Fundamentals of Lasers Συνθήκη κατωφλίου: Ας υποθέσουμε ένα μέσο με καταστάσεις i> και k>, με ενέργειες Ε i, Ε k. Ένα Η/Μ κύμα που διαδίδεται σε αυτό το μέσο θα μεταβάλλει την έντασή του σύμφωνα με τη σχέση,, 0 όπου (ο εξαρτώμενος από τη συχνότητα) συντελεστής απορρόφησης a(v)=(ν i -(g i /g k )N k )σ(v) εξαρτάται από την ενεργό διατομή απορρόφησης ΚΑΙ τη διαφορά πληθυσμών. Εάν Ν k >(g k /g i )N i ο συντελεστής απορρόφησης παίρνει αρνητική τιμή και η ένταση του πεδίου δεν μειώνεται αλλά ενισχύεται. Ο συντελεστής ενίσχυσης (gain),, (1) όπου L το μήκος για το οποίο το Η/Μ πεδίο διαδίδεται στο αέριο. Όταν η συνθήκη Ν k >(g k /g i )N i ικανοποιείται λέμε ότι έχουμε αντιστροφή πληθυσμού. Ας φανταστούμε την κατάσταση μέσα σε ένα λέιζερ όπου κελί μήκους L που περιέχει αέριο με καταστάσεις i και k, είναι τοποθετημένο μέσα στην κοιλότητα λέιζερ (όπως στην εικόνα). Το αέριο σε αυτή την περίπτωση είναι το ενεργό υλικό του λέιζερ παραπάνω σχέση υπονοεί ότι εάν ο παράγοντας είναι θετικός τότε το Η/Μ πεδίο ενισχύεται, κάτι που δεν είναι σωστό εάν λάβουμε υπόψιν τις απώλειες που μπορεί να υπάρχουν μέσα στην κοιλότητα του λέιζερ. Αν συνοψίσουμε στον παράγοντα γ τις συνολικές απώλειες σε ανά round trip του φωτός στην κοιλότητα του λέιζερ η σχέση για την εξέλιξη της έντασης του Η/Μ πεδίου σε ένα round trip είναι,, 0. Έτσι η συνθήκη που χρειαζόμαστε για την ενύσχηση του φωτός σε κάθε διαδοχικό round trip είναι 2 2
Όπου Ν th ονομάζουμε τον πληθυσμό κατωφλίου (threshold) και την παραπάνω σχέση συνθήκη κατωφλίου. Ας θεωρήσουμε το σύστημα δύο σταθμών που φαίνεται δίπλα, το ποίο είναι αρκετά γενικό και χαρακτηριστικό για την περίπτωση των λέιζερ. Οι εξισώσεις ρυθμών μπορούν να γραφτούν ως (1) (2) (3) όπου η τρίτη εξίσωση έχει γραφτεί για τα φωτόνια που δημιουργούνται από τη διαδικασία και β ο ρυθμός με τον οποίο χάνονται (απώλειες). Χωρίς το ενεργό υλικό η εξίσωση για τον αριθμό των φωτονίων είναι 0. Για να συνδέσουμε με τον ρυθμό απωλειών που αναφερθήκαμε προηγουμένως εάν ο χρόνος που χρειάζεται για ένα round trip Τ = 2d/c τότε γ=βτ=2βd/c. Σε συνθήκες ισορροπίας (steady state) έχουμε 0. Προσθέτοντας τις 2 και 3 έχουμε ενώ προσθέτοντας τις 1 και 2 έχουμε που μας δίνει. Πολλαπλασιάζοντας τις 1 με R 2 και 2 R 1 παίρνουμε Αυτό σημαίνει ότι μια στατική αντιστροφή πληθυσμού ΔΝ stat >0 μπορεί να διατηρηθεί μονό αν R 1 >A 21. Επίσης επειδή και η εξαναγκασμένη εκπομπή συμμετέχει στην μείωση της αναστροφής πληθυσμού, η συνθήκη που πρέπει να ισχύει είναι R 1 >A 21 +Β 21 ρ. Για περισσότερες πληροφορίες βιβλίο «Laser Spectroscopy: Basic Concepts and Instrumentation» W. Demtroder, κεφάλαιο 5.
Κοιλότητες λέιζερ και συνθήκη σταθερότητας: Για να κατασκευάσουμε μια κοιλότητα λέιζερ χρειαζόμαστε δύο κάτοπτρα, αλλά τοποθετώντας δύο κάτοπτρα το ένα απέναντι στο άλλο δεν μας δίνει απαραίτητα κοιλότητα λέιζερ. Παρακάτω θα συνοψίσουμε τη συνθήκη που χρειάζεται αυτά τα κάτοπτρα (και η απόσταση ανάμεσά τους) να πληρούν για να αποτελούν κοιλότητα λέιζερ. Για να γίνει αυτό θα πρέπει να μπορούμε να μοντελοποιήσουμε το πως διαδίδεται ένα Η/Μ πεδίο σε ελεύθερη διάδοση και μετά από ανάκλαση ή εστίαση σε ένα φακό. Αυτή η μοντελοποίησης γίνεται με τη χρήση ενός φορμαλισμού που βασίζεται σε 2x2 πίνακες. Πίνακες διάδοσης: Ας δούμε την επόμενη εικόνα. Μια δέσμη διαδίδεται μεταξύ των σημείων 1 και 2 και ονομάζουμε r και r τη μετατόπιση από ένα συγκεκριμένο επίπεδο και την κλίση σε σχέση με αυτό. Ας θεωρήσουμε ότι όλες οι γωνίες και κλίσεις στο πρόβλημά μας είναι μικρές και ισχύει tanθ sinθ θ. Έτσι (r 2 -r 1 )/d=tanθr 2 - r 1 =dθ. Έτσι η απόσταση r 2 και η κλίση r 2 μετά από μετατόπιση d θα σχετίζονται με τα αρχικά ως εξής: r 2 =r 1 +dr 1 και r2 =0r 1 +r 2. Αυτές οι δύο σχέσεις μπορούν να γραφτούν με τη μορφή πίνακα : 1 0 1 Εάν η μετατόπιση γίνεται διαδοχικά από το σημείο 1 στο 2 και στο 3, όπως φαίνεται στην επόμενη εικόνα έχουμε 1 0 1 1 0 1 1 0 1 1 0 1 Ο πίνακας 1 είναι γενικός για κάθε μετατόπιση στην οποία το μέσο (η ακόμη καλύτερα ο 0 1 δείκτης διάθλασης του) δεν αλλάζει και ονομάζεται πίνακας μετατόπισης.
Ας μελετήσουμε την περίπτωση διάδοσης μέσα από λεπτό φακό, όπως φαίνεται στη διπλανή εικόνα. Ας θεωρήσουμε δύο περιπτώσεις: Στη μια η εισερχόμενη ακτίνα προσεγγίζει το φακό παράλληλα με τον άξονά του, και έτσι εστιάζεται σε απόσταση f όπου f η εστιακή απόσταση του φακού. Στην άλλη, η δέσμη ξεκινά από την εστία του φακού σε απόσταση f και στη συνέχεια διαδίδεται παράλληλα με τον άξονα του φακού. Στη γενικότερη περίπτωση η απόσταση της δέσμης από τον άξονα του φακού και η κλίση της συνδέονται με την αρχική απόσταση και την αρχική κλίση ως: Στην πρώτη περίπτωση η κλίση της ακτίνας γίνεται αλλά αυτή η κλίση είναι ίση με εξετάσουμε την δεύτερη περίπτωση όπου 0 1, από όπου συμπεραίνουμε ότι D=0 και C=-1/f. Τώρα ας 1 0 1 Έτσι ο πιο γενικός πίνακας διάδοσης για λεπτό φακό (που ικανοποιεί και αυτές τις δυο και όλες τι άλλες περιπτώσεις) είναι 1 1 Όταν μελετάμε την κατεύθυνση μετά από ανάκλαση από σφαιρικό κάτοπτρο με ακτίνα καμπυλότητας R o πίνακας είναι Σταθερότητα κοιλότητας: 2 1 1 1 Όταν μελετάμε την σταθερότητα μιας κοιλότητας που αποτελείται από δύο ή περισσότερα σφαιρικά ή επίπεδα κάτοπτρα, θα πρέπει α) να εντοπίσουμε το μοναδιαίο κελί της κοιλότητας β) να γράψουμε τον πίνακα μετάδοσης σε αυτό το κελί και γ) να εξετάσουμε εάν ισχύει να συνθήκη 1 1.
επιλογή αρκεί το πεδίο να βρίσκει για πρώτη φορά τον εαυτό του. α) Το μοναδιαίο κελί (unit cell) είναι η διαδρομή που ακολουθεί το Η/Μ πεδίο μέχρι να βρει τον εαυτό του (για την πρώτη φορά μόνο). Στη διπλανή εικόνα βλέπουμε μια κοιλότητα και ένα σχήμα που μας δείχνει την αναπαράστασή της (με φακούς στη θέση των κατόπτρων). Εκεί βλέπουμε ένα πιθανό μοναδιαίο κελί: μπορεί κανείς να κάνει μια άλλη β) Ο πίνακας διάδοσης μπορεί να γραφτεί για κάθε ένα από αυτά τα κελιά πολλαπλασιάζοντας τους πίνακες διάδοσης για τα σφαιρικά κάτοπτρα και για τις αντίστοιχες μετατοπίσεις. Προσοχή, γράφουμε τους πίνακες ξεκινώντας από τα δεξιά και πηγαίνοντας προς τα αριστερά για κάθε καινούργιο πίνακα (δες ασκήσεις). γ) η συνθήκη 1 1 εξασφαλίζει λύσεις που επαναλαμβάνονται για τα διαδοχικά round trips και δεν αποκλίνουν. Για διαφορετικές επιλογές μοναδιαίου κελιού τα στοιχεία πίνακα A, D μπορεί να είναι διαφορετικά, ωστόσο το άθροισμά τους θα είναι το ίδιο. Για την περίπτωση μόνο δύο κατόπτρων η συνθήκη μπορεί ναι γίνει : 0 1 όπου, 1., Στην επόμενη εικόνα βλέπουμε μια δισδιάστατη αναπαράσταση των συντελεστών : Η περιοχή όπου το γινόμενο είναι μικρότερο από ένα περιέχει όλες τις σταθερές κοιλότητες δύο κατόπτρων. Μερικές χαρακτηριστικές περιπτώσεις, συγκεκριμένα R=d (confocal) 2R=d (concentric or spherical), R 1 =R 2 = είναι τοποθετημένες στο γράφημα, το οποίο ονομάζεται γράφημα σταθερότητας (stability diagram) για κοιλότητες δυο κατόπτρων. Για περισσότερες πληροφορίες βιβλίο «Laser Electronics» J. T. Verdeyen, κεφάλαιο 2