Πολυκριτηριακά Συστήματα Υποστήριξης Αποφάσεων

Transcript

1 Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών & Μηχανικών Υπολογιστών Τομέας Ηλ. Βιομηχανικών Διατάξεων & Συστημάτων Αποφάσεων Πολυκριτηριακά Συστήματα Υποστήριξης Αποφάσεων Ε09 Πολυκριτήρια βελτιστοποίηση Χάρης Δούκας, Παναγιώτης Ξυδώνας & Γιάννης Ψαρράς

2 Περιεχόμενα διάλεξης i. Γραμμικός προγραμματισμός ii. Πολυκριτήριος γραμμικός προγραμματισμός iii. Ταξινόμηση μεθόδων πολυκριτήριας βελτιστοποίησης iv. Εφαρμογή

3 Γραμμικός προγραμματισμός Ο γραµµικός προγραµµατισµός (linear programming) (Dantzig, 1998) αποτελεί ένα από τα σηµαντικότερα µεθοδολογικά εργαλεία στο χώρο της επιχειρησιακής έρευνας µε πλήθος πρακτικών και ερευνητικών εφαρµογών. Η γενική μορφή των προβλημάτων που αντιμετωπίζονται στο χώρο του γραµµικού προγραµµατισµού είναι η ακόλουθη: Μεγιστοποίηση: T c x Υπό τους περιορισμούς: Ax b και x 0 όπου: x x1, x2,..., x n είναι ένα διάνυσμα-στήλη που αναφέρεται στις μεταβλητές απόφασης (decision variables), οι οποίες πρέπει να καθοριστούν από την επίλυση του παραπάνω γραμμικού προγράμματος, c c1, c2,..., c n είναι το διάνυσμα-στήλη με τους συντελεστές των μεταβλητών απόφασης στην T αντικειμενική συνάρτηση f x = c x και T c το ανάστροφο διάνυσμα του c, A είναι ένας πίνακας διαστάσεων m n, κάθε στοιχείο a ij του οποίου αντιστοιχεί στο συντελεστή της μεταβλητής απόφασης j στον περιορισμό i, b b1, b2,..., b m είναι ένα διάνυσμα στήλη με τα δεξιά μέλη των περιορισμών.

4 Πολυκριτήριος γραμμικός προγραμματισμός Ο πολυκριτήριος γραµµικός προγραµµατισµός (multiobjective linear programming) (Steuer, 1986) επεκτείνει το πλαίσιο του γραµµικού προγραµµατισµού στην περίπτωση όπου υπάρχουν πολλαπλές T f x c x i 1, 2,..., k. Στην περίπτωση αυτή η γενική αντικειμενικές συναρτήσεις της μορφής μορφή του προβλήματος διατυπώνεται ως εξής: i Μεγιστοποίηση: f x f x f x i 1 1,,..., n Υπό τους περιορισμούς: Ax b και x 0 Το βασικό πρόβλημα που αντιμετωπίζεται στην περίπτωση αυτή αφορά στην αδυναμία εντοπισμού βέλτιστης λύσης, δεδομένου ότι η λύση που βελτιστοποιεί κάποια από τις αντικειμενικές συναρτήσεις δεν είναι συνήθως βέλτιστη για τις υπόλοιπες. Για την αντιμετώπιση του θέματος αυτού, η έννοια της βέλτιστη λύσης αντικαθίσταται από την έννοια της αποτελεσματικής ή ικανής (efficient solution), η οποία µε τη σειρά της βασίζεται στην έννοια της κυριαρχίας (dominance).

5 Ταξινόμηση μεθόδων πολυκριτήριας βελτιστοποίησης Ένας αρκετά διαδεδομένος τρόπος ταξινόμησης των μεθόδων πολυκριτήριας βελτιστοποίησης είναι ανάλογα με το στάδιο επίλυσης, στο οποίο εκφράζει τις προτιμήσεις του ο αποφασίζων (Hwang and Masud, 1979, Evans 1984, Miettinen 1999). Στη βάση αυτή, διακρίνονται τρεις κατηγορίες μεθόδων πολυκριτήριας βελτιστοποίησης: i. Μέθοδοι πολυκριτήριας βελτιστοποίησης με έκφραση προτίμησης πριν από την επίλυση (a priori methods). ii. Μέθοδοι πολυκριτήριας βελτιστοποίησης με έκφραση προτίμησης κατά την επίλυση (interactive methods). iii. Μέθοδοι πολυκριτήριας βελτιστοποίησης με έκφραση προτίμησης μετά την επίλυση (a posteriori or generation methods).

6 Ταξινόμηση μεθόδων πολυκριτήριας βελτιστοποίησης A priori methods Στην πρώτη κατηγορία ανήκουν οι μέθοδοι πολυκριτήριας βελτιστοποίησης στις οποίες ο αποφασίζων είναι σε θέση να συγκεκριμενοποιήσει απόλυτα τις προτιμήσεις του πριν τη διαδικασία επίλυσης. Αυτό γίνεται, είτε καθορίζοντας εξ αρχής τη σημαντικότητα των κριτηρίων, είτε καθορίζοντας κάποιες τιμές-στόχους για τα κριτήρια.

7 Ταξινόμηση μεθόδων πολυκριτήριας βελτιστοποίησης Interactive methods Στη δεύτερη κατηγορία ανήκουν οι αλληλεπιδραστικές μέθοδοι λόγω της άμεσης εμπλοκής και καθοδήγησης του αποφασίζοντος στη διαδικασία επίλυσης. Οι αλληλεπιδραστικές μέθοδοι χαρακτηρίζονται από φάσεις διαλόγου με τον αποφασίζοντα, οι οποίες εναλλάσσονται με φάσεις υπολογισμού των επιθυμητών λύσεων. Είναι δηλαδή επαναληπτικές διαδικασίες όπου η αλληλεπίδραση μεταξύ αποφασίζοντος και μεθόδου συνεχίζεται μέχρι να ικανοποιηθεί κάποιο κριτήριο σύγκλισης και να βρεθεί η τελική λύση. Η κεντρική ιδέα είναι η εξής: Σε κάθε επανάληψη παρουσιάζονται στον αποφασίζοντα μία ή περισσότερες λύσεις. Ο αποφασίζων, επιλέγοντας κάποια λύση, παρέχει εμμέσως πληροφορίες για την προτίμησή του και ανάλογα διαμορφώνεται η επόμενη επανάληψη. Ουσιαστικά δηλαδή ο αποφασίζων κατευθύνει τη διαδικασία της επίλυσης έως ότου βρεθεί η τελική λύση.

8 Ταξινόμηση μεθόδων πολυκριτήριας βελτιστοποίησης A posteriori methods Στην τρίτη κατηγορία ανήκουν οι λεγόμενες μέθοδοι παραγωγής των ικανών λύσεων. Οι μέθοδοι αυτές έχουν ως αντικείμενο τον υπολογισμό (παραγωγή) του συνόλου ή κάποιου αντιπροσωπευτικού υποσυνόλου των ικανών λύσεων. Οι μέθοδοι παραγωγής έχουν το πλεονέκτημα ότι παρέχουν τη δυνατότητα στον αποφασίζοντα να εξετάσει το σύνολο των δυνατών επιλογών πριν αποφασίσει, γεγονός που ενισχύει το αίσθημα της εμπιστοσύνης που έχει αναφορικά στις τελικές του αποφάσεις. Επιπλέον, δεν απαιτούν την έντονη και επίμοχθη εμπλοκή του με συχνές και πολλές φορές πολύπλοκες ερωταποκρίσεις (Daellenbach and Buchanan, 1989). Εάν μάλιστα πρόκειται για περισσότερους από έναν αποφασίζοντες, η καθοδήγηση της αλληλεπιδραστικής διαδικασίας σύγκλισης γίνεται προβληματική λόγω των διαφορετικών προτιμήσεων τους στα ενδιάμεσα στάδια. Έπειτα, η απαιτούμενη συχνή αλληλεπίδραση με τον αποφασίζοντα είναι αρκετές φορές προβληματική, είτε λόγω του περιορισμένου χρόνου του, είτε λόγω της δυσκολίας προσέγγισής του.

9 Ταξινόμηση μεθόδων πολυκριτήριας βελτιστοποίησης Μέθοδοι πολυκριτήριας βελτιστοποίησης A priori μέθοδοι πολυκριτήριας βελτιστοποίησης Μέθοδοι Προγραμματισμός στόχων Αναφορά Charnes et al. (1955) Charnes and Cooper (1961) Λεξικογραφική βελτιστοποίηση (Fishburn, 1974) Αλληλεπιδραστικές μέθοδοι πολυκριτήριας βελτιστοποίησης Μέθοδοι Αναφορά STEM Benayoun et al. (1971) GDF Geoffrion et al. (1972) Zionts-Wallenius Zionts and Wallenius (1976) Interval criterion weights Steuer (1977) Interactive surrogate worth tradeoff Chankong and Haimes (1983) Interactive weighted Tchebycheff Steuer and Choo (1983) TRIMAP Climaco and Antunes (1987) Pareto race Korhonen and Wallenius (1988) Interactive weighted sums/filtering approach Steuer (1989) NIMBUS Miettinen (1994) GUESS Buchanan (1997)

10 Ταξινόμηση μεθόδων πολυκριτήριας βελτιστοποίησης Μέθοδοι πολυκριτήριας βελτιστοποίησης A posteriori μέθοδοι πολυκριτήριας βελτιστοποίησης Μέθοδοι Αναφορά Μέθοδος συντελεστών στάθμισης Gass and Saaty (1955) Μέθοδος περιορισμών (ε-constraint method) Haimes et al. (1971) Augmented ε-constraint method (AUGMECON) Mavrotas (2009) Μέθοδος σταθμισμένων μετρικών Zeleny (1973, 1982) Πολυκριτήρια simplex Yu and Zeleny (1975) Υβριδική μέθοδος Wendell and Lee (1977) Corley (1980) Μέθοδος NISE Cohon (1978)

11 Εφαρμογή

12 Εφαρμογή Μητρώο πληρωμών Ποιά η διαφοροποίηση, αν αντί για το σημείο (3,6), λαμβανόταν το σημείο (0,6);

13 Εφαρμογή Χώρος αποφάσεων Συναινετική λύση Ιδεώδης λύση

14 Χώρος κριτηρίων Εφαρμογή Συναινετικό σημείο Ιδεώδες σημείο x* (5.5,6) E (0,6) Γ (7,4) Προσοχή

15 Εφαρμογή Απόσταση ιδεώδους & συναινετικού σημείου Απόσταση Tchebycheff Ισοδύναμο γραμμικό πρόγραμμα

16 Εφαρμογή

17 Τέλος ενότητας