21 a 22 a 2n. a m1 a m2 a mn

Transcript

1 Παράρτημα Α Βασική γραμμική άλγεβρα Στην ενότητα αυτή θα παρουσιαστούν με συνοπτικό τρόπο βασικές έννοιες της γραμμικής άλγεβρας. Ο στόχος της ενότητας είναι να αποτελέσει ένα άμεσο σημείο αναφοράς και υπενθύμισης των εννοιών γραμμικής άλγεβρας που απαιτούνται ως υπόβαθρο κατά την παρουσίαση των διαφόρων θεμάτων που πραγματεύεται το βιβλίο. Σε κάθε περίπτωση, ο ενδιαφερόμενος αναγνώστης μπορεί να ανατρέξει σε εξειδικευμένα βιβλία γραμμικής άλγεβρας όπως τα Str09, Dem97, Gen07, HJ13, GL96 και Lut96. Α.1 Ορισμοί πινάκων και διανυσμάτων Η γραμμική άλγεβρα μελετάει τις ιδιότητες ενός πίνακας Α, δηλαδή ενός συνόλου αριθμών τοποθετημένων σε m γραμμές και n στήλες. Οι αριθμοί m, n καθορίζουν τη διάσταση γραμμών και στηλών, αντίστοιχα. Επιπρόσθετα, όταν m = n αρκεί να αναφερόμαστε (συνολικά) στη διάσταση του πίνακα. Ένας πίνακας διαστάσεων m n συμβολίζεται ως a 11 a 12 a 1n a A = A m n = 21 a 22 a 2n , a m1 a m2 a mn (Α.1) όπου το στοιχείο a kl, της k-στης γραμμής και l-στης στήλης, μπορεί να είναι είτε πραγματικό είτε μιγαδικό, ή, με συμβολικό τρόπο, είτε A kl = a kl R είτε A kl = a kl C, αντίστοιχα. Στην περίπτωση που όλα τα στοιχεία είναι πραγματικά, ο πίνακας ανήκει στο σύνολο των πραγματικών πινάκων και συμβολίζεται ως A R m n ενώ στην περίπτωση που υπάρχουν και μιγαδικά στοιχεία τότε, αντίστοιχα, A C m n. Στη συνέχεια, παρουσιάζονται δυο παραδείγματα πινάκων, δηλαδή οι B R 3 2 και Γ C 2 4. B = , Γ = 2 + i 1 0.5i i 4 + 3i 1 i i Η γενική δομή ενός πίνακα, όπως αυτή παρουσιάζεται στη Σχέση (Α.1), μπορεί να εξειδικευτεί σε μια ποικιλία από πίνακες που παρουσιάζουν ιδιαίτερο ενδιαφέρον. Συγκεκριμένα, όταν m = n, ο 159.

2 160 ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ Α. ΒΑΣΙΚΗ ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ αντίστοιχος πίνακας ονομάζεται τετραγωνικός. Όταν όλα τα στοιχεία ενός τετραγωνικού πίνακα είναι ίσα με το μηδέν εκτός από αυτά τις κυρίας διαγωνίου (δηλαδή όταν a kl 0 για k = l και a kl = 0 για k l), ο πίνακας ονομάζεται διαγώνιος. Επιπρόσθετα, όταν τα στοιχεία στην κύρια διαγώνιο είναι όλα ίσα με τη μονάδα (δηλαδή όταν a kl = 1 για k = l), τότε ο διαγώνιος πίνακας ονομάζεται ταυτοτικός και συνήθως συμβολίζεται με I ή με I n όταν θέλουμε να τονίσουμε και τη διάστασή του. Επίσης, ένας τετραγωνικός πίνακας A ονομάζεται συμμετρικός όταν ισχύει a kl = a lk ενώ ονομάζεται ερμητιανός όταν a kl = a lk, για k l και a kk R, όπου το σύμβολο ορίζει τον συζυγή ενός μιγαδικού αριθμού. Ως δυο τελευταία είδη πινάκων (χωρίς ωστόσο να έχουμε εξαντλήσει όλες τις περιπτώσεις ειδικών πινάκων), αναφέρονται ο μηδενικός πίνακας 0, του οποίου όλα τα στοιχεία είναι ίσα με το μηδέν, και ο πίνακας Toeplitz H n n, του οποίου τα στοιχεία της κύρια διαγωνίου καθώς και τα στοιχεία που ανήκουν σε κάθε μια από τις δευτερεύουσες διαγώνιους είναι ίσα μεταξύ τους ή, διαφορετικά, όταν h kl = h k+1,l+1 για k, l < n. Στη συνέχεια, παρουσιάζονται παραδείγματα για κάθε έναν από τους προαναφερόμενους πίνακες και, πιο συγκεκριμένα, ο τετραγωνικός A 2 2, ο διαγώνιος D 3 3, ο ταυτοτικός Ι 4, ο συμμετρικός C 3 3, o ερμητιανός Ε 3 3, o μηδενικός 0 2 και ο Toeplitz H 4 4. A 2 2 = , D 3 3 = I 4 = , C 3 3 = 1 4 3, i 5 + 3i E 3 3 = 1 + i i, 0 2 =, H 4 4 = i i Εκτός από τις παραπάνω ειδικές μορφές πινάκων (που καθορίζονται από το είδος των στοιχείων που περιέχουν), υπάρχουν και τα διανύσματα και, πιο συγκεκριμένα, τα διανύσματα στήλες (δηλαδή πίνακες διάστασης m n όπου το n = 1) και τα διανύσματα γραμμές (δηλαδή πίνακες διάστασης m n όπου το m = 1). To πλήθος των στοιχείων ενός διανύσματος καθορίζει τη διάστασή του και γράφουμε a R n ή a C n για να ορίσουμε διανύσματα διάστασης n με πραγματικά ή μιγαδικά στοιχεία, αντίστοιχα. Στη γενική τους μορφή, τα διανύσματα στήλες και γραμμές συμβολίζονται ως: v = v 1 v 2. v n, u =, u 1 u 2... u n. (Α.2) Τονίζεται σε αυτό το σημείο πως στην επεξεργασία σημάτων, επίσης, συνηθίζεται τα στοιχεία ενός διανύσματος v να τα συμβολίζουμε ως v(i), για i = 0, 1,..., n 1.

3 Α.2. ΠΡΑΞΕΙΣ ΠΙΝΑΚΩΝ 161 Στη συνέχεια, δίνονται δυο παραδείγματα διανυσμάτων, συγκεκριμένα, το διάνυσμα στήλη v R 2 και το διάνυσμα γραμμή u C 3. v = 2.5, u = 1 + i 2i 3 1. Για κάθε πίνακα A(n m), ορίζεται ο ανάστροφός του A T (m n), όπου οι γραμμές του A έχουν γίνει στήλες του A T. Εναλλακτικά, το στοιχείο A T ij = A ji. Σημειώνεται πως στην περίπτωση που ο πίνακας A είναι συμμετρικός, ισχύει ό,τι A = A T. Με όμοιο τρόπο, αν ο πίνακας A είναι μιγαδικός, τότε ορίζεται ο συζυγής ανάστροφός του A H, όπου επιπρόσθετα λαμβάνεται και ο μιγαδικός συζυγής του κάθε στοιχείου, ή, εναλλακτικά, ισχύει A Η ij = A ji. Υπενθυμίζεται πως όταν ισχύει, A = A H, τότε ο πίνακας ονομάζεται ερμητιανός. Τέλος, σημειώνεται πως τα διανύσματα κατά σύμβαση θεωρούνται διανύσματα στήλες ενώ τα διανύσματα γραμμές συμβολίζονται χρησιμοποιώντας τα σύμβολα της αναστροφής ή συζυγής αναστροφής. Για παράδειγμα, το v θεωρείται ένα διάνυσμα στήλη διάστασης n 1 ενώ το v T είναι ένα διάνυσμα γραμμή διάστασης 1 n. Α.2 Πράξεις πινάκων Στην ενότητα αυτή θα περιγράψουμε συνοπτικά τις βασικές πράξεις μεταξύ πινάκων ή/και διανυσμάτων. Συγκεκριμένα, θα αναφερθούμε στην πρόσθεση/αφαίρεση, στον πολλαπλασιασμό με σταθερό αριθμό, στον πολλαπλασιασμό μεταξύ πινάκων και στο γινόμενο Kronecker. Οι πίνακες που εμπλέκονται στην πρόσθεση/αφαίρεση πινάκων, απαιτείται να έχουν τις ίδιες διαστάσεις. Συγκεκριμένα, έστω οι πίνακες A(m n) και B(m n). Ο πίνακας C = A + B έχει διάσταση m n και το στοιχείο του c kl, στην k-στη γραμμή και l-στη στήλη, προκύπτει ως c kl = a kl + b kl. Στην περίπτωση του πολλαπλασιασμού πίνακα με έναν σταθερό αριθμό, το στοιχείο, στην k-στη γραμμή και l-στη στήλη, του πίνακα B = ca, προκύπτει ως B kl = ca kl, όπου c είναι ένας σταθερός αριθμός. Όπως είναι κατανοητό, ο πίνακας B έχει τις διαστάσεις του πίνακα Α. Ο πολλαπλασιασμός μεταξύ πινάκων παρουσιάζει κάποιες ιδιαιτερότητες. Συγκεκριμένα, δυο πίνακες A(n k 1 ) και Β(k 2 m) είναι συμβατοί και μπορούν να πολλαπλασιαστούν μεταξύ τους όταν k 1 = k 2, δηλαδή το πλήθος των στοιχείων στις γραμμές του πίνακα A πρέπει να είναι ίδιο με το πλήθος των στοιχείων στις γραμμές του πίνακα Β. Όταν ισχύει αυτό, ο πίνακας C = AΒ που προκύπτει από τον πολλαπλασιασμός έχει διάσταση n m. Επιπρόσθετα, το στοιχείο, στην k-στη γραμμή και l-στη στήλη, δίνεται από τη σχέση c kl = k 1 (=k 2 ) a ki a il. Σημειώνεται σε αυτό το σημείο πως στον πολλαπλασιασμό πινάκων η αντιμεταθετική ιδιότητα δεν ισχύει στη γενική περίπτωση, δηλαδή AB BA. Τέλος, αναφέρεται πως στην περίπτωση διανυσμάτων, το γινόμενο v T u (ή v H u) μεταξύ δυο διανυσμάτων ονομάζεται εσωτερικό γινόμενο και θα μιλήσουμε με μεγαλύτερη λεπτομέρεια σχετικά με αυτό στη συνέχεια. Τέλος, το γινόμενο Kronecker μεταξύ δυο πινάκων δεν έχει τους περιορισμούς του πολλαπλασιασμού πινάκων που αναφέραμε στην προηγούμενη παράγραφο. Συγκεκριμένα, το γινόμενο Kronecker του πίνακα Α(m n) με τον πίνακα B(p q) είναι ένας νέος πίνακας C = A B, διάστασης (mp nq),

4 162 ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ Α. ΒΑΣΙΚΗ ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ και δίνεται από την επόμενο σχέση. Το σύμβολο είναι ένα συνηθισμένο σύμβολο για να αναπαραστήσουμε το εν λόγω γινόμενο. a 11 B a 12 B a 1n B a C = A B = 21 B a 22 B a 2n B a m1 B a m2 B a mn B Α.2.1 Νόρμες διανυσμάτων και πίνακες Η νόρμα ενός διανύσματος v(n 1) είναι μια συνάρτηση που αντιστοιχεί στον εν λόγω διάνυσμα μια μη αρνητική πραγματική τιμή. Για τα μιγαδικά (στη γενική περίπτωση) διανύσματα v και u, η συνάρτηση αυτή έχει τρεις βασικές ιδιότητες: v > 0 εάν v 0, cv = c v όπου c C, v + u v + u. Μια από τις βασικότερες ομάδες νορμών είναι οι νόρμες l p, για 1 p <, που ορίζονται ως: ( n ) 1/p v p = v i p, 1 p < (Α.3) Oι πιο συνηθισμένες νόρμες l p που χρησιμοποιούνται είναι για p = 1, 2. Με βάση τη Σχέση (Α.3), οι δυο αυτές νόρμες εξειδικεύονται για το διάνυσμα v ως: v 1 = v 2 = n v i, (Α.4) n v i 2. (Α.5) Δυο ακόμη σημαντικές νόρμες διανυσμάτων είναι για p = 0,. Συγκεκριμένα, v 0 = n 1 vi 0{v i }, (Α.6) v = max i v i. (Α.7) όπου, η συνάρτηση δείκτης 1 x 0 {x} επιστρέφει 1, όταν x 0 και 0 διαφορετικά. Κάποια σχόλια για τις παραπάνω νόρμες είναι τα εξής. Η νόρμα 1 l 0 μετράει τα μη μηδενικά στοιχεία ενός διανύσματος και χρησιμοποιείται για τον καθορισμό προβλημάτων βελτιστοποίησης τα οποία έχουν ως στόχο 1 Η ποσότητα l 0 δεν είναι τυπικά μια νόρμα. Ωστόσο, σε διάφορα συγγράμματα αναφέρεται μαζί με τις νόρμες για p = 1, 2, και έτσι θα θεωρήσουμε πως και αυτή είναι μέλος αυτής της οικογένειας νορμών.

5 Α.3. ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΟΙ ΧΩΡΟΙ 163 να μειώσουν τον αριθμό των στοιχειών αυτών. Προβλήματα αυτού του είδους συναντώνται για παράδειγμα στη θεωρία των αραιών αναπαραστάσεων. Το βασικότερο ζήτημα των προβλημάτων που χρησιμοποιούν τη νόρμα l 0 είναι η επιλυσιμότητά τους αφού απαιτούν εκθετικού τύπου υπολογιστική πολυπλοκότητα. Για να ξεπεραστεί το πρόβλημα της πολυπλοκότητας, η νόρμα l 0 αντικαθίσταται από τη νόρμα l 1 η οποία έχει επίσης τη δυνατότητα να αναδεικνύει διανύσματα που έχουν λίγα μη μηδενικά στοιχεία. Οι λύσεις που προκύπτουν δεν είναι απαραίτητα οι βέλτιστες αλλά αποτελούν μια πολύ καλή επιλογή ενώ η υπολογιστική πολυπλοκότητα σε αυτή την περίπτωση έχει πολυωνυμικό χαρακτήρα. Η νόρμα l 2, που ονομάζεται επίσης Ευκλείδεια νόρμα, συνδέεται όπως είναι γνωστό με την απόσταση δυο διανυσμάτων καθώς και με το πλάτος (μήκος) ενός διανύσματος. Τέλος, η νόρμα l χρησιμοποιείται σε προβλήματα ελαχίστου-μεγίστου (min-max). Για τους πίνακες, θεωρώντας όλα τα στοιχεία τους τοποθετημένα σε ένα διάνυσμα, μια συνηθισμένη νόρμα, που βασίζεται στη Σχέση (Α.3), είναι για p = 2, και δίνεται από την επόμενη εξίσωση. A F = m n Tr{A H A} = a ij 2 (Α.8) j=1 H νόρμα αυτή ονομάζεται εναλλακτικά Frobenius (για αυτό χρησιμοποιείται επίσης ο συμβολισμός F ). Πριν προχωρήσουμε στις επόμενες ενότητες, θα θέλαμε να τονίσουμε, για πληρότητα, πως υπάρχουν επίσης οι νόρμες πίνακα που καθορίζονται με βάση τις νόρμες διανυσμάτων (όπως αυτές που ορίζονται στη Σχέση (Α.3) χωρίς ωστόσο να θεωρείται ο ίδιος ο πίνακας ως ένα διάνυσμα, όπως, δηλαδή, θεωρήσαμε παραπάνω. Επειδή στην συνέχεια δεν θα τις χρησιμοποιήσουμε για την παρουσίαση των διαφόρων θεμάτων που πραγματεύεται το βιβλίο, δεν θα επεκταθούμε σε αυτό το σημείο. Ο ενδιαφερόμενος αναγνώστης παραπέμπεται στα προτεινόμενα βιβλία και περαιτέρω πληροφορίες. Α.3 Διανυσματικοί χώροι Ένας διανυσματικός χώρος αποτελείται από ένα σύνολο διανυσμάτων με τις εξής ιδιότητες: Αν δυο διανύσματα v, u ανήκουν στο χώρο τότε και το άθροισμά τους v + u επίσης ανήκει στο χώρο. Αν ένα διάνυσμα v πολλαπλασιαστεί με μια σταθερά c τότε και το αποτέλεσμα cv ανήκει στο χώρο. Μερικά παραδείγματα διανυσματικών χώρων είναι η πραγματική ευθεία (R 1 ), το πραγματικό επίπεδο (R 2 ), ο πραγματικός τρισδιάστατος χώρος (R 3 ) και γενικότερα ο n-διάστατος χώρος (R n ). Μια σημαντική έννοια που συνδέεται με τους διανυσματικούς χώρους είναι η γραμμική ανεξαρτησία διανυσμάτων. Συγκεκριμένα, αν υπάρχουν N διανύσματα v i, τότε αυτά καλούνται ανεξάρτητα αν ισχύει N a i v i = 0 (Α.9) μόνο όταν a i = 0. Διαφορετικά, τα διανύσματα καλούνται εξαρτημένα.

6 164 ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ Α. ΒΑΣΙΚΗ ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Σε ένα διανυσματικό χώρο διάστασης N, αρκούν N ανεξάρτητα διανύσματα v i για να περιγράψουν πλήρως τον χώρο, δηλαδή, όλα τα διανύσματα u που ανήκουν στο χώρο μπορούν να προκύψουν ως γραμμικός συνδυασμός των ανεξάρτητων διανυσμάτων. Συγκεκριμένα, u = N a i v i. (Α.10) Τα διανύσματα v i καλούνται βάση του χώρου. Όπως γίνεται κατανοητό, σε ένα διανυσματικό χώρο αντιστοιχούν άπειρες βάσεις. Ιδιαίτερο ενδιαφέρον παρουσιάζουν οι βάσεις που αποτελούνται από ορθογώνια μεταξύ τους διανύσματα δηλαδή για κάθε ζεύγος διανυσμάτων v i, v j με i j ισχύει ότι v T i v j = 0 ή v H i v j = 0 αν τα διανύσματα είναι πραγματικά ή μιγαδικά, αντίστοιχα. Επιπρόσθετα, αν ισχύει ότι v i 2 = 1, για κάθε i, τότε η βάση ονομάζεται ορθοκανονική. Για παράδειγμα, τα διανύσματα v 1 = 1, 0 T, v 1 = 0, 1 T αποτελούν μια ορθοκανονική βάση του διανυσματικού χώρου R 2. Α.4 Τάξη και αντιστροφή πίνακα Στην παρούσα ενότητα θα ορίσουμε την τάξη ενός πίνακα και στη συνέχεια θα περιγράψουμε τον αντίστροφό του. Επίσης, θα αναφερθούμε σε ειδικές μορφές ενός αντίστροφου πίνακα όπως για παράδειγμα οι ορθογώνιοι πίνακες. Η τάξη ενός πίνακα A(m n) καθορίζει το πλήθος των ανεξάρτητων στηλών του και συμβολίζεται ως rank(a). Για την τάξη ενός πίνακα ισχύουν οι εξής ιδιότητες: rank(a) = rank(a T ) όταν A R m n και rank(a) = rank(a H ) όταν A C m n. rank(a) min(m, n). Όταν ισχύει η ισότητα ο πίνακας ονομάζεται πλήρους τάξης. Ο αντίστροφος πίνακας A 1 ορίζεται για τετραγωνικούς πίνακες A(n n) μέγιστης τάξης (δηλαδή rank(a) = n). Σε αυτή την περίπτωση ισχύει η επόμενη σχέση. AA 1 = A 1 A = I. (Α.11) Ο πίνακας A, όταν έχει αντίστροφο πίνακα, ονομάζεται αντιστρέψιμος ή μη ιδιάζων (non-singular). Δυο βασικές ιδιότητες που ισχύουν είναι οι (α) (A T ) 1 = (A 1 ) T ή (A H ) 1 = (A 1 ) H και (β) (AB) 1 = B 1 A 1. Μια ειδική κατηγορία πινάκων είναι οι ορθογώνιοι (για πραγματικούς πίνακες) ή ορθομοναδιαίοι (για μιγαδικούς πίνακες). Σε αυτούς τους πίνακες οι στήλες (και οι γραμμές) είναι ορθογώνιες μεταξύ τους (όπως τα ορθοκανονικά διανύσματα βάσης που παρουσιάσαμε στην προηγούμενη ενότητα). Σε αυτή την περίπτωση ισχύει ότι AA T = A T A = I και AA H = A H A = I, αντίστοιχα. Τέλος, πριν προχωρήσουμε στην επόμενη ενότητα, θα περιγράψουμε μια ιδιότητα για τον έλεγχο της αντιστρεψιμότητας ενός πίνακα. Συγκεκριμένα, ένας πίνακας A είναι αντιστρέψιμος αν και μόνον αν η ορίζουσά του είναι μη μηδενική, δηλαδή det(a) 0. Υπενθυμίζεται πως η ορίζουσα ενός πίνακα A(n n) δίνεται από τη σχέση det(a) = n ( 1)i+j a i,j det(a i,j ), όπου A i,j είναι ο πίνακας που προκύπτει αν αφαιρέσουμε την i-στη γραμμή και j-στη στήλη του πίνακα A.

7 Α.5. ΙΔΙΟΤΙΜΕΣ ΚΑΙ ΙΔΙΟΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ 165 Α.5 Ιδιοτιμές και ιδιοδιανύσματα Στην παρούσα ενότητα θα παρουσιάσουμε βασικές πληροφορίες γύρω από τις ιδιοτιμές και τα ιδιοδιανύσματα ενός πίνακα. Συγκεκριμένα, για έναν τετραγωνικό πίνακα A(n n), μπορεί να οριστεί το σύστημα γραμμικών εξισώσεων Av = λv (A λi)v = 0. Το σύστημα αυτό οδηγεί σε μη μηδενικές λύσεις v όταν ο πίνακας A λi είναι μη αντιστρέψιμος. Όπως είδαμε και στην προηγούμενη ενότητα, ο πίνακας A λi είναι μη αντιστρέψιμος όταν det(a λi) = 0. Η συγκεκριμένη εξίσωση είναι ένα πολυώνυμο βαθμού n ως προς το λ και ονομάζεται χαρακτηριστικό πολυώνυμο του πίνακα A. Οι n ρίζες που προκύπτουν συμβολίζονται με λ i, για i = 1, 2,..., n, και ονομάζονται ιδιοτιμές του πίνακα A. Επιπρόσθετα, για κάθε ιδιοτιμή λ i, προκύπτει το διάνυσμα v i (από το σύστημα (A λi)v = 0 και το οποίο καλείται ιδιοδιάνυσμα του πίνακα A. Στην επόμενη λίστα δίνονται κάποιες βασικές ιδιότητες: Τα ιδιοδιανύσματα που αντιστοιχούν σε διαφορετικές ιδιοτιμές είναι γραμμικά ανεξάρτητα. Η ορίζουσα ενός πίνακα δίνεται από το γινόμενο των ιδιοτιμών του. Ένας αντιστρέψιμος πίνακας έχει μη μηδενικές ιδιοτιμές. Αν ο πίνακας A(n n) είναι πλήρους τάξης (δηλαδή έχει n γραμμικά ανεξάρτητα ιδιοδιανύσματα), τότε μπορεί να διαγωνιοποιηθεί ως A = VΛV 1, όπου V = v 1 v 2... v n T και Λ είναι ένας διαγώνιος πίνακας με τις ιδιοτιμές λ i ως στοιχεία στην κύρια διαγώνιο. Τέλος, θα παρουσιάσουμε κάποιες ενδιαφέρουσες ιδιότητες στην περίπτωση που ο πίνακας A(n n) είναι επιπρόσθετα συμμετρικός ή ερμητιανός (δηλαδή A = A T ή A = A H ). Οι ιδιοτιμές λ i είναι πραγματικές. Τα ιδιοδιανύσματα που αντιστοιχούν σε διαφορετικές ιδιοτιμές είναι μεταξύ τους ορθογώνια. Η διαγωνιοποίηση του αντίστοιχου πίνακα γίνεται A = VΛV T ή A = VΛV H. Επιπρόσθετα, ο πίνακας A γράφεται A = n λ iv i v T i ή A = n λ iv i v H i. Αυτή η μορφή ονομάζεται Φασματική Διάσπαση (Spectral Decomposition). Βιβλιογραφία Dem97 J. W. Demmel. Applied Numerical Linear Algebra. Philadelphia, PA, USA: Society for Industrial and Applied Mathematics, : Gen07 J. E. Gentle. Matrix Algebra. Springer New York, GL96 G. H. Golub and C. F. Van Loan. Matrix Computations (3rd Ed.) Baltimore, MD, USA: Johns Hopkins University Press, HJ13 R. A. Horn and C. R. Johnson, eds. Matrix Analysis (2nd edition). Cambridge University Press, 2013.

8 166 ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ Α. ΒΑΣΙΚΗ ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Lut96 H. Lutkepohl. Handbook of Matrices. Wiley, Str09 G. Strang. Introduction to Linear Algebra. Cambridge, 2009.