1.1. Σύντοµη Ιστορική Αναδροµή Ο όρος (Operations Research) χρησιµοποιείται ευρέως για να περιγράψει την επιστήµη που ασχολείται µε τη βελτιστοποίηση (optimization) της απόδοσης ενός συστήµατος (Τσαντάς και Βασιλείου, 2000). Ειδικότερα, πρόκειται για ένα σύνολο από τεχνικές, οι οποίες, χρησιµοποιώντας µαθηµατικά πρότυπα, δηµιουργούν µια ποσοτική και ορθολογική βάση για τη λήψη αποφάσεων που θα βελτιστοποιήσουν τη λειτουργία ενός συστήµατος. Γι αυτόν εξάλλου τον λόγο η επιχειρησιακή έρευνα χαρακτηρίζεται συχνά, στη βιβλιογραφία, και ως Εφαρµοσµένα Μαθηµατικά (Applied Mathematics), Ποσοτική Ανάλυση (Quantitative Analysis), Λήψη Αποφάσεων (Decision Making), ιοικητική Επιστήµη (Management Science), Aνάλυση Συστηµάτων (Systems Analysis) κ.λ.π. Ιστορικά, παρουσιάζει ενδιαφέρον να αναφέρουµε πως δύο σηµαντικά γεγονότα χαρακτηρίζουν τη σύγχρονη ιστορία των εφαρµοσµένων µαθηµατικών. Το πρώτο γεγονός ήταν η ανάπτυξη της µαθηµατικής ανάλυσης που σηµειώθηκε τον 17 ο αιώνα. Ο Sir Isaak Newton ήταν ένας από εκείνους που πρώτοι ανέπτυξαν την έννοια της µαθηµατικής ανάλυσης. Παρόλο που ο Newton στην Βρετανία ήταν, ίσως, ο πρώτος που ανέπτυξε την µαθηµατική ανάλυση µεταξύ του 1665 και 1666, ο βαρώνος von Gottfried Wilhelm Liebniz εδραίωσε, ανεξάρτητα από τον Newton, την µαθηµατική ανάλυση το 1675. Βέβαια, επειδή τις εποχές εκείνες η έκδοση νέων ιδεών καθυστερούσε αρκετά, ο Liebniz εξέδωσε την µαθηµατική του ανάλυση το 1684, εννέα χρόνια µετά την πρώτη µορφοποίηση της ιδέας. Ο Νewton, προκειµένου να διασφαλίσει την ιδέα του, βιάστηκε να την εκδόσει το 1687. Αξίζει πάντως να σηµειώσουµε ότι η εφεύρεση του Νewton δεν έγινε χάριν των µαθηµατικών και µόνο, ή στο πλαίσιο κάποιας θεωρητικής αναζήτησης, αλλά ξεκίνησε από το πρακτικό ενδιαφέρον που είχε για την µελέτη της αλληλεπίδρασης των πλανητών. Κατά ανάλογο τρόπο και ο τοµέας της επιχειρησιακής έρευνας γεννήθηκε από την ανάγκη επίλυσης πρακτικών προβληµάτων. Έτσι, σχεδόν τρεις αιώνες µετά την ανάπτυξη της µαθηµατικής ανάλυσης, ένα δεύτερο γεγονός βοήθησε στον επαναπροσδιορισµό και στην αλλαγή του τρόπου σκέψης τόσο του οικονοµικού όσο και του µαθηµατικού κόσµου. Η ανάπτυξη των αρχών και του τρόπου επίλυσης προβληµάτων γραµµικού ΕΜΠ - Τοµέας Προγραµµατισµού & ιαχείρισης Τεχνικών Έργων 1
προγραµµατισµού επηρέασε όχι µόνο τον τοµέα των εφαρµοσµένων µαθηµατικών, αλλά και τον τρόπο µε τον οποίο µελετώνται, προγραµµατίζονται και λειτουργούν ένα τεράστιο πλήθος δραστηριοτήτων της καθηµερινής ζωής. υστυχώς, αφορµή για την µεγάλη ανάπτυξη της επιχειρησιακής έρευνας απετέλεσε ο 2 ος Παγκόσµιος Πόλεµος και η προσπάθεια των συµµαχικών, και ιδιαίτερα των Αµερικανικών, δυνάµεων να προσδιορίσουν τον πιο αποτελεσµατικό τρόπο να εφοδιάζονται µε τα αναγκαία τρόφιµα και πυροµαχικά για (στρατιωτικές) επιχειρήσεις µακριά από τις βάσεις τους. Έτσι, ο όρος επιχειρησιακή έρευνα δεν αποδίδεται σε επιχειρήσεις µε την οικονοµική έννοια (δηλαδή εταιρείες), αλλά µε την έννοια των στρατιωτικών επιχειρήσεων. Το τέλος όµως του πολέµου έφερε και το τέλος της χρηµατοδότησης των ερευνητών στον στρατιωτικό τοµέα, οι οποίοι βρήκαν πρόσφορο έδαφος για εφαρµογή της κεκτηµένης γνώσης στην ελεύθερη αγορά και ιδιαίτερα στις µεγάλες εταιρείες. Οι τεχνικές της επιχειρησιακής έρευνας, οι οποίες περιλαµβάνουν ένα εξαιρετικά µεγάλο πλήθος εφαρµοσµένων µαθηµατικών εργαλείων, βρήκαν γρήγορα εφαρµογή σε όλες σχεδόν τις µεγάλες ιδιωτικές εταιρείες και στη συνέχεια σε µικρότερες εταιρείες, σε δηµόσιους οργανισµούς, σε νοσοκοµεία, σε εργοστάσια, κλπ. Στις µέρες µας, όλες οι µεγαλύτερες εταιρείες του κόσµου (που περιλαµβάνονται στη λίστα Fortune 500), χρησιµοποιούν κάποιες από τις µαθηµατικές µεθόδους που περιλαµβάνονται στο τοµέα της επιχειρησιακής έρευνας. Αξίζει να σηµειωθεί ότι µεγαλύτερη προτίµηση, από όλες τις µεθοδολογίες συγκεντρώνουν η στατιστική, η προσοµοίωση και ο γραµµικός προγραµµατισµός. Τα τελευταία χρόνια υπάρχει µια σηµαντική ανάπτυξη στον τοµέα των έργων υποδοµής στη χώρα µας. Χτίζονται νέοι αυτοκινητόδροµοι, σήραγγες, στάδια, λιµάνια, κτίρια. Τα έργα αυτά όµως χρειάζονται, και θα χρειαστούν ακόµα περισσότερο στο µέλλον, συντήρηση, ιδιαίτερα καθώς, για πολλά από αυτά, ο κύκλος ζωής τους θα κλείνει στο ίδιο περίπου χρονικό διάστηµα. Τα διαθέσιµα κονδύλια όµως είναι και θα είναι περιορισµένα. Η επιχειρησιακή έρευνα και οι σχετικές µεθοδολογίες µπορούν να βοηθήσουν τόσο στην ορθολογικότερη κατανοµή των διαθέσιµων κονδυλιών, όσο και στο χρονικό προσδιορισµό των εργασιών συντήρησης. Επίσης, την τελευταία δεκαπενταετία η Ελλάδα ζει τη συνεχή αύξηση των µετακινήσεων προσώπων αλλά και αγαθών και την αντίστοιχη των µετακινούµενων οχηµάτων, καθώς και την αδυναµία να αντιµετωπισθεί αυτή η αύξηση της ζήτησης µε αντίστοιχη αύξηση της προσφοράς. Αυτό έχει οδηγήσει στη συνεχή χειροτέρευση των κυκλοφοριακών συνθηκών, ιδιαίτερα στις αστικές περιοχές. Η αύξηση των καθυστερήσεων, της κατανάλωσης καυσίµων και οι περιβαλλοντικές επιπτώσεις που 2
προκαλούνται, καθιστούν το κυκλοφοριακό ένα από τα σοβαρότερα προβλήµατα των σύγχρονων µεγαλουπόλεων. Το κυκλοφοριακό πρόβληµα έχει αντιµετωπισθεί από την Πολιτεία, ιστορικά τουλάχιστον, µε προγράµµατα κατασκευής νέων οδών και γενικότερα µε την επέκταση της υπάρχουσας συγκοινωνιακής υποδοµής. Η αντιµετώπιση όµως αυτή απαιτεί την διάθεση υψηλών κονδυλίων, η συχνή όµως έλλειψη των οποίων, σε συνδυασµό µε τον περιορισµό της εξεύρεσης νέων χώρων, τις πιθανές περιβαλλοντικές επιπτώσεις, και τις συχνές αντιδράσεις των κατοίκων, καθιστά αµφίβολη την υλοποίηση των αναγκαίων έργων. Τα τελευταία χρόνια γίνεται µια προσπάθεια µείωσης της κατασκευής νέων οδών και συγκοινωνιακών έργων µε την πιο αποτελεσµατική χρησιµοποίηση της υπάρχουσας υποδοµής. Η εξεύρεση των µεθόδων αποτελεσµατικότερης χρησιµοποίησης της υποδοµής αποτελεί αναπόσπαστο κοµµάτι της επιχειρησιακής έρευνας. Σε γενικές γραµµές, η επιχειρησιακή έρευνα µπορεί να χρησιµοποιηθεί σαν ένα αναπόσπαστο εργαλείο υποβοήθησης για τη λήψη ορθολογικότερων αποφάσεων τόσο κατά τη διάρκεια του σχεδιασµού και της κατασκευής όσο και της λειτουργίας και της συντήρησης των έργων πολιτικού µηχανικού, σε όποιο τοµέα (δοµοστατικά, γεωτεχνικά, υδραυλικά, συγκοινωνιακά) και αν ανήκουν τα έργα αυτά. Οι παρούσες σηµειώσεις στοχεύουν στο να δώσουν µια, µικρή έστω, ιδέα στους φοιτητές για την πληθώρα των εφαρµογών της επιχειρησιακής έρευνας στα έργα του πολιτικού µηχανικού, και να κεντρίσουν το ενδιαφέρον για εµβάθυνση στις τεχνικές αυτές. 3
1.2. Πρότυπα Επιχειρησιακής Έρευνας Μέχρι τις αρχές του 1900, µηχανικοί, φυσικοί, χηµικοί, βιολόγοι, µαθηµατικοί και, πιο πρόσφατα, οικονοµολόγοι, ανέπτυσσαν µαθηµατικά πρότυπα µε σκοπό την µελέτη και κατανόηση µηχανικών, ατοµικών, χηµικών, βιολογικών και οικονοµικών συστηµάτων. Στις περισσότερες περιπτώσεις τα πρότυπα αυτά αναπτύχθηκαν µε χρήση διαφορικών εξισώσεων. Τέτοιου είδους πρότυπα συνεχίζουν να διαµορφώνονται τόσο στις κοινωνικές επιστήµες όσο και στην επιστήµη του µηχανικού σαν µέσο για την επεξήγηση φυσικών φαινοµένων. Αυτές οι µαθηµατικές εκφράσεις καλούνται, σε γενικές γραµµές, περιγραφικά πρότυπα (descriptive models) επειδή προσφέρουν, για ένα συγκεκριµένο αριθµό δεδοµένων και αρχικών συνθηκών, µία περιγραφή του φαινοµένου που µελετάται. Από τον δεύτερο Παγκόσµιο Πόλεµο και µετά, όπως συζητήθηκε και στο υποκεφάλαιο 1.1., δύο σηµαντικές εξελίξεις έφεραν τον τοµέα των µαθηµατικών πιο κοντά στους υπόλοιπους κλάδους των επιστηµών: Η ανάπτυξη νέων κι ευέλικτων µαθηµατικών προτύπων, που βασίζονται στη γραµµική άλγεβρα και Η συνεχιζόµενη βελτίωση του ηλεκτρονικού υπολογιστή, η οποία επιτρέπει την ευκολότερη και ακριβέστερη µελέτη και εφαρµογή των µαθηµατικών προτύπων, έτσι ώστε να προσφέρουν πιστότερη αναπαράσταση σύνθετων φυσικών φαινοµένων σε µεγάλη κλίµακα. Η ανάπτυξη νέων µαθηµατικών µεθόδων λήψης αποφάσεων, άνοιξε τον δρόµο για έρευνα που παλαιότερα θεωρείτο µη δυνατή. Οι νέες αυτές µαθηµατικές µέθοδοι εφαρµόζονταν, αρχικά, µόνο σε προβλήµατα περιορισµένου µεγέθους, όπως τα περιγραφικά πρότυπα. Η ραγδαία, όµως, ανάπτυξη του ηλεκτρονικού υπολογιστή κατέστησε δυνατή τη χρήση των περιγραφικών µαθηµατικών προτύπων για την µελέτη πολυπλοκότερων προβληµάτων. Για τον λόγο αυτόν ο ηλεκτρονικός υπολογιστής διευκόλυνε απεριόριστα την ανάπτυξη και εφαρµογή δύο τύπων µαθηµατικών προβληµάτων. Ο πρώτος τύπος καλείται περιγραφικός (περιγραφικό µαθηµατικό πρότυπο descriptive model - επειδή περιγράφει). Ο δεύτερος τύπος καλείται καθοριστικός (καθοριστικό µαθηµατικό πρότυπο - prescriptive model - επειδή καθορίζει την πηγή µίας ενέργειας, ένα σχέδιο, ή µία στρατηγική). Το περιγραφικό πρότυπο θεωρείται ότι απαντάει στην ακόλουθη ερώτηση: «Εάν ακολουθήσω αυτή τη στρατηγική αντιµετώπισης ενός προβλήµατος τί θα συµβεί;». Αντίθετα, το καθοριστικό πρότυπο µπορεί να θεωρηθεί ότι δίνει την απάντηση στην ερώτηση: «Τί θα έπρεπε να κάνω;». Αυτό που υποννοείται σε αυτή την ερώτηση είναι οι προτεινόµενες αποφάσεις συνοδεύονται από µία έννοια κόστους ή αποδοτικότητας, που καθορίζουν 4
και τον βαθµό κόστους ή όφελους από την επιλογή τους. Ένας εναλλακτικός όρος για τα καθοριστικά πρότυπα είναι τα πρότυπα βελτιστοποίησης (optimization models) µε την έννοια ότι η στρατηγική ή ο σχεδιασµός που προτείνουν πετυχαίνει τη βέλτιστη τιµή ενός αντικειµένου (objective). Είναι δυνατόν, σε καθοριστικά πρότυπα, να εµπεριέχονται και περιγραφικά πρότυπα, ως υποσύνολα βέβαια Ένας διαφορετικός τρόπος διαχωρισµού των µαθηµατικών προτύπων προκύπτει από τη διαφοροποίηση του είδους των δεδοµένων που χρησιµοποιούν. Μερικά πρότυπα κάνουν χρήση δεδοµένων που είναι γνωστά µε σχετική ακρίβεια. Πρότυπα αυτού του τύπου, στα οποία τα δεδοµένα δεν είναι άγνωστα (ή γνωστά µε κάποιες πιθανότητες) αλλά σταθερές ποσότητες αναφέρονται ως προσδιοριστικά πρότυπα (deterministic models). Αντίθετα, υπάρχουν και πρότυπα τα οποία χρησιµοποιούν ως δεδοµένα στοιχεία που δεν είναι ακριβώς καθορισµένα αλλά µπορούν να χαρακτηριστούν, για παράδειγµα από ένα µέσο και µία διασπορά. Πρότυπα στα οποία τα δεδοµένα είναι µεταβλητά και τα οποία µπορούν να πάρουν οποιαδήποτε τιµή από ένα πεδίο τιµών καλούνται στοχαστικά πρότυπα (stochastic models) (Σχήµα 1.2.) Σχήµα 1.2. Μόνο ένα συγκεκριµένο αποτέλεσµα παρατηρείται κατά τη διαδικασία προσδιορισµού (α). Πολλαπλά αποτελέσµατα είναι πιθανά κατά τη στοχαστική διαδικασία (β). 5
Ο συνδυασµός αυτών των δύο προαναφερθέντων κατηγοριών προσδιοριστικής έναντι στοχαστικής και καθοριστικής έναντι περιγραφικής παρέχουν την κατηγοριοποίηση που παρουσιάζεται, συνοπτικά, στον Πίνακα 1.2. ο οποίος περιέχει τα περισσότερα από τα βασικά µαθηµατικά πρότυπα που χρησιµοποιούνται στην επιχειρησιακή έρευνα στις µέρες µας. Πίνακας 1.2. Τύποι συνήθων µαθηµατικών προτύπων. ΠΡΟΣ ΙΟΡΙΣΤΙΚΟ ΣΤΟΧΑΣΤΙΚΟ ΚΑΘΟΡΙΣΤΙΚΟ ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ ΑΚΕΡΑΙΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ ΠΟΛΥΣΤΟΧΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΙΚΤΥΩΝ ΥΝΑΜΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ ΣΤΟΧΑΣΤΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ ΠΕΡΙΓΡΑΦΙΚΟ ΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΙΑΦΟΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΣΤΟΧΑΣΤΙΚΕΣ ΙΑΦΟΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑ ΟΥΡΩΝ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗ MONTE CARLO Από τον παραπάνω Πίνακα παρατηρούµε ότι ο συνδυασµός των προσδιοριστικών (deterministic) και περιγραφικών προτύπων (descriptive models) είναι γνωστά ως συστήµατα διαφορικών εξισώσεων ή πρότυπα που χρησιµοποιούν διαφορικό λογισµό. Τα πρότυπα αυτά µπορεί να είναι γραµµικά ή µη, εξαρτώµενα από την φύση του υπό µελέτη συστήµατος ή από την επιθυµητή ακρίβεια στην περιγραφή του προτύπου ή της συνάρτησης. Ο συνδυασµός των περιγραφικών (descriptive) και στοχαστικών προτύπων (stochastic models) περιέχει διάφορους τύπους προτύπων. Ένας από αυτούς είναι το πρότυπο διαφόρων /διαφορικών εξισώσεων µε παραµέτρους που είναι τυχαίες µεταβλητές. Τέτοιου είδους εξισώσεις καλούνται στοχαστικές διαφορικές εξισώσεις ένας µαθηµατικός τύπος που γίνεται ιδιαίτερα πολύπλοκος όταν οι εξισώσεις περιέχουν περισσότερες από µία τυχαίες παραµέτρους. Ένα δεύτερο πρότυπο, που είναι προϊόν του ίδιου συνδυασµού, είναι µέρος της µαθηµατικής θεωρίας ουρών. Ένα τρίτο 6
πρότυπο που προκύπτει από τον ίδιο συνδυασµό είναι γνωστό µε τον όρο προσοµοίωση, είναι δηλαδή ένας διεξοδικός υπολογιστικός µαθηµατικός τύπος, που αναπαράγει γεγονότα και τη συµπεριφορά συστηµάτων µέσα στο χρόνο. Όλα τα παραπάνω πρότυπα επιτρέπουν στον µελετητή να παρατηρεί ένα πλήθος πιθανών αποτελεσµάτων που εξελίσσονται µε τον χρόνο από µία σειρά αρχικών συνθηκών. Ένας τρίτος συνδυασµός είναι αυτός των καθοριστικών (prescriptive) και προσδιοριστικών προτύπων (deterministic models). Αυτά τα προσδιοριστικά πρότυπα βελτιστοποίησης είναι γνωστά µε διάφορες ονοµασίες που εξαρτώνται από το εάν οι µαθηµατικές περιγραφές είναι γραµµικές ή µη γραµµικές, στατικές ή µεταβάλλονται µε τον χρόνο, ή έχουν συγκεκριµένους τύπους. Η κυριότερη και εξαιρετικά διαδεδοµένη κατηγορία προτύπων είναι αυτά που περιγράφονται ως: Γραµµικός Προγραµµατισµός (linear programming). ευτεροβάθµιος Προγραµµατισµός (quadratic programming), που ασχολείται µε προβλήµατα που έχουν µια δευτεροβάθµια αντικειµενική συνάρτηση. Μέθόδοι κλίσεων (gradient methods), που χρησιµοποιούνται για τον εντοπισµό των κλίσεων των αντικειµενικών συναρτήσεων βέλτιστων λύσεων. Η βέλτιστη θεωρία ελέγχου (optimal control theory), που βρίσκει έναν βέλτιστο έλεγχο ή µία συνάρτηση απόφασης στον χρόνο ή µία βέλτιστη τροχιά. Ο υναµικός Προγραµµατισµός (dynamic programming), που πραγµατεύεται, συνήθως, προβλήµατα τα οποία απεικονίζονται µε έναν διακριτό αριθµό χρονικών σταδίων. Ο Πολυστοχικός Προγραµµατισµός (multiobjective programming), που χρησιµοποιείται όταν υπάρχουν περισσότεροι του ενός στόχοι που απαιτείται να βελτιστοποιηθούν. Ο Ακέραιος Προγραµµατισµός (integer programming) ο οποίος θεωρεί και δέχεται, µόνο, ακέραιες τιµές µεταβλητών απόφασης ως πρακτικές ή επιθυµητές. Τελευταίος συνδυασµός είναι αυτός των στοχαστικών (stochastic) και καθοριστικών προτύπων (prescriptive models). Υπάρχει ένας τύπος βελτιστοποίησης που ασχολείται µε πρότυπα των οποίων οι παράµετροι είναι τυχαίες µεταβλητές. Είναι γνωστός ως στοχαστικός προγραµµατισµός (stochastic programming) και απαιτεί καλές γνώσεις της θεωρίας πιθανοτήτων. Από τους διάφορους τύπους µαθηµατικού προγραµµατισµού και βελτιστοποίησης, εκείνος που χρησιµοποιείται είναι ο γραµµικός προγραµµατισµός. Ο σκοπός ενός γραµµικού προγραµµατισµού είναι να βελτιστοποιήσει την τιµή µιας αντικειµενικής συνάρτησης (objective 7
function), η οποία, όµως, υπόκειται σε ορισµένους περιορισµούς (constraints) (συνθήκες, δηλαδή, που κάθε λύση πρέπει να ικανοποιεί). Πολλά αντικείµενα αποτελούν θέµατα εξέτασης του γραµµικού προγραµµατισµού. Παραδείγµατα είναι ο εντοπισµός του ελάχιστου κόστους µιας κατασκευής, της µέγιστης παραγωγής ενός εργοστασίου, της καλύτερης ποιότητας και του µέγιστου κέρδους ενός προϊόντος. Οι περιορισµοί αποτελούν τα φυσικά όρια που τίθενται στην επίτευξη του στόχου. Οι πιο συνηθισµένες µορφές περιορισµών είναι το διατιθέµενο προσωπικό, τα χρησιµοποιούµενα οχήµατα, το επίπεδο χρηµατοδότησης, ο χρόνος µιας κατασκευής, η διάθεση των απαιτούµενων υλικών, και άλλα. Πολλές φορές στα πλαίσια της επιχειρησιακής έρευνας χρησιµοποιείται η λέξη σύστηµα. Σύστηµα θεωρείται ένα σύνολο από τοποθετήσεις αντικειµένων και υποκειµένων τα οποία σχετίζονται κατά τέτοιο τρόπο ώστε να αποτελούν µία ολότητα. Ιδιαίτερα για την, µε τον όρο σύστηµα αναφερόµαστε στις πάσης φύσεως επιχειρήσεις, βιοµηχανίες, κρατικές υπηρεσίες, οργανισµούς παροχής υπηρεσιών, κατασκευαστικές εταιρείες, µελετητικά γραφεία κ.λ.π. Η επιστηµονική πρακτική για την µελέτη των συστηµάτων είναι η χρήση του κατάλληλου για την κάθε περίπτωση µαθηµατικού προτύπου, µιας αναπαράστασης, δηλαδή, του συστήµατος στην οποία οι σηµαντικές σχέσεις µεταξύ των πραγµατικών χαρακτηριστικών έχουν αντικατασταθεί µε παρόµοιες σχέσεις µεταξύ µαθηµατικών στοιχείων, ενώ µη-σηµαντικές έχουν αγνοηθεί. Το µαθηµατικό πρότυπο δεν µπορεί, αλλά ούτε και επιδιώκεται, να απεικονίζεται µε ακρίβεια κάθε πτυχή της λειτουργίας του συστήµατος. Η βασική επιδίωξη είναι να υπάρχει ισοµορφία µε όλες τις σηµαντικές για το σύστηµα πλευρές: να αναπαριστώνται δηλαδή, ικανοποιητικά από το πρότυπο εκείνα τα στοιχεία τα οποία είναι σηµαντικά για τον καθορισµό της απόδοσης του συστήµατος, καθώς επίσης και οι συνθήκες µέσα στις οποίες θα πρέπει αυτό να βελτιστοποιηθεί. Έτσι, η τυπική µορφή ενός µαθηµατικού προτύπου Επιχειρησιακής Έρευνας έχει την ακόλουθη δοµή: Βελτιστοποίηση κριτηρίου (maximize ή minimize) υπό τους περιορισµούς / συνθήκες (subject to) Στη διαδικασία λήψης αποφάσεων για τη βελτιστοποίηση της λειτουργίας ενός συστήµατος ακολουθείται µια σειρά βηµάτων τα οποία διαδοχικά αναφέρονται στην: αναγνώριση του προβλήµατος και τη συλλογή των δεδοµένων, ανάπτυξη του µαθηµατικού προτύπου που αντικατοπτρίζει την πραγµατική λειτουργία του συστήµατος, επίλυση του προτεινόµενου προτύπου και εφαρµογή και αξιολόγηση της προτεινόµενης λύσης. 8
Η λύση πρέπει να συνοδεύεται, πάντα, από ανάλυση ευαισθησίας (sensitivity analysis) των τιµών της. Με την ανάλυση ευαισθησίας επιχειρούµε να εντοπίσουµε τόσο τις παραµέτρους εκείνες του προβλήµατος που είναι κρίσιµες για την επίλυσή του, όσο και την ευαισθησία της λύσης σε µεταβολή των παραµέτρων. 9
Τα προβλήµατα βελτιστοποίησης χωρίζονται σε δύο κατηγορίες, ανάλογα µε το εάν αναζητείται το βέλτιστο για όλες τις µεταβλητές της αντικειµενικής συνάρτησης (γενική βελτιστοποίηση χωρίς περιορισµούς), ή αν οι µεταβλητές βρίσκονται εντός µιας συγκεκριµένης περιοχής, όπως φαίνεται και στο Σχήµα 1.2. Σχήµα 1.2. Τεχνικές βελτιστοποίησης (Πηγή: «Ειδικά Θέµατα Μεταφορών», Κ. Αµπακούµκιν, Α. Σταθόπουλος) 1.3. Συνοπτική Περιγραφή Κεφαλαίων Το Σχήµα 1.3. περιέχει µία συνοπτική περιγραφή των θεµάτων µαθηµατικής ανάλυσης που θα αναλυθούν και θα µελετηθούν στα επόµενα κεφάλαια. 10
ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 Γραφική Επίλυση Γραµµικού Προγραµµατισµού ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 Μαθηµατική ιατύπωση Προβληµάτων Γραµµικού Προγραµµατισµού ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 Ο Αλγόριθµος SIMPLEX ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 Ανάλυση Ευαισθησίας και υϊκότητα ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 Ειδικά Θέµατα Γραµµικού Προγραµµατισµού (Πρόβληµα Μεταφορών) ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7 Εισαγωγή στα Προβλήµατα ικτύων 11
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8 Στοιχεία Ακέραιου Προγραµµατισµού ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9 Στοιχεία Μη Γραµµικού Προγραµµατισµού & Βελτιστοποίησης ΚΕΦΑΛΑΙΟ 10 Προβλήµατα υναµικού Προγραµµατισµού ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ Ι Επίλυση Προβληµάτων Μαθηµατικού Προγραµµατισµού µε χρήση του Solver MS-EXCEL ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ ΙI Επίλυση Προβληµάτων Μαθηµατικού Προγραµµατισµού µε χρήση του Λογισµικού LINDO ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ ΙΙΙ Τεύχος Ασκήσεων Σχήµα 1.3. Συνοπτική περιγραφή κεφαλαίων. 12
Βιβλιογραφικές Αναφορές Αµπακούµκιν Κ., Σταθόπουλος Α. (2000), Ειδικά Θέµατα Μεταφορών, Σηµειώσεις κατά την παράδοση, Κεφ.3, σελ.91-92, 99, Τµήµα Πολιτικών Μηχανικών, Τοµέας Μεταφορών και Συγκοινωνιακής Υποδοµής, Eθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο, Αθήνα. Πραστάκος Γ. Π. (1994), για τη λήψη επιχειρηµατικών αποφάσεων, Α: Μαθηµατικός Προγραµµατισµός, Εκδόσεις Σταµούλης Α., Αθήνα. Revelle, S. C., Whitlach E. E., Wright R. J. (1997), Civil and Environmental Systems Engineering, Prentice Hall, Inc., New Jersey. Τσαντάς Ν.., Βασιλείου Π. Χ. (2000), Εισαγωγή στην, Εκδόσεις ΖΗΤΗ, Θεσσαλονίκη. 13