ΑΤΕΙ ΠΕΙΡΑΙΑ/ ΣΤΕΦ /9/015 ΤΜΗΜΑ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΓΡΑΠΤΗ ΕΞΕΤΑΣΗ ΣΤΗ ΦΥΣΙΚΗ ΕΞΕΤΑΣΤΗΣ: ΒΑΡΣΑΜΗΣ ΧΡΗΣΤΟΣ ΔΙΑΡΚΕΙΑ ΩΡΕΣ ΑΣΚΗΣΗ 1 Σώμα κινείται σε ευθύγραμμη οριζόντια τροχιά με την ταχύτητά του σε συνάρτηση με το χρόνο, υ(t), να δίνεται στο διπλανό σχήμα. Για t = 0 δίνεται ότι x = 0. α) να βρείτε τη συνάρτηση υ(t), για το διάστημα t [0,5]s. (0.5 μονάδα) β) να υπολογίσετε τη θέση του σώματος για t = 5 s με βάση τη συνάρτηση υ(t). (0.5 μονάδα) γ) να υπολογίσετε τη θέση του σώματος για t = 5 s με βάση αποκλειστικά τη γραφική παράσταση της συνάρτησης υ(t). (0.5 μονάδα) δ) να υπολογίσετε την επιτάχυνση του σώματος σε συνάρτηση με το χρόνο, α(t), για το διάστημα t [0,5]s. (0.5 μονάδα) ε) να δώσετε τις εξισώσεις κίνησης για τα χρονικά διαστήματα [0,], [,4] και [4,5] s. (1 μονάδα) α) Σύμφωνα με το σχήμα έχουμε: Για t [0,] s η ταχύτητα είναι ανάλογη του χρόνου: υ(t) = α 1 t (1) με σταθερά αναλογίας α 1 = 4 m s, αφού για t = s δίνεται ότι υ = 8 m s. Για t [,4] s η ταχύτητα είναι σταθερή: υ(t) = 8 m s () Επιπλέον, για t [4,5] s από το γράφημα βλέπουμε η ταχύτητα είναι ανάλογη του χρόνου: υ(t) = 16 α t () με σταθερά αναλογίας α = m s, αφού για t = 5s δίνεται ότι υ = 6 m. s Τελικά, η ταχύτητα δίνεται από τη συνάρτηση: 4t για t [0,] s υ(t) = { 8 για t [,4] s 16 t για t [4,5] s (4) β) Με βάση τη συνάρτηση υ(t) θα έχουμε ότι:
x = υdt 0 + 4 υdt 5 + υdt 4 = 4 t ] 0 + 8t] 4 + (16t t )] 4 5 = 1 m (5) γ) με βάση αποκλειστικά τη γραφική παράσταση της συνάρτησης υ(t), η θέση είναι το εμβαδόν που περικλείεται από το γράφημα της συνάρτησης υ(t) και τον οριζόντιο άξονα: υ(m/s) Α Β Γ t(s) Για το τρίγωνο Α: Ε 1 = 1 8 = 8 m Για το ορθογώνιο Β: Ε = 8 = 16 m Για το τραπέζιο Γ: Ε = 1 (8 + 6) 1 = 7 m Τελικά: x = Ε 1 + Ε + Ε = 1 m σε συμφωνία με το αποτέλεσμα στη σχέση (5). δ) από τον ορισμό της επιτάχυνσης α = dυ και τη συνάρτηση υ(t) της εξίσωσης (4) παίρνουμε: 4 για t [0,] s α = { 0 για t [,4] s για t [4,5] s ε) για t [0,] s έχουμε: x(t) = 1 α 1t = t dt Για t [,4] s η κίνηση είναι ευθύγραμμη ομαλή, με αρχικές συνθήκες: t 0 = s, x 0 = 8m, υ 0 = 8 m s, άρα:
x(t) = 8 + 8 (t ) Τέλος, για t [4,5] s έχουμε ομαλά επιβραδυνόμενη κίνηση, με αρχικές συνθήκες: t 0 = 4 s, x 0 = 4 m, υ 0 = 8 m, και για το συγκεκριμένο χρονικό διάστημα θα ισχύει: s x(t) = x 0 + υ 0 (t t 0 ) 1 α (t t 0 ) = 4 + 8(t 4) (t 4) Τελικά, η θέση x(t) δίνεται από τη συνάρτηση: t για t [0,] s x(t) = { 8 + 8 (t ) για t [,4] s 4 + 8(t 4) (t 4) για t [4,5] s ΑΣΚΗΣΗ Σώμα μάζας m βρίσκεται ακίνητο πάνω σε οριζόντιο επίπεδο με συντελεστή στατικής τριβής μ σ και συντελεστή τριβής ολίσθησης μ. Στο σώμα ασκείται οριζόντια δύναμη F(t) = λ mt όπου t ο χρόνος και λ σταθερά. α) να σχεδιάσετε το διάγραμμα ελεύθερου σώματος. (0.5 μονάδα) β) να βρείτε το χρόνο για τον οποίο το σώμα αρχίζει να κινείται. (0.5 μονάδα) γ) να υπολογίσετε τη διάσταση της σταθεράς λ. (1 μονάδα) δ) να βρείτε την επιτάχυνση του σώματος α(t) δίνοντας την αρχική της τιμή και σχολιάζοντας το πρόσημο της αρχικής τιμής. (1μονάδα) α) Σύμφωνα με την εκφώνηση για t = 0, F = 0, οπότε το διάγραμμα ελεύθερου σώματος είναι: N T σ mg Οι δυνάμεις είναι το βάρος, mg, η αντίδραση, Ν, και η στατική τριβή, T σ. Το βάρος ασκείται στο κέντρο της μάζας ενώ οι υπόλοιπες δύο δυνάμεις ασκούνται στο σημείο επαφής της μάζας με το οριζόντιο δάπεδο. Σημείωση: επειδή δεν έχουμε περιστροφή μπορούμε καταχρηστικά να σχεδιάσουμε όλες τις δυνάμεις με σημείο εφαρμογής το κέντρο του σώματος. β) το σώμα αρχίζει να κινείται όταν η δύναμη F πάρει τιμή ίση με το μέγιστο της στατικής τριβής: F = T max σ λ mt = μ σ mg t = μ σg (1) λ γ) Από τη σχέση F(t) = λ mt έχουμε:
[λ] = [F] [m][t] [λ] = ML T MT [λ] = L1/ T / δ) Όταν το σώμα κινείται η εξίσωση της δυναμικής είναι: F(t) Τ = mα λ mt μmg = mα α(t) = λ t μg () Με βάση τη σχέση (1), η κίνηση συμβαίνει για t μ σg λ επομένως αντικαθιστώντας αυτή την τιμή στην εξίσωση () έχουμε για την αρχική τιμή του α : α = λ μ σg λ μg α = g(μ σ μ) Δεδομένου ότι ισχύει μ σ > μ διαπιστώνουμε ότι το πρόσημο της αρχικής τιμής είναι θετικό, κάτι που είναι αναμενόμενο δεδομένου ότι το σώμα θα κινηθεί. ΑΣΚΗΣΗ Κύλινδρος μάζας Μ και ακτίνας R βρίσκεται πάνω σε κεκλιμένο επίπεδο γωνίας φ. Η ροπή αδράνειας του κυλίνδρου ως προς άξονα που περνά από το κέντρο μάζας του είναι Ι = 1/ MR. α) Να βρείτε την επιτάχυνση του κέντρου μάζας του κυλίνδρου όταν εκτελεί κίνηση κύλισης στο κεκλιμένο επίπεδο. (1.5 μονάδα) β) Να υπολογίσετε τις τιμές του συντελεστή στατικής τριβής μεταξύ του κυλίνδρου και του κεκλιμένου επιπέδου έτσι ώστε ο κύλινδρος να γλιστρά στο κεκλιμένο επίπεδο χωρίς να κυλίεται. (.5 μονάδες) α) Οι δυνάμεις που ασκούνται είναι το βάρος, Mg, η αντίδραση, Ν, και η στατική τριβή, T. Το βάρος ασκείται στο κέντρο του κυλίνδρου ενώ οι υπόλοιπες δύο δυνάμεις ασκούνται στο σημείο επαφής του κυλίνδρου με το κεκλιμένο επίπεδο. Τ N Μg φ Οι εξισώσεις κίνησης είναι (για την περιστροφική σχέση το σημείο αναφοράς είναι το κέντρο του κυλίνδρου): Mg sin φ Τ = Μα ΤR = I c α γ ΤR = 1 MR α R T = Ma (1) () Αντικαθιστώντας τη σχέση () στην εξίσωση (1) έχουμε:
Mg sin φ Ma = Μα Μα = Mg sin φ α = g sin φ () β) Όσο η στατική τριβή λαμβάνει τιμές μικρότερες από εκείνες της σχέσης () δεν έχουμε κύλιση. Αυτό συμβαίνει όταν: T < Ma Τ < (4) Από την άλλη μεριά, η μέγιστη τιμή που λαμβάνει η στατική τριβή είναι ίση με: Τ max = μ σ Ν = μ σ Μg cos φ (5) Επομένως, όσο η μέγιστη τιμή της στατικής τριβής είναι μικρότερη από την οριακή τιμή της για να έχουμε κύλιση τότε ο κύλινδρος γλιστρά στο κεκλιμένο επίπεδο χωρίς να κυλίεται. Συνδυάζοντας τις σχέσεις (4) και (5) προκύπτει ότι δεν έχουμε κύλιση όταν: Τ max < μ σ Μg cos φ < μ σ < tan φ Τελικά, το ζητούμενο διάστημα τιμών του συντελεστή στατικής τριβής μεταξύ του κυλίνδρου και του κεκλιμένου επιπέδου έτσι ώστε ο κύλινδρος να γλιστρά στο κεκλιμένο επίπεδο χωρίς να κυλίεται είναι το [0, tan φ ).