ΜΕΛΕΤΗ ΛΕΙΤΟΥΡΓΙΑΣ ΚΑΤΑΛΥΤΙΚΟΥ ΜΕΤΑΤΡΟΠΕΑ ΜΕΣΩ ΜΕΡΙΚΩΝ ΔΙΑΦΟΡΙΚΩΝ

ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΗ ΔΙΠΛΩΜΑΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ ΒΛΗΣΙΔΟΥ ΑΝΝΑ Α.Μ 7 ΜΕΛΕΤΗ ΛΕΙΤΟΥΡΓΙΑΣ ΚΑΤΑΛΥΤΙΚΟΥ ΜΕΤΑΤΡΟΠΕΑ ΜΕΣΩ ΜΕΡΙΚΩΝ ΔΙΑΦΟΡΙΚΩΝ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Κατεύθυνση: Μαθηματικά Φυσικών και Βιομηχανικών Εφαρμογών Τριμελής εξεταστική επιτροπή: Επιβλέπων Καθηγητής : Μπούντης Αναστάσιος Καθηγητής κ. Δημήτριος Τσουμπελής και Αναπληρωτής Καθηγητής κ. Ιάκωβος βαν ντερ Βέϊλε ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ ΟΚΤΩΒΡΙΟΣ 8

ΠΡΟΛΟΓΟΣ Η παρούσα Μεταπτυχιακή Διπλωματική Εργασία προέκυψε από το ενδιαφέρον μου για περαιτέρω μελέτη ορισμένων προβλημάτων των Εφαρμοσμένων Μαθηματικών τα οποία διδάχθηκα στα πλαίσια του μεταπτυχιακού μαθήματος των Βιομηχανικών Μαθηματικών του Τμήματος Μαθηματικών του Πανεπιστημίου Πατρών. Τα προβλήματα αυτά εντάσσονται στον στόχο μου να εκπληρώσω τις απαιτήσεις για την απόκτηση Μεταπτυχιακού Διπλώματος Ειδίκευσης στα Εφαρμοσμένα Μαθηματικά με κατεύθυνση τα Βιομηχανικά Μαθηματικά. Ο λόγος που κίνησε το ενδιαφέρον μου είναι το γεγονός ότι τα θέματα αυτά συνδυάζουν αναλυτικές και αριθμητικές γνώσεις για την επίλυση μιας συγκεκριμένης κατηγορίας Μερικών Διαφορικών Εξισώσεων (Μ.Δ.Ε). Οι εξισώσεις αυτές χρησιμοποιούνται για την μελέτη του προβλήματος ελαχιστοποίησης ρυπογόνων αερίων, που εκπέμπονται από την εξάτμιση του αυτοκινήτου και τα Εφαρμοσμένα Μαθηματικά καλούνται να τις λύσουν με τρόπους που θα αναπτύξουμε στην Εργασία αυτή. Θέλω να ευχαριστήσω τον Καθηγητή μου, κ. Αναστάσιο Μπούντη για την καθοδήγησή του κατά την εκπόνηση της παρούσας Μεταπτυχιακής Διπλωματικής Διατριβής. Ευχαριστώ δε ιδιαιτέρως και τα άλλα δύο μέλη της Τριμελούς Εξεταστικής μου Επιτροπής: Τον Καθηγητή κ. Δημήτριο Τσουμπελή για τις ιδιαίτερα χρήσιμες υποδείξεις του σε θέματα Μερικών Διαφορικών Εξισώσεων και τον Αναπληρωτή Καθηγητή κ. Ιάκωβο βαν ντερ Βέϊλε για τα σχόλια και τις παρατηρήσεις του που οδήγησαν στην βελτίωση της παρούσας Διατριβής. Επιθυμώ επίσης να απευθύνω ευχαριστίες και σε πολλά άλλα μέλη Δ.Ε.Π. του Τμήματος Μαθηματικών, όπως οι κ.κ. Βασίλειος Παπαγεωργίου, Νικόλαος Καφούσιας, Παναγιώτης Σιαφαρίκας, Μιχάλης Βραχάτης, Σπύρος Πνευματικός, Σταύρος Κουρούκλης, Παύλος Λεντούδης, καθώς και την κα Χρυσούλα Κοκολογιαννάκη και την κα Ευφροσύνη Μακρή, οι οποίοι με δίδαξαν την αξία των Μαθηματικών και των εφαρμογών τους σε όλη τη διάρκεια των σπουδών μου Προπτυχιακών και Μεταπτυχιακών στο Πανεπιστήμιο Πατρών. Θέλω μάλιστα να εκφράσω τις ευχαριστίες μου και στον συνάδελφο κ. Στέλιο Δήμα για την πολύτιμη βοήθεια που μου προσέφερε στο υπολογιστικό μέρος της παρούσας εργασίας και συγκεκριμένα στον προγραμματισμό του ηλεκτρονικού υπολογιστή με το Mahemaica. Νιώθω ευγνωμοσύνη και πάντα θα θυμάμαι την Καθηγήτρια μου Ιωαννίδου Ελένη, που ενώ η υγεία της δεν ήταν σε καλή κατάσταση έδειχνε στους φοιτητές της μεγάλη αγάπη. Οι συμβουλές της ήταν πολύ σημαντικές στην επιλογή μου να ασχοληθώ με τα Εφαρμοσμένα Μαθηματικά. Με βοήθησε ηθικά και πρακτικά όποτε έβρισκα δυσκολίες, είχε δύναμη ψυχής και πάθος για την διδασκαλία.

ΠΕΡΙΛΗΨΗ Στo πρώτο κεφάλαιο της εργασίας αυτής περιγράφεται η τεχνολογία που έχει αναπτυχθεί για την αντιμετώπιση των εκπομπών των αυτοκινήτων. Κατόπιν γίνεται μια ανασκόπηση των τεχνολογιών που εφαρμόζονται για τον έλεγχο των στάσιμων πηγών ρύπων, όπου η ποικιλία και η ποσότητα των εκπομπών είναι πολύ μεγάλη. Περιγράφονται επίσης οι φυσικές και χημικές αρχές στις οποίες βασίζεται μια διαδικασία καταλυτικού μετατροπέα. Οι καταλυτικοί μετατροπείς σχεδιάζονται με στόχο την ελαχιστοποίηση της συγκέντρωσης των ρυπογόνων αερίων, όπως αυτή καταγράφεται σε μια προκαθορισμένη θέση, κατά μήκος της συσκευής. Στο δεύτερο κεφάλαιο διατυπώνεται το σύστημα Μερικών Διαφορικών Εξισώσεων (Μ.Δ.Ε.) του βασικού προτύπου και εξετάζεται το πρόβλημα βέλτιστου ελέγχου που ελαχιστοποιεί την συνάρτηση κόστους J(S) με την επιλογή της βέλτιστης συνάρτησης ελέγχου S(). Ο βέλτιστος έλεγχος είναι αυτός που ελαχιστοποιεί την παραγωγή των επικίνδυνων αερίων μέσω του καταλυτικού μετατροπέα. Το μαθηματικό πρότυπο προσεγγίζεται μέσω αναγωγής του στο πρόβλημα αρχικών και συνοριακών τιμών της εξίσωσης θερμότητας τόσο σε ημιάπειρο όσο και σε πεπερασμένο διάστημα, χρησιμοποιώντας τις κατάλληλες μεθόδους. Στη συνέχεια, στο Κεφάλαιο 3, που αποτελεί και το κεντρικό μέρος της παρούσας διατριβής, επιλύουμε το βασικό μοντέλο εξέλιξης της θερμοκρασίας του καταλυτικού μετατροπέα, μελετώντας την ομογενή εξίσωση θερμότητας T T σε μία διάσταση, με μη ομογενή αρχική συνθήκη T(,) T ( ), > και μη ομογενή συνοριακή συνθήκη της μορφής T(,) h(), >. Αναφερόμαστε σε μεθόδους επίλυσης διαφορετικών περιπτώσεων, μέσω της μεθόδου Μετασχηματισμού Fourier Ημιτόνου και Μετασχηματισμού Fourier Συνημιτόνου και της μεθόδου του Μετασχηματισμού Laplace, διαφωτίζοντας κάθε μία με παραδείγματα που καταδεικνύουν τα προτερήματα και μειονεκτήματά τους. Μελετάμε κατόπιν μέσω της μεθόδου Χωριζομένων Μεταβλητών την μη ομογενή εξίσωση της θερμότητας σε πεπερασμένο διάστημα <<L, T T f ( ). Κατόπιν, χρησιμοποιώντας στοιχεία από την όλη θεωρία που περιγράφηκε, επιλύουμε αναλυτικά, στο τέλος του Κεφαλαίου 3, το γραμμικοποιημένο μοντέλο του καταλυτικού μετατροπέα, κοντά σε μια κατάσταση ισορροπίας του και συζητάμε τη σημασία της λύσης του για την μελέτη της λειτουργίας του καταλύτη. Αναγνωρίζοντας ότι η πλήρης αναλυτική λύση του μοντέλου δίνεται μέσω μαθηματικών εκφράσεων που είναι δύσκολο να υπολογισθούν απ ευθείας, αναφερόμαστε στο Κεφάλαιο 4 σε ορισμένες πολύ σημαντικές αριθμητικές μεθόδους για την επίλυση της εξίσωσης της θερμότητας υπό διαφορετικές αρχικές και συνοριακές συνθήκες. Οι τεχνικές αυτές, που είναι γνωστές και ως μέθοδοι πεπερασμένων διαφορών, είναι επιτυχείς μόνο αν χαρακτηρίζονται από τις ιδιότητες της σύγκλισης (σε μοναδική λύση) και της ευστάθειας. Κλείνοντας το κεφάλαιο 4 παρουσιάζουμε το κριτήριο vo Neuma μέσω του οποίου μπορεί να εξασφαλισθεί στα προβλήματα αυτά η ευστάθεια και επομένως και η σύγκλιση των εν λόγω αριθμητικών μεθόδων. Τέλος, τα συμπεράσματά μας παρουσιάζονται στο Κεφάλαιο 5. 3

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Πρόλογος...Σελ. Περίληψη...3 Περιεχόμενα...4 ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο : ΚΑΤΑΛΥΤΙΚΟΣ ΜΕΤΑΤΡΟΠΕΑΣ. Εισαγωγή...6.. Τι είναι καταλυτικός μετατροπέας......7.. Δηλητηρίαση από Μόλυβδο...9..3 Πως λειτουργεί ο καταλυτικός μετατροπέας.......4 Μορφολογία τριοδικού καταλυτικού μετατροπέα......5 Ρύθμιση των τριοδικών καταλυτικών μετατροπέων......6 Φθορά των Καταλυτικών Μετατροπέων.. 5 ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΗ ΜΕΣΩ ΜΕΡΙΚΩΝ ΔΙΑΦΟΡΙΚΩΝ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ KAI ΛΟΓΙΣΜΟΥ ΜΕΤΑΒΟΛΩΝ. Παρουσίαση του προτύπου...6. Ένα πρόβλημα ελαχιστοποίησης...8.3 Ένα απλουστευμένο πρότυπο....3. Ο Λογισμός Μεταβολών...........3. Η Εξίσωση Euler-Lagrage...........3.3 Βέλτιστος έλεγχος και η εξίσωση θερμότητας στο ημιάπειρο διάστημα.4 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 Ο : ΜΕΡΙΚΕΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΕΠΙΛΥΣΗ ΤΟΥ ΠΡΟΤΥΠΟΥ 3. Η Εξίσωση θερμότητας και η φυσική της προέλευση......8 3. Μέθοδος επίλυσης Μ.Δ.Ε με μετασχηματισμό Fourier ημιτόνου...3 3.3 Μέθοδος επίλυσης Μ.Δ.Ε με μετασχηματισμό Fourier συνημιτόνου...36 3.4 Μετασχηματισμός Fourier ημιτόνου της μη ομογενούς εξίσωσης θερμότητας στο ημιάπειρο διάστημα με μη ομογενείς συνθήκες..39 3.5 Η χρήση του μετασχηματισμού Laplace για την επίλυση της εξίσωσης θερμότητας...44 3.6 Η ομογενής εξίσωση θερμότητας σε πεπερασμένο διάστημα <<L...49 3.7 Η αποκατάσταση της θερμικής ισορροπίας σε αμφίπλευρα μονωμένο στρώμα...56 3.8 Η μη ομογενής εξίσωση θερμότητας σε πεπερασμένο διάστημα <<L...59 3.9 Μη ομογενής εξίσωση θερμότητας με μη ομογενείς συνοριακές συνθήκες και το Πρόβλημα του Καταλυτικού Μετατροπέα... 64 3. Επίλυση του συστήματος Μ.Δ.Ε που περιγράφει την λειτουργία του καταλυτικού μετατροπέα.....66 3. Τα αποτελέσματα του μαθηματικού μοντέλου και η σημασία αυτών για την μελέτη της λειτουργίας του καταλύτη..7 4

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 Ο : ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΗ ΤΟΥ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΟΣ ΜΕΣΩ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΩΝ ΜΕΘΟΔΩΝ 4. Αριθμητικές μέθοδοι επίλυσης Μ.Δ.Ε. με εξισώσεις διαφορών... 75 4. Παρουσίαση της μεθόδου.75 4.3 Κριτήριο ευστάθειας του Vo Neuma.... 78 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 Ο : ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΑ...8 ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ...8 ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ A: Επίλυση Προβλημάτων με Mahemaica. 83 ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ B: Υπολογισμός Ολοκληρωμάτων με την μέθοδο Simpso 9 5

ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΚΑΤΑΛΥΤΙΚΟΣ ΜΕΤΑΤΡΟΠΕΑΣ. Εισαγωγή Το αυτοκίνητο και η βιομηχανία είναι οι κυριότερες ανθρωπογενείς πηγές ρύπανσης του αιώνα μας. Το 6% της ρύπανσης που εκπέμπει ένα αυτοκίνητο στο περιβάλλον προέρχεται από την εξάτμιση. Τα καυσαέρια των αυτοκινήτων αποτελούνται κυρίως από άζωτο ( N ), διοξείδιο του άνθρακα ( CO ), υδρατμούς ( HO), οξυγόνο ( O ), άκαυστους υδρογονάνθρακες ( CH y ), οξείδια του αζώτου ( NO, NO ). Στα καυσαέρια περιέχονται επίσης μικρές ποσότητες διοξειδίου του θείου ( SO ). Από αυτά σχετικά αδρανή (μη τοξικά) είναι τα N, O, HO και CO, ενώ τα NO, NO, CO, SO και οι άκαυστοι υδρογονάνθρακες, που προκαλούν αρνητικές επιπτώσεις στο περιβάλλον χαρακτηρίζονται περιβαλλοντικοί ρύποι. Το διοξείδιο του άνθρακα, CO, προκαλεί το φαινόμενο του θερμοκηπίου. Όπως ακριβώς το γυαλί του θερμοκηπίου επιτρέπει τις ηλιακές ακτίνες να περνούν μέσα, αλλά δεν επιτρέπει τη διαφυγή της θερμικής ακτινοβολίας προς τα έξω, έτσι και το CO δημιουργεί ατμόσφαιρα θερμομόνωσης. Με αυτό τον τρόπο αυξάνεται η μέση θερμοκρασία της Γης και προκαλούνται μεταβολές στο κλίμα. Το μονοξείδιο του άνθρακα CO, ο αποκαλούμενος «σιωπηλός δολοφόνος» (είναι άχρωμο, άοσμο, άγευστο), δεσμεύει την αιμογλοβίνη του αίματος και έτσι εμποδίζει τη μεταφορά του αίματος στους ιστούς προκαλώντας το θάνατο. Τα οξείδια του αζώτου NO, NO πλην του φωτοχημικού νέφους προκαλούν την όξινη βροχή. Επίσης προκαλούν το σχηματισμό του όζοντος O 3 στα χαμηλά στρώματα της ατμόσφαιρας (τροπόσφαιρα). Το όζον που βρίσκεται στην τροπόσφαιρα προκαλεί ισχυρούς ερεθισμούς στο αναπνευστικό σύστημα και στα μάτια. Η παρουσία του όζοντος στην στρατόσφαιρα είναι ωφέλιμη γιατί το όζον απορροφά την επικίνδυνη υπεριώδη (UV) ακτινοβολία. Οι ρύποι του αυτοκινήτου έχουν ως συνέπεια στο να βοηθούν να ελαττώνεται το ωφέλιμο όζον της στρατόσφαιρας (τρύπα όζοντος) και να αυξάνεται το επιβλαβές όζον της τροπόσφαιρας (φωτοχημική ρύπανση). ό ό NO NO O, O O O 3 Οι προσπάθειες για τον περιορισµό των ρύπων στα καυσαέρια των αυτοκινήτων άρχισαν από τα πρώτα έτη της δεκαετίας του 96. Στόχος των προσπαθειών ήταν (και εξακολουθεί να είναι) η κατασκευή ενός συστήµατος, το οποίο θα εξουδετέρωνε τους ρύπους (μονοξείδιο του άνθρακα - CO, υδρογονάνθρακες - CH και οξείδια του αζώτου - NO), που περιέχονται στα καυσαέρια, χωρίς βέβαια να μειώνεται η απόδοση των κινητήρων, ούτε να αυξάνεται η κατανάλωση του καυσίµου. Το σύστηµα που ανταποκρίθηκε στις παραπάνω απαιτήσεις και επικράτησε ήταν η καταλυτική επεξεργασία των καυσαερίων, που πραγματοποιείται με μια συσκευή που ακούει στο όνομα καταλυτικός μετατροπέας (Caalyic Coverer). 6

.. Τι είναι ο καταλυτικός μετατροπέας (βλ. []) Τοποθέτηση του καταλυτικού μετατροπέα στο σύστημα εξαγωγής των καυσαερίων των αυτοκινήτων Καταλυτικός μετατροπέας είναι μια συσκευή στο σύστημα εξαγωγής των καυσαερίων. Βρίσκεται, δηλαδή, στο σύστημα εξάτμισης του αυτοκινήτου, περίπου κάτω από τη θέση του οδηγού, ανάμεσα στην έξοδο της μηχανής και του σωλήνα αναρρόφησης εξάτμισης. Σκοπό έχει την μετατροπή των εκπεμπόμενων ρύπων σε αβλαβή για την ατμόσφαιρα καυσαέρια, όπως HOκαι CO. Κάθε καταλυτικός μετατροπέας περιέχει τους πραγματικούς καταλύτες, οι οποίοι είναι στοιχεία τα οποία επηρεάζουν μια χημική αντίδραση χωρίς να καταναλώνονται οι ίδιοι. Οι καταλύτες που χρησιμοποιούνται στους καταλυτικούς μετατροπείς μαζί με τη θερμότητα μετατρέπουν τα βλαπτικά στοιχεία των αερίων της εξάτμισης σε στοιχεία αβλαβή για το περιβάλλον. 7

Στα καυσαέρια των αυτοκινήτων εντοπίζονται τρεις ουσίες πολύ επικίνδυνες για την υγεία του ανθρώπου όπως προαναφέραμε: το μονοξείδιο του άνθρακα, οι άκαυστοι υδρογονάνθρακες και το μονοξείδιο του αζώτου. Δηλαδή, καθώς τα μολυσματικά αέρια ρέουν από την μηχανή, περνούν μέσω του καταλυτικού μετατροπέα και υποβάλλονται στις χημικές διαδικασίες από τις οποίες μετατρέπονται σε σχετικά αβλαβή αέρια. Αυτό επιτυγχάνεται με τα ευγενή μέταλλα που περιέχει, σε μορφή κόκκων, όπως η πλατίνα P, το παλλάδιο Pd και το ρόδιο Rh, διότι αυτά επιταχύνουν τις χημικές αντιδράσεις. Το σημαντικότερο σημείο μιας καταλυτικής εξάτμισης είναι το λεγόμενο υπόστρωμα ή φορέας του καταλύτη. Πρόκειται για ένα κυψελωτό διαπερατό πλέγμα, το οποίο είναι κατασκευασμένο από κεραμικό υλικό ή ατσάλι για να αντέχει στις υψηλότατες θερμοκρασίες που αναπτύσσονται κατά τις χημικές αντιδράσεις. Οι μικροσκοπικές τετραγωνικές τρύπες του πλέγματος καταλαμβάνουν το μεγαλύτερο όγκο της εξάτμισης. Περιέχουν ειδικές χημικές ουσίες, τους καταλύτες, οι οποίες επιταχύνουν τις χημικές αντιδράσεις και μετατρέπουν τα βλαβερά αέρια. Τα καυσαέρια, καθώς περνούν μέσα από τις κυψέλες όπου υπάρχει θερμοκρασία 3 C με 35 C βαθμούς, θέτουν σε λειτουργία τους καταλύτες. 8

Μια σειρά από αλυσιδωτές χημικές αντιδράσεις ξεκινά: Το παλλάδιο Pd και η πλατίνα P προκαλούν την οξείδωση του μονοξειδίου του άνθρακα, μετατρέποντάς το σε διοξείδιο του άνθρακα, ουσία ακίνδυνη για το περιβάλλον. Οι άκαυστοι υδρογονάνθρακες μετατρέπονται επίσης σε διοξείδιο του άνθρακα. Το ρόδιο Rh μετατρέπει τα οξείδια του αζώτου σε άζωτο, αέριο επίσης ακίνδυνο, που υπάρχει ελεύθερο στην ατμόσφαιρα... Δηλητηρίαση καταλύτη από το μόλυβδο Όμως ο μόλυβδος που περιέχεται στη βενζίνη καθώς και σε μερικά πρόσθετα καύσιμα που χρησιμοποιούν οι ιδιοκτήτες αυτοκινήτων, καταστρέφει σημαντικά τον καταλυτικό μετατροπέα σε βαθμό, ώστε να τον καθιστά εντελώς άχρηστο. Ο μόλυβδος αντιδρά με τα ευγενή μέταλλα μέσα στον καταλύτη εξουδετερώνοντας την ικανότητά τους να επιταχύνουν τις χημικές αντιδράσεις. Η κατανάλωση ενός γεμάτου ρεζερβουάρ βενζίνης με μόλυβδο, μπορεί να επηρεάσει σημαντικά την αποτελεσματικότητα του καταλύτη, χωρίς όμως η ζημιά να είναι ανεπανόρθωτη. Πολλά όμως γεμάτα ρεζερβουάρ με μολυβδούχο βενζίνη μπορεί να προκαλέσουν μόνιμη καταστροφή. Από τη στιγμή που ο καταλύτης δηλητηριαστεί από μόλυβδο, δεν θα εκτελεί τον σκοπό της λειτουργίας του, δηλαδή την αφαίρεση των ρυπαντών. Η απόδοση του αυτοκινήτου δεν θα επηρεαστεί αρχικά, εκτός εάν έχει καταστραφεί και ο λήπτης λάμδα (βλ. Παρ...5 πιο κάτω), πράγμα πιθανό, καθώς κάποιοι λήπτες είναι ευαίσθητοι στο μόλυβδο. Σε αυτήν την περίπτωση το αυτοκίνητο δεν θα λειτουργεί ομαλά και το ρελαντί δεν θα είναι σταθερό εξαιτίας της βλάβης στο σύστημα ρύθμισης του λήπτη λάμδα. Ο μόλυβδος στην εξάτμιση μπορεί να ανιχνευθεί με την βοήθεια ενός χημικά επεξεργασμένου χαρτιού το οποίο ακουμπάμε στις αποθέσεις που σχηματίστηκαν είτε στο σύστημα εξάτμισης είτε στον καταλύτη. Αυτό το χαρτί, υποδεικνύει την παρουσία μόλυβδου αλλάζοντας χρώμα. Για την επιτυχή λειτουργία του καταλύτη και τη μείωση των επικίνδυνων για την υγεία και το περιβάλλον ρυπαντών, οι κυριότερες δυσκολίες είναι οι εξής: Η διαδικασία αναγωγής των οξειδίων του αζώτου είναι αποτελεσματική μόνο όταν η καύση του μίγματος αέρα-καυσίμου είναι προβλεπόμενη (στοιχειομετρική). Η διαδικασία της μετατροπής των ρυπαντικών μπορεί να πραγματοποιηθεί κάτω από μια ελάχιστη επικρατούσα θερμοκρασία 3 C. Η πλατίνα ή και τα κράματα πλατίνα-ρόδιο ή πλατίνα-παλλάδιο είναι εξαιρετικά ευαίσθητα στον πρόσθετο μόλυβδο της βενζίνης, που χρησιμοποιείται για την αύξηση του βαθμού αντικροτικότητας. 9

α) Θερμοκρασία: Η θερμοκρασία διατηρείται σε υψηλές τιμές με τις χημικές αντιδράσεις που λαμβάνουν χώρα στο εσωτερικό του καταλύτη. Μια μέση θερμοκρασία λειτουργίας όταν το αυτοκίνητο κινείται εκτός πόλης είναι 4 C 5 C. Στην πόλη όμως λόγω του ότι ο κινητήρας εργάζεται παρατεταμένα στο ρελαντί αναπτύσσεται μεγαλύτερη θερμοκρασία που φθάνει μέχρι και 9 C. Κατά τα πρώτα λεπτά της λειτουργίας του και μέχρι να φθάσει σε αυτές τις θερμοκρασίες ο καταλύτης είναι ανενεργός. Με τον όρο ανενεργός εννοείται ότι καμιά μείωση στη ρύπανση δεν επιτυγχάνεται, αφού ο καταλύτης δεν μπορεί να επενεργήσει στις παραπάνω χημικές αντιδράσεις, που ήδη αναφέραμε. Ένας στόχος λοιπόν βελτίωσης στη λειτουργία του καταλύτη είναι η μεγαλύτερη δυνατή μείωση του χρόνου προθέρμανσης. β) Διάρκεια ζωής του καταλύτη Επομένως η διάρκεια ζωής του καταλύτη κατά ένα μεγάλο μέρος εξαρτάται από τα εξής: την αμόλυβδη βενζίνη, την θερμοκρασία και τη καύση του μίγματος...3 Πως λειτουργεί ο καταλυτικός μετατροπέας Η ιστορία των καταλυτικών μετατροπέων είναι πρόσφατη. Η πρώτη τους εμφάνιση έγινε στις ΗΠΑ (974) μετά από μία, δια νόμου, απαίτηση της μείωσης των εκπομπών των υδρογονανθράκων και του CO στην Καλιφόρνια την δεκαετία του 96. Η Ευρώπη άρχισε να εμπλέκεται στην παραγωγή και τη χρήση καταλυτών μόλις το 984, ενώ στην Ελλάδα άρχισαν να παρουσιάζονται το 987. Είδη καταλυτικού μετατροπέα: Τους καταλύτες ανάλογα με τον τρόπο λειτουργίας τους χωρίζουμε σε δύο μεγάλες κατηγορίες Oξειδωτικός καταλυτικός μετατροπέας (διοδικός) ονομάζονται έτσι επειδή οξειδώνει το μονοξείδιο του άνθρακα CO και τους άκαυστους υδρογονάνθρακες HC και τους μετατρέπει σε μη ρυπαντές. Επειδή οι ρυπαντές που οξειδώνει είναι δύο, λέγεται και διοδικός καταλύτης. Καταλύτες διπλής κλίνης, όπου ο οξειδωτικός καταλυτικός μετατροπέας συνδυάζεται με ένα αναγωγικό που καλείται να αντιμετωπίσει και τα οξείδια του αζώτου.

Τριοδικός καταλυτικός μετατροπέας ονομάζονται έτσι επειδή μετατρέπει και τους τρεις ρυπαντές, οξειδώνει όπως ο οξειδωτικός καταλύτης το μονοξείδιο του άνθρακα CO και τους άκαυστους υδρογονάνθρακες HC ενώ επιπλέον μετατρέπει τα οξείδια του αζώτου NO με αναγωγή σε άζωτο N...4 Μορφολογία τριοδικού καταλυτικού μετατροπέα Μεταλλικό εξωτερικό περίβλημα. Aπό ένα κεραμικό μονόλιθο. Ο μονόλιθος έχει κυψελοειδή μορφή με διαμήκη κανάλια (4 κανάλια/i) μέσα από τα οποία διέρχονται τα καυσαέρια. Το υλικό κατασκευής του μονόλιθου είναι κορδιερίτης, ένα ιδιαίτερα θερμοανθεκτικό υλικό, με σχεδόν μηδενικό συντελεστή θερμικής διαστολής.

Ενδιάμεση επίστρωση (wash coa). Πάνω στον μονόλιθο υπάρχει μια επίστρωση σε ποσότητα % κβ, στην οποία είναι υποστηριγμένες οι καταλυτικά ενεργές φάσεις. Ως ενδιάμεση επίστρωση επιλέγεται συνήθως η AlO3 υλικό που διαθέτει μεγάλη ειδική επιφάνεια. Στο στρώμα της AlO3 είναι συχνή και η χρησιμοποίηση ενισχυτών (όπως πχ, CeO, BaO, La O3, NiO ). Καταλυτικά ενεργές φάσεις. Ο τριοδικός καταλυτικός μετατροπέας χρησιμοποιεί ως καταλυτικά ενεργές φάσεις τα μέταλλα P πλατίνα, Pd παλλάδιο και Rh ρόδιο. Λήπτης λάμδα (λ). Ηλεκτροχημικού τύπου αισθητήρας οξυγόνου ο οποίος ελέγχει συνεχώς την συγκέντρωση του οξυγόνου στα καυσαέρια. Με την βοήθεια ενός ηλεκτρονικού συστήματος γίνεται αυτόματη ρύθμιση στην αναλογία καυσίμου προς αέρα στο σύστημα τροφοδοσίας του κινητήρα (καρμπυρατέρ)...5 Ρύθμιση των τριοδικών καταλυτικών μετατροπέων (TWC) Ο ρυθμιζόμενος τριοδικός καταλυτικός μετατροπέας καθιερώθηκε εδώ και πολλά χρόνια, ως το πιο αποτελεσματικό µέσο για τη μείωση των ρύπων των καυσαερίων. Σήμερα όλοι οι κύριοι καταλυτικοί μετατροπείς είναι ρυθμιζόμενοι, δηλαδή στο σύστημα της καταλυτικής επεξεργασίας των καυσαερίων υπάρχει ένα κλειστό σύστημα ρύθμισης της προετοιμασίας του καυσίµου µείγµατος. Η εγκατάσταση του TWC (τριοδικός καταλυτικός μετατροπέας) στο αυτοκίνητο συνοδεύεται από ένα ειδικό κλειστό σύστημα ελέγχου που απαρτίζεται από τον λήπτη λάμδα (λ) και ένα ηλεκτρονικό σύστημα όπου ρυθμίζεται συνεχώς ο λόγος αέρα/καυσίμου στον κινητήρα. Έτσι, ο κινητήρας λειτουργεί μέσα σε ένα στενό πεδίο τιμών του λάµδα ( ) και ο κυρίως καταλυτικός μετατροπέας εξουδετερώνει σε μεγάλο βαθμό τους ρύπους που περιέχονται στα καυσαέρια. Η χημική διάρκεια ζωής του καταλύτη του καταλυτικού μετατροπέα, δηλαδή η ικανότητά του να εξουδετερώνει τους ρύπους των καυσαερίων μειώνεται µε την πάροδο του χρόνου. Κατά κανόνα, η αποτελεσματικότητά του είναι ικανοποιητική κατά τα πρώτα. Km κίνησης του αυτοκινήτου. Από αυτό το σημείο και μετά η ικανότητα κατάλυσης των καυσαερίων μπορεί να πέσει απότομα. Το σύστημα διατηρεί στον κινητήρα την ανάμιξη αέρα-καυσίμου σε στοιχειομετρική αναλογία με βάση την αντίδραση τέλειας καύσης ενός υδρογονάνθρακα C H y. Έτσι το μονοξείδιο του άνθρακα και τα υπολείμματα από άκαυστους υδρογονάνθρακες καίονται προς διοξείδιο του άνθρακα με τη βοήθεια ευγενών μετάλλων όπως η πλατίνα P ή το παλλάδιο Pd:

Χημικές αντιδράσεις οξείδωσης: 4 /4 CHy y O CO y HO CO O CO Ενώ, τα οξείδια του αζώτου NO, NO ανάγονται με τη βοήθεια του ροδίου Rh διασπώνται προς άζωτο και οξυγόνο: NO N O Χηµικές αντιδράσεις αναγωγής: NO CO N CO ( y ) NOCHy ( y ) N CO y HO NO H N H O Για τα καύσιμα που χρησιμοποιούνται στην πράξη, ο στοιχειομετρικός λόγος Α/F είναι περίπου ίσος με 4.7. (π.χ CH 7 3, CH 7 4 ). Κατά τη διαδικασία παραγωγής των καταλυτικών μετατροπέων γίνεται ποιοτικός έλεγχος των εξαρτημάτων τους. Οι πιο βασικοί έλεγχοι που γίνονται είναι : - Έλεγχος του εύρους του κενού μεταξύ του μονόλιθου και του κελύφους. - Μέτρηση και των τριών διατάσεων, σε ειδική συσκευή. - Έλεγχος της στεγανότητας, μέσα σε ειδική δεξαμενή µε νερό. Αισθητήρας λάμδα λ: Το πηλίκο της πραγματικής προς την στοιχειομετρική αναλογία αέρα-καυσίμου το ονομάζουμε δείκτη λ (ή λόγο ισοδυναμίας λ). AF ( AF) soic 3

Για λ> το μίγμα χαρακτηρίζεται φτωχό (σε καύσιμο), ενώ για λ< πλούσιο. Η περιοχή βέλτιστης λειτουργίας ονομάζεται παράθυρο λ. Ο λήπτης λ στην είσοδο του καταλυτικού μετατροπέα, ανιχνεύει το O, και σε κάθε απόκλιση από την στοιχειομετρική αναλογία (λ=) ενεργοποιεί αυτόματα μια μεταβολή στην ανάμιξη αέρα-καυσίμου στο σύστημα τροφοδοσίας του κινητήρα. Ο αισθητήρας λάµδα σε συνεργασία µε τον καταλυτικό μετατροπέα φροντίζει, ώστε τα ποσοστά των ρύπων στα καυσαέρια να παραµένουν κάτω από τα επιτρεπτά όρια τιµών. Είναι διαρκώς εκτεθειµένος σε υψηλές θερµοκρασίες, σε χηµικές επιδράσεις και σε µηχανικές καταπονήσεις (δονήσεις). Γι αυτό το λόγο φθείρεται εύκολα και πρέπει να ελέγχεται σε τακτά χρονικά διαστήµατα. Ο αισθητήρας λάµδα δεν μετράει απευθείας τις τιµές των ρύπων που περιέχονται στα καυσαέρια, αλλά τις προσδιορίζει, μετρώντας την ποσότητα του οξυγόνου που περιέχεται σ αυτά. Η ποσότητα του οξυγόνου που περιέχεται στα καυσαέρια είναι ανάλογη µε τη σύσταση του καυσίµου µείγµατος, το οποίο έχει εισαχθεί στον κινητήρα και έχει καεί. Άρα, ο αισθητήρας λάµδα μετράει εκ των υστέρων και µε έµµεσο τρόπο τη σύσταση του µείγµατος αέρα βενζίνης. Αν το µείγµα καυσίµου που κάηκε ήταν φτωχό, τότε και στα δύο ηλεκτρόδια από πορώδη πλατίνα θα εισέρχεται μεγάλος αριθμός µορίων οξυγόνου. Έτσι θα αναπτύσσεται µία τάση πολύ μικρής τιμής (της τάξης των mv) μεταξύ των ηλεκτροδίων και µέσω του πορώδους σώματος ZrO του αισθητήρα, το οποίο στις υψηλές θερμοκρασίες (πάνω από 35 C) γίνεται αγώγιμο, θα διέρχονται ελάχιστα φορτία. Η τάση (αναλογικό σήμα) των mv μεταφέρεται από τον αισθητήρα, µέσω του θετικού ηλεκτροδίου, στην ηλεκτρονική μονάδα ελέγχου του συστήµατος τροφοδοσίας, η οποία «μεταφράζει» την πληροφορία αυτή ως καύση φτωχού µείγµατος. Στο πλούσιο µείγµα η ποσότητα της βενζίνης είναι περισσότερη απ ό,τι στη στοιχειομετρική αναλογία. Έτσι, στους κυλίνδρους του κινητήρα θα καεί ολόκληρη σχεδόν η ποσότητα του οξυγόνου. Τότε, λόγω της μεγάλης διαφοράς συγκέντρωσης ηλεκτρικών φορτίων στα δύο ηλεκτρόδια, αναπτύσσεται µία ηλεκτρική τάση 8 mv περίπου (από 75 έως 9 mv). Επίσης, παρατηρείται μεγάλη κίνηση ιόντων από εσωτερικό ηλεκτρόδιο (+), µέσω του πορώδους στρώματος ZrO του αισθητήρα, προς το εξωτερικό ηλεκτρόδιο (-). Η τάση των 8 mv μεταφέρεται στην ηλεκτρονική μονάδα ελέγχου ως πληροφορία πλούσιου µείγµατος. Η λειτουργικότητα των καταλυτικών μετατροπέων συνηθίζεται να παρουσιάζεται σε διαγράμματα θερμοκρασίας έναυσης. 4

Θερμοκρασία έναυσης: Η θερμοκρασία που αντιστοιχεί σε 5% μετατροπή του ρύπου. Όσο καλύτερος είναι ένας καταλυτικός μετατροπέας, τόσο χαμηλότερη θα είναι η τιμή των θερμοκρασιών έναυσης που επιτυγχάνει...6 Φθορά των καταλυτικών μετατροπέων Η απόδοση ενός καταλυτικού μετατροπέα υποβαθμίζεται με τον χρόνο εξαιτίας της θερμικής γήρανσης. I. Η λειτουργία ενός TWC (τριοδικός καταλυτικός μετατροπέας) σε υψηλές θερμοκρασίες προκαλεί σοβαρή υποβάθμιση της απόδοσής του. II. III. Οι υψηλές θερμοκρασίες ευνοούν την συσσωμάτωση των κρυσταλλιτών των ευγενών μέταλλων και έτσι την ελάττωση της ενεργής επιφάνειας του καταλύτη. Ευνοείται και μια κραματοποίηση του ροδίου Rh με το παλλάδιο Pd, όπου το προκύπτον κράμα εμφανίζει σημαντικά μειωμένη δραστικότητα και εκλεκτικότητα στις σχετικές αντιδράσεις. 5

ΚΕΦΑΛΑΙΟ o : ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΗ ΜΕΣΩ ΜΕΡΙΚΩΝ ΔΙΑΦΟΡΙΚΩΝ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ ΚΑΙ ΛΟΓΙΣΜΟΥ ΜΕΤΑΒΟΛΩΝ (βλ Βιβλιογρ. [],[]). Παρουσίαση του προτύπου Λόγω των νέων κυβερνητικών κανονισμών για τον έλεγχο εκπομπής των αερίων της εξάτμισης ενός αυτοκινήτου, είναι αναγκαία η βελτίωση της απόδοσης των καταλυτικών μετατροπέων. Ο στόχος είναι να προβλέψουμε την μεταβατική εκπομπή αερίων στην έξοδο των καταλυτικών μετατροπέων, δεδομένου της εξόδου της μηχανής. Αυτό που θα μας απασχολήσει κυρίως από τη πλευρά της εκπομπής αερίων και της θερμικής πίεσης είναι η προθέρμανση (που προκαλεί το μεγαλύτερο ποσό ρύπανσης) συνεχούς βαρέως φορτίου και το πρόβλημα ανάφλεξης της μηχανής. Ένας σύγχρονος μετατροπέας είναι συνήθως ένας κεραμικός μονόλιθος (δηλαδή, ένα κομμάτι κεραμικού), που συνιστά έναν σωληνοειδή αντιδραστήρα. Το αέριο ρέει μέσα από τα περάσματα και αντιδρά στην επιφάνεια των σωληνοειδών τοιχωμάτων. Ο καταλυτικός μετατροπέας που μελετάμε είναι βασισμένος στην αντίδραση οξείδωσης του CO, των υδρογονανθράκων και του. Οι αντιδράσεις οξείδωσης είναι: CO+ O CO, 9 CH 3 6 O 3CO 3HO, () H O HO. Το προπένιο CH 3 6 αντιπροσωπεύει τα είδη υδρογονανθράκων των οποίων οι αντιδράσεις είναι αρκετά γρήγορες για να είναι σημαντικές στην μοντελοποίηση. Έστω i= αντιπροσωπεύει το CO, i= για CH 3 6, i=3 για H, i=4 O. Τα συγκεκριμένα ποσοστά αντίδρασης R i για την οξείδωση του CO, CH 3 6, και H έχουν την μορφή: R kcc G (i=,,3). () i i i 4 / Όπου c i είναι η συγκέντρωση των i-οστών ειδών και το G δίνεται από τον πειραματικό τύπο:.7 3 4 NO GT K c K c K c c K c (3) 6

c NO είναι η συγκέντρωση του NO (μονοξείδιο του αζώτου) και ki όπου εξαρτώνται μόνο από την θερμοκρασία Τ : k, k, K 4 αυξάνονται μονοτονικά στο Τ και K, K, K 3 μειώνονται μονοτονικά στο Τ. Οι περισσότεροι καταλυτικοί μετατροπείς σχεδιάζονται για να λειτουργούν στη στοιχειομετρικά ισορροπημένη αναλογία αέρα/καύσιμα για την ταυτόχρονη μετατροπή του μονοξειδίου του άνθρακα, των υδρογονανθράκων και των νιτρικών οξειδίων στην εξάτμιση του αυτοκινήτου. Αυτό σημαίνει ότι υπάρχει διατήρηση μάζας και ενέργειας, η οποία λαμβάνοντας υπόψη την σχέση (), παίρνει τη μορφή: R.5R 4.5R.5R (4) 4 3 K j Έστω T g = θερμοκρασία του αερίου T s = θερμοκρασία του στερεού c gi = συγκέντρωση των ειδών i στο μαζικό ρεύμα αερίου. c = συγκέντρωση των ειδών i στη στερεά επιφάνεια. si Εάν αγνοήσουμε από κανάλι σε κανάλι τις μεταβολές μέσα στον μετατροπέα και θεωρήσουμε ως την μεταβλητή του μήκους των παράλληλων σωλήνων, τότε ισχύει το ακόλουθο σύστημα των μερικών διαφορικών εξισώσεων (Μ.Δ.Ε.): 3 T T CT ht T T a R T c s s, s g g s j s s j Tg w h T T T g s g (5) (6) cgi w K T c c mi g gi si, i,..., 4 (7) για, >, όπου = είναι το αρχικό σημείο του μετατροπέα. Υποθέτουμε ότι ο μετατροπέας είναι πολύ μακρύς, δηλαδή επεκτείνεται σε ολόκληρο το διάστημα. Η χημεία μεταξύ των αερίων της στερεάς επιφάνειας και της μαζικής ροής αερίου εκφράζεται από τις αλγεβρικές εξισώσεις: K T c c ar T c g s, s mi gi si i, i,...,4 (8) 7

Εδώ α είναι ο συντελεστής δραστηριότητας καταλυτών, R j είναι ο ρυθμός αντίδρασης που καθορίζεται στις ()-(4), το h είναι ο συντελεστής μεταφοράς CT είναι η ειδική θερμότητα του στερεού, K mi είναι ο συντελεστής μαζικής μεταφοράς για τα είδη i, θερμότητας, s και w είναι ρυθμός μαζικής ροής, λόγω της διατήρησης της μάζας, το w δεν εξαρτάται από το, δηλαδή w=w(). Η συνάρτηση w() είναι γνωστή. Μας δίνονται επίσης οι συνοριακές τιμές των T s, T g και g c, στο =, > (9) και το αρχικό στοιχείο: T s στο = για κάθε () T s στο =, εκφράζει τη θερμοκρασία περιβάλλοντος που είναι συνήθως μια σταθερά. Το σύστημα ()-() έχει πολλά κοινά χαρακτηριστικά γνωρίσματα με το σύστημα εξισώσεων διάχυσης. Η θερμοκρασία T s στο στερεό υπόκειται στη διάχυση (όπως στη συνηθισμένη περίπτωση της εξίσωσης θερμότητας). Εντούτοις, στην μαζική ροή του αερίου η ταχύτητα ροής είναι τόσο μεγάλη, που η διάχυση της θερμοκρασίας του αερίου μπορεί να αγνοηθεί.. Ένα πρόβλημα ελαχιστοποίησης Οι καταλυτικοί μετατροπείς σχεδιάζονται με στόχο την ελαχιστοποίηση της συγκέντρωσης των ρυπογόνων αερίων, όπως μετρήθηκε σε μια προκαθορισμένη θέση για παράδειγμα =L, κατά μήκος της συσκευής. Εδώ εξετάζουμε αυτό το πρόβλημα στη σημαντικότερη περίπτωση που θεωρείται ότι είναι η χρονική περίοδος της προθέρμανσης. Μελετάμε, κατ αρχάς το πρόβλημα, όταν η μηχανή είναι κρύα, για παράδειγμα Ts 3 (σε K). Σε τέτοια χαμηλή θερμοκρασία ο ρυθμός αντίδρασης είναι πολύ μικρός, και συνεπώς, ο μετατροπέας δεν αποδίδει αποτελεσματικά στη μετατροπή των ρυπογόνων αερίων στα σχετικά αβλαβή. Για να επιταχύνουμε το ρυθμό μετατροπής τους, μπορούμε τεχνητά να αυξήσουμε τη θερμοκρασία στο σημείο =, για τον λόγο αυτό θεωρούμε την συνάρτηση: T 3 S() S, s, () όπου η συνάρτηση () S είναι κατά τμήματα συνεχής και ονομάζεται συνάρτηση ελέγχου. 8

Υποθέτοντας ότι τα μεγέθη μας είναι πεπερασμένα επιβάλουμε μερικούς περιορισμούς στο S (), για παράδειγμα Sd () M, S () N, για () όπου με δηλώνεται η διάρκεια του διαστήματος προθέρμανσης, ενώ τα Μ, Ν είναι δοσμένες θετικές σταθερές. Ο στόχος μας είναι να μειώσουμε τη συγκέντρωση c gi στο =L. Δεδομένου ότι κάθε είδος αερίου υπεισέρχεται με διαφορετικό τρόπο σε μια δοκιμή ελέγχου ρύπανσης, αυτό που θέλουμε να ελαχιστοποιήσουμε είναι μια έκφραση της μορφής: 3 cgj( L, ) d () j j όπου τα j είναι κάποιες καθορισμένες θετικές σταθερές. Για κάθε επιλογή του ελέγχου S, πρέπει να λύσουμε το σύστημα (5)-() και μετά να υπολογίσουμε την έκφραση στην (), την οποία ονομάζουμε JS ( ), δηλαδή: 3 J ( S) c ( L, ) d (3) j j gj την οποία αποκαλούμε συνάρτηση κόστους. Για το σκοπό αυτό, εισάγουμε το σύνολο συναρτήσεων ελέγχου: A{ S( ), }, και S ( ) N, Sd ( ) M (4) Έπειτα ενδιαφερόμαστε για την επίλυση του ακόλουθου προβλήματος βέλτιστου ελέγχου: mi imize J ( S) (5) SA 9

.3 Ένα απλουστευμένο πρότυπο Το πλήρες πρόβλημα ελέγχου για το πρότυπο ()-(5) είναι ιδιαίτερα δύσκολο και περιλαμβάνει πολύ εντατικούς υπολογισμούς. Αυτό που θέλουμε να κάνουμε εδώ είναι να εξεταστεί μια απλούστερη εκδοχή του (5)-(), που διατηρεί ακόμα τις σημαντικές πτυχές του πλήρους προτύπου και μπορεί να αναλυθεί μέσω απλών μαθηματικών μοντέλων. Υποθέτουμε ότι ο συντελεστής μεταφοράς θερμότητας ht g στο (6) και ότι υπάρχει μόνο ένα είδος, με συγκέντρωση c, c cs στο στερεό και c cg στον όγκο αερίου. Παίρνουμε το ρυθμό αντίδρασης να είναι:, 3 RR T c T c s s s s Κατά συνέπεια στην κρύα μηχανή, ο ρυθμός αντίδρασης είναι μηδέν, και αυξάνει γραμμικά με τη θερμοκρασία. ( ), Υποθέτουμε επίσης ότι:, =, CT K, και θέτουμε: T T s 3, g οπότε το σύστημα (5)-(8) ανάγεται στο s mi w u c, με u u(,) T T Tc s u u c s (6) (7) (8) u c Tc Από την τελευταία εξίσωση λαμβάνουμε: s u T cs. Αντικαθιστώντας αυτό στις (6) και (7) λαμβάνουμε: s T T T u,, T (9) u T u T, (),

Έχουμε επίσης την αρχική συνθήκη: T(,) () και τις συνοριακές συνθήκες: u(,) u ή ά () T(,) S() (3) όπου u είναι η συγκέντρωση του αερίου που εισάγεται στον μετατροπέα. Επιβάλλοντας ορισμένες ακόμα απαραίτητες συνθήκες στο T(,) καθώς, δεχόμαστε για οποιοδήποτε χρονικό διάστημα, T(, ), (4) ομοιόμορφα στο για. Τέλος επισημαίνουμε ότι πρέπει να μελετηθεί το πρόβλημα του βέλτιστου ελέγχου (5) για το σύστημα (9)-(4), όπου: JS ( ) uld (, ) (5) Στη συνέχεια αναφέρουμε ορισμένες βασικές έννοιες από τον λογισμό μεταβολών και τη θεωρία ελέγχου..3. Ο Λογισμός των Μεταβολών (βλ Βιβλιογρ. [], [9]) Ο λογισμός μεταβολών αποτελεί μια γενίκευση της θεωρίας των μεγίστων και ελαχίστων. Ας εξετάσουμε κατ αρχάς την γνωστή θεωρία. Πρόκειται για το πρόβλημα να βρούμε αν μια δοθείσα συνεχής συνάρτηση f(,y, ) σε δοθείσα κλειστή περιοχή G, έχει ένα σημείο (, y,...) στη G τέτοιο ώστε η f να έχει ακρότατο εκεί, δηλαδή ένα μέγιστο ή ελάχιστο ως προς όλα τα σημεία του G σε μια γειτονιά του (, y,...). Το πρόβλημα αυτό έχει πάντα λύση, σύμφωνα με το θεώρημα Weirsrass, το οποίο μας λέει ότι: Κάθε συνεχής συνάρτηση σε κλειστή περιοχή G έχει μια μέγιστη και μια ελάχιστη τιμή στο εσωτερικό ή στο όριο του G. Ένα σημαντικό πρόβλημα είναι να προσδιορίσει κανείς τα μερικά ή τοπικά μέγιστα ή ελάχιστα (επίσης τα αποκαλούμενα ακρότατα) μιας συνάρτησης f(,y). Για να βρούμε τα σημεία όπου το τοπικό ακρότατο της μπορεί να εμφανιστεί, θέτουμε τα f / y (, ), f/ yy (, ),... ίσο με μηδέν και λύνουμε ως προς (,y, ). Με άλλα λόγια ψάχνουμε τα σημεία (, y,...) στα οποία η παράγωγος κατά κατεύθυνση της f σε όλες τις κατευθύνσεις είναι μηδέν. Ο λογισμός μεταβολών διαπραγματεύεται το πρόβλημα μεγίστου και ελαχίστου ενός συναρτησοειδούς στο χώρο συναρτήσεων. Λέγοντας συναρτησοειδές εννοούμε ένα μέγεθος του οποίου η τιμή εξαρτάται από την μεταβολή μιας ή περισσοτέρων συναρτήσεων, και όχι εν γένει από έναν αριθμό μεταβλητών.

Ένα από τα πρώτα προβλήματα στον λογισμό μεταβολών ήταν ένα πρόβλημα που προτάθηκε από τον Joha Beroulli κοντά στο τέλος του δεκάτου εβδόμου αιώνα. Υποθέστε ότι δύο σημεία καθορίζονται σε ένα κατακόρυφο επίπεδο, η δε καμπύλη που τα ενώνει είναι τέτοια ώστε ένα σημείο μάζας m που γλιστρά στην καμπύλη χωρίς τριβή από το υψηλότερο στο χαμηλότερο σημείο κάτω από την επιρροή της βαρύτητας θα το κάνει αυτό στο πιο σύντομο δυνατό χρονικό διάστημα. Αυτό το πρόβλημα καλείται πρόβλημα βραχυστοχρόνου από τις ελληνικές λέξεις που σημαίνουν: τον πιο σύντομο χρόνο. Μια μαθηματική του διατύπωση λαμβάνεται ως εξής: Αφήστε ένα σημείο μάζας m να κινηθεί κατά μήκος οποιασδήποτε καμπύλης που δίνεται από την συνάρτηση y=y(). ds Η ταχύτητα υ του σημείου δίνεται από:, d Κατά συνέπεια : ds d dy ( y) d = g y g y g y m mgy δηλαδή = g y Ο συνολικός χρόνος που απαιτείται για να φθάσει στο τελικό σημείο A(, y ) από το αρχικό σημείο (,) είναι : ( y) T d g y Κατά συνέπεια το Τ είναι ένα συναρτησιακό της καμπύλης y() που συνδέει τα δύο σταθερά σημεία (,) και Α. d Θέτοντας ( y) g y f ( yy, ) μπορούμε να θέσουμε το πρόβλημα βραχυστοχρόνου ως εξής: Μεταξύ όλων των ομαλών συναρτήσεων y() που ικανοποιούν τις y() και y( ) y, αναζητούμε αυτές που αποτελούν ακρότατα (μέγιστα ή ελάχιστα) του συναρτησιακού: J ( y ( )) f( y ( ), y( )) d

.3. Η εξίσωση Euler-Lagrage (βλ Βιβλιογρ.[], [9]) Μπορούμε να δώσουμε μια γενική και εκτεταμένη απάντηση στα προβλήματα αυτού του είδους, ως εξής Επιθυμούμε να καθορίσουμε αυτή τη συνάρτηση y=y() που μεγιστοποιεί (ή ελαχιστοποιεί) το συναρτησιακό: (6) I f ( y, ( ), y( )) d υπό τις συνθήκες: y ( ) y, y ( ) y. Υποθέτουμε ότι υπάρχει μια συνάρτηση y(), που καθιστά το Ι ακρότατο. Πρόκειται να διαφορίσουμε το Ι στην κατεύθυνση μιας (αυθαίρετης) συνάρτησης η(). Παίρνουμε την η() να είναι διαφορίσιμη και να ικανοποιεί τις συνθήκες: ( ), ( ). Εξετάζουμε τώρα τη γειτονική καμπύλη στο y(): Y(, ) y( ) ( ) Έχουμε: Y(, ) y, Y(, ) y και Y(,) y( ). Δεδομένου ότι μεταβάλλουμε το ε, λαμβάνουμε την οικογένεια καμπυλών που περνούν μέσω των σταθερών σημείων: (, y ) και (, y ). Θεωρώντας το συναρτησιακό Ι ως συνάρτηση Ι(ε) του ε: I() f ( y, ( ) ( ), y( ) ( )) d υποθέτουμε ότι το Ι είναι ακρότατο για ε=, οπότε θέτουμε: di d f Υποθέτοντας ότι οι παράγωγοι και y παραγοντική ολοκλήρωση: f είναι συνεχείς, λαμβάνουμε από την y f f f f d f I() d d d y y y y d y Δεδομένου ότι ( ) ( ), λαμβάνουμε: f d f I() () d y d y 3

Δεδομένου ότι η ποσότητα στην αγκύλη είναι ανεξάρτητη από την επιλογή του η() και η() είναι αυθαίρετο, καταλήγουμε στο συμπέρασμα ότι η βαλμένη σε παρένθεση έκφραση πρέπει να είναι μηδέν. Κατά συνέπεια μια απαραίτητη συνθήκη για τη συνάρτηση y() να είναι ακρότατο του συναρτησιακού. I f(, y( ), y( )) d (υπό τις συνθήκες y ( ) y, y ( ) y) είναι αυτό το y() ικανοποιεί την αποκαλούμενη εξίσωση Euler (ή Euler-Lagrage) εξίσωση: d f f d y y (6).3.3 Βέλτιστος έλεγχος και η εξίσωση θερμότητας στο ημιάπειρο διάστημα (βλ Βιβλιογρ. []) Σε αυτή τη παράγραφο αντικαθιστούμε το (9) με την εξίσωση θερμότητας: T T, (7), Η βασική υπόθεση εδώ είναι ότι θεωρούμε το αλλά και το T(, ) «μικρά» υποθέτοντας όπως στην (4), ότι T(, ), εάν. Η λύση του προβλήματος δίνεται από τον αντιπροσωπευτικό τύπο (9) του εδαφίου 3.9, πιο κάτω: 4( a) 3 e T(, ) S() a da (8) 4 ( a) Έπειτα απλοποιούμε το συναρτησιακό J(S) της (5) με την αντικατάσταση του από: JS ( ) dy (, ) uld (, ) = T y u d u e T( y, ) dy d L T( y, ) για T αρκετά μικρό. Αυτό σημαίνει ότι έχουμε πάρει L και ότι T( y, ) A dy T( y, ) A είναι μικρό τέτοιο ώστε e A, και ότι T έτσι ώστε T. Θέτοντας έτσι 4

(9) J ( S) u T( y, ) dyd το πρόβλημα βέλτιστου ελέγχου ανάγεται στο ακόλουθο: Υποθέτουμε τώρα ότι: ma imize J ( S) SA N (3) M (3) Αυτό σημαίνει ότι δεν υπάρχει αρκετή ενέργεια Μ για να κρατήσει τη θερμοκρασία στο = και στη μέγιστη πιθανή τιμή Ν, για όλο το χρόνο,. Θεώρημα : Υπάρχει μια μοναδική βέλτιστη λύση S ( ) του (9) και δίνεται από: S () N, εάν, εάν (3) Όπου καθορίζεται από N. M Απόδειξη: Εάν αντικαταστήσουμε το T από την (8) στην (9), παίρνουμε: 4( a) e 3 J( S) u d S( a) da d 4 ( a) u 4 e d S() a 4( a) a da u d 4u 4 S() d S() d a a a a a a a 4 a αυστηρά μονοτονικά μειώνεται στο, το τελευταίο ολοκλήρωμα Καθώς το μεγιστοποιείται εάν και μόνο εάν το S(α) επιλέγεται όπως στο (3). Έχοντας έτσι χαρακτηρίσει το βέλτιστο έλεγχο για το συναρτησιακό J( S ) για τα πιο περίπλοκα συναρτησιακά, μπορούμε ακόμα να πάρουμε επί πλέον πληροφορίες για το πρόβλημα με χρησιμοποίηση των ιδεών από τον λογισμό μεταβολών. 5

Εξετάζουμε το συναρτησιακό : L T( y, ) dy J ( S) u e d (4) όπου το T αντικαθίσταται από την (8) και το οποίο αποτελεί μια καλύτερη προσέγγιση A από το J( S ), αφού δεν αναπτύσσουμε το εκθετικό e A, όπως κάναμε στην (9). Θεώρημα : Εάν S ( ) είναι ένα μέγιστο του J ( S) σε ένα σύνολο U, τότε το S ( ) παίρνει τιμές ή Ν στο διάστημα. Απόδειξη: Υποθέτουμε ότι: S( ) N για όλα τα Έστω ότι ζ() είναι κάποια συνεχής συνάρτηση στο και καταλήγουμε σε αντίφαση. έτσι ώστε: () d (4) Η υπόθεσή μας στο S ( ) υπονοεί ότι το S ανήκει στο U για κάθε ε αρκετά μικρό. Γράφοντας T T T προκύπτουν για τα T, T και J λύσεις, που ορίζονται ως εξής: 4( a) T (, ) 3 e ( a) da 4 (43) ( a) και L T( y, ) T( y, ) dy J( S ) u e d ( ) Τότε το Ι(ε) γίνεται ελάχιστο στο ε =, και επομένως (). Αυτό υπονοεί ότι: L T ( y, ) dy L e d T ( y, ) dy 6

Αντικαθιστώντας το T από την (43) και προχωρώντας όπως στην απόδειξη του Θεωρήματος, λαμβάνουμε: L T ( y, ) dy L 4 a e e d ( a) da a ή όπου f( a) ( a) da (44) L T ( y, ) dy L 4 a e f () a e d (45) a a Έστω ότι η (44) ισχύει για κάθε συνεχή συνάρτηση ζ που ικανοποιεί την (4), όπου f(α) είναι μια δοσμένη συνεχής συνάρτηση. Συνεπώς, η συνάρτηση f(α) που δίνεται από την (45) ικανοποιεί: f(α) = C = σταθερά. Δεδομένου ότι f( a) εάν το C είναι ίσο με μηδέν. Από την άλλη μεριά, εάν a, το ολοκλήρωμα f ( a ) είναι θετικό (δεδομένου ότι η υπό ολοκλήρωση συνάρτηση είναι θετική) και έτσι καταλήξαμε σε αντίφαση. Άρα το S ( ) παίρνει τιμές ή Ν στο διάστημα. Άρα το αποτέλεσμα του Θεωρήματος δεν ισχύει μόνον για το J (S) αλλά και για το J (S). 7

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 Ο : ΜΕΡΙΚΕΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΕΠΙΛΥΣΗ ΤΟΥ ΠΡΟΤΥΠΟΥ 3. Η Εξίσωση Θερμότητας και η φυσική της προέλευση (βλ. []) Θα ξεκινήσουμε την μελέτη μας παρουσιάζοντας δύο βασικούς εμπειρικούς νόμους που διέπουν τα θερμικά φαινόμενα. Ο πρώτος νόμος είναι : Qmc T () που μας λέει ότι: Το ποσόν θερμότητας που προσφέρει σε ένα σώμα μάζας m, για να μεταβληθεί η θερμοκρασία του κατά ΔΤ, είναι ανάλογο της μάζας του m, της διαφοράς θερμοκρασίας ΔΤ και ενός συντελεστή αναλογίας c, που εξαρτάται από το υλικό του σώματος και είναι γνωστός ως ειδική θερμοχωρητικότητα. Ο δεύτερος νόμος γνωστός ως νόμος του Fick, αφορά στη μεταφορά θερμότητας από τις θερμότερες προς τις ψυχρότερες περιοχές ενός σώματος και περιγράφεται από τη σχέση: j T () όπου T T(,) r είναι το θερμοκρασιακό πεδίο στο εσωτερικό του σώματος, κ ο συντελεστής θερμικής αγωγιμότητας και j το διάνυσμα που περιγράφει τη ροή θερμότητας κατά μέγεθος και διεύθυνση. Η διεύθυνσή του j δίνει τη διεύθυνση της ροής ενώ το μέτρο του το ποσόν θερμότητας που διασχίζει, ανά μονάδα χρόνου, μια μοναδιαία επιφάνεια κάθετη στη διεύθυνση ροής. Υπενθυμίζουμε επίσης ότι βαθμίδα ή κλίση μιας βαθμωτής συνάρτησης όπως το θερμοκρασιακό πεδίο T T(,) r T T T ορίζεται από τη σχέση: T ˆ yˆ zˆ και είναι ένα διανυσματικό πεδίο y z κάθετο προς τις ισοθερμοκρασιακές επιφάνειες Τ=σταθερά. Ο νόμος () μας λέει λοιπόν ότι η ροή θερμότητας μέσα στο σώμα γίνεται αντίθετα προς τη βαθμίδα του θερμοκρασιακού πεδίου και είναι ανάλογη με τον συντελεστή θερμικής αγωγιμότητας του υλικού. Στην ειδικότερη περίπτωση ενός θερμοκρασιακού πεδίου T T(, ), που μεταβάλλεται μόνο κατά το μήκος ενός άξονα, έστω του, η ροή θερμότητας θα γίνεται κατά μήκος αυτού του άξονα και η αλγεβρική τιμή της θα δίδεται από τη σχέση: T j (, ) (3) ή σε πιο «πρακτική» μορφή T j (4) που μας λέει ότι η ροή θερμότητας μέσω ενός λεπτού στρώματος πάχους Δ είναι ανάλογη με τη διαφορά θερμοκρασίας T μεταξύ των δύο πλευρών του στρώματος, 8

ανάλογη του συντελεστή θερμικής αγωγιμότητας κ του τοίχου και αντιστρόφως ανάλογη του πάχους Δ του στρώματος. Η εφαρμογή των παραπάνω στην περίπτωση ενός στρώματος απειροστού πάχους Δ και παράπλευρης επιφάνειας S δίνει: Q( j (, ) j (, )) Smc T (5) όπου η έκφραση του πρώτου μέλους δεν είναι παρά η καθαρή εισροή θερμότητας Q προς το εσωτερικό του τοίχου μέσα σε χρόνο, ενώ στο δεύτερο μέλος καταγράφεται η προκαλούμενη μεταβολή θερμοκρασίας T βάσει του νόμου (). Από τις (5) και (4) προκύπτει για Δ : j(, ) j (, ) j ( T ) T και θέτοντας mv S (ρ η πυκνότητα υλικού) παίρνουμε T S ScT και κατόπιν T T T c c που γράφεται ισοδύναμα ως: T T T, ( ) c c (6) και είναι πράγματι, η εξίσωση θερμότητας σε μια διάσταση. Στις μερικές διαφορικές εξισώσεις οι απαιτούμενες πρόσθετες συνθήκες θα είναι αναγκαστικά δύο ειδών: (α) Αρχικές συνθήκες: Αυτές αφορούν, προφανώς, στην κατάσταση του φυσικού συστήματος κατά τη χρονική στιγμή = κι επομένως συνίστανται στον καθορισμό της συνάρτησης T(, y, z, ) ή και κάποιων παραγώγων της για =. (β) Συνοριακές συνθήκες: Αυτές αφορούν στις χωρικές μεταβλητές,y,z, και είναι επομένως εύλογο ότι θα διατυπώνουν τα δεδομένα του προβλήματος στα άκρα του διαστήματος ορισμού των μεταβλητών,y,z, δηλαδή στο σύνορο της φυσικής περιοχής του προβλήματος. 9

Ας πάρουμε για παράδειγμα την εξίσωση της θερμότητας (6), στην οποία το σ είναι μια δεδομένη φυσική σταθερά, ανάλογη με τη θερμική αγωγιμότητα του σώματος, και T T(, ) είναι η θερμοκρασία του στη θέση κατά την χρονική στιγμή. Ένα συγκεκριμένο πρόβλημα είναι εκείνο του «ψυχόμενου» στρώματος όπου η θερμοκρασία μεταβάλλεται μόνο κατά την κατεύθυνση, την κάθετη στα (παράλληλα) τοιχώματα του στρώματος και, βεβαίως, με τον χρόνο. Θα είναι δηλαδή T T(, ). Δεδομένου τώρα ότι η εξίσωση θερμότητας είναι πρώτης τάξης ως προς τον χρόνο, η απαιτούμενη αρχική συνθήκη έχει την μορφή: T(,) h( ) (7) που μας ζητά να καθορίσουμε την αρχική κατανομή θερμοκρασιών αλλά όχι και την παράγωγό της. Η περαιτέρω εξέλιξη της αρχικής θερμοκρασιακής κατανομής (7) όμως εξαρτάται και από τις συνοριακές συνθήκες στα τοιχώματα του στρώματος = και =L. Η απλούστερη περίπτωση αντιστοιχεί στην «εμβύθιση» του στρώματος σε ένα λουτρό σταθερής θερμοκρασίας T οπότε τα τοιχώματά του θα παραμένουν διαρκώς σε αυτή τη θερμοκρασία κι επομένως θα είναι: T(, ) T( L, ) : Συνοριακές συνθήκες (8) Ένα πρόβλημα όπως το παραπάνω είναι καλώς τοποθετημένο από φυσική άποψη είναι δε καλώς τεθειμένο και από μαθηματικής άποψης. Δηλαδή, η εξίσωση (6), σε συνδυασμό με τις συνθήκες (7) και (8), θα έχει μία και μοναδική λύση T T(, ) η οποία θα περιγράφει τη χρονική εξέλιξη της θερμοκρασιακής κατανομής στο εσωτερικό του τοίχου καθώς τα τοιχώματά του κρατιούνται σε σταθερή θερμοκρασία Τ=. Αναμένουμε βέβαια, στο όριο, να είναι T(, ), αφού τότε πλέον θα έχει αποκατασταθεί η θερμική ισορροπία και ο τοίχος θα έχει αποκτήσει παντού τη θερμοκρασία του «περιβάλλοντος» στο οποίο είναι εμβυθισμένος. Έτσι, η λύση T T(, ) μας λέει το πώς ακριβώς αποκαθίσταται η θερμική ισορροπία σε ένα σώμα με αρχικά ανομοιόμορφη κατανομή θερμοκρασιών στο εσωτερικό του. Εξίσου ενδιαφέρουσα από πρακτικής πλευράς είναι και η περίπτωση ενός αμφίπλευρα μονωμένου μέσου με αρχική κατανομή θερμοκρασιών όπως πριν, αλλά με συνοριακές συνθήκες στις επιφάνειές του που θα πρέπει τώρα να εκφράζουν το γεγονός ότι εκεί η θερμική ροή j T μηδενίζεται. Οι συνοριακές συνθήκες θα έχουν λοιπόν τώρα τη μορφή: T(, ), T( L, ) (9) και είναι ξανά βέβαιο, από φυσικής πλευράς, ότι σε συνδυασμό με την αρχική συνθήκη T(,) h( ), θα οδηγούν σε μια και μοναδική λύση T T(, ), η οποία θα μας δίδει τη χρονική εξέλιξη των θερμοκρασιών στο εσωτερικό του στρώματος. 3

3. Μέθοδος επίλυσης Μ.Δ.Ε με μετασχηματισμό Fourier ημιτόνου (βλ Βιβλιογρ. [6]) Χρησιμοποιώντας μετασχηματισμό ημιτόνου ως τη χωρική μεταβλητή, θα λύσουμε το πρόβλημα αρχικών-συνοριακών τιμών: T T f (, ) T, T(,) h(), > (,) ( ), > () T με την πρόσθετη συνθήκη ότι T(, ) είναι φραγμένη (καθώς ). Θα επιλύσουμε το πρόβλημα για f(, ) και όπου η h () είναι ομαλή συνάρτηση. Λύση: Υποθέτω ότι όλες οι συναρτήσεις ανήκουν στην κατηγορία Schwarz ( C ( )). Αφού έχω μη ομογενή αρχική συνθήκη, θα λύσω πρώτα το αντίστοιχο ομογενές πρόβλημα με ομογενή αρχική συνθήκη: T(,) : T T, T(,) h(), >, T(, ), > () Για να το λύσω χρησιμοποιώ μετασχηματισμό ημιτόνου για την Τ(,): T(, ) F ( k, ) si kdk, ό F ( k, ) T(, ) si kd S S ενώ ο μετασχηματισμός Fourier ημιτόνου για τις παραγώγους της T(, ) ως προς τη χωρική μεταβλητή είναι: F S T(, ) T(, ) si kd ( T(, ) si k k cos kt (, ) ) d με lim T (, ), γιατί υποθέσαμε ότι η T (, ) ανήκει στην κατηγορία Schwarz ( C ( )), πρόκειται δηλαδή για ταχέως φθίνουσα συνάρτηση. Άρα η ως άνω σχέση δίνει: F { T } ( T (, )si k T (, ) coskd) ( k T (, ) coskd) S k [( T(, ) cos k) kt(, )( si k) d] 3

Επειδή ισχύει και lim T(, ), για τους ίδιους λόγους ως ανωτέρω: S{ } [ (, ) T (, )sikd] F T k T k k h() k T (,)si kd k h() kfst (, ) k h ( ) kfs( k,) Fs T(, ) k h () k Fs ( k,) () Άρα και επειδή si ( si ) F T (, ) T (, ) kd T (, ) kd F ( k, ) s F παίρνουμε S S, T(, ) F ( k, ) (3) Συνεπώς, εφαρμόζοντας τον μετασχηματισμό ημιτόνου στην εξίσωση T T, F T για >, >, έχουμε την προκύπτει: F T S S, οπότε από τις () και (3) FS, ( k, ) F( k, ) k h ( ) k S (4) η οποία είναι μια μη ομογενής γραμμική Σ.Δ.Ε. α τάξης, ως προς τη μεταβλητή. Από τη συνθήκη T(,), >, έπεται ότι F S T T si kd si kd Fs k (,) (,) (,) Η λύση του ως άνω προβλήματος αρχικών τιμών είναι της μορφής: s kda ka k k a Fs ( k, ) e [ ck ( ) ( k ha ( )) e da] e [ ck ( ) k hae ( ) da] όπου λόγω της FS ( k,) έχουμε ζητούμενη λύση είναι: F k e c k c k, άρα η s(,) [ ( ) ] ( ) k ka ka k Fs ( k, ) e k hae ( ) da k hae ( ) e da (5) 3

Όμως T(, ) Fs ( k, ) si kdk, οπότε λόγω της (5) έχουμε: k ka ( a) k T(, ) e ( hae ( ) dak ) si kdk ( e ksi kdkhada ) ( ) Για να υπολογίσουμε το ολοκλήρωμα: e ( a) k k si kdk, εργαζόμαστε ως εξής: e ' si d ( e )si e si e d cos d e cos d ( a) k άρα αρκεί να βρούμε το ολοκλήρωμα: e coskdk. Θα αποδείξουμε κατ αρχάς ότι : I e cos d e 4. Παίρνοντας την παράγωγο της έκφρασης αυτής ως προς β, έχουμε: e I e si d si e cos d I l I l I c 4 Άρα και αφού (, ) ce 4, c (,) ea d e d( ), όπου e d ( ) είναι η συνάρτηση Γάμμα, ισχύει c, ό ( ) και επομένως 4 I e. Συνεπώς δείξαμε ότι : ea cos d e 4 33

Από αυτό το ολοκλήρωμα προκύπτει ότι : e si d e cos d e 4 ( ) a k 4( a) και επειδή e coskdk e, a τελικά ( a) βρίσκουμε: Άρα η λύση μας τελικά γίνεται: e ( a) k 4( a) k si kdk e, a 4 a ( a) 4( a) T(, ) ( ) e h a da (6) a 4 ( a) Με τον ορισμό δε 4( a ) K (, a ) e, η λύση παίρνει τη μορφή: 4 ( a) T(, ) K(, ahada ) ( ) a F ( k, ) si kt(, ) d, S Στην περίπτωση της μη ομογενούς αρχικής συνθήκης, έχουμε F ( k,) si kt (,) d si kf ( ) d fs ( k) S οπότε FS ( k,) c( k) fs ( k) και η λύση αντί της (5) γίνεται: k ( a) k F( k, ) f ( ke ) k hae ( ) da (7) S s Έχοντας υπολογίσει την FS ( k, ) μπορούμε να την αντιστρέψουμε κατά Fourier θέτοντας στην παίρνοντας: T(, ) F ( k, )sikd S την F ( k, ) από την (7) S 34

k k( a) [ fs( k) e ]si k k( a) T(, ) k h( a) e da kdk s( ) kdk k h a e k da f ke si ( ) [ ( ) si ] dk Τώρα, στην περίπτωση που ισχύουν οι κατάλληλες συνθήκες που μας επιτρέπουν την αντιστροφή ολοκλήρωσης έχουμε: ( ) k k si [ ( ) si ] fs ke kdk f y kydy e sikdk f y k ( )[ sikye [ sikdk] dy, Όμως, k k si kye si kdk e [ cos k ( y) cos k ( y)] dk. Επίσης αποδείξαμε παραπάνω ότι Συνεπώς θα έχουμε: k 4 e cos kdk e 4. Άρα, [ y y ] k ( ) 4 ( ) 4 si kye si kdk e e 4 4. (8) k k f ( ke ) f( ke ) dk I si kdk si k s s ( ) 4 ( ) 4 y y f( y) [ e e ] dy 4 4 Μένει τώρα να υπολογίσουμε το ολοκλήρωμα: k ( a) ( ) k hae ( ) si kdadk, Θεωρούμε ότι ισχύουν οι συνθήκες για τις οποίες επιτρέπεται η αντιστροφή της σειράς ολοκλήρωσης, τότε: k ( a) ( ) g( a)[ ke si kdk] da. 35

και εργαζόμαστε ως εξής: Αφού k( a) k( a) ke si kdk k[ e ]si kdk = ( a) k ( a) k ( a) k ( a) [ e sik e cos kdk] e cos kdk, ( a) ( a) βρίσκουμε τελικά ότι: Άρα, η συνάρτηση ha ( )[ 4 ( a) 3 e 4( a) ] da ( y) 4 ( y) 4 4( a) 3 4 4 4 ( a) T(, ) f( y)[ e e dy] h( a) e da αποτελεί και την πλήρη λύση του Π.Α.Σ.Τ. που γράφεται και στην μορφή: T(, ) f( y)[ K( y, ) K( y, ) dy h( a) K(, a) da όπου 4 K (,) e. Η συνάρτηση K(, ) ονομάζεται πυρήνας Gauss και 4 T T, ενώ ένα μεγάλο αποτελεί θεμελιακή λύση της εξίσωσης θερμότητας, πλήθος από άλλες σημαντικές λύσεις αυτής της Μ.Δ.Ε, όπως η T(, ) που μόλις ορίσαμε κατασκευάζονται με θεμέλιο την K(, ). 3.3 Μέθοδος επίλυσης Μ.Δ.Ε με μετασχηματισμό Fourier συνημιτόνου Χρησιμοποιώντας μετασχηματισμό συνημιτόνου ως προς τη χωρική μεταβλητή, θα λύσουμε το πρόβλημα αρχικών-συνοριακών τιμών: T T, T(,) h(), >, T(,), > (9) με την πρόσθετη συνθήκη ότι: T(, ) είναι φραγμένη (καθώς ), όπου η h () είναι ομαλή συνάρτηση στο και φθίνει γρήγορα καθώς το. Λύση: 36

Υποθέτω ότι όλες οι συναρτήσεις ανήκουν στην κατηγορία Schwarz ( C ( )). Επειδή στο πρόβλημά μου έχω (μη ομογενή) συνοριακή συνθήκη που αφορά στην παράγωγο της T(,), για να το λύσω χρησιμοποιώ μετασχηματισμό συνημιτόνου. T(,) F (,)cos k kdk, ό F (,) k T(,)cos kd C C ο oποίος δίνει για τις παραγώγους της T(, ) ως προς τη χωρική μεταβλητή. ( ) F c T (,) T (,)cos kd T (,)cos k k si kt (,) d ) T(, ) ) ( h ( ) k T (, sikd) [ h ( ) k( si k kt (, )(cos k) d] αφού lim T (, ), lim T(, ) γιατί η T (,) και η T(, ) ανήκουν στην κατηγορία Schwarz ( C ( )), πρόκειται δηλαδή για ταχέως φθίνουσες συναρτήσεις και επομένως: () k( k (, ) h( ) k (,)cos ) FcT(,) h T )coskd T k d h () kfct(,) h () kfc( k, ) Άρα τελικά, Επίσης FcT (, ) h () k Fc ( k,) () Fc T (,) T (,)cos kd ( T (,) coskd) FC( k, ) () Συνεπώς προκύπτει: FC( k, ) kfc ( k, ) h ( ) η οποία είναι γραμμική Σ.Δ.Ε. ά τάξης, ως προς τη μεταβλητή, μη ομογενής. Από την συνθήκη T(,), >, έχω Άρα F c T (,) T(,)cos kd cos kd Fc T(,) Fc ( k,), επομένως το πρόβλημα αρχικών τιμών: 37