Πρακτικά 6 ου Πανελλήνιου Συνεδρίου της Εν.Ε.Δι.Μ.

Πρακτικά 6 ου Πανελλήνιου Συνεδρίου της Εν.Ε.Δι.Μ. ΣΥΓΚΡΙΣΗ ΕΠΙΦΑΝΕΙΩΝ ΜΕΣΩ ΕΚΤΙΜΗΣΗΣ ΚΑΙ ΜΕΤΡΗΣΗΣ ΜΕ ΧΡΗΣΗ ΒΟΗΘΗΤΙΚΩΝ ΜΕΣΩΝ Γεωργία Βαϊτσίδη & Χρυσάνθη Σκουμπουρδή* Πανεπιστήμιο Αιγαίου *kara@rhodes.aegean.gr Με σκοπό τη διερεύνηση των ικανοτήτων και των στρατηγικών μαθητών 8-9 ετών να συγκρίνουν το μέγεθος δύο επιφανειών μέσω εκτίμησης και μέτρησης με τη χρήση βοηθητικών μέσων πραγματοποιήθηκε έρευνα σε μία τάξη Δ δημοτικού. Από τα αποτελέσματα φάνηκε ότι τα παιδιά της συγκεκριμένης τάξης, στην πλειοψηφία τους, δεν ήταν ιδιαίτερα ικανά στην εκτίμηση και τη μέτρηση εμβαδών. Τα βοηθητικά μέσα που επιλέχτηκαν από τα παιδιά είτε δεν ήταν λειτουργικά για τη μέτρηση του εμβαδού είτε δε χρησιμοποιήθηκαν με τον κατάλληλο τρόπο. ΕΙΣΑΓΩΓΗ Η έννοια του εμβαδού και η μέτρησή του αρχίζει να αναπτύσσεται από την προσχολική ηλικία (ΠΣΝ, 2011). Τα παιδιά, στην ηλικία αυτήν, αντιλαμβάνονται την έννοια του εμβαδού, αλλά δε γνωρίζουν πώς μπορούν να μετρήσουν το μέγεθός του με ακρίβεια. Οι πρώτες τους προσπάθειες για τη μέτρησή του ξεκινάνε με την κάλυψη της επιφάνειας με χρήση βοηθητικών μέσων (Clements & Stephan, 2004). Η επιλογή και η χρήση των μέσων που θα διαμεσολαβήσουν για να βρεθεί το μέγεθος της επιφάνειας, καθώς και ο τρόπος διαχείρισής τους προβληματίζει την ερευνητική κοινότητα ως προς τέσσερις κυρίως συνισταμένες (Σκουμπουρδή, 2012), που συσχετίζονται μεταξύ τους: 1. Θα μπορέσουν οι μαθητές να αντιληφθούν το βοηθητικό μέσο ως μονάδα μέτρησης του εμβαδού; 2. Δίνει το μέσο ερεθίσματα για την κατανόηση της αντίστροφης σχέσης που χαρακτηρίζει το μέγεθος της μονάδας και τον αριθμό των μονάδων που χρησιμοποιούνται για τη μέτρηση; 3. Γίνεται φανερή η δόμηση σχηματισμού με αυτό το μέσο; 4. Μπορεί αργότερα να οδηγήσει, στην επιτυχή μετάβαση, στον τύπο υπολογισμού του εμβαδού; Με αφορμή τους παραπάνω προβληματισμούς, πραγματοποιήθηκε έρευνα με σκοπό την ανίχνευση των στρατηγικών παιδιών 8-9 ετών κατά την εκτίμηση και τη σύγκριση εμβαδών, καθώς και των ικανοτήτων τους στη μέτρηση εμβαδών με τη χρήση βοηθητικών μέσων. Τα ερευνητικά ερωτήματα που τέθηκαν ήταν: 1. Είναι ικανά τα παιδιά της Δ τάξης να συγκρίνουν το εμβαδόν δύο επιφανειών μέσω εκτίμησης και τι στρατηγικές χρησιμοποιούν; 2. Είναι ικανά τα παιδιά της Δ τάξης να μετρήσουν το εμβαδόν επιφανειών με τη χρήση βοηθητικών μέσων για να επιβεβαιώσουν την εκτίμησή τους και τι στρατηγικές χρησιμοποιούν; 3. Ποιό βοηθητικό 369

. Πρακτικά 6 ου Πανελλήνιου Συνεδρίου της Εν.Ε.Δι.Μ..μέσο επιλέγουν τα παιδιά για τη μέτρηση του εμβαδού; 4. Αντιλαμβάνονται τα παιδιά την ισότητα των δύο εμβαδών και με ποιόν τρόπο; ΘΕΩΡΗΤΙΚΟ ΠΛΑΙΣΙΟ Από έρευνες έχει φανεί ότι τα παιδιά από μικρά (4-5 ετών) είναι ικανά να συγκρίνουν άμεσα τα εμβαδά δύο σχημάτων (Clements & Stephan, 2004). Τρεις είναι οι κύριες στρατηγικές σύγκρισης δύο ή περισσοτέρων επιφανειών, που χρησιμοποιούν οι μαθητές, σύμφωνα με τις Yuzawa, Bart, Kinne, Sukemune και Kataoka (1999): 1. λαμβάνουν υπόψη τους και τις δύο διαστάσεις του σχήματος, και τα τοποθετούν με παρόμοιο προσανατολισμό στον χώρο. 2. Παρατηρούν μόνο τη μία διάσταση του σχήματος και η σύγκριση του εμβαδού γίνεται με βάση αυτή μόνο τη διάσταση. 3. Δε λαμβάνουν υπόψη τους καμία διάσταση του σχήματος και τα συγκρίνουν χωρίς κάποια συγκεκριμένη διευθέτησή τους στον χώρο. Όταν δεν είναι δυνατή η άμεση σύγκριση εμβαδών, χρησιμοποιείται η εκτίμηση ως μία κατά προσέγγιση μέτρηση, η εξοικείωση με την οποία καθιστά τον μαθητή πετυχημένο στις μετρήσεις (Muir, 2005). Η απουσία εργαλείων μέτρησης, κατά την εκτίμηση, σημαίνει νοερή ποσοτικοποίηση του προς μέτρηση εμβαδού μέσω της χρήσης μιας φανταστικής μονάδας μέτρησης, η οποία επιλέγεται από εκείνον που κάνει την εκτίμηση. Οι Joram, Subrahmanyam και Gelman (1998) αναφέρουν τις τρεις κύριες στρατηγικές που χρησιμοποιούν οι μαθητές κατά την εκτίμηση: 1. Επανάληψη της μονάδας μέτρησης: νοερός χωρισμός του υπό μέτρηση εμβαδού σε μονάδες και νοερή καταμέτρηση των μονάδων. 2. Σημείο αναφοράς: νοερή σύγκριση του προς μέτρηση εμβαδού με εμβαδόν επιφάνειας που γνωρίζουν. 3. Αποσύνθεση/ Ανασύνθεση: νοερός χωρισμός της επιφάνειας σε μικρότερα οικεία σχήματα και στη συνέχεια χρήση της πρώτης ή της δεύτερης στρατηγικής για την εκτίμηση των επιμέρους τμημάτων. Η διαφορά με τις προηγούμενες δύο είναι ότι το υπό μέτρηση αντικείμενο δεν μπορεί να εκτιμηθεί άμεσα γιατί δεν ευνοεί το σχήμα του. Η μέτρηση του εμβαδού με διαμεσολάβηση μονάδας μέτρησης, εμπλέκει πέντε θεμελιώδεις έννοιες (Clements & Stephan, 2004): α) τη διαμέριση, β) την επανάληψη της μονάδας, γ) τη διατήρηση, δ) τη δόμηση μιας διάταξης και ε) τη γραμμική μέτρηση. Με τις δύο τελευταίες να επιτυγχάνονται σταδιακά μέσα από επτά στάδια. Τα αποτελέσματα των ερευνών για τη μέτρηση εμβαδού δείχνουν (Mulligan, Prescott, Mitchelmore & Outhred, 2005 Zacharos & Ravanis, 2000) ότι πολλά μικρά παιδιά δεν μπορούν να επικαλύψουν συστηματικά ένα σχήμα ή αν το επικαλύψουν είτε δεν μπορούν να βρουν τον ακριβή αριθμό των μονάδων που χρησιμοποίησαν είτε δεν μπορούν να δηλώσουν πόσο είναι το εμβαδόν του σχήματος. Βέβαια, σε έρευνα στην οποία τα νήπια δούλεψαν σε ομάδες, φάνηκε ότι κατάφεραν και κάλυψαν την 370

. Πρακτικά 6 ου Πανελλήνιου Συνεδρίου της Εν.Ε.Δι.Μ..επιφάνεια με διακριτό υλικό και να το καταμετρήσουν, άλλοτε με συστηματικό τρόπο που οδηγούσε σε σωστά αποτελέσματα και άλλοτε με μη συστηματικό που οδηγούσε σε διχογνωμίες (Σκουμπουρδή & Παπαϊωάννου-Στραβολαίμου, 2011). Επίσης, έχει καταγραφεί ότι τα νήπια είναι ικανά να καλύψουν μια ορθογώνια επιφάνεια με γνωστά τους γεωμετρικά σχήματα (ορθογώνια παραλληλόγραμμα, τετράγωνα και τρίγωνα), σε ποικίλα μεγέθη, μορφές και τοποθετήσεις, αντιστοιχίζοντάς τα και συνθέτοντάς τα με τον κατάλληλο τρόπο, σε συγκεκριμένο χρονικό διάστημα, μέσω παιχνιδιού και να κάνουν συστηματική καταμέτρηση των σχημάτων (Σκουμπουρδή & Μαλαματένιου, 2015). Η μέτρηση εμβαδού, σε άλλη έρευνα (Kilpatrick, et al., 2001), έγινε, από μερικούς μαθητές της Α και Β τάξης, με τη χρήση χάρακα, μέσω της μέτρησης του μήκους. Στις μεγαλύτερες τάξεις, οι μαθητές, τις περισσότερες φορές, διαφοροποίησαν τη μέτρηση του εμβαδού από τη μέτρηση του μήκους και αντιλήφθηκαν την ανάγκη χρήσης συγκεκριμένης μονάδας για το γέμισμα της επιφάνειας. Αντίθετα, οι Mulligan κ.σ. (2005), υποστηρίζουν ότι μαθητές 8-9 ετών, συχνά μπερδεύουν την έννοια της περιμέτρου με αυτή του εμβαδού ακόμη και σε περιπτώσεις που ο μαθηματικός τύπος χρησιμοποιείται σωστά. Οι δυσκολίες των μαθητών στη μέτρηση του εμβαδού πηγάζουν από τα αναλυτικά προγράμματα, τις οδηγίες των σχολικών εγχειριδίων και τον τρόπο διδασκαλίας, αλλά και από το υλικό που χρησιμοποιείται (Struchens, Martin & Kenney, 2003). ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ Σχεδιασμός ερευνητικού εργαλείου Τα σχήματα που σχεδιάστηκαν ήταν ισο-εμβαδικά (100εκ 2 ), αλλά με διαφορετική περίμετρο (Π1=40εκ. και Π2=54 εκ.), με το πρώτο σχήμα να έχει εσωτερική συμμετρία και το άλλο όχι (Σχήματα 1 και 2). Σχήμα 1 Σχήμα 2 Τα βοηθητικά μέσα που διατέθηκαν στα παιδιά για τη μέτρηση των εμβαδών ήταν ποικίλα και προήλθαν από τη μελέτη της σχετικής 371

Πρακτικά 6 ου Πανελλήνιου Συνεδρίου της Εν.Ε.Δι.Μ. βιβλιογραφίας. Συγκεκριμένα: 1.Ένα ψαλίδι 1. 2.Ένας χάρακας 2 των 20εκ, διάσταση μεγαλύτερη από την μεγαλύτερη πλευρά του σχήματος (17cm). 3.Τετράγωνα χαρτόνια 3 του 1εκ 2 (>200). 4.Λωρίδες 4 (20) διαστάσεων 1εκx10εκ, διαμερισμένες σε 10 τετράγωνα του 1εκ 2. 5.Λωρίδες (20) διαστάσεων 1εκx10εκ, μη διαμερισμένες. 6.Λωρίδες (40) με διαστάσεις 1εκx5εκ, διαμερισμένες σε 5 τετράγωνα του 1 cm 2. 7.Λωρίδες (40) με διαστάσεις 1εκx5εκ μη διαμερισμένες. 8. Ποικίλα γεωμετρικά σχήματα 5 όπως τρίγωνα, παραλληλόγραμμα κτλ κατάλληλου μεγέθους και μορφής ώστε να καλύπτουν ακριβώς τα δύο σχήματα. Περιγραφή έρευνας Αρχικά, παρουσιάστηκαν τα δύο σχήματα στα παιδιά, με το ακόλουθο σενάριο: «Ο Δήμαρχος της πόλης της Ρόδου αποφάσισε να χτίσει ένα κλειστό γυμναστήριο για τις βροχερές μέρες. Ζήτησε, λοιπόν, να του φέρουν τα σχέδια δύο οικοπέδων για να αποφασίσει πού θα χτιστεί το γυμναστήριο». Στη συνέχεια, ρωτήθηκαν τα παιδιά: «Εσύ ποιό από τα δύο οικόπεδα θα διάλεγες αν ήσουν στη θέση του Δημάρχου;» Ανάλογα με την απάντηση των μαθητών συνεχίσαμε ρωτώντας: «Για ποιό λόγο επέλεξες το συγκεκριμένο οικόπεδο; Είναι πιο μεγάλο αυτό που διάλεξες, πιο μικρό ή ίσο με το άλλο;». Ζητήθηκε από τους μαθητές να εκτιμήσουν τα μεγέθη και να τα συγκρίνουν χωρίς να έχουν στη διάθεσή τους κάποιο βοηθητικό μέσο. Στην τρίτη φάση της έρευνας, αφήσαμε επάνω στο γραφείο τα διάφορα βοηθητικά μέσα και ζητήσαμε από τους μαθητές να μετρήσουν τα δύο οικόπεδα, με τη βοήθεια κάποιου μέσου, ώστε να επιβεβαιώσουν ή να αναιρέσουν την αρχική τους εκτίμηση. Δείγμα και συνθήκες πραγματοποίησης της έρευνας Η έρευνα πραγματοποιήθηκε τον Οκτώβριο του 2014, σε δημόσιο σχολείο σε χωριό της Ρόδου, σε 15 μαθητές (8 κορίτσια και 7 αγόρια), της Δ τάξης. Οι ερωτήσεις απευθύνθηκαν σε κάθε μαθητή χωριστά, με τη μορφή συνέντευξης για την καταγραφή του συλλογισμού του, ενώ οι συνεντεύξεις βιντεοσκοπήθηκαν. Στη συγκεκριμένη τάξη πραγματοποιείται η μετάβαση από την κάλυψη επιφάνειας στην εκμάθηση και χρήση του αλγόριθμου του 1 Με το ψαλίδι θα μπορούσαν να κόψουν το ένα σχήμα και να διαπιστώσουν αν έχει το ίδιο εμβαδόν με το άλλο εφόσον το χαρτί και το ψαλίδι δίνει τη δυνατότητα στους μαθητές να κόψουν, να μετακινήσουν και να επανα-συγκολλήσουν τα κομμάτια ενός σχήματος για να κατασκευάσουν ένα νέο ισοδύναμο σχήμα (Rahim & Sawoda, 1990). Μέσω δραστηριοτήτων ανακατασκευής σχημάτων γίνεται κατανοητή η αρχή διατήρησης του εμβαδού. 2 Λόγω του ότι η μέτρηση εμβαδού, γίνεται, από μερικούς μαθητές της Α και Β τάξης, με τη χρήση χάρακα, μέσω της μέτρησης μήκους (Kilpatrick, Swafford & Findell, 2001), θέλαμε να παρατηρήσουμε αν θα τον επέλεγαν στη δική μας έρευνα. 3 Με τα χαρτόνια του 1εκ 2 μπορούν να καλύψουν τα σχήματα και να καταμετρήσουν τις ποσότητες 4 Οι λωρίδες οι οποίες ήταν οικείες στους μαθητές, ως εικόνες, από το σχολικό εγχειρίδιο της Β Δημοτικού, γιατί μέσω αυτών είχαν εισαχθεί στην κάλυψη της επιφάνειας, θα μπορούσαν να χρησιμοποιηθούν για να καλύψουν τα σχήματα/οικόπεδα. 5 Τα ποικίλα γεωμετρικά σχήματα, δεν αποτελούν μονάδα μέτρησης, λόγω της διαφορετικότητάς τους, αλλά η σύνθεσή τους για την κάλυψη μιας επιφάνειας είναι οικεία δραστηριότητα στα σχολικά εγχειρίδια. 372

Πρακτικά 6 ου Πανελλήνιου Συνεδρίου της Εν.Ε.Δι.Μ. εμβαδού. Η κάλυψη της επιφάνειας γίνεται με τη χρήση του τετραγωνικού εκατοστού που αποσκοπεί στη δόμηση πλέγματος για την καλύτερη κατανόηση του αλγόριθμου υπολογισμού. Ακόμη, στην τάξη αυτή επιδιώκεται η πραγματοποίηση εκτιμήσεων σε διαφορετικά πλαίσια καθώς και η επίλυση προβλημάτων. ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑΤΑ Η καταγραφή και ανάλυση των αποτελεσμάτων βασίστηκε στις στρατηγικές που χρησιμοποίησαν οι μαθητές για να εκτιμήσουν και να συγκρίνουν το μέγεθος των οικοπέδων, καθώς και στην ανάλυση του τρόπου που χρησιμοποίησαν το μέσο, που επέλεξαν, για να μετρήσουν τα εμβαδά. Παρόλο που τα παιδιά στην ερώτηση «ποιο από τα δύο οικόπεδα θα επιλέγατε για το χτίσιμο του γυμναστηρίου;», αρχικά, απάντησαν, το ένα από τα δύο (3 μαθητές το 1 ο και 12 μαθητές το 2 ο ) με την αιτιολόγηση «γιατί είναι πιο μεγάλο», στη συνέχεια, μέσω της εκτίμησης και της σύγκρισης, δύο από τα παιδιά (2/15) κατάφεραν να αντιληφθούν ότι τα δύο οικόπεδα έχουν το ίδιο μέγεθος. Οι συγκεκριμένες, στην πρώτη ερώτηση, απάντησαν το 1 ο οικόπεδο (γιατί «μου αρέσει περισσότερο») και το 2 ο οικόπεδο (χωρίς αιτιολόγηση) αντίστοιχα. Τα υπόλοιπα παιδιά (13/15) συνέχισαν να υποστηρίζουν ότι το ένα οικόπεδο, συνήθως το 2 ο, είναι πιο μεγάλο, γιατί: «αυτό είναι πιο ψηλό», «έχει μια πιο ψηλή γραμμή» κτλ ίσως λόγω του ότι οπτικά φαίνεται να εκτίνεται περισσότερο από το πρώτο. Κατά την εκτίμηση των εμβαδών των οικοπέδων οι μαθητές χρησιμοποίησαν ποικίλες στρατηγικές οι οποίες βρίσκονται σε αντιστοιχία με την κατηγοριοποίηση των Joram κ.σ. (1998). Συγκεκριμένα, εννέα μαθητές (9/15), απάντησαν με νοερό υπολογισμό βάση της εικόνας των δύο οικοπέδων, χωρίς να τα αγγίξουν ή να αλλάξουν τον προσανατολισμό τους. Δύο μαθητές (2/15), για να απαντήσουν, χρησιμοποίησαν την παλάμη τους και άλλοι δύο (2/15) το δάχτυλό τους. Από τους δύο πρώτους ο ένας επέλεξε το 1 ο σχήμα ενώ ο άλλος το 2 ο. Οι συγκεκριμένοι μαθητές είχαν ανοιχτή την παλάμη τους και την μετακινούσαν μέσα στους δύο χώρους. Οι μαθητές που χρησιμοποίησαν το δάχτυλό τους ως μέσο σύγκρισης επέλεξαν το 2 ο σχήμα. Ο ένας τοποθέτησε το δάχτυλό του στη μεγαλύτερη πλευρά του δεύτερου σχήματος, θεωρώντας την κριτήριο για την επιλογή του, ενώ ο άλλος το μετακινούσε επαναληπτικά μέσα στα δύο οικόπεδα, σαν μονάδα μέτρησης εμβαδού. Δύο μαθητές (2/15), απάντησαν μέσω αποσύνθεσης/ ανασύνθεσης του σχήματος εφόσον έδειξαν με χειρονομίες ότι θα μπορούσαν να κόψουν ένα κομμάτι από το 2 ο οικόπεδο για να το τοποθετήσουν κατακόρυφα και να σχηματιστεί το 1 ο. Οι μαθήτριες αυτές ήταν και οι μοναδικές που αντιλήφθηκαν την ισότητα των δύο εμβαδών πριν τη χρήση κάποιου βοηθήματος. Παράλληλα με την εκτίμηση των μεγεθών των δύο οικοπέδων γινόταν και η 373

. Πρακτικά 6 ου Πανελλήνιου Συνεδρίου της Εν.Ε.Δι.Μ. σύγκρισή τους από τα παιδιά. Στις απαντήσεις τους, με βάση τις κατηγορίες που θέτει η Yuzawa και οι συνεργάτες της (1999): α) Έλαβαν υπόψη και τις δύο διαστάσεις των οικοπέδων πέντε μαθητές (5/15). Παρόλο που η συγκεκριμένη προσέγγιση φαίνεται ως ολοκληρωμένη αντίληψη του εμβαδού, τα παιδιά, δεν οδηγήθηκαν, απαραίτητα, σε σωστά συμπεράσματα. Για παράδειγμα, ο μαθητής Μ10 με τη βοήθεια του χάρακα σύγκρινε και μέτρησε μία προς μία τις πλευρές, θεωρώντας τις οριζόντιες πλευρές ως το μήκος των οικοπέδων και τις κατακόρυφες ως το φάρδος των οικοπέδων. Στην κατηγορία αυτή ανήκουν και οι μαθήτριες οι οποίες αντιλήφθηκαν από την πρώτη φάση την ισότητα των δύο εμβαδών καθώς εξήγησαν ότι το μήκος και το πλάτος των σχημάτων θα είναι τα ίδια αν ανασχηματίσουμε το 2 ο οικόπεδο. β) Έλαβαν υπόψη μόνο τη μία διάσταση των οικοπέδων, δύο μαθήτριες (2/15), στη μία περίπτωση το μήκος και στην άλλη το πλάτος. Χαρακτηριστική είναι η περίπτωση της μαθήτριας Μ5, η οποία με τη βοήθεια του χάρακα μέτρησε τη μία μόνο πλευρά του κάθε οικοπέδου και ανέφερε «Αυτό είναι μέχρι το 17 (μετράει την μία πλευρά του 2 ου οικοπέδου)... και αυτό είναι μέχρι το 10 (μετράει την μία πλευρά του 1 ου οικοπέδου). Βλέπουμε ότι αυτό (το 2 ο ) έχει 7 μέτρα παραπάνω από αυτό (το 1 ο ).» γ) Δεν έλαβαν υπόψη τους καμία διάσταση, οκτώ μαθητές (8/15). Για παράδειγμα, η μαθήτρια Μ6 ανάφερε ότι το τετράγωνο είναι πιο ευρύχωρο σχήμα από το 2 ο (συνοδεύοντας τα λόγια της με χειρονομίες), χωρίς κάποια αναφορά στο μήκος ή το πλάτος τους. Συσχετίζοντας τις απαντήσεις των παιδιών κατά την εκτίμηση και τη σύγκριση των εμβαδών των οικοπέδων, παρατηρήθηκε πως το σύνολο του δείγματος βασίστηκε στην εικόνα των οικοπέδων, χωρίς να προσεγγίσει το θέμα συστηματικά. Βασικό στόχο των παιδιών αποτελούσε η επιβεβαίωση της αρχικής τους εκτίμησης και η επιμονή σε αυτήν. Για τον λόγο αυτό οι στρατηγικές που χρησιμοποίησαν στην αρχή ήταν παρεμφερής με αυτές της επόμενης φάσης. Δηλαδή, τα παιδιά τα οποία κατά την εκτίμηση ακολούθησαν μία ολιστική στρατηγική, κατά τη σύγκριση δεν έλαβαν υπόψη τους καμία διάσταση, εξετάζοντας τα σχήματα συνολικά. Εξαίρεση αποτέλεσαν τρεις μαθητές οι οποίοι ενώ κατά την εκτίμηση αντιμετώπισαν τα δύο σχήματα ολιστικά, στη φάση της σύγκρισης έδωσαν βαρύτητα και στις δύο διαστάσεις των σχημάτων. Αντίστοιχα, αυτά που κατά την εκτίμηση έλαβαν υπόψη μόνο τη μία ή και τις δύο διαστάσεις, το ίδιο έκαναν και κατά τη σύγκριση ακολουθώντας την ανάλογη στρατηγική. Στην τελική φάση, στην οποία ήταν διαθέσιμα ποικίλα βοηθητικά μέσα για να μπορέσουν τα παιδιά να μετρήσουν το εμβαδόν και να επιβεβαιώσουν ή να απορρίψουν την εκτίμησή τους, η επιλογή και η χρήση τους δε έγινε με μεγάλη άνεση. Τα παιδιά δε φάνηκε να είναι εξοικειωμένα με τη χρήση βοηθημάτων και στην αρχή τουλάχιστον ήταν διστακτικά ακόμα και να τα πιάσουν ή να τα χειριστούν με κάποιο τρόπο. Για παράδειγμα, συχνές ήταν 374

. Πρακτικά 6 ου Πανελλήνιου Συνεδρίου της Εν.Ε.Δι.Μ. οι ερωτήσεις: «Να τα πάρω λίγο αυτά;», «Μπορώ να το γυρίσω λίγο;» κτλ. Ίσως για αυτόν τον λόγο τα περισσότερα παιδιά (7/15) επέλεξαν τον χάρακα για να μετρήσουν τα οικόπεδα. Η χρήση του περιορίστηκε στη μέτρηση του μήκους της κάθε πλευράς και στον υπολογισμό της περιμέτρου, κάτι που δηλώνει παρανόηση ανάμεσα στις δύο έννοιες (εμβαδόν περίμετρο). Κάποια παιδιά μάλιστα συνάντησαν δυσκολία στη χρήση του, κάτι που δηλώνει αδυναμία ακόμα και στη μέτρηση του μήκους. Τα παραπάνω επεκτείνουν τα συμπεράσματα ερευνών για τη χρήση του χάρακα από μαθητές 6-8 ετών για τη μέτρηση εμβαδού μέσω της μέτρησης του μήκους (Kilpatrick κ.σ., 2001), αλλά και για το ότι μαθητές 8-9 ετών συχνά μπερδεύουν την έννοια της περιμέτρου με αυτή του εμβαδού (Mulligan κ.σ., 2005). Οι μη διαβαθμισμένες λωρίδες των 10 εκ. επιλέχθηκαν αυθόρμητα από τέσσερις (4/15) μαθητές. Από αυτούς, μόνο ο ένας (1/15) τις χρησιμοποίησε ως μέσο κάλυψης των δύο επιφανειών. Όλοι οι υπόλοιποι, τις χρησιμοποίησαν είτε ως χάρακα για την μέτρηση και σύγκριση των δύο περιμέτρων, είτε ως μέσο σύγκρισης των πλευρών των δύο οικοπέδων. Οι διαβαθμισμένες λωρίδες των 10 εκ. επιλέχθηκαν αυθόρμητα από μία μαθήτρια (1/15). Η μαθήτρια τοποθέτησε ίσο αριθμό από λωρίδες στο εσωτερικό των δύο σχημάτων. Όμως, δεν κατέληξε κατευθείαν στο συμπέρασμα περί ισότητας, παρά μόνο μετά την παρότρυνση της ερευνήτριας να τις καταμετρήσει. Οι διαβαθμισμένες λωρίδες των 5εκ. επιλέχθηκαν αυθόρμητα από μία μαθήτρια (1/15), η οποία τις χρησιμοποίησε ως μέσο κάλυψης των δύο επιφανειών και μάλιστα με αρκετά συστηματικό τρόπο. Παρόλα αυτά φάνηκε να αντιμετωπίζει δυσκολία στη σύγκριση των εμβαδών των οικοπέδων. Μόνο όταν της ζητήθηκε να μετρήσει το εμβαδόν τους μέσω των λωρίδων, καταμέτρησε τις λωρίδες που είχε τοποθετήσει και απέδειξε την ισότητα των εμβαδών των δύο σχημάτων/οικοπέδων. Τα διάφορα γεωμετρικά σχήματα επιλέχθηκαν μόνο από μία μαθήτρια (1/15) για την κάλυψη των επιφανειών, η οποία ωστόσο δεν τα χρησιμοποίησε με σωστό τρόπο. Συγκεκριμένα, η μαθήτρια αφού τα τοποθέτησε όλα και στα δύο σχήματα (ίσο αριθμό σχημάτων και στα δύο οικόπεδα), συμπέρανε αυθαίρετα πως είναι ίσα. Παρατηρήθηκε, δηλαδή, πως δεν εφαρμόστηκαν σωστά οι αρχές μέτρησης, καθώς διαπιστώθηκαν τόσο κενά όσο και επικαλύψεις. Ωστόσο, έγινε αντιληπτή η λειτουργία των σχημάτων αυτών ως μέσο κάλυψης. Τα τετραγωνικά εκατοστά, επιλέχθηκαν από έναν μαθητή ο οποίος τα χρησιμοποίησε μαζί με τις λωρίδες των 10 εκ για τη μέτρηση μήκους, τοποθετώντας τα κατά μήκος των πλευρών. Δεν επεδίωξε τη δημιουργία πλέγματος, στο εσωτερικό των σχημάτων, με τα τετραγωνικά εκατοστά, 375

. Πρακτικά 6 ου Πανελλήνιου Συνεδρίου της Εν.Ε.Δι.Μ. όπως έκαναν οι μαθήτριες με τις λωρίδες, παρόλο που παρουσιάζεται στα σχολικά τους εγχειρίδια. Η αδυναμία αυτή, σύμφωνα με τους Clements και Stephan (2004), ίσως να δημιουργήσει δυσκολία, αργότερα, στην κατανόηση του μαθηματικού τύπου, ο οποίος βασίζεται σε αυτή τη δόμηση. Βέβαια δεν πρέπει να παραβλέψουμε το γεγονός ότι η αδυναμία αυτή ίσως να οφείλεται στο ότι τα παιδιά δεν κατάφεραν να αντιληφθούν τη μετάφραση της αναπαράστασης (εικόνα τετραγωνικού εκατοστού) σε χειροπιαστό υλικό και άρα μη κατανόηση της λειτουργικότητάς του στη μέτρηση του εμβαδού. Μπορεί όμως να οφείλεται και στο ότι ήθελαν να αποφύγουν τη διαδικασία τοποθέτησης τόσων μονάδων στις επιφάνειες, μια χρονοβόρα και δύσκολη σχετικά διαδικασία. Τέλος, το ψαλίδι επιλέχθηκε από μία μόνο μαθήτρια (1/15), η οποία από την πρώτη στιγμή που παρατήρησε τα δύο σχήματα ισχυρίστηκε ότι έχουν το ίδιο μέγεθος και το αιτιολόγησε με χειρονομίες. Ζήτησε μάλιστα, από την ερευνήτρια, ένα ψαλίδι για να το αποδείξει, πριν τους δοθούν τα διάφορα βοηθητικά μέσα. Έτσι, με το ψαλίδι έκοψε το δεύτερο σχήμα σε δύο κομμάτια, τα τοποθέτησε επάνω στο πρώτο και το έδειξε στην πράξη. Με αυτόν τον τρόπο αποσύνθεσε το δεύτερο σχήμα και το ανασύνθεσε με βάση το πρώτο. ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΑ Τα αποτελέσματα έδειξαν ότι τα παιδιά, της συγκεκριμένης τάξης, δεν ήταν ιδιαίτερα ικανά, να συγκρίνουν το μέγεθος δύο επιφανειών μέσω εκτίμησης και μέτρησης με χρήση βοηθητικών μέσων. Η σύγκριση και η εκτίμηση εμβαδών δεν αποτέλεσε μια αυθόρμητη διαδικασία για τα παιδιά (8-9 ετών). Ακόμα και μετά από παρότρυνση, μόνο δύο παιδιά κατάφεραν να συγκρίνουν αποτελεσματικά τα σχήματα/οικόπεδα μέσω εκτίμησης. Η στρατηγική που χρησιμοποίησαν ήταν της αποσύνθεσης/ανασύνθεσης του σχήματος, δηλαδή αντιλήφθηκαν ολιστικά το σχήμα, μη λαμβάνοντας υπόψη τους συγκριμένη διάσταση. Η χρήση βοηθητικών μέσων, στην τρίτη φάση, οδήγησε μόνο δύο επιπλέον παιδιά στη σωστή απάντηση. Τα παιδιά επέλεξαν είτε βοηθητικά μέσα που τους ήταν οικεία, αλλά δεν ήταν λειτουργικά για τη μέτρηση του εμβαδού είτε βοηθητικά μέσα τα οποία ήταν λειτουργικά, για τη μέτρηση του εμβαδού, αλλά δε χρησιμοποιήθηκαν με τον κατάλληλο τρόπο. Για παράδειγμα, ο χάρακας, ως οικείο υλικό, τόσο από την καθημερινότητα των παιδιών όσο και από το σχολείο, επιλέχτηκε από τα περισσότερα παιδιά, αλλά ήταν ακατάλληλο εργαλείο για τη συγκεκριμένη μέτρηση. Τα τετραγωνικά εκατοστά δε χρησιμοποιήθηκαν, ως μονάδα μέτρησης, για την κάλυψη των επιφανειών και τη δόμηση σχηματισμού, ενώ οι λωρίδες, με ή χωρίς διαβάθμιση, χρησιμοποιήθηκαν με αυτόν τον τρόπο από ελάχιστα παιδιά. Το ψαλίδι, χρησιμοποιήθηκε αποτελεσματικά από ένα παιδί για την 376

Πρακτικά 6 ου Πανελλήνιου Συνεδρίου της Εν.Ε.Δι.Μ. αποσύνθεση και ανασύνθεση του σχήματος προκειμένου να τεκμηριώσει τον συλλογισμό του. Η διαδικασία της επιλογής του μέσου εκείνου που θα είναι λειτουργικό για τη μέτρηση του εμβαδού, αλλά και της κατάλληλης χρήσης του, είναι μια πολύπλοκη υπόθεση και απαιτεί ταυτόχρονα την καλή γνώση και την εξοικείωση με τη χρήση του μέσου, τη γνώση της μαθηματικής έννοιας και τη συσχέτιση του μέσου με την έννοια. Αν έχει γίνει απόλυτα κατανοητό τι πρέπει να μετρήσω και γνωρίζω πώς θα το μετρήσω, θέτω κάποια κριτήρια επιλογής και χρήσης του μέσου. Αυτό δε φάνηκε να συμβαίνει στην πλειοψηφία των παιδιών της έρευνάς μας. Τα διάφορα βοηθητικά μέσα επηρεάζουν τον τρόπο δράσης των μαθητών, σε μια δραστηριότητα, καθώς και τον τρόπο αντίληψης μιας μαθηματικής έννοιας. Επιπλέον όμως, οι δράσεις, καθαυτές, των παιδιών με υλικά και άλλα μέσα μπορεί να αποτελέσουν και μία μέθοδο διερεύνησης, από τον εκπαιδευτικό, των δυνατοτήτων τους, των δυσκολιών τους και των εμποδίων που τυχόν αντιμετωπίζουν κατά την οικοδόμηση των εννοιών αυτών. Στη συγκεκριμένη έρευνα, η επιλογή και ο τρόπος χρήσης των βοηθητικών μέσων από τα παιδιά για τη σύγκριση και τη μέτρηση εμβαδών, δίνει σχετικά στοιχεία συνεισφέροντας στον προβληματισμό της ερευνητικής κοινότητας για τον τρόπο αντίληψης της έννοιας του εμβαδού και της μέτρησής του. ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ Clements, D. & Stephan, M. (2004). Measurement in pre-k to grade 2 mathematics. In D Clements & J. Sarama (Eds.), Engaging young children in mathematics: Standards in early childhood mathematics education (pp. 105-148). Mahwah, NJ: Lawrence Erlbaum. Joram, E., Subrahmanyam, K., & Gelman, R. (1998). Measurement estimation: Learning to map the route from number to quantity and back. Review of Educational Research 6, 413-449. Kilpatrick, J. Swafford, J. & Findell, B. (2001). Adding it up: helping children learn mathematics (pp. 87-102). Washington DC: National Academy Press. Mulligan, J.T., Prescott, A., Mitchelmore, M.C. & Outhred, L. (2005). Taking a closer look at young students' images of area measurement. Australian Primary Mathematics Classroom 10(2), 4-8. Muir, 2005). When near enough is good enough: Eight principles for enhancing the value of measurement estimation experiences for students. Australian Primary Mathematics Classroom 10(2), 9-14. ΠΣΝ: Πρόγραμμα Σπουδών Νηπιαγωγείου (2011). Παιδαγωγικό Ινστιτούτο, Αθήνα. http://www.dipevath.gr/nov2011/28/1o-meros.pdf 377

Πρακτικά 6 ου Πανελλήνιου Συνεδρίου της Εν.Ε.Δι.Μ. Rahim, M.H. & Sawoda, D. (1990). The duality of qualitative and quantitative knowing in school geometry. International Journal of Mathematics Education, Science and Technology 21(2), 303-308. Σκουμπουρδή, Χ. (2012). Σχεδιασμός ένταξης υλικών και μέσων στη μαθηματική εκπαίδευση των μικρών παιδιών. Εκδόσεις Πατάκη, Αθήνα. Σκουμπουρδή, Χ. & Μαλαματένιου, Π.-Κ. (2015). Παιχνίδι κάλυψης επιφάνειας για το νηπιαγωγείο. Στο Χ. Σκουμπουρδή & Μ. Σκουμιός (Επιμ.) Πρακτικά 1 ου Πανελλήνιου Συνεδρίου Ανάπτυξη Εκπαιδευτικού Υλικού στα Μαθηματικά και τις Φυσικές Επιστήμες (σελ. 379-392), Ρόδος. Σκουμπουρδή, Χ. & Παπαϊωάννου-Στραβολαίμου, Δ. (2011). Μέτρηση εμβαδού, από νήπια, μέσω της κάλυψης επιφάνειας με χρήση βοηθητικών μέσων. Έρευνα στη Διδακτική των Μαθηματικών 5, 39-59. Struchens, M.E., Martin, W.G. & Kenney, P.A. (2003). What students know about measurement: Perspectives from the NAEP. In D.H. Clements & G. Bright (Eds.) Learning and teaching measurement (pp. 197-208). Reston: NCTM. Yuzawa, M., Bart, W.M., Kinne, L.J., Sukemune, S. & Kataoka, Μ. (1999). The effect of origami practice on size comparison strategies among Japanese and American children. Journal of Research in Childhood Education 13, 133-143. Zacharos, K. & Ravanis, K. (2000). The transformation of natural to geometrical concepts, concerning children. European Early Childhood Education Research Journal 8(2), 63-72. 378