Παιδαγωγικό Τµήµα Νηπιαγωγών αίσθηση του αριθμού Ενότητα 3: πρώιμα στάδια κατανόησης της έννοιας του αριθμού Κωνσταντίνος Π. Χρήστου
λύσε το αίνιγμα...βρες τον αριθμό είμαι μονός είμαι μεγαλύτερος από το 6 μικρότερος από 15 τα ψηφία μου αθροίζουν σε 4 είμαι ο 13 2
αίσθηση του αριθμού (Number Sense) Ορισμός Υπάρχει ποικιλία ορισμών και πραγμάτων που εννοεί κανείς με τον όρο Αίσθηση του Αριθμού Όλες οι προσεγγίσεις συγκλίνουν στο να δέχονται ότι ως Αίσθηση του Αριθμού εννοούμε την κατανόηση του είναι οι αριθμοί και των σχέσεων μεταξύ τους π.χ., ότι το 6 είναι μετά το 5, πριν το 8, μισό του 12, διπλάσιο του 3, 2 πάνω από 4, 1 χέρι κι ένα δάχτυλο, μια λέξη πριν το εφτά, το 6ο κουτάκι του πίνακα των αριθμώ, ο αριθμός που είναι σαν ανάποδο 9 κι ακούει στο όνομα εξι, ανάμεσα σε άλλα πράγματα 3
Αίσθηση του Αριθμού "είναι μια αναδυόμενη δομή που αναφέρεται στην ρευστότητα και την ευελιξία του παιδιού με αριθμούς, η αίσθηση του τί σημαίνουν οι αριθμοί και η ικανότητα του παιδιού να εκτελεί νοερές μαθηματικές πράξεις όπως και να βλέπουν τον κόσμο κάνοντας συγκρίσεις." Russell Gersten, David Chard είναι να έχεις µια καλή διαίσθηση για τους αριθµούς και τις σχέσεις τους. Αναπτύσσεται σταδιακά ως αποτέλεσµα της διερεύνησης των αριθµών, αναπαριστώντας τους οπτικά σε ποικίλα πλαίσια και σχετίζοντάς τα µε τρόπους που δεν περιορίζονται στους παραδοσιακούς αλγόριθµους 4
χαρακτηριστικά του παιδιού με ευχέρεια στους αριθμούς 1 1. Αναπτύσσει νόηµα για τους αριθµούς και τις πράξεις συνδέει τους αριθµούς µε καταστάσεις από την πραγµατική ζωή γνωρίζει ότι οι αριθµοί έχουν πολλαπλές ερµηνείες κατανοεί ότι το µέγεθος των αριθµών είναι σχετικό συνδέει τις βασικές πράξεις της πρόσθεσης, αφαίρεσης, πολλαπλασιασµού και διαίρεσης µε δράσεις που προκύπτουν από πραγµατικές καταστάσεις µπορεί να προβλέψει τα αποτελέσµατα που προκύπτουν από πράξεις πάνω σε αριθµούς δηµιουργεί κατάλληλες αναπαραστάσεις για τις πράξεις µε αριθµούς 5
χαρακτηριστικά του παιδιού με ευχέρεια στους αριθμούς 2 2. Αναζητά και να ανακαλύπτει σχέσεις ανάµεσα σε αριθµούς και τα αποτελέσµατα των πράξεών τους κατανόηση της ανάλυσης και σύνθεσης των αριθµών κατανόησης της σχέσης των αριθµών µε άλλους αριθµούς σχέσεις ανάµεσα στις αριθµητικές πράξεις πολ/σµός και διαίρεση ως αντίστροφες πράξεις πρόσθεση και αφαίρεση ως αντίστροφες πράξεις πολ/σµός ως επαναλαµβανόµενη πρόσθεση (και τα προβλήµατα αυτού του µοντέλου) διαίρεση ως µερισµός και ίσα µέρη 6
χαρακτηριστικά του παιδιού με ευχέρεια στους αριθμούς 3 3. κατανοεί τις στρατηγικές και χρησιµοποιούν τις κατάλληλες και µε αποτελεσµατικό τρόπο εκτελεί σωστά τα βήµατα του αλγόριθµου και µπορεί να εξηγήσει γιατί ο αλγόριθµός λειτουργεί (π.χ., προσθέτω πρώτα τις δεκάδες και µετά τις µονάδες και...) Κάνει συνειδητή προσπάθεια να ολοκληρώσουν τις πράξεις χρησιµοποιώντας τις προϋπάρχουσες γνώσεις από απλούστερες πράξεις ή αποτελέσµατα που είναι ήδη γνωστά είναι ευέλικτο στη χρήση διαφορετικών στρατηγικών για κάθε πράξη ανάλογα µε τους αριθµούς χρησιµοποιεί τις κατάλληλες τεχνικές για να επιτύχουν ακριβείς ή κατά προσέγγιση υπολογισµούς µπορεί να εκτελέσει ακριβείς υπολογισµούς σωστά 7
χαρακτηριστικά του παιδιού με ευχέρεια στους αριθμούς 3 4. Δίνει νόηµα στις αριθµητικές και υπολογιστικές καταστάσεις αναµένει τα αποτελέσµατα των αριθµητικών πράξεων να έχουν νόηµα επιδιώκει να κατανοήσουν τις σχέσεις µεταξύ των ποσοτήτων σε καταστάσεις του πραγµατικού κόσµου. αξιολογεί κατά πόσον το αποτέλεσµα του υπολογισµού έχει νόηµα στο πλαίσιο των αριθµών και του πραγµατικού κόσµου 8
η σημασία της Αίσθησης του Αριθμού Η έρευνα δείχνει ότι η πρώιµη Aίσθηση του Aριθµού προβλέπει την σχολική επιτυχία σε µεγαλύτερες τάξεις της εκπαίδευσης περισσότερο από κάθε άλλη µεταβλητή της γνωστικής ανάπτυξης όπως η γλωσσική, η χωρική ανάπτυξη ή ανάπτυξη της µνήµης και της ικανότητας για ανάγνωση 9
καλή αίσθηση των αριθμών γλώσσα 10
καλή αίσθηση των αριθμών γλώσσα Components of Number Sense 2007 Cain/Doggett/Faulkner/Hale/NCDPI 10
καλή αίσθηση των αριθμών ποσότητα/ µέγεθος γλώσσα Components of Number Sense 2007 Cain/Doggett/Faulkner/Hale/NCDPI 10
καλή αίσθηση των αριθμών ποσότητα/ µέγεθος γλώσσα αρίθµηση Components of Number Sense 2007 Cain/Doggett/Faulkner/Hale/NCDPI 10
καλή αίσθηση των αριθμών ποσότητα/ µέγεθος γλώσσα αρίθµηση ισότητα Components of Number Sense 2007 Cain/Doggett/Faulkner/Hale/NCDPI 10
καλή αίσθηση των αριθμών ποσότητα/ µέγεθος γλώσσα αρίθµηση ισότητα Components of Number Sense 2007 Cain/Doggett/Faulkner/Hale/NCDPI βάση του 10 10
καλή αίσθηση των αριθμών ποσότητα/ µέγεθος µορφή του αριθµού Components of Number Sense 2007 Cain/Doggett/Faulkner/Hale/NCDPI γλώσσα βάση του 10 αρίθµηση ισότητα 10
καλή αίσθηση των αριθμών ποσότητα/ µέγεθος Components of Number Sense 2007 Cain/Doggett/Faulkner/Hale/NCDPI αναλογική σκέψη µορφή του αριθµού γλώσσα βάση του 10 αρίθµηση ισότητα 10
καλή αίσθηση των αριθμών αλγεβρική & γεωµετρική σκέψη ποσότητα/ µέγεθος Components of Number Sense 2007 Cain/Doggett/Faulkner/Hale/NCDPI αναλογική σκέψη µορφή του αριθµού γλώσσα βάση του 10 αρίθµηση ισότητα 10
Παιδαγωγικό Τµήµα Νηπιαγωγών απαρίθμηση και πληθικότητα συνόλου εισαγωγή στην πρώιμη αίσθηση του αριθμού 11
αρίθμηση (numeraron) } όρος οµπρέλα: } η πράξη ή διαδικασία απόδοσης ενός αριθµού σε κάτι } µια µέθοδος ή διαδικασία απαρίθµησης ή καταµέτρησης } στη διαδικασία της απαρίθµησης βρίσκεται η καρδιά της εννοιολογικής κατανόησης και ανάπτυξης της έννοιας του φυσικού αριθµού 12
απαρίθµηση: (counrng) σαν ορισμός: απαρίθµηση είναι η δραστηριότητα η οποία περιλαµβάνει την απαγγελία µιας σειράς αριθµολέξεων, έτσι ώστε κάθε αριθµολέξη να συνδέεται µε µια αριθµητική µονάδα (Steffe & Cobb, 1988) περιλαμβάνει: την ικανότητα απαγγελίας της ακολουθίας των αριθμολέξεων στη σωστή, συμβατική σειρά (ένα, δύο, τρία,...) την ικανότητα αναγνώρισης ενός πλήθους διακριτών μονάδων που θεωρούνται αριθμήσιμες και την ικανότητα διάκρισης των αντικειμένων την ικανότητα συντονισμού των δύο παραπάνω δραστηριοτήτων έτσι ώστε κάθε αριθμολέξη να αντιστοιχίζεται σε μια αριθμητική μονάδα
αριθµολέξεις η πρώιμη κατανόηση του αριθμού θέλει τα παιδιά να κατανοούν τη διαφορά στα πλήθος ανάμεσα σε ένα, δύο και πολλά μέχρι 3 ετών, συνήθως τα παιδιά έχουν μάθει λέξης για το «ένα» και το «δύο» και η εκμάθηση των υπολοίπων γίνεται σε συνδυασμό με την άμεση εκτίμηση είναι ενδιαφέρον αν σκεφτεί κανείς ότι υπάρχουν μικρές, πρωτόγονες και απομονωμένες φυλές που έχουν μόνο αριθμούς για το ένα, το δύο και τα πολλά
Αρχές της απαρίθµησης
Αρχές της απαρίθµησης Τα παιδιά μαθαίνουν γρήγορα να καταμετρούν (σε ηλικία 3 ή 4 χρόνων) γιατί έχουν μια μη- συνειδητή γνώση των αρχών της απαρίθμησης πάνω στις οποίες οργανώνεται η κατανόηση της μέτρησης ως τρόπο αναγνώρισης της πληθικότητας ενός συνόλου: Αρχές της απαρίθμησης: Την αρχή της ένα προς ένα αντιστοιχίας: να αποδίδουν μία και μόνο μία τιμή σε κάθε αντικείμενο Την αρχή της σταθερής σειράς: να αποδίδουν τους αριθμούς πάντα με την ίδια σειρά Την αρχή της πληθικότητας: ο τελευταίος αριθμός που ακούγεται ορίζει το πλήθος του συνόλου Την αρχή της αφαίρεσης: οι παραπάνω αρχές μπορούν να εφαρμοστούν σε οποιοδήποτε σύνολο αντικειμένων (ή και πέρα από αντικείμενα) Την αρχή της ανεξαρτησίας της σειράς: η σειρά απαρίθμησης δεν έχει σημασία Gelman & Gallistel, 1978
που στηρίζεται η υπόθεση της ύπαρξης αρχών απαρίθµησης; Τα παιδιά κάνουν λάθος στο μέτρημα αλλά αποδίδουν έναν αριθμό σε κάθε αντικείμενο μπορούν να παραβλέψουν ένα ή να μετρήσουν το ίδιο δύο φορές αρχή του ένα προς ένα Λένε πάντα αριθμούς με μία σταθερή σειρά ακόμα και αν χρησιμοποιούν μια ιδιοσυγκρασιακή σειρά και όχι τη συμβατική (1, 2, 3,...) π.χ., 1, 3, 6...1, 3, 6 αρχή της σταθερής σειράς Λένε τον τελευταίο αριθμό με εξαιρετική έμφαση αρχή της πληθικότητας Μπορεί και να αρχίσουν από τη μέση αλλά ολοκληρώνουν τη μέτρηση της ανεξαρτησίας της σειράς Μετρούν χρώματα, ήχους, κτλ. με τον ίδιο τρόπο αρχή της αφαίρεσης Οι αρχές τηρούνται αλλά κάποια λάθη εμφανίζονται λόγο δυσκολιών να συνδυαστούν σωστά οι αρχές ειδικά για μεγαλύτερα σύνολα και σε πιο πολύπλοκες καταστάσεις Gelman & Gallistel, 1978
πρώιμες αντιλήψεις για τον αριθμό Υπήρχε μια αρχική αντίληψη που ήθελε τον αριθμό ως κοινή ιδιότητα ισοδύναμων συνόλων (δυο σύνολα έχουν τον ίδιο πληθικό αριθμό αν και μόνο αν τα στοιχεία τους μπορούν να αντιστοιχηθούν το ένα με το άλλο) (Καφούση & Σκουμπουρδή 2008: σελ. 76). Ο σχεδιασμός των δραστηριοτήτων για την οικοδόμηση της έννοιας του αριθμού για πολλά χρόνια και στη χώρα μας- στηρίχτηκε σε αυτή την αντίληψη Αυτό σήμαινε υπερεπένδυση στην ένα προς ένα αντιστοιχία που διατηρήθηκε για πολλά χρόνια στην εκπαιδευτική διαδικασία, με δραστηριότητες ομαδοποιήσεων, ταξινομήσεων, διατάξεων και αντιστοιχίσεων, της έννοιας του συνόλου και της ισοδυναμίας συνόλων Αυτό αμφισβητήθηκε από πολλούς ερευνητές που θεωρούν ότι η κατανόηση της είναι μεταγενέστερη άλλων όψεων του νοήματος του αριθμού. 18
οι τρέχουσες αντιλήψεις η απαρίθμηση: παίζει καθοριστικό ρόλο στην οικοδόμηση των πρώτων αριθμητικών εννοιών του παιδιού αποτελεί τη βάση στην ανάπτυξη της έννοιας του αριθμού από την απαρίθμηση θα κατανοήσει το παιδί ότι π.χ., το 7: είναι μια αριθμητική αυτόνομη οντότητα που δηλώνει το πλήθος ενός συνόλου (πληθικότητα) ταυτόχρονα αποτελείται από (7) επιμέρους μονάδες (μετρικότητα του αριθμού) είναι μετά το 6, και πριν το 8 (διατακτικότητα του αριθµού) και κάπως έτσι θα οικοδομηθούν τα σύμβολα και οι πράξεις
πληθικότητα του αριθμού ο πληθάριθμος ή πληθικός αριθμός ενός συνόλου είναι ένα μέτρο του "αριθμού των στοιχείων" του. Για ένα πεπερασμένο σύνολο, ο πληθάριθμος είναι ίσος με το πλήθος των στοιχείων του, επομένως είναι ένας φυσικός αριθμός. δηλώνει το πλήθος διακριτών αντικειμένων μιας συλλογής άρα πληθικότητα είναι η ιδιότητα του αριθμού να δηλώνει πλήθος 20
διατακτικότητα του αριθμού Η διατακτική σημασία του αριθμού εκφράζει τη σχετική θέση ενός αντικειμένου σε μια συλλογή με προκαθορισμένη ιεραρχική δομή και συνδέεται με τις λέξεις πρώτος, δεύτερος, τρίτος κ.λπ. (Καφούση & Σκουμπουρδή 2008: σελ. 75). Η διατακτική σημασία του αριθμού είναι μια εξίσου σημαντική λειτουργία όπως και η πληθικότητα του αριθμού και είναι επιθυμητό να εξοικειώνονται σταδιακά τα παιδιά με αυτή. 21
διατακτικότητα του αριθμού Η πληθικότητα του αριθμού είναι κατανοητή από τα παιδιά ήδη από μικρά για μικρό πλήθος γίνεται με άμεση εκτίμηση για μεγαλύτερα μέσα από την απαρίθμηση Η Διατακτικότητα του αριθμού είναι πιο δύσκολη για τα παιδιά και αργεί πιο πολύ η ανάπτυξη της η γνώση της σειράς των αριθμολέξεων σχετικά με τη διάταξη καθυστερεί σε σχέση με τη γνώση της σειρά των αριθμολέξεων σε σχέση με την απαρίθμηση, καθώς σύμφωνα με τον Barrody η χρήση των διατακτικών ή τακτικών αριθμών (ordinal numbers) απαιτεί την κατανόηση της σχετικής θέσης ενός αντικείμενου σε σχέση με κάποιο σημείο αναφοράς (Καφούση & Σκουμπουρδή 2008: σελ. 75). Για παράδειγμα, η χρήση της αριθμολέξης «πρώτος» εξαρτάται από ποια κατεύθυνση βλέπουν τα παιδιά αυτή τη σειρά. 22
διατακτικότητα του αριθμού, ένα πείραμα Ζητήθηκε από παιδιά ηλικίας από 3 ετών και 6 μηνών μέχρι 4 ετών και 10 μηνών να δείξουν το 2ο, 1ο, 4ο, 10ο, 3ο, 7ο και 14ο άνθρωπο σε μια σειρά 15 ατόμων που βρίσκονταν στη στάση ενός λεωφορείου. τα αποτελέσματα έδειξαν ότι μισά σχεδόν παιδιά του δείγματος δεν έδωσαν καμιά απάντηση και τα υπόλοιπα απάντησαν σωστά μόνο για το 1ο, 2ο και 4ο αντικείμενο της σειράς τα παιδιά συνήθως έδειχναν συνεχόμενες θέσεις ανεξαρτήτως των τακτικών αριθμών που τους ζητούσαν (consecuwve ordinal sequencing) κάποια παιδιά προσπαθούσαν να κάνουν εκτιμήσεις για να εντοπίσουν την σειρά διάταξης ένα μόνο παιδί στην έρευνα χρησιμοποίησε την απαρίθμηση για να απαντήσει στο ερώτημα κάτι που δείχνει ότι μπορεί αρχικά η διάταξη ενός αριθμού να μην συνδέεται από τα παιδιά με την πληθικότητά του. (Bruce & Threlfall 2004, στο Καφούση & Σκουμπουρδή 2008: σελ. 75-76). 23
Παιδαγωγικό Τµήµα Νηπιαγωγών κατανόηση της έννοιας του αριθμού στο Νηπιαγωγείο Αριθμός και Ποσότητα Κωνσταντίνος Π. Χρήστου Τμήμα Νηπιαγωγών
Παιδαγωγικό Τµήµα Νηπιαγωγών ποσότητα και μέγεθος του αριθμού 25
Ποσότητα - Μέγεθος Ποσότητα: Η φυσική ποσότητα από κάτι. Μέγεθος: Ποσότητα σε σχέση με τις άλλες ποσότητες Τα Μαθηματικά (του σχολείου) δεν είναι έχουν να κάνουν με αριθμούς αλλά με την ποσότητα/μέγεθος των πραγμάτων Η φυσική πραγματικότητα των μαθηματικών που μοντελοποιούμε με τη χρήση συμβόλων και την αριθμογραμμή (πόσο πολύ, πόσο μακριά, πόσο μεγάλο, πόσο λαμπερό, κτλ.) Μάλιστα, κάθε μαθηματικό αντικείμενο θα μπορούσε να μοντελοποιηθεί για τους μαθητές με τη χρήση της ποσότητας ως βασική ιδέα για ευκολότερη κατανόηση 26
ποσότητα (quanrty) είναι μια ιδιότητα που υπάρχει είτε ως μέγεθος (magnitude) είτε ως πλήθος (multitude) Οι ποσότητες μπορούν να συγκριθούν ως "περισσότερα", "λιγότερα" ή "ίσα", ή αποδίδοντας μια αριθμητική αξία στη βάση ύπαρξης μιας μονάδας μέτρησης. Η ποσότητα είναι μεταξύ των βασικών κατηγοριών των πραγμάτων μαζί με την ποιότητα, την ουσία, την μεταβολή και τη σχέση. Όντας ένας βασικός όρος, η ποσότητα χρησιμοποιείται για να περιγράψει οποιονδήποτε τύπο ποσοτικών ιδιοτήτων ή τα χαρακτηριστικά γνωρίσματα των πραγμάτων. Κάποιες ποσότητες είναι τέτοιες λόγω της εσωτερική φύση τους (όπως ο αριθμός), ενώ άλλες λειτουργούν ως καταστάσεις/σχέσεις (οι ιδιότητες, οι διαστάσεις, τα χαρακτηριστικά) κάποιων πραγμάτων, π.χ., βαρύ και ελαφρύ, θετικός και αρνητικός, φαρδύς και στενός, μικρή και μεγάλη, πολύ και λίγο. 27
μέγεθος (Size) Στα μαθηματικά, μέγεθος είναι το πόσο μεγάλο (μικρό) είναι ένα μαθηματικό αντικείμενο, μια ιδιότητα με την οποία το αντικείμενο μπορεί να συγκριθεί ως μεγαλύτερο ή μικρότερο από άλλα αντικείμενα του ίδιου είδους. Το μέγεθος ενός αριθμού συνδέεται άμεσα με τη διατακτικότητα του αριθμού Το μέγεθος ενός αντικειμένου είναι μια διάταξη (ή κατάταξη) της τάξης των αντικειμένων στην οποία ανήκει. αν η τα αντικείμενα είναι ποσότητες, τότε είναι η διάταξη των ποσοτήτων σκεφτείτε τη φράση το μέγεθος της ποσότητας για παράδειγμα υπάρχει μεγάλη ποσότητα 28
η σημασία της κατανόησης της ιδέας της ποσότητας του αριθμού Η ποσότητα αναπαριστά το πόσο του αριθμού και αποτελεί θεμελιώδης έννοια στην απόκτηση της αίσθησης του αριθμού. έτσι η ποσότητα είναι πιο άμεσα συνδεδεμένη με την πληθικότητα του αριθμού Η κατανόηση της ιδέας της ποσότητας αποτελεί προϋπόθεση της κατανόησης της αξίας θέσης, των πράξεων και του κλάσματος στη συνέχεια Η κατανόηση της ιδέας της ποσότητας βοηθά τα παιδιά να εστιάσουν και να σκεφτούν με αριθμούς Είναι ιδιαίτερα σημαντική για την κατανόηση της σχετικής ποσότητας (πολύ λίγα) για τον αναλογικό συλλογισμό (διπλάσιο από, το μισό από) 29
κάποιες επισημάνσεις για την ποσότητα του αριθμού Τα παιδιά έχουν εγγενώς τη δυνατότητα αντίληψης της ποσότητας ήδη από πολύ νωρίς μετά τη γέννησή τους. θα δούμε παρακάτω από πόσο νωρίς Κατανοούν βασικές αρχές της διατήρησης της ποσότητας και των σχέσεων που δημιουργούνται γύρω από αυτή. Έτσι έχουν ήδη αποκτήσει άτυπες γνώσεις για τις ποσοτικές σχέσεις που υπάρχουν στον πραγματικό κόσμο. Ξέρουν πότε κάτι είναι μεγαλύτερο, μικρότερο ή ίσο με κάτι άλλο. Στη βάση αυτή μπορούν να επιλέξουν κάτι αφού πρώτα κάνουν μια ποσοτική σύγκριση. Παρόλα αυτά, η σύγκριση της ποσότητας μπορεί να γίνεται διαισθητικά και η ικανότητα για απαρίθμηση να υπολείπεται. Με τον καιρό τα παιδιά δημιουργούν τη σύνδεση ανάμεσα στις αριθμολέξεις με την αριθμητική ποσότητα που αναπαριστούν, και την αύξουσα (φθίνουσα) σειρά των αριθμολέξεων με την αύξηση (μείωση) της ποσότητας. 30
Η ποσότητα ως κατανόηση του πόσα Ενώ τα παιδιά μαθαίνουν να απαριθμούν δεν έχουν από την αρχή κατανοήσει ότι η απαρίθμηση 1,2,3,4,5 αντιστοιχεί στην ποσότητα 5 πραγμάτων. Η ποσότητα αποτελεί μια ιδιαίτερη ποιότητα του αριθμού η ιδέα ότι η ποσότητα 3 μήλων είναι ίδια με την ποσότητα 3 λεωφορείων, κι ότι το 3 αναπαριστά τα 2 αγόρια και 1 κορίτσι, απαιτεί μία αφαίρεση και δεν είναι κάτι άμεσα διαισθητικό. Είναι σημαντικό οι μαθητές να αποκτήσουν καλή κατανόηση της ποσότητας (πόσα είναι) και του μεγέθους (λιγότερα/ περισσότερα) των αριθμών για να εμβαθύνουν στην αίσθηση του αριθμού 31
Παιδαγωγικό Τµήµα Νηπιαγωγών ποσότητα και πράξεις 32
η σχέση της ποσότητας με τις πράξεις Η κατανόηση της ποσότητας που αναπαρίσταται από έναν αριθμό βοηθά τους μαθητές να καταλάβουν το νόημα της κάθε πράξης. Στην πράξη της πρόσθεσης η ποσότητα αυξάνει ενώ στην αφαίρεση η ποσότητα μειώνεται φυσικά μιλάμε εδώ για τις πράξεις με φυσικούς αριθμούς, δηλαδή τους θετικούς ακέραιους αριθμούς 1, 2, 3, κοκ. Τα παραπάνω δεν ισχύουν όταν μάθουμε αρνητικούς αριθμούς, όπου η πρόσθεση μπορεί να μειώσει τον αριθμό [π.χ., 3+(- 2)=1] και η αφαίρεση να τον αυξήσει [4- (- 5)=4+5=9] Κάνοντας τη σύνδεση ανάμεσα στην ποσότητα που εκφράζει ένας αριθμός και στη θέση του στην αριθμογραμμή γίνεται η κατανόηση της πράξης ως κίνηση που αυξάνει ή μειώνει την ποσότητα, που ενισχύει την κατανόηση της διατακτικότητας του αριθμού 33
η σχέση της ποσότητας με την αξία θέσης και την κατανόηση των κλασμάτων Η ιδέα της ποσότητας είναι σημαντική επίσης για την κατανόηση του τι αναπαριστούν τα νούμερα (ψηφία) ενός αριθμού και γιατί η αξία κάθε ψηφίου και της θέσης τους έχει σημασία στο δεκαδικό σύστημα αρίθμησης. δηλ. το γεγονός ότι το ψηφίο αριστερά κάθε άλλου ψηφίου αναπαριστά αυξημένη ποσότητα της τάξης του 10 σε σχέση με το ψηφίο που βρίσκεται δεξιά Κατά την εισαγωγή των μαθητών στους δεκαδικούς και τα κλάσματα (Γ - Δ Δημοτικού) η αίσθηση της ποσότητα είναι πολύ σημαντική για την κατανόηση του κλάσματος. Μία από τις μεγαλύτερες δυσκολίες των μαθητών είναι να αποδεχθούν το 2/3 ως αριθμό, που δηλώνει μία συγκεκριμένη ποσότητα που αντιστοιχεί στο λόγο του 2 με το 3, ή σε μια ποσότητα του μέρους σε σχέση με το όλον ( τα 2 κομμάτια από τα τρία που αποτελούν το όλον) κι όχι δύο φυσικοί αριθμοί με μια γραμμή ανάμεσά τους 34
η σχέση της ποσότητας με τους κατά προσέγγιση υπολογισμούς και τους συλλογισμούς με αριθμούς Η αίσθηση της ποσότητας του αριθμού είναι καθοριστική στην ανάπτυξη της ικανότητας για εκτιμήσεις κατά- προσέγγιση, την αίσθηση του λόγου και της αναλογίας, και την κατανόηση του ρητού αριθμού. Η αίσθηση της ποσότητας επεκτείνεται στην αίσθηση του μεγέθους ως αποτέλεσμα μιας μέτρησης - για παράδειγμα στην αναγνώριση ότι το μέγεθος μιας ποσότητας επηρεάζεται από την κίνηση π.χ., όπως είπαμε στην αριθμογραμμή δεξιά- αριστερά, στο θερμόμετρο πάνω- κάτω, στο ρολόι κυκλικά Η κατανόηση της συστηματικής σχέσης ανάμεσα στις ποσότητες που εκφράζουν οι αριθμοί (π.χ., στον διπλασιασμό μίας συνταγής) θέτει τη βάση για τον αναλογικό συλλογισμό Επίσης, ο λόγος των ποσοτήτων που αναπαριστούν οι αριθμοί είναι τα κλάσματα Μοιράζοντας τις ποσότητες σε μέρη του όλου μπορεί να δημιουργήσει μια καλή διαίσθηση των ρητών αριθμών (ειδικά των <1) 35
δεξιότητες προσέγγισης και ποσότητα Οι δεξιότητες υπολογισμού κατά- προσέγγιση συνδέονται άμεσα με την αίσθηση της ποσότητας Οι δεξιότητες προσέγγισης είναι πολύ σημαντικές στις διαδικασίες λογικών συλλογισμών στη λύση μαθηματικών προβλημάτων, όπως στην επιλογή της σωστής πράξης και τον σχεδιασμό της λύσης όπως επίσης στην αξιολόγηση του αποτελέσματος, στη διόρθωση της λανθασμένης απάντησης. τα παιδιά που μπορούν να πουν αν 3 φορές το 8 είναι πάνω από το 20 έχουν καλύτερη αίσθηση του αριθμού και αυτό γίνεται στη βάση της αίσθησης της ποσότητας/μεγέθους του αριθμού 36
αριθμός και ποσότητα...και η διατήρηση του αριθμού Η δουλειά του Piaget s (1965) με μικρά παιδιά έδειξε μία παρανόηση στη σχέση του αριθμού με την ποσότητα που αναπαριστά ένα σύνολο ίσων αντικειμένων τοποθετούνταν στο τραπέζι σε δύο σειρές και στη μία από τις δύο σειρές τα αντικείμενα απομακρύνονταν το ένα από το άλλο. Όταν τα παιδιά ερωτώνται αν η ποσότητα είναι ίδια ή έχει αλλάξει στη δεύτερη σειρά τα μικρά παιδιά απαντούσαν ότι έχει αλλάξει και είναι μεγαλύτερη από την πρώτη. Ο Piaget ερμήνευσε αυτή τη στάση ως ένδειξη ότι τα παιδιά δεν διατηρούν την ποσότητα του αριθμού, η οποία παραμένει σταθερή όταν τα αντικείμενα αλλάζουν διάταξη στο χώρο, κι ότι η ποσότητα θα άλλαζε μόνο όταν προστίθενται ή αφαιρούνται αντικείμενα 37
ποσότητα και άμεση εκτίμηση Subiwzing: Η ικανότητα των παιδιών να εκτιμούν την ποσότητα των αντικειμένων μιας μικρής συλλογής (<4) επίσης υποδηλώνει την εδραιωμένη σχέση του αριθμού με την ποσότητα/μέγεθος της εικονικής του αναπαράστασης 38
αριθμός και μέγεθος Η αίσθηση του μεγέθους είναι συνδεδεμένη με την αναγνώριση ότι η κίνηση π.χ., δεξιά/αριστερά στην αριθμογραμμή, πάνω/κάτω στον πίνακα ή στο θερμόμετρο, κτλ, σημαίνει την αύξηση/μείωση στο μέγεθος της ποσότητας. Σε αυτή την κατανόηση το μοντέλο της αριθμογραμμής είναι εξαιρετικό για χρήση στην τάξη 39
μέρος- μέρος- όλον / ανάλυση- σύνθεση και ποσότητα Τα μικρά παιδιά ακόμα κι όταν έχουν μάθει να μετρούν μέχρι το 10 δεν έχουν απαραίτητα κατανοήσει ότι οι ποσότητες που μετρούν αποτελούνται από επιμέρους ποσότητες Έτσι, συχνά αμφισβητούν τον ισχυρισμό ότι 5 αντικείμενα και 3 αντικείμενα που αν τα βάλουμε μαζί κάνουν 8 είναι η ίδια ποσότητα όπως 2 και 6 αντικείμενα που αν επίσης τα βάλουμε μαζί φτιάχνουμε άλλο ένα σύνολο από 8 αντικείμενα ίδια με πριν. Με τον καιρό κατακτούν την έννοια του όλου (8) ως αποτελούμενο από διάφορα μικρότερα μέρη (π.χ., 4+4 ή 5+3 ή 2+6) Ανάλυση/σύνθεση αριθμών Η επέκταση των παραπάνω θα βοηθήσει στην ανάπτυξη της ανάλυσης/σύνθεσης των αριθμών. Κάποια στιγμή τα παιδιά κατανοούν ότι όλους τους αριθμούς μπορούμε να τους συνθέσουμε από άλλους και να τους σπάσουμε σε νέους τελείως διαφορετικούς. π.χ., ότι το 23 αποτελείται από 20 και 3 ή 2 δεκάδες και 2 μονάδες Σε αυτές τις σχέσεις θα οικοδομηθεί και η κατανόηση της δράσης των πράξεων (πρόσθεση, αφαίρεση, πολ/σμός, διαίρεση) πάνω στους αριθμούς 40
Ανάλυση/σύνθεση αριθμών Ο αριθµός κατά τον Piaget είναι µια σύνθεση δυο ειδών σχέσεων που δηµιουργεί το παιδί ανάµεσα στα αντικείµενα. Η πρώτη είναι η διάταξη και η δεύτερη ο ιεραρχικός εγκλεισµός (Kazuko-Kamii & De Clark 1985: σελ. 29). Ο ιεραρχικός εγκλεισμός, κατά Piaget, ή προσθετική Αναλύση/σύνθεση του αριθμού, όπως συνηθίζεται να λέγεται Για να καθορίσει το παιδί την ποσότητα της συλλογής των αντικειμένων πρέπει να οικειοποιηθεί τη σχέση του ιεραρχικού εγκλεισμού. (Kazuko- Kamii & De Clark 1985: σελ. 30) 41
ανάλυση/σύνθεση του αριθμού τα παιδιά χρειάζεται επίσης να αναπτύξουν ευέλικτες στρατηγικές για την ανάλυση και τη σύνθεση των αριθμών Ανάλυση η κατανόηση ότι μία αριθμητική ποσότητα αποτελείται από δύο άλλες επιμέρους ποσότητες π.χ., το 8 είναι 5 και 3 (8=5+3) Σύνθεση αριθμού η κατανόηση ότι δύο επιμέρους αριθμητικές ποσότητες μπορούν αν κατασκευάσουν μία νέα αν ενωθούν π.χ., 3 και 5 κάνει 8 (5+3=8) Η ανάπτυξη τέτοιων δεξιοτήτων βοηθά στην κατανόηση των πράξεων και στη δημιουργία προσωπικών στρατηγικών για τις πράξεις π.χ., 7+6= 7+3+3= 10+3=13 ή 7+6 = (5+2)+(5+1)= 10+3=13 τέτοιες στρατηγικές είναι ακόμα πιο σημαντικές όταν οι αριθμοί μεγαλώνουν αρχικές στρατηγικές επεκτείνονται, βελτιώνονται ή εγκαταλείπονται στους μεγαλύτερους αριθμούς 42
ανάλυση/σύνθεση όταν πάρεις έναν αριθμό αντικειμένων από ένα (υπό)σύνολο και το προσθέσεις σε ένα άλλο (υπό)σύνολο, το πλήθος του συνόλου δεν αλλάζει 43
ανάλυση/σύνθεση του αριθμού 2 Ανάλυση και σύνθεση των αριθμών σε αθροίσματα Δίνουμε μεγάλη έμφαση στην ανάλυση και την σύνθεση των αριθμών σε άθροισμα. Έτσι, από την αρχή της μάθηση των αριθμών τους παρουσιάζουμε με τη μορφή του αθροίσματος. Τα αθροίσματα στα οποία δίνεται ιδιαίτερη βαρύτητα είναι τα εξής: Τα διπλά αθροίσματα, δηλαδή της μορφής ν+ν, π.χ. 2+2, 3+3, κτλ. Σε έρευνες έχει διαπιστωθεί ότι το 40% των νηπίων μπορεί και υπολογίζει τα αθροίσματα 2+2, 3+3 και 5+5 χωρίς να τα έχουν διδαχτεί (Χ. Λεμονίδης 2003α, σελ. 48 50). Αρχικά στην ανάλυση των αριθμών με βάση το 5 και στη συνέχεια το 10. Για παράδειγμα, το 6 παρουσιάζεται ως 5+1, το 7 ως 5+2, το 13 ως 10 και 3, κ.ο.κ. 44
ένα παράδειγμα 18 + 12 = 30 μια συνηθισμένη στρατηγική είναι να πούμε: 18+2=20 και 20+10=30 κι άλλη είναι να πούμε 10+10=20, 8+2=10 και 20+10=30 Βρείτε την ανάλυση και τη σύνθεση παραπάνω: ανάλυση: για να σκεφτώ το 18+2=20 πρέπει να κάνω ανάλυση του 12 σε 10+2 σύνθεση: το 20 είναι 10+10 και το 10 είναι 8+2 45
Παιδαγωγικό Τµήµα Νηπιαγωγών το ορόσημο του 5 και η βάση του 10 46
αρίθμηση στο νηπιαγωγείο } Τρεις βασικές σχέσεις που οι µαθητές πρέπει να κατανοήσουν: } ακόµα ένα και ακόµα δύο ή } ένα λιγότερο και δύο λιγότερα } ορόσηµα του 5 και του 10 } σηµασία του 10 ως βάση στο δεκαδικό µας σύστηµα και του 5 ως το µισό του 10 } σχέσης µέρους όλου - ανάλυση/σύνθεση του αριθµού 47
άγκυρες/ορόσημα και ποσότητα Οι άγκυρες του 5 και 10 Τα παιδιά αναπτύσσουν την κατανόηση ότι το 3 μπορούμε να το σκεφτούμε σε σχέση με το 5 (π.χ., 2 λιγότερο από 5). Παρόμοια άγκυρα με πολύ μεγάλη σημασία είναι το 10, γιατί έχουμε υιοθετήσει το δεκαδικό σύστημα των αριθμών. Οι σχέση των μικρών αριθμών με το 10, θα βοηθήσει στην κατανόηση των πράξεων και στην αξία θέσης το 4 με το 6 κάνει 10, το 7 με το 3 κάνει 10 το 8 απέχει 2 από το 10, κι άρα 8+6 είναι 10 +4 18+13 κάνει Αναλύση/σύνθεση γιατί 8+3 θα δώσει κι άλλη μία δεκάδα 48
Η ανάλυση των αριθμών σε άθροισμα Η ανάλυση των αριθμών σε άθροισμα με βάση το πέντε και το δέκα είναι όπως η δομή των δακτύλων στον άνθρωπο αλλά και το δεκαδικό αριθμητικό σύστημα. Κατάλληλο υλικό για την παρουσίαση των αριθμών με αυτόν τον τρόπο είναι εκτός από τα δάκτυλα, το δίχρωμο αριθμητήριο (αριθμητήριο του οποίου η κάθε γραμμή, η οποία αποτελείται από δέκα χάντρες, οι δύο πεντάδες είναι βαμμένες με διαφορετικά χρώματα). Άλλο τέτοιο υλικό μπορεί να είναι οι βάσεις του πέντε. Δύο διαφορετικές βάσεις με πέντε υποδοχές στις οποίες μπορεί να τοποθετούνται χάντρες, ξυλάκια, ή και κάτι άλλο. Θα πρέπει να υπάρχει η δυνατότητα ώστε οι δύο βάσεις να ενώνονται για να σχηματίζουν μια δεκάδα. από Μαθηματικά της Φύσης και της Ζωής 49
η δραστηριότητα με το γάντι Σενάριο: η γιαγιά θέλει να πλέξει γάντια για τα εγγόνια της που να είναι όλα διαφορετικά. Όμως έχει μόνο δύο χρώματα μαλλιού και σκέφτηκε να κάνει διαφορετικούς συνδυασμούς στα δάχτυλα κάθε γαντιού. Πόσα διαφορετικά γάντια μπορούν να προκύψουν; τα παιδιά ζωγραφίζουν τα γάντια χρησιμοποιώντας δύο χρώματα εμείς ρωτάμε: πόσα δάχτυλα είναι πράσινα; πόσα είναι καφέ; πόσα είναι όλα μαζί; πως αλλιώς θα μπορούσες να κάνεις το γάντι; 50
η δραστηριότητα με το γάντι 2 συζητάμε πόσα παιδιά έχουν γάντι με 1 και 4 ίδια δάχτυλα; πόσα έχουν 2 και 3 ίδια? πόσα διαφορετικά γάντια μπορεί να φτιάξει η γιαγιά; ποια είναι η ομοιότητα ανάμεσα σε 2 πράσινα + 3 καφέ με 2 καφέ + 3 πράσινα; μαθηματικό λεξιλόγιο που θα αναπτυχθεί: περισσότερο, λιγότερο, ίδιο, ίσα, διαφορετικά, μαζί, κάνουν,... 51
δραστηριότητα του πλαισίου 5 οι μαθητές έχουν άδεια πλαίσια με 5 θέσεις και τουβλάκια και πρέπει να τοποθετούν αριθμούς από τουβλάκια συμπληρώνοντας το πλαίσιο. συζητάμε πόσα περισσεύουν και πόσα μένουν για να γεμίσει το κουτάκι μαθηματικό λεξιλόγιο που θα αναπτυχθεί: μένουν, περισσεύουν, κι άλλα, 5 + κάνουν επέκταση στο 10 με δύο πλαίσια και μετά με ένα 10άρι πλαίσιο 52
βάση του 10 Οι ικανότητες για απαρίθμηση μαζί με την ανάλυση/σύνθεση των αριθμών και την έννοια της ισότητας μπορούν να βοηθήσουν στην ομαδοποίηση των αριθμών και καταμέτρηση των ομάδων ομαδοποίηση: αρχική εστίαση στο γεγονός ότι κάθε αριθμός είναι μια ομάδα από μονάδες 5=5 μονάδες - ένα 5χρονο= παιδί 5 χρόνων που όταν τον ρωτάμε λέει ότι είναι 5 (κι όχι 5 χρόνια) έτσι μπορούμε να μετρήσουμε το σύνολο των 5χρονων στην τάξη κάπως έτσι είναι και η δεκάδα, που ομαδοποιεί αντικείμενα και μετά μπορούμε να μετρήσουμε δεκάδες 53
βάση του 10 και αξία θέσης αυτό αποτελεί την καρδιά της κατανόησης του δεκαδικού αριθμητικού συστήματος αξίας θέσης: να κατανοούν οι μαθητές ότι μία 10άδα είναι δέκα μονάδες και δέκα μονάδες μπορούν να συγκροτήσουν μία 10άδα. π.χ., το 18 λέγεται δέκα- οκτώ, δηλαδή μια δεκάδα και οκτώ μονάδες, ή δεκαοκτώ μονάδες και αν προσθέσεις 5 θα γίνουν 23 μονάδες δηλαδή θα συμπληρωθεί δεύτερη δεκάδα κι άρα 2 δεκάδες και 3 μονάδες, άρα είκοσι- τρία } https://www.teachingchannel.org/videos/counting-by-tenlesson 54
κάποια ερωτήματα πόσο νωρίς εμφανίζεται η κατανόηση της ποσότητας του αριθμού; είναι μία ικανότητα που είναι άμεσα συνδεδεμένη με τη γλώσσα; πως θα μπορούσαμε να την εξετάσουμε σε παιδιά στην προγλωσσική περίοδο; 55
Παιδαγωγικό Τµήµα Νηπιαγωγών numerosity: η ικανότητα αντίληψης του πλήθους μιας συλλογής αντικειμένων μια πρώιμη μαθηματική ικανότητα 56
Μεθοδολογία της προσέγγισης της πρώιμης μαθηματικής ικανότητας Μελέτη ζώων (για τη διερεύνηση του αν η ικανότητα είναι μια ικανότητα άμεσα συνδεδεμένη με τη γλώσσα) Διερεύνηση της βιολογικής βάσης - νευροφυσιολογία Μελέτη της συμπεριφοράς των νεογέννητων (προγλωσσικά) Μέθοδος εξοικείωσης/ανάκτησης ενδιαφέροντος (habituazon/dishabituazon) Μέθοδος του 'μετασχηματισμού' ή 'αριθμητικής πρόβλεψης' (arithmezc expectazon).
Παιδαγωγικό Τµήµα Νηπιαγωγών Μέθοδος εξοικείωσης/ ανάκτησης ενδιαφέροντος
Μέθοδος εξοικείωσης/ανάκτησης ενδιαφέροντος (habituation/dishabituation) βασίζεται στην παρατήρηση της προσήλωσης του βλέµµατος των παιδιών σε δοσµένα ερεθίσµατα το βλέµµα προσηλώνεται όταν το ερέθισµα προκαλεί ενδιαφέρον, π.χ., όταν είναι καινούριο Κατά την εξοικείωση: δείχνουµε στο παιδί µια σειρά από ίδια ερεθίσµατα (ή σχεδόν ίδια) µέχρι που χάνει το ενδιαφέρον του επειδή έχει συνηθίσει την εναλλαγή ίδιων ερεθισµάτων, Ανάκτηση ενδιαφέροντος: όταν το βλέµµα έχει αφαιρεθεί αλλάζουµε το ερέθισµα αν το παιδί καταλάβει την αλλαγή στο ερέθισµα τότε το βλέµµα του 30κάτι στο ερέθισµα οπότε έχει συµβεί ανάκτηση ενδιαφέροντος αν δεν ανακτήσει το ενδιαφέρον σηµαίνει ότι δεν έχει αντιληφθεί τη διαφορά στο ερέθισµα
Μέθοδος εξοικείωσης/ανάκτησης ενδιαφέροντος παράδειγμα: εξοικείωση: κάρτες με δύο αντικείμενα ανάκτηση ενδιαφέροντος: με κάρτα με τρία αντικείμενα
Μέθοδος εξοικείωσης/ανάκτησης ενδιαφέροντος αποτελέσματα: τα παιδιά ήδη από 2 ετών δείχνουν να κατανοούν αλλαγές στο πλήθος διακριτών αντικειμένων, ήχων ή και κινήσεων, όταν το πλήθος είναι μικρό σε μεγαλύτερο πλήθος μπερδεύονται Όπως σημειώνουν οι Καφούση και Σκουμπουρδή (2008) η ικανότητα αυτή δεν μπορεί σε αυτή την ηλικία να ερμηνευτεί ως κατανόηση της πληθικότητας των στοιχείων της συλλογής, ωστόσο εξασφαλίζει στα παιδιά εμπειρικές βάσεις για τη μετέπειτα σύγκριση δυο ή περισσότερων αριθμών.
µέθοδος: 'µετασχηµατισµού' ή 'αριθµητικής πρόβλεψης'
πότε αλλάζει η ποσότητα; κατανοούν όμως τα παιδιά την αλλαγή της ποσότητας; κατανοούν ότι η πρόσθεση και η αφαίρεση αλλάζουν το πλήθος; από πόσο νωρίς; 63
µέθοδος: 'µετασχηµατισµού' ή 'αριθµητικής πρόβλεψης' βασίζεται στην παρατήρηση ότι το βλέμμα των παιδιών προσκολλάται σε ένα γεγονός που τους προκαλεί έκπληξη ένα απροσδόκητο γεγονός, απρόβλεπτο ή κάτι που παραβιάζει τις προσδοκίες τους Μέθοδος: ερεθίσματα που επιβεβαιώνουν τις προσδοκίες των παιδιών εναλλάσσονται με άλλα που τις παραβιάζουν προσκόλληση του βλέμματος σε απρόβλεπτα ερεθίσματα δείχνει ότι υπάρχει συγκεκριμένη (νοητική) πρόβλεψη, η οποία γίνεται στη βάση κάποιας λογικής
µέθοδος: 'µετασχηµατισµού' ή 'αριθµητικής πρόβλεψης' παράδειγμα Wynn, 1992
Αριθµητική Ικανότητα Πείραμα: Simon, T.J., Hespos, S.J., & Rochat, P., (1995). μέθοδος: 'µετασχηµατισµού' ή 'αριθµητικής πρόβλεψης' ερέθισμα: Ο Elmo και ο Ernie, κούκλες από την εκπομπή 'Sesame Street' της εκπαιδευτικής τηλεόρασης. Διάψευση της πρόβλεψης, τόσο σε χαρακτηριστικά του αντικειμένου - ο Elmo με αόρατες διαδικασίες γινόταν Ernie - όσο και στο πλήθος των αντικειμένων. + = +
Αριθµητική Ικανότητα Πείραμα: Simon, T.J., Hespos, S.J., & Rochat, P., (1995). μέθοδος: 'µετασχηµατισµού' ή 'αριθµητικής πρόβλεψης' ερέθισμα: Ο Elmo και ο Ernie, κούκλες από την εκπομπή 'Sesame Street' της εκπαιδευτικής τηλεόρασης. Ανατροπή της πρόβλεψης, τόσο σε χαρακτηριστικά του αντικειμένου (ο Elmo με αόρατες διαδικασίες γινόταν Ernie) όσο και στο πλήθος των αντικειμένων.
πλήθος ή έκταση; Ανοιχτό το ερώτημα αν τα μικρά παιδιά διακρίνουν διαφορές σε πλήθος (άρα στον καθαρό αριθμό) ή στα άλλα χαρακτηριστικά του πληθικού αριθμού όπως η έκταση - το μήκος που καταλαμβάνει μια αριθμητικά διαφορετική συλλογή Ερώτημα: ο μηχανισμός που μας κάνει να αντιλαμβανόμαστε τον αριθμό είναι εξειδικευμένος στις διακριτές ποσότητες (πλήθος διακριτών αντικειμένων) ή στις συνεχείς (έκταση, μήκος, επιφάνεια); Αν είναι στις διακριτές τότε οι φυσικοί αριθμοί είναι προνομιούχοι...βιολογικά Αν είναι εξειδικευμένος στις διακριτές ποσότητες τότε προνομιούχοι βιολογικά είναι οι ρητοί αριθμοί
αντίληψη της διαφοράς συνεχών ποσοτήτων Βρέφη 5 μηνών διακρίνουν ανάμεσα σε ένα δοχείο γεμάτο κατά ένα συγκεκριμένο μέρος (π.χ. κατά το το ¼ ή κατά τα ¾), και σε ένα άλλο δοχείο γεμάτo κατά ένα άλλο μέρος. Παιδιά 4 χρονών επιτυγχάνουν στο παρακάτω έργο όταν τους δοθεί σχηματικά: Αν ½ ενός κυκλικού δίσκου ταιριάζει με το ½ ενός ορθογωνίου, τότε το ¼ του δίσκου ταιριάζει με το του ορθογωνίου Άρα τα παιδιά μπορούν να διακρίνουν διαφορές σε συνεχείς ποσότητες
Παιδαγωγικό Τµήµα Νηπιαγωγών προϋποθέσεις για την γνωστική ανάπτυξη του αριθµού ατομικές διαφορές;
Παιδαγωγικό Τµήµα Νηπιαγωγών Αυθόρµητη εστίαση στα αριθµητικά χαρακτηριστικά µιας κατάστασης Spontaneous focusing on numerosity (SFON)
προϋπόθεση για τον αριθµό Να εστιάζει κανείς την προσοχή του στα αριθμητικά χαρακτηριστικά των ερεθισμάτων του περιβάλλοντος Οι μέχρι τώρα έρευνες έδιναν εργαστηριακά ερεθίσματα όχι κοντά στην πραγματικότητα των παιδιών δεν εστίαζαν σε πιθανές ατομικές διαφορές ανάμεσα στα παιδιά
Spontaneous focusing on numerosity (SFON) Οι Hannula & Lehwnen 2005 εξέτασαν ατομικές διαφορές στην ικανότητα μικρών παιδιών (3-6 ετών) να εστιάζουν την προσοχή τους στα αριθμητικά χαρακτηριστικά καταστάσεων που θα είναι κοντά στην πραγματικότητα εξέτασαν επίσης τον γενικό δείκτη ευφυΐας κάθε παιδιού κι άλλες γνωστικές δεξιότητες όπως γλωσσική κατανόηση, απαρίθμηση, κι άλλες μαθηματικές δεξιότητες παρακολούθησαν τα παιδιά κάποια χρόνια στην εξέλιξή τους και μελέτησαν τις συσχετίσεις ανάμεσα στις διάφορες δεξιότητες
Spontaneous focusing on numerosity (SFON) Μέθοδος: χρησιμοποιήθηκαν διάφορες πειραματικές διαδικασίες ανάλογα με την ηλικία Στα παιδιά 4 ετών: Υλικά: ένας ψεύτικος παπαγάλος που μπορεί να ταϊστεί (να βάλεις φαγητό στο στόμα του) Η ερευνήτρια «ταΐζει» ένα (ψεύτικο) παπαγάλο με ένα πλήθος (<3) ψεύτικα μούρα Διαδικασίας: Παίρνει 2 μούρα (ένα ένα) και τα τοποθετεί στο στόμα του παπαγάλου Οδηγίας: «κάνε ότι ακριβώς έκανα» μετά 3 μούρα, 2 μούρα κοκ. σημειώνει τις αντιδράσεις των παιδιών Ακόμα κι αν δεν έδωσε το σωστό πλήθος, ένα παιδί εστιάζει στον αριθμό αν η συμπεριφορά του δείχνει ότι έλαβε υπόψη το πλήθος Π.χ. είπε κάτι σαν «Δεν τα μέτρησα σωστά!» «Του έδωσα ακριβώς όσα έπρεπε».
Spontaneous focusing on numerosity Στα παιδιά 5 ετών: Υλικά: ένας κουμπαράς αρκουδάκι και μάρκες Η ερευνήτρια βάζει μάρκες στον κουμπαρά Διαδικασίας- οδηγίες: ίδια με πριν σημειώνει τις αντιδράσεις των παιδιών (SFON)
Spontaneous focusing on numerosity (SFON) Στα παιδιά 6 ετών: Υλικά: Η ερευνήτρια χρησιμοποιεί 3 ειδών σφραγίδες κι ένα αρχικό σκίτσο δεινόσαυρου με τις σφραγίδες βάζει κέρατα στον δεινόσαυρό της που λειτουργεί ως μοντέλο Αναποδογυρίζει το χαρτί Διαδικασίας- οδηγίες: Ζητά από το παιδί να φτιάξει το ίδιο σημειώνει τις αντιδράσεις των παιδιών
Spontaneous focusing on numerosity Στα παιδιά 6 ετών: Υλικά: ένα κουτί που λειτουργεί ως γραμματοκιβώτιο και μπλε και κόκκινους κλειστούς φακέλους η ερευνήτρια βάζει ένα πλήθος από φακέλους στο κουτί, έναν έναν Διαδικασίας- οδηγίες: Ζητά από το παιδί να κάνει ακριβώς το ίδιο σημειώνει τις αντιδράσεις των παιδιών (SFON)
Αποτελέσματα Spontaneous focusing on numerosity (SFON) Υπάρχουν ατομικές διαφορές ως προς την εστίαση στον αριθμό (SFON) άλλα παιδιά εστιάζουν αυτόματα στον αριθμό ενώ άλλα όχι Η εστίαση στον αριθμό συσχετίζεται με άλλες μαθηματικές δεξιότητες και μάλιστα με δεξιότητες που κάποιες μαθηματικές δεξιότητες που εμφανίζονται στο μέλλον Το SFON δε φαίνεται να συνδέεται με το γενικό δείκτη ευφυΐας και τη γλωσσική ικανότητα οπότε είναι domain- specific.
Παιδαγωγικό Τµήµα Νηπιαγωγών αριθμός και αναλογίες 79
αναλογικός συλλογισµός Η Γη είναι σφαιρική... σαν µια µπάλα
Αναλογική Σκέψη Αναλογία είναι μια γνωστική διαδικασία μεταφοράς πληροφοριών ή νοήματος από ένα συγκεκριμένο θέμα (τομέας «βάσης») σε ένα άλλο συγκεκριμένο θέμα (τομέας «στόχος»), και η γλωσσική έκφραση που αντιστοιχεί σε αυτή τη διαδικασία. Όταν χρησιμοποιούνται πληροφορίες από ένα τομέα (τομέας «βάσης») με σκοπό να βοηθηθούμε να σκεφτούμε για έναν άλλο τομέα (τομέας «στόχος») Απαραίτητες διεργασίες: αναγνώριση της αναλογίας - χαρτογράφηση ομοιοτήτων και διαφορών μεταβίβαση λύσης αξιολόγηση
Αναλογικές σχέσεις Στα μαθηματικά: το 5 για το 10 είναι ότι το 10 για το... (x). (το 20 (γιατί η σχέση είναι το διπλάσιο) To πάνω είναι για το κάτω ότι το δεξιά για το...; (αριστερά γιατί η σχέση είναι: το αντίθετο) 1ο Βήμα αναγνώριση της αναλογίας - χαρτογράφηση (mapping): να καταλάβεις τη σχέση που περιγράφεται 2ο Βήμα μεταφορά (transfer): να μεταφέρεις χαρακτηριστικά από την πηγή στο στόχο 3ο Βήμα: αξιολόγηση στοχασμός επί της λύσης που προέκυψε 83
84
85
µαθηµατικές αναλογίες
Παιδαγωγικό Τµήµα Νηπιαγωγών συμβολικές αναπαραστάσεις του αριθμού 87
σχέση αριθμού με ποσότητα ας κάνουμε μια αναλογία με τη γλώσσα η λέξη ΜΠΑΛΑ είναι η μπάλα; όχι, είναι ένα σύμβολο που αναπαριστά την μπάλα ούτε η εικόνα της μπάλας είναι η μπάλα πίσω στους αριθμούς κι αυτή η εικόνα είναι μια αναπαράσταση του 8, δεν είναι το 8 το νούμερο 8, αναπαριστά μια ποσότητα 8 88
οι διαφορετικές χρήσης του αριθμού ως σύμβολο Ένα νούμερο (π.χ., 8) αναπαριστά ένα αριθμητικό σύμβολο, μία αριθμολέξη, το πλήθος ενός συνόλου διακριτών αντικειμένων (πληθικότητα του αριθμού), μια θέση στην αριθμογραμμή ή στον πινάκα των αριθμών ή τη θέση στην σειρά απαρίθμησης (διατακτικότητα του αριθμού), αναπαριστά το όνομα κάποιου (ονομαστική χρήση του αριθμού), την αξία θέσης ενός αριθμού σε ένα αριθμητικό σύστημα, κοκ. π.χ., Το νούμερο 1 μπορεί ανάλογα με τη θέση του να αναπαριστά μία δεκάδα ή μια εκατοντάδα ή και μία μονάδα Ο Γιώργος, είναι το 2ο παιδί μιας οικογένειας με 4 παιδιά, γεννήθηκε στις 8 9ου του 1989, στις 4:45,στο δωμάτιο 422 (δηλαδή στον 4ο όροφο της κλινικής) με βάρος 2,3kgr και ύψος 35cm. Ένα σημαντικό στοιχείο της αναπαράστασης είναι η κατανόηση των διαφορετικών χρήσεων των αριθμητικών συμβόλων ανάλογα με το πλαίσιο 89
διάφορες μορφές του αριθμού 90
αναπαραστάσεις του 8 91
μορφή του αριθμού } Μορφή του αριθµού είναι οι διαφορετικές αναπαραστάσεις που µπορεί να πάρει ο αριθµός 92
αναπαραστάσεις του αριθμού Ηχητικές (τρία) Συμβολικές / μελάνι σε χαρτί (3, τρία) Μηχανικές, πλήκτρο 3 σε μία μηχανή Ιστογραμμικές Ισομορφισμός ανάμεσα σε πράξεις με αναπαραστάσεις και αριθμητικές πράξεις; 4 4 3 3 2 2 1 1 0 Z1 Z2 Z3 Z4 93
χαρακτηριστικά της μάθησης στο Νηπιαγωγείο Τα νήπια μαθαίνουν να αναγνωρίζουν τις διαφορετικές αναπαραστάσεις των ψηφίων. π.χ., το 6 που αναπαριστά πλήθος (π.χ., 6 μολύβια) - πληθικότητα του αριθμού 6 που αναπαριστά θέση στη σειρά των αριθμών (2 μετά το 4) - διατακτικότητα του αριθμού 6 που αναπαριστά όνομα (πχ., η φανέλα με τον αριθμό 6) - ονομαστική χρήση του αριθμού αρχίζουν να κατανοούν ότι η θέση ενός ψηφίου έχει σημασία αλλά μόνο αργότερα κατανοούν εννοιολογικά την αξία θέσης (π.χ., το ρόλο του 1 στο 12 και στο 21). Ακόμα κι αν μετρούν μέχρι και το 30 δεν κατανοούν το 24 ως 2 δεκάδες και 4 μονάδες αλλά ως 24 μονάδες Μπορούν να αναγνωρίσουν τα αριθμητικά σύμβολα μέχρι το 5 και να τα αποτυπώσουν και ίσως και μέχρι το 10 μέχρι το τέλος της χρονιάς. Βέβαια συχνά μπερδεύουν κάποια σύμβολα ειδικά το 2 με το 5, το 6 με το 9 94
αναπαραστάσεις νηπίων 95
αναπαραστάσεις νηπίων 2 96
Παιδαγωγικό Τµήµα Νηπιαγωγών η νοητική αναπαράσταση του αριθμού σύμβολο ή ποσότητα; 97
Αριθμός και Σώμα Οι αυτόχθονες Torres δηλώνουν τους αριθμούς δείχνοντας σε συγκεκριμένο σημείο του σώματός τους με συγκεκριμένη σειρά. Οι αριθμοί 1 έως 5 δηλώνονται από τον μικρό δάκτυλο μέχρι τον αντίχειρα του δεξιού χεριού, οι αριθμοί 6 έως 12 από τον καρπό του δεξιού χεριού μέχρι τον καρπό του αριστερού, κοκ.
Υπήρξαν συμμετέχοντες για τους οποίους οι αριθμοί έχουν χρώματα, σκιές και αποχρώσεις. Αυτό θυμίζει το φαινόμενο της 'συναισθησίας', που είναι ένας συνδυασμός αισθήσεων, με αποτέλεσμα, γνωστό στους ποιητές και τους μουσικούς, να θεωρείται ότι οι ήχοι έχουν μορφή και τα χρώματα γεύση. Άλλοι συμμετέχοντες τοποθέτησαν τους αριθμούς σε κυκλικές ή καμπύλες τροχιές που άλλαζαν φορά ανά δεκάδα Αριθμός και Χρώμα
αριθμοί και δάχτυλα 100
Αριθμός και Χώρος
STARC effect (Spawal- Numerical Associawon of Response Codes). στα πλαίσια του πειράµατος που περιγράφηκε παραπάνω µε τη σύγκριση αριθµών µε το 65, τα υποκείµενα χωρίστηκαν σε δύο οµάδες. Από τη µία οµάδα ζητήθηκε να πατούν ένα πλήκτρο µε το δεξί τους χέρι για να δηλώνουν ότι ο δοθέν αριθµός είναι µεγαλύτερος από το 65 και µε το αριστερό χέρι για να δηλώσουν ότι ο αριθµός είναι µικρότερος, ενώ το αντίθετο ζητήθηκε από την άλλη οµάδα. Αποτελέσµατα: Περισσότερο χρόνο απόκρισης, καθώς και περισσότερα λάθη, έκαναν αυτοί που έπρεπε να αποκριθούν για τον µεγαλύτερο αριθµό χρησιµοποιώντας το αριστερό τους χέρι Το φαινόµενο αυτό δηλώνει την ύπαρξη ενός µοντέλου αναπαράστασης του αριθµού που έχει την δοµή της 'ευθείας των αριθµών'.
κάποιες συμβουλές για τη διδασκαλία Καλό είναι να δείχνουμε στα παιδιά τις διαφορετικές αναπαραστάσεις ενός αριθμού μαζί για να γίνουν οι απαραίτητες συνδέσεις π.χ., η λέξη, με το σύμβολο, με την ποσοτική αναπαράσταση (τελείες τυπωμένες σε κάρτα), με τη θέση στον πίνακα και στην αριθμογραμμή, την σειρά στις αριθμολέξεις Χρήση παιχνιδιών, τραγουδιών, ρεαλιστικών καταστάσεων από την πραγματικότητα των παιδιών, ηλεκτρονικών παιχνιδιών, βιωματικές δραστηριότητες όπου να αναδεικνύονται οι διαφορετικές χρήσεις των αριθμών 103
Γεωμετρική και αλγεβρική σκέψη } } } 14 ο τρόπος µε τον οποίο σχετίζονται τα πράγµατα µε υλικό τρόπο, τι πληροφορίες µπορούµε να αντλήσουµε από τα µοτίβα, πως σχετίζονται τα µοτίβα των αριθµών µε τον φυσικό κόσµο Η Γεωµετρική και η Αλγεβρική σκέψη είναι άµεσα σχετιζόµενες µε την ποσότητα και το µέγεθος των αριθµών και µπορούν να περιγράψουν, να εξηγήσουν και να προβλέψουν την ποσότητα και το µέγεθος στον υλικό κόσµο } 63 } 45 104
Γεωμετρική και αλγεβρική σκέψη } } } 14 ο τρόπος µε τον οποίο σχετίζονται τα πράγµατα µε υλικό τρόπο, τι πληροφορίες µπορούµε να αντλήσουµε από τα µοτίβα, πως σχετίζονται τα µοτίβα των αριθµών µε τον φυσικό κόσµο Η Γεωµετρική και η Αλγεβρική σκέψη είναι άµεσα σχετιζόµενες µε την ποσότητα και το µέγεθος των αριθµών και µπορούν να περιγράψουν, να εξηγήσουν και να προβλέψουν την ποσότητα και το µέγεθος στον υλικό κόσµο } 63 } 45 n+1+1-1-1=n+(1-1)=(1-1)=n 104
η Αλγεβρική σχέση η Αλγεβρική σκέψη ενέχει την δημιουργία γενικεύσεων από την εμπειρία δράσεων πάνω στους αριθμούς και στις πράξεις την έκφρασή τους με σύμβολα που κάνουν νόημα και διερεύνηση των επαναλαμβανόμενων μοτίβων και των συναρτήσεων ως σταθερές σχέσεις ανάμεσα σε αριθμούς 105
Παιδαγωγικό Τµήµα Νηπιαγωγών χαρακτηριστικά της μάθησης του αριθμού στο νηπιαγωγείο 106
συµπεράσµατα Από πολύ νωρίς (2 ½ με 4 ½ ετών) αναπτύσσεται μια ποικιλία ικανοτήτων που συνδέονται με την έννοια του αριθμού τόσο σε διακριτές όσο και σε συνεχείς ποσότητες. Τα νήπια διακρίνουν την ισοδυναμία ως προς την πληθικότητα σε δύο σύνολα αντικειμένων Κρίνουν ποιο σύνολο έχει περισσότερα στοιχεία Αναπτύσσουν απλές στρατηγικές υπολογισμού και εκτιμούν τα αποτελέσματα των απλών πράξεων (πρόσθεσης/αφαίρεσης)
Τρεις σημαντικές αναπτυξιακές αλλαγές στον αριθμό Οι ορθές απαντήσεις και η ακρίβεια αυξάνονται Το μέγεθος των συνόλων αντικειμένων που μπορούν να διαχειριστούν αυξάνεται Το επίπεδο αφαίρεσης αυξάνεται Π.χ. μπορούν να κρίνουν ως ισοδύναμα δύο σύνολα διαφορετικών αντικειμένων, όπως άσπρους δίσκους και μαύρες κουκκίδες Το κάνουν σε ήχους, ενέργειες, αντικείμενα που κρύβονται 108
χαρακτηριστικά της μάθησης στο Νηπιαγωγείο Συνήθως τα νήπια χρησιμοποιούν ποσοτικούς όρους σε σχέση με δοσμένα σύνολα αντικειμένων π.χ, λένε θέλω περισσότερα μολύβια, ή θέλω όσα έχει αυτός κατανοούν τις σχετικές ποσότητες υπό την έννοια ότι κοιτούν δύο συλλογές από αντικείμενα με διαφορετικό μέγεθος και μπορούν να πουν ποιο έχει περισσότερα και ποιο λιγότερα Γνωρίζουν ότι το σύνολο θα γίνει μεγαλύτερο/μικρότερο αν του προσθέσουμε/αφαιρέσουμε αντικείμενα (ανεξάρτητα από την ερμηνεία του Piaget στα έργα διατήρησης) Μερικές βέβαια φορές μπορεί και να υπεργενικεύσουν αυτή τη γνώση π.χ., σε κάποιες περιπτώσεις όταν τα παιδιά έχουν μπροστά τους ένα κουτί με 4 και ένα με 6 αντικείμενα, αν προσθέσουμε 1 στο κουτί με τα 4 καταλαβαίνουν ότι μεγάλωσε άλλα εμφανίζεται και η τάση να θεωρούν ότι τώρα έχει περισσότερα από το άλλο με τα 6 109
χαρακτηριστικά της μάθησης στο Νηπιαγωγείο Αναγνωρίζουν ότι ένας αριθμός αναπαριστά το πλήθος των αντικειμένων σε ένα σύνολο κι ότι ένας φυσικός αριθμός μπορεί να αναλυθεί σε επιμέρους φυσικούς αριθμούς. Επίσης σιγά σιγά χτίζουν την κατανόηση ότι μπορεί οι επιμέρους αριθμοί να είναι διαφορετικοί αλλά το όλον παραμένει το ίδιοι (δηλ. ότι 5=3+2=4+1). έτσι μαθαίνουν τους διάφορος συνδυασμούς που φτιάχνουν το 5 Τα νήπια κάνουν άμεση εκτίμηση μικρών συνόλων (<4) βασιζόμενοι όχι στην καταμέτρηση αλλά στην αντίληψη της χωρικής τους διάταξης subiwzing μπορούν να φανταστούν και να κρατήσουν στη μνήμη εργασίας τους πληθικότητες συνόλων μέχρι 6 (αντικειμένων, ήχων, κτλ.) δηλ. αν δουν πλήθος από τελείες τυπωμένες σε κάρτες (<6) για κάποια δευτερόλεπτα και μετά τις κρύψουμε, μπορούν να αναπαράγουν ισοπληθές σύνολο από τελείες, το ίδιο και με διακριτούς ήχους. 110
χαρακτηριστικά της μάθησης στο Νηπιαγωγείο Χρησιμοποιούν με ευχέρεια τα δάχτυλά τους για αναπαράσταση των αριθμών 1-5 και μπορούν να τα χρησιμοποιήσουν για να λύσουν απλά προβληματάκια με απλούς υπολογισμούς και αριθμούς μικρότερους του 5 Αναγνωρίζουν ποσότητες από 5 έως 10 αλλά σχετίζοντάς τις με το 5 (πχ., βλέπουν το 7 σαν 5+2). Η χρήση του πίνακα αριθμών με μήκος 5 είναι χρήσιμη στην ανάπτυξη αυτής της δεξιότητας Έχοντας κατακτήσει τη γνώση του 5 μπορούν να δουλέψουν και σε πίνακα με μήκος 5. Η κατανόηση του 10 είναι σημαντική γιατί είναι ο αμέσως επόμενος φυσικός αριθμός από το 9 αλλά γράφεται ως διψήφιος και δημιουργεί την πρώτη ομαδοποίηση σε δεκάδα. Τα νήπια μπορούν να κάνουν κάποιες εκτιμήσεις με μικρά ποσά, αλλά όχι με μεγάλα. π.χ., μπορούν να υπολογίσουν πόσα ανθρωπάκια μπορούν να χωρέσουν σε ένα αυτοκινητάκι αλλά όχι πόσα μολύβια μπορούν να κρατήσουν με τα δύο χέρια. 111
κάποιες συμβουλές στη διδασκαλία Ενθάρρυνση της χρήσης δαχτύλων για τη μάθηση των αριθμών πάνω από 5, και ειδικά στη χρήση τους σαν εξωτερικές αναπαραστάσεις που μπορούν να βοηθήσουν σε υπολογισμούς και πράξεις. η ενίσχυση αυτή γίνεται με επιδείξεις χειρονομιών που εμπλέκουν τα δάχτυλα, με τραγουδάκια μαζί με χειρονομίες κτλ. Παροχή εμπειριών σε κατά το δυνατόν πιο αυθεντικές καταστάσεις με νόημα στις οποίες γίνεται χρήση αναπαραστάσεων και η γνώση βιώνεται και μοντελοποιείται π.χ., ανταλλάσσουμε ισοπληθή πράγματα σε ανταλλακτικό παζάρι: 2 μολύβια και 1 γόμα για 3 μαρκαδόρους Παίζουμε το Μεγάλα και Μικρά Χέρια, όπου μετράμε πράγματα στην τάξη χρησιμοποιώντας χαρτόνια κομμένα σε μικρά και μεγάλα χέρια - έτσι εισάγονται τα παιδιά στην μέτρηση και στη σχέση αριθμού με ποσότητα/ μέγεθος 112
κάποιες συμβουλές στη διδασκαλία χρησιμοποιούμε παιχνίδια όπου το ίδιο πλήθος εμφανίζεται σε διαφορετικές διατάξεις στο χώρο Ενθάρρυνση της ανάπτυξης προσεγγίσεων με μεγαλύτερη ακρίβεια π.χ., ζητούμε από τα παιδιά να εκτιμήσουν πόσα βιβλία χωράνε στο ράφι και μετά τα βάζουμε μετρώντας τα και συζητάμε τις αποκλίσεις Ενισχύουμε τη χρήση αριθμών αναφοράς όταν κάνουν εκτιμήσεις, π.χ., θυμήσου πόσα περίπου ήταν τα 5 και υπολόγισε Ενθάρρυνση στην προσέγγιση πριν τον ακριβή υπολογισμό π.χ., θα είναι μεγαλύτερο από 5; μεγαλύτερο από 10; Ενίσχυση της κατανόησης του 5 ως βασικός αριθμός αναφοράς και μετά του 10. Η χρήση πινάκων με μήκος 5 και μετά 10 είναι χρήσιμη για την κατανόηση της σχέσης των άλλων αριθμών με αυτούς τους δύο. 113
Οπτική αναπαράσταση και χειροπιαστά αντικείμενα 114
Οπτική αναπαράσταση και χειροπιαστά αντικείμενα 115
κάποιες συμβουλές στη διδασκαλία παιχνίδια για την ανάλυση/σύνθεση των αριθμών δραστηριότητες ίσου διαμοιρασμού διαφόρων ποσοτήτων, μέσα από ρεαλιστικές καταστάσεις με νόημα εισαγωγή στο μέρος και στο όλο εισαγωγή στο μισό, π.χ., χωρίζουμε πράγματα στη μέση και τα ξαναδημιουργούμε Επένδυση στο μαθηματικό λόγο, στο διάλογο, στις εξηγήσεις, στην ανάπτυξη ατομικών στρατηγικών 116
κάποιες συμβουλές για τη διδασκαλία των πράξεων στο Νηπιαγωγείο να παρέχονται συνθήκες όπου να αναπτύσσεται διάλογος ανάμεσα στα παιδιά (με ή χωρίς τη δασκάλα) με μαθηματικό περιεχόμενο, όπου εκτίθενται οι διαφορετικές στρατηγικές και λύσεις, να εμφανίζονται λάθη και παρανοήσεις και ο πλούτος των διαφορετικών σωστών στρατηγικών στις πράξεις εστίαση στις προσεγγίσεις των αποτελεσμάτων των πράξεων π.χ., το αποτέλεσμα θα είναι μεγαλύτερο ή μικρότερο από 10; θα είναι πιο κοντά στο 5 ή στο 10; χρήση παιχνιδιών, βιωματικών δραστηριοτήτων, ιστοριών, κτλ. για την ενίσχυση των κινήτρων και αλλαγή των στάσεων για τα μαθηματικά χρήση αριθμογραμμών και πινάκων για να γίνει η αναλογία: η πράξη είναι κίνηση χρήση μοντέλων που ενισχύει την ανάλυση/σύνθεση των αριθμών και την αντιστροφή των πράξεων π.χ., 4+3=7 7=4+3 7-3=4 7-4=3 παροχή πολλών και διαφορετικών εμπειριών όπου οι ποσότητες είναι μικρότερες, μεγαλύτερες και ίσες με άλλες ποσότητες 117
παραδείγματα/δραστηριότητες περισσότερα/λιγότερα Έχουμε περισσότερα παιδιά με μακριά ή με κοντά μαλλιά στην τάξη; πρώτα να κάνουμε μια εκτίμηση πώς μπορούμε να το ξέρουμε σίγουρα; να μπούμε σε σειρά (ένα προς ένα αντιστοιχία) να μετρηθούμε πόσα όλα μαζί; έχουμε περισσότερα παιδιά με ρολόι ή χωρίς; γιατί όλα μαζί είναι το ίδιο; 118
η χρήση της αριθμογραμμής } } } } Στην ανάγνωση, όπως και σε άλλα πεδία της γνώσης, φροντίζουµε να βάζουµε τη γνώση µέσα σε πλαίσια ώστε µέσα από την εµπειρία, την πρακτική και την ανάλυση µέσα στο πλαίσιο αυτό, να αποκτηθεί η απαραίτητη γνώση. Στα µαθηµατικά, το πιο κατάλληλο πλαίσιο για την κατανόηση του αριθµού είναι η αριθµογραµµή Η αριθµογραµµή βοηθά στην κατανόηση του µεγέθους του αριθµού, µέσα από τη θέση του στην αριθµογραµµή } (π.χ., ποιους αριθµούς έχει δίπλα του κάθε αριθµός, κτλ.) Η κίνηση στην αριθµογραµµή αντιστοιχεί σε αύξηση/µείωση στην ποσότητα του αριθµού 119
αριθμός στην αριθμογραμμή } πόσο µεγάλο είναι το 8; } που βρίσκεται στην αριθµογραµµή; } πόσο µεγαλύτερο είναι από το 7; } πως σχετίζεται µε το 5 και µε το 10; Text h ps://www.teachingchannel.org/videos/mingle- count- a- game- of- number- sense 120