, Med

5ο ΣΥΝΕ ΡΙΟ ΣΤΗ ΣΥΡΟ- ΤΠΕ ΣΤΗΝ ΕΚΠΑΙ ΕΥΣΗ 1 Οπτική απόδειξη µέσω της ανασύνθεσης ισοδυνάµων σχηµάτων σε λογισµικό δυναµικής γεωµετρίας Σταυρούλα Πατσιοµίτου Καθ. Β/θµιας Εκπ/σης, Med ιδακτικής και Μεθοδολογίας Μαθηµατικών Παν/µιου Αθηνών Υπ. ιδάκτωρ Παν. Ιωαννίνων spatsiomitou@sch.gr ΠΕΡΙΛΗΨΗ Στην παρούσα εργασία, θα παρουσιαστούν παραδείγµατα τεµαχισµού και ανασύνθεσης σχηµάτων µέσω του λογισµικού δυναµικής γεωµετρίας Geometer s Sketchpad. H τεχνολογική διαδικασία στο λογισµικό, αντικαθιστά µια χρονοβόρα διαδικασία στο χαρτί µέσω της οποίας οι µαθητές έχουν την δυνατότητα να αποκτήσουν βαθύτερη κατανόηση των σχηµάτων και των ιδιοτήτων τους, µε πλεονεκτήµατα της άµεσης παρατήρησης της αρχικής θέσης, ενδιάµεσων θέσεων και τελικής θέσης του σχήµατος. Μέσω της διαδικασίας αυτής δίνεται η δυνατότητα να κατανοήσουν και να επαληθεύσουν οι µαθητές µε οπτικό τρόπο θεωρήµατα. Ακόµα τους παρέχεται η δυνατότητα να προσεγγίσουν τους υπολογισµούς εµβαδών αποσυνδέοντας την διαδικασία από την αποµνηµόνευση τύπων. ΛΕΞΕΙΣ ΚΛΕΙ ΙΑ: ισοδυναµία σχηµάτων, λογισµικό δυναµικής γεωµετρίας ΕΙΣΑΓΩΓΗ Η µέθοδος τεµαχισµού και ανασύνθεσης σχηµάτων είναι από τις µεθόδους που προτείνονται από το NCTM (National Council of Teacher of Mathematics) για την ανάπτυξη της χωρικής κατανόησης των µαθητών. Τα Standards του NCTM (1989, p.49) δηλώνουν ότι για να αναπτυχθεί η χωρική κατανόηση των µαθητών πρέπει να αποκτήσουν πολλές εµπειρίες που εστιάζουν στις γεωµετρικές σχέσεις και τον προσανατολισµό των σχηµάτων. Ειδικότερα, τα Standards δηλώνουν ότι «όταν τα παιδιά διερευνούν το αποτέλεσµα της σύνθεσης δυο σχηµάτων ή κατασκευάζουν µε χρήση µετασχηµατισµού ένα νέο σχήµα (για παράδειγµα στροφή του αρχικού σχήµατος) τότε αποκτούν βαθύτερη κατανόηση των σχηµάτων και των ιδιοτήτων τους. Αυτού του τύπου οι δραστηριότητες αναπτύσσουν την χωρική κατανόηση». Μέσω της ανακατασκευής ενός σχήµατος έχουµε την δυνατότητα να κατανοήσουµε την δυνατότητα διατήρησης του εµβαδού (Κορδάκη, 1999). Σύµφωνα µε την Κορδάκη ως έννοια της διατήρησης ορίζεται η δυνατότητα µιας επιφάνειας να µεταβάλλεται ως προς το σχήµα χωρίς αυτό να συνεπάγεται ότι µεταβάλλεται και ποσοτικά (Piaget et all 1981; Hughes & Rogers, 1979). Οι υπολογισµοί των εµβαδών των επιφανειών µε την εισαγωγή των τύπων είναι µια σηµαντική πηγή δυσκολίας κατανόησης της έννοιας της επιφάνειας. Η Κορδάκη αναφέρει ότι «οι δυσκολίες των µαθητών αποδίδονται στο ότι δεν δίνεται έµφαση κατά τη διάρκεια των σχολικών πρακτικών στις έννοιες που συνθέτουν την µέτρηση της επιφάνειας αλλά γίνεται πρόωρη εισαγωγή τους στους τύπους υπολογισµού των εµβαδών (για παράδειγµα Menon, 1996)». Είναι εποµένως σηµαντικό να κατανοήσουµε ότι η επιφάνεια παραµένει αµετάβλητη ύστερα από µετακίνηση, τεµαχισµό και ανασύνθεση, αναγκαία γνώση για να

5ο ΣΥΝΕ ΡΙΟ ΣΤΗ ΣΥΡΟ- ΤΠΕ ΣΤΗΝ ΕΚΠΑΙ ΕΥΣΗ 2 κατανοήσουµε πως λειτουργεί η µέτρηση της επιφάνειας (Douady & Perrin, 1986). Η χρήση των τύπων υπολογισµού του εµβαδού µιας επιφάνειας επιβεβαιώνει ότι τα εµβαδά των σχηµάτων παραµένουν αµετάβλητα κατά τους µετασχηµατισµούς τους σε ισοδύναµα (ή ισεµβαδικά) σχήµατα. Στις δραστηριότητες που παρουσιάζονται στη συνέχεια επεξηγούνται οι τρόποι που µπορούµε να ανασυνθέσουµε ένα σχήµα στο λογισµικό δυναµικής γεωµετρίας Geometer s Sketchpad v4 (Jackiw, 1991). Παρέχεται η τεχνολογική διαδικασία στο λογισµικό και η λογική επεξήγηση της επιλογής των εντολών µε την θεωρητική σύνδεση της κατασκευής. Μέσω της διαδικασίας αυτής µας δίνεται η δυνατότητα να οπτικοποιήσουµε την ισοδυναµία των σχηµάτων µε τον πιο «δυναµικό» τρόπο της δυναµικής γεωµετρίας και να απαντήσουµε ερωτήσεις του τύπου «Πως µπορούµε να δείξουµε ότι ένα τρίγωνο είναι ισοδύναµο µε ένα τετράγωνο;ποιες οι ενδιάµεσες και ποια η τελική θέση µετασχηµατισµού του σχήµατος» ΟΠΤΙΚΗ ΑΠΟ ΕΙΞΗ (VISUAL PROOF) ΘΕΩΡΗΜΑΤΟΣ ΣΕ ΤΡΙΓΩΝΟ ΜΕ ΑΝΑΣΥΝΘΕΣΗ Στη διαδικασία που παρουσιάζεται στη συνέχεια, θα τεµαχίσουµε µέσω του λογισµικού δυναµικής γεωµετρίας το τρίγωνο σε δυο µέρη και στην συνέχεια µε κίνηση θα το ανασυνθέσουµε/µετασχηµατίσουµε σε σχήµα παραλληλογράµµου. Κατασκευάζουµε ένα τρίγωνο ΑΒΓ µε αυθαίρετο µήκος πλευρών και µέτρο γωνιών στην οθόνη. Επιλέγουµε τις πλευρές ΑΒ, ΑΓ και κατασκευάζουµε τα µέσα τους, Θ. Θα αποδείξουµε οπτικά ότι το τµήµα Θ είναι παράλληλο προς την ΒΓ και ίσο µε το 1/ 2 της ΒΓ. Κατασκευάζουµε κύκλο µε κέντρο αυθαίρετο σηµείο Ο πάνω στην οθόνη. Κατασκευάζουµε µια ευθεία διερχόµενη από το κέντρο Ο του κύκλου που τέµνει τον κύκλο στα σηµεία Ε, Η. Κατασκευάζουµε ένα σηµείο Ζ αυθαίρετο πάνω στον κύκλο. Θα συνδέσουµε στη συνέχεια την µετακίνηση του σηµείου Ζ στον κύκλο µε την µετακίνηση του τριγώνου Α Θ. Εποµένως θα µετακινήσουµε το τρίγωνο Α Θ στρέφοντας το κατά γωνία τόση, όση είναι η γωνία ΕΟΖ, καθώς το σηµείο Ζ κινείται πάνω στον κύκλο. Επιλέγουµε την γωνία ΕΟΖ για τον µετασχηµατισµό και το σηµείο Θ ως προς το οποίο θα στρέψουµε το τρίγωνο. Η κατασκευή δυο κουµπιών ενεργειών για την µετακίνηση του τριγώνου Α Θ ολοκληρώνει την περιστροφή του τριγώνου, συγκεκριµένα: Επιλέγουµε τα σηµεία Ζ και Η και από το µενού Επεξεργασία >> Κουµπιά ενεργειών >> Μετακίνηση. Στην καρτέλα επιλογών που εµφανίζεται κάνουµε κλικ στο ΟΚ. Όµοια επιλέγουµε τα σηµεία Ζ, Ε και από το µενού Επεξεργασία >> Κουµπιά ενεργειών επιλέγουµε Μετακίνηση. Σχήµα 1:αρχική θέση Σχήµα 2:ενδιάµεση θέση

5ο ΣΥΝΕ ΡΙΟ ΣΤΗ ΣΥΡΟ- ΤΠΕ ΣΤΗΝ ΕΚΠΑΙ ΕΥΣΗ 3 Σχήµα 3: τελική θέση του τριγώνου κατά την περιστροφή Το δεύτερο κουµπί µετακίνησης επαναφέρει το σηµείο στην αρχική του θέση. Οι εικόνες επάνω είναι τρία στιγµιότυπα της οθόνης κατά την διάρκεια µετακίνησης του τριγώνου από την αρχική θέση Α Θ (Σχήµα 1), κατά την διάρκεια µετακίνησης (Σχήµα 2), στην τελική θέση ΘΓ (Σχήµα 3). Στο σηµείο αυτό θα µπορούσαµε να αναµένουµε οι µαθητές µας να αιτιολογήσουν σε ερωτήσεις, συνδέοντας µε τον τρόπο αυτό την τεχνολογική διαδικασία µε την λογική επιχειρηµατολογία που θα τους οδηγήσει σε αυστηρή απόδειξη θεωρήµατος. Για παράδειγµα: 1) Γιατί επιλέξαµε τα µέσα των πλευρών του τριγώνου και σχηµατίσαµε το τρίγωνο Α Θ; 2) Θα είχαµε το ίδιο αποτέλεσµα αν τα, Θ δεν ήταν τα µέσα των ΑΒ, ΑΓ αντίστοιχα; 3) Τι νόηµα έχει η µετακίνηση του σηµείου Ζ πάνω στον κύκλο; 4) Τι σχέση έχει η γωνία µετακίνησης ΕΟΖ κατά την µετακίνηση του σηµείου Ζ πάνω στον κύκλο µε την γωνία περιστροφής του τριγώνου Α Θ; 5)Τι σχήµα είναι το ΓΒ; Σχήµα 4: αρχικό τρίγωνο Σχήµα5: µετασχηµατισµός σε παραλληλόγραµµο Οπτικά «αποδεικνύεται» ότι το σχήµα ΓΒ είναι ένα παραλληλόγραµµο και το Θ είναι ίσο µε το µισό της =ΒΓ. Πως αυτό αποδεικνύεται αυστηρά, µέσα από την ανασύνθεση των σχηµάτων που κατασκευάσαµε; Τα τρίγωνα Α Θ, Θ Γ είναι ίσα: στην προκείµενη περίπτωση πρόκειται για την µετακίνηση του ίδιου τριγώνου, εποµένως δεν έχουµε λόγο να µιλάµε για ισότητα αλλά για αλλαγή προσανατολισµού του ίδιου σχήµατος. Στην ουσία το σχήµα του τριγώνου Α Θ µετασχηµατίζεται (περιστρέφεται) ως προς κέντρο περιστροφής το σηµείο Θ, δηλαδή τα τρίγωνα Α Θ, Θ Γ είναι συµµετρικά ως προς το σηµείο Θ.

5ο ΣΥΝΕ ΡΙΟ ΣΤΗ ΣΥΡΟ- ΤΠΕ ΣΤΗΝ ΕΚΠΑΙ ΕΥΣΗ 4 Εποµένως το ευθύγραµµο τµήµα που συνδέει τα µέσα των δυο πλευρών τριγώνου είναι παράλληλο και ίσο µε το µισό της τρίτης πλευράς του τριγώνου. Το συµπέρασµα εποµένως που προκύπτει είναι το εξής: Μέσω της διαδικασίας κατασκευής έχουµε την δυνατότητα να αποδείξουµε ένα θεώρηµα µε οπτικό τρόπο, αλλά και να οπτικοποιήσουµε ότι αν τεµαχίσουµε το τρίγωνο σε δυο µέρη (Σχήµα 4), αποτελούµενο από τα σχήµατα 1, 2 τότε το εµβαδόν του τριγώνου είναι ίσο µε το εµβαδόν του παραλληλογράµµου (Σχήµα 5). ΟΠΤΙΚΗ ΑΠΟ ΕΙΞΗ ΤΟΥ ΠΥΘΑΓΟΡΕΙΟΥ ΘΕΩΡΗΜΑΤΟΣ Η οπτική απόδειξη του Πυθαγορείου θεωρήµατος που θα παρουσιαστεί κάνοντας χρήση τη ισοδυναµίας σχηµάτων στη συνέχεια (πιθανότατα του Thâbit ibn Qurra) βρέθηκε σε ένα χειρόγραφο στη βιβλιοθήκη του Ναού της Αγίας Σοφίας στη Κωνσταντινούπολη. Κατασκευάζουµε δυο τετράγωνα πλευρών α, β. Κατασκευάζουµε το τρίγωνο ΑΛ και το τρίγωνο ΛΒΗ, ετσι ώστε να έχουν τις δυο κάθετες πλευρές τους µια προς µια ίσες. Περιστρέφουµε το τρίγωνο ΑΛ περί την κορυφή κατά 90 ο όπως φαίνεται στο σχήµα 6. Περιστρέφουµε το τρίγωνο ΛΗΒ περί την κορυφή Η κατά 90 ο όπως φαίνεται στο σχήµα 7. Με τις περιστροφές αυτές κατασκευάσαµε ένα νέο τετράγωνο µε πλευρά ίση µε την Λ=γ. Εποµένως το άθροισµα των δυο τετραγώνων µετασχηµατίστηκε σε ένα νέο τετράγωνο µε πλευρά ίση µε γ. Σχήµα 6: αρχική θέση τετραγώνων και περιστροφή του ενός τριγώνου Σχήµα 7: οπτική απόδειξη του Πυθαγορείου θεωρήµατος Σχήµα 8 : κατασκευή του Πυθαγορείου θεωρήµατος από µαθητές της ερευνήτριας σε στατικό µέσο µετά την παρακολούθηση της διαδικασίας στο Sketchpad ηλαδή το άθροισµα των εµβαδών των δυο τετραγώνων στο σχήµα 6 είναι ίσο µε α 2 +β 2. Το εµβαδόν του τετραγώνου στο σχήµα 7 είναι ίσο µε γ 2. Εποµένως ισχύει η γνωστή

5ο ΣΥΝΕ ΡΙΟ ΣΤΗ ΣΥΡΟ- ΤΠΕ ΣΤΗΝ ΕΚΠΑΙ ΕΥΣΗ 5 ισότητα ή αποδείξαµε µε οπτικό τρόπο το Πυθαγόρειο θεώρηµα. Στο σηµείο αυτό µπορούµε να θέσουµε ερωτήσεις στους µαθητές µας όπως οι ακόλουθες : 1) Ποια η γωνία περιστροφής των τριγώνων; Αν τα τρίγωνα περιστρεφόντουσαν κατά 180 ο ποια θα ήταν η τελική θέση τους; 2) Όταν περιστρέφεται η πλευρά ΑΛ του τριγώνου ΑΛ τα σηµεία της είναι συνευθειακά µε τα σηµεία της πλευράς ΕΓ και γιατί; Γιατί περιστρέφουµε το τρίγωνο ΛΒΗ περί την κορυφή Η; ΚΑΤΑΣΚΕΥΗ ΕΡΓΑΛΕΙΟΥ ΓΙΑ ΑΝΑΣΥΝΘΕΣΗ ΤΡΙΓΩΝΟΥ ΣΕ ΟΡΘΟΓΩΝΙΟ Κατασκευάζουµε σκαληνό τρίγωνο µε αυθαίρετο µήκος πλευρών και µέτρου γωνιών, στην οθόνη (Σχήµα 9). Στην κατασκευή που παρουσιάζεται στη συνέχεια θα µετασχηµατίσουµε το εµβαδόν ενός τριγώνου σε ισοδύναµο µε αυτό εµβαδόν ορθογωνίου (Σχήµα 10). Για τον λόγο αυτό φέρνουµε το ύψος ΑΚ του τριγώνου, τα µέσα Ε, Ζ των πλευρών ΑΒ, ΑΓ αντίστοιχα και επαναλαµβάνουµε την προηγούµενη διαδικασία µετασχηµατισµού για τα τρίγωνα ΑΒΚ, ΑΚΓ. Παρατηρούµε ότι το σχήµα του τριγώνου µετασχηµατίζεται σε σχήµα ορθογωνίου παραλληλογράµµου µε ισοδύναµο εµβαδόν. Αυτό γίνεται γιατί τα τρίγωνα ΖΗΓ, ΒΕΘ µε κίνηση γύρω από τα σηµεία Ζ, Ε αντίστοιχα µετακινούνται ώστε να σχηµατίσουν το τρίγωνο ή να σχηµατίσουν το ορθογώνιο αντίστοιχα. Στο σηµείο αυτό µπορούµε να διατυπώσουµε τις παρακάτω ερωτήσεις στους µαθητές: 1) Τι σχέση έχουν τα τρίγωνα ΑΙΖ και ΖΗΓ; 2) Τι διαστάσεις έχει το ορθογώνιο που σχηµατίζεται ; 3) Πότε το σχήµα αυτό γίνεται τετράγωνο; Μπορούµε να παρατηρήσουµε ότι τα τρίγωνα ΑΙΖ και ΖΗΓ είναι ίσα γιατί έχουν και τις τρεις πλευρές τους ίσες. Το ίδιο ισχύει και για τα τρίγωνα ΑΕΙ, ΒΕΘ. Παρατηρούµε ακόµα ότι οι διαστάσεις του ορθογωνίου είναι ίσες µε το µήκος του τµήµατος ΘΗ και του τµήµατος ΑΚ. Αν σύρουµε τις πλευρές του σχήµατος ώστε να γίνουν τελικά ίσες περίπου σε µήκος τότε το τρίγωνο γίνεται ισοσκελές. Επιλέγουµε την ΒΓ µε διπλό κλικ, οπότε την καθιστούµε άξονα συµµετρίας. Επιλέγουµε όλο το σχήµα του τριγώνου ορθογωνίου και από το µενού Μετασχηµατισµός >> Ανάκλαση. Παρατηρούµε ότι και ο ρόµβος µετασχηµατίζεται σε ορθογώνιο ισοδύναµο. Με όµοιο τρόπο µπορούµε να επιτύχουµε την ανασύνθεση του σχήµατος του τραπεζίου σε σχήµα ορθογωνίου. Σχήµα 9: αρχική θέση Σχήµα 10: τελική θέση ΠΕΡΙΣΤΡΟΦΗ ΤΡΙΓΩΝΟΥ ΠΕΡΙ ΚΕΝΤΡΟ Κατασκευάζουµε ένα τρίγωνο ΖΕ ορθογώνιο και το εσωτερικό του τριγώνου. Κατασκευάζουµε κύκλο µε κέντρο αυθαίρετο σηµείο Ο πάνω στην οθόνη.

5ο ΣΥΝΕ ΡΙΟ ΣΤΗ ΣΥΡΟ- ΤΠΕ ΣΤΗΝ ΕΚΠΑΙ ΕΥΣΗ 6 Επαναλαµβάνουµε την διαδικασία που κάναµε προηγουµένως προκειµένου να περιστρέψουµε το τρίγωνο περί το µέσο της υποτείνουσας. Κατασκευάζουµε το µέσο Η της υποτείνουσας ΖΕ του τριγώνου. Επιλέγουµε το σηµείο Η µε διπλό κλικ. Επιλέγουµε το τρίγωνο ΖΕ τις πλευρές και τις κορυφές του και από το µενού Μετασχηµατισµός >> Περιστροφή. Κατασκευάζουµε κουµπιά µετακινήσεων ώστε να µετακινούµε το σηµείο Α του κύκλου στο σηµείο Γ και το σηµείο Α στο σηµείο Β. Στο σηµείο αυτό µπορούµε να θέσουµε ερωτήσεις όπως : 1) Ποια η συνολική γωνία περιστροφής του τριγώνου; Τι σχέση έχει το µέτρο της γωνίας περιστροφής του τριγώνου µε την γωνία ΒΟΑ, όταν το σηµείο Α µετακινείται πάνω στον κύκλο; Σχήµα 11: θέση του τριγώνου κατά την µετακίνηση Σχήµα 12:τελική θέση 2) Γιατί επιλέξαµε το σηµείο Η ως κέντρο περιστροφής του τριγώνου; Τι σχήµα θα προκύψει αν περιστρέψουµε το τρίγωνο ως προς τυχαίο σηµείο της πλευράς ΖΕ; 3) Ποια πρέπει να είναι η γωνία περιστροφής ώστε το τρίγωνο να επανέλθει στην αρχική του θέση κάνοντας µια πλήρη περιστροφή; 4) Τι σχήµα προκύπτει όταν περιστρέψουµε το τρίγωνο κατά γωνία 180 ο ; 5) Ποιες είναι οι ιδιότητες του σχήµατος αυτού; Απαντώντας στην τελευταία ερώτηση οι µαθητές καλούνται να διαπιστώσουν εµπειρικά ότι το σχήµα που προέκυψε µε την µετακίνηση του τριγώνου ΖΕ είναι ένα ορθογώνιο γιατί αποτελείται από δυο ίσα ορθογώνια τρίγωνα. ΣΤΡΟΦΗ ΟΡΘΟΓΩΝΙΟΥ ΚΑΤΑ ΟΡΘΗ ΓΩΝΙΑ Κατασκευάζουµε τώρα ένα ορθογώνιο παραλληλόγραµµο Ζ ΕΘ και το εσωτερικό του. Κατασκευάζουµε κύκλο µε κέντρο Ο τυχαία πάνω στην οθόνη. Κατασκευάζουµε δυο ευθείες κάθετες µεταξύ τους στο κέντρο Ο του κύκλου τις ΟΛ, ΟΜ. Καθιστούµε το σηµείο το κέντρο περιστροφής µε διπλό κλικ. Επιλέγουµε το ορθογώνιο και το περιστρέφουµε. Κατασκευάζουµε κουµπιά µετακίνησης του σηµείου Κ στο σηµείο Μ και επαναφοράς του σηµείου Κ στο σηµείο Λ. Η διαδικασία αυτή της περιστροφής του ορθογωνίου µε αλλαγή του προσανατολισµού του σχήµατος, µπορεί να βοηθήσει τους µαθητές π.χ στην αναδιοργάνωση των πληροφοριών του προβλήµατος, την ανακάλυψη ή την επιβεβαίωση των ιδιοτήτων του σχήµατος κ.α. Μια πρακτική εφαρµογή της διαδικασίας αυτής δίνεται στα σχήµατα 15 και 16. Για να δείξουµε την διαφορά των εµβαδών κατασκευάζουµε την περιστροφή του σχήµατος του ορθογωνίου αρχικά στο σχήµα 15 και στην συνέχεια την ανάκλαση του. Οι δυο µετασχηµατισµοί µε rotation κατά 90 ο και reflection δίνουν στον µαθητή σταδιακά τις

5ο ΣΥΝΕ ΡΙΟ ΣΤΗ ΣΥΡΟ- ΤΠΕ ΣΤΗΝ ΕΚΠΑΙ ΕΥΣΗ 7 εικόνες. Εποµένως ο µαθητής µπορεί να παρατηρήσει την µεταβολή του σχήµατος ως αποτελούµενη από ισοδύναµα εµβαδά και την διαφορά των τετραγώνων ως εµβαδόν ορθογωνίου µε διαστάσεις (α-β) και (α+β). Στο σηµείο αυτό µπορούµε να ζητήσουµε από τους µαθητές να απαντήσουν στην ερώτηση : Μπορείτε να εκφράσετε την διαφορά των δυο τετραγώνων ως γινόµενο, συναρτήσει των τµηµάτων α, β ; Σχήµα 13: περιστροφή του σχήµατος Σχήµα 14:αλλαγή προσανατολισµού Σχήµα 15:µετασχηµατισµός ορθογωνίου Σχήµα 16:ανάκλαση του ορθογωνίου Γενικά, η αντίληψη που διέπει το όλο εγχείρηµα είναι ότι όταν ο µαθητής επεξεργαστεί ένα εργαλείο και αλληλεπιδράσει µ αυτό µπορεί να οδηγηθεί στην ανάπτυξη συµπερασµατικών σχέσεων η οποία βοηθά την ανάπτυξη του παραγωγικού συλλογισµού. ηλαδή όταν τα στοιχεία αυτά υποβάλλονται στη λογική οργάνωση και συλλογισµό, η εννοιολογική κατανόηση φθάνει σε επίπεδο αφαιρετικών διαδικασιών σκέψης. Αυτή η διαδικασία µπορεί να επαναληφθεί ώστε το επίπεδο κατανόησης µιας έννοιας µπορεί να ενεργήσει ως βάση για την ανάπτυξη µιας άλλης έννοιας. Η διαδικασία πραγµοποίησης (reification) αφορά το µετασχηµατισµό των διαδικασιών σε (νοητικά)«αντικείµενα», (το πέρασµα) από το χαµηλότερο επίπεδο στο πιο υψηλό επίπεδο αφαίρεσης (Drijvers,2000) ΣΥΖΗΤΗΣΗ Τα στατικά µέσα δεν δίνουν την δυνατότητα να κάνουµε τους ανασχηµατισµούς µε ευκολία. Χρειάζεται ψαλίδι, κόλλα, υποµονή και χρόνος! Η µέθοδος τεµαχισµού και ανασύνθεσης (reconfiguration) των εµβαδών των σχηµάτων (Duval, 1995, 1998) µέσω του λογισµικού δυναµικής γεωµετρίας Geometer s Sketchpad µας δίνει την δυνατότητα µιας

5ο ΣΥΝΕ ΡΙΟ ΣΤΗ ΣΥΡΟ- ΤΠΕ ΣΤΗΝ ΕΚΠΑΙ ΕΥΣΗ 8 οπτικής ερµηνείας παρόµοιας µε του χαρτιού-ψαλιδιού, µε µοναδικά πλεονεκτήµατα έναντι των στατικών µέσων (σχήµα 8): α) την δυνατότητα να παρατηρήσουµε ταυτόχρονα και τις δυο καταστάσεις του σχήµατος, δηλαδή την αρχική και τελική του µορφή (δηλαδή πως ήταν αρχικά και πως γίνεται τελικά µε την ανασύνθεση του) καθώς και τις ενδιάµεσες µορφές που δείχνουν την διαδικασία ανασύνθεσης β) την δυνατότητα να επαναλάβουµε την διαδικασία όσες φορές θέλουµε γ) την δυνατότητα να καλυφθεί το κενό από την προσέγγιση του εµβαδού µε την χρήση µαθηµατικών τύπων οι οποίοι έχουν αποµνηµονευθεί. Με τη διαδικασία αυτή µας δίνεται η ευκαιρία να εκφράσουµε τη διαισθητική µας γνώση για την έννοια της επιφάνειας κατανοώντας τους τύπους υπολογισµού του εµβαδού της επιφάνειας, µη αρκούµενοι στην αποµνηµόνευσή τους. Ο συνδυασµός των δύο διαδικασιών, ανάλυση (διαχωρισµός) του σχήµατος και ανασύνθεση του, είναι µια διαδικασία που «επιτρέπει την επέκταση της έννοιας της ισότητας από ισότητα συµπαγών σχηµάτων σε ισότητα κατά µέρη ανοίγοντας έτσι να ευρύ φάσµα δυνατοτήτων» (Rahim, 1999 p. 274). ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ 1. Douady, R. and Perrin, M-J (1986). Concerning conceptions of area (pupils aged 9 to11). Proceedings of 10 PME Conference, (pp. 253-258). London, England. 2. Drijvers, P. (2000): Students Encountering Obstacles Using a CAS. International Journal of Computers for Mathematical Learning, 5(3), p. 189-209. 3. Duval, R. (1995) Sémiosis et pensée humaine. Registres sémiotiques et apprentissagesintellectuels. Peter Lang, France 4. Duval, R.: 1998, Geometry from a Cognitive Point of View, In C. Mammana & V. Villani(eds), Perspectives on the Teaching of Geometry for the 21st Century: an ICMI study, Dordrecht: Kluwer. 5. Hughes, E. R., & Rogers, J., (1979). The concept of area. In Macmillan Education (Eds), Conceptual Powers of Children: an Approach through Mathematics and Science (pp. 78-135). Schools Council Research Studies 6. Jackiw, N. (1991). The Geometer's Sketchpad [Computer program]. Berkeley, CA: Key Curriculum Press. 7. Menon, R. (1996). Assesing preservice teachers' conceptual understanding of perimeter and area. In Proceedings of the 20th of PME Conference, 1 (pp.184). Valencia, Spain. 8. NCTM. (1989). Curriculum and evaluation standards for school mathematics. Reston,Va.: The National Council of Teachers of Mathematics, Inc. 9. Κορδάκη, Μ. (1999). Οι έννοιες της διατήρησης και της µέτρησης της επιφάνειας µέσα από το σχεδιασµό την υλοποίηση και την αξιολόγηση εκπαιδευτικού λογισµικού. ιδακτορική διατριβή, Πάτρα, Μάιος, 1999 10. Piaget J., Inhelder B., Sheminska A.(1981). The childs conception of geometry, N.Y:Norton & Company. 11. Rahim, M.H., (1999). Exploratory Math Modules for Classroom Practice Through Manipulation. Proceedings of the International Conference on Mathematics Education Into the 21st Century: Societal Challenges, Issues and Approaches, Cairo, Egypt, November 14-18, 1999, 273-281