Εισαγωγή στο Mathematica Συντακτικοί κανόνες, βασικές συναρτήσεις και σύμβολα Το Mathematica είναι ένα λογισμικό το οποίο εγκαθιστά στον υπολογιστή ένα διαδραστικό μαθηματικό περιβάλλον. Το περιβάλλον αυτό είναι interactive(ερώτηση-απάντηση), η εκτέλεση μιας εντολής και το αποτέλεσμα της καταχωρείται στο περιβάλλον ως input και output αντίστοιχα. Όλες οι εντολές που είναι ενσωματωμένες στο Mathematica αρχίζουν με κεφαλαίο γράμμα, τα ορίσματα τους τοποθετούνται εντός αγκύλων [ ] και χωρίζονται με κόμμα. Η δομή των εντολών έχουν την ακόλουθη μορφή ΌνομαΕντολής[Όρισμα1,Όρισμα2, ] Για να εκτελεστεί η εντολή πληκτρολογούμε Shift+Enter. Το Help που διαθέτει το Mathematica, μας δίνει την σωστή σύνταξη της εντολής και είναι πλούσιο σε παραδείγματα. Το Help μιας εντολής ενεργοποιείται με την ακόλουθη εντολή
Οι κοινές παρενθέσεις ( ) χρησιμοποιούνται στο Mathematica για να περικλείσουν τμήματα ενός μαθηματικού τύπου, ενώ τα άγκιστρα{ } για να περικλείσουν ομάδες ομοειδών στοιχείων που θεωρείται ότι συγκροτούν μια διατεταγμένη ομάδα αντικειμένων, όπως για παραδείγματα τα διανύσματα. Οι ομάδες αυτές ονομάζονται λίστες Στους ακόλουθους πίνακες παραθέτουμε τις βασικές πράξεις και συναρτήσεις που διαθέτει το Mathematica, καθώς και τα σύμβολο που χρησιμοποιούμε για συγκεκριμένους «αριθμούς». Σε αυτό το σημείο σημειώνουμε ότι τα σύμβολα και η ονομασία εντολών όπως οι ακόλουθες που χρησιμοποιεί το Mathematica είναι δεσμευμένα, δηλαδή δεν μπορούν να χρησιμοποιηθούν για τον ορισμό κάποιας άλλης συνάρτησης ή εντολής. ΠΡΑΞΗ- ΣΥΜΒΟΛΟ ΣΤΟ Mathematica ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ Πρόσθεση + Αφαίρεση - Πολλαπλασιασμός * Διαίρεση / Ύψωση σε x^n δύναμη( x n ) Τριγωνομετρικές συναρτησεις Εκθετικό, Λογάριθμος Υπερβολικές συναρτήσεις Αντίστροφες τριγωνομετρικές Απόλυτη τιμή του x Sin[x],Cos[x],Tan[x] Exp[x],Log[x] Sinh[x],Cosh[x],Tanh[x] ArcSin[x],ArcCos[x],ArcTan[x] Abs[x] «ΑΡΙΘΜΟΣ» e i ΣΥΜΒΟΛΟ ΣΤΟ Mathematica Pi Ε Ι Infinity Η ακόλουθη εντολή μας δίνει την τιμή του αριθμού expr με ακρίβεια n ψηφίων. N[expr, n]
Ορισμός και γραφική παράσταση συναρτήσεων Για να ορίσουμε μια συνάρτηση επιλέγουμε ένα μη δεσμευμένο σύμβολο(π.χ. f) Τοποθετούμε τα ορίσματα της συνάρτησης μέσα σε αγκύλες με τον εξής κανόνα, κάθε μεταβλητή συνοδεύεται από μια κάτω παύλα και μεταξύ τους χωρίζονται με κόμμα (π.χ x_,y_). Έπειτα χρησιμοποιούμαι το σύμβολο = και γράφουμε τον δεδομένη κανόνα που θα εκτελεί η συνάρτηση. f[x_,y_]= Δεδομένος κανόνας To πακέτο Mathematica έχει πολλές σχεδιαστικές δυνατότητες, εμείς στο παρών θα αναφερθούμε μόνο στην εντολή Plot με χρήση της οποίας μπορούμε να σχεδιάσουμε την γραφική παράσταση συναρτήσεων. Για την εντολή Plot απαιτούνται 2 τουλάχιστον ορίσματα. Στο πρώτο όρισμα τοποθετούμε την συνάρτηση ή τις συναρτήσεις(υπό μορφή λίστας) ενώ στο δεύτερο τοποθετούμε την ονομασία της ανεξάρτητης μεταβλητής και τα άκρα του διαστήματος στο οποίο θα γινει η σχεδίαση. Plot[{f1, f2,... }, {x, xmin, xmax}] Η εντολή Plot διαθέτει και περισσότερες μεταβλητές όπως το PlotRange->{a,b} το οποίο δίνει το διάστημα των τιμών της γραφικής παράστασης. Διαφορικός και ολοκληρωτικός λογισμός Οι βασικοί τελεστές της παραγώγισης και της ολοκλήρωσης δίνονται στο Mathematica με τις εντολές D και Integrate.
Στην εντολή D, το πρώτο όρισμα αφορά την συνάρτηση την οποία επιθυμούμε να παραγωγίσουμε και το δεύτερο την μεταβλητή ως προς την οποία θα γίνει η παραγώγιση. Αν επιθυμούμε η παραγώγιση ως προς την συγκεκριμένη μεταβλητή να γίνει περισσότερες από μια φορές τότε τοποθετούμε σαν όρισμα την λίστα που περιέχει την ανεξάρτητη μεταβλητή και τον αριθμό των παραγωγίσεων D[f, {x, n}] Η εντολή Ιntegrate χρησιμοποιείται για τον υπολογισμό του αόριστου και του ορισμένου ολοκληρώματος μιας συνάρτησης. Οι δομές για την υλοποιήση αυτών είναι οι ακόλουθες. Integrate[f,x] και Ιntegrate[f,{x,a,b}] Όπου το f υποδηλώνει την υπο ολοκήρωση ποσότητα, το x την μεταβλητη ως προς την οποία γίνεται η ολοκλήρωση και τα a,b τα άκρα ολοκήρωσης. Λογισμός πινάκων Το πακέτο Mathematica διαθέτει αρκετές συναρτήσεις ο οποίες υπολογίζουν θεμελιώδεις ποσότητες πινάκων, όπως ο αντίστροφος πινακας(inverse), οι ιδιοτιμές(eigenvalues) τα ιδιοδιανύσματα(eigenvectors) και η ορίζουσα(det). Για την εισαγωγή ενός πίνακα κάνουμε διαδοχική χρήση των άγκιστρων. Συγκεκριμένα τα στοιχεία κάθε γραμμής του πίνακα περιέχονται μέσα σε δύο άγκιστρα και οι γραμμές του πίνακα χωρίζονται μεταξύ του με κόμματα. Με την εντολή MatrixForm μπορούμε να δούμε την λίστα που δημιουργήσαμε υπό μορφή πίνακα.
Επίλυση διαφορικών εξισώσεων Μια από τις σημαντικότερες εφαρμογές του Mathematica είναι η ποιοτική και ποσοτική μελέτη των διαφορικών εξισώσεων. Το Mathematica διαθέτει μια πολύ πλούσια βιβλιοθήκη εντολών με την οποία μπορεί να επιλυθεί αναλυτικά η πλειοψηφία των επιλήσμων διαφορικών εξισώσεων. Πέραν αυτού όμως παρέχει την δυνατότητα αριθμητικής επίλυσης τους, επίσης οι σχεδιαστικές δυνατότητες του πακέτου χρησιμοποιούνται για την μελέτης της δυναμικής των συστημάτων. Η εντολή DSolve χρησιμοποιείται για την αναλυτική επίλυση διαφορικών εξισώσεων. DSolve[eqn, y, x] Στην παραπάνω δομή της εντολής το όρισμα eqn περιέχει την διαφορική εξίσωση όπου η ισότητα δίνεται μέσω του λογικού τελεστή του Mathematica ==. To όρισμα y αντιστοιχεί στην άγνωστη συνάρτηση της εξίσωσηε και το x στην ανεξάρτητη μεταβλητή.
Στην περίπτωση που θέλουμε να επιλύσουμε ένα πρόβλημα αρχικών τιμών, τότε στο πρώτο όρισμα γράφουμε την διαφορική εξίσωση και τις αρχικές συνθήκες υπό μορφή λίστας: DSolve[{eqn, incond},y, x] Για την επίλυση διαφορικών συστημάτων, τοποθετούμε στο πρώτο όρισμα υπό μορφή λίστας τις διαφορικές εξισώσεις και τις πιθανές αρχικές συνθήκες και στο δεύτερο όρισμα τις άγνωστες συναρτήσεις υπό μορφή λίστας. DSolve[{eqn1, eqn2,incond1,incond2},{y,z}, x]