Επιχειρησιακή Έρευνα Βασικές Έννοιες Γραμμικού Προγραμματισμού

Transcript

1 Επιχειρησιακή Έρευνα Βασικές Έννοιες Γραμμικού Προγραμματισμού Νίκος Τσάντας ιατμηματικό Πρόγραμμα Μεταπτυχιακών Σπουδών Τμήμ. Μαθηματικών Μαθηματικά των Υπολογιστών και των Αποφάσεων Ακαδημαϊκό έτος Επιχειρησιακή Έρευνα (Operations Research) Η επιστήμη που ασχολείται με τη βελτιστοποίηση -optimization- της απόδοσης ενός συστήματος. πρόκειται για ένα σύνολο τεχνικών οι οποίες χρησιμοποιώντας μαθηματικά μοντέλα, δημιουργούν μια ποσοτική και ορθολογιστική βάση για τη λήψη αποφάσεων που θα βελτιστοποιήσουν τη λειτουργία του υπό μελέτη συστήματος. Η συνεισφορά της Επιχειρησιακής Έρευνας έγκειται στην υποστήριξη των αποφάσεων της διοίκησης ενός υπαρκτού συστήματος για κάποιο λειτουργικό πρόβλημα (με τη δημιουργία μαθηματικού μοντέλου ή μοντέλου προσομοίωσης). στη μελέτη της δομής των ανωτέρω αποφάσεων ώστε να είναι εφικτή η ανάπτυξη μιας διαδικασίας εύρεσής τους (επίλυση του μοντέλου). στη διατύπωση της μαθηματικής θεωρίας που συγκρίνει διαφορετικούς τρόπους ενεργειών αποτιμώντας ένα συγκεκριμένο κριτήριο επίδοσης. ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΓΡΑΜΜΙΚΟΥ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΥ 1/16

2 Σύστημα ένα σύνολο από τοποθετήσεις αντικειμένων και υποκειμένων τα οποία σχετίζονται κατά τέτοιο τρόπο ώστε να αποτελούν μία ολότητα. Μαθηματικό μοντέλο μια αναπαράσταση του συστήματος στην οποία, οι σημαντικές μεταξύ των πραγματικών χαρακτηριστικών σχέσεις, έχουν αντικατασταθεί με παρόμοιες σχέσεις μεταξύ μαθηματικών στοιχείων, ενώ οι μη-σημαντικές έχουν αγνοηθεί. Τόσο οι συνθήκες λειτουργίας του συστήματος (οι οποίες προσδιορίζουν το σύνολο των εφικτών λύσεων του προβλήματος που μελετάται), όσο και το κριτήριο αξιολόγησής τους (η βελτιστοποίηση του οποίου θα προκρίνει κάποια από αυτές ως τη λύση ) μετατρέπονται σε μαθηματικές και/ή λογικές σχέσεις και σύμβολα. βελτιστοποίηση κριτηρίου (maximize ή minimize) κάτω από τις συνθήκες ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΓΡΑΜΜΙΚΟΥ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΥ 2/16

3 Γραμμικός Προγραμματισμός (Linear Programming) είναι ένα μαθηματικό μοντέλο που χρησιμοποιείται για την προσέγγιση του προβλήματος της κατανομής των περιορισμένων πόρων (μέσων) ενός συστήματος σε εναλλακτικές και ανταγωνιστικές μεταξύ τους δραστηριότητες κατά τον καλύτερο δυνατό τρόπο. Βασικά στοιχεία Επιλογή επιπέδου ανταγωνιζόμενων δραστηριοτήτων (μεταβλητές απόφασης). Ανεπάρκεια πόρων (περιορισμοί). Όλες οι μαθηματικές σχέσεις είναι γραμμικές. Προγραμματισμός = Σχεδίαση Εντοπισμός του βέλτιστου σχεδίου = άριστο πρόγραμμα δράσης ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΓΡΑΜΜΙΚΟΥ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΥ 3/16

4 Ο Γραμμικός Προγραμματισμός είναι μια ιδιαίτερα δημοφιλής τεχνική. Μοντέλο ευρείας χρήσης για καθημερινά ζητήματα των περισσότερων μεσαίου και μεγάλου μεγέθους εμπορικών και βιομηχανικών μονάδων. θεωρείται ως από τις πιο σπουδαίες μαθηματικές ανακαλύψεις των μέσωνχρόνωντουεικοστούαιώνα. Η κατανομή του παραγωγικού δυναμικού μιας επιχείρησης σε παραγόμενα προϊόντα, η κατανομή των εθνικών πόρων στις τομεακές πολιτικές, η επιλογή ενός σχεδίου μεταφοράς αγαθών, η επιλογή ενός χαρτοφυλακίου, ο διαφημιστικός σχεδιασμός, η κατανομή της καλλιεργήσιμης γης σε διάφορες αγροτικές δραστηριότητες, ημίξη πρώτων υλών, η κατάρτιση ενός σιτηρεσίου, ο πολεοδομικός σχεδιασμό ενός χώρου, η προστασία του περιβάλλοντος, ο προγραμματισμός ανθρώπινου δυναμικού, κ.ο.κ. Παράδειγμα (απλό) Δύο προϊόντα (calculators): FXG-900, XF-500. ΗπώλησηενόςFXG-900 αποφέρει κέρδος 400 χ.μ. ενώ η πώληση ενός XF-500 1,000 χ.μ. H παραγωγή των αριθμομηχανών διαμορφώνεται σε τρία διακριτά στάδια, τη συνδεσμολογία, τη συναρμολόγηση και τον έλεγχο: ΚΑΤΑΣΚΕΥΑΣΤΙΚΗ ΔΙΑΔΙΚΑΣΙΑ ΤΥΠΟΣ Συνδεσμολογία Συναρμολόγηση Έλεγχος FXG XF ΔΙΑΘΕΣΙΜΟΤΗΤΑ (hr ημερησίως) όχι περισσότερα από 55 FXG-900 (περιορισμένες ποσότητες chip γραφικών).?? ηβέλτιστηημερήσιαγραμμήπαραγωγής. ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΓΡΑΜΜΙΚΟΥ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΥ 4/16

5 Διαμόρφωση του μαθηματικού μοντέλου Ζητούμενο είναι η εύρεση του πλήθους των δύο αριθμομηχανών (FXG-900 και XF-500) που πρέπει να κατασκευάζονται ημερήσια (μεταβλητές), έτσι ώστε να μεγιστοποιούνται τα συνολικά κέρδη της εταιρείας (στόχος) κάτω από το δεδομένο πλαίσιο των παραγωγικών δυνατοτήτων της και της διαθεσιμότητας του chip γραφικών (περιορισμοί). Το μαθηματικό μοντέλο για το πρόβλημα βελτιστοποίησης που αντιμετωπίζει η εταιρεία κατασκευής ηλεκτρονικών ειδών αφορά τον : Ένα σύστημα, εκμεταλλευόμενο τους πόρους που έχει στη διάθεσή του (ανθρωποώρες, chips), παράγει δύο προϊόντα (τις αριθμομηχανές FXG- 900 και XF-500). Τα προϊόντα αυτά ανταγωνίζονται το ένα το άλλο στην κατανάλωση των διαθεσίμων πόρων. Η όλη προσπάθεια επικεντρώνεται στο σχεδιασμό της παραγωγής που θα βελτιστοποιήσει τους στόχους του συστήματος, την εύρεση δηλαδή της ποσότητας που πρέπει να κατασκευάζεται από το κάθε διαφορετικό προϊόν (αριθμομηχανών στη συγκεκριμένη περίπτωση), ώστε να μεγιστοποιείται το συνολικό κέρδος της εταιρείας. Περιορισμούς στο μέγεθος αυτών των ποσοτήτων επιβάλλονται από τις διαθέσιμες ανθρωποώρες στατρίαστάδιατηςκατασκευαστικής διαδικασίας και από το διαθέσιμο αριθμό chips γραφικών. ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΓΡΑΜΜΙΚΟΥ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΥ 5/16

6 Γενίκευση: 1. Σε σχέση με το προηγούμενο παράδειγμα σύστημα ΓΕΝΙΚΗ ΜΟΡΦΗ πόροι (m το πλήθος) δραστηριότητες (n το πλήθος) μέγεθος της δραστηριότητας, x j μέτρο επίδοσης του συστήματος ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ εταιρεία κατασκευής αριθμομηχανών χρονικές δυνατότητες σταδίων κατασκευής (3 στάδια) διαθέσιμες ποσότητες chips (1 είδος chip) παραγωγή αριθμομηχανών (2 τύποι) πλήθος αριθμομηχανών, x j Συνολικό ημερήσιο κέρδος, Ζ Γενίκευση: 2a. Γενικό Γραμμικό Μοντέλο n: το πλήθος των ανταγωνιζόμενων δραστηριοτήτων. m: το πλήθος των περιορισμών του προβλήματος (πόροι, ζήτηση, απαιτήσεις). x j : το μέγεθος της j-δραστηριότητας (μεταβλητές απόφασης). Ζ: το κριτήριο επίδοσης του συστήματος (τιμή της αν/μενικής συνάρτησης). c j : η συμβολή μιας μονάδος της j-δραστηριότητας στη βελτιστοποίηση της επίδοσης του συστήματος. b i : η διαθέσιμη ποσότητα του i-πόρου (δεξιό μέλος του i-περιορισμού). a ij : η ποσότητα που καταναλώνεται από τον i-πόρο για να παραχθεί μία μονάδα της j-δραστηριότητας. ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΓΡΑΜΜΙΚΟΥ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΥ 6/16

7 Γενίκευση: 2b. Γενικό Γραμμικό Μοντέλο Δραστηριότητα Πόρος J=1 2 3 n Δεξιό μέλος i=1 a 11 a 12 a 13 a 1n b 1 2 a 21 a 22 a 23 a 2n b 2 3 a 31 a 32 a 33 a 3n b 3 m a m1 a m2 a m3 a mn b m ΔΖ c 1 c 2 c 3 c n Επίπεδο x 1 x 2 x 3 x n Το μοντέλο του γραμμικού προγραμματισμού αφορά την επιλογή τιμών -λήψη αποφάσεων- για τις δραστηριότητες (μεταβλητές απόφασης) x 1, x 2,, x n σε τρόπο ώστε να επιτυγχάνεται η ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΓΡΑΜΜΙΚΟΥ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΥ 7/16

8 Βασικές παραδοχές (ΑΞΙΩΜΑΤΑ) τουγραμμικούμοντέλου Προσδιοριστικότητα (Certainty). Οι παράμετροι του προβλήματος είναι γνωστές σταθερές, και οι τιμές τους δεν καθορίζονται από κάποιο πιθανοθεωρητικό πρότυπο. Αναλογικότητα (Proportionality). Η «συνεισφορά» της μεταβλητής x j στην αντικειμενική συνάρτηση και στον i-περιορισμό ανέρχεται αντίστοιχα σε c j x j και a ij x j μονάδες : είναι δηλαδή ανάλογη με την τιμή της. Αθροιστικότητα (Additivity). Οι «συνεισφορές» των διαφόρων μεταβλητών συνδυάζονται γραμμικά τόσο στην αντικειμενική συνάρτηση όσο και στους περιορισμούς του μοντελοποιούμενου συστήματος: δεν υπάρχουν αλληλεπιδράσεις μεταξύ των δραστηριοτήτων. Διαιρετότητα (Divisibility). Η διαιρετότητα υποδηλώνει ότι οι τιμές των μεταβλητών είναι συνεχείς: μπορούν να παίρνουν κλασματικές τιμές. Ορολογία. Μέρος Ι λύση: κάθε συνδυασμός τιμών των μεταβλητών απόφασης. εφικτή περιοχή: το υποσύνολο F του R n που σχηματίζεται από τις λύσεις που ικανοποιούν όλους τους περιορισμούς (εφικτή λύση / μη εφικτή λύση). βέλτιστη (άριστη) λύση: ηκαλύτερηδυνατήεφικτήλύση: (maximize) x* F : f(x*) f(x) x F (minimize) x* F : f(x*) f(x) x F ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΓΡΑΜΜΙΚΟΥ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΥ 8/16

9 Οποιοδήποτε π.γ.π. με δύο μόνο μεταβλητές μπορεί να λυθεί γραφικά. Σεμιατέτοιαπερίπτωση, αντιστοιχούμε τις τιμές των μεταβλητών x 1 και x 2 σ ένα σύστημα καρτεσιανών συντεταγμένων : ο οριζόντιος άξονας παριστά τις τιμές της x 1 κι ο κάθετος τις τιμές της x 2. Επειδή οι μεταβλητές παίρνουν τιμές μεγαλύτερες ή ίσες του μηδενός χρησιμοποιούμε μόνο το θετικό τεταρτημόριο. Η επόμενη φάση της γραφικής επίλυσης, εντοπίζεται στη διαδοχική χάραξη των περιορισμών με παράλληλη σκιαγράφηση της εφικτής περιοχής, τα σημεία της οποίας ικανοποιούν όλους τους (μέχρι στιγμής) περιορισμούς. Δύο προσεγγίσεις εύρεσης της βέλτιστης λύσης: με απαρίθμηση και έλεγχο όλων των κορυφών της εφικτής περιοχής. με τα χάραξη ισοσταθμικών ευθειών Ζ. Ορολογία. Μέρος ΙΙ περιοριστική ευθεία: ευθεία που αντιστοιχεί σε κάποιο περιορισμό. κορυφή: το σημείο τομής δύο περιοριστικών ευθειών. γειτονικές κορυφές: κορυφέςοιοποίεςσυνδέονταιμεμίαακμή(σύνορο). ενεργός περιορισμός: περιορισμός τον οποίο η βέλτιστη λύση τον καθιστά ισότητα (ο πόρος καταναλώνεται πλήρως). μη ενεργός περιορισμός περιθώρια μεταβλητή χαλαρή μεταβλητή: η αχρησιμοποίητη ποσότητα ενός πόρου. μεταβλητή πλεονασμού: το «ξεπέρασμα» μιας απαίτησης. ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΓΡΑΜΜΙΚΟΥ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΥ 9/16

10 ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΓΡΑΜΜΙΚΟΥ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΥ 10/16

11 Από το Διανυσματικό Λογισμό είναι γνωστό ότι, το gradient f(x) μιας συνάρτησης f δείχνει την κατεύθυνση κατά μήκος της οποίας η f αυξάνει γρηγορότερα. Γενικότερα, για τη συνάρτηση Z = f(x 1, x 2 ) = c 1 x 1 + c 2 x 2 είναι grad f Z x c = 1 2 = = = Z c x 2 ( x) f ( x, x ) Ειδικές Περιπτώσεις Προβλημάτων Γραμμικού Προγραμματισμού πρόβλημα ελαχιστοποίησης άπειρες βέλτιστες λύσεις αδύνατο πρόβλημα (F = ) Μη φραγμένο πρόβλημα μη φραγμένη εφικτή περιοχή ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΓΡΑΜΜΙΚΟΥ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΥ 11/16

12 Ανάλυση Ευαισθησίας της λύσης σ ένα π.γ.π. Η Ανάλυση Ευαισθησίας μελετά τις συνέπειες που υφίσταται η βέλτιστη λύση ενός γραμμικού μοντέλου, ως συνέπεια αλλαγών στις τιμές των παραμέτρων. Μαζί με την εύρεση της βέλτιστης λύσης, κρίσιμης σημασίας είναι και η δυνατότητα διερεύνησης σεναρίων που αφορούν τη φύση και την έκταση των μεταβολών για εκείνες τις παραμέτρους του μοντέλου, οι οποίες μπορούν να ανατρέψουν την άριστη απόφαση. (οι τιμές των πρώτων υλών αλλάζουν, οι απαιτήσεις της αγοράς κυμαίνονται, νέα μηχανήματα αντικαθιστούν παλιότερα, το κόστος της παραγωγής μεταβάλλεται, ανακατατάξεις προσωπικού πραγματοποιούνται, κ.λπ. Σύμφωνα με τη γενική περιγραφή του γραμμικού μοντέλου, όλααυτάμεταφράζονταισε αλλαγές για τις τιμές των παραμέτρων c j, b i και a ij ). Παράδειγμα (απλό) Δύο διαλύματα: ΔΛ-1, ΔΛ-2. Ηπώλησηενόςlit ΔΛ-1 αποφέρει κέρδος 300 χ.μ. ενώ η πώληση ενός lit ΔΛ χ.μ. H παραγωγή των διαλυμάτων διαμορφώνεται σε δύο διακριτά στάδια, τη μίξη και τον καθαρισμό: ΚΑΤΑΣΚΕΥΑΣΤΙΚΗ ΔΙΑΔΙΚΑΣΙΑ ΤΥΠΟΣ Μίξη Καθαρισμός 1000 lit ΔΛ lit ΔΛ ΔΙΑΘΕΣΙΜΟΤΗΤΑ (hr εβδομαδιαίως) όχι περισσότερα από 120,000 lit ΔΛ-2.?? η βέλτιστη εβδομαδιαία γραμμή παραγωγής. ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΓΡΑΜΜΙΚΟΥ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΥ 12/16

13 βέλτιστη λύση Γ(70, 90) Ζ = 66,000,000 χ.μ. Ανάλυση Ευαισθησίας για τους αντικειμενικούς συντελεστές Το διάστημα μέσα στο οποίο μπορεί να κυμαίνεται η τιμή ενός αντικειμενικού συντελεστή χωρίς να μεταβάλλεται η βέλτιστη λύση του γραμμικού μοντέλου, ονομάζεται εύρος αριστότητας του συντελεστή Μεταβολή της τιμής του αντικειμενικού συντελεστή c 1 (ή c 2 ) συνεπάγεται αλλαγή στην κλίση της ευθείας (αντικειμενικής συνάρτησης) Z = c 1 x 1 + c 2 x 2, γεγονός που μπορεί να οδηγήσει τη βέλτιστη λύση σε κάποια άλλη κορυφή της εφικτής περιοχής. c κλίση = 1 c 2 ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΓΡΑΜΜΙΚΟΥ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΥ 13/16

14 αύξηση της τιμής του c 1 μεταφράζεται σε περιστροφή της ευθείας Ζ περί το Γ σύμφωναμετηφοράτωνδεικτώντου ρολογιού (η κλίση μικραίνει). μείωση της τιμής του c 1 μεταφράζεται σε περιστροφή της ευθείας Ζ περί το Γ αντίθετα με τη φορά των δεικτών του ρολογιού (η κλίση μεγαλώνει). κλίση 1 κλίσηζ κλίση c c 1 10 ανάλογα (για c 1 = 3): 1.5 c 2 6 αν κατά τη διάρκεια της περιστροφής περί τη βέλτιστη λύση, η ευθείαζ έρθει σε θέση παράλληλη ή κάθετη με τον οριζόντιο άξονα (η κλίση της θα ισούται με 0 και - αντίστοιχα). Σε μια τέτοια περίπτωση, η περιστροφή της ευθείας Ζ πρέπει να σταματήσει σ αυτή τη θέση και να μη συνεχιστεί περαιτέρω. Ανάλυση Ευαισθησίας για τα δεξιά μέλη Η ανάλυση ευαισθησίας για το δεξιό μέλος b i ενός περιορισμού αποσκοπεί στον καθορισμό ενός διαστήματος τιμών που ονομάζεται εύρος εφικτότητας. Καθώς το b i παίρνει τιμές μέσα στο διάστημα, ητιμήτηςαντικειμενικής συνάρτησης μεταβάλλεται μ έναν προσδιοριζόμενο σταθερό ρυθμό. ενεργός περιορισμός μη ενεργός περιορισμός ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΓΡΑΜΜΙΚΟΥ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΥ 14/16

15 1 ος περιορισμός: 2x 1 +x 2 =230 παράλληλη μετατόπιση: ηβέλτιστη λύση ολισθαίνει πάνω στο ευθύγραμμο τμήμα ΔΗ. Δ(10, 120): = 140 Η(250, 0): = 500 [140, 500] Όσο οι αυξομειώσεις του b 1 είναι μέσα στα πλαίσια του εύρους εφικτότητας [140, 500] ηβέλτιστηλύσηπροκύπτειστο σημείο τομής των περιοριστικών ευθειών και. Έστω b 1 = 230+D. Τότε για -90 D 270 ηβέλτιστηλύσηπροκύπτειστοσημείοτομής των περιοριστικών ευθειών και. Άρα Δηλαδή μεταβολή κατά D (-90 D 270) των διαθέσιμων ωρών μίξης προκαλεί 1 μεταβολή της αντικειμενικής συνάρτησης κατά D (εκατοντάδες χιλιάδες) 3 χρηματικές μονάδες. ΗβελτίωσητηςτιμήςΖ της αντικειμενικής συνάρτησης ανά μονάδα αύξησης τουδεξιούμέλουςενόςπεριορισμούκαλείταιδυϊκή ή σκιώδης τιμή του πόρου που αυτός αντιπροσωπεύει. Η δυϊκή τιμή ενός πόρου εκφράζει την αξία που έχει για το σύστημα που μοντελοποιούμε μια επιπλέον μονάδα του συγκεκριμένου πόρου. ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΓΡΑΜΜΙΚΟΥ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΥ 15/16

16 Η γραφική παράσταση της μεταβολής της τιμής Ζ της αντικειμενικής συνάρτησης σε σχέση με τις διαθέσιμες ώρες αποδεικνύει ότι καθώς η τιμή του b 1 κυμαίνεται εντός του εύρους εφικτότητας, η τιμή Ζ της αντικειμενικής συνάρτησης μεταβάλλεται γραμμικά. κλιση = ( ) ( ) τιμη Ζ οταν b1 = 500 τιμη Ζ οταν b1 = = = ο 3ος περιορισμός είναι μη ενεργός με περιθώρια τιμή 30 αύξηση της τιμής του b 3 μεταφράζεται σε αύξηση της περιθώριας τιμής. Το γεγονός δεν έχει καμία σημασία. μείωση της τιμής του b 3 μεταφράζεται σε μείωση της περιθώριας τιμής. Η μείωση δεν επιδρά στη βέλτιστη λύση όσο είναι λιγότερη από 30. [90, ) ορυθμόςμεταβολήςτηςζσεσχέση με το δεξιό μέλος του 3ου (χαλαρού) περιορισμού μέσα στο εύρος εφικτότητάς του είναι μηδενικός : η δυϊκή τιμή απορροφητικότητας του ΔΛ2 ισούται με 0. ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΓΡΑΜΜΙΚΟΥ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΥ 16/16