Μέρος 1 Mαγνητικά Kυκλώµατα 1-1 Λυµένες Ασκήσεις Άσκηση 1-1 Υποθέτοντας ότι ο πυρήνας έχει άπειρη διαπερατότητα ( µ r ), να υπολογισθεί η µαγνητική επαγωγή στο διάκενο του µαγνητικού κυκλώµατος που απεικονίζεται στο Σχ. 1-1. Σχήµα 1-1. Το µαγνητικό κύκλωµα της Άσκ. 1-1. Το ισοδύναµο κύκλωµα, το οποίο φαίνεται στο Σχ. 1- µπορεί να απλοποιηθεί και να καταλήξει στη µορφή του κυκλώµατος του Σχ. 1-3. Η µαγνητική αντίσταση διάκενου είναι " δ! 5 10 3 µ 0 (0 40 10 6 ) 50 8µ 0 Η µαγνητική αντίσταση του υλικού όπου εδράζεται ο κινητός οπλισµός είναι " εδ Η ολική µαγνητική αντίσταση υπολογίζεται! 10 3 µ 0 (0 0 10 6 ) 0 4µ 0 1
" ολ " δ + 1 " 70 εδ 8µ! 0 δ φ δ Σχήµα 1-. Ισοδύναµο κύκλωµα της Άσκ. 1-1. 1 δ φ δ δ Σχήµα 1-3. Ισοδύναµο κύκλωµα της Άσκ. 1-1. Η ροή διάκενου είναι φ δ " Ni 50 10 #! ολ # ολ 70 /(8µ 0 ) 400µ 0 7 Η µαγνητική επαγωγή στο διάκενο του µαγνητικού κυκλώµατος υπολογίζεται Β δ φ δ A δ 400µ 0 / 7 0 40 10 6 400 (4π 10 7 )/ 7 0 40 10 6 90mT Άσκηση 1- Ένα µαγνητικό κύκλωµα µεταβλητής διατοµής απεικονίζεται στο Σχ. 1-4. Το τµήµα του χάλυβα relay έχει τα χαρακτηριστικά που απεικονίζονται στο διάγραµµα του Σχ. 1-5. Δίνονται: N 100 ελίγµατα, l 1 4l 40cm, A 1 A 10cm, l δ mm και ροή σκέδασης φ σκ 0,01mWb. Να υπολογισθεί το ρεύµα i που απαιτείται ώστε η µαγνητική ροή στο διάκενο του µαγνητικού κυκλώµατος να έχει µαγνητική επαγωγή B δ 0,6T. Για να επιλύσουµε την άσκηση αυτή, πρέπει να υπολογίσουµε τη ΜΕΔ του πηνίου. Αυτή είναι ίση µε το άθροισµα των πτώσεων τάσης κατά µήκος του διάκενου, των δύο τµηµάτων χάλυβα διατοµής A 1 και του τµήµατος χάλυβα διατοµής A. Η µέθοδος υπολογισµού µε την ολική µαγνητική αντίσταση δεν εφαρµόζεται εδώ γιατί η καµπύλη
του Σχ. 1-5 δείχνει ότι η σχέση Β-Η δεν είναι γραµµική. Για το λόγο αυτό, υπολογίζουµε την επαγωγή Β κάθε τµήµατος, από αυτή και το Σχ. 1-5 υπολογίζουµε την ένταση του πεδίου, Η, και από αυτή την πτώση τάσης, Ηl. B l l 1 A 1 A l 1 l Σχήµα 1-4. Το µαγνητικό κύκλωµα της Άσκ.1-. B [T ] 1, 0,8 0,4 0 00 400 600 H [A / m] Σχήµα 1-5. Kανονική καµπύλη µαγνήτισης χάλυβα relay του πυρήνα του Σχ. 1-4. Για το διάκενο, η επαγωγή είναι 0,6Τ. Η ένταση του µαγνητικού πεδίου στο διάκενο είναι H δ 0,6 µ 0 4,78 10 5 A / m Επίσης, ο νόµος του Ampère για το διάκενο δίνει πτώση τάσης! " δ H δ l δ (4,78 105 ) ( 10 3 ) 956A / m Λόγω της συνέχειας της µαγνητικής ροής κατά µήκος του µαγνητικού κυκλώµατος φ δ B δ A 1 B l1 A 1 B δ B l1 0,6T Με τη βοήθεια της κανονικής καµπύλης µαγνήτισης του Σχ. 1-5, προκύπτει ότι για B 0,6T, η ένταση είναι H 100A / m. Συνεπώς, για τα δύο τµήµατα χάλυβα µε µήκος l 1 ο νόµος του Ampère δίνει! " l 1 H(l 1 ) 100 ( 0, 4) 80A / m 3
Η ροή διάκενου που διαρρέει όλο το µαγνητικό κύκλωµα εκτός από το τµήµα µήκους l είναι φ δ B δ A 1 0,6 (10 10 4 ) 0,6mWb Η ολική ροή που δηµιουργεί το πηνίο είναι η ροή διάκενου συν τη ροή σκέδασης που δεν περνά από το µαγνητικό δρόµο κατά µήκος του χάλυβα. Είναι φ ολ φ δ + φ σκ 0,6 + 0,01 0,61mWb Η µαγνητική επαγωγή στο τµήµα του χάλυβα µήκους l είναι Β l φ ολ A 0,61 10 3 5 10 4 1,T Με τη βοήθεια της κανονικής καµπύλης µαγνήτισης του Σχ. 1-5 προκύπτει γι αυτή την επαγωγή, η ένταση του µαγνητικού πεδίου είναι H 410A / m. Συνεπώς, για το τµήµα µήκους l ο νόµος του Ampère δίνει πτώση Άρα, η συνολική ΜΕΔ υπολογίζεται! " l Hl 410 0,1 41A / m! " ολ " δ + " l 1 + " l 956 + 80 + 41 1.077A / m Και, τελικά, το ρεύµα i που ζητείται είναι Άσκηση 1-3 i " ολ! N 1.077 100 10,77A Να προσδιορισθούν η (συνολική) αυτεπαγωγή και η επαγωγή σκέδασης του πηνίου της Άσκ. 1-, το οποίο εικονίζεται στο Σχ. 1-4. Με τη βοήθεια της Άσκ. 1- η (συνολική) αυτεπαγωγή και επαγωγή σκέδασης του πηνίου υπολογίζονται αντίστοιχα L Nφ ολ i L σκ Nφ σκ i 100 (0,61 10 3 ) 10,77 100 (0,01 10 3 ) 10,77 5,66mH 0,093mH 4
Άσκηση 1-4 Να υπολογισθεί η µαγνητική ενέργεια που αποθηκεύεται στο σίδηρο και στο διάκενο του µαγνητικού κυκλώµατος της Άσκ. 1- (βλ. Σχ. 1-4). Κατ αναλογία µε τα ηλεκτρικά κυκλώµατα (αν και στα µαγνητικά κυκλώµατα δεν καταστρέφεται ενέργεια), η µαγνητική ενέργεια που αποθηκεύεται στο διάκενο του µαγνητικού κυκλώµατος είναι w δ 1 φ "! 1 B δ A δ δ 1 B µ 0 A δ µ δ V δ 0 Εποµένως w δ 1 1 B µ δ V δ 0 4π 10 7 0,6 [(10 10 4 ) ( 10 3 )] 0,86J Η µαγνητική ενέργεια που αποθηκεύεται στο χάλυβα του µαγνητικού κυκλώµατος υπολογίζεται (µε τη βοήθεια της Άσκ. 1-3) w σιδ 1 Li w δ 1 N Φ ολ i w δ 0,38 0,86 0,04J Παρατηρούµε ότι αυτή η ενέργεια είναι σχεδόν 7 φορές µικρότερη από την ενέργεια στο διάκενο και εποµένως θα µπορούσαµε να υποθέσουµε ότι ο χάλυβας έχει άπειρη διαπερατότητα, µε συνέπεια µικρό σφάλµα. 1- Άλυτες Aσκήσεις Άσκηση 1-5 Το µαγνητικό κύκλωµα του Σχ. 1-6 έχει τα χαρακτηριστικά που περιγράφονται στο διάγραµµα του Σχ. 1-5. Να υπολογισθεί η ΜΕΔ του πηνίου, αν η µαγνητική ροή στο διάκενο του µαγνητικού κυκλώµατος έχει µαγνητική επαγωγή 1T. Σχήµα 1-6. Το µαγνητικό κύκλωµα της Άσκ. 1-5. (Απ. 90 Aµπερελίγµατα) 5
Άσκηση 1-6 Το πηνίο του Σχ. 1-6 έχει 90 ελίγµατα. Για τα δεδοµένα της Άσκ. 1-5, να υπολογισθούν (α) η ενέργεια που αποθηκεύεται στο πηνίο, (β) η ενέργεια που αποθηκεύεται στο διάκενο και (γ) η ενέργεια που αποθηκεύεται στο χάλυβα. (Απ. (α)1,13 J, (β) 0,995 J, (γ) 0,135 J) Άσκηση 1-7 Να υπολογισθεί η επαγωγή του πηνίου του Σχ. 1-6, της Άσκ. 1-5, (α) χωρίς να συµπεριληφθεί η επίδραση του πυρήνα χάλυβα (υποθέτοντας ότι ο πυρήνας είναι απείρως διαπερατός) και (β) συµπεριλαµβάνοντας την επίδραση του πυρήνα. (Απ. (α) 5,45 mh, (β),45 mh) 6
Μέρος Mηχανές Συνεχούς Pεύµατος -1 Λυµένες Aσκήσεις Άσκηση -1 Μία 4-πολική µηχανή ΣΡ βροχοειδούς τύπου έχει 78 αγωγούς και στρέφεται στις 1.500 rpm. Η µαγνητική ροή του κάθε πόλου της µηχανής είναι 30 mwb. Εάν το µέγιστο ρεύµα τυµπάνου είναι ίσο µε i a 100A, να υπολογισθούν (α) η τάση ΗΕΔ της µηχανής, (β) η µέγιστη ηλεκτροµαγνητική ροπή που αναπτύσσεται στη µηχανή, (γ) η µέγιστη ηλεκτροµαγνητική ισχύς, (δ) το µέγιστο ρεύµα που διαρρέει κάθε αγωγό του τυµπάνου. Ο δροµέας της µηχανής αυτής τυλίγεται ξανά µε ίδιους αγωγούς σε κυµατοειδή περιέλιξη. Ο κάθε αγωγός µπορεί να δεχθεί το ίδιο µέγιστο ρεύµα όπως και στην προηγούµενη περίπτωση. Να υπολογισθούν (ε) το νέο ρεύµα τυµπάνου, (στ) η αναπτυσσόµενη ΗΕΔ, (ζ) η ηλεκτροµαγνητική ισχύς. Τι παρατηρείτε; (α) Επειδή τα τυλίγµατα του δροµέα είναι βροχοειδούς τύπου, ισχύει : P a, όπου P 4 είναι ο αριθµός των πόλων της µηχανής. Η τάση ΗΕΔ δίνεται από τη σχέση e α ZPΦn 60α 78 4 30 10 3 1.500 546,0V 60 4 (β) Η µέγιστη ηλεκτροµαγνητική ροπή αναπτύσσεται όταν το ρεύµα τυµπάνου είναι µέγιστο και είναι (η ροή παραµένει σταθερή) T e α i α ω 546 100 π 1.500 / 60 347,59Nm. (γ) Η ηλεκτροµαγνητική ισχύς που αναπτύσσεται στα τυλίγµατα του πεδίου υπολογίζεται από τη σχέση p max e a i a 546,0 100 54,6kW (δ) Το µέγιστο ρεύµα που δέχεται κάθε αγωγός των βροχοειδών τυλιγµάτων του δροµέα είναι i max,αγωγ. i α a 100 4 5A. 7
(ε) Στην περίπτωση που τα βροχοειδή τυλίγµατα αντικατασταθούν µε κυµατοειδή, τότε ο αριθµός των παράλληλων κλάδων είναι a. Το ρεύµα τυµπάνου, µε µέγιστο ρεύµα ανά αγωγό 5 Α, είναι i α α i max,αγωγ. 5 50A (στ) Η τάση ΗΕΔ είναι στην περίπτωση αυτή e α ZPΦn 60α 78 4 30 10 3 1.500 1.09V 60 (ζ) Η ηλεκτροµαγνητική ισχύς που αναπτύσσεται είναι p max e a i a 1.09 50 54,6kW H µέγιστη ηλεκτροµαγνητική ισχύς και στις δύο περιπτώσεις παραµένει σταθερή. Όµως, στη δεύτερη περίπτωση, η τάση ΗΕΔ αυξήθηκε ενώ το ρεύµα ακροδεκτών της µηχανής µειώθηκε. Το ρεύµα που διαρρέει ένα αγωγό παρέµεινε σταθερό. Άσκηση - Μία γεννήτρια παράλληλης διέγερσης ΣΡ, ισχύος 100 kw και τάσης 30 V, έχει αντίσταση τυµπάνου και ψηκτρών R α 0,05Ω και αντίσταση τυλιγµάτων πεδίου R f 57,5Ω. Υπολογίστε την τάση ΗΕΔ σε (α) πλήρες φορτίο και (β) στο ήµισυ του πλήρους φορτίου, αν η γεννήτρια λειτουργεί στην ονοµαστική τιµή τάσης. Να αµεληθεί η πτώση τάσης στις επαφές των ψηκτρών. Στο Σχ. -1 φαίνεται το ισοδύναµο κύκλωµα της γεννήτριας. Προφανώς ισχύει ότι i f v γ R f 30 57,5 4A R a i a R f i f v γ e a L f i φ R φ Σχήµα -1. Κύκλωµα της Άσκ. -. (α) Για πλήρες (ονοµαστικό) φορτίο ισχύουν οι σχέσεις 8
v γ i ϕ,o p o i ϕ,o p o 100 103 434,8A v γ 30 i α,o i ϕ,o + i f 4 + 434,8 438,8A v γ e α,o i α,o R α e α,o v γ + i α,o R α 30 + 438,8 0,05 5V (β) Σηµειώστε ότι φορτίο 50% σηµαίνει ισοδύναµα ή 50% του ονοµαστικού ρεύµατος τυµπάνου, ή 50% της ονοµαστικής ισχύος. Η ισχύς είναι εποµένως p p o 50kW i ϕ p v γ i α i ϕ + i f 50 103 17, 4A 30 4 + 17, 4 1, 4A e α v γ + i α R α 30 + 1, 4 0,05 41V Άσκηση -3 Η γεννήτρια της προηγούµενης άσκησης στρέφεται µε 1.500 rpm και έχει συνολικές µηχανικές απώλειες και απώλειες πυρήνα p α,µαγν 1,8kW. Να υπολογισθούν: (α) η απόδοση της γεννήτριας σε πλήρες φορτίο (β) η ισχύς εξόδου της κινητήριας µηχανής που στρέφει τη γεννήτρια σ αυτό το φορτίο, (γ) η αναπτυσσόµενη από την κινητήρια µηχανή ροπή. Στην Άσκ. - υπολογίσθηκαν i α 438,8A, i f γεννήτριας είναι 4A. Η συνολικές απώλειες της p α i f R f + i α R α + p α,µαγν 4 57,5 10 3 + 438,8 0,05 10 3 +1,8 1,35kW (α) Ο βαθµός απόδοσης είναι η p ηλ p µηχ p ηλ p ηλ + p απ 100 100 +1,35 89% (β) Η αποδιδόµενη ισχύς της κινητήριας µηχανής που στρέφει τη γεννήτρια είναι 11,35 103 p µηχ T µηχ ω T µηχ ω µηχ 746 150,6hp (γ) Η ροπή της κινητήριας µηχανής είναι 9
Άσκηση -4 T µηχ 11,35 103 1.500π / 30 715,4Nm Μία γεννήτρια ΣΡ ξένης διέγερσης έχει σταθερές απώλειες ισχύος (εξαιρούνται οι µεταβλητές απώλειες χαλκού τυµπάνου), p απ [W ] και λειτουργεί υπό τάση v γ µε ρεύµα στα τυλίγµατα τυµπάνου i α. Η αντίσταση του τυµπάνου είναι R α. Ποια είναι η τιµή του i α της γεννήτριας έτσι ώστε να έχουµε µέγιστο βαθµό απόδοσης ; Η ισχύς εξόδου και η ισχύς εισόδου είναι αντίστοιχα p out p ηλ v γ i α p in p µηχ v γ i α + p απ + i α R α όπου οι απώλειες περιλαµβάνουν τις µηχανικές απώλειες, τις µαγνητικές απώλειες και τις απώλειες του τυλίγµατος διέγερσης. Ο βαθµός απόδοσης της γεννήτριας είναι η p out p in v γ i α v γ i α + i α R α + p απ Ο βαθµός απόδοσης είναι µέγιστος όταν dη /di α 0. Η απαίτηση αυτή δίνει i α p απ R α Άσκηση -5 (α) Ποιό είναι το φορτίο για τη γεννήτρια των ασκήσεων 1- και 1-3 που δίνει µέγιστο βαθµό απόδοσης; (β) Ποια είναι η µέγιστη τιµή του βαθµού απόδοσης; (α) Στην Άσκ. -4 βρέθηκε ότι έχουµε µέγιστο βαθµό απόδοσης όταν είναι i α p απ R α Παρατηρείστε ότι η σχέση αυτή ισχύει και για γεννήτριες παράλληλης διέγερσης. Οι απώλειες πεδίου και οι µηχανικές απώλειες είναι p απ (0,9 +1,8) 10 3.70W Άρα 10
i α.70 0,05 33,4A και το φορτίο που δίνει το µέγιστο βαθµό απόδοσης είναι i ϕ i α i f 33,4 4 9,4A (β) Η ισχύς που αποδίδεται είναι p out i ϕ v γ 9,4 30 5,7kW και η απορροφώµενη µηχανική ισχύς (µε χρήση και της Άσκ. 1-4) είναι p in 5,7 10 3 +.70 +,7 10 3 58,16kW Συνεπώς ο µέγιστος βαθµός απόδοσης είναι η p out p in 5,7 58,16 90,6% Άσκηση -6 Μία γεννήτρια παράλληλης διέγερσης ΣΡ, ισχύος p ηλ 10kW και τάσης v γ 50V έχει αντίσταση τυµπάνου και ψηκτρών R α 0,1Ω και αντίσταση τυλιγµάτων του πεδίου R f 50Ω. Η γεννήτρια παρέχει πλήρες φορτίο στην ονοµαστική τάση λειτουργίας και σε 800 rpm. Στη συνέχεια, ή ίδια µηχανή χρησιµοποιείται ως κινητήρας και απορροφά την ίδια ισχύ στην ίδια τάση. Ποια είναι η ταχύτητα περιστροφής του κινητήρα; Να αµεληθεί η πτώση τάσης στις επαφές των ψηκτρών. - Όταν η µηχανή εργάζεται ως γεννήτρια, ισχύει i f v γ R f 50 50 1A i ϕ p ηλ v γ 104 50 40A i α i ϕ + i f 41A και e αγ v γ + i α R α 50 + 41 0,1 54,1V - Ως κινητήρας: 11
i f v κ R f 50 50 1A i ϕ p ηλ v κ 104 50 40A i α i κ i f 39A e ακ v κ i α R α 50 39 0,1 46,1V - Επειδή η σταθερά K n της µηχανής είναι η ίδια, είτε λειτουργεί ως γεννήτρια, είτε ως κινητήρας και επειδή η διέγερση είναι επίσης η ίδια, ισχύει ότι n κ n γ e ακ e αγ n κ e ακ n e γ 46,1 800 774,8rpm αγ 54,1 Άσκηση -7 Το Σχ. - απεικονίζει την καµπύλη τάσης-διέγερσης ενός κινητήρα διέγερσης σειράς που στρέφεται στις 1.00 rpm. Ο κινητήρας έχει σταθερά K ω 40 και είναι έχει 8 ελίγµατα ανά πόλο. Η αντίσταση τυλίγµατος πεδίου και τυµπάνου είναι αντίστοιχα R f 5mΩ και R α 50mΩ. Να υπολογισθεί η µαγνητική ροή ανά πόλο για (α) τάση e α 30V, (β) διέγερση.500 αµπερελίγµατων ανά πόλο. Ποιό είναι το ρεύµα που διαρρέει τα τυλίγµατα του πεδίου σε κάθε περίπτωση; (α) Η µαγνητική ροή ανά πόλο είναι Φ e α K ω ω 30 40 π 1.00 / 60 45,76mWb Σχήµα -. Διάγραµµα της Άσκ. -7. 1
Από το Σχ. -, για e a 30V προκύπτει ότι τα αµπερελίγµατα ανά πόλο είναι 1.800. Εποµένως, το ρεύµα του πεδίου είναι i f 1.800 8 5A (β) Από το διάγραµµα φαίνεται ότι για.500 αµπερελίγµατα ανά πόλο, η τάση από επαγωγή είναι e α 60V. Άρα η µαγνητική ροή κάθε πόλου είναι και το ρεύµα πεδίου είναι Φ 60 45,76 51,74mWb 30 Άσκηση -8 i f.500 8 31,5A Ένας κινητήρας παράλληλης διέγερσης ΣΡ τάσης v κ 30V, απορροφά πλήρες φορτίο ρεύµατος i κ 40A. Το τύµπανο έχει αντίσταση R α 0,5Ω και το πεδίο R f 30Ω. Η ολική πτώση τάσης στις επαφές των ψηκτρών είναι v ψ V και οι µηχανικές απώλειες είναι p α,µηχ 380W. Να υπολογισθεί ο βαθµός απόδοσης του κινητήρα µε την υπόθεση ότι υποτεθεί ότι οι απώλειες του µαγνητικού πεδίου είναι ίσες µε 1 /100 της ισχύος εξόδου. Ο βαθµός απόδοσης του κινητήρα υπολογίζεται µε βάση τη σχέση η p out p in όπου p out είναι η αποδιδόµενη µηχανική ισχύς του κινητήρα και p in είναι η προσδιδόµενη σε αυτόν ηλεκτρική ισχύς. Αναλυτικά οι ισχείς εισόδου και εξόδου του κινητήρα υπολογίζονται ως εξής. p in i κ v κ 40 30 9.00W p απ v κ R f +(i κ v κ R f ) R α + p απ,π + v ψ (i κ v κ R f )+(1 /100)p µηχ 30 30 +(40 746 10 1) 0,5 + 380 + 39 + 1.143W 100 p out p in p απ 8.057W και ο βαθµός απόδοσης του κινητήρα είναι η 8.057 9.00 87,6% 13
- Άλυτες Aσκήσεις Άσκηση -9 Ένας κινητήρας ΣΡ ξένης διέγερσης στρέφεται µε 1.045 rpm και µε σταθερό ρεύµα πεδίου. Το τύµπανο διαρρέεται από ρεύµα i α 50A και έχει τάση v κ 10V. Η αντίσταση του τυµπάνου είναι R α 0,1Ω. Αν το φορτίο του κινητήρα αλλάξει και γίνει i α 95A στην ίδια τάση (v κ 10V ), να υπολογισθεί η νέα ταχύτητα του κινητήρα σε αυτό το φορτίο. (Απ. 1.004 rpm) Άσκηση -10 Μία γεννήτρια παράλληλης διέγερσης ΣΡ έχει ονοµαστική ισχύ p ηλ 50kW και τάση v γ 30V. Το τύµπανο έχει αντίσταση R α 0,03Ω και το πεδίο R f 46Ω. Η ολική πτώση τάσης στις επαφές των ψηκτρών είναι v ψ V. Να υπολογισθεί ο δείκτης ρύθµισης της τάσης. Να αγνοηθεί η αντίδραση του τυµπάνου. (Απ. 3,7 %) Άσκηση -11 Μία γεννήτρια ΣΡ ξένης διέγερσης έχει τα εξής χαρακτηριστικά: αντίσταση πεδίου R f 110Ω, αντίσταση τυµπάνου R α 0,04Ω, µηχανικές απώλειες και απώλειες πυρήνα p απ 960W και τάση τυλίγµατος πεδίου v f 30V. Η γεννήτρια τροφοδοτεί φορτίο µε τάση v γ 30V και έχει e a 40V. Να προσδιορισθούν: (α) Το ρεύµα τυµπάνου, (β) το ρεύµα διέγερσης και (γ) o βαθµός απόδοσης της γεννήτριας. (Απ. (α) 50,0 Α, (β),09 Α, (γ) 97,85 %) Άσκηση -1 Ένας κινητήρας ΣΡ, -πολικός, µε 360 αγωγούς, παράλληλης διέγερσης, έχει µαγνητική ροή ανά πόλο Φ 5mWb. Η αντίσταση τυµπάνου είναι και ο κινητήρας έχει σχεδιαστεί για να λειτουργεί σε πλήρες φορτίο µε τάση v κ 115V και ρεύµα τυµπάνου i α 60A. (α) Να υπολογισθεί η τιµή της εξωτερικής αντίστασης που πρέπει να εισαχθεί στο κύκλωµα του τυλίγµατος του τυµπάνου, έτσι ώστε το ρεύµα τυµπάνου να µην υπερβεί το υποδιπλάσιο του ρεύµατος εκκίνησης υπό πλήρες φορτίο. (β) Όταν ο κινητήρας φτάσει την ταχύτητα των 400 rpm, η τιµή της εξωτερικής αντίστασης πέφτει κατά 50 %. Ποιό είναι το ρεύµα τυµπάνου σ αυτές τις στροφές; (γ) Όταν ο κινητήρας φτάσει στην τελική ταχύτητα περιστροφής η εξωτερική αντίσταση µηδενίζεται. Σ αυτήν την περίπτωση το ρεύµα τυµπάνου έχει τιµή που αντιστοιχεί σε πλήρες φορτίο. Να υπολογισθεί η ταχύτητα περιστροφής του κινητήρα. (Απ. (α) 0,838Ω, (β) 10 Α, (γ) 718,6 rpm) 14
Άσκηση -13 Τα µαγνητικά χαρακτηριστικά κάποιου κινητήρα ΣΡ δίνονται από τη γραµµική εξίσωση, Φ 0,001i f [Wb], όπου i f είναι το ρεύµα πεδίου. Ο κινητήρας είναι ξένης διέγερσης µε ολική αντίσταση τυµπάνου R α 0,05Ω και σταθεράς K ω 100. Αν το ρεύµα πεδίου είναι i f 10A και η τάση τυµπάνου v κ 400V, ο κινητήρας στρέφεται µε 3.000 rpm. Να υπολογισθεί το ρεύµα τυµπάνου i α, η ΑΗΕΔ e α του κινητήρα και η ηλεκτροµαγνητική ροπή T. Να αγνοηθεί η αντίδραση του τυµπάνου. (Απ. (α) 1.70 Α, (β) 314 V, (γ) 1.70 Nm) Άσκηση -14 Ένας κινητήρας παράλληλης διέγερσης ισχύος p µηχ 10hp και τάσης v κ 50V έχει αντίσταση τυλίγµατος τυµπάνου R α 0,5Ω και πεδίου R f 50Ω. Ο κινητήρας σε λειτουργία κενού έχει φορτίο 5A ενώ στο ονοµαστικό σηµείο λειτουργίας έχει φορτίο 37,1A. Να υπολογισθεί ο βαθµός απόδοσης του κινητήρα στο ονοµαστικό φορτίο. (Απ. 79,7 %) 15
Μέρος 3 Σύγχρονες Mηχανές 3-1 Λυµένες Aσκήσεις Άσκηση 3-1 Να δοθεί ένας πίνακας τιµών, για µία σύγχρονη γεννήτρια, συχνότητας 50Hz, ο οποίος να δίνει πιθανούς συνδυασµούς των αριθµών των πόλων και της συχνότητας. Η συχνότητα περιστροφής της σύγχρονης γεννήτριας δίνεται από τη σχέση από την οποία προκύπτει f np 10 [Hz], np 10f np 10 50 n 6.000 / P[rpm]. Κατά συνέπεια προκύπτει ο πιο κάτω πίνακας τιµών Πίνακας 3-1. Πίνακας τιµών πόλων ταχύτητας για την Άσκ. -1. Πόλοι P ταχύτητα (rpm) 3000 4 1500 6 1000 8 750 10 600 1 500 Άσκηση 3- Μία σύγχρονη 3Φ γεννήτρια, µε φάσεις σε σύνδεση αστέρα, ονοµαστικής ισχύος S 3Φ,o 10kVA και τάσης V γ 30V, επαγωγικής συµπεριφοράς, έχει σύγχρονη αντίδραση στα τυλίγµατα τυµπάνου ανά φάση αντίστοιχα X α 1,Ω. Να προσδιορισθεί ο δείκτης ρύθµισης της τάσης σε πλήρες φορτίο, αν ο συντελεστής ισχύος της γεννήτριας είναι cosφ 0,8. 16
Το διανυσµατικό διάγραµµα φασιδεικτών της σύγχρονης γεννήτριας φαίνεται στο Σχ. 3-1. E X E a δ φ V a E X φ I a X a sinφ IaXa cosφ I a Σχήµα 3-1. Το διανυσµατικό διάγραµµα φασιδεικτών της Άσκ. 3-. Σύµφωνα µε αυτό ισχύει E α (E x cosφ) +(V α + E x sin φ) (1) µε E x I α X α όπου η ανά φάση τάση και το ανά φάση ρεύµα υπολογίζονται αντίστοιχα V α V γ 3 30 3 13,8V, I α S 3Φ,o / 3 V α 104 / 3 13,8 5,1A Έτσι, από την (1) υπολογίζεται E α (5,1 1, 0,8) +(13,8 + 5,1 1, 0,6) 15,78V Συνεπώς, ο δείκτης ρύθµισης της τάσης σε πλήρες φορτίο είναι E α V α 15,78 13,8 100% 100% 15,05% V α 13,8 Άσκηση 3-3 Να λυθεί η Άσκ. 3- µε την επί πλέον προσθήκη ότι η αντίσταση του κυκλώµατος ανά φάση δεν είναι αµελητέα, αλλά ίση µεr α 0,5Ω. Το διανυσµατικό διάγραµµα φασιδεικτών της σύγχρονης γεννήτριας φαίνεται στο Σχ. 3-. Σύµφωνα µε το Σχ. 3- ισχύει ( ( + E x ) E α (V α cosφ + I α R α ) +(V α sin φ (1) (V α + I α R α cosφ + E x sin( φ() +(E x cosφ I α R α sin( φ() 17
όπου η ανά φάση τάση και το ανά φάση ρεύµα υπολογίζονται αντίστοιχα E X E a δ φ V a E X φ I a X a cosφ φ I a R a I a X a sinφ I a Σχήµα 3-. Το διανυσµατικό διάγραµµα φασιδεικτών της Άσκ. 3-3. V α v γ 3 30 3 13,8V, I α P 3Φ,o / 3 V α 104 / 3 13,8 5,1A και E x I α X α Έτσι, από την (1) υπολογίζεται E α (106,4 +1,55) +(79,68 + 30,1) 161,76V Συνεπώς, ο δείκτης ρύθµισης της τάσης σε πλήρες φορτίο είναι E α V α 161,76 13,8 100% 100% 1,8% V α 13,8 Aν και η οµική αντίσταση είναι µεγάλη σχετικά µε την αντίδραση (60%) το σφάλµα είναι µόνο 30%. Άσκηση 3-4 Μία σύγχρονη 3Φ γεννήτρια, µε φάσεις σε σύνδεση αστέρα, ισχύος S 3Φ 0kVA και τάσης V γ 0V, προµηθεύει ονοµαστικό επαγωγικό φορτίο συντελεστή ισχύος cosφ 0,707. Η αντίδραση ανά φάση είναι X α Ω. Να υπολογισθούν (α) η γωνία ισχύος και (β) ο δείκτης ρύθµισης της τάσης. Να αγνοηθεί η αντίσταση στα τυλίγµατα τυµπάνου. (α) Η γωνία ισχύος υπολογίζεται από τη σχέση tan δ I X cosφ α α V α + I α X α sin φ όπου ισχύει 18
V α V γ 3 0 3 17V, I α S / 3 3Φ 0 103 / 3 5,5A, φ arccos(0,707) 45 V α 17 Έτσι, η γωνία ισχύος είναι (β) Επίσης, ισχύει tan δ 5,5 0,707 17 + 5,5 0,707 δ 0,5 E α ( V α + I α X α sin( φ( ) + ( I α X α cosφ) E α 14, 49V ( 17 + 5,5 0,707) + ( 5,5 0,707) Συνεπώς, ο δείκτης ρύθµισης της τάσης υπολογίζεται E α V α 14, 49 17 100% 100% 68,89% 17 V α Άσκηση 3-5 Ένας 3Φ σύγχρονος κινητήρας, µε φάσεις σε σύνδεση αστέρα, τάσης V γ.300v, έχει σύγχρονη αντίδραση και αντίσταση στα τυλίγµατα τυµπάνου ανά φάση αντίστοιχα X α 3Ω. Ο κινητήρας λειτουργεί µε φορτίο τέτοιο ώστε η γωνία ισχύος να είναι δ 15 o ενώ η διέγερση ρυθµίζεται έτσι ώστε το µέτρο της επαγόµενης τάσης ΗΕΔ να ισούται µε το 90% της φασικής τάσης. Να υπολογισθεί (α) το ρεύµα τυµπάνου και (β) ο συντελεστής ισχύος του κινητήρα. E X δ φ V a φ E X E a sinδ E X cos I a E a Σχήµα 3-3. Το διανυσµατικό διάγραµµα φασιδεικτών της Άσκ. 3-5. (α) H τάση τροφοδοσίας ανά φάση είναι V α V γ 3.300 1.38V 3 Το διανυσµατικό διάγραµµα φασιδεικτών του σύγχρονου κινητήρα φαίνεται στο Σχ. 3-3. Σύµφωνα µε αυτό ή την Εξ. (6-13) το ρεύµα ανά φάση υπολογίζεται ως εξής 19
I a I a V + E a a V a E a cosδ X a 1.38 +(0.9 1.38) 1.38 0.9 1.38 cos15 3 118,3A (β) Η ανά φάση ισχύς που προσφέρεται στον κινητήρα είναι P 1Φ E α V α X α sin( δ( V α I α cosφ Εποµένως, ο συντελεστής ισχύος του κινητήρα είναι cosφ E α 0,9 1.38 sin δ X α I α 3 118,3 sin15 0,87 Άσκηση 3-6 Ένας 3Φ σύγχρονος κινητήρας, µε φάσεις σε σύνδεση αστέρα, ονοµαστικής ισχύος P µηχ,ο 15hp και τάσης V γ 400V, έχει βαθµό απόδοσης σε πλήρες φορτίο η κ 90%. Η σύγχρονη αντίδραση και η αντίσταση στα τυλίγµατα τυµπάνου ανά φάση είναι αντίστοιχα X α 3Ω. Ο κινητήρας λειτουργεί σε πλήρες φορτίο µε χωρητική συµπεριφορά και ο συντελεστής ισχύος του είναι cosφ 0,8. Να υπολογισθεί: (α) Η γωνία ισχύος και (β) το ρεύµα πεδίου. Η καµπύλη κορεσµού του κινητήρα δίνεται στο του Σχ. 3-4. 350 300 76,59 00 150 100 50 0 0 4 6 8 10 Ρεύµα πεδίου [Α] Σχήµα 3-4. H καµπύλη κορεσµού του κινητήρα της Άσκ. 3-6. 0
(α) Η ανά φάση τάση και το ανά φάση ρεύµα του κινητήρα είναι αντίστοιχα V α 400 3 31V, I α P 3Φ / 3 V α cosφ όπου η ισχύς του κινητήρα υπολογίζεται P 3Φ P µηχ,ο η κ 15 746 1, 433kW 0,9 Άρα I α 1.433 / 3 31 0,8, 4A I a V a E X E a Σχήµα 3-5. Το διανυσµατικό διάγραµµα φασιδεικτών της Άσκ. 3-6. H γωνία φ είναι cosφ 0,8 φ 36,87 Ο νόµος των συνηµιτόνων δίνει E α V α +(I α X α ) V α (I α X α )cos φ + 90 ( ) ( ) 31 +(, 4 3) 31 (, 4 3) cos 36,87 + 90 E α 76,59V Και η γωνία ισχύος, µε τη βοήθεια του νόµου των ηµιτόνων, υπολογίζεται sin δ I α X α E α, 4 3 sin(φ + 90 ) sin16,87 0,19 δ 11,1 76,59 (β) Από το διάγραµµα της καµπύλης κορεσµού του κινητήρα προκύπτει ότι για ΑΗΕΔ E α 76,59V, το ρεύµα πεδίου είναι i f 9,36A. 1
3- Άλυτες Aσκήσεις Άσκηση 3-7 Μία 3Φ σύγχρονη γεννήτρια, 6-πολική, ισχύος 500kVA, µε φάσεις σε σύνδεση αστέρα και ονοµαστικής τάσης V α,ο 500V, έχει σύγχρονη σύνθετη αντίσταση ανά φάση Z α 0,1 + j1,5ω. Αν η γεννήτρια στρέφεται στις 1.000rpm, να υπολογισθεί η συχνότητα της τάσης της γεννήτριας. Επίσης, να προσδιορισθεί η διέγερση της τάσης και η γωνία ισχύος σε πλήρες φορτίο, αν ο συντελεστής ισχύος της γεννήτριας είναι cosφ 0.8. (Σηµείωση. Αν η αντίσταση 0,1Ω παραληφθεί, το αποτέλεσµα θα είναι παραπλήσιο, αλλά όχι ακριβώς ίσο µε αυτό που ακολουθεί). (Απ. 50Hz, 1.075V, 37,6 o ) Άσκηση 3-8 Μία 3Φ σύγχρονη γεννήτρια ισχύος S 3Φ,o 100kVA, µε φάσεις σε σύνδεση αστέρα και ονοµαστικής τάσης V α,ο 100V, λειτουργεί σε πλήρες φορτίο, έχοντας συντελεστή ισχύος cosφ 0,8. Η αντίδραση ανά φάση είναι X α 0,55Ω. Να υπολογισθούν: (α) Ο δείκτης ρύθµισης της τάσης, (β) η γωνία ισχύος και (γ) η αναπτυσσόµενη ισχύς. Να αγνοηθεί η αντίσταση τυµπάνου R α. Άσκηση 3-9 Μία 3Φ σύγχρονη γεννήτρια, ισχύος S 3Φ,o 30kVA, µε φάσεις σε σύνδεση αστέρα και ονοµαστικής τάσης V α,ο 30V, έχει σύγχρονη αντίδραση ανά φάση X α 0,8Ω. Η αντίσταση τυµπάνου R α αγνοείται. Να υπολογισθεί ο δείκτης ρύθµισης της τάσης (α) σε πλήρες φορτίο, µε συντελεστή ισχύος cosφ 0,8 µε χωρητικό φορτίο, (β) σε 50% του πλήρους φορτίου, µε συντελεστή ισχύος cosφ 1 και (γ) σε 5% του πλήρους φορτίου, µε επαγωγικό φορτίο. (Απ.(α) 18,7%, (β),5%, (γ)7,% ) Άσκηση 3-10 Ένας σύγχρονος 3Φ κινητήρας, τάσης V γ 400V έχει βαθµό απόδοσης η κ 9% και ισχύ που αποδίδεται στην άτρακτό του P µηχ 18hp. Η σύγχρονη αντίσταση ανά φάση του κινητήρα είναι X α 1,5Ω. Αν ο κινητήρας λειτουργεί µε επαγωγικό φορτίο και έχει συντελεστή ισχύος cosφ 0,9, να προσδιορισθεί: (α) η γωνία ισχύος και (β) το ρεύµα πεδίου. Δίνεται η καµπύλη κορεσµού του κινητήρα, η οποία εικονίζεται στο Σχ. 3-5.
350 300 50 00 150 100 50 0 0 4 6 8 10 Ρεύµα πεδίου [Α] 11 1 Σχήµα 3-6. H καµπύλη κορεσµού του κινητήρα της Άσκ. 3-9. (Απ. προσεγγιστικά µόνο:(α) 7, 4, (β)4,5a ) Άσκηση 3-11 Ένας σύγχρονος κινητήρας λειτουργεί σε ονοµαστικό φορτίο και µε συντελεστή ισχύος cosφ 1. Αν το ρεύµα πεδίου αυξηθεί κατά 0%, δείξτε τα αποτελέσµατα αλλαγής της τάσης και του ρεύµατος στο διάγραµµα φασιδεικτών. 3
Μέρος 4 3Φ Επαγωγικοί Kινητήρες 4-1 Λυµένες Aσκήσεις Άσκηση 4-1 Ένας 4-πολικός, 3Φ κινητήρας επαγωγής, συχνότητας f 50Hz, λειτουργεί σε συνθήκες φορτίου τέτοιες ώστε η ολίσθηση να είναι s 0,03. Να προσδιορισθεί: (α) η ταχύτητα του κινητήρα, (β) η συχνότητα ρεύµατος του κινητήρα, (γ) η ταχύτητα του στρεφόµενου µαγνητικού πεδίου σε σχέση µε το πλαίσιο του στάτη και (δ) η ταχύτητα του στρεφόµενου µαγνητικού πεδίου σε σχέση µε το µαγνητικό πεδίο του στάτη. Η σύγχρονη ταχύτητα του κινητήρα υπολογίζεται από τη σχέση n s 10f P (α) Η ταχύτητα του κινητήρα είναι 10 50 1.500rpm 4 n µηχ (1 s)n s (1 0,03) 1.500 1.455rpm (β) Η συχνότητα ρεύµατος του κινητήρα είναι f sf 1 sf 0,03 50 1,5Hz (γ) Tο µαγνητικό πεδίο του στάτη επάγει ίσο αριθµό πόλων στο δροµέα. Το εναλλασσόµενο πεδίο στο δροµέα δηµιουργεί ένα στρεφόµενο πεδίο ακριβώς όπως συµβαίνει στο στάτη. Η ταχύτητα περιστροφής του µαγνητικού πεδίου του δροµέα, σε σχέση µε το δροµέα, είναι n 10f P 10sf P sn s, ενώ η ταχύτητα περιστροφής του δροµέα, σε σχέση µε το στάτη, είναι n µηχ (1 s)n s Η ταχύτητα του στρεφόµενου µαγνητικού πεδίου του δροµέα σε σχέση µε το ακίνητο πλαίσιο του στάτη είναι n s n µηχ + n n s 1.500rpm 4
(δ) Η ταχύτητα του στρεφόµενου µαγνητικού πεδίου του δροµέα σε σχέση µε το µαγνητικό πεδίο του στάτη είναι µηδέν, εφόσον και τα δύο στρέφονται µε τη σύγχρονη ταχύτητα. Άσκηση 4- Ένας -πολικός κινητήρας επαγωγής, συχνότητας f 50Hz, λειτουργεί στις.900rpm. Να υπολογισθούν: (α) η σύγχρονη ταχύτητα και (β) η % ολίσθηση. (α) Η σύγχρονη ταχύτητα του κινητήρα υπολογίζεται από τη σχέση (β) Η ολίσθηση υπολογίζεται n s 10f P 10 50 3.000rpm s n n s 3.000.900 0,033 3,3% n s.900 Άσκηση 4-3 Ο δροµέας ενός 3Φ, 4-πολικού κινητήρα επαγωγής, συχνότητας f f 1 50Hz, παρέχει φορτίο P διακ 10kW, στη συχνότητα των f 3Hz. Να υπολογισθούν: (α) η ταχύτητα περιστροφής και (β) οι απώλειες χαλκού του δροµέα. Αν οι απώλειες χαλκού του στάτη είναι P α,ηλ,1 3kW, οι µηχανικές απώλειες είναι P α,µηχ kw και οι απώλειες πυρήνα του στάτη P α,πυρ 1,7kW, να υπολογισθούν επίσης: (γ) η ισχύς εξόδου στην άτρακτο του κινητήρα και (δ) ο βαθµός απόδοσης του κινητήρα. Να αγνοηθούν οι απώλειες πυρήνα του δροµέα. Η ολίσθηση και η σύγχρονη ταχύτητα του κινητήρα υπολογίζονται αντίστοιχα από τις σχέσεις s f 3 f 1 50 0,06, n 10f s P (α) Η ταχύτητα περιστροφής του κινητήρα είναι 10 50 1.500rpm 4 n µηχ (1 s)n s (1 0,06) 1.500 1.410rpm (β) Οι απώλειες χαλκού του δροµέα είναι P α,ηλ, sp διακ 0,06 10 7,kW (γ) Η ισχύς εξόδου στην άτρακτο του κινητήρα υπολογίζεται T µηχ ω µηχ P διακ (P α,ηλ, + P α,µηχ ) 10 (7, + ) 110,8kW 5
(δ) Η ισχύς εισόδου του κινητήρα είναι P 3Φ P διακ + P α,ηλ,1 + P α,πυρ 10 + 3 +1,7 14,7kW Άρα ο βαθµός απόδοσης του κινητήρα είναι η κ T µηχ ω µηχ P 3Φ 110,8 14,7 89% Άσκηση 4-4 Ένας κινητήρας επαγωγής, µε δακτύλιους ολίσθησης, έχει σύγχρονη ταχύτητα n s 1.800rpm και λειτουργεί στις n µηχ 1.710rpm, όταν η αντίσταση στο δροµέα είναι R 0,Ω ανά φάση. Η αντίδραση του δροµέα είναι X Ω ανά φάση. Ο κινητήρας καλείται να αναπτύξει µία σταθερή ροπή για όλες τις ταχύτητες περιστροφής από την αρχική έως και την n * 1440rpm. Να εξηγηθεί πως είναι δυνατόν να πραγµατοποιηθεί αυτό. Το ισοδύναµο κύκλωµα του δροµέα απεικονίζεται στο Σχ. 4-1. Υποθέτουµε ότι η τάση E είναι σταθερή. jx E I R s Σχήµα 4-1. Το κύκλωµα της Άσκ. 4-4. H ανά φάση ισχύς που αναπτύσσεται υπολογίζεται από την Εξ. (7-31) από όπου έχει παραληφθεί ο τόνος T ω µηχ I R s I 1 s R I R s To ρεύµα στα τυλίγµατα του δροµέα υπολογίζεται από το κύκλωµα του Σχ. 4-1 E I (R / s) + X Η µηχανική περιστροφική ταχύτητα του κινητήρα είναι ω µηχ (1 s)ω s όπου ω s είναι η σύγχρονη ταχύτητα του κινητήρα. Από τις τρεις προηγούµενες εξισώσεις υπολογίζεται η ηλεκτροµαγνητική ροπή του κινητήρα (η εξίσωση της χαρακτηριστικής) 6
T E sr ω s R + s X Είναι εύκολο να επαληθευθεί ότι οι µερικές παράγωγοι T / s και T / R α είναι πάντα θετικές. Έτσι, για σταθερή ροπή T, καθώς αυξάνει η ολίσθηση s, (και βέβαια µειώνεται η ταχύτητα περιστροφής), η αντίσταση R α πρέπει να αυξάνει, φτάνοντας στην µέγιστη τιµή της, R *, που αντιστοιχεί σε ολίσθηση s *. Τελικά, προκύπτει η τετραγωνική έκφραση από την οποία έχουµε sr R + s X s * * R R * + s * X R * 0,8Ω και όπου χρησιµοποιήθηκαν οι τιµές των ολισθήσεων s και s * εξισώσεις που δίνονται από τις s n n s µηχ 1.800 1.710 0,05 n s 1.800 και s * n n * s µηχ 1.800 1.440 0, X n s 1.800 m 0Ω, R / s 0,05 / s[ω] Προκειµένου να επιτευχθεί η σταθερή ροπή για όλο το εύρος στροφών, πρέπει να εισαχθεί εξωτερικός ροοστάτης σε σειρά µε τα τυλίγµατα του δροµέα µε µέγιστη τιµή R max R * R 0,8 0, 0,6Ω Άσκηση 4-5 Ένας 3Φ κινητήρας επαγωγής, έχει τα χαρακτηριστικά, ανά φάση που φαίνονται στο ισοδύναµο κύκλωµα του Σχ. 4-. Να υπολογισθεί η ολίσθηση, για την οποία ο κινητήρας αποδίδει τη µέγιστη ισχύ. Δίνονται: R 1 0,05Ω, X 1 + X 0,3Ω,. I X R s + + R 1 1 X / V 1 jx m Σχήµα 4-. Το ισοδύναµο κύκλωµα της Άσκ. 4-5. 7
H ανά φάση παραγόµενη ισχύς που αναπτύσσεται υπολογίζεται από τη σχέση T ω µηχ I R s (1 s) To ρεύµα στα τυλίγµατα του δροµέα υπολογίζεται από τη σχέση I V 1 (R 1 + R / s) +(X 1 + X ) Από τις παραπάνω εξισώσεις και κάνοντας αριθµητική αντικατάσταση των δοσµένων µεγεθών, προκύπτει s(1 s) T ω µηχ 0V 1 (s +1) + 36s Η ολίσθηση, για την οποία ο κινητήρας αποδίδει τη µέγιστη ισχύ υπολογίζεται από τη σχέση (T ω µηχ )/ s 0, η οποία δίνει τελικά s 0,14 Άσκηση 4-6 Τα χαρακτηριστικά, ανά φάση ενός 4-πολικού, 3Φ κινητήρα επαγωγής, συχνότητας f 50Hz, µε φάσεις σε σύνδεση αστέρα, φαίνονται στο ισοδύναµο κύκλωµα του Σχ. 4-3. Αν οι µηχανικές απώλειες και απώλειες σιδήρου (πυρήνα) είναι P α,µ,π 800W στις n µηχ 1.450rpm, να υπολογισθούν (σε αυτές τις στροφές): (α) το ρεύµα εισόδου, (β) η ισχύς εισόδου, (γ) η ισχύς εξόδου, (δ) η µηχανική ροπή στην έξοδο και (ε) ο βαθµός απόδοσης του κινητήρα. Δίνονται: V γ 400V, X 1 0,5Ω, X m 0Ω, R 1 0,Ω, X 0,Ω και R 0,1Ω. R 1 I 1 jx 1 R / / I j X / + V 1 I m j X m / R s ( 1 s) Σχήµα 4-3. Το ισοδύναµο κύκλωµα της Άσκ. 4-6. Η σύγχρονη ταχύτητα και η ολίσθηση του κινητήρα υπολογίζονται αντίστοιχα από τις σχέσεις 8
n s 10f P 10 50 1.500rpm, s n n s µηχ 1.500 1.450 0,033 4 n s 1.500 Η ισοδύναµη ανά φάση σύνθετη αντίσταση του κυκλώµατος του Σχ. 4-3 υπολογίζεται ως εξής Z ισ R ισ + jx ισ (R 1 + jx 1 )+ jx ( R m / s + j X ) R / s + j(x m + X ) 3,1 + j1,13 3,3 0 Ω (0, + j0,5)+ j0(3,03 + j0,) 3,03 + j(0 + 0,) Η ανά φάση τάση είναι V 1 V γ 3 400 3 31V (α) Το ρεύµα εισόδου είναι I 1 V α Z ισ 31 3,3 70A (β) Η ισχύς εισόδου βρίσκεται P 3Φ 3V 1 I 1 cos0 3 31 70 cos0 45,6kW (γ) Η ισχύς που µεταφέρεται µέσω του διάκενου στο δροµέα του κινητήρα είναι jx P διακ 3I 1 Re m ( R / s + j X ) 3I R / s + j(x m + X ) 1 (R ισ R 1 ) 3 70,9 4,63kW Η ηλεκτροµαγνητική ισχύς υπολογίζεται ως εξής T ω µηχ (1 s)p διακ (1 0,033) 4,63 41,kW Εποµένως, η µηχανική ισχύς εξόδου είναι P µηχ T µηχ ω µηχ T ω µηχ P α,µ,π 41.0 800 40, 4kW (δ) Η ροπή στην έξοδο του κινητήρα είναι T µηχ P P µηχ µηχ ω µηχ π n µηχ / 60 40.40 π 1.450 / 60 66,Nm (ε) Ο βαθµός απόδοσης του κινητήρα βρίσκεται 9
+ η κ P µηχ 40, 4 P 3Φ 45,60 88,64% Άσκηση 4-7 (α) Να αντικατασταθεί το κύκλωµα του Σχ. 4-4 µε το ισοδύναµο Thevenin και να προσδιορισθεί η τάση και η αντίσταση Thevenin, V 1,a και R1 + jx1 αντίστοιχα. (β) Να γίνει αριθµητική αντικατάσταση για τα εξής χαρακτηριστικά, ανά φάση, του κυκλώµατος: X 1 0,5Ω, X 0,0Ω, X m 0Ω, R 1 R 0,Ω, V γρ 400V. R 1 I 1 jx 1 R / / I j X / V 1 I m j X m R s / ( 1 s) Σχήµα 4-4. Το ισοδύναµο κύκλωµα της Άσκ. 4-7. R 1 jx 1 j X / V 1a, / R s Σχήµα 4-5. Το ισοδύναµο κύκλωµα κατά Thevenin της Άσκ. 4-7. (α) Στο Σχ. 4-5 φαίνεται το ισοδύναµο κύκλωµα Thevenin. Με τη βοήθεια του Σχ. 4-4 υπολογίζονται η τάση και η αντίσταση Thevenin αντίστοιχα: και V 1,a jx m R 1 + j(x 1 + X m ) V 1 R1 + jx1 jx m (R 1 + jx 1 ) R 1 + j(x 1 + X m ) (β) Η αριθµητική αντικατάσταση των δοσµένων µεγεθών δίνει: j0 V 1,a 0, + j(0,5 + 0) 400 3 5,3V και 30
Άσκηση 4-8 j0 (0, + j0,5) R1 + jx1 0,19 + j0, 49Ω 0, + j(0,5 + 0) Δίνεται το ισοδύναµο κύκλωµα του κινητήρα της Άσκ. 4-6 στο Σχ. 4-6. Να υπολογισθούν: (α) οι ηλεκτροµαγνητικές απώλειες του κινητήρα, (β) η ισχύς διάκενου, (γ) η µηχανική ισχύς εξόδου και (δ) η µηχανική ροπή στην έξοδο του κινητήρα. Να συγκριθούν τα αντίστοιχα αποτελέσµατα της Άσκ. 4-6. R 1 jx 1 j X / V 1a, R / s Σχήµα 4-6. Το ισοδύναµο κύκλωµα κατά Thevenin της Άσκ. 4-8/6. Από την Άσκ. 4-6 η ολίσθηση του κινητήρα βρέθηκε ότι είναι s 0,033. Η ισοδύναµη ανά φάση σύνθετη αντίσταση του κυκλώµατος του Σχ. 4-6, λαµβάνοντας υπόψη και τους υπολογισµούς της Άσκ. 4-7, είναι R Z ισ (R1 + jx1)+ s + j X jx (R + jx ) m 1 1 R 1 + j(x 1 + X m ) + R s + j X 0,19 + j0, 49 + 0,1 + j0, 3, + j0,69ω 0,033 και η τάση κατά Thevenin, σύµφωνα µε την Άσκ. 4-7, βρέθηκε V 1,a 5,3V (α) Οι ηλεκτροµαγνητικές απώλειες του κινητήρα είναι R P διακ 3 I α s 3 68, 0,1 48 4,63 kw 0,033 (β) Η ηλεκτροµαγνητική ισχύς του υπολογίζεται µε τη βοήθεια της ισχύος διάκενου T ω µηχ (1 s)p διακ (1 0,033) 4,63 41,kW (γ) Η ισχύς εξόδου είναι P µηχ T µηχ ω µηχ T ω µηχ P α,µ,π 41.0 800 40, 4kW (δ) Η ροπή στην έξοδο του κινητήρα είναι 31
T µηχ P µηχ ω µηχ T µηχ ω µηχ π n µηχ / 60 40.40 π 1.450 / 60 66,Nm Τα αποτελέσµατα έρχονται σε πλήρη συµφωνία µε αυτά της Άσκ. 4-6. Αυτό οφείλεται στο γεγονός ότι η Άσκ. 4-6 επιλύθηκε µε την υπόθεση ότι οι απώλειες πυρήνα µπορούν να ενσωµατωθούν στις µηχανικές απώλειες που εµφανίζονται µετά την ηλεκτροµαγνητική ισχύ. 4- Άλυτες Aσκήσεις Άσκηση 4-9 Τα χαρακτηριστικά, ανά φάση ενός 4-πολικού, 3Φ κινητήρα επαγωγής, συχνότητας f 1 60Hz, µε φάσεις σε σύνδεση αστέρα, φαίνονται στο ισοδύναµο κύκλωµα του Σχ. 4-7. Δίνονται: X 1 X Ω, X m 50Ω, R 1 0,75Ω, R 0,8Ω,V 1 600V. Να αντικατασταθεί το κύκλωµα του Σχ. 4-7 µε το ισοδύναµο Thevenin και να προσδιορισθεί η τάση και η αντίσταση Thevenin, V 1,a και R1 + jx1 αντίστοιχα. R 1 I 1 jx 1 R / / I j X / + V 1 I m j X m / R s ( 1 s) Σχήµα 4-7. Το ισοδύναµο κύκλωµα της Άσκ. 4-9. (Απ. R1 + X 1 0,69 + j1,93ω, V 1,a 333V ) Άσκηση 4-10 Για το κύκλωµα Thevenin του Σχ. 4-8 να αποδειχθεί ότι (α) η ολίσθηση, για την οποία η ροπή είναι µέγιστη, είναι s max R R 1 +(X 1 + X ) και ότι (β) η (ανά φάση) αντίστοιχη ροπή είναι T max V 1,α ω s [R 1 + (X 1 + X ) + R 1 ] 3
+ R 1 jx 1 j X / V 1a, / R s Σχήµα 4-8. Το ισοδύναµο κύκλωµα κατά Thevenin της Άσκ. 4-10. Άσκηση 4-11 Ένας 6-πολικός, 3Φ κινητήρας επαγωγής, µε ονοµαστικά χαρακτηριστικά 400Hz, 150V, 10hp και 3% ολίσθηση αποδίδει την ονοµαστική τιµή της ισχύος εξόδου. Οι απώλειες τριβής και ανεµισµού είναι 00W στην ονοµαστική ταχύτητα του κινητήρα. Αν ο κινητήρας λειτουργεί µε τα πιο πάνω ονοµαστικά του χαρακτηριστικά, να υπολογισθούν: (α) η ταχύτητα περιστροφής, (β) η συχνότητα του ρεύµατος του δροµέα, (γ) οι απώλειες χαλκού του δροµέα, (δ) οι ηλεκτροµαγνητικές απώλειες του κινητήρα και (ε) η ροπή στην έξοδο του κινητήρα. (Απ. (α)7.760rpm, (β)1hz, (γ)37w, (δ)7.897w, (ε)9,nm ) Άσκηση 4-1 Ένας 1-πολικός, 3Φ κινητήρας επαγωγής, µε φάσεις σε σύνδεση αστέρα έχει ονοµαστικά χαρακτηριστικά 60Hz,.00V, 500hp. Η αντίσταση, ανά φάση, του στάτη είναι 0, 4Ω και του δροµέα, ανά φάση του στάτη, 0,Ω. Η ολική αντίδραση του στάτη και του δροµέα, ανά φάση του στάτη, είναι Ω. Με τα ονοµαστικά χαρακτηριστικά τάσης και συχνότητας του κινητήρα, η ολίσθηση είναι 0,0. Κάτω από αυτές τις συνθήκες να υπολογισθούν τα, ανά φάση, µεγέθη: (α) το ρεύµα του στάτη, αγνοώντας το ρεύµα του µαγνητικού πεδίου, (β) την αναπτυσσόµενη µηχανική ροπή, (γ) την ισχύ εισόδου και (δ) τις απώλειες χαλκού του δροµέα. (Απ.(α)10A, (β).9nm, (γ)144kw, (δ).880w ) Άσκηση 4-13 W D D W W Σχήµα 4-9. Σύνδεση κατά αστέρα ή κατά τρίγωνο της Άσκ. 4-13. D Για µία δοσµένη πολική τάση, η οποία εφαρµόζεται στους ακροδέκτες ενός κινητήρα εκκίνησης αστέρα - τριγώνου και για αλλαγή από αστέρα σε τρίγωνο, να υπολογισθεί ο λόγος των: (α) ρευµάτων εκκίνησης και (β) ροπών εκκίνησης. 33
(Απ.(α)I Υ / I Δ 1 / 3, (β)τ Υ / Τ Δ 1 / 3 ) Άσκηση 4-14 Ένας κινητήρας επαγωγής είναι έτοιµος να τεθεί σε λειτουργία µε µειωµένη τάση, τέτοια ώστε το ρεύµα εκκίνησης να µην υπερβαίνει τέσσερις φορές το ρεύµα πλήρους φορτίου. Συγχρόνως, αναπτύσσεται ροπή ίση µε το 5% της ροπής υπό πλήρες φορτίο. Η ολίσθηση σε πλήρες φορτίο είναι 3%. Να προσδιορισθεί το ποσοστό κατά το οποίο πρέπει να µειωθεί η τάση κατά την εκκίνηση σε σχέση µε την κανονική τάση λειτουργίας. (Απ. 0,7 ) 34
Μέρος 5 1Φ Eπαγωγικοί Kινητήρες 5-1 Λυµένες Aσκήσεις Άσκηση 5-1 Για τον 1Φ κινητήρα επαγωγής, τάσης V 1 30V, του οποίου το ισοδύναµο κύκλωµα εικονίζεται στο Σχ. 8-11α του βιβλίου, δίνονται τα εξής χαρακτηριστικά: R 1 R 8Ω, X 1 X 1Ω και X m 00Ω. Η ολίσθηση του κινητήρα είναι s 4%. Να υπολογισθούν (α) το ρεύµα εισόδου, (β) η ισχύς εισόδου, (γ) η αναπτυσσόµενη ηλεκτροµαγνητική ισχύς και (δ) η αναπτυσσόµενη ηλεκτροµαγνητική ροπή (στην ονοµαστική τιµή τάσης). Η ταχύτητα περιστροφής του κινητήρα είναι 1.78 rpm. Όπως φαίνεται στο Σχ. 8-1 του βιβλίου, η σύνθετη αντίσταση του κυκλώµατος που αντιστοιχεί στο θετικά περιστρεφόµενο πεδίο είναι Z + R + + jx + (j100)( 4 0,04 + j6) j100 + 4 0,04 + j6 47 + j50ω και η σύνθετη αντίσταση του κυκλώµατος που αντιστοιχεί στο αρνητικά περιστρεφόµενο πεδίο είναι Z R + jx Η ισοδύναµη αντίσταση υπολογίζεται (j100)( 4 1,96 + j6) j100 + 4 1,96 + j6 1,8 + j5,7ω Z ισοδ (R 1 + R + + R )+ j(x 1 + X + + X ) 56,8 + j67,7 88, 4 50 o Ω (α) Το ρεύµα εισόδου είναι I 1 V 1 30,6 50 A Z ισοδ 88, 4 (β) Ο συντελεστής ισχύος είναι cosφ cos50 o 0,64 35
Η ισχύς εισόδου υπολογίζεται P in P 1Φ V 1 I 1 cosφ 30,6 0,64 38,7W (γ) H ισχύς διάκενου που αναπτύσσεται από το θετικά περιστρεφόµενο πεδίο υπολογίζεται P διακ,+ I 1 R +,6 47 317,7W και η ισχύς που αναπτύσσει το αρνητικά στρεφόµενο πεδίο είναι P διακ, I 1 R,6 1,8 1,168W Η αναπτυσσόµενη ηλεκτροµαγνητική ισχύς είναι T ω µηχ (1 s)(p διακ,+ P διακ, ) (1 0,04)(317,7 1,168) 93,3W (δ) Η αναπτυσσόµενη ηλεκτροµαγνητική ροπή του κινητήρα υπολογίζεται T (P P )(1 s) διακ,+ διακ, 93,3 ω µηχ π 1.78 / 60 1,6Nm. Άσκηση 5- Να επαναληφθούν οι υπολογισµοί της Άσκ. 5-1 και να συγκριθούν τα αποτελέσµατα για τα εξής χαρακτηριστικά του ίδιου κινητήρα: να αγνοηθεί ο όρος X m στη σύνθετη αντίσταση Z και να ληφθεί υπόψη η αντίσταση του αντίστροφα στρεφόµενου πεδίου, µε χαµηλή ολίσθηση, ίση µε 0,5 R. Με τον ίδιο ακριβώς συλλογισµό που ακολουθήθηκε στην Άσκ. 5-1, η σύνθετη αντίσταση του κυκλώµατος που αντιστοιχεί στο θετικά περιστρεφόµενο πεδίο υπολογίζεται Z + R + + jx + 47 + j50ω και η σύνθετη αντίσταση του κυκλώµατος που αντιστοιχεί στο αρνητικά περιστρεφόµενο πεδίο υπολογίζεται Z R + jx 1,0 + j6ω Η ισοδύναµη αντίσταση υπολογίζεται Z ισοδ (R 1 + R + + R )+ j(x 1 + X + + X ) 56,0 + j68 88,1 50,5 o (α) Το ρεύµα εισόδου είναι 36
(β) Ο συντελεστής ισχύος είναι I 1 V 1 30,6 50,5 Z ισοδ 88,1 50,5 Η ισχύς εισόδου υπολογίζεται cosφ cos50 o 0,64 P in P 1Φ V 1 I 1 cosφ 30,6 0,64 38,7W (γ) H ισχύς διακένου που αναπτύσσεται από το θετικά περιστρεφόµενο πεδίο υπολογίζεται P διακ,+ I 1 R +,6 47 317,7W και η ισχύς που αναπτύσσει το αρνητικά στρεφόµενο πεδίο είναι P διακ, I 1 R,6 1 6,7W Η αναπτυσσόµενη ισχύς είναι T ω µηχ (1 s)(p διακ,+ P διακ, ) (1 0,04)(317,7 6,7) 98,5W (δ) Η αναπτυσσόµενη ροπή του κινητήρα υπολογίζεται T (P P )(1 s) διακ,+ διακ, 98,5 ω µηχ π 1.78 / 60 1,65Nm. Άσκηση 5-3 Ένας 1Φ, 4-πολικός κινητήρας επαγωγής, τάσης V 1 110V, συχνότητας f 1 50Hz, του οποίου το ισοδύναµο κύκλωµα εικονίζεται στο Σχ. 8-11α του βιβλίου, έχει τα εξής χαρακτηριστικά: R 1 R Ω, X 1 X Ω και X m 50Ω. Οι απώλειες πυρήνα του κινητήρα είναι P α,πυρ 5W και οι απώλειες τριβών και ανεµισµού είναι P α,µηχ 10W. Η ολίσθηση του κινητήρα είναι s 10%. Να προσδιορισθούν: (α) το ρεύµα εισόδου του κινητήρα και (β) ο βαθµός απόδοσης του κινητήρα. Όπως φαίνεται στο Σχ. 8-11α του βιβλίου, η σύνθετη αντίσταση του κυκλώµατος που αντιστοιχεί στο θετικά περιστρεφόµενο πεδίο είναι Z + R + + jx + (j5)( 1 0,1 + j) j5 + 1 0,1 + j 8 + j 4Ω 37
και η σύνθετη αντίσταση του κυκλώµατος που αντιστοιχεί στο αρνητικά περιστρεφόµενο πεδίο είναι Z R + jx Η ισοδύναµη αντίσταση υπολογίζεται (j5)( 1 1,9 + j) j5 + 1 1,9 + j 0, 48 + j0,96ω Z ισοδ (R 1 + R + + R )+ j(x 1 + X + + X ) 10, 48 + j6,96 1,6 33,6 o Ω (α) Το ρεύµα εισόδου είναι I 1 V 1 Z ισοδ 100 1,6 8,73A (β) H ισχύς διάκενου που αναπτύσσεται από το θετικά περιστρεφόµενο πεδίο υπολογίζεται P διακ,+ I 1 R + 8,73 8 609,7W και η ισχύς που αναπτύσσει το αρνητικά στρεφόµενο πεδίο είναι P διακ, I 1 R 8,73 0, 48 36,58W Η αναπτυσσόµενη ηλεκτροµαγνητική ισχύς είναι T ω µηχ (1 s)(p διακ,+ P διακ, ) (1 0,1)(609,7 36,58) 516W Η µηχανική ισχύς εξόδου υπολογίζεται T µηχ ω µηχ T ω µηχ P α,πυρ P α,µηχ 516 5 10 481W Η ισχύς εισόδου υπολογίζεται P in P 1Φ V 1 I 1 cosφ 110 8,73 cos33,6 o 800W Ο βαθµός απόδοσης του κινητήρα είναι η κ T µηχ ω µηχ P 1Φ 481 800 60% 38
Άσκηση 5-4 Δίνεται ο κινητήρας µε τα χαρακτηριστικά της Άσκ. 5-1. Να υπολογισθούν τα ρεύµατα των διαφόρων στοιχείων του ισοδύναµου κυκλώµατος όταν (α) ο κινητήρας λειτουργεί χωρίς φορτίο (s 0) και (β) ο δροµέας µένει ακίνητος (s 1). Και στις δύο περιπτώσεις η τάση έχει την ονοµαστική της τιµή. (α) Όπως φαίνεται στο Σχ. 8-11α του βιβλίου, όταν ο κινητήρας λειτουργεί χωρίς φορτίο (s 0), ο κλάδος που περιλαµβάνει το R γίνεται ανοικτοκύκλωµα (άπειρη αντίσταση). Τότε, η σύνθετη αντίσταση του κυκλώµατος που αντιστοιχεί στο θετικά περιστρεφόµενο πεδίο υπολογίζεται ως Z + R + + jx + j100ω και η σύνθετη αντίσταση του κυκλώµατος που αντιστοιχεί στο αρνητικά περιστρεφόµενο πεδίο υπολογίζεται (j100)( + j6) Z R + jx 1,78 + j5,7ω j100 + + j6 Η ισοδύναµη αντίσταση υπολογίζεται Z ισοδ (R 1 + R + + R )+ j(x 1 + X + + X ) 9,78 + j117,7 118 85 o Το ρεύµα εισόδου είναι I 1 V 1 Z ισοδ 30 0o 118 85 o 1,95 85o A Η τάση του κυκλώµατος που αντιστοιχεί στο θετικά περιστρεφόµενο πεδίο είναι V + I 1 Z + (1,95 85 o )(100 90 o ) 195 V 15 o Τα ρεύµατα των στοιχείων υπολογίζονται ως εξής, j100 : I m,+ 195 15o 100 90 o 1,95A 85o + j6 :I,+ 195 15o 0A Η τάση του κυκλώµατος που αντιστοιχεί στο αρνητικά περιστρεφόµενο πεδίο είναι V I 1 Z (1,95 85 o )(5,97 7,66 o ) 11,64 V 1,34 o Τα ρεύµατα των στοιχείων υπολογίζονται ως εξής, 39
11,64 1,34o j100 : I m, 100 90 o 0,1A 10,34 o 11,64 1,34o + j6 :I, 6,3 71,57 o 1,84A 83,91 o (β) Όπως φαίνεται στο Σχ. 8-11α του βιβλίου, όταν ο δροµέας µένει ακίνητος (s 1), η σύνθετη αντίσταση του κυκλώµατος που αντιστοιχεί στο θετικά περιστρεφόµενο πεδίο είναι ίση µε τη σύνθετη αντίσταση του κυκλώµατος που αντιστοιχεί στο αρνητικά περιστρεφόµενο πεδίο: (j100)(4 + j6) Z + R + + jx + 3,5 + j5,8ω Z 4 + j6 Η ισοδύναµη αντίσταση υπολογίζεται Z ισοδ (R 1 + R + + R )+ j(x 1 + X + + X ) 15 + j3,6 8Ω 57 o Το ρεύµα εισόδου είναι I 1 V 1 Z ισοδ 30 0o 8 57 o 8,Α 57o Η τάση του κυκλώµατος που αντιστοιχεί είτε στο θετικά είτε στο αρνητικά περιστρεφόµενο πεδίο είναι V + V I 1 Z + (8,Α 57 o )(6,77 Ω 58,89 o ) 55,51V 1,89 o Τα ρεύµατα των στοιχείων υπολογίζονται ως εξής, j100 : I m,+ I m, 55,51 1,89o 100 90 o 0,56A 88,11 o και 4 + j6 :I,+ I, 55,51 1,89o 7,1 56,31 o 7,70A 58,0o. 40
5- Άλυτες Aσκήσεις Άσκηση 5-5 Οι παράµετροι του ισοδύναµου κυκλώµατος ενός 1Φ, 6-πολικού κινητήρα επαγωγής, τάσης V 1 30V, συχνότητας f 1 60Hz είναι: R 1 R 10Ω, X 1 X 10Ω και X m 100Ω. Η ολίσθηση του κινητήρα είναι s 5%. Να προσδιορισθούν: (α) η ταχύτητα του κινητήρα, (β) το ρεύµα εισόδου, (γ) ο συντελεστής ισχύος και (δ) η αναπτυσσόµενη ροπή. (Απ. (α) 1.440rpm, (β) 3,68A, (γ) 0,5 - επαγωγική συµπεριφορά, (δ) 1,84Nm ) Άσκηση 5-6 Η ισχύς εισόδου του κινητήρα της προηγούµενης άσκησης, όταν λειτουργεί χωρίς φορτίο, στην τάση V 1 30V, είναι 34,1W σε ρεύµα 1,A. Αν η ολίσθηση του κινητήρα είναι s 5% να προσδιορισθεί ο βαθµός απόδοσης του κινητήρα. (Απ. 44,% ) Άσκηση 5-7 Να επαναληφθούν οι υπολογισµοί της Άσκ. 5-5 και να συγκριθούν τα αποτελέσµατα για τα εξής χαρακτηριστικά του ίδιου κινητήρα: να αγνοηθεί ο όρος X m στη σύνθετη αντίσταση Z και να ληφθεί υπόψη η αντίσταση του αντίστροφα στρεφόµενου πεδίου ίση µε 0,5 R. (Απ. (α) 1.440rpm, (β) 3,65A, (γ) 0,5 - επαγωγική συµπεριφορά, (δ) 1,77Nm ) 41