Θεµέλια Γραµµικού Προγραµµατισµού

Θεµέλια Γραµµικού Προγραµµατισµού Σηµείωση Το ΕΑΠ είναι υπεύθυνο για την επιµέλεια έκδοσης και την ανάπτυξη των κειµένων σύµφωνα µε τη Μεθοδολογία της εξ Αποστάσεως Εκπαίδευσης. Για την επιστηµονική αρτιότητα και πληρότητα των συγγραµ- µάτων την αποκλειστική ευθύνη φέρουν οι συγγραφείς, κριτικοί αναγνώστες και ακαδηµαϊκοί υπεύθυνοι που ανέλαβαν το έργο αυτό.

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ Σχολή Θετικών Επιστηµών και Τεχνολογίας Πρόγραµµα Σπουδών ΠΛHPOΦOPIKH Θεµατική Ενότητα ΓPAMMIKOΣ ΠPOΓPAMMATIΣMOΣ KAI MONTEΛOΠOIHΣH Τόµος B' Θεµέλια Γραµµικού Προγραµµατισµού XAPAΛAMΠOΣ MΠOTΣAPHΣ Kαθηγητής Tµήµατος Mαθηµατικών Πανεπιστηµίου Πατρών ΠATPA 2001

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ Σχολή Θετικών Επιστηµών και Τεχνολογίας Πρόγραµµα Σπουδών ΠΛHPOΦOPIKH Θεµατική Ενότητα ΓPAMMIKOΣ ΠPOΓPAMMATIΣMOΣ KAI MONTEΛOΠOIHΣH Τόµος B' Θεµέλια Γραµµικού Προγραµµατισµού Συγγραφή XAPAΛAMΠOΣ MΠOTΣAPHΣ Kαθηγητής Tµήµατος Mαθηµατικών Πανεπιστηµίου Πατρών Κριτική Ανάγνωση IΩANNHΣ ΓIANNIKOΣ Eπίκουρος Kαθηγητής Tµήµατος ιοίκησης Eπιχειρήσεων Πανεπιστηµίου Πατρών Ακαδηµαϊκός Υπεύθυνος για την επιστηµονική επιµέλεια του τόµου ΣΩKPATHΣ KATΣIKAΣ Καθηγητής Tµήµατος Mηχανικών Πληροφοριακών και Eπικοινωνιακών Συστηµάτων Πανεπιστηµίου Aιγαίου Επιµέλεια στη µέθοδο της εκπαίδευσης από απόσταση ΠETPOΣ ΓANOΣ Γλωσσική Επιµέλεια ΣTEΦANOΣ ΛOYNTZHΣ Τεχνική Επιµέλεια EΣΠI EK OTIKH E.Π.E. Καλλιτεχνική Επιµέλεια TYPORAMA Σελιδοποίηση HMHTPA ZOYΠA Συντονισµός ανάπτυξης εκπαιδευτικού υλικού και γενική επιµέλεια των εκδόσεων ΟΜΑ Α ΕΚΤΕΛΕΣΗΣ ΕΡΓΟΥ ΕΑΠ / 2001 ISBN: 960 538 214 8 Kωδικός Έκδοσης: ΠΛH 32/2 Copyright 2001 για την Ελλάδα και όλο τον κόσµο ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ Οδός Παπαφλέσσα & Υψηλάντη, 26222 Πάτρα Τηλ: (0610) 314094, 314206 Φαξ: (0610) 317244 Σύµφωνα µε το Ν. 2121/1993, απαγορεύεται η συνολική ή αποσπασµατική αναδηµοσίευση του βιβλίου αυτού ή η αναπαραγωγή του µε οποιοδήποτε µέσο χωρίς την άδεια του εκδότη.

ÂÚÈÂ fiìâó Πρόλογος... 9 Aπαιτούµενο µαθηµατικό υπόβαθρο... 10 Συµβολισµοί... 11 K º π 1 MÔÓÙ Ï ÁÚ ÌÌÈÎÔ appleúôáú ÌÌ ÙÈÛÌÔ Σκοπός, Προσδοκώµενα Aποτελέσµατα, Έννοιες κλειδιά, Εισαγωγικές Παρατηρήσεις... 13 1.1 ιαµόρφωση µοντέλων γραµµικού προγραµµατισµού... 16 1.2 Kανονική µορφή των µοντέλων γραµµικού προγραµµατισµού... 26 1.3 Bασικές µαθηµατικές έννοιες... 28 1.4 Γραφική επίλυση µοντέλων γραµµικού προγραµµατισµού... 32 Σύνοψη... 39 Bιβλιογραφία... 40 K º π 2 H Ì ıô Ô simplex Σκοπός, Προσδοκώµενα Aποτελέσµατα, Έννοιες κλειδιά, Εισαγωγικές Παρατηρήσεις... 43 2.1 Θεωρητική θεµελίωση της µεθόδου simplex... 45 2.2 H υπολογιστική διαδικασία... 64 2.2.1 Tο τυπικό πρόβληµα... 65 2.2.2 Kίνηση κατά µήκος των ακµών του εφικτού συνόλου... 68 2.3 Συστηµατοποίηση της υπολογιστικής διαδικασίας... 80 2.4 Προσδιορισµός µιας αρχικής κορυφής... 93 Σύνοψη... 106 Bιβλιογραφία... 107

6 EME IA PAMMIKOY PO PAMMATI MOY K º π 3 I ÈfiÌÔÚÊ appleúô Ï Ì Ù ÁÚ ÌÌÈÎÔ appleúôáú ÌÌ ÙÈÛÌÔ Σκοπός, Προσδοκώµενα Aποτελέσµατα, Έννοιες κλειδιά, Εισαγωγικές Παρατηρήσεις... 109 3.1 H περίπτωση του εκφυλισµού... 110 3.2 Προβλήµατα µε κενό εφικτό σύνολο... 114 3.3 Προβλήµατα µε µη φραγµένο εφικτό σύνολο... 122 3.4 Προβλήµατα µε εναλλακτικές βέλτιστες λύσεις... 126 Σύνοψη... 132 Bιβλιογραφία... 132 K º π 4 ÂˆÚ ÛÌÔ Σκοπός, Προσδοκώµενα Aποτελέσµατα, Έννοιες κλειδιά, Εισαγωγικές Παρατηρήσεις... 135 4.1 ιαµόρφωση και χαρακτηριστικά του δυϊκού προβλήµατος... 136 4.2 Tα βασικά θεωρήµατα του δυϊσµού... 142 4.3 Oικονοµική ερµηνεία του δυϊκού προβλήµατος... 152 Σύνοψη... 162 Bιβλιογραφία... 163 K º π 5 AÓ Ï ÛË Â ÈÛıËÛ Î È apple Ú ÌÂÙÚÈÎfi appleúôáú ÌÌ ÙÈÛÌfi Σκοπός, Προσδοκώµενα Aποτελέσµατα, Έννοιες κλειδιά, Εισαγωγικές Παρατηρήσεις... 165 5.1 Aνάλυση ευαισθησίας... 167 5.1.1 Mεταβολή των συντελεστών κέρδους... 168 5.1.2 Mεταβολή των διαθέσιµων πόρων... 172 5.1.3 Mεταβολή των τεχνολογικών συντελεστών... 176 5.1.4 Προσθήκη νέας µεταβλητής... 181

EPIEXOMENA 7 5.1.5 Προσθήκη νέου περιορισµού... 183 5.2 Παραµετρικός προγραµµατισµός... 185 5.2.1 Παραµετρική ανάλυση των συντελεστών κέρδους... 185 5.2.2 Παραµετρική ανάλυση των διαθέσιµων πόρων... 189 Σύνοψη... 192 Bιβλιογραφία... 192 Aπαντήσεις των Aσκήσεων Aυτοαξιολόγησης... 193 Eλληνοαγγλικό ευρετηριο όρων... 235

ÚfiÏÔÁÔ Το βιβλίο αυτό επικεντρώνεται στο Γραµµικό Προγραµµατισµό, ο οποίος είναι ο πιο γνωστός κλάδος µαθηµατικού προγραµµατισµού και ίσως η πιο αναπτυγµένη και ευρύτερα χρησιµοποιούµενη τεχνική επιχειρησιακής έρευνας. Με τον όρο γραµ- µικός προγραµµατισµός χαρακτηρίζονται η θεωρία και οι αλγόριθµοι για τον προσδιορισµό του µεγίστου ή του ελαχίστου µιας γραµµικής συνάρτησης, της οποίας οι µεταβλητές απαιτείται να ικανοποιούν ένα σύστηµα γραµµικών ανισώσεων. Το βιβλίο περιλαµβάνει πέντε κεφάλαια στα οποία γίνεται η θεµελίωση του γραµ- µικού προγραµµατισµού. Ειδικότερα, το πρώτο κεφάλαιο εστιάζεται στα µοντέλα του γραµµικού προγραµµατισµού και τη γραφική τους απεικόνιση στο χώρο των δύο διαστάσεων. Στο δεύτερο κεφάλαιο αναπτύσσεται η κυρίαρχη, ακόµα και σήµερα, τεχνική για την επίλυση προβληµάτων γραµµικού προγραµµατισµού, η µέθοδος simplex. Στο τρίτο κεφάλαιο παρουσιάζεται ο τρόπος µε τον οποίο η µέθοδος simplex αντιµετωπίζει ιδιόµορφα προβλήµατα γραµµικού προγραµµατισµού. Το τέταρτο κεφάλαιο αφιερώνεται στο δυϊκό πρόβληµα, ενώ στο πέµπτο κεφάλαιο παρουσιάζονται οι διαδικασίες της ανάλυσης ευαισθησίας και του παραµετρικού προγραµµατισµού. Η συγγραφή του βιβλίου αυτού έγινε στη βάση του σκεπτικού ότι η µηχανιστική εφαρµογή ενός αλγορίθµου, χωρίς γνώση της λογικής, της δοµής και των δυνατοτήτων του, ενδέχεται να συσσωρεύσει περισσότερα προβλήµατα, από αυτά τα οποία καλείται να λύσει. Με στόχο, λοιπόν, τη βαθύτερη κατανόηση και εµπέδωση του γραµµικού προγραµµατισµού, µε στόχο να εξηγήσουµε όχι µόνο το τι κάνει ο γραµ- µικός προγραµµατισµός, αλλά και πώς και γιατί το κάνει, δώσαµε έµφαση τόσο στη θεωρητική του θεµελίωση, όσο και στην οικονοµική και διοικητική του διάσταση, επεξηγώντας µέσα από παραδείγµατα και εφαρµογές τις σχετικές µαθηµατικές έννοιες. ε θέλησα να αποφύγω τα αυστηρά µαθηµατικά. ε έµεινα όµως µόνο στις αποδείξεις. Προσπάθησα να συνδυάσω τις εφαρµογές µε τα µαθηµατικά που κρύβονται πίσω από αυτές. Χαράλαµπος Ε. Μπότσαρης Καθηγητής Επιχειρησιακής Έρευνας Πανεπιστήµιο Πατρών

apple ÈÙÔ ÌÂÓÔ Ì ıëì ÙÈÎfi applefi ıúô Τα περισσότερα βιβλία γραµµικού προγραµµατισµού κάνουν εκτενή αναφορά στις προαπαιτούµενες γνώσεις γραµµικής άλγεβρας και κυρτής ανάλυσης, τις οποίες πρέπει να έχει ο αναγνώστης, ώστε να µπορέσει να κατανοήσει τα µαθηµατικά, πάνω στα οποία θεµελιώνεται ο γραµµικός προγραµµατισµός. Συνοπτική αναφορά σε βασικές έννοιες της θεωρίας των κυρτών συνόλων γίνεται και στην ενότητα 1.3 του παρόντος βιβλίου. Σε όσους ενδιαφέρονται να διευρύνουν και να εµβαθύνουν ακόµα περισσότερο τις γνώσεις τους στο απαιτούµενο µαθηµατικό υπόβαθρο, προτείνουµε τα βιβλία των Λουκάκη (1995), Marlow (1978), Noble και Daniel (1977), Strang (1995) και Φλυτζάνη (1998). Τα βιβλία των Strang και Noble και Daniel θεωρούνται από τα κλασσικά της γραµµικής άλγεβρας και των εφαρµογών της, ενώ στο βιβλίο του Marlow καλύπτονται τα µαθηµατικά της γενικότερης θεωρίας βελτιστοποίησης. Λουκάκης, Μ. (1995), Μαθηµατικά Οικονοµικών Επιστηµών, Αυτοέκδοση, Θεσσαλονίκη. Φλυτζάνης, Η. (1998), Μαθηµατικός Λογισµός µε Εφαρµογές, Εκδόσεις Οικονοµικού Πανεπιστηµίου Αθηνών, Αθήνα. Marlow, W. H. (1978), Mathematics for Operations Research, Wiley, New York. Noble, Β. & Daniel, J. (1977), Applied Linear Algebra, Prentice Hall, New Jersey. Strang, G. (1995), Γραµµική Άλγεβρα και Εφαρµογές (απόδοση στα ελληνικά: Π. Παµφίλος), Πανεπιστηµιακές Εκδόσεις Κρήτης, Ηράκλειο.

Ì ÔÏÈÛÌÔ n Ο n διάστατος Ευκλείδειος διανυσµατικός χώρος. m x Το σύνολο των πινάκων µε m γραµµές και n στήλες. xœ n Ένα διάνυσµα στήλη ή σηµείο του n. x i ή (x) i Η i οστή συνιστώσα του xœ n (i = 1,, n) AŒ m x a ij ή (A) ij Ένας m x πίνακας µε m γραµµές και n στήλες. Το στοιχείο που ανήκει στη διασταύρωση της i οστής γραµµής µε τη j οστή στήλη του πίνακα AŒ m n (i = 1,, m) (j = 1,, n) A t Ο ανάστροφος του πίνακα A. x t y Tο εσωτερικό γινόµενο x t y = x 1 y 1 + + x n y n (x, yœ n ). A 1 I m Ο αντίστροφος ενός τετραγωνικού πίνακα Α, όταν υπάρχει. Ο m n ταυτοτικός πίνακας. 0 Το µηδενικό διάνυσµα. n! To παραγοντικό ενός φυσικού αριθµού, n! = 1.2.3. (n 1)n, όπου 0! = 1. Ê n ˆ Ê n ˆ n! Á Οι συνδυασµοί των n αντικειµένων ανά m, Á = Ëm Ëm m!( n - m)!