Οικονομετρία Ι Ενότητα 9: Αυτοσυσχέτιση Δρ. Χαϊδώ Δριτσάκη Τμήμα Λογιστικής & Χρηματοοικονομικής
Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται σε άλλου τύπου άδειας χρήσης, η άδεια χρήσης αναφέρεται ρητώς. 2
Χρηματοδότηση Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό έχει αναπτυχθεί στα πλαίσια του εκπαιδευτικού έργου του διδάσκοντα. Το έργο «Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο TEI Δυτικής Μακεδονίας και στην Ανώτατη Εκκλησιαστική Ακαδημία Θεσσαλονίκης» έχει χρηματοδοτήσει μόνο τη αναδιαμόρφωση του εκπαιδευτικού υλικού. Το έργο υλοποιείται στο πλαίσιο του Επιχειρησιακού Προγράμματος «Εκπαίδευση και Δια Βίου Μάθηση» και συγχρηματοδοτείται από την Ευρωπαϊκή Ένωση (Ευρωπαϊκό Κοινωνικό Ταμείο) και από εθνικούς πόρους. 3
Σκοποί ενότητας Ανάλυση της Διακύμανσης στο Πολλαπλό Γραμμικό Υπόδειγμα, Συντελεστής πολλαπλού Προσδιορισμού, Σχέση μεταξύ της Στατιστικής F και του Συντελεστή Πολλαπλού Προσδιορισμού, Μερικοί Συντελεστές Συσχέτισης.(Εφαρμογές με το Οικονομετρικό Πακέτο Eviews). 4
Περιεχόμενα Αυτοσυσχέτιση. Πότε εμφανίζεται το πρόβλημα της αυτοσυσχέτισης. Μορφές Αυτοσυσχέτισης. Συνέπειες της αυτοσυσχέτισης. 5
ΑΥΤΟΣΥΣΧΕΤΙΣΗ (1/5) Στις βασικές υποθέσεις των γραμμικών υποδειγμάτων (απλών και πολλαπλών), υποθέτουμε ότι δεν υπάρχει αυτοσυσχέτιση (autocorrelation or serial correlation) στους διαταρακτικούς όρους. Αυτό σημαίνει ότι οι τιμές των διαταρακτικών όρων είναι ανεξάρτητες μεταξύ τους (serially independent). Άρα δύο τιμές του διαταρακτικού όρου ϵ t και ϵ s δε συσχετίζονται μεταξύ τους. Δηλαδή για δύο διαφορετικές παρατηρήσεις του διαταρακτικού όρου η συνδιακύμανσή τους είναι μηδέν: Cov(ϵ t, ϵ s ) = 0 όπου: t s 6
ΑΥΤΟΣΥΣΧΕΤΙΣΗ (2/5) Η αυτοσυσχέτιση μπορεί να θεωρηθεί ως ειδική περίπτωση της συσχέτισης δύο μεταβλητών, μόνο αντί να αναφέρεται στη συσχέτιση των δύο αυτών μεταβλητών, αναφέρεται στη συσχέτιση δύο διαδοχικών τιμών της ίδιας μεταβλητής. 7
ΑΥΤΟΣΥΣΧΕΤΙΣΗ (3/5) Αν e t και e t 1 είναι δύο διαδοχικές τιμές των καταλοίπων στην εκτίμηση ενός γραμμικού υποδείγματος της παλινδρόμησης, τότε θα έχω e t = 0 και e t 1 = 0 σύμφωνα με τις ιδιότητες της γραμμής παλινδρόμησης του δείγματος τη σχέση: ρ et. e t 1 = n t=2 e t e t 1 n 2 n t=1 e t t=1 2 e t 1 8
ΑΥΤΟΣΥΣΧΕΤΙΣΗ (4/5) Γνωρίζουμε ότι η συσχέτιση δύο μεταβλητών μπορεί να είναι θετική ή αρνητική, επομένως και η αυτοσυσχέτιση ανάμεσα σε δύο διαδοχικές τιμές των καταλοίπων αναμένεται να είναι και αυτή θετική ή αρνητική. Αν στο γραμμικό υπόδειγμα που εκτιμούμε υπάρχει θετική αυτοσυσχέτιση θα έχουμε: ρ et. e t 1 > 0 καθώς επίσης και Cov(ϵ t, ϵ s ) > 0 9
ΑΥΤΟΣΥΣΧΕΤΙΣΗ (5/5) Αν υπάρχει αρνητική αυτοσυσχέτιση θα έχουμε: ρ et. e t 1 < 0 καθώς επίσης και Cov(ϵ t, ϵ s ) < 0 Αν δεν υπάρχει αυτοσυσχέτιση στο γραμμικό υπόδειγμα τότε θα έχουμε: ρ et. e t 1 = 0 και Cov(ϵ t, ϵ s ) = 0 10
Τρεις περιπτώσεις αυτοσυσχέτισης καταλοίπων (1/3) Εικόνα 1: Θετική αυτοσυσχέτιση. Πηγή: Διδάσκουσα (2015). 11
Τρεις περιπτώσεις αυτοσυσχέτισης καταλοίπων (2/3) Εικόνα 2: Αρνητική αυτοσυσχέτιση. Πηγή: Διδάσκουσα (2015). 12
Τρεις περιπτώσεις αυτοσυσχέτισης καταλοίπων (3/3) Εικόνα 3: Χωρίς αυτοσυσχέτιση. Πηγή: Διδάσκουσα (2015). 13
Υποθέσεις αυτοσυσχέτισης Οι δύο υποθέσεις που έχουμε στην περίπτωση της αυτοσυσχέτισης είναι οι εξής: Η 0 : Δεν υπάρχει αυτοσυσχέτιση στους διαταρακτικούς όρους, δηλαδή οι διαταρακτικοί όροι είναι ανεξάρτητοι μεταξύ τους. Η α : Υπάρχει αυτοσυσχέτιση στους διαταρακτικούς όρους, δηλαδή οι διαταρακτικοί όροι δεν είναι ανεξάρτητοι μεταξύ τους. 14
Πότε εμφανίζεται το πρόβλημα της αυτοσυσχέτισης Η αυτοσυσχέτιση μπορεί επίσης να οφείλεται σε διάφορους άλλους παράγοντες όπως: Παράλειψη των ερμηνευτικών μεταβλητών. Εσφαλμένη μορφή του υποδείγματος. Χρονικές υστερήσεις των μεταβλητών. Διαμόρφωση των στοιχείων από τους ερευνητές. Επίσης, η πηγή των στατιστικών στοιχείων και ο τρόπος επεξεργασίας τους είναι ένας ακόμη βασικός παράγοντας της μεθοδολογίας της οικονομετρίας που πρέπει να προσέξει κάποιος ερευνητής για να αποφύγει το πρόβλημα της αυτοσυσχέτισης. 15
Μορφές Αυτοσυσχέτισης (1/4) Το πρόβλημα της αυτοσυσχέτισης υπάρχει αν ο διαταρακτικός όρος της περιόδου t συσχετίζεται θετικά ή αρνητικά με το διαταρακτικό όρο μιας άλλης χρονικής περιόδου. Η σχέση εξάρτησης ανάμεσα σε διαδοχικές τιμές του διαταρακτικού όρου μπορεί να πάρει διάφορες μορφές. Αν η τιμή του διαταρακτικού όρου της περιόδου t εξαρτάται από την περίοδο t 1, δηλαδή είναι της μορφής: ϵ t = ρϵ t 1 + u t, όπου 1 ρ 1, τότε έχουμε την αυτοσυσχέτιση πρώτης τάξης (first - order autocorrelation) ή το αυτοπαλίνδρομο σχήμα πρώτου βαθμού (first order autoregressive scheme) που συμβολίζεται με AR(1). 16
Μορφές Αυτοσυσχέτισης (2/4) Όπου ρ είναι ο συντελεστής της αυτοσυνδιακύμανσης (coefficient of autocovariance) και u t ο στοχαστικός διαταρακτικός όρος (stochastic disturbance term), ο οποίος πληροί όλες τις υποθέσεις των γραμμικών υποδειγμάτων. Ο συντελεστής ρ στην αυτοσυσχέτιση πρώτης τάξης ονομάζεται επίσης και συντελεστής αυτοσυσχέτισης πρώτης τάξης και μετρά το βαθμό συσχέτισης μεταξύ των διαταρακτικών όρων ϵ t, ϵ t 1. 17
Μορφές Αυτοσυσχέτισης (3/4) Ο συντελεστής ρ παίρνει τιμές μεταξύ -1 και 1. Όταν ρ=0 σημαίνει ότι το γραμμικό οικονομετρικό υπόδειγμα δεν παρουσιάζει αυτοσυσχέτιση στα κατάλοιπα. Αν η τιμή του διαταρακτικού όρου της περιόδου t εξαρτάται εκτός από την τιμή της περιόδου t - 1 αλλά και από την τιμή της περιόδου t - 2, δηλαδή είναι της μορφής: ϵ t = ρ 1 ϵ t 1 + ρ 2 ϵ t 2 + u t, όπου 1 ρ 1, τότε έχουμε αυτοσυσχέτιση δεύτερης τάξης (second - order autocorrelation) ή το αυτοπαλίνδρομο σχήμα δευτέρου βαθμού (second order autoregressive scheme) που συμβολίζεται με AR(2) κ.ο.κ. 18
Μορφές Αυτοσυσχέτισης (4/4) Στα οικονομετρικά υποδείγματα χρονολογικών σειρών (time series econometric models) τρεις είναι οι βασικές μορφές τους. Τα αυτοπαλίνδρομα σχήματα (autoregressive schemes) AR(p), τα σχήματα κινητού μέσου (moving average schemes) MA(q), και τα αυτοπαλίνδρομα σχήματα και σχήματα κινητού μέσου ή μικτά σχήματα (autoregressive schemes - moving average schemes) ARMA(p,q). ϵ t = ρ 1 ϵ t 1 + ρ 2 ϵ t 2 + + ρ k ϵ t k + u t AR(ρ) ϵ t = u t + μ 1 u t 1 + μ 2 u t 2 + + μ q u t q MA(q) ϵ t = ρ 1 ϵ t 1 + + ρ k ϵ t k + u t + μ 1 u t 1 + + μ q u t q ARMA(ρ, q) 19
Συνέπειες της αυτοσυσχέτισης (1/3) Η ύπαρξη του προβλήματος της αυτοσυσχέτισης έχει σημαντικές επιπτώσεις στην ερμηνεία των αποτελεσμάτων του γραμμικού υποδείγματος της παλινδρόμησης. Οι εκτιμητές που προκύπτουν από τη μέθοδο των ελαχίστων τετραγώνων όταν το υπόδειγμα παρουσιάζει το πρόβλημα της αυτοσυσχέτισης δεν είναι BLUE και επομένως δεν ικανοποιούν το θεώρημα των Gauss Markov. 20
Συνέπειες της αυτοσυσχέτισης (2/3) Γενικά μπορούμε να πούμε ότι αν εφαρμόσουμε τη μέθοδο των ελαχίστων τετραγώνων σε κάποιο γραμμικό υπόδειγμα της παλινδρόμησης στο οποίο οι διαταρακτικοί όροι δεν είναι ανεξάρτητοι μεταξύ τους (παρουσιάζουν το πρόβλημα της αυτοσυσχέτισης) τότε θα έχουμε τις εξής συνέπειες: 1. Οι εκτιμητές των ελαχίστων τετραγώνων δεν θα έχουν τη μικρότερη διακύμανση μεταξύ όλων των αμερόληπτων εκτιμητών. Επομένως οι εκτιμητές αυτοί δεν θα είναι άριστοι. Όμως θα εξακολουθούν να είναι ακόμη γραμμικοί, αμερόληπτοι και συνεπείς. 2. Τα τυπικά σφάλματα των εκτιμημένων συντελεστών της παλινδρόμησης θα είναι υπερεκτιμημένα με αποτέλεσμα να μη είναι μεροληπτικά, όπως και ο εκτιμητής της διακύμανσης του διαταρακτικού όρου. 21
Συνέπειες της αυτοσυσχέτισης (3/3) 3. Οι έλεγχοι των εκτιμητών της στατιστικής t και F θα είναι υπερεκτιμημένες. 4. Τα διαστήματα εμπιστοσύνης των συντελεστών της παλινδρόμησης του πληθυσμού θα είναι μεγαλύτερα σε σχέση με τα πραγματικά. 5. Ο συντελεστής προσδιορισμού R 2 θα εμφανίζει υψηλές τιμές. 6. Οι προβλέψεις δεν θα είναι αποτελεσματικές, εφόσον δεν θα έχουν την ελάχιστη διακύμανση. 22
Τέλος Ενότητας
Σημείωμα Αναφοράς Copyright ΤΕΙ Δυτικής Μακεδονίας, Δρ. Χαϊδώ Δριτσάκη. «Οικονομετρία Ι». Έκδοση: 1.0. Κοζάνη 2015. Διαθέσιμο από τη δικτυακή διεύθυνση: 24
Σημείωμα Αδειοδότησης Το παρόν υλικό διατίθεται με τους όρους της άδειας χρήσης Creative Commons Αναφορά, Μη Εμπορική Χρήση Παρόμοια Διανομή 4.0 [1] ή μεταγενέστερη, Διεθνής Έκδοση. Εξαιρούνται τα αυτοτελή έργα τρίτων π.χ. φωτογραφίες, διαγράμματα κ.λ.π., τα οποία εμπεριέχονται σε αυτό και τα οποία αναφέρονται μαζί με τους όρους χρήσης τους στο «Σημείωμα Χρήσης Έργων Τρίτων». [1] http://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/4.0/ Ως Μη Εμπορική ορίζεται η χρήση: που δεν περιλαμβάνει άμεσο ή έμμεσο οικονομικό όφελος από την χρήση του έργου, για το διανομέα του έργου και αδειοδόχο. που δεν περιλαμβάνει οικονομική συναλλαγή ως προϋπόθεση για τη χρήση ή πρόσβαση στο έργο. που δεν προσπορίζει στο διανομέα του έργου και αδειοδόχο έμμεσο οικονομικό όφελος (π.χ. διαφημίσεις) από την προβολή του έργου σε διαδικτυακό τόπο. Ο δικαιούχος μπορεί να παρέχει στον αδειοδόχο ξεχωριστή άδεια να χρησιμοποιεί το έργο για εμπορική χρήση, εφόσον αυτό του ζητηθεί. 25
Διατήρηση Σημειωμάτων Οποιαδήποτε αναπαραγωγή ή διασκευή του υλικού θα πρέπει να συμπεριλαμβάνει: το Σημείωμα Αναφοράς. το Σημείωμα Αδειοδότησης. τη δήλωση Διατήρησης Σημειωμάτων. το Σημείωμα Χρήσης Έργων Τρίτων (εφόσον υπάρχει). μαζί με τους συνοδευόμενους υπερσυνδέσμους. 26