ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 Γενικές ερωτήσεις Γενικές ασκήσεις Κριτήρια αξιολόγησης ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 1 Η ράβδος ΟΑ του σχήματος μπορεί να στρέφεται γύρω από τον άξονα z z χωρίς τριβές Tη στιγμή t=0 δέχεται την εφαπτομενική δύναμη F σταθερού μέτρου 0 Ν, με φορά όπως φαίνεται στο σχήμα α Nα υπολογίσετε τον ρυθμό μεταβολής της στροφορμής της ράβδου β Να βρείτε το μέτρο της στροφορμής της ράβδου μετά από γωνία στροφής 5 rad γ Να γίνει το διάγραμμα P=f(t) Δίνονται: η μάζα της ράβδου M=3kg, το μήκος της l= 1 m και η ροπή αδράνειας της ράβδου ως προς άξονα περιστροφής που διέρχεται από το κέντρο μάζας της, και είναι κάθετη σ αυτή I =M l /1 Ο δίσκος μάζας M= kg και ακτίνας R=40 του σχήματος αρχικά ηρεμεί και μπορεί να στρέφεται γύρω από τον κατακόρυφο άξονα Κ χωρίς τριβές Γύρω του είναι τυλιγμένο αβαρές νήμα, του οποίου το άκρο Α αρχίζει να δέχεται την επίδραση οριζόντιας δύναμης F Το μέτρο της δύναμης είναι F=10Ν Να υπολογίσετε: α το έργο της δύναμης και το μέτρο της γωνιακής ταχύτητας του δίσκου για μετατόπιση του Α κατά 1m β τη στροφορμή τη στιγμή που η μετατόπιση είναι 1m και το ρυθμό μεταβολής της στροφορμής του δίσκου γ τον ρυθμό που προσφέρεται ενέργεια στον δίσκο τη στιγμή που η μετατόπιση είναι 1m δ Τη στιγμή που είναι x=1m, παύει να επενεργεί η δύναμη και ένας μικρός κύβος μάζας m=kg πέφτει με ταχύτητα m/s πάνω στο δίσκο σε απόσταση R/ από το κέντρο του Για το σύστημα να βρείτε το μέτρο της νέας γωνιακής ταχύτητας και την μεταβολή της κινητικής του ενέργειας Πόσος πρέπει να είναι ο συντελεστης τριβής μ min για να μην ολισθήσει το σώμα πάνω στο δίσκο; Δίνεται ότι η ροπή αδράνειας του δίσκου ως προς τον άξονα Κ είναι Ι= MR 3 Δύο ομογενείς ράβδοι είναι κολλημένες στο ένα τους άκρο (Ο), όπως φαίνεται στο σχήμα και περιστρέφεται χωρίς τριβές γύρω από οριζόντιο άξονα που περνά από το (Ο) α Αν το σύστημα αφεθεί ελεύθερο από τη θέση που φαίνεται στο σχήμα, να βρείτε τον ρυθμό μεταβολής της στροφορμής του συστήματος εκείνη τη στιγμή, όπως επίσης και την α γων β Να βρείτε το μέτρο της στροφορμής του συστήματος τη στιγμή που η ΟΑ γίνεται οριζόντια Δίνονται: φ=60 ο m=3kg, l= m, g=10 m/s και ότι η ροπή αδράνειας δοκού ως προς άξονα περιστροφής που περνά από το κέντρο μάζας της, είναι: I =M l /1 4 Η ράβδος ΟΑ του σχήματος, είναι ομογενής μήκους l=4m και βάρους w=50ν Το όριο θραύσης του νήματος ΑΓ είναι 80 Ν Α Να βρεθεί η μεγαλύτερη δυνατή απόσταση d από το σημείο Ο, στην οποία μπορεί να στερεωθεί σφαίρα βάρους μέτρου w 1 =40Ν χωρίς να κοπεί το νήμα Β Αν κοπεί το νήμα, ενώ υπάρχει το σφαιρίδιο, α ποιά είναι η α γων τη στιγμή αυτή; β Να βρεθεί ο ρυθμός μεταβολής της στροφορμής της ράβδου τη αυτή τη χρονική στιγμή γ Ποια είναι η κεντρομόλος επιτάχυνση του σημείου Α όταν η ράβδος γίνει κατακόρυφη; 188
Γενικές ερωτήσεις Γενικές ασκήσεις Κριτήρια αξιολόγησης ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 Η ροπή αδράνειας δοκού ως προς άξονα περιστροφής που διέρχεται από το κέντρο μάζας της, και είναι κάθετη σ αυτή, είναι: I =M l /1 5 Η οριζόντια αβαρής ράβδος του σχήματος έχει μήκος l=1m και μπορεί να στρέφεται γύρω από την άρθρωση Α Στο άκρο της Γ κρέμεται βάρος w= 0 N H ράβδος λειτουργεί ως φρένο στον περιστρεφόμενο τροχό και τον αναγκάζει να σταματήσει Η αρχική γωνιακή ταχύτητα του τροχού είναι ω 0 =40 rad/s Δίνονται: μάζα και ακτίνα τροχού m=5 kg και R=0, m αντίστοιχα, ο συντελεστής τριβής στο σημείο Κ είναι μ= 0,5, d=0,4 m και η ροπή αδράνειας του τροχού ως προς τον άξονα περιστροφής του I=m R Να υπολογίσετε: α την δύναμη που δέχεται η ράβδος ΑΓ από την άρθρωση, β τη γωνιακή επιβράδυνση του τροχού, γ το έργο της ροπής της τριβής 6 Να βρείτε την δύναμη F ώστε η επιτάχυνση του σώματος m να είναι α =4m/s Το νήμα είναι αβαρές, το σώμα m 1 ολισθαίνει και ο κύλινδρος m κυλίεται χωρίς να ολισθαίνει Δίνονται: R = 0, m = 10 kg, m 1 =4 kg, μ=0, μεταξύ οριζοντίου δαπέδου και σωμάτων, η ροπή αδράνειας του κυλίνδρου ως προς τον άξονα περιστροφής του Ι = m R και g = 10 m/s Τη στιγμή s να βρείτε την κεντρομόλο επιτάχυνση του σημείου του κυλίνδρου που είναι σε επαφή με το δάπεδο 7 Μία σφαίρα μάζας m = kg και ακτίνας R = 0,1 m εκτοξεύεται με υ 0 = 5 m/s, από τη βάση κεκλιμένου επιπέδου, γωνίας κλίσης φ=30 ο, προς την κορυφή του Η σφαίρα κυλάει χωρίς να ολισθαίνει Μετά από διάστημα s=,8 m, το κεκλιμένο επιπέδο είναι λείο Να υπολογιστούν: α το μέτρο της ταχύτητας υ της σφαίρας όταν διανύσει το διάστημα,8 m πάνω στο κεκλιμένο επίπεδο β το ολικό διάστημα μέχρι να σταματήσει στιγμιαία η σφαίρα γ το ρυθμό μεταβολής της στροφορμής σε όλη τη διάρκεια της κίνησης m R Δίνονται: I = 5 και g=10 m/s 8 Συμπαγής ομογενής κύλινδρος ακτίνας R και μάζας Μ και συμπαγής σφαίρα ίδιας ακτίνας και μάζας αφήνονται ταυτόχρονα από ύψος h πάνω σε κεκλιμένο επίπεδο γωνίας κλίσης φ Ο κύλινδρος και η σφαίρα κυλίονται χωρίς να ολισθαίνουν α Να αποδείξετε ότι η σφαίρα θα φτάσει γρηγορότερα στη βάση του κεκλιμένου επιπέδου β Να υπολογίσετε: 1 το λόγο της κινητικής ενέργειας της σφαίρας στη βάση του κεκλιμένου επιπέδου προς εκείνη του κυλίνδρου στην ίδια θέση K σφ Κκυλ το λόγο της κινητικής ενέργειας της σφαίρας λόγω περιστροφής στη βάση του κεκλιμένου επιπέδου Κ στρσφ προς εκείνη του κυλίνδρου στην ίδια θέση Κ στρκυλ Δίνονται: η επιτάχυνση της βαρύτητας g=10 m/s, η ροπή αδράνειας του κυλίνδρου ως προς τον 1 άξονά του Ι = MR και η ροπή αδράνειας της σφαίρας ως προς άξονα που περνά από μία διάμετρό της mr I = 5 189
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 Γενικές ερωτήσεις Γενικές ασκήσεις Κριτήρια αξιολόγησης 9 Το κέντρο μάζας συμπαγούς κυλίνδρου μάζας Μ=3 kg είναι δεμένο στην άκρη ενός ιδανικού ελατηρίου σταθεράς k=00 N/m, έτσι ώστε να μπορεί να κινείται οριζόντια χωρίς να ολισθαίνει Η ροπή αδράνειας του κυλίνδρου ως προς τον άξονα του γύρω από τον οποίο περιστρέφεται δίνεται από τη σχέση Ι= M R Επιμηκύνουμε το ελατήριο κατά x 1 =0,3m και το αφήνουμε ελεύθερο Ζητούνται: α Να σχεδιαστούν οι δυνάμεις που δέχεται ο κύλινδρος σε μια τυχαία θέση της κίνησής του καθώς επιταχύνεται β Να υπολογιστεί ο λόγος της κινητικής ενέργειας λόγω μεταφορικής προς την κινητική ενέργεια λόγω περιστροφικής κίνησης γ Να υπολογιστεί η κινητική ενέργεια λόγω περιστροφής και η κινητική ενέργεια λόγω μεταφοράς του κυλίνδρου τη στιγμή που το ελατήριο έχει από τη θέση του φυσικού του μήκους δ Να αποδείξετε ότι το σύστημα εκτελεί αατ και να υπολογίσετε την περίοδό του 10 Το γιο - γιο του σχήματος έχει μάζα m=1 kg, ακτίνα R=6 και αρχικά ηρεμεί Γύρω του είναι τυλιγμένο αβαρές νήμα, του οποίου το ένα άκρο το κρατάει ακίνητο ένας άνθρωπος Το σύστημα αφήνεται ελεύθερο και αρχίζει να πέφτει Να βρείτε: α την επιτάχυνση του σώματος και την τάση του νήματος, β το ρυθμό μεταβολής της στροφορμής του σώματος, γ την κινητική ενέργεια Κ μετ που έχει αποκτήσει σε t=3s, δ τη δύναμη που πρέπει να ασκήσουμε στο νήμα ώστε το γιο - γιο να πεφτει με επιτάχυνση g/ και τη δύναμη που πρέπει να ασκήσουμε στο νήμα ώστε το γιο - γιο να περιστρέφεται μόνο χωρίς να πέφτει Ι =MR 3 11 Η ομογενής ράβδος μήκους l = m και μάζας Μ=4 kg, του σχήματος, μπορεί να περιστρέφεται 4 χωρίς τριβές σε κατακόρυφο επίπεδο, γύρω από οριζόντιο άξονα που είναι κάθετος στο ράβδο και διέρχεται από το ένα άκρο της Στο άλλο άκρο της ράβδου είναι προσκολλημένη σημειακή μάζα m= kg η οποία κινείται μαζί με τη ράβδο Αρχικά η ράβδος βρίσκεται στη θέση (1) και αφήνεται ελεύθερη να κινηθεί Α Να υπολογιστούν: i Η ροπή αδράνειας του συστήματος και η γωνιακή επιτάχυνση του συστήματος ράβδου - μάζας όταν αυτό είναι οριζόντιο ii Η μέγιστη τιμή του ρυθμού μεταβολής της στροφορμής του συστήματος ράβδου - μάζας Β Όταν η ράβδος φτάσει στην κάτω κατακόρυφη θέση της, η μάζα m αποκολλάται από τη ράβδο και κινούμενη οριζόντια, συγκρούεται πλαστικά με σώμα ίσης μάζας που βρίσκεται δεμένο στην ελεύθερη άκρη οριζόντιου ελατηρίου και που έχει το άλλο άκρο του στερεωμένο Το ελατήριο έχει σταθερά k =100N / m και βρίσκεται στο φυσικό του μήκος i Να βρείτε την ταχύτητα του σφαιριδίου στην κατώτερη θέση ii Το πλάτος της ταλάντωσης που θα εκτελέσει το συσσωμάτωμα iii Μετά από πόσο χρόνο μετά την κρούση το ελατήριο θα ξαναβρεθεί στη θέση φυσικού του μήκους Δίνεται Ι =Μ l /1 1 Στο σχήμα, η ομογενής σφαίρα ακτίνας r και μάζας m, αφήνεται στο σημείο Α του κεκλιμένου επιπέδου Εάν το κεκλιμένο επίπεδο και η κυκλική στεφάνη ακτίνας R=,5 m είναι λεία, να υπολογίσετε: α Το ελάχιστο ύψος h του κέντρου της σφαίρας από το έδαφος από το οποίο πρέπει να αφήσουμε την σφαίρα ώστε να κάνει ασφαλή ανακύκλωση 190
Γενικές ερωτήσεις Γενικές ασκήσεις Κριτήρια αξιολόγησης ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 β Στην περίπτωση που στο κεκλιμένο επίπεδο και στην κυκλική στεφάνη αναπτύσσονται δυνάμεις τριβής Θα καταφέρει η σφαίρα κυλιόμενη χωρίς να ολισθαίνει να κάνει μία πλήρη ανακύκλωση αν την αφήσουμε από το ύψος που υπολογίσαμε στο παραπάνω ερώτημα; γ Να υπολογίσετε το νέο ύψος Η από το οποίο πρέπει να αφήσουμε την σφαίρα ώστε να κάνει μία πλήρη ανακύκλωση Δίνεται η ροπή αδράνειας της σφαίρας I = m r 5, g=10 m/s και ότι r <<R 13 Ένα αυτοκίνητο κινείται σε οριζόντιο δρόμο με σταθερή ταχύτητα H ακτίνα των τροχών του αυτοκινήτου είναι 0, m Δύο σημεία Α και Β μιας κατακόρυφης διαμέτρου του ενός τροχού βρίσκονται σε ύψη 0,1m και 0,3m, αντίστοιχα από τον οριζόντιο δρόμο και τα μέτρα των ταχυτήτων τους είναι υ Α =1 m/s και υ Β Nα βρείτε: α το μέτρο της υ και της ω του κάθε τροχού και υ Β β την επιτάχυνση ενός σημείου της περιφέρειας των τροχών γ Αν κάθε τροχός έχει κινητική ενέργεια 30 J και η ροπή αδράνειάς του ως προς τον άξονα περιστροφής του είναι I = mr, πόση είναι η Κ στροφ ; 14 Ο δίσκος μάζας M= kg και ακτίνας R=1 m του σχήματος αρχικά ηρεμεί και μπορεί να στρέφεται γύρω από τον οριζόντιο άξονα Κ χωρίς τριβές Τη στιγμή t=0 αρχίζει να δέχεται την επίδραση οριζόντιας δύναμης F Το μέτρο της ροπής της δύναμης δίνεται από τη σχέση: τ=+ t (SI) α Να γίνει το διάγραμμα τ - t και να υπολογίσετε το μέτρο της στροφορμής τη στιγμή 5 s β To μέτρο της γωνιακής ταχύτητας τη στιγμή 5 s γ To έργο της ροπής μέχρι τη στιγμή 5 s και τo ρυθμό που προσφέρεται ενέργεια στο δίσκο τη στιγμή 5 s Η ροπή αδράνειας του δίσκου προς το κέντρο μάζας του είναι I = mr 15 Ένας τροχός μάζας m= kg και ακτίνας R κυλάει χωρίς να ολισθαίνει σε οριζόντιο δάπεδο, όπως φαίνεται στο σχήμα Ένα λεπτό νήμα είναι τυλιγμένο σε απόσταση x=r/4 από το κέντρο του τροχού Τραβάμε το νήμα με σταθερή δύναμη μέτρου F=1 N To νήμα δεν ολισθαίνει ως προς την τροχαλία Να υπολογίσετε: α την μεταφορική επιτάχυνση του τροχού και το μέτρο της στατικής τριβής, β τις τιμές του συντελεστή τριβής μ s, ώστε ο τροχός να κυλάει, χωρίς να ολισθαίνει στο οριζόντιο δάπεδο γ Το έργο της δύναμης F σε s και το ρυθμό αύξησης της κινητικής ενέργειας εκείνη τη στιγμή Δίνονται η ροπή αδράνειας του τροχού ως προς τον άξονά του I mr και g=10 m/s 16 Το ομογενές στερεό του σχήματος μπορεί να περιστρέφεται χωρίς τριβές γύρω από οριζόντιο άξονα που διέρχεται από το σημείο (Ο) Τη χρονική στιγμή t=0 αφήνεται ελεύθερο να 191
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 Γενικές ερωτήσεις Γενικές ασκήσεις Κριτήρια αξιολόγησης περιστραφεί Δίνονται: η μάζα m = kg, το μήκος L= m, g=10 m/s και η ροπή αδράνειας δοκού ως προς άξονα ML περιστροφής που διέρχεται από το κέντρο μάζας της, ότι είναι I 1 α Να υπολογιστεί η ροπή αδράνειας του στερεού ως προς το σημείο (Ο) β Να βρεθεί το μέτρο της γωνιακής επιτάχυνσης του στερεού τη χρονική στιγμή t=0, όταν έχει περιστραφεί κατά γωνία φ (ημφ=0,6, συνφ=0,8) και όταν έχει περιστραφεί κατά 90 ο γ το μέτρο της στροφορμής του στερεού όταν στραφεί κατά 90 ο 17 Tο σύστημα του σχήματος αφήνεται ελεύθερο να κινηθεί Να βρεί τε τα μέτρα των επι ταχύνσεων των σωμάτων του συστήματος Το αβαρές νήμα δεν ολισθαίνει ως προς την τροχαλία λόγω μεγάλης στατικής τριβής Δίνονται τα μεγέθη: M= 10 kg, R = 0, m 1 = 10 kg, m = 8 kg, μ=0, μεταξύ οριζοντίου δαπέδου και σώματος m, η ροπή αδράνειας της τροχαλίας ως προς τον άξονα περιστροφής της ότι η επιτάχυνση βαρύτητας είναι g=10 m/s mr I και Επίσης να βρείτε τη στροφορμή της τροχαλίας όταν το σώμα Σ 1 έχει πέσει κατά 0, m m M m 18 Tο σύστημα του σχήματος ελατήριο - αβαρές νήμα - τροχαλία - σώμα μάζας m, ισορροπεί Πάνω στο σώμα μάζας m αφήνουμε ένα άλλο σώμα μάζας m 1 Να βρείτε την ταχύτητα των σωμάτων όταν πέσουν κατά h = 0,1 m Επίσης την κινητική ενέργεια της τροχαλίας εκέινη τη στιγμή Δίνονται τα μεγέθη: k=00 N/m, m = kg, m 1 = kg, M = 4 ΜR kg, I =, g=10 m/s και ότι το νήμα δεν ολισθαίνει ως προς την τροχαλία 19 Το όχημα του σχήματος έχει 4 τροχούς και το αφήνουμε να κυλήσει, χωρίς να ολισθαίνουν οι τροχοί, σε κεκλιμένο επίπεδο γωνίας κλίσης φ=30 ο Το αμάξωμα έχει μάζα Μ=10kg, ο κάθε τροχός έχει μάζα m=,5 kg και ακτίνα R=0, m Η ροπή αδράνειας του τροχού ως προς τον άξονά του είναι mr I α Να υπολογιστούν τα μέτρα της επιτάχυνσης α του κέντρου μάζας, της γωνιακής επιτάχυνσης α γων του κάθε τροχού και το μέτρο της στατικής τριβής β την ταχύτητα που έχει αναπτυξει το όχημα σε s Δίνεται g=10 m/s φ υ 0 Tο στερεό του σχήματος είναι δύο κύλινδροι κολλημένοι που μπορεί να περιστρέφεται χωρίς τριβή γύρω από τον άξονά τους z z Oι μάζες των κυλίνδρων είναι M= kg και Μ και οι ακτίνες τους R=10 και R αντίστοιχα Γύρω τους είναι τυλιγμένα αβαρή νήματα στα άκρα των οποίων είναι δεμένα δύο σώματα μαζών m 1 = 4 kg και m = kg Το σύστημα 19
Γενικές ερωτήσεις Γενικές ασκήσεις Κριτήρια αξιολόγησης ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 αφήνεται ελεύθερο από την ηρεμία Να υπολογιστούν: α Η ροπή αδράνειας του στερεού ως προς τον άξονα z z βτα μέτρα των επιταχύνσεων των σωμάτων και της γωνιακής επιτάχυνσης του στερεού γ Το μέτρο της γωνιακής ταχύτητας του στερεού μετά από, 1 s και ο αρι θμός των στροφών που έχει πραγματοποιήσει μέχρι τότε δ Tην κινητική ενέργεια κάθε σώματος τη χρονική στιγμή,1 s Το νήμα δεν ολισθαίνει ως προς τους κυλίνδρους Δίνονται: η ροπή αδράνειας ενός κυλίνδρου ως προς τον άξονα περιστροφής του είναι: mr I και g=10 m/s 1 Σε μια παιδική χαρά υπάρχει μία ακίνητη κυκλική εξέδρα μάζας Μ=80 kg και ακτίνας R=1m, η οποία μπορεί να περιστραφεί περί το κέντρο της χωρίς τριβές Ένα παιδί μάζας m=40 kg τρέχει γύρω - γύρω με ταχύτητα υ=3 m/s και ξαφνικά πηδάει πάνω στην εξέδρα Να βρείτε: α Με ποια γωνιακή ταχύτητα αρχίζει να περιστρέφεται η εξέδρα; Πόση θάναι η συχνότητα περιστροφής αν η ταχύτητα υ έχει τη διεύθυνση μιας ακτίνας της εξέδρας; β Πόση γίνεται η γωνιακή ταχύτητα αν το παιδί κινηθεί και φτάσει σε απόσταση 0,4m από το κέντρο της εξέδρας; Που οφείλεται η διαφορά κινητικής ενέργειας του συστήματος; γ Πόση σταθερή ροπή πρέπει να ασκηθεί στην εξέδρα, στην περίπτωση α, ώστε να σταματήσει να περιστρέφεται μετά από t=s; δ Να βρείτε το έργο της ροπής του ερωτήματος γ Δίνεται η ροπή αδράνειας της εξέδρας Ι =M R / Η δοκός του σχήματος είναι ομογενής βάρους w 1 =00 3 Ν και μήκους l=1m Το σχοινί είναι οριζόντιο και αβαρές Η σφαίρα έχει ακτίνα R βάρος w =40 3 Ν και εφάπτεται στο μέσον της δοκού Aν δεν υπάρχουν τριβές είναι φ=60 ο και το σύστημα ισορροπεί, να υπολογίσετε: α την τάση του νήματος, β τη δύναμη από την άρθρωση γ Αφαιρούμε τη σφαίρα και κόβουμε το νήμα Πόση είναι η στροφορμή της δοκού στην οριζόντια θέση; Η ροπή αδράνειας της δοκού ως προς τον άξονα περιστροφής της είναι επιτάχυνση βαρύτητας είναι g=10 m/s I A m 1 l και η 3 Ένας κύλινδρος μάζας m=kg και ακτίνας R=0,1m αφήνεται να κυλήσει από την κορυφή προς τη βάση κεκλιμένου επιπέδου, γωνίας κλίσης φ=30 ο Ο κύλινδρος κυλάει χωρίς να ολισθαίνει Μετά από διάστημα s=,4 m, το κεκλιμένο επιπέδο γίνεται λείο Να υπολογιστούν: α το μέτρο της ταχύτητας υ του κέντρου μάζας κυλίνδρου και η στροφορμή του, όταν διανύσει το διάστημα,4 m πάνω στο κεκλιμένο επίπεδο β τις τιμές του συντελεστή τριβής για να μην ολισθαίνει ο κύλινδρος, 193
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 Γενικές ερωτήσεις Γενικές ασκήσεις Κριτήρια αξιολόγησης γ την κινητική ενέργεια του κυλίνδρου μετά από s που κινείται πάνω στο λείο δάπεδο, δ να κάνετε το διάγραμμα υ - t για όλη τη διάρκεια της κίνησης Δίνονται: κυλ mr I = και g=10 m/s 4 Ένας τροχός μάζας m= kg και ακτίνας R κυλάει χωρίς να ολισθαίνει σε οριζόντιο δάπεδο, όπως φαίνεται στο παρακάτω σχήμα Ένα λεπτό νήμα είναι τυλιγμένο σε απόσταση x=r/ από το κέντρο του τροχού Τραβάμε το νήμα με σταθερή κατακόρυφη δύναμη μέτρου F=1 N O τροχός κυλάει χωρίς να ολισθαίνει στο οριζόντιο δάπεδο Να υπολογίσετε: α την μεταφορική επιτάχυνση του τροχού και το μέτρο της στατικής τριβής, β τις τιμές του συντελεστή τριβής μ s, ώστε ο τροχός να κυλάει, χωρίς να ολισθαίνει στο οριζόντιο δάπεδο γ το έργο της δύναμης όταν ο κύλινδρος μετατοπιστεί 1m, δ τον ρυθμό που προσφέρεται έργο στον κύλινδρο τη χρονική στιγμή s Δίνονται: η ροπή αδράνειας του τροχού ως προς τον άξονά του I mr και g= 10m/s 5 Ο τροχός του σχήματος αφήνεται ελεύθερος να κινηθεί Το αβαρές νήμα δεν ολισθαίνει ως προς τον τροχό λόγω μεγάλης στατικής τριβής Το κεκλιμένο επίπεδο είναι λείο Δίνονται τα μεγέθη: R = 10, M = 4 kg, x=r/, η ροπή αδράνειας της τροχαλίας ως προς τον άξονα περιστροφής της ΜR I, g=10 m/s, ημφ = 0,6, συνφ = 0,8 α Να υπολογίσετε την επιτάχυνση του κέντρου μάζας του τροχού β Να υπολογίσετε τα μέτρα των ταχυτήτων των σημείων Α, Κ και Β του τροχού τη χρονική στιγμή s γ Να υπολογίσετε τον λόγο Κ Κ μετ στρ 6 α Για το σύστημα του σχήματος να βρείτε τα μέτρα των επιταχύνσεων των σωμάτων του συστήματος Το αβαρές νήμα δεν ολισθαίνει ως προς την τροχαλία λόγω μεγάλης στατικής τριβής Ο τροχός κυλίεται χωρίς να ολισθαίνει Δίνονται τα μεγέθη: R = 10, Μ=m 1 = 10 kg =m, R = 0, η ροπή αδράνειας 194
Γενικές ερωτήσεις Γενικές ασκήσεις Κριτήρια αξιολόγησης ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ΜR της τροχαλίας ως προς τον άξονα περιστροφής της I = και η ροπή αδράνειας του τροχού ως προς τον άξονα περιστροφής του I m R, g=10 m/s β Να υπολογίσετε το έργο της τάσης του νήματος που ασκείται στον τροχό σε s 7 α Για το σύστημα του σχήματος να βρείτε τα μέτρα των επιταχύνσεων των σωμάτων του συστήματος Τα αβαρή νήματα δεν ολισθαίνουν ως προς την τροχαλία λόγω μεγάλης στατικής τριβής Η στεφάνη μάζας m κυλίεται χωρίς να ολισθαίνει Δίνονται τα μεγέθη: R = 10, Μ = m 1 = kg = m, R = 0, η ροπή αδράνειας της τροχαλίας ως προς τον άξονα περιστροφής της Ι=Μ R και η ροπή αδράνειας του τροχού ως προς τον άξονα περιστροφής του I m R, g=10 m/s β Να υπολογίσετε το έργο της τάσης του νήματος που ασκείται στη στεφάνη σε s γ τον αριθμό των στροφών τραχαλίας και στεφάνης σε s 8 α Για το σύστημα του σχήματος να βρείτε τα μέτρα των επιταχύνσεων των σωμάτων του συστήματος Το αβαρές νήμα δεν ολισθαίνει ως προς τον κύλινδρο, ο οποίος κυλίεται χωρίς να ολισθαίνει Δίνονται τα μεγέθη: R = 10, m 1 =m = kg, η ροπή αδράνειας του κυλίνδρου ως m R προς τον άξονα περιστροφής του I και g=10 m/s β Να υπολογίσετε το έργο της τάσης του νήματος που ασκείται στον κύλινδρο σε s γ Να υπολογίσετε το μέτρο της στροφορμής του κυλίνδρου τη χρονική στιγμή s 9 Ένας δακτύλιος έχει μάζα kg και ακτίνα 0,4m Συγκρατείται σε άρθρωση Ο τέτοια ώστε να μην παρουσιάζει τριβές και η ακτίνα ΚΟ να είναι οριζόντια Αφήνεται να κινηθεί ελέυθερα Στο οριζόντιο δάπεδο που απέχει απόσταση ελάχιστα μεγαλύτερη της ακτίνας από το κατώτερο σημείο του δακτυλίου, ηρεμεί μικρή σφαίρα μάζας m=0,5 kg H κρούση είναι πλαστική α Να υπολογίσετε την ροπή αδράνειας του δακτυλίου ως προς άξονα περιστροφής του 195
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 Γενικές ερωτήσεις Γενικές ασκήσεις Κριτήρια αξιολόγησης β Να υπολογίσετε το μέτρο της ταχύτητας του σημείου Κ πριν και αμέσως μετά την κρούση γ Να βρείτε το ποσοστο επί τοις % της αρχικής ενέργειας του δακτυλίου που έγινε θερμότητα κατά την κρούση Δίνεται g=10 m/s 30 Στο µέσον ενός κυλίνδρου µάζας Μ=0 kg, ο οποίος συγκρατείται σε κεκλιµένο επίπεδο, κλίσεως θ=30, υπάρχει µια µικρή εγκοπή στην οποία έχουµε τυλίξει ένα αβαρές νήµα, το οποίο αφού περάσουµε από µια αβαρή τροχα λία, στο άλλο άκρο του δένουµε ένα σώµα Σ µάζας m=,5 kg, όπως στο σχήµα Αφήνουµε το σύστηµα ελεύθερο να κινηθεί Αν το τµήµα του νήµατος µεταξύ κυλίνδρου και τροχαλίας, είναι παράλληλο µε το κεκλιµένο επίπεδο, ο συντελεστής τριβής µεταξύ κυλίνδρου και επιπέδου είναι µ=µ s =0,4, η επιτάχυνση της βαρύτητας g = 10 m/ s, ενώ η ροπή αδράνειας του κυλίνδρου ως προς τον άξονά του έχει ανέβει κατά 1m ΜR I = να υπολογίσετε: α την επιτάχυνση του σώµατος Σ, β το ρυθµό µεταβολής της στροφορµής του κυλίνδρου, ως προς τον άξονά του, αν η ακτίνα του είναι R=0,7m, γ την κινητική ενέργεια του κυλίνδρου τη στιγµή που το σώµα Σ 31 Σώμα Σ μάζας 4 kg είναι στερεωμένο στο άκρο νήματος το οποίο περνά από τροχαλία και το άλλο άκρο του είναι στερεωμένο σε ελατήριο, όπως φαίνεται στο σχήμα Η τροχαλία έχει μάζα kg και ακτίνα 5, ενώ η σταθερά του ελατηρίου είναι k = 80Ν/m ΜR Δίνεται η ροπή αδράνειας τροχαλίας I = και η επιτάχυνση της βαρύτητας g = 10 m/s Αρχικά το σώμα και η τροχαλία ισορροπούν με το σχοινί τεντωμένο α Να βρεθεί η επιμήκυνση x 0 του ελατηρίου στην θέση ισορροπίας του συστήματος β Φέρουμε το σώμα Σ στη θέση που το ελατήριο έχει αποκτήσει το φυσικό του μήκος και την χρονική στιγμή t=0 το αφήνουμε ελεύθερο Ν αποδείξετε ότι το Σ θα εκτελέσει απλή αρμονική ταλάντωση πάνω στον κατακόρυφο άξονα με εξίσωση απομάκρυνσης y=0,5 ημ(4t+π/) (SI) (Θεωρούμε την φορά κίνησης προς τα πάνω θετική και ότι κατά τη διάρκεια περιστροφής της τροχαλίας το σχοινί δεν γλιστράει μέσα στο αυλάκι της Επίσης δεν υπάρχουν απώλειες ενέργειας λόγω τριβών ή αντίστασης του αέρα) γ i) Να υπολογίσετε την ταχύτητα του σώματος Σ τη στιγμή που αυτό θα βρεθεί 0,m κάτω από την αρχική του θέση για πρώτη φορά ii) Να βρείτε τη χρονική στιγμή t 1 που η τροχαλία αποκτά την μέγιστη κινητική ενέργεια για πρώτη φορά και να υπολογίσετε την τιμή της 3 Στερεό (Π) συνολικής μάζας M=5 kg αποτελείται από ομογενείς ομοαξονικούς κυλίνδρους Οι εξωτερικοί κύλινδροι έχουν ακτίνα R=1m και εφάπτονται σε παράλληλες ακλόνητες σιδηροτροχιές που βρίσκονται στο ίδιο οριζόντιο επίπεδο Ο εσωτερικός κύλινδρος έχει ακτίνα R και είναι τυλιγμένος με αβαρές μη εκτατό νήμα μεγάλου μήκους Ενώ το στερεό (Π) ηρεμεί, εφαρμόζουμε στο ελεύθερο άκρο του νήματος σταθερή οριζόντια δύναμη μέτρου F=0 Ν, όπως φαίνεται στο σχήμα Το νήμα ξετυλίγεται χωρίς να γλιστράει παραμένοντας οριζόντιο και οι εξωτερικοί κύλινδροι κυλίονται χωρίς ολίσθηση επάνω στις σιδηροτροχιές 196
Γενικές ερωτήσεις Γενικές ασκήσεις Κριτήρια αξιολόγησης ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 Η ροπή αδράνειας του στερεού (Π) ως προς τον άξονά του είναι I=MR O εσωτερικός κύλινδρος δεν εφάπτεται στις σιδηροτροχιές Να υπολογίσετε: α την μετατόπιση του κέντρου μάζας Κ του στερεού (Π), για κάθε ένα μέτρο νήματος που ξετυλίγεται β τη μεταφορική επιτάχυνση του στερεού (Π) και το μέτρο της στατικής τριβής που δέχεται το στερεό από κάθε σιδηροτροχιά γ το μέτρο της στροφορμής σπιν του στερεού (Π), τη χρονική στιγμή που η παρεχόμενη ισχύς σε αυτό έχει τιμή P = 10W δ το μέτρο της ταχύτητας του ανώτερου σημείου Α του στερεού (Π) τη χρονική στιγμή s 33 Δύο ομογενείς ελαστικές πρισματικές ράβδοι με αμελητέο πλάτος, η ΟΑ και η ΟΒ, έχουν τις ίδιες ακριβώς διαστάσεις και μάζες αντίστοιχα Μ ΟΑ = Μ 1 = 1 kg και Μ ΟΒ = Μ = 3 kg Το μήκος κάθε ράβδου είναι L= 1, m και οι δύο ράβδοι μπορούν (λόγω του αμελητέου πλάτους τους) να στρέφονται χωρίς τριβές στο ίδιο κατακόρυφο επίπεδο γύρω από οριζόντιο άξονα που περνά από το κοινό τους άκρο Ο και είναι κάθετος στη διεύθυνσή τους Κρατάμε αρχικά τις ράβδους στην οριζόντια διεύθυνση (1) και τις αφήνουμε ελεύθερες ταυτόχρονα χωρίς αρχική ταχύτητα, οπότε κάποια στιγμή οι ράβδοι συγκρούονται ελαστικά α Να αποδείξετε ότι οι δύο ράβδοι φτάνουν ταυτόχρονα στην κατακόρυφη διεύθυνση, όπου και συγκρούονται β Θεωρώντας ότι η κρούση των δύο ράβδων αρχίζει και τελειώνει στην κατακόρυφη διεύθυνση (δηλ δε στρέφονται όσο διαρκεί η κρούση τους), να υπολογίσετε τα μέτρα των γωνιακών τους ταχυτήτων αμέσως μετά την κρούση γ Ποια είναι η μέση (κατά μέτρο) ροπή που δέχθηκε η ράβδος ΟΑ κατά την κρούση, αν η χρονική διάρκεια της κρούσης αυτής είναι Δt = 0,05 s δ Να εξετάσετε αν, μετά την κρούση, η ράβδος ΟΑ θα πραγματοποιήσει, ανακύκλωση Δίνονται: Η επιτάχυνση της βαρύτητας g=10 m/s και η ροπή αδράνειας ομογενούς πρισματικής ράβδου μάζας Μ και μήκους L, ως προς άξονα κάθετο στη διεύθυνσή της και διερχόμενο από το ένα άκρο της ΜL I = 3 197
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 Γενικές ερωτήσεις Γενικές ασκήσεις Κριτήρια αξιολόγησης 34 Ομογενής μεταλλική ράβδος μήκους L=1 m κατασκευάζεται με πήξη μετάλλου σε καλούπι Κατά την κανονική διαδικασία η ράβδος που παράγεται έχει μάζα M=3 kg Στη συγκεκριμένη περίπτωση όμως μια φυσαλίδα αέρα (αμελητέων διαστάσεων σε σχέση με τις διαστάσεις της ράβδου) εγκλωβίστηκε κατά την πήξη του μετάλλου στο καλούπι μέσα στον όγκο της ράβδου, σε απόσταση x=3l/4 από την άκρη Ο της ράβδου Έτσι, η ράβδος που παράχθηκε έχει μάζα μειωμένη κατά m =0, kg, σε σχέση με την κανονική H ράβδος στερεώνεται στην άκρη της Ο και τοποθετείται σε οριζόντια θέση (Α) Στη συνέχεια αφήνεται να κινηθεί στο κατακόρυφο επίπεδο Η ροπή αδράνειας της ράβδου ως προς άξονα που διέρχεται από το κέντρο μάζας της, αν δεν είχε τη φυσαλίδα, θα ήταν ΜL I = 1 Βρείτε τη γωνιακή ταχύτητα περιστροφής της ράβδου μόλις φτάσει στην κατώτερη θέση της Δίνεται g=10m/s m R 35 Η τροχαλία µε µάζα m ακτίνα R και ροπή αδράνειας I = του διπλανού σχήµατος, περιστρέφεται δεξιόστροφα µε τη βοήθεια ενός κινητήρα Η ένδειξη του δυναµόµετρου είναι 6mg F = 5 Το σχοινί και το δυναµόµετρο έχουν αµελητέα µάζα Επίσης, το σχοινί δεν ολισθαίνει πάνω στην τροχαλία και είναι µη εκτατό Υπολογίστε τη ροπή που δέχεται η τροχαλία από τον κινητήρα ως συνάρτηση των μεγεθών m,g,r 36 Δύο σφαιρίδια με μάζες m 1 =m =m είναι δεμένα στα άκρα αβαρούς μη εκτατού νήματοςτο οποίο διέρχεται από οπή σε λείο οριζόντιο δάπεδο όπως φαίνεται στο σχήμα Το σφαιρίδιο μάζας m 1 απέχει από την οπή απόσταση R και του δίνουμε ταχύτητα μέτρου υ 0, κάθετη στην ακτίνα R α Να δείξετε ότι υ 0 = g R, ώστε το σφαιρίδιο μάζας m να ισορροπεί β Στο σφαιρίδιο μάζας m 1 δίνουμε ταχύτητα μέτρου υ 0 = g R Να βρείτε το μέγιστο ύψος που θα ανέλθει το σφαιρίδιο μάζας m, σε συνάρτηση με την R Δεν υπάρχουν τριβές 5 =, 37 Ένα γιογιό είναι κατασκευασμένο από δύο ομογενείς ορειχάλκινους δίσκους μάζας Μ= kg και ακτίνας R=0,3m ο καθένας Οι δίσκοι συνδέονται στα κέντρα τους με ένα κοντό κύλινδρο ακτίνας 198
Γενικές ερωτήσεις Γενικές ασκήσεις Κριτήρια αξιολόγησης ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 R 0 =0,1m και αμελητέας μάζας Δίνεται ότι η ροπή αδράνειας δίσκου ως προς άξονα που περνά 1 από το κέντρο μάζας του και είναι κάθετος στο επίπεδο του είναι I = MR α Ποια είναι η ροπή αδράνειας του γιογιό ως προς άξονα που περνά από τα κέντρα των δίσκων; β Ένα πολύ λεπτό νήμα είναι τυλιγμένο στον κύλινδρο Το γιογιό αφήνεται από την ηρεμία, όπως φαίνεται στο σχήμα, και κατεβαίνει προς το έδαφος Ποια θα είναι η επιτάχυνση του κέντρου μάζας του γιογιό; γ Σε 1,1 s να βρείτε την στροφορμή του γιογιό και τα μέτρα των ταχυτήτων των σημείων Α, Β, Γ και Δ Δίνεται η επιτάχυνση λόγω της βαρύτητας g=10m/s 199