Παράδειγμα 14.2 Να βρεθεί ο μετασχηματισμός Laplace των συναρτήσεων

Transcript

1 Κεφάλαιο 4 Μετασχηματισμός aplace 4. Μετασχηματισμός aplace της εκθετικής συνάρτησης e Είναι Άρα a a a u( a ( a ( a ( aj F( e e d e d [ e ] [ e ] ( a e (c ji, με a (4.9 a a a [ e u( ] a, με a (4.3 Η σχέση αυτή είναι από τις πλέον συχνά χρησιμοποιούμενες για την αντιστροφή συναρτήσεων στα ηλεκτρικά κυκλώματα. Παράδειγμα 4. Να βρεθεί ο μετασχηματισμός aplace των συναρτήσεων c( u ( και i( u (. Είναι γνωστό από την ταυτότητα του Euler ότι j j j j e e e e c( και i( (4.3 j Λόγω της σχέσης (4.3 και της ιδιότητας της γραμμικότητας του μετασχηματισμού aplace μπορούμε να γράψουμε ότι [c( u ( ], με (4.3 j j [i( u ( ], με (4.33 j j j Παράδειγμα 4.3 a f( e u(. Να βρεθεί ο μετασχηματισμός aplace για τη συνάρτηση Για να βρούμε το μετασχηματισμό aplace F( εφαρμόζουμε κατά παράγοντες ολοκλήρωση: ( a ( a ( a e e F( e d d a a (4.34 Η περιοχή σύγκλισης καθορίζεται για a έτσι ώστε ο πρώτος όρος του δευτέρου μέρους της ανωτέρω εξίσωσης να είναι ίσος με μηδέν. Έτσι

2 Κεφάλαιο 4 Μετασχηματισμός aplace 4. ( a -a e e u ( d, με (4.35 a ( a Η παραπάνω εξίσωση αποτελεί μια μερική περίπτωση της γενικής σχέσης -a! e u ( ( a, με (4.36 Παράδειγμα 4.4 ih( a u( και ch( a u( Να βρεθεί ο μετασχηματισμός aplace των συναρτήσεων Γνωρίζουμε ότι a a a a e e e e ih( a και ch( a (4.37 Λόγω και πάλι της ιδιότητας της γραμμικότητας έχουμε: a a e e a [ih( a u( ] (4.38 a a a a a e e [ch( a u( ] (4.39 a a a Παράδειγμα 4.5 u (,. Να βρεθεί ο μετασχηματισμός aplace της συνάρτησης Με εφαρμογή ολοκλήρωσης κατά παράγοντε έχουμε: u( e d de e e d e e e d e d (4.4 Συνεπώς u ( u ( (4.4 και επειδή από τη παραπάνω σχέση εύκολα πλέον προκύπτει ότι! u ( (4.4 Ο Πίνακας 4. δίνει συνοπτικά τους μετασχηματισμούς aplace χαρακτηριστικών συναρτήσεων.

3 Κεφάλαιο 4 Μετασχηματισμός aplace 4. Πίνακας 4. Μετασχηματισμός aplace χαρακτηριστικών συναρτήσεων f( F( f( F( ( a ae be b a ( ab, b, a b ( a( b u ( i( i c c( c i! a e i(, a ( a d( d a e c(, a a ( a d ( d a i( e, a ( ai c ( a a e, a a a e c(, a ( ac i ( a a e, a ( a i( ( a e,! ( a a c( ( i( e a i( a ( a c( ih( a a a a b e e b a ( ab,, a b ( a( b ch( a a

4 Κεφάλαιο 4 Μετασχηματισμός aplace Ιδιότητες του μετασχηματισμού aplace Θα εξετάσουμε τώρα ορισμένες βασικές ιδιότητες του μετασχηματισμού aplace. Πολλαπλασιασμός με μια σταθερά Αν [ f( ] F( τότε [ Kf ( ] KF( (4.43 Δηλαδή, ο μετασχηματισμός aplace της συνάρτησης Kf (, όπου K μια σταθερά, ισούται με τη σταθερά K επί το μετασχηματισμό aplace της f(. Αυτό αποδεικνύεται ως εξής Παράδειγμα 4.6 f( i( xc( [ Kf(] Kf( e d K f( e d K [ f(] Εδώ η σταθερά ισούται με i( F( i( x Να προσδιοριστεί ο μετασχηματισμός aplace της συνάρτησης K x ενώ f ( c. Επομένως Γραμμικότητα Ο μετασχηματισμός aplace ενός πεπερασμένου αθροίσματος χρονικών συναρτήσεων είναι ίσος με το άθροισμα των μετασχηματισμών των επιμέρους συναρτήσεων. Δηλαδή [ Kf( Kf( K3f3(...] KF( KF( K3F3(... (4.44 όπου Ki, i,,3,... πραγματικές σταθερές. Η απόδειξη του θεωρήματος αυτού γίνεται ως εξής [ K f ( K f ( K f (...] [ K f ( K f ( K f (...] e d K f( e d K f( e d K f( e d... K F ( K F ( K F (

5 Κεφάλαιο 4 Μετασχηματισμός aplace 4.4 Παράδειγμα 4.7 Να προσδιοριστεί ο μετασχηματισμός aplace της συνάρτησης. ( 3( f e ( u Η συνάρτηση μπορεί να γραφεί ως εξής: f( (33 e ( u 3( u 3 e u( 3 f( 3 f( όπου f ( u ( και f ( e u(. Συνεπώς F( 3 u( 3 e u( 3 3 3( 3 6 F( ( ( Διαφόριση Η παράγωγος μιας συνάρτησης f( στο πεδίο του χρόνου αντιστοιχίζεται στο πεδίο aplace με τον πολλαπλασιασμό της F( με το μείον την αρχική τιμή της συνάρτησης f (. Δηλαδή df ( F( f( (4.45 d Για την απόδειξη εργαζόμαστε ως ακολούθως: df ( f( e d d Ολοκληρώνοντας κατά μέρη την παραπάνω σχέση παίρνουμε df ( d όπου το e όταν το και ολοκλήρωμα e f( f( e d e όταν. Επομένως, αφού και το f( e d είναι ο μετασχηματισμός aplace της f( προκύπτει: df ( F( f( d Με αυτή την ιδιότητα μπορούμε να βρούμε το μετασχηματισμό της οστής παραγώγου χρησιμοποιώντας επαναληπτικά την παραπάνω σχέση. Έτσι

6 Κεφάλαιο 4 Μετασχηματισμός aplace 4.5 d f( ( F( f(... f ( (4.46 d ( όπου f ( είναι η ( οστή παράγωγος της f για. Είναι σημαντικό να σημειώσουμε εδώ ότι η παραπάνω σχέση επιτρέπει το μετασχηματισμό γραμμικών διαφορικών εξισώσεων σε απλές αλγεβρικές εξισώσεις στο πεδίο της μιγαδικής συχνότητας λαμβάνοντας παράλληλα υπόψη τις αρχικές συνθήκες για την f(. Αυτή ακριβώς η ιδιότητα χρησιμοποιείται για την απλοποίηση της εύρεσης της απόκρισης των κυκλωμάτων και συγκεκριμένα με τη μετατροπή των γραμμικών διαφορικών εξισώσεων σε αλγεβρικές εξισώσεις στο πεδίο aplace. Παράδειγμα 4.8 Να επιλυθεί η ακόλουθη γραμμική διαφορική εξίσωση ου βαθμού: dx ( dx ( 6 5( x e u ( d d με αρχικές συνθήκες x ( 4 και dx(. d Παίρνουμε το μετασχηματισμό aplace και στις δυο πλευρές της διαφορικής εξίσωσης: dx( X( x( 6 X( x( 5 X( d Χρησιμοποιώντας τις αρχικές συνθήκες έχουμε X( 46 X( 45 X( ή X( 65 4 Με επίλυση ως προς X( βρίσκουμε: ( 3( 9 7 / 3 /3 X( ( ( ( 5 5 οπότε

7 Κεφάλαιο 4 Μετασχηματισμός aplace x ( 7 e e e u ( 3 3 Παράδειγμα 4.9 Να επιλυθεί το ακόλουθο σύστημα διαφορικών εξισώσεων: dx( dy( y( 5 u( d d dx( dy( 5( x 3 e u( d d με αρχικές συνθήκες x ( και y (. Μετασχηματίζουμε τις εξισώσεις στο πεδίο aplace: 5 X( x( Y( y( Y( X( x( 5 X( 3 Y( 3 y( Αντικαθιστούμε τις αρχικές τιμές, οπότε παίρνουμε το ακόλουθο σύστημα γραμμικών εξισώσεων ως προς X( και Y( : 5 X( ( Y( ( 5 X( 3 Y( Λύνουμε ως προς X( και Y( : 3 X( Y( ( ( 4 Αναλύουμε τις παραπάνω σχέσεις σε μερικά κλάσματα (δες σχετικό εδάφιο στο κεφάλαιο αυτό:.. X( (.755 ( Y( 3( (.755 ( 3.45 Παίρνουμε τώρα τον αντίστροφο μετασχηματισμό aplace και βρίσκουμε τελικά ότι x(.e. e u(

8 Κεφάλαιο 4 Μετασχηματισμός aplace y (.5 e.697e.36 e u ( 3 Ολοκλήρωση στο πεδίο του χρόνου Ο μετασχηματισμός aplace του ολοκληρώματος μιας συνάρτησης στο πεδίο του χρόνου ισούται με το πηλίκο του μετασχηματισμού aplace της συνάρτησης προς τη μιγαδική συχνότητα. F( f( d (4.47 Για την απόδειξη ξεκινάμε από τον ορισμό: f( d f( de d Ολοκληρώνοντας κατά μέρη έχουμε: e f( d f( d e f( d Όμως e καθώς το και επίσης Επομένως f( d F( f( d Παράδειγμα 4. Να υπολογιστεί ο μετασχηματισμός aplace της μοναδιαίας συνάρτησης κλίσης r ( u (. Η συνάρτηση r ( σχετίζεται με τη μοναδιαία βηματική συνάρτηση u ( με τη σχέση Συνεπώς r ( u ( ud ( [(] u [(] r u( d

9 Κεφάλαιο 4 Μετασχηματισμός aplace 4.8 Παράδειγμα 4. Το ρεύμα i ( σε ένα κύκλωμα καθορίζεται από την ακόλουθη ολοκληρωτική εξίσωση Ri( i( d v( C όπου RC, εκφράζουν αντίσταση και χωρητικότητα, αντίστοιχα. Βρείτε το i ( όταν οι αρχικές συνθήκες είναι μηδενικές και η τάση που τροφοδοτεί το κύκλωμα έχει τη μορφή, v ( e, Παίρνουμε το μετασχηματισμό aplace της ολοκληρωτικής εξίσωσης: RI( I( V( C Λύνοντας ως προς I( βρίσκουμε V( I( R RC Ο μετασχηματισμός aplace της πηγής τάσης δίνει ( ( ( e e v ( e u ( V( e e d e d ( Αντικαθιστούμε τη V( στο I( και έχουμε οπότε C ( e ( RC R( RC I( e e R RC RC ( ( ( RC C e i ( e u ( e u ( ( RC R( RC RCe e RC i ( u ( RRC (

10 Κεφάλαιο 4 Μετασχηματισμός aplace 4.9 Διαφόριση στο μιγαδικό επίπεδο Η παράγωγος του μετασχηματισμού aplace στο πεδίο της μιγαδικής συχνότητας αντιστοιχίζεται με το αρνητικό του μετασχηματισμού aplace του γινομένου της f( με το. Δηλαδή d ( F( f (4.48 d Η ιδιότητα αυτή καλείται και ιδιότητα μιγαδικής διαφόρισης (cmplex differeiai prpery και αποδεικνύεται ως εξής df( d de f( e d f( d d d d f ( e d f ( e d f ( Παράδειγμα 4. Να υπολογιστεί ο μετασχηματισμός aplace της συνάρτησης a f( Ke u(, a. Είναι a d a d K K [ Ke u( ] Ke u( d d a ( a Ολοκλήρωση στο μιγαδικό επίπεδο Η ιδιότητα αυτή εκφράζεται από τη σχέση f( F ( d (4.49 Για την απόδειξη της ανωτέρω σχέση ξεκινούμε από τον ορισμό της F( : Συνεπώς F( f( e d f( e dd F ( d Αλλάζουμε τη σειρά ολοκλήρωσης

11 Κεφάλαιο 4 Μετασχηματισμός aplace 4. Όμως f( e dd ( d F e e d e e Αν αντικαταστήσουμε το παραπάνω ολοκλήρωμα προκύπτει πράγματι ότι f( f( e d d e d F ( d Παράδειγμα 4.3 Να υπολογιστεί ο μετασχηματισμός aplace της συνάρτησης. Είναι f( i( u( [i( u ( ] 4 Συνεπώς i( u ( d 4 Γνωρίζουμε ότι για a ισχύει η σχέση d a a a a Συνεπώς i( u ( d a 4 i( u ( a Μετατόπιση στο πεδίο του χρόνου Η μετατόπιση στο πεδίο του χρόνου μιας συνάρτησης f( προς τα δεξιά κατά a ( a μας δίνει τη συνάρτηση ( ( f a u a. Αν λοιπόν f F a ( ( τότε f( a u( a e F(, a (4.5

12 Κεφάλαιο 4 Μετασχηματισμός aplace 4. Δηλαδή, η μετατόπιση στο πεδίο του χρόνου προς τα δεξιά κατά a αντιστοιχεί σε a πολλαπλασιασμό με την εκθετική συνάρτηση e στο πεδίο της συχνότητας. Η απόδειξη της ιδιότητας αυτής γίνεται ως εξής [ f( a u( a] f( a u( a e d f( a e d Εισάγουμε μια νέα μεταβλητή. Συνεπώς a x a οπότε x όταν a και x όταν ( xa a x a F [ f( a u( a] f( x e dx e f( x e dx e ( Παράδειγμα 4.4 Να υπολογιστεί ο μετασχηματισμός aplace της συνάρτησης f( ( ( u Είναι e F( [( ( u] e u ( Παράδειγμα 4.5 Να υπολογιστεί ο μετασχηματισμός aplace του τετραγω-νικού παλμού του Σχήματος 4.7. f ( A a Σχήμα 4.7 Τετραγωνικός παλμός. Η συνάρτηση f( γράφεται ως f( Au( Au( a Συνεπώς a A F( [ Au( ] [ Au( a] A A e e a

13 Κεφάλαιο 4 Μετασχηματισμός aplace 4. Παράδειγμα 4.6 Να υπολογιστεί ο μετασχηματισμός aplace του τριγωνικού παλμού του Σχήματος 4.8. f ( A a b Αν Σχήμα 4.8 Μετατοπισμένος τριγωνικός παλμός. r ( u ( τότε η συνάρτηση f( μπορεί να εκφραστεί ως f ( Ar( a Ar( b Au( b Εφαρμόζοντας το θεώρημα της μετατόπισης βρίσκουμε F( [ Ar( a] [ Ar( b] [ Au( b] a b b A e A e A e A e e e a b b Μετατόπιση στο πεδίο της συχνότητας Αν f ( F( τότε a F( a e f(, a (4.5 Δηλαδή, η μετατόπιση στο πεδίο της μιγαδικής συχνότητας προς τα δεξιά κατά a a αντιστοιχεί σε πολλαπλασιασμό με την εκθετική συνάρτηση e της συνάρτησης στο πεδίο του χρόνου. Για την απόδειξη της ιδιότητας αυτής έχουμε: a a ( a e f( e f( e d f( e d ( a F

14 Κεφάλαιο 4 Μετασχηματισμός aplace 4.3 Παράδειγμα 4.7 Βρείτε το μετασχηματισμό aplace της συνάρτησης. ( 3 f e c(( u Γνωρίζουμε ότι c( u ( 4 οπότε 3 3 e c( u( ( 3 4 Χρονική κλιμάκωση Αν f ( F( τότε f( a F, a a a (4.5 Η ιδιότητα αυτή είναι πολύ χρήσιμη για τη μελέτη συστημάτων στα οποία υπάρχει κλιμάκωση του χρόνου. Η ιδιότητα αυτή αποδεικνύεται ως εξής Αν θέσουμε f( a f( a e d x a τότε dx ad και x a dx f( a f( a e d f( x e, a ( / F a a a Παράδειγμα 4.8 Βρείτε το μετασχηματισμό aplace της συνάρτησης. Γνωρίζουμε ότι οπότε 3 f( ( 5 e u(3 ( και 5 5 e u( ( 5 e u(

15 Κεφάλαιο 4 Μετασχηματισμός aplace 4.4 Αποκοπή μιας συνάρτησης στο πεδίο του χρόνου Αν πολλαπλασιάσουμε μια συνάρτηση f( με u ( τότε αποκόπτεται (μηδενίζεται το τμήμα της συνάρτησης από έως. Δηλαδή, στην περίπτωση αυτή ισχύει ότι f(( u e f( (4.53 Για την απόδειξη της ιδιότητας αυτής ξεκινάμε από τον ορισμό του μετασχηματισμού aplace: f( u( f( u( e d Αν θέσουμε x τότε dx d και ( x f (( u e d f ( x ( u x e dx ( x x ( ( f x e dx e f x e dx e f( Παράδειγμα 4.9 Βρείτε το μετασχηματισμό aplace της συνάρτησης f( u( Είναι u( e e Στον Πίνακα 4. παρουσιάζονται περιληπτικά οι σπουδαιότερες από τις ιδιότητες του μετασχηματισμού aplace. Πρέπει να σημειώσουμε ότι εκτός από τις ιδιότητες που αναπτύξαμε παραπάνω, στη συνέχεια θα εξετάσουμε αναλυτικά και ιδιαίτερα ορισμένες από τις ιδιότητες αυτές που είναι πολύ σημαντικές για την ανάλυση και την κατανόηση της συμπεριφοράς των κυκλωμάτων αλλά γενικότερα των γραμμικών συστημάτων.

16 Κεφάλαιο 4 Μετασχηματισμός aplace 4.5 Πίνακας 4. Ιδιότητες και θεωρήματα του Μετασχηματισμού aplace Ιδιότητα/ Θεώρημα f( F( Πολλαπλασιασμός με μια σταθερά Γραμμικότητα Kf ( K f ( K f ( K f ( K F( K F ( K F ( K F ( Διαφόριση Παράγωγος βαθμού Ολοκλήρωση στο πεδίο του χρόνου df ( d d f( d f( d F( f ( ( F( f(... f ( F( Διαφόριση στο μιγαδικό επίπεδο f ( df( d Ολοκλήρωση στο μιγαδικό επίπεδο f( F( d Μετατόπιση στο πεδίο του χρόνου Μετατόπιση στο πεδίο της συχνότητας f( a u( a, a a e F( a e f(, a F( a Χρονική κλιμάκωση f( a, a F a a

17 Κεφάλαιο 4 Μετασχηματισμός aplace 4.6 Αποκοπή μιας συνάρτησης στο πεδίο του χρόνου f(( u e f( Θεώρημα αρχικής τιμής lim f ( lim F( Θεώρημα της τελικής τιμής lim f( lim F ( Συνέλιξη στο πεδίο του χρόνου Συνέλιξη στο πεδίο της συχνότητας Περιοδική συνάρτηση f * g f( g( d F( G( f(( g f( T, F f(, T F ( ( f( e, αλλού c j F* G F( G( d j c j c g T f 4.5 Τα θεωρήματα της αρχικής και της τελικής τιμής Τα θεωρήματα της αρχικής και της τελικής τιμής είναι πολύ χρήσιμα διότι μας επιτρέπουν να προσδιορίζουμε άμεσα από την F( την τιμή και τη συμπεριφορά της f( για και. Αν η F( αντιπροσωπεύει την απόκριση ενός κυκλώματος στο πεδίο της μιγαδικής συχνότητας, τότε μπορούμε με τα θεωρήματα αυτά να βρούμε την απόκριση στην αρχή του χρόνου λειτουργίας καθώς και στη μόνιμη κατάσταση λειτουργίας του κυκλώματος χωρίς να χρειαστεί να αντιστρέφουμε στο πεδίο του χρόνου για να προσδιορίζουμε την f( Θεώρημα αρχικής τιμής Το θεώρημα της αρχικής τιμής μας επιτρέπει να προσδιορίζουμε την αρχική τιμή της συνάρτησης f(, δηλαδή την τιμή lim f (, από την οριακή τιμή της F( καθώς το τείνει στο, δηλαδή lim f( lim F( (4.54 Για να ισχύει η παραπάνω σχέση απαιτείται όπως τόσο η f( όσο και η f( να

18 Κεφάλαιο 4 Μετασχηματισμός aplace 4.7 έχουν μετασχηματισμό aplace. Αυτό μεταφράζεται στο ότι η συνάρτηση f( πρέπει να είναι συνεχής και να μην περιέχει κρουστικές συναρτήσεις (ή να περιέχει το πολύ μια κρουστική συνάρτηση στο. Για την απόδειξη του θεωρήματος ξεκινάμε από τον μετασχηματισμό aplace της παραγώγου Παίρνουμε τώρα το όριο καθώς df df e d ( f ( (4.55 F d d : df e d F f d lim lim ( ( Το αριστερό μέρος της ανωτέρω σχέσης γράφεται ως df df lim ed e d d d df Όμως, για έχουμε lim e, οπότε d df lim e d f ( f ( d (4.56 (4.57 (4.58 Επειδή το f ( είναι ανεξάρτητο του, το δεύτερο μέρος της εξίσωσης (4.56 γράφεται ως F F lim ( f( lim ( f ( (4.59 Συνδυάζοντας τις εξισώσεις (4.58 και (4.59 παίρνουμε lim F( f( lim f( (4.6 που αποδεικνύει την ορθότητα του θεωρήματος της αρχικής τιμής. Παράδειγμα 4. Να βρεθεί η αρχική τιμής f ( της συνάρτησης f( που έχει μετασχηματισμό aplace. ( F( 3 3 Η εφαρμογή του θεωρήματος της αρχικής τιμής δίνει

19 Κεφάλαιο 4 Μετασχηματισμός aplace 4.8 και συνεπώς f (. ( f( lim F( lim lim Θεώρημα τελικής τιμής Το θεώρημα της τελικής τιμής διατυπώνεται ως εξής: lim f( lim F( (4.6 με την προϋπόθεση ότι οι ρίζες του παρονομαστή της F( (οι πόλοι βρίσκονται στο αριστερό μέρος του μιγαδικού επιπέδου. Η απόδειξη του θεωρήματος ξεκινά και πάλι από τη σχέση μετασχηματισμού της παραγώγου: df e d F( f ( (4.6 d Παίρνοντας το όριο για έχουμε d Το πρώτο μέρος για γίνεται df lim e d lim[ F( f ( ] df df df lim e d d lim dx f( f( d d dx (4.63 (4.64 Συνεπώς, από τις σχέσεις (4.6 και (4.64 προκύπτει f( f( lim F( f ( (4.65 και τελικά f( lim F( (4.66 Το θεώρημα της τελικής τιμής είναι εξαιρετικά χρήσιμο στην ανάλυση των ηλεκτρικών κυκλωμάτων γιατί μας επιτρέπει να προσδιορίζουμε από την F( τη μορφή της απόκριση στη μόνιμη κατάσταση λειτουργίας. Παράδειγμα 4. Η τάση που εκφράζει την απόκριση ενός κυκλώματος έχει τον ακόλουθο μετασχηματισμό aplace.

20 Κεφάλαιο 4 Μετασχηματισμός aplace 4.9 ( V( ( 45 Να προσδιοριστεί η τιμή της τάσης v ( στη μόνιμη κατάσταση λειτουργίας του κυκλώματος. Οι πόλοι της V( είναι και,3 j, δηλαδή Re[ i ], i,,3. Συνεπώς, μπορούμε να εφαρμόσουμε το θεώρημα της τελικής τιμής: ( lim v ( lim V( lim 8V ( 45 Πράγματι, η τάση στο πεδίο του χρόνου έχει τη μορφή και lim v ( 8V. v ( 88e c( 4e i( u (V Παράδειγμα 4. Δίνεται η υπολογιστεί η οριακή τιμή f (. f( e u(. Να εξεταστεί αν μπορεί να Προφανώς lime. Όμως, αν πάρουμε το μετασχηματισμό aplace της f( είναι f( και lim Βλέπουμε δηλαδή ότι στην περίπτωση αυτή, δεν μπορεί να εφαρμοστεί το θεώρημα της τελικής τιμής και αυτό γιατί ο πόλος δεν ανήκει στο αριστερό μιγαδικό ημιεπίπεδο Το θεώρημα της συνέλιξης Όπως γνωρίζουμε και από τη θεωρία των Ηλεκτρικών Κυκλωμάτων Ι, η συνέλιξη (cvlui μας επιτρέπει να προσδιορίζουμε την απόκριση ενός κυκλώματος, με μηδενικές αρχικές φορτίσεις, όταν είναι γνωστή η διέγερση και η κρουστική του απόκριση. Γενικά, η συνέλιξη παίζει πολύ σημαντικό ρόλο στην ανάλυση των γραμμικών συστημάτων. Η συνέλιξη δύο συναρτήσεων f( και g ( συμβολίζεται

21 Κεφάλαιο 4 Μετασχηματισμός aplace 4.3 ως h f * g και εκφράζεται από τη σχέση h ( f( g ( d f( g( d (4.67 Συμβολικά γράφουμε h f g gf (4.68 Το θεώρημα της συνέλιξης καθορίζει ότι αν h ( H(, f F g ( =G( τότε ( ( και H( F( G( (4.69 Δηλαδή, στο πεδίο της συχνότητας ο μετασχηματισμός aplace μετατρέπει τη συνέλιξη σε πολλαπλασιασμό. Απόδειξη Ο μετασχηματισμός aplace της συνέλιξης των δύο συναρτήσεων f( και g ( μπορεί να γραφεί ως h ( f( ( g de d (4.7 Επειδή, u ( (4.7, η σχέση (4.7 μπορεί να γραφεί ως h ( f( u ( g( de d (4.7 Αλλάζοντας τη σειρά των ολοκληρωμάτων έχουμε h ( g( f( u ( e dd (4.73 Το ολοκλήρωμα μέσα στην αγκύλη δεν είναι τίποτε άλλο από το μετασχηματισμό aplace της f( u( u(. Σύμφωνα λοιπόν με την ιδιότητα της χρονικής μετατόπισης έχουμε ( ( ( F F( ( h ( H( F( G( h g e d g e d (4.74 (4.75