ΠΛΗ 20, 6 η ΟΣΣ: Δέντρα Εξετάσεις Δημήτρης Φωτάκης Διακριτά Μαθηματικά και Μαθηματική Λογική Πληροφορική Ελληνικό Ανοικτό Πανεπιστήμιο
Δέντρα Δέντρο: πρότυπο ιεραρχικής δομής. Αναπαράσταση (ιεραρχικών) σχέσεων: προγόνου-απογόνου, προϊσταμένου-υφισταμένου, όλου-μέρους, Εφαρμογές: Γενεαλογικά δέντρα. Οργανόγραμμα επιχείρησης, ιεραρχία διοίκησης. User interfaces, web sites, module hierarchy, δέντρα απόφασης, Ιεραρχική οργάνωση: ταχύτερη πρόσβαση σε δεδομένα!
Δέντρα: Βασικές Ιδιότητες Γράφημα ακυκλικό και συνεκτικό. Τα παρακάτω είναι ισοδύναμα για κάθε απλό μη κατευθυνόμενο γράφημα G(V, E): G είναι δέντρο. Κάθε ζευγάρι κορυφών του G συνδέεται με μοναδικό μονοπάτι. G ελαχιστικά συνεκτικό. G συνεκτικό και E = V -1. G ακυκλικό και E = V -1. G μεγιστικά ακυκλικό. ΠΛΗ 20, ΑΘΗ4 (2012-2013) 6η ΟΣΣ(Δέντρα - Εξετάσεις) 3
Δέντρα: Ορολογία Γράφημα ακυκλικό και συνεκτικό. Δέντρο με n κορυφές έχει m = n 1 ακμές. Ρίζα : κόμβος χωρίς πρόγονο. Δέντρο με ρίζα : ιεραρχία Φύλλο : κόμβος χωρίς απογόνους. κόμβος βαθμού 1. Πρόγονοι u: κόμβοι στο (μοναδικό) μονοπάτι u προς ρίζα. Απόγονοι u: κόμβοι σε μονοπάτια από u προς φύλλα. Υποδέντρο u : Δέντρο αποτελούμενο από u και απόγονούς του. ΠΛΗ 20, ΑΘΗ4 (2012-2013) 6η ΟΣΣ(Δέντρα - Εξετάσεις) 4
Δέντρα: Ορολογία Επίπεδο u : μήκος μονοπατιού από u προς ρίζα. Ύψος : μέγιστο επίπεδο κόμβου (φύλλου). Μέγιστηαπόστασηφύλλουαπόρίζα. Δυαδικό δέντρο : κάθε κορυφή 2 παιδιά Αριστερό και δεξιό. Κάθε υποδέντρο είναι δυαδικό δέντρο. ΠΛΗ 20, ΑΘΗ4 (2012-2013) 6η ΟΣΣ(Δέντρα - Εξετάσεις) 5
Δυαδικά Δέντρα Αν δέντρο ύψους h, #κορυφών n: h+1 n 2 h+1 1 h+1 επίπεδα, 1 κορ. / επίπ. 2 i κορυφές στο επίπεδο i. 1 + 2 + + 2 h = 2 h +1 1 2 4 5 6 1 3 7 Αν δέντρο με #κορυφών = n, ύψος h: log 2 (n+1) 1 h n 1 Πλήρες (complete): n = 2 h+1 1 8 9 10 11 12 13 14 15 ΠΛΗ 20, ΑΘΗ4 (2012-2013) 6η ΟΣΣ(Δέντρα - Εξετάσεις) 6
Inorder Ενδο-διατεταγμένη (inorder) διέλευση: Αριστερό Ρίζα Δεξί. Κόμβος εξετάζεται μετά από κόμβους αριστερού υποδέντρου και πριν από κόμβους δεξιού υποδέντρου. 7 20 4 10 10 30 2 6 9 11 7 15 25 35 1 3 5 3 9 12 8 12 21 40 ΠΛΗ 20, ΑΘΗ4 (2012-2013) 6η ΟΣΣ(Δέντρα - Εξετάσεις) 7
Preorder Προ-διατεταγμένη (preorder) διέλευση: Ρίζα Αριστερό Δεξί. Κόμβος εξετάζεται πριν από κόμβους αριστερού και δεξιού υποδέντρου. 1 20 2 8 10 30 3 6 9 11 7 15 25 35 4 5 7 3 9 12 10 12 21 40 ΠΛΗ 20, ΑΘΗ4 (2012-2013) 6η ΟΣΣ(Δέντρα - Εξετάσεις) 8
Postorder Μετα-διατεταγμένη (preorder) διέλευση: Αριστερό Δεξί Ρίζα Κόμβος εξετάζεται μετά από κόμβους αριστερού και δεξιού υποδέντρου. 12 20 6 11 10 30 3 5 8 10 7 15 25 35 1 2 4 3 9 12 7 9 21 40 ΠΛΗ 20, ΑΘΗ4 (2012-2013) 6η ΟΣΣ(Δέντρα - Εξετάσεις) 9
ΔυαδικάΔέντραΑναζήτησης Δυαδικά Δέντρα με ρίζα. Κάθε κόμβος περιέχει στοιχείο (αριθμό). Για κάθε κόμβο u, κόμβο left στο αριστερό υποδένδρο του u, και κόμβο right στο δεξιό υποδένδρο του u, στοιχείο(left) στοιχείο(u) στοιχείο(right) Inorder διέλευση τυπώνει στοιχεία σε αύξουσα σειρά. Απόδειξη με επαγωγή. Δομή ΔΔΑ επιτρέπει εύκολη αναζήτηση! ΠΛΗ 20, ΑΘΗ4 (2012-2013)
Αναζήτηση Ακολουθούμε μονοπάτι από ρίζα προς φύλλο: Αν x = στοιχείο κόμβου, εύρεση Αν x < στοιχείο κόμβου, πηγαίνουμε αριστερά Αν x > στοιχείο κόμβου, πηγαίνουμε δεξιά Ορθότητα: ιδιότητα ΔΔΑ Χρόνος εκτέλεσης: Ο(ύψος) ΠΛΗ 20, ΑΘΗ4 (2012-2013) 6η ΟΣΣ(Δέντρα - Εξετάσεις) 11
Μέγιστο / Ελάχιστο Μέγιστο : δεξιότατος (rightmost) κόμβος. Ελάχιστο : αριστερότατος (leftmost) κόμβος. ΠΛΗ 20, ΑΘΗ4 (2012-2013) 6η ΟΣΣ(Δέντρα - Εξετάσεις) 12
Εισαγωγή ως παιδί / φύλλο του κόμβου όπου καταλήγει αποτυχημένη αναζήτηση στοιχείου. Διατηρείται ιδιότητα ΔΔΑ. ΠΛΗ 20, ΑΘΗ4 (2012-2013) 6η ΟΣΣ(Δέντρα - Εξετάσεις) 13
Αναζήτηση Κατά Πλάτος (BFS) Εκκίνηση από αρχική κορυφή s και εξέλιξη σε φάσεις. 1 η φάση: εξερεύνηση γειτόνων s (σε απόσταση 1 από s). 2 η φάση: εξερεύνηση γειτόνων κορυφών 1 ης φάσης που δεν έχουν εξερευνηθεί ακόμη (σε απόσταση 2 από s). 3 η φάση: εξερεύνηση γειτόνων κορυφών 2 ης φάσης που δεν έχουν εξερευνηθεί ακόμη (σε απόσταση 3 από s).. φάση k: εξερεύνηση γειτόνων κορυφών φάσης k 1που δεν έχουν εξερευνηθεί ακόμη (σε απόσταση k από s). «Κατά Πλάτος»: ολοκληρώνει εξερεύνηση κορυφών σε απόσταση k από s πριν επεκταθεί σε απόσταση k+1. Εξέλιξη αναζήτησης: δάσος της ΑΚΠ. ΠΛΗ 20, ΑΘΗ4 (2012-2013) 6η ΟΣΣ(Δέντρα - Εξετάσεις) 14
Αναζήτηση Κατά Πλάτος (BFS) Κάθε χρονική στιγμή, 3 είδη κορυφών: Ανεξερεύνητη: όχι επίσκεψη ακόμη (λευκή). Υπο-εξέταση: επίσκεψη αλλά όχι εξερεύνηση γειτόνων (γκρι). Εξερευνημένη: επίσκεψη και εξερεύνηση γειτόνων (μαύρη). Κορυφές περνούν από παραπάνω στάδια με αυτή τη σειρά. Αρχικά όλες οι κορυφές ανεξερεύνητες. Πρώτηεπίσκεψηανεξερεύνητηςκορ. υπό-εξέταση. Επίσκεψητωνγειτόνωνυπο-εξέταση κορ. εξερευνημένη. «Κατά Πλάτος»: σειρά που γίνονται υπο-εξέταση ίδια με σειρά που γίνονται εξερευνημένες. Ουρά: εισαγωγή όταν γίνονται υπο-εξέταση και εξαγωγή για εξερεύνηση γειτόνων. ΠΛΗ 20, ΑΘΗ4 (2012-2013) 6η ΟΣΣ(Δέντρα - Εξετάσεις) 15
Αναζήτηση Κατά Πλάτος (BFS) s ΠΛΗ 20, ΑΘΗ4 (2012-2013) 6η ΟΣΣ(Δέντρα - Εξετάσεις) 16
Παραδείγματα Ιδιότητες BFS σε (α) πλήρες γράφημα, (β) δέντρο, (γ) κύκλο. Διαδικασία ολοκληρώνεται με κορυφές εξερευνημένες ή ανεξερεύνητες. Αν γράφημα συνεκτικό, όλες εξερευνημένες, και δέντρο BFS αποτελεί συνδετικό δέντρο γραφήματος. Αν όχι, εξερευνημένες σε ίδια συνεκτική συνιστώσα με s. Υπόλοιπες ανεξερεύνητες. ΠΛΗ 20, ΑΘΗ4 (2012-2013) 6η ΟΣΣ(Δέντρα - Εξετάσεις) 17
Ιδιότητες BFS δίνει υπογράφημα G p (V p, E p ) εξερευνημένων κορυφών και ακμών από όπου έγινε πρώτη επίσκεψη. Ένα μη κατευθυνόμενο γράφημα συνεκτικό ανν BFS παράγει συνδετικό δέντρο. Συνεκτικό γράφημα: BFS δέντρο είναι δέντρο συντομότερων μονοπατιών από s (ακμές θεωρούνται μοναδιαίου μήκους). Πώς υπολογίζουμε αποστάσεις; Αλγόριθμος για αναγνώριση διμερούς γραφήματος; s 1 2 3 4 5 6 7 8 9 ΠΛΗ 20, ΑΘΗ4 (2012-2013) 6η ΟΣΣ(Δέντρα - Εξετάσεις) 18
Αναζήτηση Κατά Βάθος (DFS) Εξερεύνηση νέων κορυφών με συνεχή απομάκρυνση από αρχική κορυφή s. Επισκέπτομαι ανεξερεύνητη κορυφή u για πρώτη φορά. Εξερευνώ (όμοια) όλους τους γείτονες της u (πριν εξερευνημένη). Αναδρομική διαδικασία: Κάθε χρονική στιγμή, 3 είδη κορυφών: Ανεξερεύνητη: δεν έχουμε επισκεφθεί ακόμη (λευκή). Υπο-εξέταση: έχουμε επισκευφθεί και εξερευνούμε γείτονες (γκρι). Εξερευνημένη: έχει ολοκληρωθεί η διαδικασία (μαύρη). ΠΛΗ 20, ΑΘΗ4 (2012-2013) 6η ΟΣΣ(Δέντρα - Εξετάσεις) 19
Αναζήτηση Κατά Βάθος (DFS) ΠΛΗ 20, ΑΘΗ4 (2012-2013) 6η ΟΣΣ(Δέντρα - Εξετάσεις) 20
Ελάχιστο Συνδετικό Δέντρο (MST) Συνεκτικό μη-κατευθ. G(V, E, w) με βάρη Βάρος υπογραφήματος Ζητούμενο: ελάχιστου βάρους συνεκτικό υπογράφημα που καλύπτει όλες τις κορυφές. Συνεκτικό (εξ ορισμού) + ακυκλικό (ελάχιστο) Δέντρο. Minimum Spanning Tree (MST, ΕΣΔ). Πολλές και σημαντικές εφαρμογές. Σχεδιασμός συνδετικού δικτύου (οδικού, τηλεπ/κου, ηλεκτρικού) με ελάχιστο κόστος. 5 1 4 4 10 2 3 5 6 8 6 10 3 5 5 12 2 4 6 7 7 8 9 1 5 ΠΛΗ 20, ΑΘΗ4 (2012-2013) 6η ΟΣΣ(Δέντρα - Εξετάσεις) 21
Τομές, Σύνολα Τομής, και ΕΣΔ Τομή (S, V \ S): διαμέριση κορυφών σε 2 σύνολα S, V \ S. Σύνολο τομής δ(s, V \ S): ακμές ένα άκρο στο S και άλλο άκρο στο V \ S. δ(s, V \ S): όλες οι ακμές που διασχίζουν τομή (S, V \ S). Σύνολο ακμών E διασχίζει τομή (S, V \ S) αν Ε δ(s, V \ S). (Ε)ΣΔ ορίζεται από σύνολο ακμών (ελάχιστου) βάρους που διασχίζει όλες τις τομές. Άπληστη στρατηγική: ενόσω «αγεφύρωτη» τομή, διέσχισέ την με ακμή ελάχιστου βάρους. ΠΛΗ 20, ΑΘΗ4 (2012-2013) 6η ΟΣΣ(Δέντρα - Εξετάσεις) 22 5 1 4 7 4 10 2 3 5 6 8 6 10 3 5 5 12 2 4 8 1 5 6 9 7
Αλγόριθμος Prim Ορθότητα: Ακμή {v, p[v]}: Διασχίζει τομή (S, V \ S). Ελάχιστου βάρους μεταξύ ακμών του δ(s, V \ S). ΠΛΗ 20, ΑΘΗ4 (2012-2013) 6η ΟΣΣ(Δέντρα - Εξετάσεις) 23
Αλγόριθμος Prim: Παράδειγμα ΠΛΗ 20, ΑΘΗ4 (2012-2013) 6η ΟΣΣ(Δέντρα - Εξετάσεις) 24
Αλγόριθμος Kruskal Ορθότητα: αν e i προστεθεί τότε: Όχι κύκλος, άρα e i διασχίζει μια τομή που δεν διασχίζει το Δ. Αύξουσα σειρά βάρους: e i ελάχιστου βάρους (πρώτη που ελέγχεται) από όσες ακμές διασχίζουν συγκεκριμένη τομή. ΠΛΗ 20, ΑΘΗ4 (2012-2013) 6η ΟΣΣ(Δέντρα - Εξετάσεις) 25
Αλγόριθμος Kruskal: Παράδειγμα ΠΛΗ 20, ΑΘΗ4 (2012-2013) 6η ΟΣΣ(Δέντρα - Εξετάσεις) 26
Κανόνες Σχηματισμού ΕΣΔ Ακμή e που για κάποια τομή (S, V \ S), αποτελεί ελάχιστου βάρους ακμή που διασχίζει τομή (S, V \ S): e ανήκει σε κάποιο ΕΣΔ. Ακμή e που για κάποιον κύκλο C αποτελεί μέγιστου βάρους ακμή κύκλου C: Αν βάρος e μεγαλύτερο από βάρος άλλων ακμών του C, e δεν ανήκει σε κανένα ΕΣΔ. Αν όλες οι ακμές του C έχουν ίδιο βάρος, e δεν ανήκει σε κάποιο ΕΣΔ. Ενόσω υπάρχει κύκλος C, αποκλεισμός (μιας) βαρύτερης ακμής C. ΠΛΗ 20, ΑΘΗ4 (2012-2013) 6η ΟΣΣ(Δέντρα - Εξετάσεις) 27
Συζήτηση Ασκήσεις Έστω γράφημα G με διαφορετικά βάρη στις ακμές. Νδο κάθε ΕΣΔ του G περιέχει την ακμή ελάχιστου βάρους. Νδο G έχει μοναδικό ΕΣΔ. Αληθεύει ότι η ακμή μέγιστου βάρους δεν ανήκει στο ΕΣΔ; Έστω γράφημα G με κύκλο C. Νδο η ακμή μέγιστου βάρους του C (αν είναι μοναδική) δεν ανήκει σε κανένα ΕΣΔ του G. Έστω T ΕΣΔ για γράφημα G(V, E, w). Να δείξετε ότι ΤπαραμένειΕΣΔγια G(V, E, w/2). Αληθεύει ότι το ΤπαραμένειΕΣΔγια G(V, E, w+k); ΠΛΗ 20, ΑΘΗ4 (2012-2013) 6η ΟΣΣ(Δέντρα - Εξετάσεις) 28
Συζήτηση Ασκήσεις Υπολογισμός ΕΣΔ Τ υπό περιορισμούς ότι κάποιες ακμές πρέπει να (μην) ανήκουν στο Τ; Υπολογισμός ΣΔ Τ με δεύτερο μικρότερο βάρος; Bottleneck κόστος ΣΔ Τ: Υπολογισμός ΣΔ με ελάχιστο bottleneck κόστος; ΠΛΗ 20, ΑΘΗ4 (2012-2013) 6η ΟΣΣ(Δέντρα - Εξετάσεις) 29
Εξετάσεις: Ερωτήματα Α Μέρους 10 Ερωτήματα, από 4 προτάσεις το καθένα (4 10 = 40). Κάθε πρόταση να χαρακτηριστεί ΣωστήήΛάθος. Όχι απάντηση: 0. Σωστή απάντηση: 1. Λάθος απάντηση: -1/2. Ελάχιστη βαθμολογία σε κάθε ερώτημα: 0. Χρόνος: συνήθως 1 ώρα και 10 λεπτά. Βαρύτητα: περίπου 1/3 συνολικής βαθμολογίας. Εξετάζονται τα πάντα! Αλλά (σχετικά) εύκολα και έτσι ώστε να λύνονται (σχετικά) γρήγορα. Βασικό η ακριβής κατανόηση του ζητούμενου, σε κάποια αφού «οι λέξεις κάνουν τη διαφορά»! «Τυπολόγιο» δεν βοηθάει σημαντικά, λόγω χρόνου. Εξάσκηση, ψυχραιμία, προσοχή, αυτο-συγκέντρωση! ΠΛΗ 20, ΑΘΗ4 (2012-2013) 6η ΟΣΣ(Δέντρα - Εξετάσεις) 30
Εξετάσεις: Ερωτήματα Β Μέρους Συνήθως 4 ασκήσεις σε περίπου 2 ώρες και 20 λεπτά. Αρκετές φορές παρόμοια με ερωτήματα εργασιών (όχι μόνο τρέχουσας χρονιάς, αλλά και παλαιότερων). Συνδυαστική (συνήθως 25%): Συνήθως δύο σκέλη (με επιμέρους ερωτήματα). Μαθηματική Λογική (συνήθως 35%): Συνήθως τρία σκέλη (κάποια με επιμέρους ερωτήματα). Γραφήματα (συνήθως 2 20%): Συνήθως δύο ασκήσεις, μπορεί να αναλύονται σε επιμέρους ερωτήματα (για διευκόλυνση). ΠΛΗ 20, ΑΘΗ4 (2012-2013) 6η ΟΣΣ(Δέντρα - Εξετάσεις) 31
Συνδυαστική 100 (μη διακεκριμένοι) επιβάτες κατεβαίνουν σε 4 (διακεκριμένες) στάσεις. Γεννήτρια Συνάρτηση και όρο του οποίου ο συντελεστής δίνει #τρόπων να κατέβουν, όταν: Δεν υπάρχουν περιορισμοί. #επιβατών 3 η στάση #επιβατών 2 η στάση #επιβατών 1 η στάση. #συμβ/ρών μήκους n από γράμματα Α, Β, και Γ, όταν κάθε γράμμα εμφανίζεται τουλάχιστον 1 φορά, #Α είναιάρτιος, και #Γ είναιπεριττός. #συμβ/ρών για n = 3, 4, και 5. ΓΣ και όρο του οποίου ο συντελεστής δίνει τον #συμβ/ρών μήκους n. ΠΛΗ 20, ΑΘΗ4 (2012-2013) 6η ΟΣΣ(Δέντρα - Εξετάσεις) 32
Συνδυαστική n πράσινους βόλους και m κόκκινους βόλους (n m) στη σειρά ώστε τουλάχιστον 1 πράσινος βόλος ανάμεσα σε κάθε ζευγάρι κόκκινων. Γεννήτρια συνάρτηση και όρο του οποίου ο συντελεστής δίνει #διαφορετικών τοποθετήσεων. #μεταθέσεων γραμμάτων λέξης ΠΑΡΑΠΟΝΑ ώστε τα 2 Π να μην εμφανίζονται σε διαδοχικές θέσεις. Πόσα γραφήματα ισομορφικά με το διπλανό γράφημα έχει το γράφημα Κ 4 ; Πόσα έχει το Κ 20. Θεωρούμε τις κορυφές των Κ 4 και Κ 20 διακεκριμένες. ΠΛΗ 20, ΑΘΗ4 (2012-2013) 6η ΟΣΣ(Δέντρα - Εξετάσεις) 33
Μαθηματική Λογική Κάποια αντιπροσωπευτικά ερωτήματα (τελευταίας 5ετίας): Ερ. 2, Επαναληπτική 2012. Ερ. 2, Κανονική 2012. Ερ. 2, Επαναληπτική 2011. Ερ. 2.β και2.δ, Κανονική 2011. Ερ. 2.2, Ιούλιος 2010. Ερ. 2, Ιούνιος 2010 (δείτε ειδικά τα 2.i και 2.ii). Ερ. 2, Ιούλιος 2009. Ερ. 2.α και2.γ, Ιούνιος 2009. Ερ. 2, Ιούλιος 2008. Ερ. 2.α, Ιούνιος 2008. Ερ. 2, Ιούλιος 2007. Ερ. 2, Ιούνιος 2007. ΠΛΗ 20, ΑΘΗ4 (2012-2013) 6η ΟΣΣ(Δέντρα - Εξετάσεις) 34
Θεωρία Γραφημάτων Κάποια αντιπροσωπευτικά ερωτήματα (τελευταίας 5ετίας): Ερ. 3 (επαγ. δέντρα) και Ερ. 4 (Euler), επαναλ. 12. Ερ. 3.α (επαγ. χρωματικός αρ.), Ερ. 3.β (DFS και συνεκτικότητα), και Ερ. 4 (επιπεδότητα), κανονική 12. Ερ. 3 (χρωματικός αρ.) και Ερ. 4 (δέντρα+αποστάσεις), επαναλ. 11. Ερ. 3 (Hamilton+επαγωγή) και Ερ. 4 (διμερή+επίπεδα), κανον. 11. Ερ. 3 (συντ. μονοπάτια) και 4 (χρωματικός αρ.+επαγωγή), Ιούλιος 10. Ερ. 3 (συνδυαστική+χρωματισμοί+συνεκτικότητα) και Ερ. 4 (επιπεδότητα), Ιούνιος 10. Ερ. 3 (επιπεδότητα) και 4 (συμπληρωματικό+απόστασεις), Ιούλιος 09. Ερ. 3 (επαγωγή σε δέντρα) και 4.2 (δέντρα+...), Ιούνιος 2009. Ερ. 3 (Hamilton) και 4.1 (βαθμοί+δέντρα), Ιούλιος 2008. Ερ. 3 (επιπεδότητα+βαθμοί) και 4 (ΕΣ δέντρα), Ιούνιος 2008. Ερ. 3 (χρωματικός αριθμός) και 4, Ιούλιος 2007. Ερ. 3 (επιπεδότητα) και 4 (επαγωγή), Ιούνιος 2007. ΠΛΗ 20, ΑΘΗ4 (2012-2013) 6η ΟΣΣ(Δέντρα - Εξετάσεις) 35