Ευχαριστίες Δύο λόγια από την συγγραφέα... 17
|
|
|
- Λυσιμάχη Μεσσηνέζης
- 9 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 Περιεχόμενα Ευχαριστίες Δύο λόγια από την συγγραφέα ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1. Το σύνολο των πραγματικών αριθμών Σύνολα αριθμών Αλγεβρική δομή του R Ιδιότητες πρόσθεσης Ιδιότητες πολλαπλασιασμού Ιδιότητες διάταξης Βοηθητικές προτάσεις Πληρότητα πραγματικών αριθμών Ασκήσεις για εξάσκηση ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2. Συναρτήσεις Η έννοια της συνάρτησης Πράξεις με συναρτήσεις Χαρακτηριστικές συναρτήσεις Αντίστροφη συνάρτηση Γραμμικές και μη γραμμικές συναρτήσεις Γραμμικές συναρτήσεις Μη γραμμικές συναρτήσεις Τετραγωνικές συναρτήσεις Κυβικές συναρτήσεις Εκθετικές και λογαριθμικές συναρτήσεις Εκθετική συνάρτηση Λογαριθμική συνάρτηση Τριγωνομετρικές συναρτήσεις Βασικές τριγωνομετρικές συναρτήσεις Αντίστροφες τριγωνομετρικές συναρτήσεις Συνάρτηση ζήτησης και προσφοράς Συνάρτηση ζήτησης Συνάρτηση προσφοράς Ισορροπία της αγοράς Συνάρτηση κατανάλωσης Τετραγωνικές οικονομικές συναρτήσεις Τετραγωνικές συναρτήσεις προσφοράς και ζήτησης Τετραγωνική συνάρτηση κόστους Κυβικές οικονομικές συναρτήσεις Η κυβική συνάρτηση κόστους Το υπόδειγμα του εθνικού εισοδήματος Ασκήσεις για εξάσκηση... 74
2 6 Οικονομικά Μαθηματικά ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3. Όρια και συνέχεια συναρτήσεων Έννοια ορίου συνάρτησης Υπολογισμός ορίων Βασικά θεωρήματα Πλευρικά όρια Πεπερασμένα όρια στο άπειρο και άπειρα όρια Πεπερασμένα όρια στο άπειρο Πράξεις με περασμένα όρια στο άπειρο Άπειρα όρια Συνέχεια συναρτήσεων Η έννοια της συνάρτησης Χαρακτηριστικές συνεχείς συναρτήσεις Σημαντικά θεωρήματα της συνέχειας Ασκήσεις για εξάσκηση ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4. Ακολουθίες, σειρές και χρηματοοικονομικές μεταβολές Η έννοια της ακολουθίας Όρια ακολουθιών και σύγκλιση Χαρακτηριστικές ιδιότητες ακολουθιών Η έννοια της υπακολουθίας Αποκλίνουσες ακολουθίες Σημαντικά όρια χωρίς αποδείξεις Το θεώρημα μεταφοράς Σειρές Αριθμητική και γεωμετρική σειρά Η έννοια των σειρών στο μοντέλο εθνικού εισοδήματος Απλό επιτόκιο και επιτόκιο ανατοκισμού Παρούσα αξία προεξόφλησης Παρούσα αξία μελλοντικών πληρωμών Αποπληρωμή δανείου Ασκήσεις για εξάσκηση ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5. Παράγωγος συνάρτηση Η έννοια του ρυθμού μεταβολής Η έννοια της παραγώγου Οι γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων αυτών φαίνονται αναλυτικά παρακάτω Ορισμός παραγώγου Πλευρικές παράγωγοι Παραγωγισιμότητα και Συνέχεια Η παράγωγος στην οικονομική επιστήμη Κανόνες παραγώγισης Παραγώγιση σύνθετης συνάρτησης Κανόνας αλυσίδας Κανόνας παραγώγισης αντίστροφης συνάρτησης Κανόνες παραγώγισης τριγωνομετρικών συναρτήσεων Κανόνες παραγώγισης λογαριθμικών και εκθετικών συναρτήσεων
3 Περιεχόμενα Εκθετική συνάρτηση Λογαριθμική συνάρτηση Διαφορικό συνάρτησης Διαφορικά ανώτερων τάξεων Διακριτός και συνεχής ρυθμός αύξησης οικονομικών μεγεθών Η παράγωγος ως εργαλείο χαρακτηρισμού μονοτονίας συναρτήσεων Ακρότατα συνάρτησης Συνέχεια και Ακρότατα Μεθοδολογία εύρεσης ακρότατων Η δεύτερη παράγωγος ως εργαλείο χαρακτηρισμού σημείων γραφικής παράστασης Βασικά θεωρήματα παραγωγίσιμων συναρτήσεων Απροσδιόριστες μορφές Ασύμπτωτες ευθείες συνάρτησης Μελέτη συνάρτησης Μερικά παραδείγματα ακόμη Ασκήσεις για εξάσκηση ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6. Παράγωγοι και οικονομικές συναρτήσεις Παράγωγος και οικονομικές συναρτήσεις κόστους Μέσο κόστος Οριακό κόστος Σχέση ανάμεσα σε μέσο κόστος και οριακό κόστους Παράγωγος και συναρτήσεις εσόδων Συνολικά και οριακά έσοδα Συνολικά έσοδα σε καθεστώς μονοπωλίου Οριακά έσοδα σε καθεστώς μονοπωλίου Σχέση ανάμεσα σε συνολικά και οριακά έσοδα Σχέση ανάμεσα σε συνολικά και οριακά έσοδα σε καθεστώς τέλειου ανταγωνισμού Μεγιστοποίηση κέρδους Μεγιστοποίηση κέρδους σε καθεστώς μονοπωλίου Μεγιστοποίηση κέρδους σε καθεστώς τέλειου ανταγωνισμού Ισορροπία αγοράς σε καθεστώς τέλειου ανταγωνισμού και μονοπωλίου Ελαστικότητα Τοξοειδής ελαστικότητα προσφοράς Σημειακή ελαστικότητα προσφοράς Τοξοειδής ελαστικότητα ζήτησης Σημειακή ελαστικότητα ζήτησης Ελαστικότητα ζήτησης, οριακά έσοδα εταιρείας και κανόνας παραγώγισης αλυσίδας Ελαστικότητα Ζήτησης σε αγορά τέλειου ανταγωνισμού Ελαστικότητα συνάρτησης ολικού κόστους Ελαστικότητα συνάρτησης ολικής κατανάλωσης Ασκήσεις για εξάσκηση ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7. Ολοκληρωτικός λογισμός Η έννοια του αόριστου ολοκληρώματος
4 8 Οικονομικά Μαθηματικά 7.2 Στοιχειώδη αόριστα ολοκληρώματα Κανόνες ολοκλήρωσης αόριστου ολοκληρώματος Τεχνικές ολοκλήρωσης Τεχνική 1: Παραγοντική Ολοκλήρωση Τεχνική 2: Μέθοδος αντικατάστασης Τεχνική 3: Ολοκλήρωση ρητών συναρτήσεων Τεχνική 4: Τριγωνομετρικές συναρτήσεις και αντικατάσταση Τεχνική 5: Αναγωγικοί τύποι Η έννοια του ορισμένου ολοκληρώματος ή αλλιώς του ολοκληρώματος Riemann Ιδιότητες ορισμένων ολοκληρωμάτων Θεμελιώδη θεωρήματα απειροστικού λογισμού Ο ολοκληρωτικός λογισμός στην οικονομική επιστήμη Ασκήσεις για εξάσκηση ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8. Στοιχεία γραμμικής άλγεβρας Οι έννοιες του γραμμικού ή διανυσματικού χώρου Η έννοια του πίνακα και είδη πινάκων Πράξεις με πίνακες Ορίζουσες πινάκων Υπολογισμός αντίστροφου πίνακα Γραμμικά συστήματα εξισώσεων Επίλυση γραμμικών συστημάτων Ιδιοτιμές και ιδιοδιανύσματα Διαγωνίσιμοι πίνακες Εφαρμογή πινάκων στη μακροοικονομική Το μοντέλο του εθνικού εισοδήματος Το μοντέλο του εισοδήματος σε κλειστή οικονομία Το μοντέλο των εισροών και εκροών Ασκήσεις για εξάσκηση ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9. Συναρτήσεις πολλών μεταβλητών Συναρτήσεις πολλών μεταβλητών και η έννοια του n-διάστατου χώρου Ισοσταθμικές καμπύλες Όρια και συνέχεια συναρτήσεων πολλών μεταβλητών Μερικές παράγωγοι συναρτήσεων πολλών μεταβλητών Παράγωγοι ανώτερης τάξης Μερικές παράγωγοι δεύτερης τάξης Μεικτές μερικές παράγωγοι δεύτερης τάξης Κανόνας αλυσιδωτής παραγώγισης Ολικό διαφορικό συνάρτησης Πεπλεγμένες συναρτήσεις Μερικές παράγωγοι πεπλεγμένων συναρτήσεων και ιακωβιανή ορίζουσα Ακρότατα και σαγματικά σημεία συνάρτησης Mέθοδος πολλαπλασιαστών Lagrange Ασκήσεις για εξάσκηση
5 Περιεχόμενα 9 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 10. Οικονομικές εφαρμογές συναρτήσεων πολλών μεταβλητών Η συνάρτηση παραγωγής Οριακός βαθμός υποκατάστασης Οριακό προϊόν εργασίας Νόμος φθινουσών αποδόσεων παραγωγικότητας Μέση παραγωγικότητα εργασίας Ψευδο-βραχυπρόθεσμη συνάρτηση παραγωγής Η συνάρτηση παραγωγής Cobb Douglas Χαρακτηριστικά της συνάρτησης παραγωγής Η κλίση της ισοσταθμικής καμπύλης ποσότητας Η κυρτότητα της ισοσταθμικής καμπύλης ποσότητας Η συνάρτηση χρησιμότητας Χαρακτηριστικά της συνάρτησης χρησιμότητας Η κλίση της καμπύλης αδιαφορίας Η κυρτότητα της καμπύλης αδιαφορίας Ισορροπία αγοράς και πολλαπλασιαστής Keynes Πολλαπλασιαστής Keynes Η καμπύλη επενδύσεων IS Ελαχιστοποίηση κόστους Μεγιστοποίηση κέρδους Μεγιστοποίηση χρησιμότητας από καταναλωτή Απόδοση κλίμακας Ομογενείς συναρτήσεις Ιδιότητες ομογενών συναρτήσεων Μερική ελαστικότητα Μερική ελαστικότητα ζήτησης Ελαστικότητα υποκατάστασης Ασκήσεις για εξάσκηση Βιβλιογραφία Ευρετήριο όρων Γλωσσάρι
6
7 Κατάλογος Σχημάτων Σχήμα 1.1: Ο άξονας των πραγματικών αριθμών Σχήμα 1.2 Ανοιχτά και κλειστά διαστήματα Σχήμα 1.3: Απειροδιαστήματα Σχήμα 2.1: Συνάρτηση Σχήμα 2.2: Αντιστοιχίσεις που δεν είναι συναρτήσεις Σχήμα 2.3: Σύνθετη συνάρτηση Σχήμα 2.4 (α) Σταθερή συνάρτηση Σχήμα 2.4 (β) Ταυτοτική συνάρτηση Σχήμα 2.5 (α) Άρτια συνάρτηση Σχήμα 2.5 (β) Περιττή συνάρτηση Σχήμα 2.5 (γ) Περιοδική συνάρτηση Σχήμα 2.6 (α) Αύξουσα συνάρτηση Σχήμα 2.6 (β) Φθίνουσα συνάρτηση Σχήμα 2.7 (α) Συνάρτηση Σχήμα 2.7 (β) Συνάρτηση που δεν είναι Σχήμα 2.8: Συνάρτηση f και αντίστροφη συνάρτηση f Σχήμα 2.9: Αντίστροφη συνάρτηση και μονοτονία Σχήμα 2.10: Γραμμική συνάρτηση Σχήμα 2.12: Κυβική συνάρτηση Σχήμα 2.13: Κυβική συνάρτηση με Σχήμα 2.15: Εκθετική και γραμμική συνάρτηση Σχήμα 2.18: Λογαριθμική και εκθετική συνάρτηση Σχήμα 2.19: Ο τριγωνομετρικός κύκλος Σχήμα 2.20: Συνάρτηση ημιτόνου Σχήμα 2.23: Συνάρτηση συνεφαπτομένης Σχήμα 2.24: Συνάρτηση αντίστροφου ημιτόνου Σχήμα 2.25: Συνάρτηση αντίστροφου συνημίτονου Σχήμα 2.26: Συνάρτηση αντίστροφης εφαπτομένης Σχήμα 2.27: Συνάρτηση ζήτησης Σχήμα 2.28: Συνάρτηση προσφοράς Σχήμα 2.30: Συνάρτηση κατανάλωσης Σχήμα 2.31: Τετραγωνική συνάρτηση ζήτησης Σχήμα 2.33: Κυβική συνάρτηση κόστους Σχήμα 3.1: Γραφικές παραστάσεις συναρτήσεων Σχήμα 3.2: Γραφική παράσταση x Σχήμα 3.3: Γραφική παράσταση f ( x x x ), hx ( ) sin = 1 =, cos x gx ( ) = Σχήμα 3.4: Γραφική παράσταση της... 84
8 12 Οικονομικά Μαθηματικά Σχήμα 3.5: Γραφική παράσταση της Σχήμα 3.6: Γραφική παράσταση της Σχήμα 3.7: Γραφική παράσταση των Σχήμα 3.8: Γραφική παράσταση της Σχήμα 3.9: Γραφική παράσταση συνεχούς συνάρτησης Σχήμα 3.10: Αντιπαράδειγμα για το θεώρημα Bolzano Σχήμα 3.11: Γραφική παράσταση της Σχήμα 3.12: Αντιπαράδειγμα για το θεώρημα ενδιάμεσων τιμών Σχήμα 4.1: Γραφική παράσταση ακολουθίας και συνάρτησης Σχήμα 4.2: Γραφική παράσταση ακολουθίας 1/n Σχήμα 4.3: Όροι ακολουθίας Σχήμα 4.4: Όριο ακολουθίας Σχήμα 5.1: Ρυθμός μεταβολής και τέμνουσα ευθεία Οι γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων αυτών φαίνονται αναλυτικά παρακάτω Σχήμα 5.2: Γραφικές παραστάσεις συναρτήσεων Σχήμα 5.3: Εφαπτομένη και τέμνουσα ευθεία Σχήμα 5.4: Κλίση ευθείας Σχήμα 5.5: Γραφική παράσταση συνεχούς και παραγωγίσιμης συνάρτησης Σχήμα 5.6: Γραφική παράσταση ασυνεχούς συνάρτησης Σχήμα 5.7: Γραφική παράσταση εκθετικής συνάρτησης Σχήμα 5.8: Γραφική παράσταση λογαριθμικής συνάρτησης Σχήμα 5.9: Διαφορικό συνάρτησης Σχήμα 5.10: Διακριτός ρυθμός μεταβολής Σχήμα 5.11: Συνεχής ρυθμός μεταβολής Σχήμα 5.12 (α) Αύξουσα συνάρτηση Σχήμα 5.12 (β) Φθίνουσα συνάρτηση Σχήμα 5.13: Γραφική παράσταση της Σχήμα 5.14 (α) Συνάρτηση x 2 + 5x Σχήμα 5.14 (β) Συνάρτηση 2x Σχήμα 5.15: Γραφική παράσταση της Σχήμα 5.16: Γραφική παράσταση συναρτήσεων Σχήμα 5.17: Συνάρτηση με τοπικά και ολικά ακρότατα Σχήμα 5.18: Συνάρτηση ημιτόνου Σχήμα 5.19 Γραφική παράσταση της Σχήμα 5.20: Γραφική παράσταση της Σχήμα 5.21 Γραφική παράσταση της Σχήμα 5.22: Γραφική παράσταση της Σχήμα 5.23: Κυρτή και κοίλη συνάρτηση Σχήμα 5.24: Συνάρτηση συνημίτονου Σχήμα 5.25: Γεωμετρική ερμηνεία του θεωρήματος του Rolle
9 Κατάλογος σχημάτων 13 Σχήμα 5.26: Γραφική παράσταση μη συνεχούς συνάρτησης Σχήμα 5.27: Γεωμετρική ερμηνεία του θεωρήματος μέσης τιμής Σχήμα 5.28: Γραφική παράσταση ασύμπτωτων ευθειών Σχήμα 5.29: Γραφική παράσταση μελέτης συνάρτησης Σχήμα 5.30: Γραφική παράσταση μελέτης συνάρτησης Σχήμα 6.1: Γραφική παράσταση συνάρτησης ολικού και μέσου κόστους Σχήμα 6.2: Συνάρτηση οριακού κόστους Σχήμα 6.3: Γραφική παράσταση μέσου και οριακού κόστους Σχήμα 6.4: Γραφική παράσταση μέσου και οριακού κόστους Σχήμα 6.5: Συνάρτηση ολικού κόστους Σχήμα 6.6: Γραφική παράσταση συνάρτησης παραγωγής Σχήμα 6.7: Γραφική παράσταση συνάρτησης ολικών εσόδων Σχήμα 6.8: Γραφική παράσταση οριακών εσόδων Σχήμα 6.9: Γραφική παράσταση συναρτήσεων οριακών και ολικών εσόδων Σχήμα 6.10: Συνάρτηση παραγωγής, οριακών και ολικών εσόδων Σχήμα 6.11: Γραφικές παραστάσεις (α) Συνάρτηση παραγωγής Σχήμα 6.11: Γραφικές παραστάσεις (β) Συνάρτηση ολικών εσόδων Σχήμα 6.12: Συνάρτηση κέρδους Σχήμα 6.13: Γραφική παράσταση συνάρτησης ολικού κόστους και ολικών εσόδων Σχήμα 6.14: Γραφικές παραστάσεις των οριακών εσόδων και του οριακού κόστους Σχήμα 6.15: Γραφικές παραστάσεις συναρτήσεων συνολικών εσόδων και κόστους Σχήμα 6.16: Συνάρτηση κέρδους Σχήμα 6.17: p > MC = MR καθεστώς μονοπωλίου Σχήμα 6.18: Καμπύλη τοξοειδούς ελαστικότητας προσφοράς Σχήμα 6.19: Σημειακή ελαστικότητα προσφοράς Σχήμα 6.20: Τοξοειδής ελαστικότητα ζήτησης Σχήμα 6.21: Σημειακή ελαστικότητα ζήτησης Σχήμα 6.22: Ελαστικότητα ζήτησης Σχήμα 6.23: Γραφικές παραστάσεις ολικών και οριακών εσόδων Σχήμα 6.24: Συνάρτηση Ζήτησης Σχήμα 6.25: Ελαστικότητα συνάρτησης ολικού κόστους Σχήμα 6.26: Ελαστικότητα συνάρτησης ολικής κατανάλωσης Σχήμα 7.1: Ολοκλήρωμα Riemann Σχήμα 7.2: Ασυνεχής συνάρτηση Σχήμα 7.3: Εμβαδόν χωρίου Σχήμα 7.4: Εμβαδόν χωρίου Σχήμα 7.5: Εμβαδόν χωρίου Σχήμα 7.6: Συνάρτηση ολικού κόστους και εμβαδόν χωρίου Σχήμα 7.7: Συνάρτηση οριακών και ολικών εσόδων και εμβαδόν χωρίου Σχήμα 7.8: Συνάρτηση ζήτησης Σχήμα 7.9: Συνάρτηση προσφοράς Σχήμα 9.1: Γραφική απεικόνιση της Σχήμα 9.2: Εσωτερικό και συνοριακό σημείο ενός χωρίου Σχήμα 9.3: Γραφική παράσταση Σχήμα 9.4: Ισοσταθμικές καμπύλες Σχήμα 9.5: Γραφικές παραστάσεις συναρτήσεων
10 14 Οικονομικά Μαθηματικά Σχήμα 9.6: Κλίση εφαπτομένων Σχήμα 9.7: Κλίση εφαπτομένης ευθείας στο ΖΧ Σχήμα 9.8: Ακρότατα συνάρτησης Σχήμα 9.9: Προβολή ακρότατων στο δισδιάστατο επίπεδο Σχήμα 9.10: Γραφική παράσταση της Σχήμα 9.11: Γραφική παράσταση της Σχήμα 9.12: Γραφική παράσταση της Σχήμα 9.13: Χωρίο συνάρτησης Σχήμα 10.1: Ισοσταθμικές καμπύλες ίσου προϊόντος Σχήμα 10.2: Βραχυχρόνιες συναρτήσεις παραγωγής Σχήμα 10.3: Ψευδο-βραχυπρόθεσμη συνάρτηση παραγωγής Σχήμα 10.4: Ισοσταθμικές καμπύλες ποσότητας στο δισδιάστατο επίπεδο Σχήμα 10.5: Η προβολή των καμπύλων χρησιμότητας στο επίπεδο 0XY Σχήμα 10.6: Χρησιμότητα προϊόντος Σχήμα 10.7: Απόδοση κλίμακας
ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΜΕΡΟΣ ΠΡΩΤΟ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΥ ΛΟΓΙΣΜΟΥ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΠΟΛΛΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ 15
ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΠΡΟΛΟΓΟΣ 13 ΜΕΡΟΣ ΠΡΩΤΟ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΥ ΛΟΓΙΣΜΟΥ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΠΟΛΛΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ 15 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΠΟΛΛΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ 17 1. Εισαγωγή 17 2. Πραγματικές συναρτήσεις διανυσματικής μεταβλητής
ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΕΙΣΑΓΩΓΗ... 1
ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΕΙΣΑΓΩΓΗ... 1 ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΠΡΩΤΟ: ΜΟΝΟΜΕΤΑΒΛΗΤΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ 1. Αλγεβρικές συναρτήσεις... 3 1.1 Η έννοια της συνάρτησης... 3 1.2 Ασαφείς και σαφείς συναρτήσεις... 3 1.3 Γραφικές απεικονίσεις των
ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΠΡΟΛΟΓΟΣ... 1
i ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΠΡΟΛΟΓΟΣ... 1 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Αριθµοί και Μεταβλητές... 5 1.1. Το σύνολο των φυσικών αριθµών Φ... 5 1.2. Το σύνολο Φ 0 των ακέραιων της Αριθµητικής... 7 1.3. Το σύνολο των σύµµετρων αριθµών Σ...
ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΜΕΡΟΣ ΠΡΩΤΟ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ ΣΥΝΟΛΩΝ ΚΑΙ ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ
ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΠΡΟΛΟΓΟΣ 13 ΜΕΡΟΣ ΠΡΩΤΟ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ ΣΥΝΟΛΩΝ ΚΑΙ ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΠΡΩΤΟ 17 ΣΥΝΟΛΑ ΣΧΕΣΕΙΣ - ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ 17 1. Η έννοια του συνόλου 17 2. Εγκλεισμός και ισότητα συνόλων 19
ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΠΡΟΛΟΓΟΣ... 1
i ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΠΡΟΛΟΓΟΣ... 1 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Αριθµοί και Μεταβλητές... 5 1.1. Το σύνολο των φυσικών αριθµών Φ... 5 1.2. Το σύνολο Φ 0 των ακέραιων της Αριθµητικής... 7 1.3. Το σύνολο των σύµµετρων αριθµών Σ...
Περιεχόμενα. Κεφάλαιο 1 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΩΝ ΣΕ ΜΙΑ ΕΥΘΕΙΑ... 13 1.1 Οι συντεταγμένες ενός σημείου...13 1.2 Απόλυτη τιμή...14
Περιεχόμενα Κεφάλαιο 1 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΩΝ ΣΕ ΜΙΑ ΕΥΘΕΙΑ... 13 1.1 Οι συντεταγμένες ενός σημείου...13 1.2 Απόλυτη τιμή...14 Κεφάλαιο 2 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΩΝ ΣΕ ΕΝΑ ΕΠΙΠΕΔΟ 20 2.1 Οι συντεταγμένες
Περιεχόμενα. Λίγα λόγια για τους συγγραφείς
Περιεχόμενα Λίγα λόγια για τους συγγραφείς xii Εισαγωγή xiii 1 Συναρτήσεις 1 1.1 Ανασκόπηση των συναρτήσεων 1 1.2 Παράσταση συναρτήσεων 12 1.3 Τριγωνομετρικές συναρτήσεις 26 Ασκήσεις επανάληψης 34 2 Όρια
Περιεχόμενα. Λίγα λόγια για τους συγγραφείς
Περιεχόμενα Λίγα λόγια για τους συγγραφείς xii Εισαγωγή xiii 1 Συναρτήσεις 1 1.1 Ανασκόπηση των συναρτήσεων 1 1.2 Παράσταση συναρτήσεων 12 1.3 Τριγωνομετρικές συναρτήσεις 26 Ασκήσεις επανάληψης 34 2 Όρια
Από το βιβλίο «Μαθηματικά» της Γ τάξης Γενικού Λυκείου Θετικής και Τεχνολογικής Κατεύθυνσης των Ανδρεαδάκη Στ., κ.ά., έκδοση Ο.Ε.Δ.Β
Από το βιβλίο «Μαθηματικά» της Γ τάξης Γενικού Λυκείου Θετικής και Τεχνολογικής Κατεύθυνσης των Ανδρεαδάκη Στ., κ.ά., έκδοση Ο.Ε.Δ.Β. 2011. σελ. 15 σελ. 16 σελ. 17 έως 21 σελ. 23 σελ. 24 Όλα ορισμός έντονα
ΑΘΑΝΑΣΙΟΣ Χ. ΑΛΕΞΑΝΔΡΑΚΗΣ ΑΝ. ΚΑΘΗΓΗΤΗΣ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟΥ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ Α ΤΟΜΟΣ
ΑΘΑΝΑΣΙΟΣ Χ. ΑΛΕΞΑΝΔΡΑΚΗΣ ΑΝ. ΚΑΘΗΓΗΤΗΣ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟΥ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ Α ΤΟΜΟΣ Κάθε γνήσιο αντίτυπο φέρει την υπογραφή του συγγραφέα και τη σφραγίδα του εκδότη ISBN SET: 960-516-026-9
g= x + y 1}. Να βρεθεί γραφικά και αναλυτικά η MR Π(Q) = R(Q) C(Q). Στο παραπλεύρως σχήμα
ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 0 Μέρος Α. (.6 μονάδες) α). Οι μεταβλητές {,,} συνδέονται με τις εξισώσεις κανόνας αλυσωτής παραγώγισης. { = e +, = ln}. Να επαληθευτεί ο β). Οι μεταβλητές {, y} συνδέονται με μια εξίσωση. Για
Μαθηµατικά Θετικής και Τεχνολογικής Κατεύθυνσης ΚΕΦΑΛΑΙΟ. 1 ο :Μιγαδικοί Αριθµοί
ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο :Μιγαδικοί Αριθµοί. Ποιο σύνολο ονοµάζεται σύνολο των µιγαδικών αριθµών ;. Tι ονοµάζεται µιγαδικός αριθµός; Ποιο είναι το πραγµατικό και ποιο το φανταστικό του µέρος ; 3. Tι ονοµάζεται εικόνα
ΠΡΟΣΟΧΗ : Nέα Ύλη για τις Κατατακτήριες από 2012 και μετά στην Φυσική Ι. Για το 3ο εξάμηνο. ΕΞΕΤΑΣΤΕΑ ΥΛΗ στο μάθημα ΦΥΣΙΚΗ Ι - ΜΗΧΑΝΙΚΗ
ΠΡΟΣΟΧΗ : Nέα Ύλη για τις Κατατακτήριες από 2012 και μετά στην Φυσική Ι ΕΞΕΤΑΣΤΕΑ ΥΛΗ στο μάθημα ΦΥΣΙΚΗ Ι - ΜΗΧΑΝΙΚΗ 1. Κινηματική (ευθύγραμμη και καμπυλόγραμμη κίνηση) 2. Σχετική κίνηση-μετασχηματισμοί
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Β ΜΕΡΟΣ
ΤΕΙ ΠΕΛΟΠΟΝΝΗΣΟΥ ΤΜΗΜΑ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ ΤΡΟΦΙΜΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Περιληπτικές Σημειώσεις-Ασκήσεις Β ΜΕΡΟΣ ΦΩΤΟΥΛΑ ΑΡΓΥΡΟΠΟΥΛΟΥ KAΘ. ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΤΜΗΜΑΤΟΣ ΔΕΟ Msc. Θεωρητικά Μαθηματικά ΚΑΛΑΜΑΤΑ 2016 0 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ
και να σχολιαστεί το αποτέλεσμα. ΤΕΛΟΣ
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ Ι 7 Διάρκεια εξέτασης: ώρες Μέρος Α. (4 μονάδες) (α). Μια συνάρτηση () έχει το γράφημα του παραπλεύρως σχήματος. Να γίνουν τα γραφήματα των συναρτήσεων () οριακής τιμής:
Πες το με μία γραφική παράσταση
Πες το με μία γραφική παράσταση Μαθηματικά Κατεύθυνσης Γ Λυκείου www askisopolisgr ΓΡΑΦΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ Να γράψετε και να σχεδιάσετε γραφικές παραστάσεις (ορισμένες σε διάστημα ή σε ένωση διαστημάτων):
ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΕΛΟΠΟΝΝΗΣΟΥ
ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΕΛΟΠΟΝΝΗΣΟΥ ΤΜΗΜΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΤΜΗΜΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι 11 ΟΚΤΩΒΡΙΟΥ 2016 ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΕΙΣΑΓΩΓΗ Οικονομικές Συναρτήσεις με μεταβλητούς ρυθμούς
Μαθηματικά. Ενότητα 2: Διαφορικός Λογισμός. Σαριαννίδης Νικόλαος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων (Κοζάνη)
Μαθηματικά Ενότητα 2: Διαφορικός Λογισμός Σαριαννίδης Νικόλαος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων (Κοζάνη) Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό
Για να εκφράσουμε τη διαδικασία αυτή, γράφουμε: :
Η θεωρία στα μαθηματικά προσανατολισμού Γ υκείου Τι λέμε συνάρτηση με πεδίο ορισμού το σύνολο ; Έστω ένα υποσύνολο του Ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση με πεδίο ορισμού το μία διαδικασία (κανόνα), με την
Η Θεωρία στα Μαθηματικά κατεύθυνσης της Γ Λυκείου
Η Θεωρία στα Μαθηματικά κατεύθυνσης της Γ Λυκείου wwwaskisopolisgr έκδοση 5-6 wwwaskisopolisgr ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ 5 Τι ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση; Έστω Α ένα υποσύνολο του Ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση
Μεθοδική Επανα λήψή. Επιμέλεια Κων/νος Παπασταματίου. Θεωρία - Λεξιλόγιο Βασικές Μεθοδολογίες. Φροντιστήριο Μ.Ε. «ΑΙΧΜΗ» Κ.
Μεθοδική Επανα λήψή Θεωρία - Λεξιλόγιο Βασικές Μεθοδολογίες Φροντιστήριο Μ.Ε. «ΑΙΧΜΗ» Κ. Καρτάλη 8 Βόλος Τηλ. 4 598 Επιμέλεια Κων/νος Παπασταματίου Περιεχόμενα Συνοπτική Θεωρία με Ερωτήσεις Απαντήσεις...
ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ KΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΔΙΑΦΟΡΙΚΩΝ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ 1
ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ KΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΔΙΑΦΟΡΙΚΩΝ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ 1 1.1 Εισαγωγή... 1 1.2 Λύση ΔΕ, αντίστροφο πρόβλημα αυτής... 3 Ασκήσεις... 10 1.3 ΔΕ πρώτης τάξης χωριζομένων μεταβλητών... 12 Ασκήσεις... 15 1.4 Ομογενείς
Εξεταστέα ύλη μαθηματικών Α Λυκείου 2017
Εξεταστέα ύλη μαθηματικών Α Λυκείου 2017 Α Λυκείου Γεωμετρία Κεφάλαιο 3 3.1 Είδη και στοιχεία τριγώνων 3.2 1 ο Κριτήριο ισότητας τριγώνων (εκτός της απόδειξης του θεωρήματος) 3.3 2 ο Κριτήριο ισότητας
Η θεωρία στα Μαθηματικά Προσανατολισμού: Θετικών Σπουδών και Σπουδών Οικονομίας -Πληροφορικής. Ορισμοί Ιδιότητες - Προτάσεις Θεωρήματα Αποδείξεις
Η θεωρία στα Μαθηματικά Προσανατολισμού: Θετικών Σπουδών Σπουδών Οικονομίας -Πληροφορικής Ορισμοί Ιδιότητες - Προτάσεις Θεωρήματα Αποδείξεις Επιμέλεια: Μπάμπης Στεργίου / Παπαμικρούλης Δημήτρης (αποκλειστικά
Σύνολο ασκήσεων 5. Άσκηση 1. Υπολογίστε τις μερικές παραγώγους ως προς 1 ή κτλ (συμβολισμός ή κτλ) για τις παρακάτω συναρτήσεις
Σύνολο ασκήσεων 5. Άσκηση 1 Υπολογίστε τις μερικές παραγώγους ως προς 1 ή κτλ (συμβολισμός ή κτλ) για τις παρακάτω συναρτήσεις = 1 3 Για τη συνάρτηση CES (σταθερής ελαστικότητας υποκατάστασης) = ( ) =
20 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ - ΟΡΙΣΜΟΙ
ΕΚΔΣΕΙΣ ΚΕΛΑΦΑ 19 Μιγαδικός αριθμός λέγεται η έκφραση α + i, με α, ΙR. Φανταστικός αριθμός λέγεται η έκφραση i, με ΙR. Αν z = α + i, α, ΙR, το α λέγεται πραγματικό μέρος του z. Αν z = α + i, α, ΙR, το
ΑΘΑΝΑΣΙΟΣ Χ. ΑΛΕΞΑΝΔΡΑΚΗΣ ΑΝ. ΚΑΘΗΓΗΤΗΣ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟΥ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ
ΑΘΑΝΑΣΙΟΣ Χ. ΑΛΕΞΑΝΔΡΑΚΗΣ ΑΝ. ΚΑΘΗΓΗΤΗΣ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟΥ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ Κάθε γνήσιο αντίτυπο φέρει την υπογραφή του συγγραφέα και τη σφραγίδα του εκδότη ISBN: 960-516-026-9 Copyright
Εξεταστέα ύλη Άλγεβρας Α Λυκείου Σχολικό έτος Εξεταστέα ύλη Γεωμετρίας Α Λυκείου Σχολικό έτος
Εξεταστέα ύλη Άλγεβρας Α Λυκείου Σχολικό έτος 2015-2016 Κεφάλαιο 1ο Παράγραφοι: 1.1, 1.2 Κεφάλαιο 2ο Παράγραφοι: 2.3, 2.4 Κεφάλαιο 3ο Παράγραφοι: 3.1, 3.3 Κεφάλαιο 4ο Παράγραφοι: 4.1, 4.2 Κεφάλαιο 6ο Παράγραφοι:
ΤΕΣΤ Β2.λύσεις ΟΜΑΔΑ Ι
Η εξίσωση ΤΕΣΤ Β.λύσεις ΟΜΑΔΑ Ι αβ+ α = ορίζει πλεγμένα το ως συνάρτηση των {α,β}. Να βρεθούν η παράγωγος και η ελαστικότητα του ως προς β, στις τιμές: {α=,β =, = }. Λύση. Ο τύπος πλεγμένης παραγώγισης
ΤΟ ΘΕΜΑ Α ΤΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ
ΤΟ ΘΕΜΑ Α ΤΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΘΕΜΑ 1 Ο Α1. Έστω η συνάρτηση f ( x,,1. Nα αποδείξετε ότι η f είναι παραγωγίσιμη στο. v v 1 και ισχύει : x vx A2. Να διατυπώσετε και να ερμηνεύσετε γεωμετρικά το Θεώρημα Bolzano.
ΠΑΓΚΥΠΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 2018 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ
ΚΥΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ Στασίνου 36, Γραφείο 102, Στρόβολος 2003, Λευκωσία Τηλέφωνο: 357 22378101 Φαξ: 357 22379122 cms@cms.org.cy, www.cms.org.cy ΠΑΓΚΥΠΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 2018 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ
ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΟΡΘΟΓΩΝΙΩΝ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΩΝ...23 ΑΠΟΛΥΤΗ ΤΙΜΗ. ΑΝΙΣΟΤΗΤΕΣ...15 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΕΥΘΕΙΕΣ...32 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ΚΥΚΛΟΙ...43
ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΩΝ. ΑΠΟΛΥΤΗ ΤΙΜΗ. ΑΝΙΣΟΤΗΤΕΣ...5 ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΟΡΘΟΓΩΝΙΩΝ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΩΝ... ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΕΥΘΕΙΕΣ... ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ΚΥΚΛΟΙ...4 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΚΑΙ ΟΙ
ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ
Ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΑΡΧΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ 6 Τι ονομάζουμε αρχική μιας συνάρτησης σε ένα διάστημα Δ ; Απάντηση : Αρχική συνάρτηση ή παράγουσα της στο Δ ονομάζουμε κάθε
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ. Γ' Τάξης Γενικού Λυκείου Θετική και Τεχνολογική Κατεύθυνση
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ' Τάξης Γενικού Λυκείου Θετική και Τεχνολογική Κατεύθυνση ΣΥΓΓΡΑΦΕΙΣ Ανδρεαδάκης Στυλιανός Κατσαργύρης Βασίλειος Μέτης Στέφανος Μπρουχούτας Κων/νος Παπασταυρίδης Σταύρος Πολύζος Γεώργιος Καθηγητής
Βασικές Γνώσεις Μαθηματικών Α - Β Λυκείου
Βασικές Γνώσεις Μαθηματικών Α - Β Λυκείου Αριθμοί 1. ΑΡΙΘΜΟΙ Σύνολο Φυσικών αριθμών: Σύνολο Ακέραιων αριθμών: Σύνολο Ρητών αριθμών: ακέραιοι με Άρρητοι αριθμοί: είναι οι μη ρητοί π.χ. Το σύνολο Πραγματικών
Σύνολο ασκήσεων 5. = = ( ) = = ( ) = p ln ( ) Για τη συνάρτηση CES (σταθερής ελαστικότητας υποκατάστασης)
Σύνολο ασκήσεων 5. Άσκηση 1 Υπολογίστε τις μερικές παραγώγους ως προς 1 ή,, (συμβολισμός ή,, ) για τις παρακάτω συναρτήσεις = 1 3 = ( 1 3 4 )= 1 1 3+5 3 +8ln( 1 )+ 4 = ( ) = +3 + +3 = ( ) = p ln ()+ +
1. Τετραγωνικές μορφές. x y 0. 0x y 0 1α 1β 2α 2β 3. 0x + y 0
Β4. ΕΣΣΙΑΝΟΣ ΠΙΝΑΚΑΣ-ΚΥΡΤΟΤΗΤΑ 1.Τετραγωνικές μορφές.χαρακτηρισμός συμμετρικών πινάκων 3.Δεύτερες μερικές παράγωγοι-εσσιανός πίνακας 4.Συνθήκες για ακρότατα 5.Κυρτές/κοίλες συναρτήσεις 6.Ολικά ακρότατα
x + ax x x 4 να είναι παραγωγίσιμη στο x Υπόδειξη: Μπορείτε να εφαρμόσετε κανόνα L Hospital ή μπορεί σας χρειαστεί η sin sin = 2sin cos
http://lar.maths.gr/, maths@maths.gr, Τηλ: 69795 Ενδεικτικές απαντήσεις ης Γραπτής Εργασίας ΠΛΗ -: Άσκηση. (5 μονάδες) i) ( μονάδες) Υπολογίστε την παράγωγο για κάθε μία από τις επόμενες συναρτήσεις: a)
Διάλεξη 4 - Σημειώσεις
Διάλεξη 4 - Σημειώσεις Απροσδιόριστες μορφές και ο κανόνας l'hôpital Έστω ότι ζητούμε το όριο () της συνάρτησης () = () () η οποία δίνεται ως το πηλίκο δύο συναρτήσεων (), (). Τότε, () () () = () = ()
ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΤΩΝ. Ερώτηση 1. Αν το x o δεν ανήκει στο πεδίο ορισμού μιας συνάρτησης f, έχει νόημα να μιλάμε για παράγωγο της f. στο x = x o?
ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΤΩΝ Ερώτηση 1 Αν το x o δεν ανήκει στο πεδίο ορισμού μιας συνάρτησης f, έχει νόημα να μιλάμε για παράγωγο της f στο x = x o? Δεν έχει νόημα Ερώτηση 2 Αν μία συνάρτηση f είναι συνεχής στο
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ - ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΩΡΙΑ & ΑΠΟΔΕΙΞΕΙΣ
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ - ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΩΡΙΑ & ΑΠΟΔΕΙΞΕΙΣ Επιμέλεια: Βασίλης Κράνιας wwwe-mathsgr ΑΝΑΛΥΣΗ Τι ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση Έστω Α ένα υποσύνολο
ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ. f (x) =, x 0, (1), x. lim f (x) = lim = +. x
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 2: ΑΣΥΜΠΤΩΤΕΣ - ΚΑΝΟΝΕΣ DE L HOSPITAL - ΜΕΛΕΤΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ [Κεφ. 2.9: Ασύμπτωτες Κανόνες de l Hospital Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΑΣΥΜΠΤΩΤΕΣ-ΚΑΝΟΝΑΣ
Μαθηματική Εισαγωγή Συναρτήσεις
Φυσικός Ραδιοηλεκτρολόγος (MSc) ο Γενικό Λύκειο Καστοριάς A. Μαθηματική Εισαγωγή Πράξεις με αριθμούς σε εκθετική μορφή Επίλυση βασικών μορφών εξισώσεων Συναρτήσεις Στοιχεία τριγωνομετρίας Διανύσματα Καστοριά,
ΜΑΘΗΜΑ ΤEΤΑΡΤΟ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΓΙΑ ΟΙΚΟΝΟΜΟΛΟΓΟΥΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ( ΙΑΦΟΡΙΚΟ-ΜΕΛΕΤΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΣ- ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΣΤΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΑ)
ΜΑΘΗΜΑ ΤEΤΑΡΤΟ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΓΙΑ ΟΙΚΟΝΟΜΟΛΟΓΟΥΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ( ΙΑΦΟΡΙΚΟ-ΜΕΛΕΤΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΣ- ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΣΤΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΑ) A. Κανόνας de L Hospital (Συνέχεια από το προηγούµενο µάθηµα) Παράδειγµα 1. Να βρεθεί το
ΠΡΟΣΟΧΗ : Νέα Ύλη για τις Κατατακτήριες από 2012 και μετά στην Φυσική Ι. Για το 1ο εξάμηνο. ΕΞΕΤΑΣΤΕΑ ΥΛΗ στο μάθημα ΦΥΣΙΚΗ Ι -ΜΗΧΑΝΙΚΗ
στην Φυσική Ι ΕΞΕΤΑΣΤΕΑ ΥΛΗ στο μάθημα ΦΥΣΙΚΗ Ι -ΜΗΧΑΝΙΚΗ 1. Κινηματική (ευθύγραμμη και καμπυλόγραμμη κίνηση) 2. Σχετική κίνηση-μετασχηματισμοί Lorentz 3. Δυναμική ενός σωματιδίου (Νόμοι της δυναμικής-ορμή-στροφορμήσυστήματα
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ-ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ. ΜΕΡΟΣ Α : Άλγεβρα. Κεφάλαιο 2 ο (Προτείνεται να διατεθούν 12 διδακτικές ώρες) Ειδικότερα:
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ-ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΜΕΡΟΣ Α : Άλγεβρα Κεφάλαιο ο (Προτείνεται να διατεθούν διδακτικές ώρες) Ειδικότερα:. -. (Προτείνεται να διατεθούν 5 διδακτικές ώρες).3 (Προτείνεται να διατεθούν
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΕΛΕΥΤΑΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ ΜΙΧΑΛΗΣ ΜΑΓΚΟΣ
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΕΛΕΥΤΑΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ ΜΙΧΑΛΗΣ ΜΑΓΚΟΣ . ΔΙΑΒΑΖΩ ΤΗ ΘΕΩΡΙΑ ΑΠΟ ΤΟ ΣΧΟΛΙΚΟ ΒΙΒΛΙΟ Σελ.303: Ορισμός (Αρχική συνάρτηση ή παράγουσα) Σελ.304: Απόδειξη του
Κεφάλαιο 3 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ. 3.1 Η έννοια της παραγώγου. y = f(x) f(x 0 ), = f(x 0 + x) f(x 0 )
Κεφάλαιο 3 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ 3.1 Η έννοια της παραγώγου Εστω y = f(x) µία συνάρτηση, που συνδέει τις µεταβλητές ποσότητες x και y. Ενα ερώτηµα που µπορεί να προκύψει καθώς µελετούµε τις δύο αυτές ποσοτήτες είναι
Γραμμική Άλγεβρα και Μαθηματικός Λογισμός για Οικονομικά και Επιχειρησιακά Προβλήματα
Γραμμική Άλγεβρα και Μαθηματικός Λογισμός για Οικονομικά και Επιχειρησιακά Προβλήματα Ενότητα: Διαφορικός Λογισμός Ανδριανός Ε Τσεκρέκος Τμήμα Λογιστικής & Χρηματοοικονομικής Σελίδα 1 Σκοποί ενότητας 4
3 ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΜΙΑΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ
1 2 3 ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΜΙΑΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ 31 ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΟΡΙΣΜΟΣ: Έστω δύο σύνολα Α και Β ΑΠΕΙΚΟΝΙΣΗ του συνόλου Α στο Β είναι η διμελής σχέση f A B για την οποία A αντιστοιχεί ένα και μόνο ένα y B δηλαδή
ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΣΩΣΤΟΥ-ΛΑΘΟΥΣ
ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΣΩΣΤΟΥ-ΛΑΘΟΥΣ 1. Αν f συνεχής στο [α, β] είναι f ( ) d 0 f ( ) 0 2. Αν f συνεχής και γν. αύξουσα στο [α, β] ισχύει ότι: f ( ) d 0. 3. Αν f ( ) d g( ) d, ό f ( ) g( ) ά [, ]. 4. Το σύνολο τιμών
ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 5. Μέρος Α
Μέρος Α ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 5 1. (4 μονάδες) α). Θεωρούμε τη σχέση = 3. Να εκτιμηθεί η ποσοστιαία μεταβολή του που θα προκαλέσει μείωση του κατά 1% από την αρχική τιμή =. β). Να διαπιστωθεί ότι η συνάρτηση () =
II.6 ΙΣΟΣΤΑΘΜΙΚΕΣ. 1. Γραφήματα-Επιφάνειες: z= 2. Γραμμική προσέγγιση-εφαπτόμενο επίπεδο. 3. Ισοσταθμικές: f(x, y) = c
II.6 ΙΣΟΣΤΑΘΜΙΚΕΣ.Γραφήματα-Επιφάνειες.Γραμμική προσέγγιση-εφαπτόμενο επίπεδο 3.Ισοσταθμικές 4.Κλίση ισοσταθμικών 5.Διανυσματική ή Ιακωβιανή παράγωγος 6.Ιδιότητες των ισοσταθμικών 7.κυρτότητα των ισοσταθμικών
Ερωτήσεις-Απαντήσεις Θεωρίας
1 ΓΙΑΝΝΗΣ ΚΑΡΑΓΙΑΝΝΗΣ Σχολικός Σύμβουλος Μαθηματικών ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ-ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΜΕΡΟΣ Β 2 ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ-ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ
Μαθηματική Εισαγωγή Συναρτήσεις
Φυσικός Ραδιοηλεκτρολόγος (MSc) ο Γενικό Λύκειο Καστοριάς Καστοριά, Ιούλιος 14 A. Μαθηματική Εισαγωγή Πράξεις με αριθμούς σε εκθετική μορφή Επίλυση βασικών μορφών εξισώσεων Συναρτήσεις Στοιχεία τριγωνομετρίας
ΜΕΘΟΔΟΙ ΠΟΥ ΧΡΕΙΑΖΟΝΤΑΙ ΜΙΑ ΔΕΥΤΕΡΗ ΜΑΤΙΑ
ΜΕΘΟΔΟΙ ΠΟΥ ΧΡΕΙΑΖΟΝΤΑΙ ΜΙΑ ΔΕΥΤΕΡΗ ΜΑΤΙΑ? Εύρεση πεδίου ορισμού σε συνθέσεις.. Δίνεται η γν. αύξουσα συνάρτηση :[ -, ] R. Α. Να βρεθεί το πεδίο ορισμού της g () = ( + ) + ( + ). Β. Να βρεθεί η μονοτονία
Διαγώνισμα Προσομοίωσης Εξετάσεων 2017
Ένα διαγώνισμα προετοιμασίας για τους μαθητές της Γ Λυκείου στα Μαθηματικά Προσανατολισμού Διαγώνισμα Προσομοίωσης Εξετάσεων 7 Μαθηματικά Προσανατολισμού Γ Λυκείου Κων/νος Παπασταματίου Μαθηματικός Φροντιστήριο
dy df(x) y= f(x) y = f (x), = dx dx θ x m= 1
I. ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ-ΚΛΙΣΗ d df() = f() = f (), = d d.κλίση ευθείας.μεταολές 3.(Οριακός) ρυθμός μεταολής ή παράγωγος 4.Παράγωγοι ασικών συναρτήσεων 5. Κανόνες παραγώγισης 6.Αλυσωτή παράγωγος 7.Μονοτονία 8.Στάσιμα
f(x) Af(x) = και Mf(x) = f (x) x
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ I Διάρκεια εξέτασης: ώρες και 5' (4 μονάδες) (α). Η συνάρτηση f() έχει το παραπλεύρως γράφημα με πλάγια ασύμπτωτο. Να δοθούν, στο ίδιο σύστημα συντεταγμένων, τα γραφήματα
IV.13 ΔΙΑΦΟΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 1 ης ΤΑΞΕΩΣ
IV.3 ΔΙΑΦΟΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ης ΤΑΞΕΩΣ.Γενική λύση.χωριζόμενων μεταβλητών 3.Ρυθμοί 4.Γραμμικές 5.Γραμμική αυτόνομη 6.Bernoulli αυτόνομη 7.Aσυμπτωτικές ιδιότητες 8.Αυτόνομες 9.Σταθερές τιμές.διάγραμμα ροής.ασυμπτωτική
ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 14. Μέρος Α
Μέρος Α ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 14 1. (4 μονάδες) (α). Να δοθεί το γράφημα μιας συνάρτησης f() της οποίας η παράγωγος έχει το γράφημα του παραπλεύρως σχήματος, και αρχική τιμή f() =. (β). Να βρεθεί συνάρτηση f() σταθερής
ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΣΥΝΟΠΤΙΚΗ ΘΕΩΡΕΙΑ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ
ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΣΥΝΟΠΤΙΚΗ ΘΕΩΡΕΙΑ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ Φροντιστήριο Μ.Ε. «ΑΙΧΜΗ» Κ.Καρτάλη 8 Βόλος Τηλ. 43598 ΠΊΝΑΚΑΣ ΠΕΡΙΕΧΟΜΈΝΩΝ 3. Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΥ... 5 ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ...
Τα διανύσματα xy, R είναι κάθετα αν και μόνο αν x y 0. Για το εσωτερικό γινόμενο των διανυσμάτων. Το ορθογώνιο συμπλήρωμα ενός υπόχωρου
ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ ΓΡΑΜΜΙΚΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Ο ανάστροφος πίνακας του [ j ] σημειώνεται με [ j ] (δηλαδή οι γραμμές γίνονται στήλες αντίστροφα Ιδιότητες: ( ( B B ( R ( B B Ο αντίστροφος ενός τετραγωνικού πίνακα [ j ]
I.3 ΔΕΥΤΕΡΗ ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ-ΚΥΡΤΟΤΗΤΑ
I.3 ΔΕΥΤΕΡΗ ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ-ΚΥΡΤΟΤΗΤΑ.Δεύτερη παράγωγος.κυρτή 3.Κοίλη 4.Ιδιότητες κυρτών/κοίλων συναρτήσεων 5.Σημεία καμπής 6.Παραβολική προσέγγιση(επέκταση) ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ 7.Δεύτερη πλεγμένη παραγώγιση 8.Χαρακτηρισμός
Το βιβλίο αυτό αποτελεί τον πρώτο τόμο των Μαθηματικών Γʹ Λυκείου για τις
wwwzitigr Πρόλογος Το βιβλίο αυτό αποτελεί τον πρώτο τόμο των Μαθηματικών Γʹ Λυκείου για τις ομάδες προσανατολισμού: ç Θετικών σπουδών ç Οικονομίας και Πληροφορικής Αναπτύσσονται διεξοδικά τα κεφάλαια:
Σημειώσεις Μαθηματικών 2
Σημειώσεις Μαθηματικών 2 Συναρτήσεις - 4 Ραφαήλ Φάνης Μαθηματικός 1 Κεφάλαιο 4 Παράγωγος Συνάρτησης 4.1 Έννοια Παραγώγου Ορισμός f(x) f(x 0 ) Μια συνάρτηση f ονομάζεται παραγωγίσιμη στο x 0 Df αν υπάρχει
Ασκήσεις Επανάληψης Γ Λυκείου
Ασκήσεις Επανάληψης Γ Λυκείου Ασκήσεις Επανάληψης σε όλο το εύρος της διδακτέας ύλης Κων/νος Παπασταματίου Κ. Καρτάλη 8 (με Δημητριάδος) Τηλ. 4 3 598 Θε ματα ΟΕΦΕ - 5 Επιμέλεια Κων/νος Παπασταματίου Σελίδα
ΟΡΙΣΜΟΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΥ ΟΡΙΣΜΟΣ ΕΦΑΠΤΟΜΕΝΗΣ
ΟΡΙΣΜΟΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΥ. Mια συνάρτηση λέμε ότι είναι παραγωγίσιμη σε ένα σημείο του πεδίου ορισμού ( της, αν υπάρει το lim και είναι πραγματικός αριθμός. Το όριο αυτό λέγεται παράγωγος της στο και συμβολίζεται
Af(x) = και Mf(x) = f (x) x
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ Ι. Λύσεις 9 Διάρκεια εξέτασης: ώρες και 5' (4 μονάδες) (α). Η συνάρτηση f() έχει το παραπλεύρως γράφημα με πλάγια ασύμπτωτο. Να δοθούν, στο ίδιο σύστημα συντεταγμένων,
Λύσεις των θεμάτων των Πανελλαδικών Εξετάσεων στα Μαθηματικά Προσανατολισμού 2016
Λύσεις των θεμάτων των Πανελλαδικών Εξετάσεων στα Μαθηματικά Προσανατολισμού 16 ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΩΝ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΚΑΙ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ
Βασικές Μεθοδολογίες για την επίλυση ασκήσεων
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ Βασικές Μεθοδολογίες για την επίλυση ασκήσεων ΣΤΕΛΙΟΥ ΜΙΧΑΗΛΟΓΛΟΥ ΕΥΑΓΓΕΛΟΥ ΤΟΛΗ 5-6 Επιμέλεια : Νικόλαος Σαμπάνης Στο φυλλάδιο περιέχονται όλες οι βασικές Μεθοδολογίες
ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΟΥ ΕΠΑ.Λ. Δ. Ε. ΚΟΝΤΟΚΩΣΤΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ
ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΟΥ ΕΠΑ.Λ. 2013-2014 ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ 1. Τι ονομάζουμε: i. πληθυσμό και μέγεθος πληθυσμού; (σελ. 59) ii. μεταβλητή; (σελ.59-60) 2. Ποιες μεταβλητές ονομάζονται ποσοτικές; (σελ.60)
I.3 ΔΕΥΤΕΡΗ ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ-ΚΥΡΤΟΤΗΤΑ
I.3 ΔΕΥΤΕΡΗ ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ-ΚΥΡΤΟΤΗΤΑ.Δεύτερη παράγωγος.παραβολική προσέγγιση ή επέκταση 3.Κυρτή 4.Κοίλη 5.Ιδιότητες κυρτών/κοίλων συναρτήσεων 6.Σημεία καμπής ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ 7.Δεύτερη πλεγμένη παραγώγιση 8.Χαρακτηρισμός
ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 1. Α Μέρος
Α Μέρος ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 1 1. (3.6 μονάδες) (α). Δίνεται η εξίσωση: = 8. Αν το ελαττωθεί από την τιμή = κατά 1%, να εκτιμηθεί η αντίστοιχη ποσοστιαία μεταβολή στην τιμή του. (β). Να διαπιστωθεί ότι η συνάρτηση
Ασκήσεις Επανάληψης Γ Λυκείου
Ασκήσεις Επανάληψης Γ Λυκείου Ασκήσεις Επανάληψης σε όλο το εύρος της διδακτέας ύλης Κων/νος Παπασταματίου Κ. Καρτάλη 8 (με Δημητριάδος) Τηλ. 4 598 Θε ματα Δεσμω ν 98- Επιμέλεια Κων/νος Παπασταματίου Σελίδα
ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 12., στο ίδιο σύστημα
Μέρος Α ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 1 1. (4 μονάδες) α). Η συνάρτηση () έχει το παραπλεύρως γράφημα. () Να βρεθούν τα γραφήματα της μέσης τιμής: A() = () / και του οριακού ρυθμού: M() = (), στο ίδιο σύστημα συντεταγμένων.
2. Έστω η συνάρτηση f :[0, 6] με την παρακάτω γραφική παράσταση.
![2. Έστω η συνάρτηση f :[0, 6] με την παρακάτω γραφική παράσταση.](/thumbs/62/47302337.jpg "2. Έστω η συνάρτηση f :[0, 6] με την παρακάτω γραφική παράσταση.")
. Έστω η συνάρτηση f : με την παρακάτω γραφική παράσταση. Α. Να προσδιορίσετε τα διαστήματα στα οποία η f είναι γνησίως αύξουσα, γνησίως φθίνουσα, κυρτή, κοίλη, καθώς και τα τοπικά ακρότατα και τα σημεία
Πίνακας Περιεχομένων
Πίνακας Περιεχομένων Πρόλογος... 13 Πρώτο Μέρος: Γενικές Έννοιες Κεφάλαιο 1 ο : Αλγοριθμική... 19 1.1 Περιγραφή Αλγορίθμου... 19 1.2. Παράσταση Αλγορίθμων... 21 1.2.1 Διαγράμματα Ροής... 22 1.2.2 Ψευδογλώσσα
1ο Κεφάλαιο: Συστήματα
ο Κεφάλαιο: Συστήματα Γραμμικά συστήματα i. Ποια εξίσωση λέγεται γραμμική; ii. Πως μεταβάλλεται η ευθεία y, 0 ή 0 για τις διάφορες τιμές των α,β,γ; iii. Τι ονομάζεται λύση μιας γραμμικής εξίσωσης; iv.
Γραμμική Άλγεβρα και Μαθηματικός Λογισμός για Οικονομικά και Επιχειρησιακά Προβλήματα
Γραμμική Άλγεβρα και Μαθηματικός Λογισμός για Οικονομικά και Επιχειρησιακά Προβλήματα Ενότητα: Πραγματικές Συναρτήσεις Πολλών Μεταβλητών (μέρος 1) Ανδριανός Ε Τσεκρέκος Τμήμα Λογιστικής & Χρηματοοικονομικής
ΘΕΜΑΤΑ ΚΑΙ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ «ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΙΙ» ΑΚΟΛΟΥΘΙΕΣ ΚΑΙ ΟΡΙΑ ΑΚΟΛΟΥΘΙΩΝ. lim. (β) n +
ΘΕΜΑΤΑ ΚΑΙ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ «ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΙΙ» ΑΚΟΛΟΥΘΙΕΣ ΚΑΙ ΟΡΙΑ ΑΚΟΛΟΥΘΙΩΝ ) Να υπολογιστούν τα όρια των κάτωθι ακολουθιών με : (α) + 5 + 7 + + (β) + 5 + + (γ) + + + (δ) ( 5 ) + + 4 + ( ) + 5 ) Να βρεθούν
ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΕΙΡΑΙΩΣ ΣΧΟΛΗ ΧΡΗΜΑΤΟΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΚΑΙ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΤΜΗΜΑ ΧΡΗΜΑΤΟΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΡΑΠΕΖΙΚΗΣ ΔΙΟΙΚΗΤΙΚΗΣ ΑΝΑΚΟΙΝΩΣΗ
ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΕΙΡΑΙΩΣ ΣΧΟΛΗ ΧΡΗΜΑΤΟΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΚΑΙ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΤΜΗΜΑ ΧΡΗΜΑΤΟΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΡΑΠΕΖΙΚΗΣ ΔΙΟΙΚΗΤΙΚΗΣ ΑΝΑΚΟΙΝΩΣΗ Πειραιάς, 19-04-2016 Θέμα: Κατατάξεις Πτυχιούχων για το Ακαδημαϊκό Έτος 2016-2017
ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΓΕΝΙΚΑ ΘΕΜΑ Α. , έχει κατακόρυφη ασύμπτωτη την x 0.
ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΓΕΝΙΚΑ ΘΕΜΑ Α Άσκηση Θεωρούμε τον παρακάτω ισχυρισμό: «Αν η συνάρτηση την» ορίζεται στο τότε δεν μπορεί να έχει κατακόρυφη ασύμπτωτη ) Να χαρακτηρίσετε τον παραπάνω ισχυρισμό γράφοντας
Παντελής Μπουμπούλης, M.Sc., Ph.D. σελ. 2 math-gr.blogspot.com, bouboulis.mysch.gr
VI Ολοκληρώματα Παντελής Μπουμπούλης, MSc, PhD σελ mth-grlogspotcom, ououlismyschgr ΜΕΡΟΣ Αρχική Συνάρτηση Ορισμός Έστω f μια συνάρτηση ορισμένη σε ένα διάστημα Δ Αρχική συνάρτηση ή παράγουσα της στο Δ
3o Επαναληπτικό Διαγώνισμα 2016
3o Επαναληπτικό Διαγώνισμα 6 Διάρκεια: 3 ώρες ΘΕΜΑ A A Έστω μια συνάρτηση παραγωγίσιμη σ ένα διάστημα (α,β), με εξαίρεση ίσως ένα σημείο του,στο οποίο όμως η είναι συνεχής Να αποδείξετε ότι Αν () στο (α,
4ο Επαναληπτικό διαγώνισμα στα Μαθηματικά προσανατολισμού της Γ Λυκείου
4ο Επαναληπτικό διαγώνισμα στα Μαθηματικά προσανατολισμού της Γ Λυκείου 8-9 Θέμα A A Αν οι συναρτήσεις,g είναι παραγωγίσιμες στο, να αποδείξετε ότι η συνάρτηση και ισχύει: g g παραγωγίσιμη στο μονάδες
ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ, Γ ΤΑΞΗ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ
ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ, Γ ΤΑΞΗ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΙΣΑΓΩΓΗ Tο παρόν Πρόγραμμα Σπουδών των Μαθηματικών της Γ τάξης Γενικού Λυκείου περιλαμβάνει τις θεματικές της Ανάλυσης και των Στοχαστικών Μαθηματικών,
O ƒ ΔÀÃπ ø À ø Ì Ï ÚˆÌ
O ƒ ΔÀÃπ ø À ø Ì Ï ÚˆÌ 2018-2020 ƒπ à ª π ø ΣΧΟΛΗ ΘΕΤΙΚΩΝ ΚΑΙ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ Τμήμα Μαθηματικών και Στατιστικής...5-7 ΠΟΛΥΤΕΧΝΙΚΗ ΣΧΟΛΗ Τμήμα Μηχανικών Μηχανολογίας και Κατασκευαστικής...9 ΦΙΛΟΣΟΦΙΚΗ
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ - ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ
ΘΕΜΑ Α ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ - ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ Α. Θεωρία (Θεώρημα σελίδα 5 σχολικού βιβλίου) Α. Α) ΨΕΥΔΗΣ Β) Θα δώσουμε ένα αντιπαράδειγμα Έστω η συνάρτηση
ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ
ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι. Δημόπουλος Τμήμα Διοίκησης Μονάδων Υγείας και Πρόνοιας -ΤΕΙ Καλαμάτας ΚΑΠΟΙΟΙ ΒΑΣΙΚΟΙ ΣΥΜΒΟΛΙΣΜΟΙ ΚΑΙ ΕΝΝΟΙΕΣ Ν = {1,2,3,...} το σύνολο των φυσικών αριθμών Ζ = {0, ±1, ±2, ±3,..
(f,g) f(x,y,v, w) = xy v= 0 x (v,y) = = = = = 3. g(x,y,v,w) = x+ 2y w= 0. (x,y) g g 1 2. Λύση 2. Με πλεγμένη παραγώγιση ως προς v, με σταθερό w :
ΤΕΣΤ Β.λύσεις ΟΜΑΔΑ Ι Οι εξισώσεις: {=, + = w} ορίζουν πλεγμένα τα {,} ως συναρτήσεις των {,w}. Να βρεθεί η μερική παράγωγος του ως προς. Λύση. Με τους τύπους πλεγμένης παραγώγισης: (,g) (,,, w) = = (,)
Όριο και συνέχεια πραγματικής συνάρτησης
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 Όριο και συνέχεια πραγματικής συνάρτησης Αγνοώ το πώς με βλέπει ο κόσμος αλλά στον εαυτό μου, φαίνομαι σαν να μην ήμουν τίποτα άλλο από ένα αγοράκι που παίζει στην ακρογιαλιά και κατά καιρούς
f(x) = και στην συνέχεια
ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΤΩΝ Ερώτηση. Στις συναρτήσεις μπορούμε να μετασχηματίσουμε πρώτα τον τύπο τους και μετά να βρίσκουμε το πεδίο ορισμού τους; Όχι. Το πεδίο ορισμού της συνάρτησης το βρίσκουμε πριν μετασχηματίσουμε
, να αποδείξετε ότι και η συνάρτηση f+g είναι παραγωγίσιμη στο x. και ισχύει. Μονάδες 9 Α2. Έστω μια συνάρτηση f με πεδίο ορισμού το Α και [, ]
![, να αποδείξετε ότι και η συνάρτηση f+g είναι παραγωγίσιμη στο x. και ισχύει. Μονάδες 9 Α2. Έστω μια συνάρτηση f με πεδίο ορισμού το Α και [, ]](/thumbs/65/52608485.jpg ", να αποδείξετε ότι και η συνάρτηση f+g είναι παραγωγίσιμη στο x. και ισχύει. Μονάδες 9 Α2. Έστω μια συνάρτηση f με πεδίο ορισμού το Α και [, ]")
ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΕΚΠ. ΕΤΟΥΣ 6-7 ΜΑΘΗΜΑ / ΤΑΞΗ : ΣΕΙΡΑ: ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ: ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΟΣ: Μαθηματικά Προσανατολισμού Γ' Λυκείου Θέμα Α Α. Αν οι συναρτήσεις, g είναι παραγωγίσιμες στο, να αποδείξετε ότι και
ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο: ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΘΕΜΑ Α
ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο: ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΘΕΜΑ Α Άσκηση i. Έστω μια συνάρτηση ορισμένη σε ένα διάστημα Δ. Αν F είναι μια παράγουσα της στο Δ, τότε να αποδείξετε ότι: όλες οι συναρτήσεις της
Θεωρία. έχει το γράφηµα του παραπλεύρως σχήµατος.
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ I ιαγώνισµα 6 ιάρκεια εξέτασης: ώρες Θεωρία. (4 µονάδες) α) Να γίνει το γράφηµα µιας συνεχούς συνάρτησης f() της οποίας η παράγωγος f () έχει το γράφηµα του παραπλεύρως
Τεστ Θεωρίας Στα Μαθηματικά Προσανατολισμού Γ Λυκείου
Τεστ Θεωρίας Στα Μαθηματικά Προσανατολισμού Γ Λυκείου Επιμέλεια Κων/νος Παπασταματίου Μαθηματικός Φροντιστήριο Μ.Ε. "ΑΙΧΜΗ" Κ. Καρτάλη 28 Βόλος τηλ. 242 32598 Φροντιστήριο Μ. Ε. «ΑΙΧΜΗ» Μαθηματικά Προσανατολισμού
A2. ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ-ΚΛΙΣΗ-ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ
A. ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ-ΚΛΙΣΗ-ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ d df() = f() = f (), = d d.κλίση ευθείας.μεταβολές 3.(Οριακός) ρυθµός µεταβολής ή παράγωγος 4.Παράγωγοι βασικών συναρτήσεων 5. Κανόνες παραγώγισης 6.Αλυσωτή παράγωγος 7.Μονοτονία
ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 10: ΕΥΡΕΣΗ ΤΟΠΙΚΩΝ ΑΚΡΟΤΑΤΩΝ
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 1: ΕΥΡΕΣΗ ΤΟΠΙΚΩΝ ΑΚΡΟΤΑΤΩΝ [Ενότητα Προσδιορισμός των Τοπικών Ακροτάτων - Θεώρημα Εύρεση Τοπικών Ακροτάτων του κεφ27 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου] ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ Εύρεση
ΔΙΔΑΚΤΕΑ ΥΛΗ ΚΑΙ ΣΥΝΟΠΤΙΚΕΣ
Επιμέλεια: Καραγιάννης Β. Ιωάννης Σχολικός Σύμβουλος Μαθηματικών ΔΙΔΑΚΤΕΑ ΥΛΗ ΚΑΙ ΣΥΝΟΠΤΙΚΕΣ ΟΔΗΓΙΕΣ ΔΙΔΑΣΚΑΛΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΑΧΕΙΡΙΣΗΣ ΤΗΣ ΥΛΗΣ ΕΣΠΕΡΙΝΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ Σχολικό Έτος: 016-017 Μαθηματικός Περιηγητής: