ΔΟΡΥΦΟΡΙΚΕΣ ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΕΣ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΕΙΡΑΙΩΣ ΣΧΟΛΗ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΩΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΚΑΙ ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΩΝ ΤΜΗΜΑ ΨΗΦΙΑΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΔΟΡΥΦΟΡΙΚΕΣ ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΕΣ Διδάσκων: Δρ. Εμμανουήλ Θ. Μιχαηλίδης Ασκήσεις #1 Δορυφορικές Τροχιές

Άσκηση 1 2 Η Γη περιστρέφεται μία φορά ανά αστρική ημέρα των 23 h, 56 min, 4.09 s. Αποδείξτε ότι η ακτίνα ενός GEO είναι 42,164.17 km. Σημείωση: Υποθέστε ότι η σταθερά μ έχει την τιμή 3.986004418 10 5 km 3 /s 2. Λύση: Ισχύει ότι T 3 2 3 T a 2 a 2 4 Για μια αστρική μέρα, T= 86,164.09sec. Άρα, a 42,164.17 km Αυτή είναι η ακτίνα τροχιάς για ένα γεωστατικό δορυφόρο.

Άσκηση 2 3 Το Space Shuttle (διαστημικό λεωφορείο) είναι ένα παράδειγμα δορυφόρου χαμηλής τροχιάς (LEO).

Άσκηση 2 4 Μερικές φορές, βρίσκεται σε τροχιά σε ένα ύψος 250 km πάνω από την επιφάνεια της Γης, όπου εξακολουθεί να υπάρχει ένας πεπερασμένος αριθμός μορίων από την ατμόσφαιρα. Η μέση ακτίνα της Γης είναι περίπου 6,378.14 km. Χρησιμοποιώντας αυτούς τους αριθμούς, υπολογίστε την περίοδο της τροχιάς του διαστημικού λεωφορείου όταν το ύψος είναι 250 km και η τροχιά είναι κυκλική. Βρείτε επίσης τη γραμμική ταχύτητα του διαστημικού λεωφορείου κατά μήκος της τροχιάς του. Σημείωση: Υποθέστε ότι η μέση ακτίνα της Γης είναι 6,378.137 km και ότι η σταθερά μ έχει την τιμή 3.986004418 10 5 km 3 /s 2.

Άσκηση 2 5 Λύση: Η ακτίνα της τροχιάς του Space Shuttle σε ύψος 250 km είναι ίση με: rre h6,378.14 250 6,628.14 km Η περίοδος της τροχιάς είναι ίση με: 3 a T 2 5,370.30 sec 89 minutes 30.3 sec. Αυτή η περίοδος είναι περίπου η μικρότερη δυνατή. Σε ένα χαμηλότερο ύψος, η τριβή με την ατμόσφαιρα της Γης θα επιβραδύνει γρήγορα το Shuttle και αυτό θα επιστρέψει στη Γη. Έτσι, όλα τα διαστημικά σκάφη σε σταθερή γήινη τροχιά έχουν τροχιακές περιόδους άνω των 89 minutes 30 sec.

Άσκηση 2 6 Η περιφέρεια της τροχιάς είναι: 2a 41,645.83 km Άρα, η ταχύτητα του Shuttle σε τροχιά είναι: 2a v 7.755 km/sec T Εναλλακτικά μπορεί να χρησιμοποιηθεί ο τύπος v s r Μια ταχύτητα περίπου 7.8 km/sec είναι μια αντιπροσωπευτική ταχύτητα για ένα δορυφόρο χαμηλής τροχιάς (LEO). Φροντίστε να διατηρείτε τις μονάδες ίδιες κατά τους υπολογισμούς σας!!!

Άσκηση 3 7 Ένας δορυφόρος είναι σε ελλειπτική τροχιά με περίγειο 1.000 km και απόγειο 4.000 km. Χρησιμοποιώντας μια μέση ακτίνα Γης 6,378.14 km, βρείτε την περίοδο της τροχιάς σε ώρες, λεπτά και δευτερόλεπτα, καθώς και την εκκεντρότητα της τροχιάς. Σημείωση: Υποθέστε ότι η σταθερά μ έχει την τιμή 3.986004418 10 5 km 3 /s 2. Λύση: Ο μεγάλος άξονας της ελλειπτικής τροχιάς είναι μια ευθεία γραμμή μεταξύ του απογείου και του περιγείου.

Άσκηση 3 8 Άρα, το μήκος του μεγάλου ημιάξονα της έλλειψης είναι: a 2r r r E p a 2 8,878.14 km H τροχιακή περίοδος είναι ίση με: 3 a T 2 8,325.1864 sec 138 min 45.19 sec 2 h 18 min 45.19 sec

Άσκηση 3 9 Η εκκεντρότητα της τροχιάς δίνεται από το e, το οποίο μπορεί να βρεθεί λαμβάνοντας υπόψη τη στιγμή στην οποία ο δορυφόρος βρίσκεται στο περίγειο. Τότε, η εκκεντρική ανωμαλία E = 0 και r 0 = r E + r p.

Άσκηση 3 10 Άρα, έχουμε ότι: r0 a 1ecosE r r a 1ecos0 E p r r a 1e E p re r e 1 a e 0.169 p

Άσκηση 4 11 Ένας δορυφόρος είναι σε κυκλική τροχιά γύρω από τη Γη. Το ύψος της τροχιάς του δορυφόρου πάνω από την επιφάνεια της Γης είναι 1,400 km. (i) Ποια είναι η κεντρομόλος και η φυγόκεντρος επιτάχυνση που ενεργεί στο δορυφόρο στην τροχιά του; Δώστε την απάντησή σας σε m/s 2. (ii) Ποια είναι η ταχύτητα του δορυφόρου σε αυτή την τροχιά; Δώστε την απάντησή σας σε km/s. (iii) Ποια είναι η τροχιακή περίοδος του δορυφόρου σε αυτή την τροχιά; Δώστε την απάντησή σας σε ώρες, λεπτά και δευτερόλεπτα. Σημείωση: Υποθέστε ότι η μέση ακτίνα της Γης είναι 6,378.137 km και ότι η σταθερά μ έχει την τιμή 3.986004418 10 5 km 3 /s 2.

Άσκηση 4 12 Λύση: i) Αφού ο δορυφόρος είναι σε σταθερή τροχιά, επιτάχυνση λόγω της βαρύτητας α β και η φυγόκεντρος επιτάχυνση α φ είναι ίσες. Σε απόσταση r από το κέντρο της Γης ισχύει ότι: a / r Όμως, r = 6,378.137 + 1,400 = 7,778.137 km. Συνεπώς, α β = 6.5885007 m/s 2. 2 ii) Για την ταχύτητα του δορυφόρου σε μια κυκλική τροχιά ισχύει ότι: v / r 7.159 k m/s iii) Τέλος, για την τροχιακή περίοδο ισχύει ότι: T 2r 3/2 1 hour 53 minutes 46.92 seconds

Άσκηση 5 13 Ένας δορυφόρος σε μια ελλειπτική τροχιά γύρω από τη Γη έχει απόγειο 39,152 km και περίγειο 500 km. Ποια είναι η τροχιακή περίοδος αυτού του δορυφόρου; Δώστε την απάντησή σας σε ώρες. Σημείωση: Υποθέστε ότι η μέση ακτίνα της Γης είναι 6,378.137 km και ότι η σταθερά μ έχει την τιμή 3.986004418 10 5 km 3 /s 2.

Άσκηση 5 14 Λύση: Ισχύει ότι: a = (39,152 + (2x6,378.137) + 500)/2 = 26,204.137 km Άρα, η περίοδος της τροχιάς είναι ίση με: T 2a 3/2 11 hours 43 minutes 34.9 seconds

Άσκηση 6 15 Μια συγκεκριμένη αποστολή διαστημικού οχήματος εκτόξευσε ένα δορυφόρο «Tracking and Data Relay Satellite System TDRSS)» σε κυκλική χαμηλή τροχιά, με ύψος τροχιάς 270 km. Η τροχιά του διαστημικού οχήματος ήταν κεκλιμένη ως προς τον ισημερινό της Γης κατά 28 περίπου. Ο δορυφόρος TDRSS έπρεπε να τοποθετηθεί σε γεωστατική τροχιά μεταφοράς (GTO) μόλις θα εκτοξευόταν από το θαλαμίσκο μεταφοράς φορτίου του διαστημικού λεωφορείου, με το απόγειο της GTO σε γεωστατικό ύψος και το περίγειο στο ύψος της τροχιάς του διαστημικού λεωφορείου. (i) Ποια ήταν η εκκεντρότητα της GTO; (ii) Ποια ήταν η περίοδος της GTO; (iii) Ποια ήταν η διαφορά στην ταχύτητα του δορυφόρου στην GTO μεταξύ απογείου και περιγείου; Σημείωση: Υποθέστε ότι η μέση ακτίνα της Γης είναι 6,378.137 km και ότι η σταθερά μ έχει την τιμή 3.986004418 10 5 km 3 /s 2.

16 Άσκηση 6

Άσκηση 6 17 Λύση: (i) Η γεωστατική τροχιά μεταφοράς θα έχει απόγειο ίσο με 35,786.03 km (το ύψος που αντιστοιχεί στη γεωστατική τροχιά) και περίγειο 270 km (το ύψος στο οποίο αφέθηκε ο δορυφόρος TDRSS). Για τον μεγάλο ημιάξονα ισχύει ότι a = (2r e + r p + r a )/2 = 24,406.152 km. Επιπλέον, όταν ο δορυφόρος βρίσκεται στο περίγειο, η εκκεντρική ανωμαλία είναι ίση με E = 0 και r 0 = r E + r p (Άσκηση 3). Επιπλέον, r0 a1ecos E. Άρα, η εκκεντρότητα της γεωστατικής τροχιάς μεταφοράς είναι ίση με: e = 1 (r e + r p )/a = 0.727604 0.728. (ii) Η περίοδος της τροχιάς είναι ίση με: T 2a 3/2 10 hours 32 minutes 25.47 seconds (iii) Homework!!!

Άσκηση 7 18 Ένας επίγειος σταθμός που βρίσκεται στα Docklands του Λονδίνου χρειάζεται να υπολογίσει τη γωνία σκόπευσης προς ένα γεωστατικό δορυφόρο στον Ινδικό ωκεανό που εκμεταλλεύεται ο Intelsat. Οι λεπτομέρειες της τοποθεσίας του επίγειου σταθμού και του δορυφόρου είναι οι εξής: Το γεωγραφικό πλάτος και το γεωγραφικό μήκος του επίγειου σταθμού είναι 52.0 N και 0. Το γεωγραφικό μήκος του δορυφόρου (υποδορυφορικό σημείο) είναι 66.0 E. i) Βρείτε την κεντρική γωνία γ ii) Βρείτε τη γωνία ανύψωσης El iii) Βρείτε την ενδιάμεση γωνία α iv) Βρείτε τη γωνία αζιμουθίου Az

Άσκηση 7 19 Λύση: i) Ισχύει ότι: Άρα, έχουμε ότι: l l L cos cos cos 75.4981 SSP ES ES cos 50 cos 66 0.2504 Η κεντρική γωνία γ είναι μικρότερη από 81.3 κι έτσι ο δορυφόρος είναι ορατός από τον επίγειο σταθμό. ii) Ισχύει ότι: EL arctan 6.6107345 cos / sin arctan6.6107345 0.254 / sin75.4981 75.4981 5.847

Άσκηση 7 20 iii) Ισχύει ότι: tan lssp l tan66 ES arctan arctan 70.667 sinl ES sin52 iv) Ο επίγειος σταθμός είναι στο βόρειο ημισφαίριο και ο δορυφόρος βρίσκεται στα νοτιοανατολικά του επίγειου σταθμού. Άρα, έχουμε ότι: AZ 180 180 70.667 109.333 (δεξιόστροφα από το γεωγραφικό βορρά)

Άσκηση 8 21 Για διάφορους λόγους, οι τυπικές ελάχιστες γωνίες ανύψωσης που χρησιμοποιούνται από επίγειους σταθμούς που λειτουργούν στις ζώνες συχνοτήτων των εμπορικών σταθερών υπηρεσιών μέσω δορυφόρου (FSS) είναι οι εξής: C-band: 5, Ku-band: 10 και Ka-band: 20. (i) Υπολογίστε τη μέγιστη και ελάχιστη απόσταση σε χιλιόμετρα από έναν επίγειο σταθμό προς ένα γεωστατικό δορυφόρο στις τρεις ζώνες. (ii) Σε ποιους χρόνους διαδρομής μετ επιστροφής (roundtrip times) διάδοσης σήματος αντιστοιχούν αυτές οι αποστάσεις; Μπορείτε να υποθέσετε ότι το σήμα διαδίδεται με την ταχύτητα του φωτός (3x10 8 m/sec) στο κενό ακόμα και στη χαμηλότερη ατμόσφαιρα της Γης.

Άσκηση 8 22 Λύση: Στο παρακάτω σχήμα παρουσιάζεται το σενάριο για την περίπτωση της Ku-band (10 o ελάχιστη γωνία ανύψωσης). S max : Η θέση του γεωστατικού δορυφόρου με μέγιστη απόσταση από τον επίγειο σταθμό S min : Η θέση του γεωστατικού δορυφόρου με ελάχιστη απόσταση από τον επίγειο σταθμό E: Επίγειος σταθμός C: Κέντρο της Γης CE: Ακτίνα της Γης, 6,378.137 km ES min : Ύψος του δορυφόρου, 35,786.03 km

Άσκηση 8 23 (i) Αν εφαρμόσουμε το νόμο των ημιτόνων στο τρίγωνο CES max βρίσκουμε ότι: Επιπλέον, βρίσκουμε ότι: CSmax / sin100 CE / sin (35,786.03 + 6,378.137) / sin100 6,378.137 / sin sin0.1489710 8.5673001 180 100 71.4326999 Αν εφαρμόσουμε ξανά το νόμο των ημιτόνων στο τρίγωνο CES max βρίσκουμε ότι: E S / sin CS / sin100 max ES max max 40,586.12894 km

Άσκηση 8 24 Ομοίως, για ελάχιστη γωνία ανύψωσης 5 o έχουμε ότι: 8.6671185 76.3328815 ES max 41,126.78334 km και για ελάχιστη γωνία ανύψωσης 20 o έχουμε ότι: 8.1720740 61.8279266 ES max 39,554.56520 km Η ελάχιστη απόσταση μεταξύ δορυφόρου και επίγειου σταθμού είναι ίδια για όλες τις συχνότητες (35,786.03 km), θεωρώντας ότι ο επίγειος σταθμός είναι στον ισημερινό και ο δορυφόρος είναι ακριβώς πάνω από τον επίγειο σταθμό.

Άσκηση 8 25 ii) Οι χρόνοι διαδρομής μετ επιστροφής (roundtrip times) διάδοσης σήματος που αντιστοιχούν αυτές οι αποστάσεις είναι οι εξής: (C-band) απόσταση 2x41,126.78 km 274.2 msec 8 ταχύτητα 3x10 m/s (Ku-band) απόσταση 2x40,586.13 km 270.6 msec 8 ταχύτητα 3x10 m/s (Ka-band) απόσταση 2x39,554.57 km 263.7 msec 8 ταχύτητα 3x10 m/s

Άσκηση 9 26 Ένας δορυφόρος παρατήρησης πρόκειται να τοποθετηθεί σε μια κυκλική ισημερινή τροχιά ώστε να κινείται στην ίδια κατεύθυνση με την περιστροφή της Γης. Χρησιμοποιώντας ένα σύστημα ραντάρ συνθετικού ανοίγματος (Synthetic Aperture Radar SAR), ο δορυφόρος θα αποθηκεύει δεδομένα για τη βαρομετρική πίεση επιφανείας, και άλλες σχετικές με τον καιρό παραμέτρους, καθώς θα πετά από πάνω. Η SAR είναι μια ειδική τεχνική ραντάρ που επιτρέπει στους χρήστες να λαμβάνουν υψηλής ανάλυσης εικόνες ραντάρ από μεγάλες αποστάσεις, π.χ. από το διάστημα. Η τεχνική ραντάρ χρησιμοποιεί μικροκύματα για τη μέτρηση αποστάσεων (περιοχών). Οι εικόνες SAR είναι χρήσιμες για τη μελέτη των χαρακτηριστικών του πάγου και του χιονιού, καθώς και των μεταβολών τους στο χρόνο.

Άσκηση 9 27 Αυτά τα δεδομένα θα αναπαράγονται αργότερα σε έναν επίγειο σταθμό ελέγχου μετά από κάθε ταξίδι ανά τον κόσμο. Η τροχιά θα σχεδιαστεί ώστε ο δορυφόρος να είναι ακριβώς πάνω από τον επίγειο σταθμό ελέγχου, ο οποίος βρίσκεται στον ισημερινό, μία φορά κάθε τέσσερις ώρες. Η κεραία του επίγειου σταθμού ελέγχου δεν μπορεί να λειτουργεί κάτω από μια γωνία ανύψωσης 10 ως προς το οριζόντιο επίπεδο σε οποιαδήποτε κατεύθυνση. Θεωρώντας ότι η περίοδος περιστροφής της Γης είναι ακριβώς 24 ώρες, βρείτε τις παρακάτω ποσότητες: α. Τη γωνιακή ταχύτητα του δορυφόρου σε ακτίνια ανά δευτερόλεπτο. β. Την τροχιακή περίοδο σε ώρες. γ. Την ακτίνα τροχιάς σε χιλιόμετρα.

Άσκηση 9 28 δ. Το ύψος της τροχιάς σε χιλιόμετρα. ε. Τη γραμμική ταχύτητα του δορυφόρου σε μέτρα ανά δευτερόλεπτο. στ. Το χρονικό διάστημα σε λεπτά για το οποίο ο επίγειος σταθμός ελέγχου μπορεί να επικοινωνεί με το δορυφόρο σε κάθε πέρασμα. Σημείωση: Υποθέστε ότι η μέση ακτίνα της Γης είναι 6,378.137 km και ότι η σταθερά μ έχει την τιμή 3.986004418 10 5 km 3 /s 2.

Άσκηση 9 29 Λύση: α) Στο παρακάτω σχήμα παρουσιάζεται η κίνηση του δορυφόρου και η θέση του επίγειου σταθμού, θεωρώντας ότι ο ισημερινός είναι στο επίπεδο της οθόνης. E: Επίγειος σταθμός S: Δορυφόρος r e : Ακτίνα της Γης, 6,378.137 km r s : Ακτίνα της τροχιάς σε km Σημείωση: Τα βέλη πάνω από τον επίγειο σταθμό (Ε) και το δορυφόρο (S) δείχνουν την κατεύθυνση της κίνησης τους.

Άσκηση 9 30 Έστω ότι η S είναι η γωνιακή ταχύτητα του δορυφόρου και η e είναι η γωνιακή ταχύτητα περιστροφής της Γης. Τότε έχουμε ότι: e 2 radians 2 radians 5 7.272205210 radians/sec 24 hours 86,400 sec Ο γωνιακός διαχωρισμός τους (angular separation) θα ήταν Δ φ = (η S η e )t. Για την πρώτη φορά που δορυφόρος θα είναι ακριβώς πάνω από τον επίγειο σταθμό έχουμε Δ φ = 0. Τη δεύτερη φορά που ο δορυφόρος θα ξαναβρεθεί πάνω ακριβώς από τον επίγειο σταθμό θα έχουμε ότι Δ φ = ± 2π.

Άσκηση 9 31 Θέλουμε, όμως, να ισχύει Δ φ = ± 2π τη χρονική στιγμή t = 4 hours = 14,400 sec. Οπότε, S et 2 S e 14,400 0.0004363 radia S e ns/ sec Οι πιθανές λύσεις είναι: (i) (ii) S 0.0005090221 radians/sec 0.0003635779 radians/sec S Όμως, ο δορυφόρος κινείται στην ίδια κατεύθυνση με την περιστροφή της Γης. Άρα, 0.0005090221 radians/sec. S

Άσκηση 9 32 Εναλλακτική λύση: Σε 4 ώρες η γη περιστρέφεται 60 o ή π/3 ακτίνια. Ένας δορυφόρος που κινείται σύμφωνα με την φορά περιστροφής της Γης θα πρέπει να καλύψει (2π + π/3) σε 4 ώρες για να βρεθεί πάνω ακριβώς από τον επίγειο σταθμό (δηλαδή μια πλήρη περιστροφή και την πρόσθετη απόσταση λόγω περιστροφής της Γης). Οπότε, η γωνιακή ταχύτητα είναι ίση με: η S =(2π + π/3)/4 hours = (2π + π/3)/14,400 = 0.000509 radians/sec. β) Η περίοδος της τροχιάς είναι ίση με T = 2π/η S = 2π/0.0005090221 = 12,343.64194 sec = 3 hours 25 min 43.64 sec.

Άσκηση 9 33 γ) Η τροχιά του δορυφόρου είναι κυκλική, οπότε η ακτίνα της τροχιάς είναι ίση με τη παράμετρο a. Ισχύει ότι: 2 S 3 T a 2 S 3 a a a 1/3 2/3 S 3.98600441810 0.0005090221 5 2/3 a 11,543.96203 km 1/3

Άσκηση 9 34 δ) Το ύψος της τροχιάς είναι ίσο με την ακτίνα της τροχιάς (από το κέντρο της Γης) μείον την ακτίνα της Γης, δηλαδή: h ar 11,543.96203 6,378.137 5,165.825030 km S e ε) Η γραμμική ταχύτητα του δορυφόρου μπορεί να βρεθεί με δύο τρόπους: i) Η ταχύτητα της τροχιάς είναι ίση με v s r 5.876 km/s ii) Εναλλακτικά, v s a S 5.876 km/s

Άσκηση 9 35 στ) Θεωρούμε το παρακάτω σενάριο:

Άσκηση 9 36 Η επικοινωνία μετυαξύ του επίγειου σταθμού και του δορυφόρου είναι εφικτή εάν: φ φ 0 Αν εφαρμόσουμε το νόμο των ημιτόνων στο τρίγωνο CEΑ βρίσκουμε ότι: a/ sin100 r / sin 11,543.96203 / sin100 6,378.137 / sin sin0.5441146 32.96 Οπότε, η γωνία ACE είναι ίση με 180 ο 100 ο 32.96 ο = 47.04 o. e

Άσκηση 9 37 Ο δορυφόρος μετακινείται από τη θέση με γωνία ανύψωσης 90 o στη θέση με γωνία ανύψωσης 10 ο σε χρόνο ίσο με: ACE ˆ radians t 90 10 Σχετική Γωνιακή Ταχύτητα Δορυφόρου t 0.8209299 0.000509 0.000072722052 0.8209299 t 90 10 0.0004363 1,881.572083 sec 31.359347 min 90 10 t 90 10 Οπότε, το χρονικό διάστημα σε λεπτά για το οποίο ο επίγειος σταθμός ελέγχου μπορεί να επικοινωνεί με το δορυφόρο σε κάθε πέρασμα είναι ίσο με 2 t 62.72 min. 0 10

Άσκηση 10 38 Αναπτύσσεται ένα διαδραστικό πείραμα μεταξύ του Πανεπιστημίου της Υόρκης στην Αγγλία (περίπου 359.5 E, 53.5 N) και του Τεχνικού Πανεπιστημίου του Γκραζ στην Αυστρία (περίπου 15 E, 47.5 N), όπου θα χρησιμοποιηθεί ένας γεωστατικός δορυφόρος. Οι επίγειοι σταθμοί και στα δύο πανεπιστήμια περιορίζονται να λειτουργούν μόνο πάνω από γωνίες ανύψωσης 20 λόγω των κτιρίων κ.λπ., κοντά στις τοποθεσίες τους. Οι ομάδες στα δύο πανεπιστήμια πρέπει να βρουν ένα γεωστατικό δορυφόρο που θα είναι ορατός ταυτόχρονα και από τα δύο πανεπιστήμια, με τους δύο επίγειους σταθμούς να λειτουργούν σε ή πάνω από μια γωνία ανύψωσης 20. Ποια είναι η απόσταση των υποδορυφορικών σημείων μεταξύ των οποίων πρέπει να βρίσκεται ο επιλεγμένος γεωστατικός δορυφόρος;

39 Άσκηση 10

40 Άσκηση 10

Άσκηση 10 41 Λύση: Με δεδομένο ότι τα γεωγραφικά πλάτη των υποδορυφορικών σημείων είναι 0 (βρίσκονται στον ισημερινό), αρκεί να βρούμε τα γεωγραφικά μήκη. Για τους γεωστατικούς δορυφόρους ισχύει η σχέση: l l L cos cos cos SSP ES ES Επίσης, για την γωνία ανύψωσης στους γεωστατικούς δορυφόρους ισχύει η εξής σχέση: sin cosel 1.022882350.30253825cos Άρα, πρέπει να βρούμε τη γωνία γ!

Άσκηση 10 42 Έστω Χ = cos(γ), C = cos (El), A = 1.02288235 και B = 0.30253825. Έχουμε ότι: Αν λύσουμε την εξίσωση βρίσκουμε ότι: 2 BX sin 2 sin C C 1/2 ABX A 2 2 1 X 2 2 2 C X C B X AC 1 0 ABX X C 2 B C 4 B 2 4 AC 2 1 2

Άσκηση 10 43 Η σωστή λύση είναι αυτή με την θετική ρίζα. Για ελάχιστη γωνία ανύψωσης 20 o, C = 0.9396926 και X = 0.4721212. Οπότε, γ = arccos(0.4721212) = 61.8279251 o. i) Για το York έχουμε ότι: cos 61.8279251 cos53.5coslssp les cosl l 0.7937174 l SSP SSP l ES ES 37.4657212 Άρα, η διαφορά μεταξύ των γεωγραφικών πλατών του York και του υποδορυφορικού σημείου είναι 37.4657212 o. Το York έχει γεωγραφικό μήκος 359.5 o E. Οπότε, υπάρχουν δύο λύσεις για την τοποθέτηση του δορυφόρου, μία ανατολικά και μία δυτικά του York. Ωστόσο, ο δορυφόρος θα είναι ορατός από το Graz όταν τοποθετηθεί ανατολικά του York. Άρα: l 36.9657212 Ε SSP

Άσκηση 10 44 Για το Gratz έχουμε ότι: cos61.8279251 cos47.5coslssp les cosl l 0.6988278 l SSP SSP l ES ES 45.6669685 Άρα, η διαφορά μεταξύ των γεωγραφικών πλατών του Gratz και του υποδορυφορικού σημείου είναι 45.6669685 o. Το Gratz έχει γεωγραφικό μήκος 15 o E. Οπότε, υπάρχουν δύο λύσεις για την τοποθέτηση του δορυφόρου, μία ανατολικά και μία δυτικά του Gratz. Ωστόσο, ο δορυφόρος θα είναι ορατός από το York όταν τοποθετηθεί δυτικά του Gratz. Άρα έχουμε ότι l 329.3330315 E Συνεπώς, το εύρος των υποδορυφορικών σημείων που παρέχουν γωνίες ανύψωσης τουλάχιστον 20 o στο York και στο Graz είναι από 329.33 o E έως 36.97 o E. SSP