Γιο Γιο σε Τροχαλία και μια Ολίσθηση που μετατρέπεται σε Κύλιση

Γιο Γιο σε Τροχαλία και μια Ολίσθηση που μετατρέπεται σε Κύλιση Απάντηση α) Επειδή το νήµα δεν ολισθαίνει στις τροχαλίες και παραµένει τεντµένο, όλα τα σηµεία του έχουν την ίδια ταχύτητα. Το σηµείο Α συµµετέχει µόνο στη στροφική κίνηση της τροχαλίας Μ και έτσι έχει ταχύτητα µόνο εξαιτίας της στροφικής κίνησης. Το σηµείο Β συµµετέχει στη σύνθετη κίνηση της τροχα- Η µεγάλη τροχαλία του διπλανού σχήµατος έχει µάζα Μ=4kg, ακτίνα R=0,m και κρέµεται από σταθερό σηµείο. Η µικρή τροχαλία έχει µάζα m=kg και ακτίνα =0,1m. Την t=0 αφήνεται να πέσει κατακόρυφα και το αβαρές νήµα ξετυλίγεται και από τις δύο τροχαλίες. Αν την t=0 το κέντρο R µάζας της τροχαλίας απέχει από το έδαφος h = 1,m. Να βρεθούν: α) Η τάση του νήµατος, οι γνιακές επιταχύνσεις τν δύο τροχαλιών και η επιτάχυνση του κέντρου µάζας της µικρής τροχαλίας. β) Ο χρόνος που χρειάζεται η τροχαλία να φτάσει στο δάπεδο. Πόσο h σχοινί έχει ξετυλιχθεί από την κάθε τροχαλία την ίδια στιγµή; γ) Ο ρυθµός µε τον οποίο προσφέρεται ενέργεια στη µικρή τροχαλία καθώς και ο ρυθµός παραγγής έργου σε αυτή την στιγµή t = 0,s. Τη στιγµή που φτάνει στο έδαφος η µικρή τροχαλία δεν αναπηδά κατακόρυφα στο έδαφος µέσ ειδικού µηχανισµού απόσβεσης που φέρει, ενώ ξετυλίγεται και όλο το σχοινί που είναι περασµένο γύρ από αυτή και το εγκαταλείπει. Στη συνέχεια κινείται ελεύθερη στο οριζόντιο επίπεδο µε το οποίο εµφανίζει τριβή µε το συντελεστή τριβής ολίσθησης µεταξύ δαπέδου και τροχαλίας να είναι µ = 0,. Η τροχαλία συµπεριφέρεται σαν δίσκος. Να βρεθούν δ) Ποια χρονική στιγµή θα ξεκινήσει ο δίσκος να κυλίεται χρίς να ολισθαίνει και πόση είναι η ταχύτητα του κέντρου µάζας τη στιγµή αυτή; ε) Πόση απόσταση διανύει ο δίσκος µέχρι να ξεκινήσει να κυλίεται χρίς να ολισθαίνει; Πόση γνία διαγράφει ο δίσκος µέχρι να ξεκινήσει να κυλίεται χρίς να ολισθαίνει; στ) Να γίνουν τα διαγράµµατα της γνιακής ταχύτητας, της ταχύτητας του κέντρου µάζας και της τριβής σε συνάρτηση µε το χρόνο. ζ) Πόση θερµότητα εκλύεται µέχρι ο δίσκος να ξεκινήσει κύλιση χρίς ολίσθηση; Οι τροχαλίες θερούνται κυλινδρικά σώµατα µε ροπή αδράνειας ς προς τον άξονα περιστρο- 1 φής τους I M = MR και 1 I m = m και g=m/s. www.ylikonet.g 1

λίας m και έτσι θα έχει και µεταφορική και γραµµική ταχύτητα. Οπότε: u = u υ = υ υ υ = R+ A B γ γ 1 1 Παραγγίζοντας α = αγ R+ αγ 1 (1) υ γ Α R α γ Εφαρµόζουµε το Θεµελιώδη Νόµο της Μηχανικής για τη Μεταφορική κίνηση της τροχαλίας m στον κατακόρυφο άξονα µε θετική φορά την προς τα κάτ. Τ Τ α γ1 Τροχαλία m: ( + ) Σ F = ma mg T = ma () υ γ1 u Β w 1 α Εφαρµόζουµε το Θεµελιώδη Νόµο της Στροφικής Κίνησης για τη Στροφική κίνηση της τροχαλίας m (ροπή δηµιουργεί µόνο η τάση Τ ενώ το βάρος της όχι). ( + ) 1 1 T Σ τ =Ι 1aγ 1T = m aγ 1 T = maγ 1 aγ 1= () m Εφαρµόζουµε το Θεµελιώδη Νόµο της Στροφικής Κίνησης για τη Στροφική κίνηση της τροχαλίας Μ (ροπή δηµιουργεί µόνο η τάση Τ ενώ το βάρος της και η δύναµη από τον άξονα στήριξης όχι). Επειδή το νήµα είναι αβαρές και µη εκτατό και συνεχώς τεντµένο ασκεί ίσου µέτρου τάσεις στα σώµατα, που «ενώνει». T = T ( + ) T = T 1 1 T a T γ R MR aγ T MRaγ Raγ Σ τ =Ι = = = M (1) () T T mt () mg T = m( aγ 1+ aγ R) mg T = m + mg T = T + (4) m M M mt m M + m Mmg T + = mg T + = mg T = mg T = M M M M + m 4 80 T = = = 5N 4+ 1 γ 1 γ T 5 () aγ 1= = = 50 / s m 0,1 T 5 50 (4) aγ = = = = 1,5 / s R M 0, 4 4 (1) a = α + R α = 0,1 50 + 0, 1,5 a = 7,5 m / s (4) www.ylikonet.g

β) Η τροχαλία θα φτάσει στο δάπεδο την στιγµή που ακουµπά το κατώτερο σηµείο της στο έδαφος. Το κέντρο µάζας της τροχαλίας διανύει απόσταση x = h 1 x 1,5 x = a t t= = = 0.4 t= 0. s a 7,5 R Το σχοινί που έχει ξετυλιχθεί από την τροχαλία ακτίνας είναι: 1 1 l1= θ1 l1= α γ 1t = 0,1 50 (0, ) =,5 0.4 l1= 1m δ) Τη στιγµή που ακουµπά στο δάπεδο η τροχαλία δεν έχει καθόλου µεταφορική ταχύτητα και η ταχύτητα του σηµείου επαφής της µε το οριζόντιο επίπεδο έχει ταχύτητα ίση µε τη γραµµική µε φορά προς τα αριστερά όπς φαίνεται στο σχήµα 1. Στο κατώτερο σηµείο εµφανίζεται τριβή ολίσθησης µε φορά προς τα δεξιά. Η τριβή επιταχύνει την µεταφορική κίνηση, ενώ παράλληλα δηµιουργεί επιβραδύνουσα ροπή περί τον άξονα περιστροφής της τροχαλίας προκαλώντας αριh x Το σχοινί που έχει ξετυλιχθεί από την τροχαλία ακτίνας R είναι: 1 1 l = R θ l = R α γ t = 0, 1,5 (0, ) = 1, 5 0.4 l = 0,5m Παρατηρούµε ότι x = l1+ l γ) Στη µικρή τροχαλία το βάρος συνεισφέρει µόνο στη µεταφορική κίνηση της τροχαλίας προσφέροντας ενέργεια στη κίνηση αυτή. Η τάση Τ συµµετέχει και στις δύο κινήσεις αφαιρώντας ενέργεια ς δύναµη από τη µεταφορική κίνηση και προσφέροντας ενέργεια ς ροπή στη στροφική κίνηση. Συνεπώς ο ρυθµός προσφοράς ενέργειας στην τροχαλία θα ισούται µε το άθροισµα τν ισχύν τν δυνάµεν ή ροπών που µεταφέρουν ενέργεια στην τροχαλία. Την t=0,s : υ =α t =7,5 0,=1,5m/s και =α γ t =50 0,=/s dε προσϕ. dt = P. = Pw + P, T = mgu+ T 1= 1,5 + 5 0,1 = 5 J / s προσϕ τ Η τάση Τ αφαιρεί ενέργεια ς δύναµη µε ρυθµό Ρ Τ = Τ υ = 5 1,5 = 7,5J/s και έτσι αναµένουµε να µεταβιβάζονται τελικά 7,5 J/s Ο ρυθµός παραγγής έργου στην τροχαλία ισούται µε το ρυθµό µεταβολής της κινητικής ενέργειας της τροχαλίας. dw dk dk dk = = + =Σ F u+σ τ 1= ( mg Τ ) u+ T1 = 15 1, 5+ 5 0,1 = 7, 5 J / s dt dt dt dt ΜΕΤ ΣΤΡ www.ylikonet.g

στερόστροφη γνιακή επιτάχυνση. Έτσι, το µέτρο της ταχύτητας u αρχίζει να αυξάνεται και της γνιακής ταχύτητας να µειώνεται. t=0s α α γ Τ ρ υ γ Γ α α επ α ολ υ γ υ Α υ Σχήµα 1 Σχήµα Σχήµα Σχήµα 4 α α γ υ υ γ κύλιση υ Γ =0υ =υ γ Γ Σχήµα 5 υ υ Όταν u =, η ολίσθηση θα µετατραπεί σε κύλιση. Από την στιγµή αυτή και µετά η τριβή καταργείται. Επειδή δεν υπάρχει άλλη δύναµη στον οριζόντιο άξονα, για να συνεχιστεί η κύλιση θα πρέπει να καταργηθεί η στατική τριβή αλλιώς θα συνεχιστεί η επιτάχυνση στην µεταφορική κίνηση και η επιβράδυνση στη στροφική. Οπότε µετά την κατάργηση της τριβής η κίνηση της τροχαλίας γίνεται οµαλή, δηλαδή η µεταφορική είναι ευθύγραµµη οµαλή και η στροφική επίσης οµαλή στροφική. Προσοχή η επιτάχυνση του κέντρου µάζας και η γνιακή επιτάχυνση στην περιστροφική κίνηση στο οριζόντιο δάπεδο αλλάζουν. Για τη µεταφορική κίνηση ισχύει: Σ F = ma T = ma Ν= ma mg = ma a = g = a = m s ( + ) ρ µ µ µ 0, / (5) Για την περιστροφική κίνηση ισχύει: 1 1 1 Σ τ =Ι =Ι µ = µ = µ = µ g 0, aγ = = = 40 / s () 0,1 ( + ) aγ Tρ aγ N m aγ mg m aγ g aγ Παίρνουµε θετική φορά τη φορά της αρχικής ταχύτητας του σηµείου επαφής και δουλεύουµε αλγεβρικά. Η στιγµιαία τιµή της µεταφορικής ταχύτητας σε σχέση µε το χρόνο, µε θετική φορά προς τα αριστερά εκφράζεται από τη σχέση: υ ( + ) = a t υ = t (7) www.ylikonet.g 4

Η στιγµιαία τιµή της γνιακής ταχύτητας σε σχέση µε το χρόνο εκφράζεται: = 0 a t = 40t υ Α = = 4 t (8) γ γ Η ταχύτητα του εκάστοτε σηµείου επαφής Γ τροχαλίας δαπέδου αλγεβρικά εκφράζεται από τη σχέση: υγ = υγ Γ+ υ υγ = 4t t υγ = t (9) Η τροχαλία θα αρχίσει να κυλίεται χρίς να ολισθαίνει τη στιγµή που η ταχύτητα του σηµείου επαφής Γ τροχαλίας δαπέδου θα µηδενιστεί υ Γ = 0 t= 0 t= s t= / 1 ε) x = at = t x = 5 / 8m t= /s 1 1 θ = 0t aγ t = t 40t θ = 0 / 9ad Από τη στιγµή που µηδενίζεται η ταχύτητα του σηµείου επαφής και µετά η γνιακή ταχύτητα και η ταχύτητα του κέντρου µάζας µένουν σταθερές. Το σώµα θα κινηθεί µεταφορικά ευθύυ (m/s) (/s) T(N) 4 t(s) t(s) t(s) στ) υ t= /s = t υ = m / s u και = = / s www.ylikonet.g 5

γραµµα οµαλά µε την ταχύτητα που αποκτά την t= s δηλ. υ = m / s και στροφικά θα στρέφεται οµαλά κυκλικά µε ταχύτητα= / s. ζ) Η τριβή στη στροφική κίνηση αφαιρεί ενέργεια µέσ του έργου της ροπής της ίσο µε W τ = τ θ = Τ θ = 4 0,1 0/9J= 40/9J Στη µεταφορική κίνηση το έργο της τριβής είναι θετικό και ίσο µε W Τ = +Τx = + 4 5/8 = /9J Με βάση τα παραπάν συµπεραίνουµε ότι η τριβή αφαιρεί στροφική κινητική ενέργεια 40/9J από την τροχαλία, από τα οποία τα /9J τα µετατρέπει σε µεταφορική κινητική ενέργεια και τα υπόλοιπα 0/9J = /J µετατρέπονται σε θερµότητα. Σχόλια 1. Στο γ ερώτηµα Ο ρυθµός παραγγής έργου στην τροχαλία R ισούται µε το ρυθµό µεταβολής της κινητικής ενέργειας της τροχαλίας. dw dk dk dk = = + = 0 +Σ τ =Τ R = 5 0,,5=,5 J / s dt dt dt dt ΜΕΤ ΣΤΡ Η τάση Τ ς δύναµη αφαιρεί ενέργεια από τη µικρή τροχαλία µε ρυθµό Ρ Τ = Τ υ = 5 1,5 = 7,5J/s, ενώ ς ροπή προσφέρει Ρτ, Τ = Τ 1 = 5J/s. Έτσι τελικά αφαιρούνται,5j/s και µέσ της τάσης Τ µεταβιβάζονται στην µεγάλη τροχαλία. Ρτ, Τ = Τ R = 5 0,,5 =,5J/s Ο ρυθµός µεταβολής της βαρυτικής δυναµικής ενέργειας της µικρής τροχαλίας είναι: du du = w u = 0 1,5 = 0 J / s. dt ( + ) βαρ. βαρ. dt Ουσιαστικά αυτό µας λέει ότι οι κινητικές ενέργειες τν τροχαλιών προέρχονται από τη µείση της βαρυτικής δυναµικής ενέργειας της µικρής τροχαλίας. ηλ. ο τροφοδότης του συστήµατος είναι η διαθέσιµη βαρυτική ενέργεια της µικρής τροχαλίας η µείση της οποίας γίνεται κινητι- www.ylikonet.g

κή ενέργεια στη µικρή και στη µεγάλη τροχαλία. Αυτό γίνεται µέσ της δύναµης του βάρους w m και τν τάσεν Τ και Τ. duβαρ. dk dk = + = 7, 5 J / s+, 5 J / s= 0 J / s dt dt dt m m Μ. Στο δ ερώτηµα θα µπορούσαµε να πάρουµε θετική φορά της προς τα δεξιά δηλ. αυτή τν επιταχύνσεν. Τότε θα είχαµε υ ( + ) = a t υ = t Η στιγµιαία τιµή της γνιακής ταχύτητας σε σχέση µε το χρόνο εκφράζεται: υγ υγ 0 α t ε 4 t Α = + + Η ταχύτητα του εκάστοτε σηµείου επαφής Γ τροχαλίας δαπέδου αλγεβρικά εκφράζεται από τη σχέση: υγ = υ+ υγ Γ υγ = t+ 4t υγ = t Η τροχαλία θα αρχίσει να κυλίεται χρίς να ολισθαίνει τη στιγµή που η ταχύτητα του σηµείου επαφής Γ τροχαλίας δαπέδου θα µηδενιστεί υ Γ = 0 t = 0 t= s ή η γραµµική ταχύτητα του σηµείου επαφής είναι υγ = υ t γ 0 αε 4 t και του κέντρου µάζας υ = t. Όταν οι ταχύτητες του κέντρου µάζας και της επιτρόχιας έχουν ίδια τιµή θα ξεκινήσει η κύλιση. υ = γ υ 4t = t Α t = t = s Α Θα πρέπει να επισηµάνουµε ότι αν δουλεύουµε αλγεβρικά όπς λύσαµε αρχικά το ερώτηµα έχουµε το πλεονέκτηµα ότι βρίσκουµε το χρόνο που ξεκινάει η κύλιση µηδενίζοντας την ταχύτητα του σηµείου επαφής, ακόµη και αν µία κίνηση άλλαζε φορά. Π.χ, σταµατούσε στιγµιαία το σώµα µεταφορικά και άλλαζε κατεύθυνση ή µηδενιζόταν η γνιακή ταχύτητα και άλλαζε φορά περιστροφής και στη συνέχεια να υπάρξει κύλιση. Σε αυτή την περίπτση δεν απαιτείται να βρούµε ποια κίνηση µηδενίζεται αρχικά και µετά να µελετήσουµε το πρόβληµα αλλάζοντας τις εξισώσεις. www.ylikonet.g 7

. στο ζ ερώτηµα θα µπορούσαµε να βρούµε τη θερµότητα και ς εξής: Β τρόπος Γιατί είναι τόση η θερµική ενέργεια; Κατά την περιστροφή του δίσκου ήρθαν σε επαφή µε το έδαφος τα σηµεία της περιφέρειάς του µήκους s=θ = 0 0,1/9m = /9m, αφού η οριζόντια µετατόπιση του δίσκου είναι x =5/18 m, ο κύλινδρος γλίστρησε (σπίναρε ολισθαίνοντας) κατά: X Γ = s x = /9 5/18 = 15/18=5/m Εξαιτίας αυτής της ολίσθησης παράγεται θερµότητα: Q= Τ x Γ = 4 15/18= 0/9=/J Γ τρόπος Αλλιώς η συνολική επιτάχυνση του σηµείου επαφής είναι: α Γ =α ε +α = 4+ = m/s Και έτσι η µετατόπισή του σηµείου επαφής θα είναι: X Γ = u 0Γ t ½ α Γ t / - 1/ ( /) =5/m Οπότε η µηχανική ενέργεια που µετατρέπεται σε θερµική είναι: Q = Τ Χ 1 = 4Ν 5/m= 0/=/J τρόπος Εφαρµόζουµε την Α..Ε E +Ε Ε = E Κ +Κ + U +Ε Q =Κ +Κ + U αρχ τελ αρχ αρχ τελ τελ µηχ προσϕ. απλ. µηχ στρ µετ αρχ προσϕ. στρ µετ τελ αρχ τελ τελ Κ Q =Κ +Κ στρ στρ µετ 1 1 1 1 1 1 1 1 I0 Q = Iτελ + m υ 0,1 ( ) Q = 0,1 + 5 Q = 5 + Q = 0 / 9= / J 9 9 Φυσικής-Χημείας Γιατί το να µοιράζεσαι ράγµατα, είναι καλό για όλους Επιµέλεια: Χ. Αγριόδηµας www.ylikonet.g 8