ΚΟΝΤΟΚΩΣΤΑΣ ΔΗΜΗΤΡΙΟΣ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΑΡΑΣΤΑΤΙΚΗΣ ΜΕ ΠΡΟΒΟΛΕΣ ΣΕ 1 ΕΠΙΠΕΔΟ (1 η εκοχή, Σεπτ. 2013) Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας πολιτικών μηχανικών
ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 1. Το έαφος μιας περιοχής προσομοιάζεται από τα επίπεα στ(των, οποίων οι ιχνοπαράλλληλες υψομέτρων 3 και 5 ίνονται στο Σχήμα 1) και από το οριζόντιο επίπεο π υψομέτρου 0. Σε υψόμετρο 4 πρόκειται να κατασκευαστεί πολυγωνική πλατεία ΑΒΓΔΕΖ καθώς και κεκλιμένος ρόμος αρχίζοντας από το τμήμα ΑΗ της πλατείας και καταλήγοντας στο π με προβολές πλευρών τις οσμένες στο σχήμα. Να βρεθεί η κατάληξη του ρόμου και να κατασκευαστούν τα πρανή των επιχωματώσεων και εκχωματώσεων του ρόμου και της πλατείας όταν βήμα επιχωματώσεων=10χστ, βήμα εκχωματώσεων= 5χστ, βήμα ρόμου= 20χστ. Σχήμα 1 Λύση 1
Η έννοια του πρανούς επιπέου και του πρανούς: Το επόμενο σχήμα φανερώνει έκηλα την έννοια των πρανών επιπέων. Τα πρανή αποτελούν τα μέρη επάνω στα πρανή επίπεα που προκύπτουν από την τομή ιπλανών (ορισμένες φορές και μακρινών) πρανών επιπέων μεταξύ τους και με το έαφος. Σχήμα 2 Το σχέιο για την κατασκευή: H ιαικασία που ακολουθούμε για την κατασκευή των πρανών είναι σε γενικές γραμμές η εξής: Κατασκευάζουμε το επίπεο του ρόμου (κάποιες ιχνοπαράλληλές του) έως και το οριζόντιο έαφος. Έτσι πλέον θεωρούμε το σύνολο πλατεία ρόμος ως ένα ενιαίο κτίσμα, πλήρως τοποθετημένο στο παραστατικό σχέιο. Αν τυχόν υπήρχε έαφος κατακορύφως επάνω από μέρη του κτίσματος, θεωρούμε πως έχει αφαιρεθεί. Εντοπίζουμε ποια μέρη του συνόρου του ενιαίου κτίσματος πλατείας ρόμου βρίσκονται εντός και ποια εκτός του φυσικού εάφους. Δημιουργούνται έτσι τμήματα επάνω στα αρχικά σύνορα της πλατείας ή του ρόμου, από καθένα από τα οποία θα ξεκινήσει και ένα πρανές επιχωμάτωσης ή εκχωμάτωσης. Ορισμένα άλλα τμήματα (όπως π.χ. εώ το ΑΗ ) εν θα φιλοξενήσουν κανένα πρανές. Για κάθε ένα από τα παραπάνω συνοριακά τμήματα της πλατείας ρόμου κατασκευάζουμε το πρανές επίπεό του (ιχνοπαράλληλες). Στην ορολογία ιαφοροποιούμε το "πρανές επίπεο" από το "πρανές". Τέμνουμε κάθε πρανές επίπεο με όποιο ιπλανό πρανές επίπεο χρειάζεται, καθώς και με κάθε επίπεο του φυσικού εάφους πάνω από ή εντός του οποίου βρίσκεται το τμήμα από όπου ξεκινά το πρανές. Ελέγχουμε αν μακρινά (μη ιπλανά) πρανή τέμνονται, και ιορθώνουμε τα σύνορά τους. Ακολουθούν οι λεπτομέρειες της κατασκευής για το παράειγμα 1. 2
Τμήματα επιχωματώσεων και εκχωματώσεων στην πλατεία και το ρόμο. Τέλος του ρόμου. (1) Χαράσσουμε τις ιχνοπαράλληλες υψομέτρου 0 των στ(εώ, οι κόκκινες ευθείες). Αυτές συντρέχουν με την κοινή ευθεία των στ, (εώ η μπλε ευθεία) και χωρίζουν το σχέιο σε τρία χωρία (εώ χ1, χ2, χ 3). Πάνω από το κάθε μέρος υπάρχει ακριβώς ένα από τα τρία επίπεα στπ,, του φυσικού εάφους της περιοχής (εώ πάνω από τα χ1, χ2, χ 3 βρίσκονται αντιστοίχως τα στπ).,, (2) Χαράσσουμε τις ιχνοπαράλληλες των στ, του υψομέτρου της πλατείας (εώ 4 ). (3) Βρίσκουμε τις τομές των παραπάνω ιχνοπαραλλήλων με το περίγραμμα της πλατείας (εώ τα σημεία Κ', Λ ' ) και αποφασίζουμε για τα τμήματα της πλατείας όπου θα έχουμε εκχωματώσεις (εώ οι πλευρές της πολυγωνικής γραμμής ΚΒΓΤΛ) ' ' ' ' ή επιχωματώσεις (εώ οι πλευρές της πολυγωνικής γραμμής Λ' ΔΕΖ ' ' ' Η ' και το τμήμα Α' Κ '). (4) Χαράσσουμε τις ιχνοπαράλληλες ακεραίων υψομέτρων του ρόμου (εώ 4,3,2,1,0 ) ο ρόμος ανήκει σε ένα επίπεο! Βρίσκουμε τα σημεία τομής των ιχνοπαραλλήλων αυτών με τις ακμές του ρόμου και ημιουργούμε το τμήμα μεταξύ των σημείων για κάθε υψόμετρο (εώ τα τμήματα t4, t3, t2, t1, t 0). Το τμήμα που ενώνει τα σημεία υψομέτρου 0 είναι το ζητούμενο τέλος του ρόμου (εώ το t 0 = Μ ' Ν '). (5) Αποφασίζουμε πάνω από ποια χωρία του σχείου έχει σημεία ο ρόμος (εώ πάνω από τα χ2, χ 3). Βρίσκουμε την τομή του επιπέου του ρόμου με καθένα από τα επίπεα του φυσικού εάφους πάνω από τα χωρία αυτά (εώ οι ευθείες,t0 ) και αποφασίζουμε σε ποια τμήματα κάθε ακμής πλευράς του ρόμου έχουμε επιχωματώσεις (εώ παντού, ηλαή στα τμήματα Α' Μ ', Η' Ν ') ή εκχωματώσεις (εώ πουθενά). Σχήμα 3 3
Πρανή επίπεα. Από κάθε τμήμα της πλατείας ή του εάφους ιέρχεται ένα πρανές επίπεο επιχωμάτωσης ή εκχωμάτωσης. (6) Για κάθε επίπεο επιχωμάτωση ή εκχωμάτωση της πλατείας ή του ρόμου χαράσσουμε μερικές ιχνοπαραλλήλους (εώ οι ιάστικτες ευθείες) με ακέραια υψόμετρα. Προσοχή: τα τμήματα της πλατείας είναι οριζόντια, οπότε οι ζητούμενες ιχνοπαράλληλες για τις επιχωματώσεις ή εκχωματώσεις που ξεκινούν από αυτά είναι παράλληλές τους ευθείες. Όμως οι ακμές του ρόμου εν είναι οριζόντιες, και για τη χάραξη των ιχνοπαραλλήλων του πρανούς που τους αντιστοιχεί απαιτείται η γνωστή μέθοος (εώ χρήση των σημειωμένων κύκλων). Στο σχήμα τα πορτοκαλί τμήματα είχνουν την απόσταση μεταξύ των ιαοχικών ιχνοπαραλλήλων (εώ 5χστ ή 10χστ αναλόγως), και κάθε ιχνοπαράλληλος συνοεύεται από το υψόμετρό της (εώ 0,1,2,3,4 ή 5 αναλόγως). Σχήμα 4 4
Τομές πρανών επιπέων μεταξύ τους και με το έαφος. (7) Για κάθε τμήμα της πλατείας ή του ρόμου χαράσσουμε την κοινή ευθεία του πρανούς επιπέου του με το επίπεο του εάφους πάνω από το οποίο βρίσκεται το τμήμα. Επίσης, για κάθε ύο ιπλανά τμήμα της πλατείας ή του επιπέου για τα οποία τα πρανή επίπεά τους είναι αμφότερα επιχωματώσεις ή εκχωματώσεις χαράσσουμε την κοινή ευθεία των πρανών επιπέων τους. (Εώ οι παραπάνω τομές είναι οι μωβ ευθείες και για ορισμένες σημειώνονται τα επίπεα που τις έχουν ως τομές.) Με τον παραπάνω τρόπο, για κάθε άκρο οποιουήποτε τμήματος της πλατείας ή του ρόμου κατασκευάζεται ακριβώς μία ευθεία που ιέρχεται από το άκρο αυτό. Ορισμένες από τις ευθείες που κατασκευάζονται ε ιέρχονται από άκρα τμημάτων της πλατείας ή του ρόμου. Και ορισμένες ακόμη ευθείες που θα χρειαστούν στη συνέχεια, εν έχουν ακόμη κατασκευαστεί. Για επίπεα με μη παράλληλες ιχνοπαράλληλες, η κοινή τους ευθεία είναι αυτή που ιέρχεται από τα σημεία τομής ύο ζευγών ιχνοπαραλλήλων τους κοινού υψομέτρου, π.χ. του υψομέτρου της πλατείας και του υψομέτρου της πλατείας + 1 ή 1. Για επίπεα με παράλληλες ιχνοπαράλληλες, η κοινή τους ευθεία είναι παράλληλη στην κοινή ιεύθυνση των ιχνοπαραλλήλων τους, και ιέρχεται από το σημείο τομής ύο ζευγών ιχνοπαραλλήλων τους κοινού υψομέτρου, π.χ. του υψομέτρου της πλατείας και του υψομέτρου της πλατείας + 1 ή 1. Σχήμα 5 5
Πρανή (ή πρανή πολύγωνα) και κατασκευή τους. Το πρανές ή πρανές πολύγωνο του κάθε τμήματος της πλατείας ή του ρόμου είναι ένα πολύγωνο μια πλευρά του οποίου είναι το ίιο το τμήμα και οι υπόλοιπες πλευρές είναι τμήματα των τομών του πρανούς επιπέου που περιέχει το τμήμα με ένα από τα ιπλανά πρανή επίπεα ή με το έαφος. Για την κατασκευή του πρανούς ενός τμήματος της πλατείας ή του ρόμου, θεωρούμε πως το τμήμα έχεις σημεία εξολοκλήρου πάνω από ένα μόνο χωρίο από τα χ1, χ2, χ 3, ειάλλως το ιαμερίζουμε σε μικρότερα τμήματα ώστε αυτό να συμβαίνει (εώ π.χ. το τμήμα Β' Γ ' ιαμερίζεται στα Β ' Σ', Σ' Γ ') και ενεργούμε ως εξής: (8) Έστω = Χ ' Υ' ένα τμήμα της πλατείας ή του ρόμου. Ας συμβολίσουμε (i) πρ το πρανές επίπεο του, (ii) εx, ε Y τις ευθείες του πρ που κατασκευάζονται στο βήμα (7) και ιέρχονται από τα άκρα Χ, Υ αντιστοίχως, (iii) ε την τομή του πρ με το έαφος πάνω από το τμήμα που κατασκευάζεται στο βήμα (7) (η ε μπορεί να ταυτίζεται με κάποια από τις εx, ε Y ), (iv) χ το χωρίο του εάφους που βρίσκεται επάνω από το. Αν το πολύγωνο pol που ορίζουν τα Χ, Υ και τα σημεία τομής των εx, εy, ε βρίσκεται εντός του χωρίου χ τότε το pol είναι το ζητούμενο πρανές του. (Εώ, αυτό συμβαίνει π.χ. για το πρανές του Γ' Λ '.) Αν όμως το pol εισέρχεται σε χωρίο χ i ιαφορετικό χ, τότε χαράσσουμε την ευθεία τομής ε 1 του πρ με το επίπεο του εάφους που αντιστοιχεί στο χ i. Στη θέση του pol, θεωρούμε πλέον το pol 1 που ορίζουν τα Χ, Υ και τα σημεία τομής των εx, εy, ε, ε 1 και ελέγχουμε αν αυτό ανήκει στην ένωση των χωρίων χ, χ i. Αν όντως ανήκει, τότε αυτό το πολύγωνο pol 1 είναι το ζητούμενο πρανές του. (Εώ, αυτό συμβαίνει π.χ. για το πρανές του Β' Γ '.) Αν το pol 1 εισέρχεται σε χωρίο χ j ιαφορετικό των χ1, χ2, χ 3, τότε χαράσσουμε και την ευθεία τομής ε 2 του χ, i χ, ηλαή στο τελευταίο από τα τρία αρχικά χωρία πρ με το επίπεο του εάφους που αντιστοιχεί στο χ j και το ζητούμενο πρανές του είναι το πολύγωνο pol 2 που ορίζουν τα Χ, Υ και τα σημεία τομής των εx, εy, ε, ε1, ε 2. (Εώ, αυτό συμβαίνει π.χ. για το πρανές του Ε ' Ζ '.) Παραμένει μια μικρή περιπλοκή στην περίπτωση που «μακρινά» πρανή τέμνονται μετά την κατασκευή τους (Θα μπορούσε π.χ. τα σχειασμένα πρανή των Η' Ν', Ε' Ζ ' να τέμνονται!) Στην περίπτωση αυτή πρέπει να λάβουμε υπόψην την τομή τους για την αναμόρφωση του συνόρου τους με τον προφανή τρόπο. Είναι χρήσιμο να παρατηρήσουμε πως: Όταν ύο ιπλανή πρανή τέμνονται, τα αντίστοιχα πρανή πολύγωνα μοιράζονται ολόκληρη κοινή πλευρά. Τρία επίπεα σε γενική θέση τέμνονται σε ένα σημείο. Έτσι π.χ. αν ένα επίπεο του φυσικού εάφους τέμνει αμφότερα ύο τεμνόμενα ιπλανά πρανή, τότε τα τέμνει και σε μια κοινή κορυφή των πολυγώνων τους. Επίσης, αν ένα πρανές τέμνει αμφότερα το οριζόντιο επίπεο και ένα από τα πλάγια επίπεα του φυσικού εάφους, τότε τα τέμνει και σε μια κορυφή του πολυγώνου του. Συχνά στην πράξη συντομεύουμε ή παραλλάσουμε τα βήματα (1) (8). 6
Σχήμα 6 Το πρανές του Ε ' Δ ' εν έχει ολοκληρωθεί ιότι έχει σημεία και πάνω από το π, ενώ το πρανές του Ε ' Ζ ' έχει επίσης σημεία τόσο απάνω από το π, όσο και από το τ. Οι τομές των πρανών των ΔΕ ' ', ΕΖ ' ' με το π είναι ευθείες παράλληλες στα ΔΕ ' ', ΕΖ ' ' από τα σημείο α,, αντιστοίχως (όπου η τομή της Δικαιολογήστε). Έτσι, τελικά τα ζητούμενα πρανή ίνονται στο επόμενο Σχήμα: Ε ' β με την παράλληλη προς το ΔΈ ' από το α. 7
Σχήμα 7 8
Συνοπτικά (χωρίς τους συμβολισμούς που εισαγάγαμε καθοόν): Σχήμα 8 9
ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 2. Στην πλατεία του Παραείγματος 1 (Σχήμα 8) πρόκειται να κατασκευάσουμε στέγη οριζόντιου περιγράμματος με προβολή το c0 = ΑΒΓ ' ' ' ΔΕΖ ' ' ', και ισοκλινείς έρες ως προς το έαφος. Να παραστήσετε τη στέγη. Σχήμα 9 Η έννοια της παράστασης και παρατηρήσεις: Από κάθε πλευρά του περιγράμματος ιέρχεται ένα επίπεο της στέγης και ορισμένα από αυτά τα επίπεα τέμνονται μεταξύ τους ημιουργώντας μια πολυερική επιφάνεια με μοναικό σύνορο το οσμένο περίγραμμα. Η επιφάνεια αυτή είναι η στέγη, και η ζητούμενη παράστασή της είναι η προβολή στο οσμένο επίπεο χαρτί των ακμών της ως πολυερικής επιφάνειας. Δηλαή παράσταση της στέγης είναι η προβολή των πλευρών των ιαφόρων επιπέων πολυγώνων που την αποτελούν. Πρόκειται ηλαή για τα ευθύγραμμα τμήματα του αρχικού περιγράμματος, καθώς και για ορισμένα τμήματα επάνω σε κάποιες τομές των ιαφόρων επιπέων της στέγης που είναι επίπεα που ιέρχονται από τις πλευρές του περιγράμματος. Οπωσήποτε θα υπάρχουν τμήματα που ανήκουν στην τομή των επιπέων που ιέρχονται από τα επίπεα ύο ιπλανών πλευρών του αρχικού περιγράμματος. Αυτά έχουν το ένα τους άκρο στην κοινή κορυφή των ύο πλευρών του περιγράμματος και η προβολή τους ανήκει στη ιχοτόμο της εσωτερικής γωνίας του περιγράμματος που ημιουργείται από τις ύο πλευρές. Ο λόγος είναι πως τα αντίστοιχα επίπεα των ύο πλευρών ίνεται πως είναι ισοκλινή ως προς το οριζόντιο επίπεο (ηλαή το επίπεο των προβολών ή με άλλα λόγια το επίπεο της παράστασης). Ξεκινώντας από αυτή την παρατήρηση, θα κατασκευάσουμε την παράσταση της στέγης σα να «χτίζουμε» λίγο λίγο σε ζώνες γύρω από το αρχικό περίγραμμα όπως όταν π.χ. σε μια πραγματική στέγη τοποθετούμε σειρές από κεραμίια τη μία πάνω από την άλλη ολόγυρα. Οι ζώνες αυτές θα αρχίζουν από το παλιό περίγραμμα και θα τελειώνουν σε ένα νέο περίγραμμα, όλα τα σημεία του οποίου θα βρίσκονται στο ίιο υψόμετρο, γεγονός που θα εκφράζεται στην παράσταση από μια νέα κλειστή πολυγωνική γραμμή στο εσωτερικό του παλιού περιγράμματος με ίιο πλήθος πλευρών με αυτές του αρχικού, και πλευρές μία προς μία παράλληλες και με την ίια σειρά προς αυτές το παλιού. Το νέο στοιχείο του νέου εσωτερικού περιγράμματος θα είναι πως ορισμένες από τις πλευρές του θα είναι τετριμμένες μηενικού μήκους ή θα περιέχονται σε άλλες, οπότε το νέο περίγραμμα πολύγωνο μπορεί να θεωρηθεί πως έχει λιγότερες «χρήσιμες» πλευρές από το αρχικό. Το φαινόμενο αυτό συμβαίνει ιότι καθώς συνεχίζουμε το χτίσιμο με σειρές κεραμιιών και υψώνουμε όλο και περισσότερο τη στέγη, αρχίζουν κάποια στιγμή και τέμνονται και πιο «απομακρυσμένα» επίπεά της εκτός των οποιοήποτε ύο αρχικών «ιπλανών». Πλευρά μηενικού μήκους εμφανίζεται όταν π.χ. τρία «συνεχόμενα» επίπεα τέμνονται από κοινού, ενώ η μία πλευρά του νέου περιγράμματος περιέχεται σε μια άλλη όταν π.χ. τέμνονται μη συνεχόμενα επίπεα που ιέρχονται από πλευρές του αρχικού περιγράμματος που είναι μεταξύ τους παράλληλες. Η ιαικασία αυτή του χτισίματος έως κάποιο ύψος είναι ιαισθητικά φανερό πως κάποια στιγμή θα σταματήσει καθώς τα επίπεα της στέγης έχουν κλίση προς το εσωτερικό του περιγράμματος, οπότε κάποια στιγμή θα έχουμε καλύψει ολόκληρο το εσωτερικό (ηλαή κατακόρυφα επάνω από κάθε σημείο του εσωτερικού θα έχει «απλωθεί» κάποιο από τα αρχικά επίπεα). Μαθηματικώς είμαστε σίγουροι πως η ιαικασία αυτή κάποτε θα τελειώσει, επειή το κάθε νέο εσωτερικό περίγραμμα υπολείπεται από το προηγούμενο κατά μία τουλάχιστον πλευρά. Το σχέιο για την κατασκευή: με βάση τα παραπάνω, θα κατασκευάσουμε την παράσταση της στέγης εκτελώντας επαναληπτικά τρία βήματα. (1) Στο πρώτο βήμα βρίσκουμε σημείο εκκίνησης στο εσωτερικό του εκάστοτε περιγράμματος στο οποίο τέμνονται τρία ιαοχικά επίπεα. Αυτό σημαίνει πως θα βρίσκουμε τα σημεία τομής όλων των ιαοχικών ιχοτόμων των γωνιών του περιγράμματος, και από αυτά θα επιλέγουμε το κατάλληλο. Τα σημεία τομής που βρίσκονται εκτός περιγράμματος φυσικά εν είναι κατάλληλα. Από τα υπόλοιπα, το κατάλληλο είναι αυτό που το αληθινό σημείο των επιπέων κατακορύφως ακριβώς από πάνω του, βρίσκεται στο χαμηλότερο υνατό υψόμετρο σε σχέση με τα υπόλοιπα. Ο λόγος είναι πως ως αυτό το σημείο μπορούμε ανεμπόιστα να χτίσουμε υψώσουμε τη στέγη με τον τρόπο που αναφέραμε, ηλαή σειρά μετά τη σειρά τα κεραμίια. Στο σχέιό μας το σημείο αυτό εντοπίζεται σχετικά εύκολα, καθώς είναι εκείνο μεταξύ των τομών των 10
ζευγών των ιαοχικών ιχοτόμων που βρίσκεται πιο κοντά στην αντίστοιχη πλευρά του ηλαή την πλευρά του περιγράμματος με άκρα τα σημεία από όπου ξεκινούν οι ευθείες ιχοτόμοι που ορίζουν το σημείο ως τομή τους. Η επιλογή μας θα είναι η σωστή ιότι οι αποστάσεις των σημείων αυτών από τις αντίστοιχες πλευρές τους είχνουν τα υψόμετρα των αληθινών σημείων των επιπέων της στέγης ακριβώς από επάνω τους. Όταν το αρχικό περίγραμμα αποτελείται από γωνίες ίσες με μία ή τρεις ορθές όπως στο παράειγμά μας, εν είναι αναγκαίο να συγκρίνουμε τις αποστάσεις των σημείων από τις αντίστοιχες πλευρές τους για την εύρεση του κατάλληλου σημείου εκκίνησης. Αρκεί να επιλέγουμε το σημείο του οποίου η αντίστοιχη πλευρά είναι η μικρότερη. Ο λόγος είναι πως για αυτά τα περιγράμματα τα τρίγωνα που ημιουργούν τα σημεία με τις αντίστοιχες πλευρές του είναι όλα όμοια μεταξύ τους (όλα τους ισοσκελή και ορθογώνια στην κορυφή του σημείου). Τέλος, ας παρατηρήσουμε πως μπορούν να υπάρξουν περισσότερα από ένα κατάλληλα σημεία εκκίνησης ταυτόχρονα. Αυτό εν είναι παράξενο. Σε απομακρυσμένες περιοχές της αληθινής στέγης, μπορούν κάλλιστα να υπάρξουν στο ίιο ύψος σημεία του ίιου υψομέτρου που αποτελούν το καθένα τους τομές τριών ιαοχικών επιπέων της. Όπως θα ούμε στο επόμενο βήμα, το φαινόμενο αυτό εν αποτελεί ούτε και πρόβλημα. (2) Στο εύτερο βήμα, κατασκευάζουμε νέο εσωτερικό περίγραμμα, ως πολύγωνο με παράλληλες πλευρές στο εκάστοτε αρχικό περίγραμμα. Για τούτο, θεωρούμε πως το σημείο εκκίνησης ανήκει σε μία από τις ύο ιχοτόμους που το ορίζει και επιλέγοντας φορά κίνησης γύρω από το αρχικό περίγραμμα ορίζουμε σημεία στις ιαοχικές ιχοτόμους που συναντούμε ώστε κάθε τμήμα μεταξύ ύο ιχοτόμων να ανήκει σε ευθεία παράλληλη στην αντίστοιχη πλευρά ηλαή την πλευρά με άκρα τις κορυφές από όπου ιέρχονται οι ύο ιχοτόμοι. Η ιαικασία κατασκευής του νέου περιγράμματος πολυγώνου ολοκληρώνεται όταν επιστρέψουμε στο αρχικό σημείο. Αυτό συμβαίνει οπωσήποτε και αποτελεί τετριμμένη Άσκηση για τον ενιαφερόμενο. Το νέο περίγραμμα πολύγωνο αποτελεί ουσιαστικά την αποτύπωση στο σχέιό μας της προβολής όλων των σημείων της αληθινής στέγης με υψόμετρο όσο και το σημείο εκκίνησης, ηλαή όσο και το σημείο εκείνο μέχρι το οποίο εν υπάρχουν εμπόια για το χτίσιμο της στέγης με ιαοχικές σειρές κεραμιιών. Οπότε η γραμμή αυτή περιέχει όλα τα υνατά σημεία εκκίνησης, που μπορεί να είναι περισσότερα του ενός. Έτσι το βήμα (2) εκτελείται ίχως να μας ενιαφέρει το συγκεκριμένο επιλεγμένο σημείο εκκίνησης μεταξύ όλων των υνατών που προέκυψαν από το βήμα (1). Ας παρατηρήσουμε πως καθώς το σημείο εκκίνησης αποτελεί τετριμμένη πλευρά μηενικού μήκους του νέου εσωτερικού περιγράμματος, το νέο αυτό περίγραμμα έχει μία τουλάχιστον λιγότερη πλευρά από το προηγούμενο. Όπως ήη αναφέραμε προηγουμένως, το γεγονός αυτό ιασφαλίζει πως η όλη ιαικασία θα τερματιστεί μετά από πεπερασμένο πλήθος επαναλήψεων. (3) Στο τρίτο βήμα σημειώνουμε στο σχέιό μας όλα τα ευθύγραμμα τμήματα που προέκυψαν από τα προηγούμενα ύο βήματα ως νέα τμήματα της παράστασης της στέγης. Αυτά είναι (α) τα τμήματα επάνω στις ιχοτόμους του παλιού περιγράμματος που ενώνουν αντίστοιχες κορυφές των ύο περιγραμμάτων, (β) Τα τμήματα του νέου περιγράμματος που ανήκουν σε άλλα μεγαλύτερα (ή ίσα τους, ηλαή ταυτίζονται μεταξύ τους). Τα (α) τμήματα του σχείου αντιστοιχούν στα τμήματα στην αληθινή στέγη κατά τα οποία υψώθηκαν μεταξύ των ύο περιγραμμάτων τα κοινά σημεία των ιαοχικών επιπέων μέχρι να συναντηθεί το πρώτο εμπόιο, ηλαή η τομή τριών ιαοχικών επιπέων. Σημειωτέον πως ιαοχικά επίπεα για κάποιο εσωτερικό περίγραμμα μπορεί να μην είναι ιαοχικά για κάποιο προηγούμενο! Τα (β) τμήματα του σχείου αντιστοιχούν στα σημεία της αληθινής στέγης που προκύπτουν ως τομές επιπέων ιερχόμενων από παράλληλες πλευρές του περιγράμματος για τις οποίες υπάρχει άλλη μία μοναική πλευρά του περιγράμματος που τις συνέει. Κοντολογίς, αντιστοιχούν στους λεγόμενους οριζόντιους καβαλάρηες ή κορφιάτες της στέγης. Πρόκειται για τμήματα οριζόντια, ηλαή σημείων του αυτού υψομέτρου πάνω στα οποία συναντώνται ύο παραιπλανά επίπεα της στέγης. Προσοχή, παραιπλανά επίπεα για κάποιο εσωτερικό περίγραμμα μπορεί να μην είναι παραιπλανά για τα προηγούμενα! Τούτων λεχθέντων, ας σημειώσουμε πως ορισμένες φορές παρουσιάζεται η περιπλοκή κάποιο νέο εσωτερικό περίγραμμα να είναι αυτοτεμνόμενο πολύγωνο. Υπάρχει τρόπος να χειριστούμε κι αυτή την περίπτωση, αλλά εν θα επεκταθούμε εώ. Τέλος, στην περίπτωση των μη πολυγωνικών περιγραμμάτων, μπορεί κανείς να εφαρμόσει την παρούσα μέθοο, αφού προσεγγίσει πρώτα το περίγραμμα από κάποιο πολύγωνο με επιθυμητό μέγιστο μήκος πλευράς. Λύση. Οι κόκκινες γραμμές αποτελούν μέρος της παράστασης της στέγης, και τα κόκκινα σημεία είναι τα σημεία εκκίνησης. Σχήμα 10 11
Σχήμα 11 Σχήμα 12 Σχήμα 13 Σχήμα 14 12
Σχήμα 15 13
Άσκηση 1. Το έαφος μιας περιοχής προσομοιάζεται από τα επίπεα στ(των, οποίων οι ιχνοπαράλλληλες υψομέτρων 4 και 5 ίνονται στο Σχήμα 16) και από το οριζόντιο επίπεο π υψομέτρου 0. Σε υψόμετρο 4 πρόκειται να κατασκευαστεί πολυγωνική πλατεία ΑΒΓΔ καθώς και κεκλιμένος ρόμος πλάτους 20χστ με συμμετρικές προβολές πλευρών ως προς την ευθεία ε του σχήματος, αρχίζοντας από τμήμα της πλευράς ΓΔ της πλατείας και καταλήγοντας στο π. Να βρεθεί η κατάληξη του ρόμου και να κατασκευαστούν τα πρανή των επιχωματώσεων και εκχωματώσεων του ρόμου και της πλατείας όταν βήμα επιχωματώσεων=10χστ, κλίση εκχωματώσεων= 20% (και μονάα μέτρησης το 1 χστ ), βήμα ρόμου=15χστ. Σχήμα 16 14
Άσκηση 2. Το έαφος μιας περιοχής προσομοιάζεται από τα κεκλιμένα επίπεα και από το οριζόντιο επίπεο π υψομέτρου 0. Δίνονται οι ιχνοπαράλληλες υψομέτρου 2,3,4 του σ, η ιχνοπαράλληλος υψομέτρου 3 του τ και η κοινή ευθεία ε των στ(σχήμα, 17). Σε υψόμετρο 3 πρόκειται να κατασκευαστεί πολυγωνική πλατεία ΑΒΓΔΕΖΗ καθώς και κεκλιμένος ρόμος αρχίζοντας από τo τμήμα ΔΗ της πλατείας και καταλήγοντας στο π με προβολές πλευρών τις οσμένες στο σχήμα. Να βρεθεί η κατάληξη του ρόμου και να κατασκευαστούν τα πρανή των επιχωματώσεων και εκχωματώσεων του ρόμου και της πλατείας όταν βήμα επιχωματώσεων=10χστ, βήμα εκχωματώσεων= 5χστ, βήμα ρόμου= 20χστ. Σχήμα 17 15
Άσκηση 3. Το έαφος μιας περιοχής προσομοιάζεται από τα κεκλιμένα επίπεα στ, (των οποίων οι ιχνοπαράλληλες υψομέτρων 0 και 4 ίνονται στο Σχήμα 18) και από το οριζόντιο επίπεο π υψομέτρου 0. Σε υψόμετρο 4 πρόκειται να κατασκευαστεί πλατεία σχήματος ορθογωνίου παραλληλογράμμου ΑΒΓΔ, καθώς και κεκλιμένος ρόμος που αρχίζει από τo τμήμα ΓΕ της πλατείας και καταλήγει στο π, με προβολές πλευρών τις οσμένες στο σχήμα. Να βρεθεί η κατάληξη του ρόμου και να κατασκευαστούν τα πρανή των επιχωματώσεων και εκχωματώσεων του ρόμου και της πλατείας όταν κλίση επιχωματώσεων=10%, κλίση εκχωματώσεων= 20%, βήμα ρόμου= 20χστ, και μονάα μέτρησης το 1 χστ. Σχήμα 18 16
Άσκηση 4. Το έαφος μιας περιοχής προσομοιάζεται από τα κεκλιμένα επίπεα στ, (των οποίων οι ιχνοπαράλληλες υψομέτρων 3, 4,5 ίνονται στο Σχήμα 19) και από το οριζόντιο επίπεο π υψομέτρου 0. Σε υψόμετρο 4 πρόκειται να κατασκευαστεί πολυγωνική πλατεία ΑΒΓΔΕΖ, καθώς και κεκλιμένος ρόμος που αρχίζει από τo τμήμα ΖΗ της πλατείας και καταλήγει στο π, με προβολές πλευρών τις οσμένες στο σχήμα. Να βρεθεί η κατάληξη του ρόμου και να κατασκευαστούν τα πρανή των επιχωματώσεων και εκχωματώσεων του ρόμου και της πλατείας όταν βήμα επιχωματώσεων=10χστ, κλίση εκχωματώσεων= 5χστ, βήμα ρόμου= 20χστ. Σχήμα 19 17
Άσκηση 5. Στην πλατεία της Άσκησης 1 (Σχήμα 19) πρόκειται να κατασκευάσουμε στέγη οριζόντιου περιγράμματος με προβολή το c0 = ΑΒΓ ' ' ' ΔΕΖ ' ' ', και ισοκλινείς έρες ως προς το έαφος. Να παραστήσετε τη στέγη. Σχήμα 20 18
Άσκηση 6. Στην πλατεία της Άσκησης 3 (Σχήμα 20) πρόκειται να κατασκευάσουμε στέγη οριζόντιου περιγράμματος με προβολή το c0 = ΑΒΓ ' ' ' ΔΕΖ ' ' ', και ισοκλινείς έρες ως προς το έαφος. Να παραστήσετε τη στέγη. Σχήμα 21 19
Άσκηση 7. Πρόκειται να κατασκευάσουμε στέγη με προβολή περιγράμματος το πολύγωνο c 0, και ισοκλινείς έρες ως προς το επίπεο του περιγράμματος. Να παραστήσετε τη στέγη. Σχήμα 22 20