Formelsammlung zur sphärischen Trigonometrie A. Goniometrie A.1. Additionstheoreme für α β für α = β (α ± β) =α cos β ± cos α β ( α) =α cos α cos (α ± β) =cosα cos β β = cos α tan α ± tan β tan (α ± β) = 1 tan α tan β cos ( α) =cos α α =cos α 1 =1 α cot α cot β 1 cot (α ± β) = cot β ± cot α A.. Verwandlungsformeln x + y = x+y cos x y x y = cos x+y x y cos x + cos y = cos x+y cos x y cos x cos y = x+y x y 1
B. Ebene Trigonometrie B.1. Sinussatz B.. Koussatz B.3. Tangentenformel a:b:c=α :β :γ a =b +c bc cosα b =c +a ca cosβ c =a +b ab cosγ 4. Winkel und Seiten haben positive Werte! Sonst: π α,..., π a,... oder π + α,... oder... 5. Prüfen Sie, ob die Winkelsumme größer ist als π: + γ>π. 6. Prüfen Sie, ob die Seitensumme kleiner ist als π: +c< π. 7. Prüfen Sie, ob dem größeren von zwei Winkeln auch die größere Seite gegenüber liegt: b < a β<α. es gilt: s =+c tan α = (s b)(s c) s(s a) tan β = (s c)(s a) s(s b) tan γ = (s a)(s b) s(s c) C. Sphärische Trigonometrie C.1. Sinussatz b C.. Seitenkoussatz β b c γ = c cos a = cos b cos c + b c cos α cos b = cos c cos a + c cos β cos c = cos a cos b + b cos γ C.3. Winkelkoussatz cos α = cos β cos γ +β γ cos a cos β = cos γ cos α +γ cos b cos γ = cos α cos β +α β cos c 11
D. Ergänzungen C.4. Fünfstückebeziehung (Sinus-Koussatz) D.1. Mehrdeutigkeiten bei der Berechnung von sphärischen Dreiecken D.1.1. Grundaufgabe 5 (siehe C.10.5) 1. Fall > π α< π α> π. Fall < π α< π α> π β> π β< π β< π β< π > π, oder > π < π, oder > π (geometrisch eindeutig), (geometrisch zweideutig). (geometrisch zweideutig), (geometrisch eindeutig). C.5. Kotangentensatz cos β =cosbc b cos c cos α cos γ =coscb c cos b cos α b cos α =cosac cos c cos β b cos γ =cosca c cos a cos β c cos α =cosab cos b cos γ c cos β =cosba b cos a cos γ cos b = cos β γ +β cos γ cos a cos c = cos γ β +γ cos β cos a β cos a = cos α γ +α cos γ cos b β cos c = cos γ +γ cos α cos b γ cos a = cos α β +α cos β cos c γ cos b = cos β +β cos α cos c D.1.. Grundaufgabe 6 (siehe C.10.6) 1. Fall > π a < π a > π. Fall < π a < π a > π D.. Grundregeln b > π b < π b < π b < π 1. Vermeiden Sie den Sinussatz! > π, oder > π < π, oder > π (geometrisch eindeutig), (geometrisch zweideutig). (geometrisch zweideutig), (geometrisch eindeutig). C.6. Halbstücksrelationen es gilt: δ = + γ = cos δ cos (δ α) β γ b = cos δ cos (δ β) γ c = cos δ cos (δ γ) β cos a cos β =acotc β cot γ cos a cos γ =acotb γ cot β cos b cos α =bcotc cot γ cos b cos γ =bcota γ cot α cos c cos α =ccotb cot β cos c cos β =ccota β cot α cos a = cos (δ β) cos(δ γ) β γ cos b = cos (δ γ) cos(δ α) γ cos c = cos (δ α) cos(δ β) β. Im Falle des Sinussatzes für jede Grundaufgabe die Lösung auf Mehrdeutigkeiten prüfen! 3. Zweite Lösung im mehrdeutigen Fall für α im ersten Quadranten ist 180 α. 10 3
es gilt: s = a + b + c aus zwei Seiten und dem eingeschlossenen Winkel (s b) (s c) = b c β (s c) (s a) = c γ (s a) (s b) = b C.7. Tangentenformeln tan a = cos δ cos (δ α) cos (δ β) cos(δ γ) tan b = cos δ cos (δ β) cos (δ γ) cos(δ α) tan c = cos δ cos (δ γ) cos (δ α) cos(δ β) cos α s (s a) = b c cos β s (s b) = c cos γ s (s c) = b tan α = (s b) (s c) s (s a) tan β = (s c) (s a) s (s b) tan γ = (s a) (s b) s (s c) cot ε =cotα + cot b cot c =cotβ + cot c cot a β =cotγ + cot a cot b γ Näherungsformel für kleine sphärische Dreiecke (Seiten bis 75 km, R = Erdradius) ε = a β γ ρ R = b γ ρ R β = c β ρ R γ C.8. Delambresche Formelpaare (Gaußsche Formeln) cos a cos β + γ cos a β + γ cos b cos γ + α cos b γ + α cos c cos cos c + β = b+c cos =cos α cos b c = β c+a cos =cos β cos c a = γ cos =cos γ cos a b cos β γ β γ b cos γ α b γ α c cos α β c β = b+c =cos α b c = β c+a =cos β c a = γ =cos γ b Zusammenhang zwischen Exzeß und Fläche des sphärischen Dreiecks I I= O 70 ε O=Kugeloberfläche Mit O = 4πR und für die Einheitskugel R = 1 folgt I=arcε 4 9
90 b 90 a 180 γ b α β c 90 α 90 β (a) für das rechtwinklige Dreieck γ =90 (b) für das rechtseitige Dreieck c = 90 Abbildung : Neperscher Ring a C.9. Nepersche Tangentenformeln (Nepersche Analogien) tan tan tan β + γ tan b+c tan γ + α tan c+a =cot γ cos ab cos =tan c cos αβ cos α+β =cot α cos bc cos b+c =tan a cos βγ cos β+γ =cot β =tan b cos ca cos c+a cos γα cos γ+α tan α β tan a b tan β γ tan b c tan γ α tan c a =cot γ b +b =tan c β +β =cot α bc b+c =tan a βγ β+γ =cot β =tan b ca c+a γα γ+α C.11. Rechtwinkliges und rechtseitiges Dreieck Nepersche Regel Der Kous eines Stückes im Neperschen Ring (Abb. ) ist gleich dem Produkt der Kotanges der anliegenden Stücke oder gleich dem Produkt der Sinus der nichtanliegenden Stücke. C.1. Sphärischer Exzeß ε Winkelsumme im sphärischen Dreieck: Im Eulerschen Dreieck gilt: Berechnung von ε: + γ = 180 + ε 0 <ε<360 aus drei Seiten (nach L Huilier) tan ε 4 = tan s tan s a tan s b tan s c C.10. Formeln für die Auflösung der 6 Standardfälle des sphärischen Dreiecks C.10.1. Gegeben: a, b, c cos α = cos a cos b cos c b c cos β = tan β = cos γ = tan γ = oder b tan α = (s b) (s c) s (s a) s= +c 8 5
C.10.. Gegeben: α, β, γ cos a = cos α +cosβ cos γ β γ cos b = tan b = tan a = cos δ cos (δ α) cos (δ β) cos(δ γ) C γ b α. A c c=c1 +c a β B Abbildung 1: Skizze zum Verständnis von C.10.5 und C.10.6 c 1 cos c = tan c = oder c = β C.10.3. Gegeben: a, b,γ δ = + γ C.10.5. Gegeben: a, b,α b tan c 1 =cosβ tan a tan c b α+β = β tan a b cos c = cos a cos b + = + b cos γ γ c C.10.4. Gegeben: α, β, c cos γ = cos α cos β + +α β cos c c = γ tan tan α β tan tan a b c = =cot γ =cot γ cos (ab) cos () (ab) () γ =tan c = c cos (αβ) cos (α+β) tan c =cosα tan b cot γ = C.10.6. Gegeben: α, β, a c β tan c 1 =cosβ tan a tan c = tan c =cosα tan b cot γ = 6 7