δοκιμίων που προκύπτει από τα πειράματα. Η σύγκριση πραγματοποιείται σε όρους τέμνουσας βάσης,v b επίπεδο γωνιακής παραμόρφωσης ορόφου, IDR=δ/H, εκτός από την περίπτωση του 3-ώροφου πλαισίου των Koutas et al., οπότε τα αποτελέσματα παρουσιάζονται σε όρους τέμνουσας βάσης,v b συνολική γωνιακή παραμόρφωση πλαισίου, IDR=δ top /H tot.

61 Η ποσοτικοποίηση της αποτελεσματικότητας του προσομοιώματος επιτυγχάνεται με τον υπολογισμό δύο ποσοτήτων: (α) του αδιάστατου δείκτη, f, που ορίζεται ως το πηλίκο της διαφοράς της αναλυτικής και της πειραματικής τιμής της τέμνουσας βάσης προς τη μέγιστη πειραματική τιμή της τέμνουσας βάσης (Εξ.4.1) και (β) του μέσου λάθους, e, στον υπολογισμό της ενέργειας που απορροφάται συνολικά από το σύστημα (Εξ.4.2). Κατά συνέπεια οι σχέσεις υπολογισμού των δεικτών f και e διαμορφώνονται ως εξής: f V V V V 2 anal. exp. anal. exp. b, i b, i b, i b, i exp. exp,( ) exp,( ) Vb max Vb,max Vb,max (4.1) όπου η μέγιστη πειραματική τιμή της τέμνουσα βάσης, exp. V b max, εκτιμάται σαν το ημιάθροισμα της μέγιστης θετικής και αρνητικής τιμής της τέμνουσας βάσης που αναπτύσσεται κατά τη διάρκεια του πειράματος. Οι τιμές της πειραματικής και αναλυτικής τέμνουσας βάσης οροφής, δ i. V, V σε κάθε βήμα i αντιστοιχούν στο ίδιο επίπεδο μετατόπισης anal. exp. b, i b, i e n anal exp Si Si i1 n exp Si i1 (4.2) όπου S anal, S η αθροιστική ενέργεια παραμόρφωσης που απορροφάται από το σύστημα i exp i στο αναλυτικό προσομοίωμα και στο πείραμα αντίστοιχα, και υπολογίζεται σύμφωνα με την επόμενη σχέση: 1 Si Si 1 Vb, i Vb, i1 i i 1 (4.3) 2 όπου V b,i, V b,i-1 οι τιμές της τέμνουσας βάσης σε δύο διαδοχικά σημεία της απόκρισης και δ i, δ i-1 οι αντίστοιχες τιμές της μετατόπισης οροφής. Η αθροιστική ενέργεια παραμόρφωσης που απορροφάται από το σύστημα τόσο στην ανάλυση όσο και στο πείραμα, υπολογίζεται για κάθε μία από τις εξεταζόμενες περιπτώσεις, ενώ η τιμή του συντελεστή e χρησιμοποιείται σαν ένας συνολικός δείκτης για

62 την εκτίμηση της ακρίβειας του προσομοιώματος. Από την άλλη πλευρά, η διακύμανση του συντελεστή f μεταξύ διαδοχικών βημάτων της απόκρισης επιτρέπει τον βηματικό έλεγχο της ικανότητας του προσομοιώματος ανάλυσης να αποδώσει την πραγματική συμπεριφορά του δοκιμίου που προκύπτει από το πείραμα. Τέσσερις (4) επιπλέον ποσότητες υπολογίζονται με βάση τον συντελεστή f : - Η διάμεσος των θετικών τιμών του δείκτη f (median f + ), ως ένα μέτρο του βαθμού υπερτίμησης της τέμνουσας βάσης από το προσομοίωμα ανάλυσης - Η διάμεσος των αρνητικών τιμών του δείκτη f (median f - ), ως ένα μέτρο του βαθμού υποτίμησης της τέμνουσας βάσης από το προσομοίωμα ανάλυσης - Η μέγιστη και ελάχιστη τιμή του δείκτη f (max & min), που αποτελούν μέτρο του μέγιστου σφάλματος στον υπολογισμό της τέμνουσας βάσης από το προσομοίωμα ανάλυσης Στο σημείο αυτό πρέπει να σημειωθεί ότι ο υπολογισμός των τεσσάρων συντελεστών που ορίζονται παραπάνω γίνεται αφού αποκλειστούν κάποιοι από τους πρώτους (πριν το πλαίσιο αναπτύξει την πλήρη αντοχή του) και τους τελευταίους κύκλους της απόκρισης (οπότε κυριαρχούν φαινόμενα διατμητικής φύσης στο περιβάλλον πλαίσιο Ο.Σ.). Στην επόμενη ενότητα παρουσιάζονται τα αποτελέσματα των αναλύσεων για κάθε δοκίμιο και συγκρίνονται με αντίστοιχα πειραματικά δεδομένα. Ο σχολιασμός της αποτελεσματικότητας του εκάστοτε προσομοιώματος γίνεται σύμφωνα με τη μέθοδο που περιγράφεται στις προηγούμενες παραγράφους, λαμβάνοντας υπόψη και τα ιδιαίτερα χαρακτηριστικά της απόκρισης του κάθε δοκιμίου. 4.4. ΣΥΓΚΡΙΤΙΚΑ ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑΤΑ ΑΝΑΛΥΣΕΩΝ 4.4.1. Δοκίμιο Pires, M2 Αρχικά, εξετάζεται το δοκίμιο Μ2 από την σειρά πειραμάτων της Pires. Στο εν λόγω πείραμα, το πλαίσιο Ο.Σ. παρουσίασε γενικά καμπτική συμπεριφορά, η οποία μπορεί να περιγραφεί με ικανοποιητική ακρίβεια με τα προσομοιώματα ινών που υιοθετούνται στην παρούσα εργασία. Παρόλα αυτά, σε επίπεδα IDR +1.1%, +1.7% και -1.7% οι διαγώνιες ρωγμές που έχουν αναπτυχθεί στην τοιχοποιία αρχίζουν να επεκτείνονται σταδιακά στη βάση του αριστερά υποστυλώματος, στην κορυφή του δεξιά υποστυλώματος και στην βάση του αριστερά υποστυλώματος αντίστοιχα. Από εκεί και πέρα η βλάβη επικεντρώνεται κοντά στους κόμβους, οδηγώντας τελικά στην αστοχία του πλαισίου.

63 Όπως φαίνεται στο Σχ.4.2, η ανάλυση αποδίδει με αρκετά καλή ακρίβεια την πειραματική απόκριση του δοκιμίου. Ο υπολογισμός της διακύμανσης του δείκτη f (Σχ.4.3) επιτρέπει μια πιο λεπτομερή εκτίμηση της αποτελεσματικότητας του προσομοιώματος. Αφού αποκλειστούν τα σκιασμένα τμήματα της απόκρισης, υπολογίζονται: (i) η διάμεσος των θετικών τιμών του δείκτη f(median + )=1.9%, (ii) η διάμεσος των αρνητικών τιμών του δείκτη f(median - )=-6.%, (iii) η μέγιστη τιμή f(max)= 11% και (iv) η ελάχιστη τιμή f(min)=-24%. Τα δύο πρώτα μεγέθη αποτελούν μέτρο του ποσοστού υπερτίμησης και υποτίμησης της τέμνουσας βάσης από την ανάλυση. Παρατηρούμε ότι και τα δύο μεγέθη κυμαίνονται σε χαμηλά επίπεδα, ενώ γενικά το προσομοίωμα τείνει να υποτιμά την πραγματική αντοχή του δοκιμίου. Όσον αφορά τις τιμές του μέγιστου/ελάχιστου υποδηλώνουν ότι υπάρχουν σημεία στην ιστορία της απόκρισης για τα οποία η πρόβλεψη της τέμνουσας βάσης διαφέρει σημαντικά από την αντίστοιχη πειραματική τιμή. Τα σημεία αυτά συνήθως εμφανίζονται στην αρχική φάση της αποφόρτισης/επαναφόρτισης και εξαλείφονται μετά από κάποια βήματα. Στο Σχ.4.4 απεικονίζεται η αθροιστική ενέργεια παραμόρφωσης που απορροφάται από το σύστημα τόσο στο πείραμα όσο και στην ανάλυση. Είναι εμφανής η τάση του αναλυτικού προσομοιώματος να υποτιμά την ενέργεια που απορροφάται από το τοιχοπληρωμένο πλαισιο. Το μέσο σφάλμα, e, που ορίζεται σύμφωνα με την Εξ.4.2, υπολογίζεται ίσο με 14%, τιμή η οποία μπορεί να θεωρηθεί αποδεκτή. 12 Tέμνουσα βάσης, V b (kn) 8 4-4 -8 Aνάλυση Πείραμα -12 -.6 -.4 -.2.2.4.6 IDR = δ/h (-) Σχήμα 4.2 Pires M2, Αναλυτική και πειραματική απόκριση δοκιμίου

64 Σχήμα 4.3 Pires M2, Διακύμανση δείκτη f 4 Ενέργεια, S [knm] 3 2 e = 14. % 1 Aνάλυση Πείραμα 1 2 3 4 5 6 7 8 Ψευδο-χρόνος, t Σχήμα 4.4 Pires M2, Συσσωρευτική ενέργεια παραμόρφωσης 4.4.2. Δοκίμιο Pires, M3 Ανάλογη συμπεριφορά παρουσιάζει και το δοκίμιο Μ3, με το πλαίσιο Ο.Σ. να αναπτύσσει ρωγμές καμπτικής φύσης. Οι ρωγμές εδώ είναι περισσότερο εκτεταμένες σε σχέση με την περίπτωση του δοκιμίου Μ2, γεγονός που μπορεί να αποδοθεί στον μειωμένο βαθμό περίσφιγξης των μελών Ο.Σ.. Οι βλάβες στην τοιχοποιία ξεκινούν με την κλιμάκωση ρωγμών κατά μήκος των αρμών και συνεχίζονται με την αποκόλληση από το περιβάλλον πλαίσιο και την θραύση των τούβλων σε επιλεγμένες θέσεις. Τελικά, η αστοχία επέρχεται σε επίπεδο IDR=±6.%, καθώς διογκώνονται οι ρωγμές που έχουν αναπτυχθεί στο ¼ του ύψους των υποστυλωμάτων εξαιτίας της δράσης του διαγώνιου θλιπτήρα.

65 Στο Σχ. 4.5 παρουσιάζεται η πειραματική και η αναλυτική απόκριση του δοκιμίου Μ3 σε όρους τέμνουσα βάσης-μετατόπισης οροφής. Παρατηρείται ότι το αναλυτικό προσομοίωμα περιγράφει με ικανοποιητικό βαθμό ακρίβειας την πειραματική απόκριση του δοκιμίου, παρά την προφανή ασυμμετρία της τελευταίας. Η διακύμανση του δείκτη f απεικονίζεται στο Σχ.4.6, ενώ υπολογίζονται τα μεγέθη: (i) f(median + )=3.5%, (ii) f(median - )=-6.4%, (iii) f(max)= 2% και (iv) f(min)=-24%. Οι διάμεσοι των θετικών και των αρνητικών τιμών του δείκτη f κυμαίνονται σε χαμηλά επίπεδα επιβεβαιώνοντας την αξιοπιστία του προσομοιώματος. Το εύρος της διακύμανσης (-.24,.2) υποδηλώνει ότι και εδώ υπάρχουν σημεία για τα οποία η διαφορά των πειραματικών και αναλυτικών τιμών της τέμνουσας βάσης είναι σημαντική. Όπως προαναφέρθηκε στην περίπτωση του δοκιμίου Μ2, οι διαφορές αυτές απαντώνται κυρίως στα πρώτα στάδια αποφόρτισης/ επαναφόρτισης. Κάποιες διαφορές παρατηρούνται, ακόμη, καθώς το δοκίμιο διέρχεται από τη θέση ισορροπίας και μέχρι η διαγώνιος που προηγουμένως καταπονείται σε εφελκυσμό, αρχίσει να αναπτύσσει θλιπτικές τάσεις συνεισφέροντας στη συνολική αντοχή και δυσκαμψία του δοκιμίου. Από τη σύγκριση της αθροιστικής ενέργειας παραμόρφωσης που απορροφάται στο πείραμα και στην ανάλυση (Σχ.4.7), προκύπτει ότι το προσομοίωμα ανάλυσης είναι συντηρητικό έναντι του πειραματικού δοκιμίου. Το μέσο σφάλμα, e, στην περίπτωση του δοκιμίου Μ3 υπολογίζεται ίσο με 13.1%, ελαφρώς μειωμένο σε σχέση με την περίπτωση του δοκιμίου Μ2. 12 Tέμνουσα βάσης, V b (kn) 8 4-4 -8 Aνάλυση Πείραμα -12 -.6 -.4 -.2.2.4.6 IDR = δ/h (-) Σχήμα 4.5 Pires M3, Αναλυτική και πειραματική απόκριση δοκιμίου

66 Σχήμα 4.6 Pires M3, Διακύμανση δείκτη f 4 Ενέργεια, S [knm] 3 2 e = 13.1 % 1 Aνάλυση Πείραμα 1 2 3 4 5 6 7 8 Ψευδο-χρόνος, t Σχήμα 4.7 Pires M3, Συσσωρευτική ενέργεια παραμόρφωσης 4.4.3. Δοκίμιο Pires, M4 Τόσο το σκυρόδεμα του περιβάλλοντος πλαισίου Ο.Σ. όσο και η τοιχοποιία που χρησιμοποιείται για την κατασκευή του δοκιμίου Μ4 παρουσιάζουν υψηλότερες τιμές αντοχής σε σχέση με τα προηγούμενα δύο δοκίμια. Ακόμη, πρέπει να σημειωθεί ότι η κατασκευή του τοίχου πλήρωσης στην εν λόγω περίπτωση έγινε πριν από την κατασκευή του περιβάλλοντος πλαισίου, ενώ η κατασκευαστική πρακτική που εφαρμόστηκε διασφάλισε υψηλότερο βαθμό «μονολιθικότητας» μεταξύ του τοίχου και του περιβάλλοντος πλαισίου, διαφορά που αντικατοπτρίζεται στην απόκριση του δοκιμίου. Ανάμεσα στην τοιχοπλήρωση και στα υποστυλώματα παρεμβάλλεται στρώση σκυροδέματος περίπου 15cm, η οποία με εξαίρεση την περιοχή κοντά στις γωνίες έμεινε ουσιαστικά ανέπαφη. Η βλάβη επικεντρώθηκε στην τοιχοποιία, και ιδιαίτερα στην

67 περιοχή που ο τοίχος πλήρωσης γειτνιάζει με την στρώση σκυροδέματος, οδηγώντας σταδιακά στην πλήρη αστοχία του τοίχου. Όπως φαίνεται στο Σχ. 4.8, το αναλυτικό προσομοίωμα περιγράφει με ικανοποιητική ακρίβεια την συμπεριφορά και του εν λόγω δοκιμίου. Η διακύμανση του δείκτη f για το δοκίμιο Μ4 της σειράς πειραμάτων της Pires, παρουσιάζεται στο Σχ.4.9, ενώ υπολογίζονται τα μεγέθη: (i) f(median + )=2.6%, (ii) f(median - )=-4.2%, (iii) f(max)= 15% και (iv) f(min)=-27%. Σημειώνεται ότι τα μεγέθη διατηρούνται σε χαμηλά ποσοστά όπως και στα προηγούμενα δοκίμια. Η αθροιστική ενέργεια παραμόρφωσης που απορροφάται από το σύστημα στο πείραμα και στην ανάλυση απεικονίζεται στο Σχ. 4.1. Το μέσο σφάλμα, e, υπολογίζεται ίσο με 1.5%, αποδεικνύοντας την ικανότητα του προσομοιώματος να αποδώσει την συμπεριφορά του δοκιμίου ακόμη και σε όρους ενέργειας. Βέβαια στην περίπτωση του προσομοιώματος του δοκιμίου Μ4, η ανάλυση υπερτιμά την ενέργεια που απορροφάται από το σύστημα, γεγονός που εναντιώνεται στις απαιτήσεις ασφαλείας (είτε σε φάση σχεδιασμού είτε σε φάση αποτίμησης). 165 Tέμνουσα βάσης, V b (kn) 11 55-55 -11 Aνάλυση Πείραμα -165 -.6 -.4 -.2.2.4.6 IDR = δ/h (-) Σχήμα 4.8 Pires M4, Αναλυτική και πειραματική απόκριση δοκιμίου

68 Σχήμα 4.9 Pires M4, Διακύμανση δείκτη f 4 Ενέργεια, S [knm] 3 2 e = 1.5 % 1 Aνάλυση Πείραμα 1 2 3 4 5 6 7 8 Ψευδο-χρόνος, t Σχήμα 4.1 Pires M4, Συσσωρευτική ενέργεια παραμόρφωσης 4.4.4. Δοκίμιο Pires, M6 Το δοκίμιο Μ6 χαρακτηρίζεται από τοιχοποιία σχετικά υψηλής αντοχής συγκριτικά με τα δοκίμια Μ2 και Μ3, ωστόσο το ποσοστό του διαμήκους οπλισμού είναι χαμηλότερο (Πιν.4.2). Το δοκίμιο παρουσιάζει σημαντικές ρωγμές λόγω κάμψης στα υποστυλώματα, ενώ εκτεταμένες βλάβες εντοπίζονται στην τοιχοποιία λόγω διαγώνιας θλίψης/ εφελκυσμού. Τελικά η αστοχία επέρχεται με το σχηματισμό πλαστικής άρθρωσης στο 1/3 του ύψους (από τη βάση) του αριστερά υποστυλώματος. Στο Σχ.4.11 συγκρίνεται η απόκριση του δοκιμίου στο πείραμα και στην ανάλυση, ενώ στο Σχ. 4.12 παρουσιάζεται η διακύμανση του δείκτη f. Οι τιμές των διαμέσων και των μεγίστων/ελαχίστων του δείκτη f υπολογίζονται ως εξής: (i) f(median + )=2.6%, (ii) f(median - )=-4.5%, (iii) f(max)= 11% και (iv) f(min)=-28%, υποδεικνύοντας αρκετά καλή

69 συμφωνία μεταξύ πειράματος και ανάλυσης σε όρους δυνάμεων και δυσκαμψίας. Η σύγκριση της αθροιστικής ενέργειας παραμόρφωσης παρουσιάζεται στο Σχ. 4.13, όπου παρατηρείται ότι ενώ στα πρώτα στάδια της απόκρισης το προσομοίωμα τείνει να υπερτιμά την ενέργεια που απορροφάται από το σύστημα, με την εξέλιξη της φόρτισης το πείραμα επιδεικνύει μεγαλύτερη ικανότητα απορρόφησης ενέργειας σε σχέση με την ανάλυση. Τελικά το μέσο σφάλμα, e, περιορίζεται σε ποσοστό 5.6%. 15 Tέμνουσα βάσης, V b (kn) 1 5-5 -1 Aνάλυση Πείραμα -15 -.6 -.4 -.2.2.4.6 IDR = δ/h (-) Σχήμα 4.11 Pires M6, Αναλυτική και πειραματική απόκριση δοκιμίου Σχήμα 4.12 Pires M6, Διακύμανση δείκτη f

7 4 Ενέργεια, S [knm] 3 2 e = 5.6 % 1 Aνάλυση Πείραμα 1 2 3 4 5 6 7 8 Ψευδο-χρόνος, t Σχήμα 4.13 Pires M6, Συσσωρευτική ενέργεια παραμόρφωσης 4.4.5. Δοκίμιο Colorado, T1 Όπως προαναφέρθηκε, το δοκίμιο Τ1 που κατασκευάστηκε στο Πανεπιστήμιο του Κολοράντο, φέρει τοιχοποιία από συμπαγή τούβλα, υψηλότερης αντοχής και δυσκαμψίας σε σχέση με τα δοκίμια της σειράς πειραμάτων της Pires. Το δοκίμιο Τ1 εμφανίζει παρόμοια συμπεριφορά με τα προηγούμενα δοκίμια της Pires στους πρώτους κύκλους φόρτισης, αποκόλληση από το περιβάλλον πλαίσιο κοντά στους κόμβους, διαγώνια ρηγμάτωση στην τοιχοποιία και καμπτικές ρωγμές στα υποστυλώματα. Όμως, σε επίπεδo IDR +.5% σχηματίζεται η πρώτη διατμητική ρωγμή στην κορυφή του αριστερά υποστυλώματος, ακολουθούμενη από την ανάπτυξη διατμητικών ρωγμών στη βάση του ίδιου (αριστερά) υποστυλώματος και στην κορυφή του απέναντι (δεξιά) υποστυλώματος σε IDR -.6%. Στον επόμενο κύκλο, IDR +.8%, ακόμη μία διατμητική ρωγμή ανοίγει στη βάση του δεξιά υποστυλώματος ολοκληρώνοντας το μηχανισμό αστοχίας του πλαισίου. Παρότι το προσομοίωμα ινών που χρησιμοποιείται για την περιγραφή της συμπεριφοράς των γραμμικών μελών Ο.Σ. αδυνατεί εξ ορισμού να περιγράψει διατμητικής φύσης φαινόμενα, όπως αυτά που λαμβάνουν χώρα στο πείραμα, η γενική εικόνα της αναλυτικής απόκρισης προσεγγίζει σε ικανοποιητικό βαθμό την πειραματική (Σχ.4.14). Τα μεγέθη: (i) f(median + )=3.%, (ii) f(median - )=-7.4%, (iii) f(max)= 18% και (iv) f(min)=- 27% και η μορφή της διακύμανσης του δείκτη f (Σχ.4.15), ενισχύουν τον παραπάνω ισχυρισμό. Στους πρώτους κύκλους της απόκρισης, η διαφορά στην τιμή της τέμνουσας βάσης είναι μεγαλύτερη την στιγμή που ξεκινά η αποφόρτιση/επαναφόρτιση, οπότε η ανάλυση παρουσιάζει σημαντικά μεγαλύτερη δυσκαμψία σε σχέση με το πείραμα. Στους μεγαλύτερους κύκλους, η διαφορά αναλυτικής-πειραματικής τέμνουσας βάσης

71 μεγιστοποιείται καθώς το δοκίμιο διέρχεται από τη θέση ισορροπίας του, όπου η στένωση των βρόγχων του αναλυτικού προσομοιώματος είναι εντονότερη σε σχέση με το πείραμα. Παρόλα αυτά, η περιβάλλουσα αντοχής του πλαισίου περιγράφεται με ικανοποιητική ακρίβεια. Ο υπολογισμός της αθροιστικής ενέργειας που απορροφάται από το σύστημα στην ανάλυση και στο πείραμα παρουσιάζεται συγκριτικά στο Σχ. 4.16. Το αναλυτικό προσομοίωμα αρχικά υποτιμά την ενέργεια που απορροφάται από το σύστημα, ακολουθεί ένα τμήμα της απόκρισης για το οποίο παρουσιάζεται υπερτίμηση της ενέργειας από το προσομοίωμα, ενώ τελικά με τη στένωση των βρόγχων του αναλυτικού προσομοιώματος προκύπτει υποτίμηση της απορροφώμενης ενέργειας. Το μέσο σφάλμα, e, υπολογίζεται ίσο με 5.6%. Στο σημείο αυτό επισημαίνεται ότι εξαιτίας της εγγενούς αδυναμίας των προσομοιωμάτων ινών να αναπαραστήσουν φαινόμενα διατμητικής φύσης όπως αυτά που καθορίζουν την συμπεριφορά των υποστυλωμάτων στο δοκιμίο Τ1, οποιαδήποτε συμπεράσματα προκύπτουν από το προσομοίωμα ανάλυσης για το εν λόγω δοκίμιο θα πρέπει να χρησιμοποιούνται με επιφύλαξη. Tέμνουσα βάσης, V b (kn) 8 6 4 2-2 -4-6 Aνάλυση Πείραμα -8 -.15 -.1 -.5.5.1.15 IDR = δ/h (-) Σχήμα 4.14 Colorado T1, Αναλυτική και πειραματική απόκριση δοκιμίου

72 Σχήμα 4.15 Colorado T1, Διακύμανση δείκτη f 8 Ενέργεια, S [knm] 6 4 e = 5.6 % 2 Aνάλυση Πείραμα 5 1 15 2 25 Ψευδο-χρόνος, t Σχήμα 4.16 Colorado T1, Συσσωρευτική ενέργεια παραμόρφωσης 4.4.6. Δοκίμιο Colorado, T2 Το τοιχοπληρωμένο πλαίσιο Ο.Σ. που εξετάζεται στην παρούσα ενότητα παρουσιάζει μία σημαντική διαφορά σε σχέση με τα προηγούμενα, καθώς περιλαμβάνει άνοιγμα διαστάσεων 89x51.4cm, τοποθετημένο έκκεντρα προς την πλευρά του αριστερά υποστυλώματος (Σχ.4.1ii). Αν και το προτεινόμενο προσομοίωμα έχει οριστεί στη βάση τοίχων πλήρωσης που καλύπτουν πλήρως το άνοιγμα μεταξύ των δύο υποστυλωμάτων του περιβάλλοντος πλαισίου, στο σημείο αυτό γίνεται μία προσπάθεια να καλυφθεί με προσεγγιστικό τρόπο και η περίπτωση της παρουσίας ανοιγμάτων. Η ύπαρξη του ανοίγματος διαφοροποιεί σημαντικά και την εξέλιξη της βλάβης στο δοκίμιο. Έτσι, για IDR +.25% εμφανίζονται οι πρώτες διαγώνιες ρωγμές στην τοιχοποιία με σημείο έναρξης τις γωνίες του ανοίγματος. Ενώ εξελίσσεται η βλάβη στον τοίχο

73 πλήρωσης με την αποκόλληση από το περιβάλλον πλαίσιο και την διεύρυνση των διαγώνιων ρωγμών, για IDR -.45% σχηματίζεται απότομα μία μεγάλου εύρους διαγώνια ρωγμή στην αριστερή πλευρά του τοίχου ξεκινώντας από την κάτω γωνία του ανοίγματος και τερματίζοντας στην κορυφή του αριστερά υποστυλώματος. Από το σημείο αυτό και μετά παρατηρείται σημαντική πτώση της αντοχής και της δυσκαμψίας του φορέα στην αρνητική διεύθυνση. Στους επόμενους κύκλους η βλάβη επεκτείνεται σε ολόκληρο το φορέα και σε IDR +.85% ανοίγει μία εκτενής διατμητική ρωγμή κοντά στο μέσο του αριστερά υποστυλώματος, οπότε και αρχίζει σημαντική πτώση της αντοχής και της δυσκαμψίας του συστήματος προς την θετική διεύθυνση. Από την παραπάνω περιγραφή γίνεται αντιληπτό ότι είναι δύσκολο να αποδοθεί η απόκριση του δοκιμίου με χρήση του προτεινόμενου προσομοιώματος, ακόμη κι αν παραληφθεί η επίδραση των φαινομένων διατμητικής φύσης που αναπτύσσονται στα υποστυλώματα. Η ύπαρξη του ανοίγματος διαφοροποιεί την συμπεριφορά στις δύο διευθύνσεις φόρτισης, ενώ η κατανομή της πλευρικής δυσκαμψίας σε δύο διαγώνια και ένα οριζόντιο ελατήριο παρουσιάζει λογικά κενά. Προκειμένου να καμφθούν με έναν έμμεσο και προσεγγιστικό τρόπο οι παραπάνω περιορισμοί, γίνονται οι εξής θεωρήσεις: - Το μέτρο διάτμησης μειώνεται στο 66% του αρχικού μέτρου διάτμησης που χρησιμοποιήθηκε στο προσομοίωμα του δοκιμίου T1 - Το τελικό εμβαδόν του διαγώνιου θλιπτήρα/ελκυστήρα μειώνεται σε ποσοστό 55% του αρχικού, έναντι 7% στο δοκίμιο T1 - Το ποσοστό της πλευρικής δυσκαμψίας που αποδίδεται στο διατμητικό ελατήριο μειώνεται στο 4% από 7% που υιοθετείται στην περίπτωση του δοκιμίου Τ1 Τελικά, όπως φαίνεται στο Σχ.4.16, η γενική συμπεριφορά του δοκιμίου περιγράφεται αρκετά καλά από το προσομοίωμα ανάλυσης. Η διακύμανση του δείκτη f παρουσιάζει κάποιες αυξομειώσεις (Σχ.4.17), με τα σχετικά μεγέθη να υπολογίζονται ως εξής: (i) f(median + )=3.5%, (ii) f(median - )=-9.1%, (iii) f(max)= 23% και (iv) f(min)=-36%. Η εκτίμηση της ενέργειας που απορροφάται από το σύστημα μπορεί να θεωρηθεί ικανοποιητική (Σχ.4.18), καθώς το μέσο σφάλμα, e, υπολογίζεται ίσο με 9.4%.

74 6 Tέμνουσα βάσης, V b (kn) 4 2-2 -4 Aνάλυση Πείραμα -6 -.2 -.15 -.1 -.5.5.1.15.2 IDR = δ/h (-) Σχήμα 4.16 Colorado T2, Αναλυτική και πειραματική απόκριση δοκιμίου Σχήμα 4.17 Colorado T2, Διακύμανση δείκτη f Ενέργεια, S [knm] 1 8 6 4 e = 9.4 % 2 Aνάλυση Πείραμα 5 1 15 2 25 3 35 Ψευδο-χρόνος, t Σχήμα 4.18 Colorado T2, Συσσωρευτική ενέργεια παραμόρφωσης

75 4.4.7. Δοκίμιο Koutas, U1 Στα μονώροφα πλαίσια που εξετάστηκαν παραπάνω προστίθεται ένα τριώροφο πλαίσιο Ο.Σ. το οποίο κατασκευάστηκε και υποβλήθηκε σε δοκιμή στατικά ανακυκλιζόμενης φόρτισης στο Εργαστήριο Κατασκευών του Πανεπιστημίου Πατρών. Η συμπεριφορά του πλαισίου, όπως αναμένεται, χαρακτηρίζεται από την συγκέντρωση της βλάβης στο επίπεδο του 1 ου ορόφου με τους ανώτερους ορόφους να παραμένουν σχεδόν ανέπαφοι. Η εξέλιξη της βλάβης ξεκίνησε με την ανάπτυξη κλιμακωτών ρωγμών κατά μήκος των δύο διαγωνίων, οι οποίες σταδιακά διευρύνθηκαν και επεκτάθηκαν στο εσωτερικό της τοιχοποιίας. Η ασύμμετρη απόκριση του δοκιμίου που απεικονίζεται στο Σχ.4.19, οφείλεται στην εμφάνιση διατμητικής ρωγμής στην κορυφή του δεξιά υποστυλώματος του 1 ου ορόφου για γωνιακή παραμόρφωση ορόφου ΙDR 1 =.75%. Ο τελευταίος κύκλος, πριν τον τερματισμό της δοκιμής, αντιστοιχεί σε θετική μετατόπιση +35.8mm (ΙDR 1 =2.%) και αρνητική μετατόπιση -49.7mm (ΙDR 1 =2.7%) στο επίπεδο του 1 ου ορόφου. Το αναλυτικό προσομοίωμα του 3-ώροφου δοκιμίου προκύπτει αναπαράγοντας το προσομοίωμα του μονώροφου τοιχοπληρωμένου πλαισίου καθ ύψος προκειμένου να αναπαρασταθούν οι τρεις όροφοι. Ορισμένες διαφορές στις ιδιότητες του προσομοιώματος των τοιχοπληρώσεων των ανώτερων ορόφων προκύπτουν λόγω της μείωσης του αξονικού φορτίου βαρύτητας. Οι πλευρικές δυνάμεις που ασκούνται στο επίπεδο του κάθε ορόφου θεωρείται ότι ακολουθούν τριγωνική κατανομή, οπότε αν ασκείται μοναδιαία ένταση στον 3 ο όροφο, οι δυνάμεις στον 2 ο και στον 1 ο όροφο υπολογίζονται ως 2/3 και 1/3 αντίστοιχα. Η ανάλυση πραγματοποιείται με έλεγχο των μετακινήσεων του 3 ου ορόφου, ανάλογα με την πειραματική πρακτική. Η συμπεριφορά του δοκιμίου στις αρνητικές τιμές μετατόπισης καθορίζεται από τη διατμητική αστοχία του υποστυλώματος και συνεπώς δεν μπορεί να αποδοθεί με καλή ακρίβεια από το αναλυτικό προσομοίωμα που χρησιμοποιήθηκε στην παρούσα εργασία. Παρόλα αυτά, η γενική εικόνα της συμπεριφοράς του πλαισίου στο προσομοίωμα ανάλυσης προσεγγίζει σε ικανοποιητικό βαθμό την πειραματική απόκριση, με τα μεγέθη που σχετίζονται με τον δείκτη f να παραμένουν σε χαμηλά επίπεδα: (i) f(median + )=6.2%, (ii) f(median - )=-6.5%, (iii) f(max)= 15% και (iv) f(min)=-25%. Η ενέργεια που απορροφάται από το σύστημα υπερτιμάται στο προσομοίωμα ανάλυσης (Σχ.4.21), ενώ το μέσο σφάλμα, e, υπολογίζεται ίσο με 12.5%.

76 3 Tέμνουσα βάσης, V b (kn) 2 1-1 -2 Aνάλυση Πείραμα -3 -.1 -.5.5.1 IDR = δ/h (-) Σχήμα 4.19 Koutas U1, Αναλυτική και πειραματική απόκριση δοκιμίου Ενέργεια, S [knm] 4 3 2 Σχήμα 4.2 Koutas U1, Διακύμανση δείκτη f e = 12.5 % 1 Aνάλυση Πείραμα 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Ψευδο-χρόνος, t Σχήμα 4.21 Koutas U1, Συσσωρευτική ενέργεια παραμόρφωσης