ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΤΗΣ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑΣ

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΤΗΣ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑΣ 1. Στο παρακάτω σχήμα να βρείτε την απόσταση των δυο παραλλήλων και. Από το Θ φέρνω κάθετη ΘΚ προς την. Η ΘΚ είναι η ζητούμενη απόσταση. Από το ορθογώνιο τρίγωνο ΘΚΗ έχουμε 53 άρα 4 53 4 0,7986 3,2 (μπορείτε να παραλείπετε τις μονάδες και να τις βάζετε στο τέλος). 2. Στη φωτογραφία εικονίζεται ένα ιστιοπλοϊκό σε απόσταση d από τη βάση ενός φάρου ύψους 121 ft. Την εικονιζόμενη στιγμή το ιστιοπλοϊκό βλέπει το φάρο υπό γωνία. Υπό ποια γωνία θα βλέπει το ιστιοπλοϊκό το συγκεκριμένο φάρο όταν θα βρίσκεται από τη βάση του σε απόσταση ; C A D ω d/5 B Από το ορθογώνιο τρίγωνο ABC υπολογίζουμε πρώτα το d. Έχουμε 16 439. Άρα, Από τον πίνακα των τριγωνομετρικών αριθμών βρίσκουμε ότι 54. άρα 87,8. Από το ορθογώνιο τρίγωνο DBC έχουμε, 1,3781. 1

3. Να βρείτε το εμβαδόν κάθε τριγώνου στο παρακάτω σχήμα. A G H L K B D C E F J I Από το ορθογώνιο τρίγωνο ADC βρίσκουμε το ύψος h. Έχουμε 55 ή 2955 29 0,8192 23,6 Τώρα 33 23,6 392. Ομοίως εργαζόμαστε και στις άλλες δυο περιπτώσεις. 4. Τι λάθος έχει το επόμενο σχέδιο; N O θ Q P M Από το ορθογώνιο τρίγωνο OPQ έχουμε. Αυτό όμως δεν γίνεται.. Από το ορθογώνιο τρίγωνο OΜΝ έχουμε 5. Να αποδείξετε ότι το εμβαδόν του παρακάτω τριγώνου είναι. Εφόσον το τρίγωνο είναι ορθογώνιο το εμβαδόν του ισούται με το ημιγινόμενο των πλευρών του. Άρα (1). Αλλά οπότε. Αντικαθιστώντας το α στη σχέση (1) παίρνουμε 1 2 2

6. Γενικά να αποδείξετε ότι το εμβαδόν τριγώνου δίνεται από τον τύπο. Α B D C Το εμβαδόν του τριγώνου ABC είναι (1). Από το ορθογώνιο τρίγωνο ADC έχουμε άρα. Αντικαθιστώντας στη σχέση (1) παίρνουμε. 7. Να βρείτε ο μήκος α της χορδής του παρακάτω σχήματος Από το ορθογώνιο τρίγωνο OAΓ έχουμε 36 ή 0,5878 άρα 5,8. 8. Να βρείτε τη περίμετρο ενός ισοσκελούς τριγώνου του οποίου η βάση είναι 40 cm και η γωνία της κορυφής είναι. Φέρνουμε το ύψος ΑΔ που είναι και διάμεσος και διχοτόμος. Από το ορθογώνιο τρίγωνο ΑΔΓ έχουμε 20 άρα 58,5. Επομένως η περίμετρος του τριγώνου θα είναι, 58,5 58,5 40 157. 3

9. Στο παρακάτω σχήμα να βρείτε την ΒΔ και το εμβαδόν του τριγώνου ΑΒΓ. Από το ορθογώνιο τρίγωνο ΓΔA έχουμε 45 άρα 445 4 14 (Πιο εύκολα στο ορθογώνιο τρίγωνο ΑΓΔ η γωνία 45 άρα 45 οπότε το τρίγωνο είναι ισοσκελές και ΓΔ = ΑΔ = 4 cm). Από το ορθογώνιο τρίγωνο ΓΔΒ έχουμε 27 άρα 427 4 0,51 2,04. 10. Στο παρακάτω σχήμα να βρείτε το ύψος x της κεραίας (Αθανάσιος Π. Τσιόνκης) Από το ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ βρίσκουμε την ΒΓ. Έχουμε 23 άρα λύνοντας ως προς ΒΓ, 30 23 30 0,4245 12,74. Από το ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΔ έχουμε 41, οπότε 12,74 30 41 ή οπότε 12,74 30 0,8693 26,1. Επομένως, 26,1 12,74 δηλαδή 13,36 (πολύ ψηλή κεραία!) 11. Να βρείτε το εμβαδόν του παραλληλογράμμου στο παρακάτω σχήμα Ίδια με την άσκηση 18 παρακάτω. 4

12. Να βρείτε το εμβαδόν του τριγώνου του παρακάτω σχήματος Από το ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΔ βρίσκουμε το ύψος ΒΔ. Έχουμε 74 άρα 574 ή 5 0,9613 4,8. Άρα 5 4,8 12. 13. Με βάση το σχήμα να υπολογίσετε την απόσταση ΔΒ. 35 Από το ορθογώνιο τρίγωνο ΑΓΔ έχουμε 35 ή τρίγωνο ΑBΓ έχουμε 20 ή,, 109,9. 57,1. Από το ορθογώνιο Άρα 109,9 57,1 52,8. 14. Μια ευθεία έχει εξίσωση. Να βρείτε τη γωνία που σχηματίζει με τον θετικό ημιάξονα Οx. Από το ορθογώνιο τρίγωνο ΟΑΒ έχουμε 2 και από τους τριγωνομετρικούς πίνακες βρίσκουμε ότι 64. 5

15. Γύπας βρίσκεται σε ύψος 70 m από το έδαφος και κατευθύνεται σχηματίζοντας γωνία 60 ο με την κατακόρυφη, έτοιμος να κατασπαράζει ένα ζωάκι που βρίσκεται στη θέση Ρ. Αν ένα ελικόπτερο βρίσκεται σε ύψος 800 m από το έδαφος και σχηματίζει γωνία 30 ο με την κατακόρυφη, προλαβαίνει ο βοηθός πιλότου να σώσει το παιδάκι από τον αιμοδιψή γύπα; (Η άσκηση ηθελημένα έχει ελλιπή δεδομένα και απαιτεί από τον λύτη να ψάξει και να τα βρει μόνος του). Ε Γ 70 m 800 m A B Βρίσκουμε πρώτα τις αποστάσεις που πρέπει να διανύσουν ο γύπας και το ελικόπτερο. Από το ορθογώνιο τρίγωνο ΓΑΡ έχουμε 60, οπότε, δηλαδή ΓΡ = 140 m. Από το ορθογώνιο τρίγωνο BΕΡ έχουμε 30, οπότε 0,866, δηλαδή 0,866ΕΡ = 800. Άρα ΕΡ =, οπότε ΕΡ = 346 m., Το παγκόσμιο ρεκόρ ταχύτητας ελικοπτέρου κατέχει το Westland Lynx (402 km/h). Άρα ο χρόνος που θα χρειαστεί to ελικόπτερο για να καλύψει τα 346 m δίνεται από το τύπο. Δηλαδή 402000, επομένως 402000 300 και άρα 0,0007 2,68 sec. Για να καλύψει τα 140 m ο,, γύπας σε 2,68 χρειάζεται ταχύτητα 200 /. Τέτοια ταχύτητα μάλλον θα είναι εφικτή για το γύπα αν λάβουμε υπόψη μας ότι το ταχύτερο πουλί, ο πετρίτης (είδος γερακιού), όταν εφορμά εναντίον του θύματός του αναπτύσσει ταχύτητα η οποία ξεπερνά τα 325 /. Δείτε το βίντεο στη διεύθυνση http://www.youtube.com/watch?v=j3mtpeufcwk 16. Αν οι διαστάσεις ενός ορθογωνίου είναι 3 cm και 4 cm, να βρείτε την οξεία γωνία που σχηματίζουν οι διαγώνιοί του. Από το ορθογώνιο τρίγωνο ΔΚΕ έχουμε, 0,75 άρα 37 οπότε η οξεία γωνία που σχηματίζουν οι διαγώνιοί του ορθογωνίου είναι 2 37 74. 6

17. Οι διαγώνιοι ενός παραλληλογράμμου έχουν μήκος 10 cm εκάστη. Αν σχηματίζουν μια γωνία 30 ο, να βρείτε το εμβαδόν του ορθογωνίου. Από το ορθογώνιο τρίγωνο ΓΕΖ έχουμε 15 άρα 515 5 0,2588 1,3. Άρα ΓΔ = 2ΓΖ = 2 1,3 2,6. Από το ορθογώνιο τρίγωνο ΓΕΖ έχουμε 15 άρα 515 5 0,9659 4,8. Άρα ΒΓ = 2ΕΖ = 2 4,8 9,6. Επομένως το εμβαδόν του ορθογωνίου είναι 4,8 9,6 46,1. 18. Αν ξέρουμε τις πλευρές ενός παραλληλογράμμου και τη μια γωνία του, μπορούμε να υπολογίσουμε το εμβαδόν του; Να δικαιολογήσετε την απάντησή σας. Το ύψος ΑΕ του παραλληλογράμμου μπορεί να υπολογιστεί από το ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΕ. Έχουμε λοιπόν 56 άρα 456 4 0,8293,3. Επομένως το εμβαδόν του παραλληλογράμμου είναι 6 3,3 19,8. Ομοίως εργαζόμαστε και στη γενική περίπτωση για παραλληλόγραμμο με πλευρές α και β και γωνία ω. 19. Σε ένα ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ (Α γωνία ορθή), οι κάθετες πλευρές του διαφέρουν κατά 2 cm. Αν γωνία Β = 30 ο, να βρείτε τις πλευρές του τριγώνου, το εμβαδόν του και το ύψος ΑΔ. Εφόσον, ΓΔ < ΔΕ. Αν ΓΔ = x, τότε ΔΕ = x + 2. Τότε 30 ή 0,5774 0,5774 2 οπότε 0,5774 1,1548 ή 1,1548 0,5774 ή 1,1548 0,423. Άρα,, 2,7. ή 7

20. Ένα αυτοκίνητο κινείται με ταχύτητα 60 km/h κατά μήκος της ευθείας ημιευθείας ΒΑ του σχήματος. Ένα άλλο αυτοκίνητο κινείται με ταχύτητα 80 km/h κατά μήκος της ευθείας ημιευθείας ΓΔ του σχήματος. Αν ξεκίνησαν από τα Β και Γ την ίδια χρονική στιγμή, πρόκειται να συγκρουστούν τα δυο αυτοκίνητα; Για να συγκρουστούν θα πρέπει να φτάσουν στο ίδιο χρόνο στο σημείο Κ. Μπορεί να συμβεί αυτό; Ας υποθέσουμε ότι και τα δυο αυτοκίνητα φτάνουν στο Κ σε χρόνο t. Χρησιμοποιώντας τον τύπο έχουμε για το πρώτο αυτοκίνητο 60 ή 60 1 και για το δεύτερο αυτοκίνητο 80 ή 80 (2). Επειδή έχουμε δυο εξισώσεις και τρεις αγνώστους για να ελαττώσουμε τους αγνώστους φέρνουμε την ΚΕ κάθετη προς τη ΒΓ και με αυτό τον τρόπο εκφράζουμε τις ΒΚ και ΓΚ συναρτήσει της ΚΕ και των γωνιών 30 και 50. Από το ορθογώνιο τρίγωνο ΒΚΕ έχουμε 30 άρα 30 0,5 ή ΒΚ = 2ΚΕ 3. Από το ορθογώνιο τρίγωνο ΓΚΕ έχουμε 50 άρα ή 1,3 (4). Διαιρώντας τις σχέσεις (1) και (2) κατά μέλη έχουμε (5). Διαιρώντας τις σχέσεις (3) και (4) κατά μέλη έχουμε 6. Από τις σχέσεις (5) και,, (6) συμπεραίνουμε ότι ή 3,9 8 κάτι που δεν μπορεί να συμβεί. Επομένως η αρχική μας υπόθεση, ότι τα αυτοκίνητα θα φτάσουν στο ίδιο χρόνο στο σημείο Κ είναι λανθασμένη. Συμπεραίνουμε λοιπόν ότι τα αυτοκίνητα δεν θα συγκρουστούν. Σχόλιο1: Παρότι η λύση χρησιμοποιεί πράγματα που ήδη έχετε διδαχθεί θα ήταν σχεδόν αδύνατο με την μαθηματική ωριμότητα (η οποία οφείλεται στην ανάλογη εξάσκηση και όχι μόνον)που έχετε αυτή τη στιγμή να λύνατε αυτή την άσκηση με αυτό τον τρόπο. Προσπαθήστε αν έχετε χρόνο να φιλοσοφήσετε τη λύσει. Ποια είναι η κεντρική γραμμή επίθεσης, με ποια συλλογιστική γίνονται τα επιμέρους βήματα, κ.οκ. Σχόλιο 2: Με τα συγκεκριμένα δεδομένα της άσκησης υπάρχει και μια γρήγορη λύση που ίσως θα έπρεπε να είχατε παρατηρήσει. Η ταχύτητα του δεύτερου αυτοκίνητου είναι μεγαλύτερη από την ταχύτητα του πρώτου αυτοκίνητου. Επί πλέον η απόσταση που έχει να διανύσει το δεύτερο αυτοκίνητο είναι μικρότερη από την απόσταση που έχει να διανύσει το πρώτο αυτοκίνητο. Άρα το δεύτερο αυτοκίνητο θα περάσει πρώτα από το Κ και δεν θα συγκρουστούν! Βέβαια πίσω από αυτή τη συλλογιστική κρύβεται μια πρόταση που δεν έχετε συναντήσει μέχρι τώρα. Σε ένα τρίγωνο απέναντι από τη μεγαλύτερη γωνία βρίσκεται η μεγαλύτερη πλευρά. Στο τρίγωνο ΒΚΓ έχουμε άρα ΚΓ<ΚΒ. Θα μπορούσατε να δώσετε κάποια πειστικά επιχειρήματα για την ισχύ αυτής της πρότασης; 8

21. Στο παρακάτω τραπέζιο, ΑΒ = 2 cm, ΑΔ = 4 cm και ΔΓ = 7 cm, και οι γωνίες Α και Δ είναι ορθές. Να βρείτε τις γωνίες Β και Γ του τραπεζίου. Φέρνουμε την κάθετη ΒΕ προς τη ΔΓ. Από το ορθογώνιοο τρίγωνο ΒΕΓ έχουμε τους τριγωνομετρικούς πίνακες βρίσκουμε ότι η γωνία οπότε. Άρα από. Στο ορθογώνιο τρίγωνο ΒΕΓ έχουμε. 9