ΣΕΝΑΡΙΟ 1 Ο ΤΟ ΠΥΘΑΓΟΡΕΙΟ ΘΕΩΡΗΜΑ Γνωστική περιοχή: Γεωµετρία Β Λυκείου Αναλογίες γεωµετρικών µεγεθών, Οµοιότητα τριγώνων, Εµβαδόν Τετραγώνου. Εµβαδόν Τριγώνου Βασικές γνώσεις Ευκλείδειας Γεωµετρίας Α Λυκείου Θέµα: To προτεινόµενο θέµα αφορά το Πυθαγόρειο Θεώρηµα Απόδειξη Γεωµετρική ερµηνεία Εφαρµογές - Επεκτάσεις Τεχνολογικά εργαλεία: To σενάριο προτείνεται να διεξαχθεί µε τη χρήση του λογισµικού Geogebra Σκεπτικό Βασική ιδέα: Οι µαθητές µε τη βοήθεια της ψηφιακής τεχνολογίας θα διερευνήσουν και θα ανακαλύψουν το Πυθαγόρειο θεώρηµα, δηλαδή τη σχέση που έχουν τα εµβαδά των τετραγώνων των δύο καθέτων πλευρών ενός τριγώνου µε το τετράγωνο της υποτείνουσας του. Προστιθέµενη αξία. To προτεινόµενο εκπαιδευτικό σενάριο δεν αποτελεί µόνο µια καινοτοµία στο παραδοσιακό πλαίσιο της διδασκαλίας της συγκεκριµένης ενότητας των Μαθηµατικών αλλά φιλοδοξεί να έχει και ευρύτερες επιρροές. Συγκεκριµένα: Φιλοδοξεί να συµβάλει στην αλλαγή - βελτίωση της στάσης των µαθητών απέναντι στα Μαθηµατικά και στη διαδικασία προσέγγισής τους. [1]
Οι µαθητές αναµένεται να συνειδητοποιήσουν ότι τα Μαθηµατικά µπορούν να αποτελέσουν αντικείµενο διερεύνησης και µάλιστα κάθε µαθητής µπορεί να δοκιµάσει στο πλαίσιο αυτό τις δικές του ιδέες και να καταλήξει στα δικά του συµπεράσµατα τα οποία πρέπει να έχουν την ανάλογη κοινωνική αποδοχή (στο πλαίσιο της τάξης) και την επιστηµονική τεκµηρίωση. Η χρήση των τεχνολογικών εργαλείων αναµένεται να διευκολύνει σηµαντικά προς αυτή τη κατεύθυνση. Η εργασία των µαθητών σε οµάδες και η στενή, συνεχής και συγκροτηµένη συνεργασία µεταξύ των µαθητών της κάθε οµάδας προφανώς θα συµβάλει στην αλλαγή της στάσης τους απέναντι στη µάθηση. Ο εκπαιδευτικός που θα εντάξει στην διδασκαλία του το προτεινόµενο σενάριο θα έχει την ευκαιρία να δοκιµάσει σύγχρονες διδακτικές και παιδαγωγικές µεθόδους οι οποίες θα συµβάλουν στην βελτίωση της στάσης του απέναντι στη καθηµερινή σχολική διαδικασία. Θα διδάξει σηµαντικές έννοιες των Μαθηµατικών στο πλαίσιο του σεναρίου το οποίο προβλέπει ατµόσφαιρα ερευνητικού εργαστηρίου. Η συµβολή του σ' αυτό απαιτεί αλλαγή του ρόλου του και από παραδοσιακός καθηγητής µετωπικών διδασκαλιών και αυθεντία της γνώσης, καλείται να γίνει συνεργάτης των µαθητών του, σηµείο αναφοράς της τάξης του ως προς την καθοδήγηση της έρευνας και την επιστηµονική εγκυρότητα των συµπερασµάτων των µαθητών αλλά και ερευνητής ο ίδιος. Σ' ένα σχολείο στο οποίο εφαρµόζονται εκπαιδευτικά σενάρια όπως το προτεινόµενο απαιτείται απ' όλη τη σχολική κοινότητα µια ευρύτερη αποδοχή της αλλαγής των ρόλων των µαθητών και των εκπαιδευτικών. Η διεύθυνση του σχολείου θα πρέπει να γνωρίζει ότι η εφαρµογή σύγχρονων µεθόδων διδασκαλίας µε την βοήθεια της Ψηφιακής Τεχνολογίας απαιτεί µια άλλη στάση απέναντι στη λειτουργία του σχολείου. Για παράδειγµα ίσως χρειαστεί µερικές οµάδες µαθητών να συναντηθούν και να εργαστούν στο σχολείο πέραν του κλασικού ωραρίου. Αυτό πρέπει κατά κάποιο τρόπο να διασφαλιστεί και οι µαθητές να ενθαρρυνθούν σε κάθε προσπάθεια χρήσης των τεχνολογικών µέσων προς την κατεύθυνση της µάθησης και της διδασκαλίας. Έτσι βελτιώνεται η σχολική ζωή και το σχολείο αποκτά ένα πιο συγκεκριµένο ρόλο στο πλαίσιο της κοινωνίας. Η εφαρµογή του προτεινόµενου εκπαιδευτικού σεναρίου αναµένεται να συµβάλει προς αυτή τη κατεύθυνση. Πλαίσιο εφαρµογής: Σε ποιους απευθύνεται: To σενάριο απευθύνεται στους µαθητές της Β Λυκείου. Χρόνος υλοποίησης: Για την εφαρµογή του σεναρίου εκτιµάται ότι απαιτούνται 3 διδακτικές ώρες. [2]
Χώρος υλοποίησης: To σενάριο προτείνεται να διεξαχθεί εξ' ολοκλήρου στο εργαστήριο υπολογιστών. ωστόσο αν ο εκπαιδευτικός αποφασίσει να διδάξει ένα µέρος του στο εργαστήριο και το υπόλοιπο στην σχολική αίθουσα µε τη χρήση ενός υπολογιστή και βιντεοπροβολέα ή το υπόλοιπο να δοθεί υπό τη µορφή εργασίας στον ελεύθερο χρόνο θα πρέπει να προσαρµόσει ανάλογα τις δραστηριότητες και να εκπονήσει τα κατάλληλα φύλλα εργασίας. Προαπαιτούµενες γνώσεις: Οι µαθητές πρέπει να γνωρίζουν: Τους τύπους υπολογισµού του εµβαδού τετραγώνου, ορθογωνίου παραλληλογράµµου, τριγώνου. Την οµοιότητα τριγώνων καθώς επίσης και τη σχέση µεταξύ των οµόλογων πλευρών τους. Στοιχειώδη χειρισµό του προγράµµατος Geogebra Απαιτούµενα βοηθητικά υλικά και εργαλεία: Στους µαθητές θα δοθούν κατάλληλα φύλλα εργασίας που θα εκπονήσει ο διδάσκων και αναλυτικές οδηγίες (προφορικά ή γραπτά) για την υλοποίηση του σεναρίου. Κοινωνική ενορχήστρωση της τάξης Οι µαθητές εργαζόµενοι σε οµάδες και καθοδηγούµενοι από φύλλο εργασίας, καλούνται να κατασκευάσουν και να εξερευνήσουν συγκεκριµένα σχήµατα και να απαντήσουν σε συγκεκριµένες ερωτήσεις. Εποµένως η διερεύνηση αυτή θα γίνει συνεργατικά. Για να υπάρχει κοινός στόχος και καλή συνεργασία οι µαθητές καλούνται να συµπληρώσουν ένα κοινό φύλλο εργασίας που περιέχει ερωτήσεις σχετικές µε το θέµα. Φυσικά το φύλλο εργασίας αυτό θα πρέπει να αφήνει µια αρκετά µεγάλη ελευθερία στους µαθητές ώστε να θέτουν τα δικά τους ερωτήµατα και να απαντούν σ' αυτά. Στη διάρκεια της υλοποίησης του σεναρίου ο εκπαιδευτικός θα πρέπει να εργάζεται παράλληλα µε τους µαθητές στον δικό του υπολογιστή και µε χρήση του βιντεοπροβολέα να καθοδηγεί τους µαθητές. Επίσης να ελέγχει τα συµπεράσµατα των µαθητών, να συνεργάζεται µαζί τους, ώστε να αντιλαµβάνονται καλύτερα τα αποτελέσµατά τους και να τους ενθαρρύνει να συνεχίσουν την διερεύνηση. Στόχοι: Από την εφαρµογή του συγκεκριµένου σεναρίου οι µαθητές θα µάθουν να ανακαλύπτουν τη γνώση συνεργατικά. Επίσης µε τη βοήθεια των προτεινόµενων εργαλείων θα µάθουν να διερευνούν µε δυναµικό τρόπο τα γεωµετρικά σχήµατα που οι ίδιοι [3]
κατασκευάζουν και θα µπορούν έτσι να κάνουν διάφορες εικασίες και υποθέσεις σχετικές µε τα υπό διερεύνηση θέµατα. Πιο συγκεκριµένα οι µαθητές µετά την ολοκλήρωση αυτής της διδασκαλίας: Θα έχουν διερευνήσει τη σχέση που συνδέει τα εµβαδά των τετραγώνων που σχηµατίζονται εξωτερικά των πλευρών ορθογωνίου τριγώνου και έτσι θα έχουν τη γεωµετρική ερµηνεία του πυθαγορείου θεωρήµατος Θα έχουν αποδείξει το πυθαγόρειο θεώρηµα τόσο αλγεβρικά όσο και γεωµετρικά καθώς επίσης θα έχουν δει και τη γεωµετρική ερµηνεία των αποδείξεων αυτών. Θα έχουν εφαρµόσει το Πυθαγόρειο Θεώρηµα στον υπολογισµό του µήκους ενός τµήµατος αρκεί αυτό να είναι ή να το καταστήσουν πλευρά ορθογώνιου τριγώνου µε γνωστές τις άλλες δύο πλευρές. Θα έχουν επεκτείνει την βασική ιδέα του πυθαγορείου θεωρήµατος και σε κανονικά πολύγωνα. Θα έχουν εφαρµόσει το πυθαγόρειο θεώρηµα στην κατασκευή τµηµάτων µε µήκος άρρητο αριθµό (µη υπερβατικό) της µορφής 2, 3 κλπ Ανάλυση του σεναρίου Ροή εφαρµογής των δραστηριοτήτων Οι µαθητές κατά την εκτέλεση αυτού του σεναρίου όπως αυτό περιγράφεται στα παρακάτω φύλλα εργασίας (ένα για κάθε διδακτική ώρα) θα εµπλακούν στις παρακάτω δραστηριότητες: ραστηριότητα 1 η : Θα ανακαλύψουν γεωµετρικά την ισχύ του πυθαγόρειου θεωρήµατος. Ο εκπαιδευτικός θα κατασκευάσει το αρχείο λογισµικού «πυθαγόρειο1.ggb» και θα ζητήσει από τους µαθητές να το ανοίξουν. Αρχικά θα ζητήσει από τους µαθητές να δώσουν στις κάθετες πλευρές του ορθογώνιου τριγώνου τις τιµές β = 4 και γ = 3 και να εµφανίσουν τα τετράγωνα των καθέτων πλευρών καθώς επίσης και το τετράγωνο της υποτείνουσας και να εµφανίσουν τις µετρήσεις των εµβαδών τους. Έπειτα θα τους ζητήσει να συγκρίνουν το άθροισµα των εµβαδών των τετραγώνων των καθέτων µε το τετράγωνο της υποτείνουσας. [4]
Έπειτα ο εκπαιδευτικός θα ζητήσει από τους µαθητές να µεταβάλλουν τα µήκη των πλευρών του ορθογώνιου τριγώνου και να ελέγχουν κάθε φορά την ισχύ του θεωρήµατος Οι µαθητές αναµένεται να διαπιστώσουν την ισχύ του Πυθαγορείου θεωρήµατος και θα τους ζητηθεί να διατυπώσουν λεκτικά και αλγεβρικά αυτήν τους την εικασία. [5]
ραστηριότητα 2 η : Θα εφαρµόσουν το πυθαγόρειο θεώρηµα για τον υπολογισµό του µήκους ενός ευθύγραµµου τµήµατος µέσω τριών εφαρµογών. Στον υπολογισµό του µήκους της διαγωνίου ενός τετραγώνου συναρτήσει της πλευράς του. Στον υπολογισµό του ύψους ισόπλευρου τριγώνου συναρτήσει της πλευράς του. Στον υπολογισµό του κοινού εφαπτόµενου τµήµατος δύο εφαπτόµενων εξωτερικά κύκλων. ραστηριότητα 3 η : Μέσω της εργασίας που θα τους δοθεί θα διαπιστώσουν πως η εφαρµογή του πυθαγορείου θεωρήµατος µπορεί να βοηθήσει στην κατασκευή ευθύγραµµου τµήµατος µε µήκος άρρητο αριθµό ( 2, 3 κλπ ) καθώς επίσης και στην εύρεση πυθαγόρειων τριάδων ( α= 5λ, β= 4λ και γ= 3λ, λ>0 καθώς επίσης 2 2 2 2 α= κ + λ, β= 2κλ και γ= κ λ όπου κ και λ θετικοί ακέραιοι µε κ>λ ) ραστηριότητα 4 η : Θα αποδείξουν το Πυθαγόρειο θεώρηµα. Αρχικά µε χρήση της οµοιότητας τριγώνων θα αποδείξουν ότι σε κάθε ορθογώνιο 2 2 τρίγωνο ΑΒΓ ισχύουν οι σχέσεις: ΑΒ = ΒΓ Β και ΑΓ = ΒΓ Γ όπου το ίχνος του ύψους προς την υποτείνουσα. Ο εκπαιδευτικός θα κατασκευάσει το αρχείο λογισµικού «πυθαγόρειο2.ggb» και θα ζητήσει από τους µαθητές να το ανοίξουν. Θα εµφανιστεί τότε στην οθόνη το παρακάτω σχήµα στο οποίο θα διαπιστώσουν 2 2 την γεωµετρική ερµηνεία των συµπερασµάτων: ΑΒ = ΒΓ Β και ΑΓ = ΒΓ Γ δηλαδή ότι το εµβαδόν του τετραγώνου µιας κάθετης είναι ίσο µε το εµβαδόν του ορθογωνίου µε πλευρές την υποτείνουσα και την προβολή της καθέτου στην υποτείνουσα. Με πρόσθεση κατά µέλη των παραπάνω σχέσεων θα αποδείξουν την αλγεβρική σχέση που εκφράζει το ΠΘ και θα έχουν και µια γεωµετρική εποπτεία του αποτελέσµατος. [6]
ραστηριότητα 5 η Θα ανακαλύψουν την επέκταση της ισχύος του πυθαγορείου Θεωρήµατος στην περίπτωση όπου εξωτερικά των πλευρών του ορθογώνιου τριγώνου κατασκευαστούν κανονικά πολύγωνα ίσου πλήθους πλευρών. Ο εκπαιδευτικός θα κατασκευάσει το αρχείο λογισµικού «πυθαγόρειο3.ggb» και θα ζητήσει από τους µαθητές να το ανοίξουν. Θα εµφανιστεί τότε στην οθόνη τους το παρακάτω σχήµα. Θα ζητηθεί από τους µαθητές να εµφανίσουν τις µετρήσεις των εµβαδών των ισόπλευρων τριγώνων και να συγκρίνουν το άθροισµα των εµβαδών των τριγώνων P και Q µε το εµβαδόν του τριγώνου S. Αφού διαπιστώσουν την ισότητα η οποία διατηρείται ακόµη κι αν µεταβάλλουµε τους δροµείς β και γ θα τους ζητηθεί να αποδείξουν το παραπάνω συµπέρασµα και οι µαθητές αναµένεται να πράξουν το εξής: 2 2 ( ) 2 2 2 2 2 γ 3 β 3 γ 3+ β 3 γ + β 3 α 3 E( P) + E( Q) = + = = = = Ε S 4 4 4 4 4 (σηµείωση : το εµβαδόν ενός ισόπλευρου τριγώνου πλευράς α έχει ήδη αποδειχθεί στο προηγούµενο µάθηµα) Έπειτα οι µαθητές µετακινώντας το δροµέα ν θα διαπιστώσουν διαισθητικά ότι αυτό ισχύει και σε οποιαδήποτε άλλη περίπτωση κανονικών πολυγώνων. (άλλωστε για ν = 4 έχουµε το γνωστό πυθαγόρειο θεώρηµα) ( ) [7]
ραστηριότητα 6 η : Θα ανακαλύψουν ακόµη µια απόδειξη του Πυθαγορείου Θεωρήµατος γεωµετρική η οποία αποδίδεται στους Κινέζους. Ο εκπαιδευτικός θα κατασκευάσει το αρχείο λογισµικού «πυθαγόρειο4.ggb» και θα ζητήσει από τους µαθητές να το ανοίξουν. Θα εµφανιστεί τότε στην οθόνη τους το παρακάτω σχήµα το οποίο αποτελείται από δύο ίσα τετράγωνα. Στο πρώτο είναι εγγεγραµµένο ένα άλλο τετράγωνο πλευράς α και συµπληρώνεται από τέσσερα ίσα ορθογώνια τρίγωνα µε πλευρές β και γ. Στο δεύτερο τετράγωνο κάνουµε κατάλληλη µετακίνηση των ορθογώνιων τριγώνων οπότε σχηµατίζονται δύο ακόµη τετράγωνα µε πλευρές β και γ αντίστοιχα. [8]
Θα ζητηθεί από τους µαθητές να µετακινήσουν το σηµείο Ε οπότε και θα µεταβάλλονται συγχρόνως και αναλόγως τα δύο σχήµατα. Έπειτα θα ζητηθεί από τους µαθητές να υπολογίσουν: α) Το συνολικό εµβαδόν του 1 ου τετραγώνου. Η αναµενόµενη απάντηση είναι : ( ) β) Το συνολικό εµβαδόν του 2 ου τετραγώνου. Η αναµενόµενη απάντηση είναι : ( ) 2 β γ ΑΒΓ = α + 4 2 2 2 β γ ΚΛΜΝ = β + γ + 4 2 γ) Να εξάγουν το συµπέρασµα από την ισότητα των δύο εµβαδών. Η αναµενόµενη απάντηση είναι 2 β γ α + 4 2 2 2 β γ = β + γ + 4 2 2 2 2 α = β + γ ραστηριότητα 7 η : Θα διαπιστώσουν καλυτερα την παραπάνω δραστηριότητα µε τη χρήση του αρχείου «πυθαγόρειο5.ggb» στο οποίο υπάρχει ενσωµατωµένη κίνηση και αναπαριστάνεται η κατάλληλη µετατόπιση των ορθογωνίων ώστε να προκύψει από το 1 ο τετράγωνο το 2 ο. Ο εκπαιδευτικός θα κατασκευάσει το αρχείο λογισµικού «πυθαγόρειο4.ggb» και θα ζητήσει από τους µαθητές να το ανοίξουν. Θα εµφανιστεί τότε στην οθόνη τους ένα ορθογώνιο τρίγωνο µε πλευρές α, β γ. Έπειτα θα ζητηθεί από τους µαθητές να πατήσουν το κουµπί βήµα 1 και έτσι θα εµφανιστεί το 1 ο τετράγωνο της προηγούµενης δραστηριότητας. Πατώντας το επόµενο κουµπί θα εµφανιστεί το εµβαδόν του. [9]
Πατώντας το κουµπί βήµα 2 θα εµφανιστεί ένας δροµέας κίνηση και κάνοντας χρήση της αυτόµατης κίνησης θα δουν την αναδιάταξη των ορθογωνίων τριγώνων οπότε και προκύπτει το ορθογώνιο 2. Πατώντας το επόµενο κουµπί θα εµφανιστεί το εµβαδόν του νέου τετραγώνου. Πατώντας το επόµενο κουµπί θα εµφανιστεί το συµπέρασµα από την ισότητα των δύο εµβαδών των τετραγώνων οπότε και προκύπτει το τελικό συµπέρασµα που είναι και η αλγεβρική έκφραση του πυθαγορείου θεωρήµατος. Τα εργαλεία που θα χρησιµοποιηθούν To σενάριο προτείνεται να διεξαχθεί µε τη χρήση του λογισµικού Geogebra. Μέσω των επιµέρους εργαλείων κατασκευής οι µαθητές θα κάνουν πειράµατα και θα διατυπώσουν εικασίες και υποθέσεις. Επίσης θα γίνει χρήση του βιντεοπροβολέα ώστε ο εκπαιδευτικός παράλληλα µε τους µαθητές να ακολουθεί τα βήµατα που θα αναφέρονται στο φύλλο εργασίας, ώστε να γίνει ο καλύτερος δυνατός συντονισµός. Επέκταση: Ως προς την επέκταση του πυθαγορείου θεωρήµατος οι µαθητές αναµένεται µε την δραστηριότητα 6 να αντιληφθούν ότι ισχύει παρόµοια σχέση για τα εµβαδά των κανονικών πολυγώνων που σχηµατίζονται εξωτερικά των πλευρών ενός ορθογώνιου τριγώνου. Αξιολόγηση µετά την εφαρµογή: Ως προς τις επιδιώξεις του σεναρίου: Ο εκπαιδευτικός ελέγχει κατά πόσο επιτεύχθηκαν οι στόχοι του σεναρίου και εξετάζει του λόγους για τους οποίους κάποιοι δεν επιτεύχθηκαν ώστε να παρέµβει ανάλογα στο σενάριο. [10]
Ως προς τα εργαλεία: Ο εκπαιδευτικός ελέγχει την ευκολία µε την οποία οι µαθητές αξιοποίησαν τα εργαλεία του προτεινόµενου λογισµικού σε συνδυασµό µε την σαφήνεια των οδηγιών του και των περιγραφών των φύλλων εργασίας. Αφού αξιολογήσει τα δεδοµένα του επεµβαίνει ανάλογα στο σενάριο για την επόµενη εφαρµογή. Ως προς την διαδικασία υλοποίησης Ο εκπαιδευτικός αξιολογεί την διαδικασία υλοποίησης του σεναρίου αξιολογώντας τα στοιχεία που δεν δούλεψαν καλά και προσαρµόζει το σενάριο. Ως προς την προσαρµογή και επεκτασιµότητα Η δυνατότητα επέκτασης του σεναρίου και η ευκολία προσαρµογής σε ένα σχολικό περιβάλλον ή στην διδακτική ατζέντα ενός εκπαιδευτικού ή στην κουλτούρα µιας σχολικής τάξης είναι ένα από τα στοιχεία που το καθιστούν σηµαντικό. Ο εκπαιδευτικός πρέπει να λάβει σοβαρά υπόψη του αυτές τις παραµέτρους και να προσαρµόσει το σενάριο ανάλογα. Ιδιαίτερα όταν εφαρµόσει το σενάριο πολλές φορές και σε διαφορετικές τάξεις ή ανταλλάξει ιδέες µε άλλους συναδέλφους του θα έχει δεδοµένα µε τα οποία θα µπορεί να κάνει ουσιαστικές προσαρµογές. ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ Βιβλίο οργανισµού για την Ευκλείδεια Γεωµετρία Α και Β Λυκείου ( Θωµα δης Ξένος Πούλος ) εκδόσεις ΖΗΤΗ 1999 Βιβλίο οργανισµού για την Ευκλείδεια Γεωµετρία Α και Β Λυκείου ( Αργυρόπουλος Βλάµος Κατσούλης Μαρκάτης - Σιδέρης ) Ο.Ε..Β 2001 Το βιβλίο του καθηγητή για τη διδασκαλία των µαθηµατικών στο Γυµνάσιο (Βλάµος ρούτσας Πρέσβης - Ρεκούµης ) Ο.Ε..Β 2007 Το βιβλίο του καθηγητή για τη διδασκαλία της Ευκλείδειας Γεωµετρίας στο Λύκειο ( Ελληνική Μαθηµατική Εταιρεία ) Αθήνα 2000 Οδηγίες µαθηµατικών Λυκείου από το Υ.ΠΑΙ.Θ.Π.Α (σχ. Έτος 2012-2013) Επιµορφωτικό Υλικό για την Επιµόρφωση των Εκπαιδευτικών στα Κ.Σ.Ε [11]
1 ο Φύλλο Εργασίας 1 η ιδακτική Ώρα (διερεύνηση και ανακάλυψη του Πυθαγόρειου θεωρήµατος απλές εφαρµογές) 1. Ανοίξτε το αρχείο Πυθαγόρειο 1.ggb του geogebra. Στην οθόνη σας θα εµφανιστεί ένα ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ ( ο Α= 90 ), εµφανίστε τα τετράγωνα εξωτερικά των πλευρών του. Εµφανίστε τις µετρήσεις των εµβαδών τους και συγκρίνετε το άθροισµα των εµβαδών των τετραγώνων των καθέτων πλευρών µε το εµβαδόν του τετραγώνου της υποτείνουσας. Τι παρατηρείτε;...... 2. Σύρτε µε το ποντίκι τις κορυφές Β και Γ ώστε να µεταβληθούν τα µήκη των πλευρών του ορθογωνίου τριγώνου, άρα και τα εµβαδά των αντίστοιχων τετραγώνων. Τι παρατηρείται ότι συµβαίνει ; 3. Μπορείτε να διατυπώσετε µια εικασία; ( Πυθαγόρειο Θεώρηµα )... 3. Πως µπορούµε να εκφράσουµε το Πυθαγόρειο Θεώρηµα συναρτήσει των µέτρων α, β, γ των πλευρών του του ορθογωνίου τριγώνου; 4. Να υπολογιστεί η διαγώνιος του παρακάτω τετραγώνου συναρτήσει της πλευράς του α. [12]
5. Εάν γνωρίζουµε τις πλευρές α και β του ορθογωνίου τριγώνου πως µπορούµε να βρούµε την πλευρά γ ; 6. Έστω ένα ισόπλευρο τρίγωνο ΑΒΓ πλευράς α. Από την κορυφή Α φέρουµε το ύψος του Α. Ποια άλλη ιδιότητα έχει το τµήµα Α στο τρίγωνο ΑΒΓ;. Με τι είναι ίσα τα τµήµατα Β και Γ ;. Να υπολογιστεί µε τη βοήθεια του ΠΘ, συναρτήσει του µήκους α της πλευράς του ισοπλεύρου, το ύψος του υ = Α. 7. Στο διπλανό σχήµα έχουµε δύο εφαπτόµενους εξωτερικά κύκλους ( Κ, ρ) και (Λ, R) και το κοινό εξωτερικό εφαπτόµενο τµήµα ΒΓ = x. Θέλουµε να υπολογίσουµε το µήκος του τµήµατος ΒΓ σε σχέση µε τις ακτίνες ρ και R των δύο κύκλων Φέρτε τις ακτίνες ΚΒ και ΛΓ στα σηµεία επαφής Β και Γ. Τι παρατηρείτε για τις γωνίες που σχηµατίζονται ; Μπορούµε να υπολογίσουµε µε χρήση του Π.Θ το µήκος του τµήµατος ΒΓ αν φέρουµε την ΒΛ ή την ΚΓ; Γιατί;.. Φέρτε το κάθετο τµήµα ΚΖ από το Κ στην ΓΛ. Με τι ισούται το τµήµα ΛΖ; [13]
Ποια η σχέση µεταξύ των τµηµάτων ΒΓ και ΚΖ ; (Να δικαιολογήσετε την απάντηση σας) :.. Εφαρµόστε το Π.Θ στο τρίγωνο ΚΖΛ ώστε να υπολογιστεί το τµήµα ΚΖ συναρτήσει των ακτίνων ρ και R των δύο κύκλων... Ποιο είναι το µήκος του τµήµατος ΒΓ συναρτήσει των ακτίνων ρ και R των δύο κύκλων;. Εργασία για το σπίτι 1. Να υπολογιστεί συναρτήσει του α το µήκος του τµήµατος x στο παρακάτω σχήµα: 2. Να υπολογιστεί τα µήκη των τµηµάτων x, y, z στο παρακάτω σχήµα: ( γεωµετρική κατασκευή τµηµάτων µε µήκη 2, 3 κλπ ) [14]
3. Να υπολογιστεί το µήκος του τµήµατος ΑΚ στο παρακάτω σχήµα. 4. Να δειχθεί ότι το τρίγωνο ΑΒΓ µε πλευρές α= 5λ, β= 4λ και γ= 3λ, λ>0 είναι ορθογώνιο στο Α. (πυθαγόρειες τριάδες 1) 5. Να δειχθεί ότι το τρίγωνο ΑΒΓ µε πλευρές 2 2 2 2 α= κ + λ, β= 2κλ και γ= κ λ όπου κ και λ θετικοί ακέραιοι µε κ>λ είναι ορθογώνιο στο Α. (πυθαγόρειες τριάδες 2) Έπειτα να βρείτε για τυχαίες τιµές των κ και λ τρείς πυθαγόρειες τριάδες [15]
2 Ο Φύλλο Εργασίας 2 η ιδακτική Ώρα (Απόδειξη του Πυθαγόρειου θεωρήµατος) Έστω ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ ( ο Α= 90 ) και το ύψος του Α. 1. Τα τρίγωνα ΑΒ και ΑΒΓ είναι όµοια. Να γράψετε τα ζεύγη των ίσων γωνιών και να αιτιολογήσετε.... 2. Να γράψετε την αναλογία που συνδέει τις οµόλογες πλευρές τους. --------- = --------- = --------- 3. Πολλαπλασιάζοντας χιαστί δύο από τους λόγους θα καταλήξετε στη σχέση 2 ΑΒ =... 4. Τα τρίγωνα ΑΓ και ΑΒΓ είναι επίσης όµοια. Να γράψετε τα ζεύγη των ίσων γωνιών και να αιτιολογήσετε.... 5. Να γράψετε την αναλογία που συνδέει τις οµόλογες πλευρές τους. --------- = --------- = --------- 6. Πολλαπλασιάζοντας χιαστί δύο από τους λόγους θα καταλήξετε στη σχέση 2 ΑΓ =... [16]
7. Να διατυπώσετε µια πρόταση που να εκφράζει τα συµπεράσµατα που προέκυψαν από τις δύο οµοιότητες. ------------------------------------------------------------------------------------------------------- ------------------------------------------------------------------------------------------------------- 8. Ανοίξτε το αρχείο Πυθαγόρειο 2.ggb του geogebra. Στην οθόνη σας θα εµφανιστεί ένα ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ ( ο Α= 90 ), εξωτερικά των πλευρών του οποίου έχουν κατασκευαστεί τα τετράγωνα των κάθετων πλευρών και τα ορθογώνια µε πλευρές την υποτείνουσα και καθεµιά από τις προβολές των καθέτων σε αυτήν. Τι παρατηρείτε για τα εµβαδά S και P καθώς επίσης και για τα εµβαδά R και Q ;. Σύρτε µε το ποντίκι τις κορυφές Β και Γ ώστε να µεταβληθούν τα µήκη των πλευρών του ορθογωνίου, άρα και τα εµβαδά των σχηµάτων S, P, R και Q. Τι παρατηρείται; Ήταν αναµενόµενο και γιατί; S = P... =... R= Q... =... 9. προσθέτω κατά µέλη Βγάζω κοινό παράγοντα το τµήµα ΒΓ και έχω:.. Όµως Β + Γ = άρα προκύπτει ότι:. 10. Από την οµοιότητα των τριγώνων ΑΒ και ΑΓ να αποδειχθεί ότι 2 Α = Β Γ ΑΠΟ ΕΙΞΗ = ΑΒ = ΑΓ = = = = [17]
11. ΕΦΑΡΜΟΓΗ 1 η Έστω ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ ( ο Α= 90 ) µε ΑΒ = 9 και ΑΓ = 12. Να υπολογιστεί το µήκος της υποτείνουσας ΒΓ. Να υπολογιστούν τα µήκη των προβολών των καθέτων πλευρών στην υποτείνουσα ( Β και Γ ) Να υπολογιστεί το µήκος του ύψους στην υποτείνουσα Α. 12. ΕΦΑΡΜΟΓΗ 2 η Στο διπλανό σχήµα είναι Β = 6, Γ = 8, ΒΕ = 4 Να υπολογιστεί η διάµετρος ΒΓ. Να υπολογιστεί η προβολή της Β στην ΒΓ. Να υπολογιστεί το µήκος της χορδής ΕΓ. Να υπολογιστεί το µήκος του τµήµατος ΗΘ. [18]
3 Ο Φύλλο Εργασίας 3 η ιδακτική Ώρα (Επεκτάσεις του Πυθαγόρειου θεωρήµατος και άλλα ) 1. Ανοίξτε το αρχείο Πυθαγόρειο 3.ggb του geogebra. Στην οθόνη σας θα εµφανιστεί ένα ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ ( ο Α= 90 ) και εξωτερικά των πλευρών κανονικά πολύγωνα µε πλήθος πλευρών που καθορίζεται από έναν δροµέα ν ο οποίος παίρνει τιµές ν 3. Τοποθετήστε το δροµέα στην τιµή ν = 3. Εµφανίστε τις µετρήσεις των εµβαδών των πολυγώνων P, Q, S. Τι παρατηρείτε;. 2. Αλλάξτε την τιµή του δροµέα ν και για τις διάφορες τιµες του παρατηρήστε τη σχέση που συνδέει τα εµβαδά των πολυγώνων P, Q, S. Τι παρατηρείτε;. 3. Μπορείτε να διατυπώσετε µια εικασία για τη σχέση που συνδέει τα εµβαδά των πολυγώνων P, Q, S... 4. Ας αποδείξουµε αυτήν την εικασία στην περίπτωση όπου ν = 3 Ποιο το εµβαδόν του πολυγώνου P;.. Ποιο το εµβαδόν του πολυγώνου Q;.. Ποιο το εµβαδόν του πολυγώνου S;.. Είναι Ε( P) + Ε( Q) =.. 5. Ανοίξτε το αρχείο Πυθαγόρειο 4.ggb του geogebra. Στην οθόνη σας θα εµφανιστούν δύο ίσα τετράγωνα. Στο πρώτο είναι εγγεγραµµένο ένα άλλο τετράγωνο πλευράς α και συµπληρώνεται από τέσσερα ίσα ορθογώνια τρίγωνα µε πλευρές β και γ. Στο δεύτερο τετράγωνο κάνουµε κατάλληλη µετακίνηση των ορθογώνιων τριγώνων οπότε σχηµατίζονται δύο ακόµη τετράγωνα µε πλευρές β και γ αντίστοιχα. Ποιο το συνολικό εµβαδόν του 1 ου τετραγώνου;.. Ποιο το συνολικό εµβαδόν του 2 ου τετραγώνου;.. [19]
Από την ισότητα των εµβαδών των τετραγώνων έχουµε: 6. Ανοίξτε το αρχείο Πυθαγόρειο 5.ggb του geogebra. Στην οθόνη σας θα εµφανιστεί ένα ορθογώνιο τρίγωνο µε πλευρές α, β γ. Πατώντας το κουµπί βήµα 1 θα εµφανιστεί το 1 ο τετράγωνο της προηγούµενης δραστηριότητας. Πατώντας το επόµενο κουµπί θα εµφανιστεί το εµβαδόν του. Πατώντας το κουµπί βήµα 2 θα εµφανιστεί ένας δροµέας κίνηση και κάνοντας χρήση της αυτόµατης κίνησης θα δείτε την αναδιάταξη των ορθογωνίων τριγώνων, οπότε και προκύπτει το ορθογώνιο 2. Πατώντας το επόµενο κουµπί θα εµφανιστεί το εµβαδόν του νέου τετραγώνου. Πατώντας το επόµενο κουµπί θα εµφανιστεί το συµπέρασµα από την ισότητα των δύο εµβαδών των τετραγώνων οπότε και προκύπτει το τελικό συµπέρασµα που είναι και η αλγεβρική έκφραση του πυθαγορείου θεωρήµατος. Εργασία για το 1 ο τετράµηνο (σε µορφή Project) Βρείτε από το διαδίκτυο καθώς επίσης και από τη βιβλιοθήκη του σχολείου και άλλες αποδείξεις για το Πυθαγόρειο Θεώρηµα όπως επίσης και στοιχεία από τη ζωή και το έργο του Πυθαγόρα, σε οµάδες των 4 ή 5 ατόµων τις οποίες και θα παρουσιάσετε στην ολοµέλεια της τάξης την 1 η εβδοµάδα µετά τις διακοπές των Χριστουγέννων. ( Ο ευρών αµειφθήσεται ) [20]