Outline 1 Άσκηση 1: Εφαρμογές BFS DFS 2 Άσκηση 2: Μια Συνάρτηση Κόστους σε Κατευθυνόμενα Γραφήματα 3 Άσκηση 3: Ανάλυση Ασφάλειας 4 Άσκηση 4: Το Σύνολο

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Outline 1 Άσκηση 1: Εφαρμογές BFS DFS 2 Άσκηση 2: Μια Συνάρτηση Κόστους σε Κατευθυνόμενα Γραφήματα 3 Άσκηση 3: Ανάλυση Ασφάλειας 4 Άσκηση 4: Το Σύνολο"

Transcript

1 Αλγόριθμοι και Πολυπλοκότητα 3η σειρά γραπτών και προγραμματιστικών ασκήσεων CoReLab ΣΗΜΜΥ ΕΜΠ Ιανουάριος 2017 CoReLab ΣΗΜΜΥ ΕΜΠ Αλγόριθμοι και Πολυπλοκότητα Ιανουάριος / 53

2 Outline 1 Άσκηση 1: Εφαρμογές BFS DFS 2 Άσκηση 2: Μια Συνάρτηση Κόστους σε Κατευθυνόμενα Γραφήματα 3 Άσκηση 3: Ανάλυση Ασφάλειας 4 Άσκηση 4: Το Σύνολο των Συνδετικών Δένδρων 5 Άσκηση 5: Μοναδικότητα Ελάχιστου Συνδετικού Δέντρου 6 1η Προγραμματιστική Άσκηση 7 2η Προγραμματιστική Άσκηση CoReLab ΣΗΜΜΥ ΕΜΠ Αλγόριθμοι και Πολυπλοκότητα Ιανουάριος / 53

3 Άσκηση 1α: Εφαρμογές BFS DFS ΙΔΕΑ: Το T δέντρο άρα υπάρχει μοναδικό μονοπάτι από τον r στον v που περνάει από τον u. CoReLab ΣΗΜΜΥ ΕΜΠ Αλγόριθμοι και Πολυπλοκότητα Ιανουάριος / 53

4 Άσκηση 1α: Εφαρμογές BFS DFS Στον αλγόριθμο DFS κάθε χρονική στιγμή έχουμε τριών ειδών κορυφές: Ανεξερεύνητη Υπό Εξέταση Εξερευνημένη Οταν u ανεξερεύνητη v ανεξερεύνητη Οταν u υπό εξέταση v υπό εξέταση ή εξερευνημένη Οταν u εξερευνημένη v εξερευνημένη Εστω s(u) η χρονική στιγμή που ο κόμβος u έγινε υπό εξέταση. Εστω d(u) η χρονική στιγμή που ο κόμβος u έγινε εξερευνημένος. Αν u πρόγονος του v s(u) < s(v) και d(u) > d(v). CoReLab ΣΗΜΜΥ ΕΜΠ Αλγόριθμοι και Πολυπλοκότητα Ιανουάριος / 53

5 Άσκηση 1α: Εφαρμογές BFS DFS Αντίστροφα: Αν ο u δεν είναι πρόγονος του v. Οταν u υπό εξέταση v ανεξερεύνητη. Επομένως, d(u) < s(v). u πρόγονος του v s(u) < s(v) και d(u) > d(v). Προεπεξεργασία: Κάνουμε DFS και κρατάμε τα s(u), d(u) για κάθε κόμβο u. Πολυπλοκότητα: O(n). Ερώτημα: Εξετάζουμε αν s(u) < s(v) και d(u) > d(v). Πολυπλοκότητα: O(1). CoReLab ΣΗΜΜΥ ΕΜΠ Αλγόριθμοι και Πολυπλοκότητα Ιανουάριος / 53

6 Άσκηση 1β: Εφαρμογές BFS DFS Εστω P 1, P 2 δύο διαφορετικά μονοπάτια (όχι ξένα μεταξύ τους) από τον s στον t τ.ω. P 1 άρτιος και P 2 περιττός. Το G Ισχυρά Συνεκτικό υπάρχει μονοπάτι P από τον s στον t. Χ.β.τ.γ. P άρτιος υπάρχει κλειστή διαδρομή (PP 2 ) που ξεκινάει από τον s και καταλήγει στον s και PP 2 περιττός. ΠΡΟΣΟΧΗ: (PP 2 ) κλειστή διαδρομή όχι απαραίτητα απλός κατευθυνόμενος κύκλος. Η (PP 2 ) αποτελείται από πολλούς απλούς κατευθυνόμενους κύκλους C 1, C 2,, C k. Αν κάθε C i άρτιος (PP 2 ) άρτιος, ΑΤΟΠΟ. CoReLab ΣΗΜΜΥ ΕΜΠ Αλγόριθμοι και Πολυπλοκότητα Ιανουάριος / 53

7 Άσκηση 1β: Εφαρμογές BFS DFS Αλγοριθμική Ιδέα: Αν βρούμε ότι από κόμβο s υπάρχει περιττό και άρτιο μονοπάτι προς κόμβο t περιττός κύκλος. Αποδοτική Υλοποίηση Με BFS: Κάνουμε BFS από τυχαίο κόμβο s. Κάθε κόμβος u, όταν εξερευνείται, παίρνει ένα χρώμα, ΑΣΠΡΟ ή ΜΑΥΡΟ. Κατά την εξέταση κάθε κόμβου u εξευρευνούνται τα παιδιά του και: αν δεν έχουν χρώμα, παίρνουν το αντίθετο από τον u. αν κάποιο παιδί v έχει ήδη χρώμα ίδιο με αυτό του u, απαντάμε ΝΑΙ. CoReLab ΣΗΜΜΥ ΕΜΠ Αλγόριθμοι και Πολυπλοκότητα Ιανουάριος / 53

8 Άσκηση 1β: Εφαρμογές BFS DFS Ορθότητα: ( ) Οι κόμβοι που βάφονται με ΑΣΠΡΟ έχουν μονοπάτι άρτιου μήκους από τον s. Οι κόμβοι που βάφονται με ΜΑΥΡΟ έχουν μονοπάτι περιττού μήκους από τον s. Ολοι οι κόμβοι θα βαφτούν με κάποιο χρώμα γιατί το G Ισχυρά Συνεκτικό. Αν βρεθεί κόμβος που μπορεί να βαφτεί είτε με ΑΣΠΡΟ είτε με ΜΑΥΡΟ υπάρχει κύκλος περιττού μήκους. CoReLab ΣΗΜΜΥ ΕΜΠ Αλγόριθμοι και Πολυπλοκότητα Ιανουάριος / 53

9 Άσκηση 1β: Εφαρμογές BFS DFS Ορθότητα: ( ) Εστω ότι υπάρχει κύκλος C περιττού μήκους. G Ισχυρά Συνεκτικό Ολοι οι κόμβοι του C παίρνουν κάποιο χρώμα. Οπως και να χρωματιστεί ο C, υπάρχει πάντα ακμή (u, v) με ίδιο χρώμα στα άκρα της. Πολυπλοκότητα: O( V + E ). CoReLab ΣΗΜΜΥ ΕΜΠ Αλγόριθμοι και Πολυπλοκότητα Ιανουάριος / 53

10 Άσκηση 2: Συνάρτηση Κόστους σε Κατευθ. Γραφήματα Εστω κατευθυνόμενο γράφημα όπου κάθε κορυφή έχει μια α- κέραια τιμή p u > 0. Ορίζουμε ως κόστος κάθε κορυφής: c(u) = τιμή της φθηνότερης κορυφής που είναι προσπελάσιμη από τη u (συμπεριλαμβανομένης της u) Είσοδος: Κατευθυν. γράφημα G(V, E) με τιμές p u, u V Ζητούμενο: Αλγόριθμος γραμμικού χρόνου που υπολογίζει το c(u) για κάθε κορυφή u (α) DAG (β) Γενίκευση για κάθε κατευθυνόμενο γράφημα G CoReLab ΣΗΜΜΥ ΕΜΠ Αλγόριθμοι και Πολυπλοκότητα Ιανουάριος / 53

11 Άσκηση 2: Συνάρτηση Κόστους σε Κατευθ. Γραφήματα Εστω μια κορυφή u. Τότε όλες οι κορυφές που είναι προσπελάσιμες από τη u είναι οι εξής: η ίδια η κορυφή u οι κορυφές με τις οποίες συνδέεται με ακμή u v i : v 1,..., v d οι κορυφές που είναι προσπελάσιμες από τις v 1,..., v d Συνοπτικά γράφουμε: c(u) = min{p u, min v:(u,v) E {c(v)}} CoReLab ΣΗΜΜΥ ΕΜΠ Αλγόριθμοι και Πολυπλοκότητα Ιανουάριος / 53

12 Άσκηση 2: Συνάρτηση Κόστους σε Κατευθ. Γραφήματα (α) Αλγόριθμος για DAG Θέλουμε να βρούμε ένα τρόπο να υπολογίσουμε πρώτα όλες τις τιμές c(v), v : (u, v) e και μετά να κρατήσουμε τη μικρότερη τιμή min{p u, min v:(u,v) E {c(v)}} Θα θέλαμε να χειριστούμε τις κορυφές με μια συγκεκριμένη σειρά. Επειδή το γράφημα είναι DAG, μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε τοπολογική διάταξη και έπειτα να εξετάσουμε τις κορυφές στην αντίστροφη σειρά. CoReLab ΣΗΜΜΥ ΕΜΠ Αλγόριθμοι και Πολυπλοκότητα Ιανουάριος / 53

13 Άσκηση 2: Συνάρτηση Κόστους σε Κατευθ. Γραφήματα (α) Αλγόριθμος για DAG Αλγόριθμος 1 Τοπολογική διάταξη των κορυφών στο G 2 Εξετάζοντας τις κορυφές σε αντίστροφη σειρά από την τοπολογική διάταξη: Για κάθε κορυφή u V υπολογίζουμε c(u) = min{p u, min v:(u,v) E {c(v)}} Πολυπλοκότητα: Και τα δύο βήματα απαιτούν χρόνο O( V + E ), άρα γραμμικός αλγόριθμος CoReLab ΣΗΜΜΥ ΕΜΠ Αλγόριθμοι και Πολυπλοκότητα Ιανουάριος / 53

14 Άσκηση 2: Συνάρτηση Κόστους σε Κατευθ. Γραφήματα (β) Γενίκευση για κάθε κατευθυνόμενο γράφημα G Ισχυρά συνεκτική συνιστώσα (ΙΣΣ) ενός κατευθυνόμενου γραφήματος G(V, E) = ένα μέγιστο σύνολο κορυφών U V, τ.ώ. u, v U να υπάρχει διαδρομή u v και v u. Θα βασιστούμε στο γεγονός ότι Οι ισχυρά συνεκτικές συνιστώσες ενός κατευθυνόμενου γραφήματος μπορούν να υπολογιστούν σε γραμμικό χρόνο. CoReLab ΣΗΜΜΥ ΕΜΠ Αλγόριθμοι και Πολυπλοκότητα Ιανουάριος / 53

15 Άσκηση 2: Συνάρτηση Κόστους σε Κατευθ. Γραφήματα (β) Γενίκευση για κάθε κατευθυνόμενο γράφημα G Το γράφημα G που προκύπτει αν συρρικνώσουμε κάθε ΙΣΣ σε μια κορυφή είναι DAG. CoReLab ΣΗΜΜΥ ΕΜΠ Αλγόριθμοι και Πολυπλοκότητα Ιανουάριος / 53

16 Άσκηση 2: Συνάρτηση Κόστους σε Κατευθ. Γραφήματα (β) Γενίκευση για κάθε κατευθυνόμενο γράφημα G Αν βρούμε τη τοπολογική διάταξη του μεταγραφήματος αυτού, ουσιαστικά βάζουμε τις ΙΣΣ σε μια φθίνουσα σειρά χρόνων αναχώρησης του DFS Οι {G, H, I, J, K, L}, {D} είναι τερματικές ισχυρά συνεκτικές συνιστώσες (= ισχυρά συνεκτική συνιστώσα χωρίς εξερχόμενες ακμές στο μεταγράφημα). Στην τοπολογική διάταξη του μεταγραφήματος, μια τερματική ΙΣΣ είναι η μετακορυφή με το χαμηλότερο χρόνο αναχώρησης, δηλ. η τελευταία στη διάταξη. CoReLab ΣΗΜΜΥ ΕΜΠ Αλγόριθμοι και Πολυπλοκότητα Ιανουάριος / 53

17 Άσκηση 2: Συνάρτηση Κόστους σε Κατευθ. Γραφήματα (β) Γενίκευση για κάθε κατευθυνόμενο γράφημα G Αν ξεκινήσουμε τον DFS από έναν κόμβο που ανήκει σε μια τερματική ΙΣΣ, τότε θα εξερευνήσουμε όλη την ΙΣΣ αυτή και θα σταματήσουμε. Ιδέα αλγόριθμου: 1 Ξεκινάμε από έναν κόμβο που ανήκει σε μια τερματική ΙΣΣ. 2 Βρίσκουμε μέσω DFS όλους τους κόμβους σε αυτήν την ΙΣΣ. 3 Αφαιρούμε την ΙΣΣ αυτή και επαναλαμβάνουμε. Πώς βρίσκουμε μια τερματική ΙΣΣ; CoReLab ΣΗΜΜΥ ΕΜΠ Αλγόριθμοι και Πολυπλοκότητα Ιανουάριος / 53

18 Άσκηση 2: Συνάρτηση Κόστους σε Κατευθ. Γραφήματα (β) Γενίκευση για κάθε κατευθυνόμενο γράφημα G Αν ξεκινήσουμε τον DFS από έναν κόμβο που ανήκει σε μια τερματική ΙΣΣ, τότε θα εξερευνήσουμε όλη την ΙΣΣ αυτή και θα σταματήσουμε. Ιδέα αλγόριθμου: 1 Ξεκινάμε από έναν κόμβο που ανήκει σε μια τερματική ΙΣΣ. 2 Βρίσκουμε μέσω DFS όλους τους κόμβους σε αυτήν την ΙΣΣ. 3 Αφαιρούμε την ΙΣΣ αυτή και επαναλαμβάνουμε. Πώς βρίσκουμε μια τερματική ΙΣΣ; Στο αντίστροφο γράφημα G R μια τερματική ΙΣΣ γίνεται μια αρχική ΙΣΣ, δηλαδή μια ΙΣΣ χωρίς εισερχόμενες ακμές! CoReLab ΣΗΜΜΥ ΕΜΠ Αλγόριθμοι και Πολυπλοκότητα Ιανουάριος / 53

19 Άσκηση 2: Συνάρτηση Κόστους σε Κατευθ. Γραφήματα (β) Γενίκευση για κάθε κατευθυνόμενο γράφημα G Αλγόριθμος για ισχυρά συνεκτικές συνιστώσες 1 DFS(G ) για τον υπολογισμό των χρόνων αναχώρησης f [u] για κάθε u V 2 υπολογισμός αντίστροφου γραφήματος G R (δηλ. με ανεστραμμένες τις ακμές) 3 DFS(G R ) στο κύριο βρόχο for της DFS_Init εξετάζουμε τις κορυφές σε φθίνουσα σειρά των χρόνων f [u] από το βήμα 1 4 οι κορυφές κάθε δένδρου από το βήμα 3 συναποτελούν μια συνεκτική συνιστώσα Πολυπλοκότητα: O( V + E ) CoReLab ΣΗΜΜΥ ΕΜΠ Αλγόριθμοι και Πολυπλοκότητα Ιανουάριος / 53

20 Άσκηση 2: Συνάρτηση Κόστους σε Κατευθ. Γραφήματα (β) Γενίκευση για κάθε κατευθυνόμενο γράφημα G Πώς ο αλγόριθμος για τις ισχυρά συνεκτικές συνιστώσες μας βοηθά στον υπολογισμό του c(u); Σε μια ισχυρά συνεκτική συνιστώσα U V, για κάθε u, v U υπάρχει διαδρομή u v και v u. Άρα c(u) = c(v), u, v U. Συνεπώς, αρκεί να υπολογίσουμε τη μικρότερη τιμή p(u) κάθε ΙΣΣ και να τρέξουμε τον αλγόριθμο του ερωτήματος (α) στο μεταγράφημα των ΙΣΣ του G. CoReLab ΣΗΜΜΥ ΕΜΠ Αλγόριθμοι και Πολυπλοκότητα Ιανουάριος / 53

21 Άσκηση 2: Συνάρτηση Κόστους σε Κατευθ. Γραφήματα (β) Γενίκευση για κάθε κατευθυνόμενο γράφημα G Αλγόριθμος 1 Βρίσκουμε τις συνεκτικές συνιστώσες του γραφήματος. 2 Για κάθε ΙΣΣ U, υπολογίζουμε το p (U) = min u U p(u). 3 Στο μεταγράφημα με κορυφές τις ΙΣΣ του G, τρέχουμε τον αλγόριθμο του ερωτήματος (α). Βρίσκουμε τις τιμές c (U). 4 Για κάθε ΙΣΣ, για κάθε κορυφή u U θέτουμε c(u) = c (U). Κάθε βήμα απαιτεί χρόνο O( V + E ) γραμμικός αλγόριθμος. CoReLab ΣΗΜΜΥ ΕΜΠ Αλγόριθμοι και Πολυπλοκότητα Ιανουάριος / 53

22 Άσκηση 3: Ανάλυση Ασφάλειας Είσοδος: Εταιρικό δίκτυο με n υπολογιστές C 1,.., C n Τριάδες της μορφής (C i, C j, t) σε αύξουσα σειρά οι C i και C j θα επικοινωνήσουν τη χρονική στιγμή t C 1 μολύνεται τη χρονική στιγμή t 1 = 0 Ζητούμενο: Αλγόριθμος γραμμικού χρόνου που βρίσκει για κάθε υπολογιστή C j τη χρονική στιγμή t j που μολύνθηκε Σημείωση: Ενας υπολογιστής μολύνεται όταν επικοινωνεί τη στιγμή t με κάποιον υπολογιστή που μολύνθηκε κάποια στιγμή t t. CoReLab ΣΗΜΜΥ ΕΜΠ Αλγόριθμοι και Πολυπλοκότητα Ιανουάριος / 53

23 Άσκηση 3: Ανάλυση Ασφάλειας Η λύση βασίζεται στην κατασκευή του εξής κατευθυνόμενου γράφου: Διαβάζουμε τις τριάδες σε αύξουσα σειρά χρόνου. Για κάθε τριάδα (C i, C j, t), δημιουργούμε έναν κόμβο [C i /t] και έναν [C j /t]. Προσθέτουμε μια κατευθυνόμενη ακμή [C i /t] [C j /t] και μια κατευθυνόμενη ακμή [C i /t] [C j /t]. Ελέγχουμε αν είναι η πρώτη φορά που συναντάμε στις τριάδες τον υπολογιστή C i. Αν όχι, βρίσκουμε τη τελευταία χρονική στιγμή t t που συναντήσαμε τον C i σε κάποια τριάδα. Ετσι, προσθέτουμε μια κατευθυνόμενη ακμή [C i /t ] [C i /t]. Ομοια, για τον C j. Υλοποίηση αυτού του βήματος: Με ένα πίνακα n θέσεων. Στη θέση i για τον C i αποθηκεύουμε την πιο πρόσφατη επικοινωνία που είχε (δηλ. κάποιον κόμβο [C j /t ]). CoReLab ΣΗΜΜΥ ΕΜΠ Αλγόριθμοι και Πολυπλοκότητα Ιανουάριος / 53

24 Άσκηση 3: Ανάλυση Ασφάλειας Εχοντας κατασκευάσει αυτό το γράφο, το αρχικό πρόβλημα μεταφράζεται στο πρόβλημα εύρεσης όλων των κόμβων που ανήκουν στην ίδια συνεκτική συνιστώσα με τον κόμβο [C 1 /0]. Πχ. στο παραπάνω παράδειγμα, οι C 4, C 5 δεν μπορούν να μολυνθούν CoReLab ΣΗΜΜΥ ΕΜΠ Αλγόριθμοι και Πολυπλοκότητα Ιανουάριος / 53

25 Άσκηση 3: Ανάλυση Ασφάλειας Διατηρούμε έναν ακόμα πίνακα results[1..n] θέσεων, όπου στην i-οστή θέση θα αποθηκεύουμε τη χρονική στιγμή που προσβλήθηκε ο C i. 1 Αρχικοποιούμε τις θέσεις του πίνακα results[1..n] στο NULL (μη μολυσμένοι υπολογιστές). 2 Ξεκινώντας από τον κόμβο [C 1 /0], εκτελούμε τον BFS/DFS στον κατευθυνόμενο γράφο που κατασκευάσαμε. 3 Κάθε φορά που συναντάμε ένα νέο κόμβο [C i, t] και ο C i είναι μη μολυσμένος (δηλαδή results[i] NULL), θέτουμε results[i] = t. Αλλιώς θέτουμε results[i] = min(t, results[i]). CoReLab ΣΗΜΜΥ ΕΜΠ Αλγόριθμοι και Πολυπλοκότητα Ιανουάριος / 53

26 Άσκηση 3: Ανάλυση Ασφάλειας Βασιζόμαστε στο εξής: Υπάρχει ένα κατευθυνόμενο μονοπάτι από το κόμβο [C 1 /0] στον [C /t], ανν όντως ο C έχει μολυνθεί μέχρι και τη στιγμή t. Από την κατασκευή του γράφου, ακμή υπάρχει μόνο ανάμεσα σε δύο υπολογιστές που επικοινωνούν την ίδια στιγμή t ή ανάμεσα σε δύο κόμβους [C i /t 1 ] [C i /t 2 ], t 1 t 2. Ετσι, κατά την εκτέλεση του BFS, ο ιός βρίσκει μόνο έγκυρα κατευθυνόμενα μονοπάτια μέχρι τον υπολογιστή [C /t]. Αντίστροφα, αν ο C μολύνεται τη στιγμή t t, θα υπάρχει μια ακολουθία επικοινωνίας ανάμεσα σε υπολογιστές που οδήγησε στη μόλυνση του C. Αντίστοιχα, στο γράφο θα υπάρχει εκ κατασκευής κάποιος κόμβος [C /t ], οι αντίστοιχοι ενδιάμεσοι κόμβοι και ακμές και άρα ένα μονοπάτι [C 1 /0] [C /t ]. CoReLab ΣΗΜΜΥ ΕΜΠ Αλγόριθμοι και Πολυπλοκότητα Ιανουάριος / 53

27 Άσκηση 3: Ανάλυση Ασφάλειας Χρονική Πολυπλοκότητα O(m) Μέγεθος κατευθυνόμενου γράφου: V = O(m) και E = O(m) Για κάθε τριάδα προσθέτω το πολύ 2 κόμβους και το πολύ 4 ακμές. Κατασκευή γράφου και πίνακα ελέγχου: O(m) Εκτέλεση BFS σε γραμμικό χρόνο ως προς το γράφο: O(m). CoReLab ΣΗΜΜΥ ΕΜΠ Αλγόριθμοι και Πολυπλοκότητα Ιανουάριος / 53

28 Άσκηση 4α: Το Σύνολο των Συνδετικών Δέντρων 4α) Εστω T 1,T 2 δύο διαφορετικά συνδετικά δέντρα και e T 2 \T 1 (T 2 \T 1 ). T 1 {e} περιέχει κύκλο C.Υπάρχει ακμή e C,e / T 2 (Αλλίως T 2 περιέχει τον C) (T 1 \{e}) {e } είναι άκυκλο με n 1 ακμές = Συνδετικό δέντρο. Εύρεση e Εστω T 1, T 2 και e = {u, v}. Σε O( V ) κάνουμε Διάσχιση κατά Βάθος από το u στο v στο δέντρο T 1 και βρίσκουμε μονοπάτι P που τους συνδέει. Για κάθε e P ελεγχούμε σε O(1) αν ανήκει στο T 2 και μόλις βρούμε e P,e / T 2 την αφαιρουμε. Συνολικά, O( V ) CoReLab ΣΗΜΜΥ ΕΜΠ Αλγόριθμοι και Πολυπλοκότητα Ιανουάριος / 53

29 Άσκηση 4β: Το Σύνολο των Συνδετικών Δέντρων Ιδιότητα Εστω T 1, T 2 H και d H (T 1, T 2 ) το μήκος του συντομότερο μονοπατιού μεταξύ T 1, T 2 στο H. Τότε T 1 \T 2 = k ανν d H (T 1, T 2 ) = k Απόδειξη Θα χρησιμοποήσουμε Επαγωγή στο μήκος του μονοπατιού: Επαγωγική Βάση: Από ορισμό του H, T 1 \T 2 = 1 ανν d H (T 1, T 2 ) = 1. Επαγωγική Υπόθεση: T 1 \T 2 = k ανν d H (T 1, T 2 ) = k. Επαγωγική Βήμα: Θ.δ.ο. T 1 \T 2 = k + 1 ανν d H (T 1, T 2 ) = k + 1 CoReLab ΣΗΜΜΥ ΕΜΠ Αλγόριθμοι και Πολυπλοκότητα Ιανουάριος / 53

30 Άσκηση 4: Το Σύνολο των Συνδετικών Δέντρων Απόδειξη Επαγωγικού Βήματος = Εστω e T 1 /T 2. Λόγω (α), υπαρχει e T 2 /T 1 τ.ω. T 1 = (T 1\{e}) {e } H. Αλλά, T 1 \T 2 = k = Ε.Υ d H (T 1, T 2 ) k + 1. Από Ε.Υ. αν d H (T 1, T 2 ) = k τότε d H (T 1, T 2 ) = k. Άτοπο( T 1 \T 2 = k + 1) Άρα, d H (T 1, T 2 ) k + 1 = d H (T 1, T 2 ) = k + 1. = Εφόσον d H (T 1, T 2 ) = k + 1 υπάρχει T 1 H τ.ω. d H (T 1, T 1 ) = 1,d H(T 1, T 2) = k. Από Ε.Υ. T 1 \T 2 = k. Άρα, T 1 \T 2 = k 1 ή T 1 \T 2 = k + 1. Αν T 1 \T 2 = k 1 = Ε.Ψ. d H (T 1, T 2 ) = k 1 Άτοπο. CoReLab ΣΗΜΜΥ ΕΜΠ Αλγόριθμοι και Πολυπλοκότητα Ιανουάριος / 53

31 Άσκηση 4: Το Σύνολο των Συνδετικών Δέντρων Υπολογισμός Συντομότερου Μονοπατιού Υπολογίζουμε το σύνολο ακμών T 2 \T 1 Για κάθε e T 2 \T 1 προσθέτουμε την e στο υπάρχον δέντρο. Ορθότητα Αν T 2 \T 1 = k τότε σε k βήματα έχουμε μετατρέψει το T 1 σε T 2. Άρα, έχουμε βρει μονοπάτι στο H μήκους k = Το συντομότερο μονοπάτι. Πολυπλοκότητα Σε O( V ) αποθηκεύουμε το T 1 ως rooted δέντρο(κάθε κόμβος δείχνει στον πατέρα του). Για κάθε ακμή e T 2 έλεγχουμε σε O(1) αν e T 1. Άρα, O( V ). Κάνουμε k ανανεώσεις ακμών σε O( V ) βήματα. Σύνολο, O(k V ). CoReLab ΣΗΜΜΥ ΕΜΠ Αλγόριθμοι και Πολυπλοκότητα Ιανουάριος / 53

32 Άσκηση 4γ: Το Σύνολο των Συνδετικών Δέντρων Αλγόριθμος Αν E 1 < k, προφανώς δεν υπάρχει το ζητούμενο ΣΔ. Θέτουμε στις ακμές του συνόλου E 1 βάρος 1, και στις ακμές του συνόλου E 2 βάρος 0. Εκτελούμε τον αλγόριθμο Kruskal στο γράφημα που προκύπτει, οπότε λαμβάνουμε ένα ΕΣΔ T 1. Αν w(t 1 ) > k, τότε δεν υπάρχει το ζητούμενο ΕΣΔ. Εστω k 1 το πλήθος των ακμών του T 1 E 1.. Θεωρούμε το γράφημα G που περιέχει μόνο αυτές τις k 1 ακμές. Θέτουμε στο G, w(e 1 \ (T 1 E 1 )) = 0 και w(e 2 ) = 1. Εκτελούμε τον αλγόριθμο Kruskal στο G, προσθέτοντας ακμές ώσπου να έχουμε συνολικά k ακμές του συνόλου E 1. Η εκτέλεση του Kruskal συνεχίζεται με τις ακμές του συνόλου E 2, μέχρι το G να γίνει συνεκτικό. Ονομάζουμε το γράφημα που προκύπτει G 1 και το επιστρέφουμε ως ΣΔ του G. CoReLab ΣΗΜΜΥ ΕΜΠ Αλγόριθμοι και Πολυπλοκότητα Ιανουάριος / 53

33 Άσκηση 4γ: Το Σύνολο των Συνδετικών Δέντρων Ορθότητα Εστω το G = G 1 E 2. Το G έχει ως ΣΔ το T 1 επομένως είναι συνεκτικό. Η εκτέλεση του αλγορίθμου Kruskal στο G θα επιστρέψει ως ΕΣΔ το G 1, επομένως το G κάποια στιγμή θα γίνει συνεκτικό. Προφανώς, στο G 1 υπάρχουν ακριβώς k ακμές του E 1, από τον ορισμό του αλγορίθμου. Πολυπλοκότητα O(m logm) λόγω του αλγορίθμου Kruskal. CoReLab ΣΗΜΜΥ ΕΜΠ Αλγόριθμοι και Πολυπλοκότητα Ιανουάριος / 53

34 Άσκηση 5α: Μοναδικότητα Ελάχιστου Συνδετικού Δέντρου 5α) CoReLab ΣΗΜΜΥ ΕΜΠ Αλγόριθμοι και Πολυπλοκότητα Ιανουάριος / 53

35 Άσκηση 5: Μοναδικότητα Ελάχιστου Συνδετικού Δέντρου 5β) Εστω T 1 T 2 2 ΕΣΔ του G(V, E, w) Αφού T 1 T 2 {s, v} E : {s, v} T 1 {s, v} T 2 {s, v} τομή (S, V S) Ομως (από υπόθεση) για κάθε τομή C argmin e {δ(c)} = 1 {s, v} = argmin e δ(s,v S) {w(e)} σε κάποιο ΕΣΔ (έστω το T 1 ) {s, v} T 2 T 2 ΕΣΔ υπάρχει μονοπάτι P(s, v) T 2 e δ(s, V S) : e P(s, v) T 2 P(s, v) {s, v} κύκλος (T 2 {e}) {s, v} = T συνδετικό δέντρο με w(t ) < w(t ) ΑΤΟΠΟ CoReLab ΣΗΜΜΥ ΕΜΠ Αλγόριθμοι και Πολυπλοκότητα Ιανουάριος / 53

36 Άσκηση 5: Μοναδικότητα Ελάχιστου Συνδετικού Δέντρου 5β) CoReLab ΣΗΜΜΥ ΕΜΠ Αλγόριθμοι και Πολυπλοκότητα Ιανουάριος / 53

37 Άσκηση 5: Μοναδικότητα Ελάχιστου Συνδετικού Δέντρου 5β) Αντιπαράδειγμα : CoReLab ΣΗΜΜΥ ΕΜΠ Αλγόριθμοι και Πολυπλοκότητα Ιανουάριος / 53

38 Άσκηση 5: Μοναδικότητα Ελάχιστου Συνδετικού Δέντρου 5γ) Αν κύκλος (e, T ), ο κύκλος προκύπτει στο T {e}, όπου T συνδετικό δέντρο Αν σύνολο K max e = argmax e (e,t ) {w(e)}!t ΕΣΔ e T συνδετικό δέντρο e K max e K max e = 1 CoReLab ΣΗΜΜΥ ΕΜΠ Αλγόριθμοι και Πολυπλοκότητα Ιανουάριος / 53

39 Άσκηση 5: Μοναδικότητα Ελάχιστου Συνδετικού Δέντρου 5γ)!T ΕΣΔ e T ΣΔ e Ke max Ke max = 1 Απόδειξη Αν e T : e K max e Αν e T ( e Ke max ΕΣΔ Απόδειξη T ΕΣΔ ) : e ( e) Ke max (T {e}) {e } επίσης Εστω T T ένα ΕΣΔ (s, v) T T Εστω P(v, s) T και (S, V \ S) τομή της (s, v) e : e δ(s, V \) e P(s, v) e T w(s, v) > e, e κύκλος(t, (s, v)) w((t {(s, v)}) {e}) < w(t ) CoReLab ΣΗΜΜΥ ΕΜΠ Αλγόριθμοι και Πολυπλοκότητα Ιανουάριος / 53

40 Άσκηση 5: Μοναδικότητα Ελάχιστου Συνδετικού Δέντρου 5δ) Υπολογίζουμε ένα ΕΣΔ T v T τρέχουμε DFS(v) το οποίο επιστρέφει έναν πίνακα wmaxedge[v][], όπου wmaxedge[v][u] το βάρος της πιο βαριάς ακμής στο P(v, u) στο δέντρο T κατά την επίσκεψη της ακμής (a, b) ισχύει wmaxedge[v][b] = max{wmaxedge[v][a], w(a, b)} wmaxedge[v][] αποθηκεύει τα αποτελέσματα του DFS (v, u) T if (w(v, u) < wmaxedge[y][u]) return false; return true; CoReLab ΣΗΜΜΥ ΕΜΠ Αλγόριθμοι και Πολυπλοκότητα Ιανουάριος / 53

41 Άσκηση 5: Μοναδικότητα Ελάχιστου Συνδετικού Δέντρου 5δ) Θ( E log E ) με kruskal για την εύρεση ΕΣΔ DFS σε δέντρο Θ( V + V 1) = Θ( V ) V εκτελέσεις Θ( V 2 O( E ) το τελικό στάδιο Σύνολο : O( V 2 + E log E ) CoReLab ΣΗΜΜΥ ΕΜΠ Αλγόριθμοι και Πολυπλοκότητα Ιανουάριος / 53

42 Άσκηση 5: Μοναδικότητα Ελάχιστου Συνδετικού Δέντρου 5δ) [bonus] Θα τροποποιήσουμε τον kruskal ως εξής : Αντί για ακμές μία, μία, εξετάζουμε συστάδες ακμών ίδιου βάρους (σε αύξουσα σειρά) τέτοια συστάδα, όποια ακμή σχηματίζει κύκλο με το μέχρι τώρα δάσος (από ακμές μικρότερου βάρους) δεν ανήκει σε κανένα ΕΣΔ, άρα μπορεί να αγνοηθεί είναι οι πιο βαριές ακμές σε κύκλο με ΣΔ Είσάγουμε όλες τις υπόλοιπες Αν κύκολος! ΕΣΔ τουλάχιστον 2 εναλλακτικές για ΕΣΔ (οι πιο βαριές ακμές του κύκλου που μόλις βρήκαμε) CoReLab ΣΗΜΜΥ ΕΜΠ Αλγόριθμοι και Πολυπλοκότητα Ιανουάριος / 53

43 1η προγραμματιστική Άσκηση: Τηλεμεταφορές Είσοδος: Κόστος καναλιού μεταφοράς μεταξύ πλανητών + κόστος ε- γκατάστασης σταθμού τηλεματαφοράς σε κάθε πλανήτη Εξοδος: Δίκτυο ελαχίστου συνολικού κόστους Ιδέα Το βέλτιστο Δίκτυο Μεταφορών είναι το έλαχιστο από: το βέλτιστο Δίκτυο Μεταφορών χωρίς σταθμό Τηλεμεταφοράς το βέλτιστο Δίκτυο Μεταφορών με τουλάχιστον δύο σταθμούς Τηλεμεταφοράς CoReLab ΣΗΜΜΥ ΕΜΠ Αλγόριθμοι και Πολυπλοκότητα Ιανουάριος / 53

44 1η προγραμματιστική Άσκηση: Τηλεμεταφορές Μετατρόπη σε Πρόβλημα ΕΣΔ Δημιουργούμε γράφημα G(V, E, w) ως εξής: Για κάθε πλανήτη i, δημιουργούμε κόμβο i V Για πλανήτες i, j,που είναι δυνατή η μεταφορά, δημιουργούμε ακμή e = {i, j} E τ.ω. w e = A[i, j] Δημιουργούμε υπερ-πλανήτη s V Για κάθε πλανήτη i, δημιουργούμε ακμή e = {i, s} E τ.ω. w e = B[i] Μπορούμε να υπολογίσουμε το βέλτιστο Δίκτυο Μεταφορών με χρήση του ΕΣΔ(G),ΕΣΔ(G\{s})! CoReLab ΣΗΜΜΥ ΕΜΠ Αλγόριθμοι και Πολυπλοκότητα Ιανουάριος / 53

45 1η προγραμματιστική Άσκηση: Τηλεμεταφορές Υπολογισμός Βέλτιστου Δικτύου από ΕΣΔ(G) Εστω T 1 =ΕΣΔ(G),T 2 =ΕΣΔ(G\{s}) τότε υπολογίζουμε το Βέλτιστο Δίκτυ Μεταφορών ως εξής: 1 if w(t 1 ) < w(t 2 ) then return T 1 2 else return T 2 Ο παραπάνω αλγόριθμος είναι βέλτιστος. CoReLab ΣΗΜΜΥ ΕΜΠ Αλγόριθμοι και Πολυπλοκότητα Ιανουάριος / 53

46 1η προγραμματιστική Άσκηση: Τηλεμεταφορές Απόδειξη Εστω OPT το βέλτιστο δίκτυο και S το δίκτυο που επιστρέφει ο παραπάνω αλγόριθμος: Αν OPT δεν περιέχει σταθμούς Τηλεμεταφοράς: τότε προφανώς w(opt ) = w(t 2 ) γιατί χρησιμοποιούνται μόνο κανάλια μεταφοράς και άρα ακμές που δεν περιέχουν τον s. Αν degree T1 (s) = 1 τότε w(t 1 ) > w(t 2 ). Αν degree T1 (s) 2 τότε w(t 1 ) w(t 2 ) γιατί αλλίως το OPT θα περιέχει σταθμούς Τηλεμεταφοράς. Άρα, w(t 2 ) < W (T 1 ) = S = T 2 = OPT. Αν OPT δεν περιέχει σταθμούς Τηλεμεταφοράς: Τότε OPT w(t 2 ) γιατί T 2 το βέλτιστο δίκτυο χωρίς χρήση σταθμών τηλεμεταφοράς. Επίσης, OPT είναι συνδετικό δέντρο για το G και άρα w(t 1 ) = OPT = w(t 1 ) w(t 2 ) = S = T 1 = OPT. CoReLab ΣΗΜΜΥ ΕΜΠ Αλγόριθμοι και Πολυπλοκότητα Ιανουάριος / 53

47 1η προγραμματιστική Άσκηση: Τηλεμεταφορές Συνολικά Υπολογισμός δύο ΕΣΔ, άρα O( E log( E )). CoReLab ΣΗΜΜΥ ΕΜΠ Αλγόριθμοι και Πολυπλοκότητα Ιανουάριος / 53

48 2η προγραμματιστική Άσκηση: Καλοκαιρινές Διακοπές Μας ζητείται το bottleneck κόστος μεταξύ όλων των ζευγών (i, j) Q. ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ: Το bottleneck κόστος για το ζεύγος (i, j) στο γράφημα G ισούται με το bottleneck κόστος του (i, j) στο ΕΣΔ T του G. ΑΠΟΔΕΙΞΗ: Το μονοπάτι που ελαχιστοποιεί το bottleneck κόστος του ζεύγους (i, j) είναι το μονοπάτι που θα ενώνει τις κορυφές (i, j) και στο T. Μπορούμε να υπολογίσουμε το ΕΣΔ T του G σε χρόνο O(m logm). Αρκεί να λύσουμε το πρόβλημα στο T. Θα παρουσιάσουμε τρεις διαφορετικές λύσεις. CoReLab ΣΗΜΜΥ ΕΜΠ Αλγόριθμοι και Πολυπλοκότητα Ιανουάριος / 53

49 2η προγραμματιστική Άσκηση: Καλοκαιρινές Διακοπές Λύση 1 (Naive): Για κάθε ζεύγος (i, j) Q βρίσκουμε με BFS ή DFS το μοναδικό μονοπάτι από τον i στον j, και επιστρέφουμε την βαρύτερη ακμή. Πολυπλοκότητα: O(m logm + Q n). Στην διάσχιση του ΕΣΔ στην προηγούμενη λύση, κατά την διάρκεια του υπολογισμού του bottleneck κόστους για ένα ζεύγος (i, j) αγνοούμε πολλή πληροφορία. Μπορούμε να εκμεταλλευτούμε την δενδρική δομή του ΕΣΔ ώστε να γλιτώσουμε περιττούς υπολογισμούς. CoReLab ΣΗΜΜΥ ΕΜΠ Αλγόριθμοι και Πολυπλοκότητα Ιανουάριος / 53

50 2η προγραμματιστική Άσκηση: Καλοκαιρινές Διακοπές Λύση 2: Διαλέγουμε αυθαίρετα μία κορυφή r ως ρίζα του T. Με διάσχιση BFS στο T υπολογίζουμε για κάθε ζεύγος (i, j) VxV τον Ελάχιστο Κοινό Πρόγονο (Least Common Ancestor) των (i, j) σε συνολικό χρόνο και χώρο O(n 2 ), και τον αποθηκεύουμε σε ένα πίνακα A μεγέθους nxn. Υπολογίζουμε για κάθε κορυφή u το bottleneck κόστος του u με όλους τους προγόνους του. Αυτό μπορεί να γίνει σε συνολικό χρόνο O(n 2 ), και το αποθηκεύουμε σε ένα πίνακα B μεγέθους nxn. Για κάθε ζεύγος κορυφών (i, j) Q βρίσκουμε τον Ελάχιστο Κοινό Πρόγονο των (i, j), έστω k, ο οποίος βρίσκεται στην θέση A[i][j]. Το bottleneck κόστος του μονοπατιού μεταξύ των (i, j) είναι το max(b[i][k], B[k][j]). Πολυπλοκότητα: O(m logm + n 2 + Q ). CoReLab ΣΗΜΜΥ ΕΜΠ Αλγόριθμοι και Πολυπλοκότητα Ιανουάριος / 53

51 2η προγραμματιστική Άσκηση: Καλοκαιρινές Διακοπές Στην προηγούμενη λύση πετύχαμε σταθερό χρόνο για κάθε ε- ρώτημα (i, j) Q αλλά χρειαστήκαμε προεπεξεργασία O(n 2 ). Μπορούμε να μειώσουμε τον χρόνο προεπεξεργασίας και να αυξήσουμε λίγο τον χρόνο που χρειαζόμαστε για κάθε ερώτημα, πετυχαίνοντας όμως έτσι συνολικά καλύτερη πολυπλοκότητα. Λύση 3: Διαλέγουμε αυθαίρετα μία κορυφή r ως ρίζα του T. Θεωρούμε έναν πίνακα A μεγέθους n logn και στο στοιχείο A[u][i] αποθηκεύουμε τον πρόγονο του u που απέχει στο T από τον u απόσταση 2 i. Παράλληλα αποθηκεύουμε σε έναν αντίστοιχο πίνακα B το bottleneck κόστος μεταξύ του u και του A[u][i]. Η διαδικασία τελειώνει όταν συναντήσουμε (ή περάσουμε) τον r. (Σκεφτείτε γιατί χρειαζόμαστε μόνο logn στήλες). CoReLab ΣΗΜΜΥ ΕΜΠ Αλγόριθμοι και Πολυπλοκότητα Ιανουάριος / 53

52 2η προγραμματιστική Άσκηση: Καλοκαιρινές Διακοπές Λύση 3: (Συνέχεια) Θεωρούμε ένα ερώτημα (u, v). Ξεκινάμε από την γραμμή u του πίνακα A. Για κάθε στοιχείο A[u][k] μπορούμε σε σταθερό χρόνο να υπολογίσουμε εάν είναι πρόγονος του v (Άσκηση 1-3η Σειρά Γραπτών Ασκήσεων). Διατρέχουμε την γραμμή u ξεκινώντας από την τελευταία στήλη, που γνωρίζουμε ότι είναι το r, άρα είναι πρόγονος του v, και κινούμαστε προς τα αριστερά. Οσο το A[u][k] είναι πρόγονος του v, κινούμαστε κατά μία θέση προς τα αριστερά. Μόλις το A[u][k] δεν είναι πρόγονος του v για πρώτη φορά, μεταφερόμαστε στην γραμμή m = A[u][k] και συνεχίζουμε την προς τα αριστερά αναζήτηση από την στήλη k. Τερματίζουμε μόλις φθάσουμε στην στήλη 0, επιστρέφοντας ως αποτέλεσμα, εάν βρισκόμαστε στην γραμμή w, το στοιχείο B[w][0]. CoReLab ΣΗΜΜΥ ΕΜΠ Αλγόριθμοι και Πολυπλοκότητα Ιανουάριος / 53

53 2η προγραμματιστική Άσκηση: Καλοκαιρινές Διακοπές Ορθότητα: Εστω ότι κατά την διάρκεια της διάσχισης της γραμμής u, πήραμε το πρώτο ΟΧΙ στο σημείο k. Αυτό σημαίνει ότι η κορυφή u + 2 k+1 είναι πρόγονος του v, και ότι η κορυφή u + 2 k δεν είναι πρόγονος του v. Επομένως, το bottleneck κόστος του ζεύγους (u, v), έστω bl(u, v), είναι ίσο με max(bl(u, u + 2 k ), bl(u + 2 k, v)). Ομως, το bl(u, u + 2 k ) = B[u][k]. Γνωρίζουμε ότι το u + 2 k+1 που είναι η κορυφή A[u + 2 k ][k], είναι πρόγονος του v, άρα μπορούμε να συνεχίσουμε την αναζήτηση στην γραμμή u + 2 k από την στήλη k 1. Οταν φθάσουμε σε κάποιο στοιχείο A[w][0] γνωρίζουμε πως ο w είναι ο Ελάχιστος Κοινός Πρόγονος των (u, v). CoReLab ΣΗΜΜΥ ΕΜΠ Αλγόριθμοι και Πολυπλοκότητα Ιανουάριος / 53

54 2η προγραμματιστική Άσκηση: Καλοκαιρινές Διακοπές Πολυπλοκότητα: O(m logm + Q logn + n logn). Υπολογισμός ΕΣΔ: O(m logm). Υπολογισμός πινάκων A, B: O(n logn). Για κάθε ερώτημα, διατρέχουμε συνολικά τις logn στήλες των πινάκων A, B, επομένως έχουμε Θ(logn). ΕΡΩΤΗΜΑ: Θα μπορούσαμε με παρόμοια ανάλυση να πετύχουμε καλύτερη συνολική πολυπλοκότητα ή όχι και γιατί; CoReLab ΣΗΜΜΥ ΕΜΠ Αλγόριθμοι και Πολυπλοκότητα Ιανουάριος / 53

Outline 1 Άσκηση 1 2 Άσκηση 2 3 Άσκηση 3 4 Άσκηση 4 5 Άσκηση 5 6 Προγραμματιστική Άσκηση 1 7 Προγραμματιστική Άσκηση 2 (CoReLab - NTUA) Αλγόριθμοι - 3

Outline 1 Άσκηση 1 2 Άσκηση 2 3 Άσκηση 3 4 Άσκηση 4 5 Άσκηση 5 6 Προγραμματιστική Άσκηση 1 7 Προγραμματιστική Άσκηση 2 (CoReLab - NTUA) Αλγόριθμοι - 3 Αλγόριθμοι και Πολυπλοκότητα 3η Σειρά Γραπτών και Προγραμματιστικών Ασκήσεων CoReLab ΣΗΜΜΥ - Ε.Μ.Π. Ιανουάριος 2019 (CoReLab - NTUA) Αλγόριθμοι - 3η σειρά ασκήσεων Ιανουάριος 2019 1 / 54 Outline 1 Άσκηση

Διαβάστε περισσότερα

3η Σειρά Γραπτών Ασκήσεων

3η Σειρά Γραπτών Ασκήσεων 1/48 3η Σειρά Γραπτών Ασκήσεων Αλγόριθμοι και Πολυπλοκότητα ΣΗΜΜΥ, Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο 2/48 1 Άσκηση 1: Πομποί και Δέκτες 2 Άσκηση 2: Διακοπές στην Ικαρία 3 Άσκηση 3: Επιστροφή στη Γη 4 Άσκηση

Διαβάστε περισσότερα

Αναζήτηση Κατά Βάθος. Επιμέλεια διαφανειών: Δ. Φωτάκης Συμπληρώσεις: Α. Παγουρτζής. Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών

Αναζήτηση Κατά Βάθος. Επιμέλεια διαφανειών: Δ. Φωτάκης Συμπληρώσεις: Α. Παγουρτζής. Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Αναζήτηση Κατά Βάθος Επιμέλεια διαφανειών: Δ. Φωτάκης Συμπληρώσεις: Α. Παγουρτζής Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Αναζήτηση Κατά Βάθος (DFS) Εξερεύνηση

Διαβάστε περισσότερα

Αναζήτηση Κατά Πλάτος

Αναζήτηση Κατά Πλάτος Αναζήτηση Κατά Πλάτος Επιμέλεια διαφανειών: Δ. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Γραφήματα Μοντελοποίηση πολλών σημαντικών προβλημάτων (π.χ. δίκτυα

Διαβάστε περισσότερα

3η Σειρά Γραπτών Ασκήσεων

3η Σειρά Γραπτών Ασκήσεων 1/55 3η Σειρά Γραπτών Ασκήσεων Αλγόριθμοι και Πολυπλοκότητα ΣΗΜΜΥ, Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο 2/55 1 Άσκηση 1: Πομποί και Δέκτες 2 Άσκηση 2: Διακοπές στην Ικαρία 3 Άσκηση 3: Επιστροφή στη Γη 4 Άσκηση

Διαβάστε περισσότερα

Αναζήτηση Κατά Πλάτος

Αναζήτηση Κατά Πλάτος Αναζήτηση Κατά Πλάτος ημήτρης Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Γραφήματα Μοντελοποίηση πολλών σημαντικών προβλημάτων (π.χ. δίκτυα συνεκτικότητα,

Διαβάστε περισσότερα

Αναζήτηση Κατά Πλάτος

Αναζήτηση Κατά Πλάτος Αναζήτηση Κατά Πλάτος ιδάσκοντες: Σ. Ζάχος,. Φωτάκης Επιμέλεια διαφανειών:. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Άδεια Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό

Διαβάστε περισσότερα

Αναζήτηση Κατά Βάθος. ιδάσκοντες: Σ. Ζάχος,. Φωτάκης Επιμέλεια διαφανειών:. Φωτάκης. Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών

Αναζήτηση Κατά Βάθος. ιδάσκοντες: Σ. Ζάχος,. Φωτάκης Επιμέλεια διαφανειών:. Φωτάκης. Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Αναζήτηση Κατά Βάθος ιδάσκοντες: Σ. Ζάχος,. Φωτάκης Επιμέλεια διαφανειών:. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Άδεια Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό

Διαβάστε περισσότερα

Αναζήτηση Κατά Πλάτος

Αναζήτηση Κατά Πλάτος Αναζήτηση Κατά Πλάτος Επιµέλεια διαφανειών:. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Γραφήµατα Μοντελοποίηση πολλών σηµαντικών προβληµάτων (π.χ. δίκτυα

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στους Αλγορίθμους

Εισαγωγή στους Αλγορίθμους Εισαγωγή στους Αλγορίθμους Ενότητα 7η Διδάσκων Χρήστος Ζαρολιάγκης Καθηγητής Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής Πανεπιστήμιο Πατρών Email: zaro@ceid.upatras.gr Αλγόριθμοι Γραφημάτων Τοπολογική Διάταξη

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρία Γραφημάτων 6η Διάλεξη

Θεωρία Γραφημάτων 6η Διάλεξη Θεωρία Γραφημάτων 6η Διάλεξη Α. Συμβώνης Εθνικο Μετσοβειο Πολυτεχνειο Σχολη Εφαρμοσμενων Μαθηματικων και Φυσικων Επιστημων Τομεασ Μαθηματικων Φεβρουάριος 2016 Α. Συμβώνης (ΕΜΠ) Θεωρία Γραφημάτων 6η Διάλεξη

Διαβάστε περισσότερα

Αναζήτηση Κατά Βάθος. ιδάσκοντες: Σ. Ζάχος,. Φωτάκης Επιμέλεια διαφανειών:. Φωτάκης. Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών

Αναζήτηση Κατά Βάθος. ιδάσκοντες: Σ. Ζάχος,. Φωτάκης Επιμέλεια διαφανειών:. Φωτάκης. Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Αναζήτηση Κατά Βάθος ιδάσκοντες: Σ. Ζάχος,. Φωτάκης Επιμέλεια διαφανειών:. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Αναζήτηση Κατά Βάθος (DFS) Εξερεύνηση

Διαβάστε περισσότερα

Αναζήτηση Κατά Βάθος. Επιµέλεια διαφανειών:. Φωτάκης διαφάνειες για SCC: A. Παγουρτζής. Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών

Αναζήτηση Κατά Βάθος. Επιµέλεια διαφανειών:. Φωτάκης διαφάνειες για SCC: A. Παγουρτζής. Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Αναζήτηση Κατά Βάθος Επιµέλεια διαφανειών:. Φωτάκης διαφάνειες για SCC: A. Παγουρτζής Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Αναζήτηση Κατά Βάθος (DFS) Εξερεύνηση

Διαβάστε περισσότερα

4η Γραπτή Ασκηση Αλγόριθμοι και Πολυπλοκότητα CoReLab ΣΗΜΜΥ 7 Φεβρουαρίου 2017 CoReLab (ΣΗΜΜΥ) 4η Γραπτή Ασκηση 7 Φεβρουαρίου / 38

4η Γραπτή Ασκηση Αλγόριθμοι και Πολυπλοκότητα CoReLab ΣΗΜΜΥ 7 Φεβρουαρίου 2017 CoReLab (ΣΗΜΜΥ) 4η Γραπτή Ασκηση 7 Φεβρουαρίου / 38 4η Γραπτή Άσκηση Αλγόριθμοι και Πολυπλοκότητα CoReLab ΣΗΜΜΥ 7 Φεβρουαρίου 2017 CoReLab (ΣΗΜΜΥ) 4η Γραπτή Άσκηση 7 Φεβρουαρίου 2017 1 / 38 Άσκηση 1 Πρέπει να βρούμε όλες τις καλές προτάσεις φίλων για τον

Διαβάστε περισσότερα

Αλγόριθμοι και πολυπλοκότητα: 4 η σειρά ασκήσεων ΣΗΜΜΥ - Ε.Μ.Π.

Αλγόριθμοι και πολυπλοκότητα: 4 η σειρά ασκήσεων ΣΗΜΜΥ - Ε.Μ.Π. Αλγόριθμοι και πολυπλοκότητα: 4 η σειρά ασκήσεων CO.RE.LAB. ΣΗΜΜΥ - Ε.Μ.Π. Άσκηση 1 η : Παιχνίδι επιλογής ακμών Έχουμε ένα ακυκλικό κατευθυνόμενο γράφο, μια αρχική κορυφή και δυο παίκτες. Οι παίκτες διαδοχικά

Διαβάστε περισσότερα

Αλγόριθµοι Γραφηµάτων

Αλγόριθµοι Γραφηµάτων Αλγόριθµοι Γραφηµάτων Παύλος Σπυράκης Πανεπιστήµιο Πατρών Τοµέας Θεµελιώσεων και Εφαρµογών της Επιστήµης των Υπολογιστών Ερευνητικό Ακαδηµαϊκό Ινστιτούτο Τεχνολογίας Υπολογιστών Γραφήµατα Μοντελοποίηση

Διαβάστε περισσότερα

Συντομότερες Διαδρομές

Συντομότερες Διαδρομές Συντομότερες Διαδρομές Επιμέλεια διαφανειών: Δ. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Συντομότερη Διαδρομή Κατευθυνόμενο G(V, E, w) με μήκη Μήκος διαδρομής

Διαβάστε περισσότερα

I 1 I 2 I 3 I 4 I 5 I 6 I 7 I 8 I 9 I 10 I 11

I 1 I 2 I 3 I 4 I 5 I 6 I 7 I 8 I 9 I 10 I 11 Αλγόριθμοι και Πολυπλοκότητα 2η Σειρά Γραπτών και Προγραμματιστικών Ασκήσεων CoReLab ΣΗΜΜΥ - Ε.Μ.Π. Δεκέμβριος 2016 (CoReLab - NTUA) Αλγόριθμοι - 2η σειρά ασκήσεων Δεκέμβριος 2016 1 / 65 Outline 1 Άσκηση

Διαβάστε περισσότερα

4η Γραπτή Ασκηση Αλγόριθμοι και Πολυπλοκότητα CoReLab ΣΗΜΜΥ 3/2/2019 CoReLab (ΣΗΜΜΥ) 4η Γραπτή Ασκηση 3/2/ / 37

4η Γραπτή Ασκηση Αλγόριθμοι και Πολυπλοκότητα CoReLab ΣΗΜΜΥ 3/2/2019 CoReLab (ΣΗΜΜΥ) 4η Γραπτή Ασκηση 3/2/ / 37 4η Γραπτή Άσκηση Αλγόριθμοι και Πολυπλοκότητα CoReLab ΣΗΜΜΥ 3/2/2019 CoReLab (ΣΗΜΜΥ) 4η Γραπτή Άσκηση 3/2/2019 1 / 37 Άσκηση 1 Πρέπει να βρούμε όλες τις καλές προτάσεις φίλων για τον i ανάμεσα σε όλους

Διαβάστε περισσότερα

Κατανεμημένα Συστήματα Ι

Κατανεμημένα Συστήματα Ι Κατανεμημένα Συστήματα Ι Εκλογή αρχηγού και κατασκευή BFS δένδρου σε σύγχρονο γενικό δίκτυο Παναγιώτα Παναγοπούλου Περίληψη Εκλογή αρχηγού σε γενικά δίκτυα Ορισμός του προβλήματος Ο αλγόριθμος FloodMax

Διαβάστε περισσότερα

Ελάχιστο Συνδετικό Δέντρο

Ελάχιστο Συνδετικό Δέντρο Ελάχιστο Συνδετικό Δέντρο Δημήτρης Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Ελάχιστο Συνδετικό Δέντρο (MST) Συνεκτικό μη-κατευθ. G(V, E, w) με βάρη Βάρος

Διαβάστε περισσότερα

έντρα ιδάσκοντες:. Φωτάκης,. Σούλιου Επιμέλεια διαφανειών:. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο

έντρα ιδάσκοντες:. Φωτάκης,. Σούλιου Επιμέλεια διαφανειών:. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο έντρα ιδάσκοντες:. Φωτάκης,. Σούλιου Επιμέλεια διαφανειών:. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο έντρα έντρο: πρότυπο ιεραρχικής δομής. Αναπαράσταση

Διαβάστε περισσότερα

ιδάσκοντες: Φ. Αφράτη,. Φωτάκης,. Σούλιου Επιμέλεια διαφανειών:. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών

ιδάσκοντες: Φ. Αφράτη,. Φωτάκης,. Σούλιου Επιμέλεια διαφανειών:. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών έντρα ιδάσκοντες: Φ. Αφράτη,. Φωτάκης,. Σούλιου Επιμέλεια διαφανειών:. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο έντρα έντρο: πρότυπο ιεραρχικής δομής.

Διαβάστε περισσότερα

Ελάχιστο Συνδετικό Δέντρο

Ελάχιστο Συνδετικό Δέντρο Ελάχιστο Συνδετικό Δέντρο Διδάσκοντες: Σ. Ζάχος, Δ. Φωτάκης Επιμέλεια διαφανειών: Δ. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Ελάχιστο Συνδετικό Δέντρο

Διαβάστε περισσότερα

Συντομότερες Διαδρομές

Συντομότερες Διαδρομές Συντομότερη Διαδρομή Συντομότερες Διαδρομές Διδάσκοντες: Σ Ζάχος, Δ Φωτάκης Επιμέλεια διαφανειών: Δ Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Κατευθυνόμενο G(V, E, w) με μήκη Μήκος

Διαβάστε περισσότερα

Ελάχιστο Συνδετικό Δέντρο

Ελάχιστο Συνδετικό Δέντρο Ελάχιστο Συνδετικό Δέντρο Διδάσκοντες: Σ. Ζάχος, Δ. Φωτάκης Επιμέλεια διαφανειών: Δ. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Ελάχιστο Συνδετικό Δέντρο

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στους Αλγορίθμους Ενότητα 7η

Εισαγωγή στους Αλγορίθμους Ενότητα 7η Εισαγωγή στους Αλγορίθμους Ενότητα 7η Διδάσκων Χρήστος Ζαρολιάγκης Καθηγητής Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής Πανεπιστήμιο Πατρών Email: zaro@ceid.upatras.gr Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό

Διαβάστε περισσότερα

ΠΛΗ 20, 6 η ΟΣΣ: Δέντρα Εξετάσεις

ΠΛΗ 20, 6 η ΟΣΣ: Δέντρα Εξετάσεις ΠΛΗ 20, 6 η ΟΣΣ: Δέντρα Εξετάσεις Δημήτρης Φωτάκης Διακριτά Μαθηματικά και Μαθηματική Λογική Πληροφορική Ελληνικό Ανοικτό Πανεπιστήμιο Δέντρα Δέντρο: πρότυπο ιεραρχικής δομής. Αναπαράσταση (ιεραρχικών)

Διαβάστε περισσότερα

Ελάχιστο Συνδετικό έντρο

Ελάχιστο Συνδετικό έντρο Ελάχιστο Συνδετικό έντρο ημήτρης Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Ελάχιστο Συνδετικό έντρο (MST) Συνεκτικό μη-κατευθ. G(V, E, w) με βάρη Βάρος

Διαβάστε περισσότερα

Κατανεμημένα Συστήματα Ι

Κατανεμημένα Συστήματα Ι Εκλογή αρχηγού σε γενικά δίκτυα 20 Οκτωβρίου 2016 Παναγιώτα Παναγοπούλου Εκλογή αρχηγού σε γενικά δίκτυα Προηγούμενη διάλεξη Σύγχρονα Κατανεμημένα Συστήματα Μοντελοποίηση συστήματος Πρόβλημα εκλογής αρχηγού

Διαβάστε περισσότερα

Διακριτά Μαθηματικά ΙΙ Χρήστος Νομικός Τμήμα Μηχανικών Η/Υ και Πληροφορικής Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων 2018 Χρήστος Νομικός ( Τμήμα Μηχανικών Η/Υ Διακριτά

Διακριτά Μαθηματικά ΙΙ Χρήστος Νομικός Τμήμα Μηχανικών Η/Υ και Πληροφορικής Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων 2018 Χρήστος Νομικός ( Τμήμα Μηχανικών Η/Υ Διακριτά Διακριτά Μαθηματικά ΙΙ Χρήστος Νομικός Τμήμα Μηχανικών Η/Υ και Πληροφορικής Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων 2018 Χρήστος Νομικός ( Τμήμα Μηχανικών Η/Υ Διακριτά και Πληροφορικής Μαθηματικά Πανεπιστήμιο ΙΙ Ιωαννίνων

Διαβάστε περισσότερα

Συντομότερες ιαδρομές

Συντομότερες ιαδρομές Συντομότερες ιαδρομές ημήτρης Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Συντομότερη ιαδρομή Κατευθυνόμενο G(V, E, w) με μήκη Μήκος διαδρομής Απόσταση d(u,

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρία Γραφημάτων 5η Διάλεξη

Θεωρία Γραφημάτων 5η Διάλεξη Θεωρία Γραφημάτων 5η Διάλεξη Α. Συμβώνης Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Σχολή Εφαρμοσμένων Μαθηματικών και Φυσικών Επιστημών Τομέας Μαθηματικών Φεβρουάριος 2017 Α. Συμβώνης (ΕΜΠ) Θεωρία Γραφημάτων 5η Διάλεξη

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρία Γραφημάτων 5η Διάλεξη

Θεωρία Γραφημάτων 5η Διάλεξη Θεωρία Γραφημάτων 5η Διάλεξη Α. Συμβώνης Εθνικο Μετσοβειο Πολυτεχνειο Σχολη Εφαρμοσμενων Μαθηματικων και Φυσικων Επιστημων Τομεασ Μαθηματικων Φεβρουάριος 2016 Α. Συμβώνης (ΕΜΠ) Θεωρία Γραφημάτων 5η Διάλεξη

Διαβάστε περισσότερα

Συντομότερες ιαδρομές

Συντομότερες ιαδρομές Συντομότερες ιαδρομές ιδάσκοντες: Σ. Ζάχος,. Φωτάκης Επιμέλεια διαφανειών:. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Άδεια Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό

Διαβάστε περισσότερα

Κατανεμημένα Συστήματα Ι

Κατανεμημένα Συστήματα Ι Κατανεμημένα Συστήματα Ι Παναγιώτα Παναγοπούλου Χριστίνα Σπυροπούλου 8η Διάλεξη 8 Δεκεμβρίου 2016 1 Ασύγχρονη κατασκευή BFS δέντρου Στα σύγχρονα συστήματα ο αλγόριθμος της πλημμύρας είναι ένας απλός αλλά

Διαβάστε περισσότερα

Ελάχιστο Συνδετικό έντρο

Ελάχιστο Συνδετικό έντρο Ελάχιστο Συνδετικό έντρο ιδάσκοντες: Σ. Ζάχος,. Φωτάκης Επιμέλεια διαφανειών:. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Άδεια Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρία Γραφημάτων και Εφαρμογές - Διακριτά Μαθηματικά ΙΙ Φεβρουάριος 2017

Θεωρία Γραφημάτων και Εφαρμογές - Διακριτά Μαθηματικά ΙΙ Φεβρουάριος 2017 Θεωρία Γραφημάτων και Εφαρμογές - Διακριτά Μαθηματικά ΙΙ Φεβρουάριος 2017 ΕΓΘΑ : Σ. Κοσμαδάκης, «Εισαγωγή στα Γραφήματα, Θεωρία-Ασκήσεις». Α 1 Έστω η παρακάτω σχέση Q(k) πάνω στο σύνολο {1, 2} όπου k τυχαίος

Διαβάστε περισσότερα

Δομές Δεδομένων. Δημήτρης Μιχαήλ. Γραφήματα. Τμήμα Πληροφορικής και Τηλεματικής Χαροκόπειο Πανεπιστήμιο

Δομές Δεδομένων. Δημήτρης Μιχαήλ. Γραφήματα. Τμήμα Πληροφορικής και Τηλεματικής Χαροκόπειο Πανεπιστήμιο Δομές Δεδομένων Γραφήματα Δημήτρης Μιχαήλ Τμήμα Πληροφορικής και Τηλεματικής Χαροκόπειο Πανεπιστήμιο Γραφήματα Κατευθυνόμενο Γράφημα Ένα κατευθυνόμενο γράφημα G είναι ένα ζευγάρι (V, E) όπου V είναι ένα

Διαβάστε περισσότερα

Ειδικά θέματα Αλγορίθμων και Δομών Δεδομένων (ΠΛΕ073) Απαντήσεις 1 ου Σετ Ασκήσεων

Ειδικά θέματα Αλγορίθμων και Δομών Δεδομένων (ΠΛΕ073) Απαντήσεις 1 ου Σετ Ασκήσεων Ειδικά θέματα Αλγορίθμων και Δομών Δεδομένων (ΠΛΕ073) Απαντήσεις 1 ου Σετ Ασκήσεων Άσκηση 1 α) Η δομή σταθμισμένης ένωσης με συμπίεση διαδρομής μπορεί να τροποποιηθεί πολύ εύκολα ώστε να υποστηρίζει τις

Διαβάστε περισσότερα

Συντομότερες ιαδρομές

Συντομότερες ιαδρομές Συντομότερες ιαδρομές ιδάσκοντες: Σ. Ζάχος,. Φωτάκης Επιμέλεια διαφανειών:. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Άδεια Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό

Διαβάστε περισσότερα

Δυναμικός προγραμματισμός για δέντρα

Δυναμικός προγραμματισμός για δέντρα ΘΕ5 Ιδιότητες Δέντρων και Αναδρομή για Δέντρα Δυναμικός προγραμματισμός για δέντρα Έστω ότι, για k=1,..., m, το γράφημα Γ k = (V k, E k ) είναι δέντρο. Έστω w V 1... V m, z k V k, για k=1,..., m. Συμβολίζουμε

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΝΕΚΤΙΚΟΤΗΤΑ ΓΡΑΦΗΜΑΤΩΝ

ΣΥΝΕΚΤΙΚΟΤΗΤΑ ΓΡΑΦΗΜΑΤΩΝ Συνεκτικότητα Γραφημάτων 123 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ΣΥΝΕΚΤΙΚΟΤΗΤΑ ΓΡΑΦΗΜΑΤΩΝ 4.1 Τοπική και Ολική Συνεκτικότητα Γραφημάτων 4.2 Συνεκτικότητα Μη-κατευθυνόμενων Γραφημάτων 4.3 Συνεκτικότητα Κατευθυνόμενων Γραφημάτων

Διαβάστε περισσότερα

Επαγωγή και αναδρομή για άκυκλα συνεκτικά γραφήματα

Επαγωγή και αναδρομή για άκυκλα συνεκτικά γραφήματα ΘΕ4 Αναδρομή και Επαγωγή για Γραφήματα Επαγωγή και αναδρομή για άκυκλα συνεκτικά γραφήματα Επαγωγή για άκυκλα συνεκτικά γραφήματα (με αφαίρεση κορυφής) Η αρχή της επαγωγής, με αφαίρεση κορυφής, για δεδομένη

Διαβάστε περισσότερα

Μέγιστη ροή. Κατευθυνόμενο γράφημα. Συνάρτηση χωρητικότητας. αφετηρίακός κόμβος. τερματικός κόμβος. Ροή δικτύου. με τις ακόλουθες ιδιότητες

Μέγιστη ροή. Κατευθυνόμενο γράφημα. Συνάρτηση χωρητικότητας. αφετηρίακός κόμβος. τερματικός κόμβος. Ροή δικτύου. με τις ακόλουθες ιδιότητες Κατευθυνόμενο γράφημα Συνάρτηση χωρητικότητας 12 16 2 Ροή δικτύου Συνάρτηση αφετηρίακός κόμβος 13 1 με τις ακόλουθες ιδιότητες 4 14 9 7 4 τερματικός κόμβος Περιορισμός χωρητικότητας: Αντισυμμετρία: Διατήρηση

Διαβάστε περισσότερα

Τομές Γραφήματος. Γράφημα (μη κατευθυνόμενο) Συνάρτηση βάρους ακμών. Τομή : Διαμέριση του συνόλου των κόμβων σε δύο μη κενά σύνολα

Τομές Γραφήματος. Γράφημα (μη κατευθυνόμενο) Συνάρτηση βάρους ακμών. Τομή : Διαμέριση του συνόλου των κόμβων σε δύο μη κενά σύνολα Τομές Γραφήματος Γράφημα (μη κατευθυνόμενο) Συνάρτηση βάρους ακμών Τομή : Διαμέριση του συνόλου των κόμβων σε δύο μη κενά σύνολα και 12 26 20 10 9 7 17 14 4 Τομές Γραφήματος Γράφημα (μη κατευθυνόμενο)

Διαβάστε περισσότερα

Διακριτά Μαθηματικά ΙΙ Χρήστος Νομικός Τμήμα Μηχανικών Η/Υ και Πληροφορικής Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων 2018 Χρήστος Νομικός ( Τμήμα Μηχανικών Η/Υ Διακριτά

Διακριτά Μαθηματικά ΙΙ Χρήστος Νομικός Τμήμα Μηχανικών Η/Υ και Πληροφορικής Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων 2018 Χρήστος Νομικός ( Τμήμα Μηχανικών Η/Υ Διακριτά Διακριτά Μαθηματικά ΙΙ Χρήστος Νομικός Τμήμα Μηχανικών Η/Υ και Πληροφορικής Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων 2018 Χρήστος Νομικός ( Τμήμα Μηχανικών Η/Υ Διακριτά και Πληροφορικής Μαθηματικά Πανεπιστήμιο ΙΙ Ιωαννίνων

Διαβάστε περισσότερα

Αλγόριθμοι Γραφημάτων

Αλγόριθμοι Γραφημάτων Αλγόριθμοι Γραφημάτων 1. Διερεύνηση Πρώτα σε Βάθος (DFS) 2. Τοπολογική Ταξινόμηση Εισαγωγή στην Ανάλυση Αλγορίθμων Μάγια Σατρατζέμη Depth-First Search Πρώτα σε Βάθος διερεύνηση (Depth-First Search) είναι

Διαβάστε περισσότερα

Αλγόριθμοι Γραφημάτων

Αλγόριθμοι Γραφημάτων Αλγόριθμοι Γραφημάτων. Γραφήματα. Αναπαράσταση Γραφημάτων 3. Διερεύνηση σε Πρώτα σε Πλάτος (BFS) Εισαγωγή στην Ανάλυση Αλγορίθμων Μάγια Σατρατζέμη Γράφημα Ορισμός: Ένα γράφημα G είναι το διατεταγμένο ζεύγος

Διαβάστε περισσότερα

Ενδεικτικές Λύσεις 1ου Σετ Ασκήσεων

Ενδεικτικές Λύσεις 1ου Σετ Ασκήσεων Κ Σ Ι Ενδεικτικές Λύσεις 1ου Σετ Ασκήσεων Παναγιώτα Παναγοπούλου Άσκηση 1. Υποθέστε ότι οι διεργασίες ενός σύγχρονου κατανεμημένου συστήματος έχουν μοναδικές ταυτότητες (UIDs), γνωρίζουν ότι είναι συνδεδεμένες

Διαβάστε περισσότερα

Ασκήσεις στους Γράφους. 1 ο Σετ Ασκήσεων Βαθμός Μονοπάτια Κύκλος Euler Κύκλος Hamilton Συνεκτικότητα

Ασκήσεις στους Γράφους. 1 ο Σετ Ασκήσεων Βαθμός Μονοπάτια Κύκλος Euler Κύκλος Hamilton Συνεκτικότητα Ασκήσεις στους Γράφους 1 ο Σετ Ασκήσεων Βαθμός Μονοπάτια Κύκλος Euler Κύκλος Hamilton Συνεκτικότητα Ασκηση 1 η Να αποδείξετε ότι κάθε γράφημα περιέχει μια διαδρομή από μια κορυφή u σε μια κορυφή w αν και

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρία Γραφημάτων 4η Διάλεξη

Θεωρία Γραφημάτων 4η Διάλεξη Θεωρία Γραφημάτων 4η Διάλεξη Α. Συμβώνης Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Σχολή Εφαρμοσμένων Μαθηματικών και Φυσικών Επιστημών Τομέας Μαθηματικών Φεβρουάριος 2017 Α. Συμβώνης (ΕΜΠ) Θεωρία Γραφημάτων 4η Διάλεξη

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στην Επιστήμη των Υπολογιστών

Εισαγωγή στην Επιστήμη των Υπολογιστών Εισαγωγή στην Επιστήμη των Υπολογιστών 4 ο εξάμηνο ΣΗΜΜΥ 4 η ενότητα: Γράφοι: προβλήματα και αλγόριθμοι Επιμέλεια διαφανειών: Στάθης Ζάχος, Άρης Παγουρτζής, Δημήτρης Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών

Διαβάστε περισσότερα

Λυσεις προβλημάτων τελικής φάσης Παγκύπριου Μαθητικού Διαγωνισμού Πληροφορικής 2007

Λυσεις προβλημάτων τελικής φάσης Παγκύπριου Μαθητικού Διαγωνισμού Πληροφορικής 2007 Λυσεις προβλημάτων τελικής φάσης Παγκύπριου Μαθητικού Διαγωνισμού Πληροφορικής 2007 Πρόβλημα 1 Το πρώτο πρόβλημα λύνεται με τη μέθοδο του Δυναμικού Προγραμματισμού. Για να το λύσουμε με Δυναμικό Προγραμματισμό

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρία Γραφημάτων: Ορολογία και Βασικές Έννοιες

Θεωρία Γραφημάτων: Ορολογία και Βασικές Έννοιες Θεωρία Γραφημάτων: Ορολογία και Βασικές Έννοιες Διδάσκοντες: Δ. Φωτάκης, Δ. Σούλιου Επιμέλεια διαφανειών: Δ. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Γραφήματα

Διαβάστε περισσότερα

Σχεδίαση και Ανάλυση Αλγορίθμων

Σχεδίαση και Ανάλυση Αλγορίθμων Σχεδίαση και Ανάλυση Αλγορίθμων Ενότητα 4.0 Επιλογή Αλγόριθμοι Επιλογής Select και Quick-Select Σταύρος Δ. Νικολόπουλος 2016-17 Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων Webpage: www.cs.uoi.gr/~stavros

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρία Γραφημάτων 10η Διάλεξη

Θεωρία Γραφημάτων 10η Διάλεξη Θεωρία Γραφημάτων 0η Διάλεξη Α. Συμβώνης Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Σχολή Εφαρμοσμένων Μαθηματικών και Φυσικών Επιστημών Τομέας Μαθηματικών Φεβρουάριος 07 Α. Συμβώνης (ΕΜΠ) Θεωρία Γραφημάτων 0η Διάλεξη

Διαβάστε περισσότερα

q(g \ S ) = q(g \ S) S + d = S.

q(g \ S ) = q(g \ S) S + d = S. Διάλεξη 9: 9.11.2016 Θεωρία Γραφημάτων Διδάσκων: Σταύρος Κολλιόπουλος Γραφέας: Παναγιωτίδης Αλέξανδρος & Σ. Κ. Θεώρημα 9.1 Εστω γράφημα G = (V, E), υπάρχει τέλειο ταίριασμα στο G αν και μόνο αν για κάθε

Διαβάστε περισσότερα

d(v) = 3 S. q(g \ S) S

d(v) = 3 S. q(g \ S) S Διάλεξη 9: 9.11.2016 Θεωρία Γραφημάτων Διδάσκων: Σταύρος Κολλιόπουλος Γραφέας: Παναγιωτίδης Αλέξανδρος Θεώρημα 9.1 Εστω γράφημα G = (V, E), υπάρχει τέλειο ταίριασμα στο G αν και μόνο αν για κάθε S υποσύνολο

Διαβάστε περισσότερα

I 1 I 2 I 3 I 4 I 5 I 6 I 7 I 8 I 9 I 10 I 11

I 1 I 2 I 3 I 4 I 5 I 6 I 7 I 8 I 9 I 10 I 11 Αλγόριθμοι και Πολυπλοκότητα 2η Σειρά Γραπτών και Προγραμματιστικών Ασκήσεων CoReLab ΣΗΜΜΥ - Ε.Μ.Π. Δεκέμβριος 2018 (CoReLab - NTUA) Αλγόριθμοι - 2η σειρά ασκήσεων Δεκέμβριος 2018 1 / 64 Outline 1 Άσκηση

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρία Γραφημάτων 8η Διάλεξη

Θεωρία Γραφημάτων 8η Διάλεξη Θεωρία Γραφημάτων 8η Διάλεξη Α. Συμβώνης Εθνικο Μετσοβειο Πολυτεχνειο Σχολη Εφαρμοσμενων Μαθηματικων και Φυσικων Επιστημων Τομεασ Μαθηματικων Φεβρουάριος 2016 Α. Συμβώνης (ΕΜΠ) Θεωρία Γραφημάτων 8η Διάλεξη

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στην Επιστήμη των Υπολογιστών

Εισαγωγή στην Επιστήμη των Υπολογιστών Εισαγωγή στην Επιστήμη των Υπολογιστών 4 ο εξάμηνο ΣΗΜΜΥ 5 η ενότητα: Γράφοι: προβλήματα και αλγόριθμοι Επιμέλεια διαφανειών: Στάθης Ζάχος, Άρης Παγουρτζής, Δημήτρης Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΑΝΑΛΥΣΗ ΑΛΓΟΡΙΘΜΩΝ

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΑΝΑΛΥΣΗ ΑΛΓΟΡΙΘΜΩΝ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΑΝΑΛΥΣΗ ΑΛΓΟΡΙΘΜΩΝ Ενότητα 10γ: Αλγόριθμοι Γραφημάτων- Διερεύνηση Πρώτα σε Βάθος (DFS)- Τοπολογική Ταξινόμηση Μαρία Σατρατζέμη Τμήμα Εφαρμοσμένης Πληροφορικής Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό

Διαβάστε περισσότερα

Προσεγγιστικοί Αλγόριθμοι

Προσεγγιστικοί Αλγόριθμοι Πολλά NP-πλήρη προβλήματα έχουν μεγάλο πρακτικό ενδιαφέρον. http://xkcd.com/287/ Πολλά NP-πλήρη προβλήματα έχουν μεγάλο πρακτικό ενδιαφέρον. Πως μπορούμε να αντιμετωπίσουμε το γεγονός ότι είναι απίθανη(;)

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στους Αλγορίθμους Ενότητα 9η

Εισαγωγή στους Αλγορίθμους Ενότητα 9η Εισαγωγή στους Αλγορίθμους Ενότητα 9η Διδάσκων Χρήστος Ζαρολιάγκης Καθηγητής Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής Πανεπιστήμιο Πατρών Email: zaro@ceid.upatras.gr Ελάχιστα Γεννητικά Δένδρα Ελάχιστο Γεννητικό

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΗ 1 Για τις ερωτήσεις 1-4 θεωρήσατε τον ακόλουθο γράφο. Ποιές από τις παρακάτω προτάσεις αληθεύουν και ποιές όχι;

ΑΣΚΗΣΗ 1 Για τις ερωτήσεις 1-4 θεωρήσατε τον ακόλουθο γράφο. Ποιές από τις παρακάτω προτάσεις αληθεύουν και ποιές όχι; ΘΕΜΑΤΑ ΔΕΝΔΡΩΝ ΓΙΑ ΤΙΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΠΛΗ0 ΑΣΚΗΣΗ Για τις ερωτήσεις - θεωρήσατε τον ακόλουθο γράφο. Ποιές από τις παρακάτω προτάσεις αληθεύουν και ποιές όχι; Β Ε Α 6 Δ 5 9 8 0 Γ 7 Ζ Η. Σ/Λ Δυο από τα συνδετικά

Διαβάστε περισσότερα

ΠΛΗ 20, 4 η ΟΣΣ: Βασικές Έννοιες Θεωρίας Γραφημάτων

ΠΛΗ 20, 4 η ΟΣΣ: Βασικές Έννοιες Θεωρίας Γραφημάτων ΠΛΗ 20, 4 η ΟΣΣ: Βασικές Έννοιες Θεωρίας Γραφημάτων Δημήτρης Φωτάκης Διακριτά Μαθηματικά και Μαθηματική Λογική Πληροφορική Ελληνικό Ανοικτό Πανεπιστήμιο 3 η Εργασία: Γενική Εικόνα Αρκετά απαιτητικά ερωτήματα,

Διαβάστε περισσότερα

Ελάχιστο Γεννητικό Δένδρο. Παράδειγμα - Αλγόριθμος Prim. Γιατί δουλεύουν αυτοί οι αλγόριθμοι;

Ελάχιστο Γεννητικό Δένδρο. Παράδειγμα - Αλγόριθμος Prim. Γιατί δουλεύουν αυτοί οι αλγόριθμοι; Άπληστοι Αλγόριθμοι ΙΙI Αλγόριθμοι γραφημάτων Ελάχιστο Γεννητικό Δένδρο Παράδειγμα Κατασκευή δικτύων Οδικά, επικοινωνίας Έχουμε ένα συνεκτικό γράφημα (V,E) και ένας βάρος we σε κάθε ακμή e. Να βρεθεί υποσύνολο

Διαβάστε περισσότερα

Γέφυρες σε Δίκτυα. Μας δίνεται ένα δίκτυο (κατευθυνόμενο γράφημα) αφετηριακός κόμβος. Γέφυρα του (με αφετηρία τον ) :

Γέφυρες σε Δίκτυα. Μας δίνεται ένα δίκτυο (κατευθυνόμενο γράφημα) αφετηριακός κόμβος. Γέφυρα του (με αφετηρία τον ) : Μας δίνεται ένα δίκτυο (κατευθυνόμενο γράφημα) αφετηριακός κόμβος και Γέφυρα του (με αφετηρία τον ) : Ακμή που περιέχεται σε κάθε μονοπάτι από το στο s a b c d e f g h i j k l Μας δίνεται ένα δίκτυο (κατευθυνόμενο

Διαβάστε περισσότερα

Θέματα Υπολογισμού στον Πολιτισμό - Δένδρα. Δένδρα

Θέματα Υπολογισμού στον Πολιτισμό - Δένδρα. Δένδρα Δένδρα Δένδρα Ειδική κατηγορία γραφημάτων: συνεκτικά γραφήματα που δεν περιέχουν απλά κυκλώματα [1857] Arthur Cayley: για απαρίθμηση ορισμένων ειδών χημικών ενώσεων Χρησιμοποιούνται σε πληθώρα προβλημάτων,

Διαβάστε περισσότερα

Ασκήσεις στους Γράφους. 2 ο Σετ Ασκήσεων. Δέντρα

Ασκήσεις στους Γράφους. 2 ο Σετ Ασκήσεων. Δέντρα Ασκήσεις στους Γράφους 2 ο Σετ Ασκήσεων Δέντρα Ασκηση 1 η Ένας γράφος G είναι δέντρο αν και μόνο αν κάθε δυο κορυφές του συνδέονται με ένα μοναδικό μονοπάτι. Υποθέτουμε ότι ο γράφος G είναι δέντρο. Έστω

Διαβάστε περισσότερα

1 Το πρόβλημα της συντομότερης διαδρομής

1 Το πρόβλημα της συντομότερης διαδρομής ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΛΑΜΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΣ ΚΑΙ ΑΝΑΛΥΣΗ ΑΛΓΟΡΙΘΜΩΝ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΟ ΕΤΟΣ 00 Ιστοσελίδα μαθήματος: http://eclass.teilam.gr/di88 6ο ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΙ ΛΑΜΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ

ΤΕΙ ΛΑΜΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ÌïëëÜ Ì. Á μýô Á.Ì. : 5 moll@moll.r ΤΕΙ ΛΑΜΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑ : ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟ ΔΙΑΔΙΚΤΥΟ (ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ) Ε ΕΞΑΜΗΝΟ ΕΙΣΗΓΗΤΕΣ: Χαϊδόγιαννος Χαράλαμπος ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΑΚΗ ΑΣΚΗΣΗ

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΥΠΡΟΥ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ. ΑΣΚΗΣΗ 4 Σωροί, Γράφοι

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΥΠΡΟΥ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ. ΑΣΚΗΣΗ 4 Σωροί, Γράφοι ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΥΠΡΟΥ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΕΠΛ 231: Δομές Δεδομένων και Αλγόριθμοι Εαρινό Εξάμηνο 2013 ΑΣΚΗΣΗ 4 Σωροί, Γράφοι Διδάσκων Καθηγητής: Παναγιώτης Ανδρέου Ημερομηνία Υποβολής: 05/04/2013 Ημερομηνία

Διαβάστε περισσότερα

Graph Algorithms. Παρουσίαση στα πλαίσια του μαθήματος «Παράλληλοι Αλγόριθμοι» Καούρη Γεωργία Μήτσου Βάλια

Graph Algorithms. Παρουσίαση στα πλαίσια του μαθήματος «Παράλληλοι Αλγόριθμοι» Καούρη Γεωργία Μήτσου Βάλια Graph Algorithms Παρουσίαση στα πλαίσια του μαθήματος «Παράλληλοι Αλγόριθμοι» Καούρη Γεωργία Μήτσου Βάλια Περιεχόμενα Μεταβατικό Κλείσιμο Συνεκτικές συνιστώσες Συντομότερα μονοπάτια Breadth First Spanning

Διαβάστε περισσότερα

u v 4 w G 2 G 1 u v w x y z 4

u v 4 w G 2 G 1 u v w x y z 4 Διάλεξη :.0.06 Θεωρία Γραφημάτων Γραφέας: Σ. Κ. Διδάσκων: Σταύρος Κολλιόπουλος. Εισαγωγικοί ορισμοί Ορισμός. Γράφημα G καλείται ένα ζεύγος G = (V, E) όπου V είναι το σύνολο των κορυφών (ή κόμβων) και E

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στους Αλγορίθμους Φροντιστήριο 4

Εισαγωγή στους Αλγορίθμους Φροντιστήριο 4 Εισαγωγή στους Αλγορίθμους Φροντιστήριο 4 Διδάσκων Χρήστος Ζαρολιάγκης Καθηγητής Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής Πανεπιστήμιο Πατρών Email: zaro@ceid.upatras.gr Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΑΝΑΛΥΣΗ ΑΛΓΟΡΙΘΜΩΝ

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΑΝΑΛΥΣΗ ΑΛΓΟΡΙΘΜΩΝ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΑΝΑΛΥΣΗ ΑΛΓΟΡΙΘΜΩΝ Ενότητα 10β: Αλγόριθμοι Γραφημάτων-Γραφήματα- Αναπαράσταση Γραφημάτων- Διερεύνηση Πρώτα σε Πλάτος (BFS) Μαρία Σατρατζέμη Τμήμα Εφαρμοσμένης Πληροφορικής Άδειες Χρήσης Το

Διαβάστε περισσότερα

Επαγωγή και αναδρομή για συνεκτικά γραφήματα

Επαγωγή και αναδρομή για συνεκτικά γραφήματα ΘΕ4 Αναδρομή και Επαγωγή για Γραφήματα Επαγωγή και αναδρομή για συνεκτικά γραφήματα Επαγωγή για συνεκτικά γραφήματα (με αφαίρεση κορυφής) Η αρχή της επαγωγής, με αφαίρεση κορυφής, για δεδομένη προτασιακή

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρία Γραφημάτων 3η Διάλεξη

Θεωρία Γραφημάτων 3η Διάλεξη Θεωρία Γραφημάτων 3η Διάλεξη Α. Συμβώνης Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Σχολή Εφαρμοσμένων Μαθηματικών και Φυσικών Επιστημών Τομέας Μαθηματικών Φεβρουάριος 2017 Α. Συμβώνης (ΕΜΠ) Θεωρία Γραφημάτων 3η Διάλεξη

Διαβάστε περισσότερα

Άσκηση 3 (ανακοινώθηκε στις 24 Απριλίου 2017, προθεσμία παράδοσης: 2 Ιουνίου 2017, 12 τα μεσάνυχτα).

Άσκηση 3 (ανακοινώθηκε στις 24 Απριλίου 2017, προθεσμία παράδοσης: 2 Ιουνίου 2017, 12 τα μεσάνυχτα). Κ08 Δομές Δεδομένων και Τεχνικές Προγραμματισμού Διδάσκων: Μανόλης Κουμπαράκης Εαρινό Εξάμηνο 2016-2017. Άσκηση 3 (ανακοινώθηκε στις 24 Απριλίου 2017, προθεσμία παράδοσης: 2 Ιουνίου 2017, 12 τα μεσάνυχτα).

Διαβάστε περισσότερα

Μέγιστη Ροή Ελάχιστη Τομή

Μέγιστη Ροή Ελάχιστη Τομή Μέγιστη Ροή Ελάχιστη Τομή Διδάσκοντες: Σ. Ζάχος, Δ. Φωτάκης Επιμέλεια διαφανειών: Δ. Φωτάκης Δίκτυα και Ροές Δίκτυο : κατευθυνόμενο γράφημα G(V, E). Πηγή, προορισμός, χωρητικότητα ακμής b e. ροή μεγέθους

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρία Γραφημάτων και Εφαρμογές - Διακριτά Μαθηματικά ΙΙ Σεπτέμβριος 2017

Θεωρία Γραφημάτων και Εφαρμογές - Διακριτά Μαθηματικά ΙΙ Σεπτέμβριος 2017 Θεωρία Γραφημάτων και Εφαρμογές - Διακριτά Μαθηματικά ΙΙ Σεπτέμβριος 2017 Όλα τα γραφήματα είναι μη-κατευθυνόμενα, αν δεν αναφέρεται κάτι άλλο. ΕΓΘΑ : Σ. Κοσμαδάκης, «Εισαγωγή στα Γραφήματα, Θεωρία-Ασκήσεις».

Διαβάστε περισσότερα

ΠΛΗ 20, 4 η ΟΣΣ: Βασικές Έννοιες Θεωρίας Γραφημάτων

ΠΛΗ 20, 4 η ΟΣΣ: Βασικές Έννοιες Θεωρίας Γραφημάτων ΠΛΗ 20, 4 η ΟΣΣ: Βασικές Έννοιες Θεωρίας Γραφημάτων ημήτρης Φωτάκης ιακριτά Μαθηματικά και Μαθηματική Λογική Πληροφορική Ελληνικό Ανοικτό Πανεπιστήμιο 3 η Εργασία: Γενική Εικόνα Ικανοποιητική εικόνα, αντίστοιχη

Διαβάστε περισσότερα

Διάλεξη 4: Απόδειξη: Για την κατεύθυνση, παρατηρούμε ότι διαγράφοντας μια κορυφή δεν μπορούμε να διαχωρίσουμε τα u και v. Αποδεικνύουμε

Διάλεξη 4: Απόδειξη: Για την κατεύθυνση, παρατηρούμε ότι διαγράφοντας μια κορυφή δεν μπορούμε να διαχωρίσουμε τα u και v. Αποδεικνύουμε Διάλεξη 4: 20.10.2016 Θεωρία Γραφημάτων Γραφέας: Σ. Κ. Διδάσκων: Σταύρος Κολλιόπουλος 4.1 2-συνεκτικά γραφήματα (συνέχεια) Πρόταση 4.1 Δύο μπλοκ ενός γραφήματος G μοιράζονται το πολύ μία κορυφή. Απόδειξη:

Διαβάστε περισσότερα

1η Σειρά Γραπτών Ασκήσεων

1η Σειρά Γραπτών Ασκήσεων 1/20 Ασυμπτωτικός Συμβολισμός, Αναδρομικές Σχέσεις 1η Σειρά Γραπτών Ασκήσεων Αλγόριθμοι και Πολυπλοκότητα ΣΗΜΜΥ, Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο 1 Ασυμπτωτικός Συμβολισμός, Αναδρομικές Σχέσεις 2 3 4 5 2/20

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρία Γραφημάτων: Ορολογία και Βασικές Έννοιες

Θεωρία Γραφημάτων: Ορολογία και Βασικές Έννοιες Θεωρία Γραφημάτων: Ορολογία και Βασικές Έννοιες ιδάσκοντες: Φ. Αφράτη,. Φωτάκης,. Σούλιου Επιμέλεια διαφανειών:. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στους Αλγορίθμους Φροντιστήριο 8

Εισαγωγή στους Αλγορίθμους Φροντιστήριο 8 Εισαγωγή στους Αλγορίθμους Φροντιστήριο 8 Διδάσκων Χρήστος Ζαρολιάγκης Καθηγητής Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής Πανεπιστήμιο Πατρών Email: zaro@ceid.upatras.gr Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό

Διαβάστε περισσότερα

Ελάχιστα Γεννητορικά ένδρα

Ελάχιστα Γεννητορικά ένδρα λάχιστα Γεννητορικά ένδρα Στην ενότητα αυτή θα µελετηθούν τα εξής επιµέρους θέµατα: Ο αλγόριθµος του Prim και ο αλγόριθµος του Kruskal για εύρεση λάχιστων Γεννητορικών ένδρων ΠΛ 23 οµές εδοµένων και Αλγόριθµοι

Διαβάστε περισσότερα

Αλγόριθμοι και Πολυπλοκότητα

Αλγόριθμοι και Πολυπλοκότητα Αλγόριθμοι και Πολυπλοκότητα Άπληστοι Αλγόριθμοι Δημήτρης Μιχαήλ Τμήμα Πληροφορικής και Τηλεματικής Χαροκόπειο Πανεπιστήμιο Άπληστοι Αλγόριθμοι Είναι δύσκολο να ορίσουμε ακριβώς την έννοια του άπληστου

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 11 Ένωση Ξένων Συνόλων

Κεφάλαιο 11 Ένωση Ξένων Συνόλων Κεφάλαιο 11 Ένωση Ξένων Συνόλων Περιεχόμενα 11.1 Εισαγωγή... 227 11.2 Εφαρμογή στο Πρόβλημα της Συνεκτικότητας... 228 11.3 Δομή Ξένων Συνόλων με Συνδεδεμένες Λίστες... 229 11.4 Δομή Ξένων Συνόλων με Ανοδικά

Διαβάστε περισσότερα

Αλγόριθμοι Γραφημάτων

Αλγόριθμοι Γραφημάτων Αλγόριθμοι Γραφημάτων 1. Συντομότατα μονοπάτια 2. Αλγόριθμος Bellman-Ford 3. Αλγόριθμος Dijkstra 4. Floyd-Warshall Εισαγωγή στην Ανάλυση Αλγορίθμων Μάγια Σατρατζέμη Single-Source Shortest Path Πρόβλημα:

Διαβάστε περισσότερα

... a b c d. b d a c

... a b c d. b d a c ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΣΧΟΛΗ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΚΑΙ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΙΑΚΡΙΤA ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ιδάσκοντες: Φωτάκης, Σούλιου η Γραπτή Εργασία Θέµα (Αρχή του Περιστερώνα, 8 µονάδες) α) Σε ένα διάστηµα

Διαβάστε περισσότερα

ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΑΛΓΟΡΙΘΜΩΝ ΒΟΗΘΟΣ: ΒΑΓΓΕΛΗΣ ΔΟΥΡΟΣ

ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΑΛΓΟΡΙΘΜΩΝ ΒΟΗΘΟΣ: ΒΑΓΓΕΛΗΣ ΔΟΥΡΟΣ 1 ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΑΛΓΟΡΙΘΜΩΝ ΒΟΗΘΟΣ: ΒΑΓΓΕΛΗΣ ΔΟΥΡΟΣ Φροντιστήριο #2: Πολυωνυμικοί Αλγόριθμοι, Εισαγωγή στα Γραφήματα, Αναζήτηση κατά Βάθος, Τοπολογική Ταξινόμηση

Διαβάστε περισσότερα

Πανεπιστήμιο Δυτικής Μακεδονίας. Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής & Τηλεπικοινωνιών. Διακριτά Μαθηματικά. Ενότητα 2: Γραφήματα

Πανεπιστήμιο Δυτικής Μακεδονίας. Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής & Τηλεπικοινωνιών. Διακριτά Μαθηματικά. Ενότητα 2: Γραφήματα Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής & Τηλεπικοινωνιών Διακριτά Μαθηματικά Ενότητα 2: Γραφήματα Αν. Καθηγητής Κ. Στεργίου e-mail: kstergiou@uowm.gr Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών Άδειες Χρήσης

Διαβάστε περισσότερα

ΠΛΗ 20, 4 η ΟΣΣ: Βασικές Έννοιες Θεωρίας Γραφημάτων

ΠΛΗ 20, 4 η ΟΣΣ: Βασικές Έννοιες Θεωρίας Γραφημάτων ΠΛΗ 20, 4 η ΟΣΣ: Βασικές Έννοιες Θεωρίας Γραφημάτων Δημήτρης Φωτάκης Διακριτά Μαθηματικά και Μαθηματική Λογική Πληροφορική Ελληνικό Ανοικτό Πανεπιστήμιο 3 η Εργασία: Γενική Εικόνα Αξιόλογη προσπάθεια,

Διαβάστε περισσότερα

Διάλεξη 4: Θεωρία Γραφημάτων Γραφέας: Σ. Κ. Διδάσκων: Σταύρος Κολλιόπουλος συνεκτικά γραφήματα (συνέχεια) Πρόταση 4.1 Δύο μπλοκ ενός

Διάλεξη 4: Θεωρία Γραφημάτων Γραφέας: Σ. Κ. Διδάσκων: Σταύρος Κολλιόπουλος συνεκτικά γραφήματα (συνέχεια) Πρόταση 4.1 Δύο μπλοκ ενός Διάλεξη 4: 20.10.2016 Θεωρία Γραφημάτων Γραφέας: Σ. Κ. Διδάσκων: Σταύρος Κολλιόπουλος 4.1 2-συνεκτικά γραφήματα (συνέχεια) Πρόταση 4.1 Δύο μπλοκ ενός γραφήματος G μοιράζονται το πολύ μία κορυφή. Απόδειξη:

Διαβάστε περισσότερα

Αλγόριθμοι και Πολυπλοκότητα

Αλγόριθμοι και Πολυπλοκότητα Αλγόριθμοι και Πολυπλοκότητα Ροή Δικτύου Δημήτρης Μιχαήλ Τμήμα Πληροφορικής και Τηλεματικής Χαροκόπειο Πανεπιστήμιο Μοντελοποίηση Δικτύων Μεταφοράς Τα γραφήματα χρησιμοποιούνται συχνά για την μοντελοποίηση

Διαβάστε περισσότερα

Κατανεμημένα Συστήματα Ι

Κατανεμημένα Συστήματα Ι Κατανεμημένα Συστήματα Ι Παναγιώτα Παναγοπούλου 11η Διάλεξη 12 Ιανουαρίου 2017 1 Ανεξάρτητο σύνολο Δοθέντος ενός μη κατευθυνόμενου γραφήματος G = (V, E), ένα ανεξάρτητο σύνολο (independent set) είναι ένα

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρία Γραφημάτων 11η Διάλεξη

Θεωρία Γραφημάτων 11η Διάλεξη Θεωρία Γραφημάτων 11η Διάλεξη Α Συμβώνης Εθνικο Μετσοβειο Πολυτεχνειο Σχολη Εφαρμοσμενων Μαθηματικων και Φυσικων Επιστημων Τομεασ Μαθηματικων Φεβρουάριος 2016 Α Συμβώνης (ΕΜΠ) Θεωρία Γραφημάτων 11η Διάλεξη

Διαβάστε περισσότερα