A A N A B P Y A 9 5 ΦΥΣΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ Η ενέργεια ταλάντωσης ενός κυλιόμενου κυλίνδρου Στερεό σώμα με κυλινδρική συμμετρία (κύλινδρος, σφαίρα, σφαιρικό κέλυφος, κυκλική στεφάνη κλπ) μπορεί να κυλίεται χωρίς να ολισθαίνει πάνω σε οριζόντιο επίπεδο. Ο άξονας συμμετρίας του παραμένει συνεχώς οριζόντιος και κάθετος στη σελίδα. Η μάζα του στερεού είναι: M, η ακτίνα του είναι: R, η ροπή αδράνειάς του ως προς τον άξονα συμμετρίας του είναι: I MR, με, ο συντελεστής στατικής τριβής μεταξύ του στερεού και της οριζόντιας επιφάνειας είναι: και η επιτάχυνση της βαρύτητας είναι: g. Το στερεό σώμα προσαρτάται στο ελεύθερο άκρο ενός αβαρούς και ιδανικού ελατηρίου, σκληρότητας, όπως φαίνεται στο παραπάνω σχήμα. Θέση ισορροπίας Στη θέση ισορροπίας, το ελατήριο είναι στο φυσικό του μήκος και στο σώμα ασκούνται μόνο η δύναμη του βάρους, Mg, και της κάθετης δύναμης από την οριζόντια επιφάνεια: N Mg. Στέλιος Χατζηθεοδωρίδης, Μάρτιος 4
Τυχαία θέση Έστω ότι το κέντρο μάζας του στερεού έχει απομακρυνθεί από τη θέση ισορροπίας κατά, ενώ το στερεό έχει στραφεί γύρω από τον άξονα συμμετρίας του κατά γωνία, τέτοια ώστε: R. Στο σχήμα δείχνουμε τις θετικές κατευθύνσεις της μεταφορικής και της στροφικής κίνησης καθώς και τις δυνάμεις που ασκούνται στο σώμα. Στη θέση αυτή το κέντρο μάζας κινείται με ταχύτητα και επιτάχυνση a, ενώ το στερεό στρέφεται με γωνιακή ταχύτητα και γωνιακή επιτάχυνση, τέτοια ώστε: R a R R Εξ.() Σύμφωνα με το θεμελιώδη νόμο του Newton για τη μεταφορική κίνηση: F F Ma Εξ.() Σύμφωνα με το θεμελιώδη νόμο του Newton για τη στροφική κίνηση του στερεού: Η Εξ.(3) γράφεται ισοδύναμα: R R I Εξ.(3) MR Ma Εξ.(4) Προσθέτοντας κατά μέλη τις εξισώσεις Εξ.() και Εξ.(4), υπολογίζουμε την επιτάχυνση του κέντρου μάζας σε συνάρτηση με την απομάκρυνσή του από τη θέση ισορροπίας: a M ή a M Εξ.(5) Στέλιος Χατζηθεοδωρίδης, Μάρτιος 4
Η Εξ.(5) από μόνη της αποτελεί τη συνθήκη για την απλή αρμονική ταλάντωση του κέντρου μάζας με γωνιακή συχνότητα, πλάτος A και αρχική φάση : a a M A t a t, A t, a A Εξ.(6) Από τη συνθήκη της κύλισης χωρίς ολίσθηση διασφαλίζεται και η απλή αρμονική ταλάντωση των στροφικών μεγεθών: a R t R, A R t, t, R Εξ.(7) Οι δυνάμεις και ροπές των δυνάμεων που ασκούνται στο σώμα είναι όλες ανάλογες της απομάκρυνσης του κέντρου μάζας από τη θέση ισορροπίας του: F F,, M R I Εξ.(8) Οι απαιτήσεις του φαινομένου σε στατικές τριβές έχουν όριο: αρμονική ταλάντωση με πλάτος A θα πρέπει να ισχύει: N Mg. Για απλή A Mg A Mg Εξ.(9) Στέλιος Χατζηθεοδωρίδης, Μάρτιος 4 3
Θεωρήματα μεταβολής των κινητικών ενεργειών Ο θεμελιώδης νόμος του Newton για τη μεταφορική κίνηση, αν ολοκληρωθεί ως προς το χρόνο, παράγει το θεώρημα μεταβολής της μεταφορικής κινητικής ενέργειας, K M : K W W F F W Εξ.() Ο θεμελιώδης νόμος του Newton για τη στροφική κίνηση, αν ολοκληρωθεί ως προς το χρόνο, παράγει το θεώρημα μεταβολής της στροφικής κινητικής ενέργειας, K I : K W W Εξ.() Το γεγονός ότι: R W Εξ.() W υποδηλώνει ότι η στατική τριβή είναι ένας μετατροπέας. Μεταφέρει κινητική ενέργεια από τη στροφική κίνηση στη μεταφορική κίνηση και τούμπαλιν. Δεν μετατρέπει ενέργεια σε θερμότητα, αφού εξάλλου το σημείο εφαρμογής της έχει ταχύτητα μηδέν. Αυτό είναι το περιεχόμενο της έκφρασης ότι το έργο της στατικής τριβής είναι μηδέν. Προσθέτοντας κατά μέλη τις εξισώσεις Εξ.() και Εξ.() παράγουμε το συνολικό θεώρημα μεταβολής της κινητικής ενέργειας, K K K M K W F Εξ.(3) Δεδομένου ότι η δύναμη από το ελατήριο είναι διατηρητική, η Εξ.(3) μας οδηγεί στο θεώρημα διατήρησης της ενέργειας, K U, όπου W F U και U. Σε ταλάντωση με πλάτος A, η ενέργεια διατηρείται και ισούται με Συνοψίζοντας: ~ K U M A, όπου M A. ~ M Εξ.(4) Στέλιος Χατζηθεοδωρίδης, Μάρτιος 4 4
Ασκήσεις επί χάρτου Σύμφωνα με τις εξισώσεις Εξ.(5), Εξ.(6) και Εξ.(4), το ενεργειακό περιεχόμενο του συστήματος και η απλή αρμονική ταλάντωση του κέντρου μάζας του συστήματος αντιστοιχούν σε απλή αρμονική ταλάντωση συστήματος ενός υλικού σημείου μάζας M ~ και ενός ελατηρίου σταθερής σκληρότητας. Η εξίσωση για το κέντρο μάζας του συστήματος F, M, θα μπορούσε να αντιστοιχεί σε ταλαντούμενο υλικό σημείο με μάζα M και σταθερή επαναφοράς. Πάντα μπορούμε να ορίσουμε μια συνάρτηση U, τέτοια ώστε: du d F και να την ονομάσουμε: «Δυναμική ενέργεια ταλάντωσης του κέντρου μάζας». Σε συνέχεια μπορούμε να ορίσουμε την «Ενέργεια ταλάντωσης του κέντρου μάζας»: K : U K U M M A t A t A Εξ.(5) R Όμοια, για τη στροφική κίνηση, I, μπορούμε να ορίσουμε μια συνάρτηση U τέτοια ώστε: du d και να την ονομάσουμε: «Δυναμική ενέργεια στροφικής ταλάντωσης». Σε συνέχεια μπορούμε να ορίσουμε την «Ενέργεια στροφικής ταλάντωσης»: K : U K U I M...Εξ.(6) A Εξ.(7) Τα παραπάνω αντιστοιχούν σε μαθηματικά ισοδύναμα επιμέρους κινήσεων του συστήματος που σε περιπτώσεις μπορεί να φανούν χρήσιμα. Το γεγονός ότι μπορούμε να ορίζουμε συναρτήσεις δίκην δυναμικών ενεργειών δε σημαίνει ότι έχουν και το πρέπον φυσικό περιεχόμενο να αντιστοιχούν σε πραγματικές διατηρητικές δυνάμεις, όπως π.χ. αυτήν ενός ιδανικού ελατηρίου. Στέλιος Χατζηθεοδωρίδης, Μάρτιος 4 5
Οι παρατηρητής του κέντρου μάζας Η προηγούμενη ανάλυση έγινε από ένα αδρανειακό παρατηρητή που κάθεται πάνω στην οριζόντια επιφάνεια. Παρόλο που ξεφεύγει από το πλαίσιο της εξεταστέας ύλης, βρίσκουμε ενδιαφέρον στο να δούμε τα πράγματα με τα μάτια του παρατηρητή που κάθεται στο κέντρο μάζας του κυλινδροειδούς, ο οποίος ονομάζεται παρατηρητής του κέντρου μάζας και είναι ο O. Εξάλλου η στροφική κίνηση του κυλινδροειδούς είναι μια κίνηση που βλέπει μόνο ο παρατηρητής O, ενώ ο αδρανειακός παρατηρητής βλέπει μια πολύπλοκη σύνθετη κίνηση, στην οποία κάθε υλικό σημείο του στερεού σώματος διαγράφει μια κυκλοειδή τροχιά. Σχέσεις, όπως π.χ. αυτή για την κινητική ενέργεια: K K K, αποκτούν μεγαλύτερο φυσικό περιεχόμενο όταν προσεγγίζονται στα πλαίσια της ανταλλαγής πληροφοριών για το υπό μελέτη σύστημα μεταξύ των δύο παρατηρητών. Ο παρατηρητής O περιγράφει το φαινόμενο με τη βοήθεια του παρακάτω σχήματος. Ο παρατηρητής O αναγνωρίζει για το κυλινδροειδές μόνο μία στροφική ταλάντωση γύρω από τον οριζόντιο άξονα που περνάει από το κέντρο μάζας και είναι κάθετος στη σελίδα. Βλέπει, επίσης, την οριζόντια επιφάνεια να εκτελεί απλή αρμονική ταλάντωση σε συνεργασία με τη στροφική ταλάντωση του κυλινδροειδούς, έτσι ώστε το κυλινδροειδές να μη γλιστράει πάνω στην οριζόντια επιφάνεια, το δε ελατήριο να παραμορφώνεται περιοδικά με την ίδια συχνότητα ταλάντωσης της οριζόντιας επιφάνειας. Ο παρατηρητής O είναι μη αδρανειακός και δέχεται την ύπαρξη ενός φαινομενικού ομογενούς πεδίου βαρύτητας g a, όπου a είναι η επιτάχυνση του κέντρου μάζας ως προς τον αδρανειακό παρατηρητή. Αντιγράφοντας από την εξίσωση Εξ.(6), At η μέγιστη παραμόρφωση του ελατηρίου. g όπου M και A Στέλιος Χατζηθεοδωρίδης, Μάρτιος 4 6
Με τα παραπάνω δεδομένα, ο παρατηρητής O προχωράει στην εφαρμογή των νόμων του Newton και την μαθηματική ανάλυση του φαινομένου. Το γεγονός ότι το κυλινδροειδές δεν γλιστράει πάνω στην οριζόντια επιφάνεια απαιτεί: R, R d dt και: R d dt, όπου είναι η παραμόρφωση του ελατηρίου. Το κέντρο μάζας παραμένει ακίνητο, οπότε ο θεμελιώδης νόμος της μηχανικής για τη μεταφορική κίνηση απαιτεί: F F Mg M A t, M Εξ.(8) Από την άλλη μεριά, εφαρμόζοντας το θεμελιώδη νόμο για τη στροφική κίνηση: R I MR d MR M Εξ.(9) dt Εξισώνοντας τις εξισώσεις Εξ.(8) και Εξ.(9) λαμβάνουμε: M d d M A dt dt t M M M At d dt M M At Εξ.() A R K. Η Εξ.() αποδεικνύεται ότι έχει λύση την: A t, οπότε: t και η κινητική ενέργεια του σώματος είναι: I MA t Ο αδρανειακός παρατηρητής δανείζεται αυτό το αποτέλεσμα και προσθέτοντάς το στην μεταφορική κινητική ενέργεια υπολογίζει την κινητική ενέργεια του σώματος. Στέλιος Χατζηθεοδωρίδης, Μάρτιος 4 7