Στο πλαίσιο του προγράμματος PISA, ο εγγραμματισμός στα Μαθηματικά ορίζεται ως η ικανότητα του ατόμου να προσδιορίζει και να κατανοεί τον ρόλο των Μαθηματικών στην καθημερινότητα, να αναπτύσσει τεκμηριωμένες κρίσεις και να χρησιμοποιεί τη μαθηματική γνώση και τις δεξιότητες που σχετίζονται με αυτή, για να αντιμετωπίζει τις ανάγκες της καθημερινής ζωής του ως σκεπτόμενος, δημιουργικός και ενεργός πολίτης. Με βάση αυτόν τον ορισμό ο εγγραμματισμός στα Μαθηματικά δεν περιορίζεται στη γνώση μαθηματικών όρων, διαδικασιών και μεθόδων που διδάσκονται στο σχολείο. Ο εγγραμματισμός στα Μαθηματικά, παρότι προαπαιτεί τα παραπάνω, αναφέρεται κυρίως στη δυνατότητα δημιουργικής σύνθεσης και εφαρμογής τους, προκειμένου να απαντηθεί ένα πρόβλημα που τίθεται στο πλαίσιο μιας καθημερινής κατάστασης και η επίλυσή του απαιτεί την εφαρμογή της μαθηματικής γνώσης. Η έννοια του εγγραμματισμού στα Μαθηματικά προσδιορίζεται από τρία συστατικά στοιχεία που αναπαρίστανται στο παρακάτω σχήμα:
Τα συστατικά στοιχεία του εγγραμματισμού στα Μαθηματικά
Το πλαίσιο στο οποίο εντάσσονται τα προβλήματα αναφέρεται σε προσωπικές, εκπαιδευτικές, επαγγελματικές, κοινωνικές και επιστημονικές καταστάσεις. Το μαθηματικό περιεχόμενο το οποίο απαιτείται για τη λύση ενός προβλήματος καθορίζεται από τέσσερις δεσπόζουσες κατηγορίες μαθηματικών εννοιών: - Χώρος και Σχήμα, - Μεταβολή και Σχέσεις, - Ποσότητα, - Αβεβαιότητα.
Κατάταξη της Ελλάδας μεταξύ χωρών του ΟΟΣΑ (Οργανισμός ευρωπαϊκής Οικονομικής Συνεργασίας και Ανάπτυξης Στοιχεία για Ελλάδα Εγγραμματισμός στην Κατανόηση Κειμένου Εγγραμματισμός στα Μαθηματικά Εγγραμματισμός στις Φυσικές επιστήμες 2000 23η (από 27 χώρες) 24η (από 27 χώρες) 24η (από 27 χώρες) 2003 25η (από 29 χώρες) 27η (από 29 χώρες) 24η (από 29 χώρες) 2006 26η (από 30 χώρες) 27η (από 30 χώρες) 27η (από 30 χώρες) 2009 22η (από 30 χώρες) 30η (από 30 χώρες) 30η (από 30 χώρες) 2012 28η (από 30 χώρες)
ΔΗΜΙΟΥΡΓΙΚΟΤΗΤΑ Εγγενές χαρακτηριστικό της ανθρώπινης σκέψης Καλλιεργείται μέσω της εκπαίδευσης
ΣΤΑΔΙΑ ΔΗΜΙΟΥΡΓΙΚΟΥ ΚΥΚΛΟΥ Προπαρασκευή- Συνειδητή σκέψη Επώαση Ασυνείδητη σκέψη Ελλαμψη Φώτιση (ενόραση) Επαλήθευση
ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ: Δημιουργική επίλυση προβλήματος (Αϊνστάιν) Επιλογή προβλήματος (συνειδητή σκέψη) Αναμόρφωση της ηλεκρομαγνητικής θεωρίας του Λόρενζ ώστε τα αξιώματα ή τα θεμελιώδη πορίσματα να είναι ανεξάρτητα από τη φύση της ύλης (αφομοίωση των καθιερωμένων μεθόδων της θεωρητικής φυσικής) Επώαση (ασυνείδητη σκέψη) Νοητικό πείραμα, απόπειρα κατανόησης των προβλημάτων της σχετικής κίνησης Φώτιση-νέος τρόπος σκέψης πάνω σε υπάρχουσες γνώσεις Διττή φύση του φωτός Χρόνος σχετικό μέγεθος Επαλήθευση Γενίκευση της θεωρίας της σχετικότητας
1. Προπαρασκευή Διασαφήνιση προβλήματος (τι, ποιος, πότε, γιατί και πώς;) Προϋπόθεση για την εξέλιξη του δημιουργικού κύκλου Είναι συστηματική και εργώδης προσπάθεια (Αϊνστάιν)
2. Επώαση (Ι) Το άτομο, επιφανειακά, δεν ασχολείται με το πρόβλημα αλλά «κοιμάται πάνω στο πρόβλημα» (κυβισμός- Πικάσο, σχετικότητα- Αϊνστάιν [Miller], μαθηματικά- Πουανκαρέ) Ενεργοποίηση δεξιού ημισφαιρίου- Δημιουργία αναπαραστάσεων από το συνδυαστικό αποτέλεσμα επτά διαφορετικών τύπων νοημοσύνης
3. Έλλαμψη Διανοητική έκρηξη Αφορά στο πώς Οι συγκεκριμένες ιδέες έρχονται αργότερα εξαιτίας νέων συνδυασμών δεδομένων με βάση κατευθυντήριες γραμμές (αισθητική, οπτικές παραστάσεις φαντασίας, συνοχή θεωριών, διαίσθηση)
4. Επαλήθευση Αξιολόγηση της νέας ιδέας Τρία είδη επαλήθευσης: Συμφωνία της ιδέας με πραγματικότητα (εγκυρότητα, λειτουργικότητα και εφαρμοσιμότητα) Γενίκευση της εφαρμογής της ιδέας Επιρροή που ασκεί (πηγή έμπνευσης). Γίνεται μέρος μιας κοσμοθεωρίας;
Πρόβλημα: οι 9 τελείες Ενώστε τα εννέα σημεία με τέσσερις ευθείες γραμμές, μονοκονδυλιά (χωρίς να σηκώσετε το μολύβι και χωρίς να περάσετε δεύτερη φορά από το ίδιο σημείο). Η δραστηριότητα αυτή δίνει μια σχηματική αναπαράσταση της αποκλίνουσας σκέψης.
Λύση προβλήματος
Χαρακτηριστικά Δημιουργικών ατόμων Πολυπλοκότητα Ενεργητικότητα αλλά και ηρεμία Εξυπνάδα αλλά και παιδική αφέλεια Υπευθυνότητα αλλά και παιγνιώδης διάθεση Φαντασία αλλά και ρεαλισμός Εξωστρέφεια και απομόνωση Αυτοπεποίθηση και ταπεινοφροσύνη Επαναστατικότητα και συντηρητικότητα Πάθος και αντικειμενικότητα
ΕΜΠΟΔΙΑ ΣΤΗ ΔΗΜΙΟΥΡΓΙΚΗ ΣΚΕΨΗ Η τυποποίηση της σκέψης Η απόλυτη κυριαρχία της λογικής Η έλλειψη εμπιστοσύνης στις δημιουργικές μας ικανότητες Ο φόβος των σφαλμάτων και της γελοιοποίησης Οι κοινωνικές πιέσεις για συμμόρφωση Η ψυχολογική ανασφάλεια για το νέο και το άγνωστο
Μαθηματικά Α τάξης 1η ΠΕΡΙΟΔΟΣ Αριθμοί: Οι αριθμοί μέχρι το 20 - Τα σύμβολα της σύγκρισης - Τακτικοί αριθμοί. Πράξεις: Προσθέσεις με αριθμούς μέχρι το 10. Γεωμετρία: Προσανατολισμός στο χώρο - Γεωμετρικά σχήματα. Μετρήσεις: Σύγκριση συνεχών μεγεθών - Τα νομίσματα μέχρι το 10.
2η ΠΕΡΙΟΔΟΣ Αριθμοί: Οι αριθμοί μέχρι το 50 - Σύστημα αρίθμησης, μονάδες και δεκάδες. Πράξεις: Αφαιρέσεις με αριθμούς μέχρι το 10 - Αθροίσματα με πολλούς όρους - Προσθέσεις με υπέρβαση της δεκάδας. Γεωμετρία: Χάραξη γραμμών - Κίνηση σε τετραγωνισμένο χαρτί - Γεωμετρικά σχήματα. Μετρήσεις: Μοτίβα - Ο χρόνος.
3η ΠΕΡΙΟΔΟΣ Αριθμοί: Οι αριθμοί μέχρι το 100. Πράξεις: Προσθέσεις και αφαιρέσεις διψήφιων και μονοψήφιων αριθμών - Προσθέσεις και αφαιρέσεις με υπέρβαση της δεκάδας - Πολλαπλασιασμός. Γεωμετρία: Χαράξεις, παζλ, πλακόστρωτο, μωσαϊκά - Γεωμετρικά σχήματα -Συμμετρία. Μετρήσεις: Μέτρηση συνεχών μεγεθών - Βάρος - Νομίσματα.
Στόχοι 1. Να απαγγέλλουν, να διαβάζουν, να γράφουν και να διατάσσουν τους φυσικούς αριθμούς μέχρι το 100. Προφορική και γραπτή αρίθμηση (ανεβαίνω και κατεβαίνω) Χρήση χειραπτικού υλικού (αριθμητήρια, χάρακες, σκάλες κλπ.)
2. Να εκτελούν τις πράξεις της πρόσθεσης και της αφαίρεσης με αριθμούς που δεν ξεπερνούν το 20. Εκτέλεση πράξεων πρώτα αισθητηριακά με αντικείμενα, μετά εικονικά και τέλος συμβολικά Χρήση χειραπτικού υλικού Χρήση τετραδίου για εξοικείωση με τα σύμβολα
3. Να εξοικειωθούν με καταστάσεις επανάληψης ίσων ποσοτήτων και διαμερισμού (μερισμού). Χωρίς τη χρήση συμβόλων πολλαπλασιασμού και διαίρεσης
4. Να έχουν μια πρώτη επαφή με τις έννοιες: μήκος, χρόνος, χρήμα, μάζα. Πολλές διαισθητικές ασκήσεις Πολυαισθητηριακή προσέγγιση
5.Να αναγνωρίζουν, να περιγράφουν και να επεκτείνουν αριθμητικά και γεωμετρικά μοτίβα. Χρήση μοτίβων του βιβλίου Επέκταση στην ώρα της αισθητικής αγωγής Μοτίβα παραδοσιακά (συσχέτιση με Ανθολόγιο και κείμενα από την παράδοση του τόπου)
6. Να εξασκούνται στον προσανατολισμό στο χώρο, στη σχεδίαση, αναπαραγωγή, αναγνώριση, ονομασία και ταξινόμηση σχημάτων. Χρήση γεωμετρικών σχημάτων Ασκήσεις παιχνίδια στο χώρο
7. Να διακρίνουν τα στερεά: τον κύβο, το ορθογώνιο παραλληλεπίπεδο, τον κύλινδρο και τη σφαίρα. Χρήση γεωμετρικών στερεών και αντικειμένων από το χώρο της αίθουσας ή του σχολείου
8. Να παρατηρούν εικόνες και σχήματα συμμετρικά ως προς άξονα. Ασκήσεις από τα βιβλία Εξάσκηση στην ώρα της αισθητικής αγωγής
Μαθησιακή ιεραρχία ή στάδια μάθησης 1. Απόκτηση: στόχος η ακρίβεια (π.χ. διδάσκεται για πρώτη φορά τα αθροίσματα του 10) 2. Ευχέρεια: στόχος η βελτίωση του χρόνου αντίδρασης αυτοματισμός (π.χ. μαθαίνει ν απαντά γρήγορα σε μεμονωμένα αθροίσματα του 10) 3. Διατήρηση: στόχος διατήρηση επιπέδων χρήσης της δεξιότητας (π.χ. μετά από 2 εβδομάδες πρέπει να λέει τα αθροίσματα του 10 και ν απαντά και σε ερωτήσεις που αφορούν σε μεμονωμένα αθροίσματα του 10 αυτόματα)
4. Γενίκευση: στόχος η τοποχρονική επέκταση της χρήσης της δεξιότητας (π.χ. χρήση των αθροισμάτων του 10 για να λύσει λεκτικά προβλήματα) 5. Προσαρμογή: στόχος η επίλυση προβλημάτων της καθημερινής ζωής (π.χ. αυθόρμητη χρήση των αθροισμάτν του 10 για αγορά από το κυλικείο)
Εκτέλεση αριθμητικών πράξεων Αρχή 1η: Η όλη διαδικασία πρέπει να γίνεται περισσότερο ένα λεκτικό έργο Αρχή 2η: Η διδασκαλία πρέπει να είναι συστηματική και συγκεκριμένη
Βήματα εκτέλεσης αριθμητικής πράξης 1. Επιλογή μιας απλής μορφής αριθμητικής πράξης που δυσκολεύει το παιδί 2. Περιγραφή του σκοπού, των πρακτικών εφαρμογών και των σταδίων της αριθμητικής πράξης από το δάσκαλο (εξήγηση όρων, συμβόλων, λέξεων όπως «βγάζω», «μειώνω», «αφαιρώ», «χάνω» κλπ) 3. Προφορική λεπτομερειακή παρουσίαση των διαδοχικών βημάτων εκτέλεσης της πράξης από το δάσκαλο (επικέντρωση προσοχής στο σύμβολο, υπόδειξη όλων των κινήσεων που απαιτούνται)
4. Προφορική παρουσίαση των βημάτων της πράξης από το παιδί (επανάληψη όσων του έδειξε ο δάσκαλος) 5. Γραπτή παρουσίαση των κανόνων εκτέλεσης της πράξης από το παιδί (ώστε να ανατρέχει σ αυτούς όποτε κρίνεται αναγκαίο) 6. Εξοικείωση του παιδιού με την αντιστοιχία κανόνων με τις πραγματικές ενέργειες (το παιδί καθοδηγεί το δάσκαλο ή άλλο μαθητή να εκτελέσει την πράξη
7. Εισαγωγή χειροπιαστού υλικού και επεξήγηση της μαθηματικής πλευράς της πράξης (χρήση ποικιλίας υλικών για απόκτηση αισθησιοκινητικών εμπειριών και γενίκευση της γνώσης. Με αργό ρυθμό) 8. Εκτέλεση της πράξης με γραπτά σύμβολα 9. Ρυθμίσεις για αντιμετώπιση γραφοκινητικών προβλημάτων και προβλημάτων χωρικού προσανατολισμού (χρήση τετραγωνισμένου χαρτιού, χρωμάτων κ.ά.) 10. Εξάσκηση στην ανάγνωση αριθμητικών ασκήσεων (φωναχτή ανάγνωση των πράξεων πριν την έναρξη της εκτέλεσής τους στο αρχικό στάδιο)
11. Χρήση υπολογιστή τσέπης για επαλήθευση πράξεων (επαλήθευση της πράξης και επανάληψή της σε περίπτωση λάθους) 12. Καταγραφή και ανάλυση λαθών του παιδιού από το δάσκαλο 13. Γενίκευση και μεταφορά της γνώσης στην εκτέλεση των πράξεων μέσω της χρήσης της σε ποικίλες καταστάσεις
Χαρακτηριστικά μαθητών με Μ.Δ. στα μαθηματικά (1) Δυσκολία στην εκτέλεση διαδικασιών με πολλά στάδια (ακολουθίες ενεργειών), όπως τα λεκτικά προβλήματα με περισσότερες από μία πράξεις ή οι πράξεις με πολλά βήματα (με πολυψήφιους αριθμούς) Λάθη σε πράξεις που απαιτούν μεταφορά ποσοτήτων και/ή αναδόμηση αριθμών (π.χ. πρόσθεση και αφαίρεση με «κρατούμενα» και «δανεικά» Αδυναμία στην κατάκτηση και αυτόματη ανάκληση των αποτελεσμάτων των πράξεων με μονοψήφιους αριθμούς (βασικά αριθμητικά δεδομένα) Λάθη κατά την γραφή λέξεων-αριθμών Εύρεση «παράλογων» αποτελεσμάτων
Χαρακτηριστικά μαθητών με Μ.Δ. στα μαθηματικά (2) Δυσκολία στην εκτέλεση πράξεων όταν αλλάζει η σειρά παρουσίασης των αριθμών Δυσκολίες και λάθη στην αντιγραφή αριθμητικών συμβόλων Λανθασμένη τοποθέτηση των αριθμών στο χώρο, κυρίως στον πολλαπλασιασμό και τη διαίρεση Αδυναμίες στην ανάκληση των ονομάτων των αριθμών
Τύποι μαθητών ως προς τη λειτουργία τους πάνω σε συγκεκριμένα μαθηματικά αντικείμενα Πρώτος τύπος Αναλυτικός/ τμηματικός Αλγεβρικός Άνθρωπος των λέξεων Σκουλήκι Ποσοτικός Δεύτερος τύπος Ολιστικός Γεωμετρικός Άνθρωπος των εικόνων Ακρίδα Ποιοτικός
Τρόπος σκέψης των δύο τύπων για επίλυση πρόσθεσης Αναλυτικός τύπος Ολιστικός τύπος 350 +197 547 α)350+150=500 500+47=547 ή β) 197+3=200 350+200=550 550-3=547
Χαρακτηριστικά των δύο τύπων κατά την επίλυση προβλημάτων 1.Φάση κατανόησης του προβλήματος 1. Επικεντρώνεται στα μέρη, προσέχει τη λεπτομέρεια, διαχωρίζει 2. Στοχεύει στην εύρεση στοιχείων που θα οδηγήσουν στη χρησιμοποίηση μιας γνωστής διαδικασίας 1. Χρησιμοποιεί ολιστική προσέγγιση, σχηματίζει έννοιες, συνθέτει 2. Στοχεύει στην εύρεση στοιχείων που θα οδηγήσουν σε μια πρώτη εκτίμηση της απάντησης ή στην επισήμανση περιορισμών στη λύση
2. Φάση επίλυσης του προβλήματος 3. Είναι προσανατολισμένος σε γνωστές μεθόδους και συνταγές 4. Επικεντρώνεται σε μία μόνο μέθοδο, σε διαδοχικά βήματα που οδηγούν σε μία κατεύθυνση 5. Χρησιμοποιεί τους αριθμούς ακριβώς όπως του δίνονται 6. Αρέσκεται στην πρόσθεση και τον πολ/μό. «Αντιστέκεται» σε αφαίρεση/ διαίρεση 7. Έχει την τάση να χρησιμοποιεί χαρτί και μολύβι για να λογαριάσει 3. Διερευνά διάφορες πιθανότητες 4. Χρησιμοποιεί διάφορες μεθόδους, αντιστρέφει διαδικασίες, δοκιμάζει νέες προσεγγίσεις 5. Τροποποιεί τους αριθμούς (στρογγυλοποιεί) για να διευκολύνει τις πράξεις 6. Αρέσκεται στην αφαίρεση 7. Έχει την τάση να κάνει τις πράξεις νοερά
3. Φάση επαλήθευσης του προβλήματος 8. Συνήθως δεν επαληθεύει. Όταν το κάνει, χρησιμοποιεί την ίδια τη διαδικασία της λύσης 8. Συνήθως προσπαθεί να επαληθεύσει, χρησιμοποιώντας διαφορετική λύση