ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ. f (x) =, x 0, (1), x. lim f (x) = lim = +. x

Transcript

1 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 2: ΑΣΥΜΠΤΩΤΕΣ - ΚΑΝΟΝΕΣ DE L HOSPITAL - ΜΕΛΕΤΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ [Κεφ. 2.9: Ασύμπτωτες Κανόνες de l Hospital Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΑΣΥΜΠΤΩΤΕΣ-ΚΑΝΟΝΑΣ DE L HOSPITAL Ασύμπτωτες Καθώς ένα σημείο Μ κινείται στη γραφική παράσταση της συνάρτησης με τύπο y = () είναι δυνατόν να συμβεί ώστε, η απόσταση ανάμεσα στο Μ και κάποια σταθερή ευθεία (ε) να τείνει στο μηδέν. Σ αυτή την περίπτωση η ευθεία (ε) ονομάζεται ασύμπτωτη της γραφικής παράστασης της συνάρτησης. Έχουμε τριών ειδών ασύμπτωτες :. Κατακόρυφη ασύμπτωτη Έστω η συνάρτηση με τύπο y () =,, (), y = Ο Σχήμα τότε, όταν + έχουμε : lim () = lim = Αυτό σημαίνει ότι, καθώς το τείνει στο από θετικές τιμές, η γραφική παράσταση της τείνει να συμπέσει με την ευθεία =, (βλέπε σχήμα ). Στην περίπτωση αυτή λέμε ότι η ευθεία =, δηλαδή ο άξονας yy, είναι κατακόρυφη ασύμπτωτη της C. Γενικά: ΟΡΙΣΜΟΣ Αν ένα τουλάχιστον από τα όρια lim (), + lim () είναι + ή, τότε η ευθεία = λέγεται κατακόρυφη ασύμπτωτη της γραφικής παράστασης της συνάρτησης.

2 2.Οριζόντια ασύμπτωτη Για την ίδια συνάρτηση, σχέση (), παρατηρούμε ότι: lim () = lim =. + + Αυτό σημαίνει ότι, καθώς το χ τείνει στο +, η γραφική παράσταση της τείνει να συμπέσει με την ευθεία y= (βλέπε Σχήμα ). Στην περίπτωση αυτή λέμε ότι η ευθεία y=, δηλαδή ο άξονας, είναι οριζόντια ασύμπτωτη της C στο +. Επίσης παρατηρούμε ότι : lim () = lim =. Αυτό σημαίνει ότι, καθώς το τείνει στο, η γραφική παράσταση της τείνει να συμπέσει με την ευθεία y= (βλέπε Σχήμα ). Στην περίπτωση αυτή λέμε ότι η ευθεία y=, δηλαδή ο άξονας, είναι οριζόντια ασύμπτωτη της C στο. Γενικά: ΟΡΙΣΜΟΣ Αν lim () = (αντιστοίχως + lim () = ), τότε η ευθεία y = λέγεται οριζόντια ασύμπτωτη της γραφικής παράστασης της καμπύλης y ). 3.Πλάγια ασύμπτωτη = () για + (αντίστοιχα Έστω η συνάρτηση με τύπο () = +, και ευθεία με εξίσωση y = g() = y C () ( ) Ο Σχήμα 2 2

3 Επειδή lim [ () g()] = lim =, καθώς το τείνει στο +, οι τιμές της προσεγγίζουν + + τις τιμές της g. Δηλαδή, η γραφική παράσταση της προσεγγίζει την ευθεία y= (βλέπε σχήμα 2). Στην περίπτωση αυτή λέμε ότι η ευθεία y= είναι ασύμπτωτη (πλάγια) της C στο +. Γενικά: ΟΡΙΣΜΟΣ Η ευθεία y=λ +β λέγεται ασύμπτωτη της γραφικής παράστασης της καμπύλης y = () στο +, αντιστοίχως στο, αν αντιστοίχως Η ασύμπτωτη y lim [ () ( λ +β )] =, + lim [ () ( λ +β )] =. =λ +β είναι οριζόντια αν λ=, ενώ αν λ λέγεται πλάγια ασύμπτωτη. Για τον προσδιορισμό των ασυμπτώτων μιας συνάρτησης ισχύει το παρακάτω θεώρημα. ΘΕΩΡΗΜΑ Η ευθεία y=λ +β είναι ασύμπτωτη της γραφικής παράστασης της στο +, αντιστοίχως στο, αν και μόνο αν () lim =λ και + lim[() λ ] =β + αντιστοίχως () lim =λ και lim[() λ ] =β. 3

4 Σημαντικές παρατηρήσεις. Είναι προφανές ότι ασύμπτωτες της μορφής y=λ +β αναζητούμε μόνο αν στο πεδίο ορισμού της συνάρτησης υπάρχουν υποσύνολα της μορφής ( α, + ) (,b). 2. Για τις πολυωνυμικές συναρτήσεις βαθμού μεγαλύτερου ή ίσου του 2 αποδεικνύεται ότι δεν έχουν ασύμπτωτη. 3. Για τις ρητές συναρτήσεις με τύπο : ν ν P() () = Q() = α ν +α ν + +α, β ρ ρ +β + +β ρ ρ όπου αν,, α, βρ,, β,, ν, ρ,q(), αποδεικνύεται ότι : Αν ν>ρ+ τότε, η γραφική παράσταση της συνάρτησης δεν έχει πλάγια ή οριζόντια ασύμπτωτη. Αν ν=ρ+ τότε, η γραφική παράσταση της συνάρτησης έχει πλάγια ασύμπτωτη y=λ +β την ίδια στο + και στο. Αν ν ρ τότε, η γραφική παράσταση της συνάρτησης έχει οριζόντια ασύμπτωτη την y = β και μάλιστα αν ν<ρ τότε y =. 4. Σύμφωνα με τους παραπάνω ορισμούς, ασύμπτωτες της γραφικής παράστασης μιας συνάρτησης αναζητούμε: Στα άκρα των διαστημάτων του πεδίου ορισμού της στα οποία η δεν ορίζεται. Στα σημεία του πεδίου ορισμού της, στα οποία η δεν είναι συνεχής. Στο +,, εφόσον η συνάρτηση ορίζεται σε υποσύνολα του πεδίου ορισμού της,με μορφή των υποσυνόλων ( α, + ), αντιστοίχως (,b). 5. Ισχύουν οι ισοδυναμίες: Η ευθεία y=λ +β είναι πλάγια ασύμπτωτη του γραφήματος της τότε,και μόνο τότε αν : ± ( ) lim () λ +β = Η ευθεία y = β είναι οριζόντια ασύμπτωτη του γραφήματος της τότε,και μόνο τότε αν : ± [ ] lim () β = ή 4

5 6. Μία συνάρτηση μπορεί να έχει ή μόνο μία οριζόντια ασύμπτωτη ή μόνο μία πλάγια,b. ασύμπτωτη ή καθόλου στο διάστημα (, ) α +. Όμοια στο ( ) 7. Η έννοια της ασύμπτωτης είναι τοπική συμπεριφορά του γραφήματος της και όχι γενική. Δηλαδή: Στην κατακόρυφη ασύμπτωτη =, έχουμε πληροφορία για την γραφική παράσταση της, για εκείνα τα D που βρίσκονται πολύ κοντά στο. Στην οριζόντια και στην πλάγια ασύμπτωτη έχουμε πληροφορία για την γραφική παράσταση της, για τα D που βρίσκονται σε διαστήματα της μορφής ( α, + ),με α> ή ( ),b, με b <. 8. Αν μία συνάρτηση είναι συνεχής στο τότε δεν έχει κατακόρυφες ασύμπτωτες. 9. Είναι δυνατόν η να ορίζεται στο και όμως να έχει κατακόρυφη ασύμπτωτη την =, π.χ η συνάρτηση με τύπο:, () = 2, = Δηλαδή η κατακόρυφη ασύμπτωτη μπορεί να τέμνει την γραφική παράσταση της το πολύ σ ένα σημείο.. Σε αντίθεση με την κατακόρυφη ασύμπτωτη η πλάγια και η οριζόντια ασύμπτωτη μπορούν να τέμνουν την γραφική παράσταση της συνάρτησης σε ένα ή περισσότερα σημεία.. Οι συναρτήσεις με τύπους () = c ή () =λ +κ έχουν ασύμπτωτες τον εαυτό τους. 5

6 Κανόνες De L Hospital Για τα όρια πηλίκου που οδηγούν σε απροσδιόριστες μορφές, ±, ισχύουν τα επόμενα ± θεωρήματα, που είναι γνωστά ως κανόνες de l Hospital. ΘΕΩΡΗΜΑ ο (μορφή ) Αν lim () άπειρο), τότε: =, lim g() =, {, + } και υπάρχει το () () lim = lim. g() g () () lim g () (πεπερασμένο ή ΘΕΩΡΗΜΑ 2ο (μορφή ± ± ) Αν lim () άπειρο), τότε: = ±, lim g() = ±, {, + } και υπάρχει το () () lim = lim. g() g () () lim g () (πεπερασμένο ή 6

7 Σημαντικές παρατηρήσεις. Το θεώρημα 2 ισχύει και για τις μορφές +, +,. 2. Τα παραπάνω θεωρήματα ισχύουν και για πλευρικά όρια και μπορούμε, αν χρειάζεται, να τα εφαρμόσουμε περισσότερες φορές, αρκεί να πληρούνται οι προϋποθέσεις τους. 3. Ο κανόνας του de l Hospital εφαρμόζεται με την προϋπόθεση ότι υπάρχουν οι παράγωγοι των συναρτήσεων,g στην περιοχή του, χωρίς απαραίτητα να είναι παραγωγίσιμες στο. 4. Το αντίστροφο του κανόνα de l Hospital δεν ισχύει πάντα, δηλαδή αν υπάρχει το όριο της συνάρτησης g στο, αυτό δεν σημαίνει ότι υπάρχει και το όριο της g στο και όταν δεν υπάρχει το όριο της g στο αυτό δεν σημαίνει ότι δεν υπάρχει το όριο της g στο. 5. Αν οι, g είναι συνεχείς στο και ισχύουν οι προϋποθέσεις του Θεωρήματος De () () ( ) L Hospital τότε έχουμε : lim = lim =. g() g g ( ) 6. Αν lim () = ± και lim g() = ± και αναζητούμε το lim[() g()] και καταλήγουμε σε απροσδιόριστη μορφή ( ) τότε εργαζόμαστε ως εξής: ( ) Εκτελούμε τις πράξεις στην () g() ή Βγάζουμε κοινό παράγοντα το () ή το g() και υπολογίζουμε αντίστοιχα g() () τα όρια lim ()[ ] ή lim g()[ ] () g() 7. Αν lim () = και lim g() = ± και αναζητούμε το Αρκεί να υπολογίσουμε ισοδύναμα το () lim g() ή το lim[() g()]. g() lim () έτσι ώστε να καταλήξουμε σε απροσδιόριστη μορφή ή και να εφαρμόσουμε τον κανόνα De L Hospital. 7

8 ΜΕΛΕΤΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Η πορεία που ακολουθούμε για να χαράξουμε την γραφική παράσταση μιας συνάρτησης λέγεται μελέτη της συνάρτησης και περιλαμβάνει τα παρακάτω βήματα: ο Βρίσκουμε το πεδίο ορισμού της. 2o Εξετάζουμε τη συνέχεια της στο πεδίο ορισμού της. 3ο Βρίσκουμε τις παραγώγους και και κατασκευάζουμε τους πίνακες των προσήμων τους. Με τη βοήθεια του προσήμου της προσδιορίζουμε τα διαστήματα μονοτονίας και τα τοπικά ακρότατα της, ενώ με τη βοήθεια του προσήμου της καθορίζουμε τα διαστήματα στα οποία η είναι κυρτή ή κοίλη και βρίσκουμε τα σημεία καμπής. 4ο Μελετούμε τη συμπεριφορά της συνάρτησης στα άκρα των διαστημάτων του πεδίου ορισμού της (οριακές τιμές, ασύμπτωτες, κτλ.) 5ο Συγκεντρώνουμε τα παραπάνω συμπεράσματα σ ένα συνοπτικό πίνακα που λέγεται και πίνακας μεταβολών της και με τη βοήθειά του χαράσσουμε τη γραφική παράσταση της. Για καλύτερη σχεδίαση της C κατασκευάζουμε έναν πίνακα τιμών της. ΣΧΟΛΙΟ. Όπως είναι γνωστό, αν μια συνάρτηση με πεδίο ορισμού το Α είναι άρτια, τότε η C έχει άξονα συμμετρίας τον άξονα yy, ενώ αν είναι περιττή, η C έχει κέντρο συμμετρίας την αρχή των αξόνων Ο. Επομένως, για τη μελέτη μιας τέτοιας συνάρτησης μπορούμε να περιοριστούμε στα A, με. 2. Αν μια συνάρτηση είναι περιοδική με περίοδο Τ, τότε περιορίζουμε τη μελέτη της C σ ένα διάστημα πλάτους Τ. Ημερομηνία τροποποίησης: 2/9/2 8