Κεφ. 7: Συνήθεις διαφορικές εξισώσεις (ΣΔΕ) - προβλήματα αρχικών τιμών
|
|
- Γερασιμος Γιάνναρης
- 7 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 Κεφ. 7: Συνήθεις διαφορικές εξισώσεις (ΣΔΕ) - προβλήματα αρχικών τιμών 7. Εισαγωγή (ορισμός προβλήματος, αριθμητική ολοκλήρωση ΣΔΕ, αντικατάσταση ΣΔΕ τάξης n με n εξισώσεις ης τάξης) 7. Μέθοδος Euler 7.3 Μέθοδοι Runge-Kutta 7.4 Συστήματα συνήθων διαφορικών εξισώσεων 7.5 Σφάλματα, διάδοση σφαλμάτων, ευστάθεια και σύγκλιση
2 7. Εισαγωγή Η μοντελοποίηση πολλών φυσικών φαινομένων και συστημάτων και κυρίως αυτών που εξελίσσονται στο χρόνο επιτυγχάνεται με την χρήση συνήθων διαφορικών εξισώσεων. Αρκετές κατηγορίες συνήθων διαφορικών εξισώσεων επιλύονται αναλυτικά αλλά ακόμη περισσότερες είναι αυτές που δεν επιλύονται αναλυτικά, δηλαδή δεν έχουν αναλυτικές λύσεις κλειστής μορφής και η επίλυσή τους επιτυγχάνεται μόνο αριθμητικά. Στο κεφάλαιο αυτό θα ασχοληθούμε με αριθμητικές τεχνικές επίλυσης συνήθων διαφορικών εξισώσεων. Έστω μια συνήθης διαφορική εξίσωση (ΣΔΕ) της μορφής n dy d y d y F x,y,,,, 0, n dx dx dx όπου x και y η ανεξάρτητη και εξαρτημένη μεταβλητή αντίστοιχα. Η ΣΔΕ έχει μοναδική λύση μόνο όταν συνοδεύεται από n συνθήκες.
3 Εάν οι συνθήκες αυτές ορίζονται σε ένα σημείο x, έστω στο σημείο x 0, τότε το πρόβλημα ονομάζεται πρόβλημα αρχικών τιμών, ενώ εάν ορίζονται σε περισσότερα από ένα σημείο τότε το πρόβλημα ονομάζεται πρόβλημα οριακών τιμών. Στο παρόν κεφάλαιο θα ασχοληθούμε αποκλειστικά με προβλήματα αρχικών τιμών, όπου η ΣΔΕ n τάξης n dy d y d y F x,y,,,, 0, n dx dx dx συνοδεύεται από n αρχικές συνθήκες: y x b, 0 0 dy, dx x x 0 b d y dx xx 0 b,, d dx n y n xx 0 b n 3
4 Ένα πρόβλημα αρχικών τιμών n τάξης, συνήθως αντικαθίσταται με ένα σύστημα n ΣΔΕ η συνήθης διαφορική εξίσωση με n εξισώσεις ης τάξης. Αυτό επιτυγχάνεται προσδιορίζοντας n νέες εξαρτημένες μεταβλητές. Αντίστοιχα οι n αρχικές συνθήκες για τις παραγώγους της άγνωστης εξαρτημένης μεταβλητής αντικαθίστανται με αρχικές συνθήκες για τις n νέες εξαρτημένες μεταβλητές του συστήματος. Θέτοντας y dy, dx y d y,, dx y n n d y dx προκύπτει το σύστημα y' y, y' y,., y' n yn με αρχικές συνθήκες y x, F x,y,y, y, y n,y' n b, y x b, y x b,., y x b n 0 n 4
5 Παράδειγμα: Εξίσωση Bessel ης τάξης: d y dy x x x p y 0, όπου p μια σταθερά. dx dx Θέτοντας y dy y dy προκύπτει το σύστημα δύο εξισώσεων ης τάξης dx dx dy x xy x p y dx 0 Επομένως, αφού στην περίπτωση προβλημάτων αρχικών τιμών, μια εξίσωση n τάξης μπορεί να αντικατασταθεί από σύστημα n εξισώσεων ης τάξης θα ασχοληθούμε πρώτα με την επίλυση απλών εξισώσεων ης τάξης και στη συνέχεια με συστήματα. 5
6 7. Μέθοδος Euler Έστω το πρόβλημα αρχικών τιμών: f x,y dx, y x Είναι προφανές ότι για κάθε ζεύγος σημείων * * dy y 0 0 ταυτίζεται με τη κλίση της άγνωστης συνάρτησης yx στο σημείο Για παράδειγμα στο x x0 dy f x,y x f x,y dx : x x 0 x,y x η συνάρτηση * * f x,yx Η μέθοδος Εuler βασίζεται στην υπόθεση ότι για μια μικρή απόσταση x κατά μήκος του άξονα x η κλίση της συνάρτησης yx είναι σταθερή με τιμή ίση με τη τιμή της κλίσης στην αρχή του διαστήματος. * x. 6
7 Αναπτύσσεται η yx σε σειρά Taylor γύρω από το σημείο x 0: dy x dy 0 0 xx 0 xx y x x y x x dx dx Εφαρμόζοντας την βασική υπόθεση της μεθόδου Euler στην πρώτη παράγωγο της και αποκόβοντας τους όρους από ης τάξης και επάνω προκύπτει η σχέση 0 0 0, 0 y x y x x y x xf x y Έχοντας υπολογίσει την τιμή y x η διαδικασία επαναλαμβάνεται και προκύπτει y x y x xf x,y Θεωρώντας ότι κάθε φορά προχωρούμε στον άξονα x κατά ένα βήμα h μέθοδος Euler γράφεται στη γενική μορφή y x y x hf x,y x, 0,,, 0 x η 7
8 ή στην πιο συνεκτική μορφή y y hf x, y O h, 0,,, Η έκφραση (αλγόριθμος) Euler έχει ρητή μορφή, δηλαδή η άγνωστη ποσότητα βρίσκεται μόνο στην αριστερή πλευρά της αναγωγικής σχέσης. Η γεωμετρική αναπαράσταση της μεθόδου Euler είναι απλούστατη. y x είναι ομαλή και η Η μέθοδος είναι αποτελεσματική μόνο όταν η συνάρτηση κλίση της στο διάστημα x παραμένει περίπου σταθερή και ίση με την κλίση της y x στην αρχή του διαστήματος. 8
9 Παράδειγμα: Έστω η διαφορική εξίσωση y' x y, y 0 y 0. με αρχική συνθήκη 0 Αναλυτική λύση είναι x y x e x. subroutne euler(x,y,h,n) real::x(:),y(:),h nteger::,n do =,n- y(+)=y()+h*f(x(),y()) x(+)=x()+h enddo end subroutne euler 9
10 Η μέθοδος Euler για h 0., δίδει τον παρακάτω πίνακα αποτελεσμάτων: Αριθμός βήματος x Αριθμητική λύση y f x,y Αναλυτική λύση y x Απόλυτο σφάλμα y y x Όπως προκύπτει από την τελευταία στήλη του πίνακα το απόλυτο σφάλμα αυξάνει σε κάθε βήμα της μεθόδου. Όπως θα δούμε παρακάτω το τοπικό σφάλμα της μεθόδου O h. Euler είναι O h αλλά το συνολικό σφάλμα είναι 0
11 Στο σημείο αυτό είναι χρήσιμο να ξανά-διατυπώσουμε την μέθοδο Euler εφαρμόζοντας αριθμητική ολοκλήρωση (αντί για αριθμητική παραγώγιση με βάση τη σειρά Taylor). dy Έστω το πρόβλημα αρχικών τιμών: f x,y dx, x x 0,xN με y x y. 0 0 xn x0 Επιλέγεται το διάστημα h, όπου N είναι ο αριθμός των ίσων διαστημάτων N που διαιρείται το διάστημα x,x και x x0 h,,,,n 0 N Στη συνέχεια ολοκληρώνεται η ΣΔΕ κατά μήκος των N υπό-διαστημάτων:
12 0 N N x x x x y y f x,y dx 0 y y f x,y dx... x y y f x,y dx x x x y y f x,y dx. N N Ο αναλυτικός υπολογισμός των ολοκληρωμάτων δεν είναι εφικτός, αφού οι συναρτήσεις f x,y δεν είναι γνωστές στα υπό-διαστήματα ολοκλήρωσης. Εισάγεται η βασική υπόθεση της μεθόδου Euler όπου υποθέτουμε ότι η τιμή της συνάρτησης f x,y σε κάθε υπό-διάστημα παραμένει σταθερή και ίση με την τιμή της f αρχή του υπό-διαστήματος. x,y στην Η προσέγγιση αυτή είναι αντίστοιχη με την μεθοδολογία αριθμητικής ολοκλήρωσης I 0, ακρίβειας O h. Τα ολοκληρώματα υπολογίζονται προσεγγιστικά και προκύπτει η αναγωγική έκφραση της μεθόδου Euler.
13 Η ακρίβεια της μεθόδου Euler βελτιώνεται εάν βελτιωθεί η ακρίβεια της αριθμητικής ολοκλήρωσης σε κάθε υπό-διάστημα. Για παράδειγμα εάν η αριθμητική ολοκλήρωση πραγματοποιηθεί με αριθμητική ολοκλήρωση I, δηλαδή κανόνα του τραπεζίου, προκύπτει η αναγωγική έκφραση h 3 y y f x,y f x,yoh. Η σχέση αυτή έχει πεπλεγμένη μορφή, δηλαδή η άγνωστη ποσότητα βρίσκεται και στις δύο πλευρές της αναγωγικής σχέσης. Στις περιπτώσεις αυτές η άγνωστη ποσότητα προκύπτει μετά από επαναληπτική διαδικασία που σταματά όταν ικανοποιηθεί το κριτήριο σύγκλισης. Ο αλγόριθμος γράφεται στη μορφή h y y f x,y f x,y (n ) (n) όπου ο δείκτης n σε παρένθεση είναι ο δείκτης επανάληψης. 3
14 Είναι προφανές ότι η αριθμητική προσπάθεια αυξάνει σημαντικά, αφού κάθε βήμα συνοδεύεται από ένα αναγκαίο αριθμό επαναλήψεων ώστε να βελτιωθεί η τιμή y που προκύπτει μετά την πρώτη επανάληψη. Ο μέθοδος αυτή είναι γνωστή σαν πεπλεγμένη Euler ή μέθοδος Heun. Επιλέγοντας άλλα σχήματα αριθμητικής ολοκλήρωσης οδηγούμεθα σε αντίστοιχα σχήματα αριθμητικής επίλυσης συνήθων διαφορικών εξισώσεων. Για το λόγο αυτό πολλές φορές όταν αναφερόμεθα σε μεθόδους επίλυσης συνήθων διαφορικών εξισώσεων έχει επικρατήσει ο όρος αριθμητική ολοκλήρωση συνήθων διαφορικών εξισώσεων. 4
15 7.3 Μέθοδοι Runge-Kutta Πρόκειται για οικογένεια μεθόδων ενός βήματος με την έννοια ότι η τιμή της εξαρτημένης τιμής στο τέλος του βήματος, όπως και στη μέθοδο Euler, εξαρτάται μόνο από την πληροφορία που αντλείται εντός του συγκεκριμένου βήματος. Δηλαδή η y εξαρτάται μόνο από την y και άλλες τιμές της y στο διάστημα x,x. Η απλούστερη όλων είναι η Runge-Kutta ης τάξης που δίδεται από τη σχέση h y y f x,y f x,y hf x,y. Ο αλγόριθμος Runge-Kutta ης τάξης προκύπτει εφαρμόζοντας την μέθοδο Euler δύο φορές ή την πεπλεγμένη Euler για μία μόνο επανάληψη. 5
16 Πρώτα υπολογίζεται η ενδιάμεση τιμή ŷ y hf x,y και στη συνέχεια την τελική τιμή h y ˆ y f x,y f x,y. Η Runge-Kutta ης τάξης συνοψίζεται στον αλγόριθμο k f x,y k f x h,y hk h y y k k 0,, Ο αλγόριθμος γίνεται εύκολα κατανοητός από την γεωμετρική του αναπαράσταση. 6
17 Οι Runge-Kutta μεγαλύτερης τάξης προκύπτουν με παρόμοιο τρόπο εφαρμόζοντας μεθόδους αριθμητικής ολοκλήρωσης μεγαλύτερης τάξης. Ο αλγόριθμος της Runge-Kutta 3 ης τάξης, προκύπτει εφαρμόζοντας αριθμητική ολοκλήρωση αντίστοιχη με αυτή του ο κανόνα του Smpson: k f x,y h h k f x,y k k3 f x h,y hk h y y k 4k k3 6 0,, Οι ποσότητες k,k,k 3 προσεγγίζουν τις παραγώγους της εξαρτημένης μεταβλητής στα h σημεία x,x,x hαντίστοιχα του υπό-διαστήματος x,x h. 7
18 Η γενική μορφή των μεθόδων Runge-Kutta 4 ης τάξης είναι y y h ak bk ck dk 3 4 όπου οι ποσότητες k,k,k,k 3 4 είναι προσεγγιστικές τιμές της dy / dx σε διαφορετικά σημεία του υπό-διαστήματος x,x h. Οι πλέον δημοφιλείς Runge-Kutta 4 ης τάξης είναι οι αλγόριθμοι k f x,y h h k f x,y k h h k f x,y k 3 k f x h,y hk 4 3 h y y k k k k
19 και k f x,y h h k f x,y k 3 3 h h k f x,y k 3 3 k f x h,y hk h y y k 3k 3k k Όλοι οι αλγόριθμοι Runge-Kutta έχουν ρητό χαρακτήρα. Το συσσωρευμένο σφάλμα της κάθε μεθόδου Runge-Kutta είναι αντίστοιχο με την τάξη της μεθόδου. 9
20 Παράδειγμα: y0 0, αναλυτική λύση: 0 y y e x y x x e x subroutne rk4(x,y,h,n) real::x(:),y(:),h,k,k,k3,k4 nteger::,n do =,n- k=f(x(),y()) k=f(x()+0.5*h,y()+0.5*h*k) k3=f(x()+0.5*h,y()+0.5*h*k) k4=f(x()+h,y()+h*k3) y(+)=y()+(h/6)*(k+*k+*k3+k4) x(+)=x()+h enddo end subroutne rk4 0
21 x Αριθμητική λύση: h 0.5 h 0. h y y x
22 7.4 Συστήματα διαφορικών εξισώσεων Έστω ένα σύστημα n εξισώσεων ης τάξης dy fx,y,,yn dx dy fx,y,,yn dx dyn fnx,y,,yn dx με αρχικές συνθήκες στο σημείο x 0 y x y, y x y,, 0 0, 0, 0 y x y n 0 n, 0 Το σύστημα ΣΔΕ επιλύεται με βάση τις μεθόδους που έχουν αναπτυχθεί χωρίς επιπλέον θεωρητικές και υπολογιστικές δυσκολίες αλλά βεβαίως με μεγαλύτερη υπολογιστική προσπάθεια.
23 Παράδειγμα: d y x z y e dx, y0 y d z dx x z y e, 0 z 0 0 z0 0 ' ' Εισάγουμε τις εξαρτημένες μεταβλητές y y, y y, y3 z, y4 z και το αρχικό σύστημα μετατρέπεται σε ένα σύστημα ης τάξης τεσσάρων εξισώσεων με τέσσερις αρχικές συνθήκες: y 0 x 3 y 3 y y y y y y y e y y y y e x y
24 Αλγόριθμος Euler για h 0. : y. y hy. y 0. y 0 h y3 0 y 0 e y. y hy y 4 0. y4 0 hy3 0 y 0 e 0. Η διαδικασία συνεχίζεται για όσα βήματα κρίνεται αναγκαίο. Σημειώνεται ότι οι συναρτήσεις y και y 3 αντιστοιχούν στις αρχικές άγνωστες εξαρτημένες μεταβλητές y και z, ενώ οι συναρτήσεις y 3 και y 4 στις παραγώγους τους. 4
25 Αλγόριθμος Runge-Kutta ης τάξης για h 0. (οι ποσότητες k και k είναι διανύσματα τεσσάρων στοιχείων, όπου το κάθε στοιχείο συνδέεται με την αντίστοιχη άγνωστη εξαρτημένη μεταβλητή): k y 0 3 y 00 k y 0 y 0 e 0 k k 4 y 0 y 0 e 0 3 και k y. y hk. * k y 0. y 0. e y 0 hk 3 y 0 hk e k y. y hk. * k 4 y 3 0. y 0. e y3 0 hk 3 y 0 hk e
26 Τελικά μετά από ένα βήμα οι τιμές των εξαρτημένων μεταβλητών είναι: 3 4 y y y y Τονίζεται ότι η κάθε εξαρτημένη μεταβλητή της συνάρτησης f x,y,y,y,y, j 34,,, στη δεξιά πλευρά του συστήματος βελτιώνεται με τις «δικά της» k. j 3 4 Έχοντας σαν βάση την παραπάνω επεξεργασία τη διαδικασία, μπορεί να επιλυθεί το σύστημα των τεσσάρων διαφορικών εξισώσεων με Runge-Kutta 3 ης και 4 ης τάξης. 6
27 7.5 Σφάλματα, διάδοση σφαλμάτων, ευστάθεια και σύγκλιση Το σφάλμα ανάμεσα στην αριθμητική και αναλυτική τιμή της συνάρτησης στον κόμβο ορίζεται από το μέτρο της διαφοράς y y x όπου y και yx η αριθμητική και αναλυτική τιμή της y x στο σημείο yx x αντίστοιχα. Εξετάζεται το σφάλμα της μεθόδου Euler αντικαθιστώντας στον αλγόριθμο Euler τις αριθμητικές ποσότητες με τις αντίστοιχες αναλυτικές και τα σφάλματα με βάση τον ορισμό του σφάλματος: y x y x hf x,y x O h f yx hf x,yx Oh y y yx f h Oh y y yx 7
28 Ο πρώτος όρος στο δεξί τμήμα της παραπάνω έκφρασης εξέλιξης του σφάλματος υποδηλώνει την συνεισφορά του σφάλματος του βήματος στο σφάλμα του βήματος, ενώ ο δεύτερος όρος υποδηλώνει το τοπικό σφάλμα αποκοπής. Το τοπικό σφάλμα είναι ης τάξης ενώ το συνολικό σφάλμα της μεθόδου Euler, μετά από βήματα, είναι ης τάξης. Από την εξίσωση εξέλιξης του σφάλματος προκύπτει ότι εάν σε κάθε βήμα ισχύει η ανισότητα h f y y yx τότε το σφάλμα παραμένει πεπερασμένο και μάλιστα μειώνεται καθώς αυξάνει ο αριθμός των βημάτων. Στη περίπτωση αυτή λέμε ότι η μέθοδος είναι ευσταθής. 8
29 f Εάν 0 επιλύοντας την ανισότητα ορίζεται το εύρος του βήματος h ώστε να y ισχύει η ανισότητα. Παράδειγμα: Έστω η διαφορική εξίσωση y' x y, με αρχική συνθήκη 0 Αναλυτική λύση είναι y x e x x. f f x y ' x y y f h h y y 0 y 0. h 0 h h 0. h 0.5 h.5 9
30 f Αντίθετα εάν 0 τότε η ανισότητα δεν ισχύει για οποιαδήποτε τιμή του βήματος h. y Στη περίπτωση αυτή μέθοδος είναι ασταθής. h f και το σφάλμα αυξάνει συνεχώς και λέμε ότι η y y y x Στο σημείο αυτό είναι χρήσιμο να επαναδιατυπωθεί ο ορισμός της σύγκλισης: Λέμε ότι μία αριθμητική μέθοδος συγκλίνει όταν το σφάλμα, 0,,, τείνει στο μηδέν, καθώς το διάστημα h τείνει επίσης στο μηδέν: lm 0 Δηλαδή η αριθμητική λύση ανάγεται στην συνεχή λύση καθώς το διακριτοποιημένο πρόβλημα ανάγεται στο συνεχές πρόβλημα. h0 30
31 Για τη μελέτη ευστάθειας των άλλων μεθόδων αριθμητικής ολοκλήρωσης ΣΔΕ η μαθηματική επεξεργασία απλουστεύεται και εξετάζεται με βάση την γραμμική εξίσωση dy dx y x yx ce Στη περίπτωση αυτή εύκολα το κριτήριο ευστάθειας της μεθόδου Euler είναι: f h y y y x h h Η ανισότητα h για ισχύει όταν h 0 ενώ για ισχύει όταν h h. R I Άρα η μέθοδος είναι ευσταθής εφόσον η ποσότητα h βρίσκεται εντός του κύκλου με κέντρο 0, και ακτίνα του μιγαδικού επιπέδου. 3
32 Κριτήριο ευστάθειας Runge-Kutta ης τάξης: Επειδή η εξίσωση είναι γραμμική εύκολα αποδεικνύεται ότι d dx h k k h h h h h h Κριτήρια ευστάθειας Runge-Kutta 3 ης και 4 ης τάξης: 3 3 h h h και h h h h 6 4 3
33 Εάν το οι παραπάνω σχέσεις απλουστεύονται και προκύπτουν οι εξής ανισότητες που είναι ενδεικτικές για το εύρος τιμών που επιτρέπεται να πάρει το βήμα h ώστε το αριθμητικό σχήμα να είναι ευσταθές: Runge-Kutta ης τάξης: h 0 Runge-Kutta 3 ης τάξης:. 5 h 0 Runge-Kutta 4 ης τάξης: 785. h 0 Τονίζεται ότι σε όλες τις περιπτώσεις οι μέθοδοι είναι ευσταθείς μόνο όταν 0. Εφαρμόζοντας την ίδια μεθοδολογία προκύπτει ότι η πεπλεγμένη Euler, για 0, είναι πάντα ευσταθής για οποιαδήποτε τιμή του βήματος 0 h. Η ιδιότητα αυτή χαρακτηρίζει τις πεπλεγμένες αριθμητικές μεθόδους. 33
34 Εάν το, οι αντίστοιχες περιοχές ευστάθειας θα πρέπει να αναζητηθούν στο μιγαδικό επίπεδο. Περιοχές ευστάθειας στο μιγαδικό επίπεδο των μεθόδων Euler και Runge- Kutta ης, 3 ης και 4 ης τάξης. Γενικά καθώς αυξάνει η τάξη ακρίβειας της αριθμητικής μεθόδου ολοκλήρωσης συνήθων διαφορικών εξισώσεων αυξάνει και η ευστάθεια της μεθόδου, επιτρέποντας το βήμα ολοκλήρωσης h να παίρνει μεγαλύτερες τιμές. Το ζητούμενο σε κάθε περίπτωση είναι η ανάπτυξη αριθμητικών μεθόδων υψηλής ακρίβειας και ευστάθειας. 34
35 Κριτήριο ευστάθειας σε σύστημα εξισώσεων Παράδειγμα: Να προσδιοριστεί με τη μέθοδο Euler το κριτήριο ευστάθειας για την αριθμητική λύση του προβλήματος αρχικών τιμών dy dt dy 3y y dt y y dy 3y () () () () y y () () () y h 3y y dt y 3hy hy () () () () () () () dy y hy h y y y y y h y y dt () () y 3h h y () () y h h y Θέλουμε η φασματική ακτίνα του πίνακα G να είναι < G 35
36 Υπολογίζουμε τις ιδιοτιμές του πίνακα G: 3h h 03hhh 0 h h 5 5 h.38h (5h) 5h5h h3.68h Θέτουμε τις απόλυτες τιμές και των δύο ιδιοτιμών < και υπολογίζουμε το h..38h.38h.38h0 0.38h h h h h / 3.68 h Επομένως, διατηρώντας το αυστηρότερο κριτήριο έχουμε τελικά: 0 h
Κεφ. 6Β: Συνήθεις διαφορικές εξισώσεις (ΣΔΕ) - προβλήματα αρχικών τιμών
Κεφ. 6Β: Συνήθεις διαφορικές εξισώσεις (ΣΔΕ) - προβλήματα αρχικών τιμών. Εισαγωγή (ορισμός προβλήματος, αριθμητική ολοκλήρωση ΣΔΕ, αντικατάσταση ΣΔΕ τάξης n με n εξισώσεις ης τάξης). Μέθοδος Euler 3. Μέθοδοι
Διαβάστε περισσότεραΚεφάλαιο 1. Αριθµητική ολοκλήρωση συνήθων διαφορικών εξισώσεων και συστηµάτων
Κεφάλαιο Αριθµητική ολοκλήρωση συνήθων διαφορικών εξισώσεων και συστηµάτων. Εισαγωγή Η µοντελοποίηση πολλών φυσικών φαινοµένων και συστηµάτων και κυρίως αυτών που εξελίσσονται στο χρόνο επιτυγχάνεται µε
Διαβάστε περισσότεραΑριθμητική ολοκλήρωση συνήθων διαφορικών εξισώσεων και συστημάτων
Αριθμητική ολοκλήρωση συνήθων διαφορικών εξισώσεων και συστημάτων Οι παρούσες σημειώσεις αποτελούν βοήθημα στο μάθημα Αριθμητικές Μέθοδοι του 5 ου εξαμήνου του ΤΜΜ ημήτρης Βαλουγεώργης Καθηγητής Εργαστήριο
Διαβάστε περισσότεραΣυνήθεις διαφορικές εξισώσεις προβλήματα οριακών τιμών
Συνήθεις διαφορικές εξισώσεις προβλήματα οριακών τιμών Οι παρούσες σημειώσεις αποτελούν βοήθημα στο μάθημα Αριθμητικές Μέθοδοι του 5 ου εξαμήνου του ΤΜΜ ημήτρης Βαλουγεώργης Καθηγητής Εργαστήριο Φυσικών
Διαβάστε περισσότεραΠαράδειγµα #11 ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΑΡΧΙΚΩΝ ΤΙΜΩΝ Σ Ε ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: Ν. Βασιλειάδης
Παράδειγµα # ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΑΡΧΙΚΩΝ ΤΙΜΩΝ Σ Ε ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: Ν. Βασιλειάδης Άσκηση ίδεται η διαφορική εξίσωση: dy dx y 0 = 0 x = y + e, Να επιλυθεί το πρόβληµα αρχικών τιµών µε τις µεθόδους Euler και Runge-Kutta
Διαβάστε περισσότεραΑριθμητική παραγώγιση εκφράσεις πεπερασμένων διαφορών
Αριθμητική παραγώγιση εκφράσεις πεπερασμένων διαφορών Οι παρούσες σημειώσεις αποτελούν βοήθημα στο μάθημα Αριθμητικές Μέθοδοι του 5 ου εξαμήνου του ΤΜΜ ημήτρης Βαλουγεώργης Καθηγητής Εργαστήριο Φυσικών
Διαβάστε περισσότεραΚεφάλαιο 2. Μέθοδος πεπερασµένων διαφορών προβλήµατα οριακών τιµών µε Σ Ε
Κεφάλαιο Μέθοδος πεπερασµένων διαφορών προβλήµατα οριακών τιµών µε Σ Ε. Εισαγωγή Η µέθοδος των πεπερασµένων διαφορών είναι από τις παλαιότερες και πλέον συνηθισµένες και διαδεδοµένες υπολογιστικές τεχνικές
Διαβάστε περισσότεραΗ διατήρηση μάζας σε ένα σύστημα τριών αντιδραστήρων περιγράφεται από το παρακάτω σύστημα συνήθων διαφορικών εξισώσεων:
ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 6 ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ, 0-0, 5 Ο ΕΞΑΜΗΝΟ ΕΠΙΛΥΣΗ ΕΡΓΑΣΙΑΣ #: ΣΥΝΗΘΕΙΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣ - ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΑΡΧΙΚΩΝ ΤΙΜΩΝ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: Ιωάννης Λυχναρόπουλος ΑΣΚΗΣΗ Η διατήρηση μάζας σε ένα σύστημα τριών
Διαβάστε περισσότεραΕπιμέλεια απαντήσεων: Ιωάννης Λυχναρόπουλος
ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ, 008-009, 5 Ο ΕΞΑΜΗΝΟ ΕΡΓΑΣΙΑ #: ΣΥΝΗΘΕΙΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΚΑΙ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΑΡΧΙΚΩΝ ΤΙΜΩΝ ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ ΠΑΡΑΔΟΣΗΣ: 3.0.008 ΔΙΔΑΣΚΩΝ: Δ. Βαλουγεώργης Άσκηση Επιμέλεια απαντήσεων:
Διαβάστε περισσότεραΧΡΟΝΙΚΗ ΟΛΟΚΛΗΡΩΣΗ. Για την επίλυση χρονομεταβαλλόμενων προβλημάτων η διακριτοποίηση στο χώρο γίνεται με πεπερασμένα στοιχεία και είναι της μορφής:
ΧΡΟΝΙΚΗ ΟΛΟΚΛΗΡΩΣΗ Για την επίλυση χρονομεταβαλλόμενων προβλημάτων η διακριτοποίηση στο χώρο γίνεται με πεπερασμένα στοιχεία και είναι της μορφής: (,)(,)()() h 1 u x t u x t u t x (1) e Η διαφορά με τα
Διαβάστε περισσότερα4. Παραγώγιση πεπερασμένων διαφορών Σειρά Taylor Πολυωνυμική παρεμβολή
4. Παραγώγιση Η διαδικασία της υπολογιστικής επίλυσης συνήθων και μερικών διαφορικών εξισώσεων προϋποθέτει την προσέγγιση της εξαρτημένης μεταβλητής και των παραγώγων της στους κόμβους του πλέγματος. Ειδικά,
Διαβάστε περισσότερα4. Παραγώγιση πεπερασμένων διαφορών Σειρά Taylor Πολυωνυμική παρεμβολή
. Παραγώγιση Η διαδικασία της υπολογιστικής επίλυσης συνήθων και μερικών διαφορικών εξισώσεων προϋποθέτει την προσέγγιση της εξαρτημένης μεταβλητής και των παραγώγων της στους κόμβους του πλέγματος. Ειδικά,
Διαβάστε περισσότεραΠρόλογος Εισαγωγή στη δεύτερη έκδοση Εισαγωγή... 11
Περιεχόμενα Πρόλογος... 9 Εισαγωγή στη δεύτερη έκδοση... 0 Εισαγωγή... Ε. Εισαγωγή στην έννοια της Αριθμητικής Ανάλυσης... Ε. Ταξινόμηση των θεμάτων που απασχολούν την αριθμητική ανάλυση.. Ε.3 Μορφές σφαλμάτων...
Διαβάστε περισσότεραΚεφάλαιο 6. Εισαγωγή στη µέθοδο πεπερασµένων όγκων επίλυση ελλειπτικών και παραβολικών διαφορικών εξισώσεων
Κεφάλαιο 6 Εισαγωγή στη µέθοδο πεπερασµένων όγκων επίλυση ελλειπτικών παραβολικών διαφορικών εξισώσεων 6.1 Εισαγωγή Η µέθοδος των πεπερασµένων όγκων είναι µία ευρέως διαδεδοµένη υπολογιστική µέθοδος επίλυσης
Διαβάστε περισσότεραΑριθμητική Ανάλυση και Εφαρμογές
Αριθμητική Ανάλυση και Εφαρμογές Διδάσκων: Δημήτριος Ι. Φωτιάδης Τμήμα Μηχανικών Επιστήμης Υλικών Ιωάννινα 07-08 Αριθμητική Ολοκλήρωση Εισαγωγή Έστω ότι η f είναι μία φραγμένη συνάρτηση στο πεπερασμένο
Διαβάστε περισσότεραΚεφ. 6Α: Συνήθεις διαφορικές εξισώσεις - προβλήματα δύο οριακών τιμών
Κεφ. 6Α: Συνήθεις διαφορικές εξισώσεις - προβλήματα δύο οριακών τιμών 1. Εισαγωγή. Προβλήματα δύο οριακών τιμών 3. Η μέθοδος των πεπερασμένων διαφορών 4. Οριακές συνθήκες με παραγώγους 5. Παραδείγματα
Διαβάστε περισσότεραΑριθμητική Ολοκλήρωση της Εξίσωσης Κίνησης
Αριθμητική Ολοκλήρωση της Εξίσωσης Κίνησης Εισαγωγή Αριθμητική Ολοκλήρωση της Εξίσωσης Κίνησης: Δ18- Η δυναμική μετατόπιση u(t) είναι δυνατό να προσδιοριστεί με απ ευθείας αριθμητική ολοκλήρωση της εξίσωσης
Διαβάστε περισσότεραΕπίλυση παραβολικών διαφορικών εξισώσεων με πεπερασμένες διαφορές
Επίλυση παραβολικών διαφορικών εξισώσεων με πεπερασμένες διαφορές Οι παρούσες σημειώσεις αποτελούν βοήθημα στο μάθημα Αριθμητικές Μέθοδοι του 5 ου εξαμήνου του ΤΜΜ Δημήτρης Βαλουγεώργης Καθηγητής Εργαστήριο
Διαβάστε περισσότεραΣυνήθεις Διαφορικές Εξισώσεις Ι Ασκήσεις - 09/11/2017. Άσκηση 1. Να βρεθεί η γενική λύση της διαφορικής εξίσωσης. dy dx = 2y + x 2 y 2 2x
Συνήθεις Διαφορικές Εξισώσεις Ι Ασκήσεις - 09/11/017 Άσκηση 1. Να βρεθεί η γενική λύση της διαφορικής εξίσωσης dx y + x y. x Παρατηρούμε ότι η δ.ε. είναι ομογενής. Πράγματι, dx y x + 1 x y x y x + 1 (
Διαβάστε περισσότεραΑΡΙΘΜΗΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ, 5 Ο ΕΞΑΜΗΝΟ, ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΟΣΕΩΝ. Κεφ. 1: Εισαγωγή (διάρκεια: 0.5 εβδομάδες)
ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ, 5 Ο ΕΞΑΜΗΝΟ, 2016-2017 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΟΣΕΩΝ Κεφ. 1: Εισαγωγή (διάρκεια: 0.5 εβδομάδες) Κεφ. 2: Επίλυση συστημάτων εξισώσεων (διάρκεια: 3 εβδομάδες) 2.1 Επίλυση εξισώσεων 2.2 Επίλυση
Διαβάστε περισσότεραΑΡΙΘΜΗΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ ΓΙΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΜΗΧΑΝΙΚΗΣ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΜΕ ΧΡΗΣΗ MATLAB ΔΕΥΤΕΡΗ ΕΚΔΟΣΗ [ΒΕΛΤΙΩΜΕΝΗ ΚΑΙ ΕΠΑΥΞΗΜΕΝΗ]
ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ ΓΙΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΜΗΧΑΝΙΚΗΣ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΜΕ ΧΡΗΣΗ MATLAB ΔΕΥΤΕΡΗ ΕΚΔΟΣΗ [ΒΕΛΤΙΩΜΕΝΗ ΚΑΙ ΕΠΑΥΞΗΜΕΝΗ] Συγγραφείς ΝΤΑΟΥΤΙΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ Πανεπιστήμιο Minnesota, USA ΜΑΣΤΡΟΓΕΩΡΓΟΠΟΥΛΟΣ ΣΠΥΡΟΣ Αριστοτέλειο
Διαβάστε περισσότεραΚεφ. 2: Επίλυση συστημάτων εξισώσεων. 2.1 Επίλυση εξισώσεων
Κεφ. : Επίλυση συστημάτων εξισώσεων. Επίλυση εξισώσεων. Επίλυση συστημάτων με απευθείας μεθόδους.. Μέθοδοι Gauss, Gauss-Jorda.. Παραγοντοποίηση LU (ειδικές περιπτώσεις: Cholesky, Thomas).. Νόρμες πινάκων,
Διαβάστε περισσότεραΜΕΘΟΔΟΣ ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΩΝ ΣΤΟΙΧΕΙΩΝ
ΜΕΘΟΔΟΣ ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΩΝ ΣΤΟΙΧΕΙΩΝ Βασίζεται στην εφαρμογή των παρακάτω βημάτων:. Το φυσικό πεδίο αναπαριστάται με ένα σύνολο απλών γεωμετρικών σχημάτων που ονομάζονται Πεπερασμένα Στοιχεία.. Σε κάθε στοιχείο
Διαβάστε περισσότερα1 Επίλυση Συνήθων ιαφορικών Εξισώσεων
1 Επίλυση Συνήθων ιαφορικών Εξισώσεων Εξίσωση πρώτης τάξης µε συνθήκες αρχικών τιµών ΠΡΟΒΛΗΜΑ : Να ευρεθεί συνάρτηση y = y(x) η οποία για x [a, b] ικανοποιεί την εξίσωση y = f(x, y) υπό την αρχική συνθήκη
Διαβάστε περισσότεραΑριθμητική εύρεση ριζών μη γραμμικών εξισώσεων
Αριθμητική εύρεση ριζών μη γραμμικών εξισώσεων Με τον όρο μη γραμμικές εξισώσεις εννοούμε εξισώσεις της μορφής: f( ) 0 που προέρχονται από συναρτήσεις f () που είναι μη γραμμικές ως προς. Περιέχουν δηλαδή
Διαβάστε περισσότερα2. Η μέθοδος του Euler
2. Η μέθοδος του Euler Ασκήσεις 2.5 Έστω a = t 0 < t 1 < < t N = b ένας διαμερισμός του [a, b]. Υποθέστε ότι ο διαμερισμός είναι ημιομοιόμορφος, ότι υπάρχει δηλαδή θετική σταθερά µ, ανεξάρτητη του N, τέτοια
Διαβάστε περισσότεραΚεφάλαιο 7. Επίλυση υπερβολικών διαφορικών εξισώσεων με πεπερασμένες διαφορές
Κεφάλαιο 7 Επίλυση υπερβολικών διαφορικών εξισώσεων με πεπερασμένες διαφορές 7. Εξισώσεις κύματος ης ης τάξης Οι κλασσικές αντιπροσωπευτικές εξισώσεις της κατηγορίας των υπερβολικών εξισώσεων είναι οι
Διαβάστε περισσότεραΠεπερασμένες Διαφορές.
Κεφάλαιο 1 Πεπερασμένες Διαφορές. 1.1 Προσέγγιση παραγώγων. 1.1.1 Πρώτη παράγωγος. Από τον ορισμό της παραγώγου για συναρτήσεις μιας μεταβλητής γνωρίζουμε ότι η παράγωγος μιας συνάρτησης f στο σημείο x
Διαβάστε περισσότεραΑριθμητικές Μέθοδοι για την επίλυση ΠΑΤ Δ.Ε.
Κεφάλαιο 4 Αριθμητικές Μέθοδοι για την επίλυση ΠΑΤ Δ.Ε. 4.1 Προβλήματα αρχικών τιμών Στο κεφάλαο αυτό θα ασχοληθούμε με μεθόδους αριθμητικής επίλυσης προβλημάτων αρχικών τιμών για Συνήθεις Διαφορικές Εξισώσεις
Διαβάστε περισσότεραΚεφ. 3: Παρεμβολή. 3.1 Εισαγωγή. 3.2 Πολυωνυμική παρεμβολή Παρεμβολή Lagrange Παρεμβολή Newton. 3.3 Παρεμβολή με κυβικές splines
Κεφ. 3: Παρεμβολή 3. Εισαγωγή 3. Πολυωνυμική παρεμβολή 3.. Παρεμβολή Lagrage 3.. Παρεμβολή Newto 3.3 Παρεμβολή με κυβικές splies 3.4 Μέθοδος ελαχίστων τετραγώνων 3.5 Παρεμβολή με ορθογώνια πολυώνυμα 3.
Διαβάστε περισσότεραΚεφ. 7: Επίλυση ελλειπτικών διαφορικών εξισώσεων με πεπερασμένες διαφορές
Κεφ 7: Επίλυση ελλειπτικών διαφορικών εξισώσεων με πεπερασμένες διαφορές 71 Εισαγωγή πρότυπες εξισώσεις 7 Εξισώσεις πεπερασμένων διαφορών πέντε και εννέα σημείων 73 Οριακές συνθήκες μικτού τύπου και ακανόνιστα
Διαβάστε περισσότεραΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 14 ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ, , 5 Ο ΕΞΑΜΗΝΟ ΕΡΓΑΣΙΑ #1: ΣΥΝΗΘΕΙΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΚΑΙ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΑΡΧΙΚΩΝ ΤΙΜΩΝ
ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 14 ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ, 009-010, 5 Ο ΕΞΑΜΗΝΟ ΕΡΓΑΣΙΑ #1: ΣΥΝΗΘΕΙΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΚΑΙ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΑΡΧΙΚΩΝ ΤΙΜΩΝ Επιμέλεια απαντήσεων: Ιωάννης Λυχναρόπουλος ΑΣΚΗΣΗ 1 Έστω το πρόβλημα
Διαβάστε περισσότεραΚεφ. 3: Παρεμβολή. 3.1 Εισαγωγή. 3.2 Πολυωνυμική παρεμβολή Παρεμβολή Lagrange Παρεμβολή Newton. 3.3 Παρεμβολή με κυβικές splines
Κεφ. 3: Παρεμβολή 3. Εισαγωγή 3. Πολυωνυμική παρεμβολή 3.. Παρεμβολή Lagrage 3.. Παρεμβολή Newto 3.3 Παρεμβολή με κυβικές splies 3.4 Μέθοδος ελαχίστων τετραγώνων 3.5 Παρεμβολή με ορθογώνια πολυώνυμα 3.
Διαβάστε περισσότερα6. Αριθμητική επίλυση συνήθων διαφορικών
6. Αριθμητική επίλυση συνήθων διαφορικών Η συμπεριφορά πολλών φυσικών συστημάτων περιγράφεται από συνήθεις διαφορικές εξισώσεις ή από συστήματα συνήθων διαφορικών εξισώσεων. Παραδείγματα τέτοιων συστημάτων
Διαβάστε περισσότεραΑριθμητική Ανάλυση και Εφαρμογές
Αριθμητική Ανάλυση και Εφαρμογές Διδάσκων: Δημήτριος Ι. Φωτιάδης Τμήμα Μηχανικών Επιστήμης Υλικών Ιωάννινα 07-08 Αριθμητική Παραγώγιση Εισαγωγή Ορισμός 7. Αν y f x είναι μια συνάρτηση ορισμένη σε ένα διάστημα
Διαβάστε περισσότεραΕφαρµόζοντας τη µέθοδο αριθµητικής ολοκλήρωσης Euler και Runge-Kutta 2 ης, συστηµατική σύγκριση των πέντε µεθόδων. Η επιλογή των σταθερών
ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟ ΟΙ, 6-7, 5 Ο ΕΞΑΜΗΝΟ ΕΡΓΑΣΙΑ #: ΣΥΝΗΘΕΙΣ ΙΑΦΟΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΚΑΙ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ ΠΑΡΑ ΟΣΗΣ:..6 Επιµέλεια απαντήσεων: Ι. Λυχναρόπουλος. Έστω το πρόβληµα αρχικών τιµών: ( dx( d x
Διαβάστε περισσότεραΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΔΥΟ ΔΙΑΣΤΑΣΕΩΝ
ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΔΥΟ ΔΙΑΣΤΑΣΕΩΝ Η ανάλυση προβλημάτων δύο διαστάσεων με τη μέθοδο των Πεπερασμένων Στοιχείων περιλαμβάνει τα ίδια βήματα όπως και στα προβλήματα μιας διάστασης. Η ανάλυση γίνεται λίγο πιο πολύπλοκη
Διαβάστε περισσότεραΑριθμητική Ανάλυση & Εφαρμογές
Αριθμητική Ανάλυση & Εφαρμογές Διδάσκων: Δημήτριος Ι. Φωτιάδης Τμήμα Μηχανικών Επιστήμης Υλικών Ιωάννινα 2017-2018 Υπολογισμοί και Σφάλματα Παράσταση Πραγματικών Αριθμών Συστήματα Αριθμών Παράσταση Ακέραιου
Διαβάστε περισσότεραIV.13 ΔΙΑΦΟΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 1 ης ΤΑΞΕΩΣ
IV.3 ΔΙΑΦΟΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ης ΤΑΞΕΩΣ.Γενική λύση.χωριζόμενων μεταβλητών 3.Ρυθμοί 4.Γραμμικές 5.Γραμμική αυτόνομη 6.Bernoulli αυτόνομη 7.Aσυμπτωτικές ιδιότητες 8.Αυτόνομες 9.Σταθερές τιμές.διάγραμμα ροής.ασυμπτωτική
Διαβάστε περισσότεραΚεφ. 2: Επίλυση συστημάτων αλγεβρικών εξισώσεων. 2.1 Επίλυση απλών εξισώσεων
Κεφ. : Επίλυση συστημάτων αλγεβρικών εξισώσεων. Επίλυση απλών εξισώσεων. Επίλυση συστημάτων με απευθείας μεθόδους.. Μέθοδοι Gauss, Gauss-Jorda.. Παραγοντοποίηση LU ειδικές περιπτώσεις: Cholesky, Thomas..
Διαβάστε περισσότεραΚεφ. 3: Παρεμβολή. 3.1 Εισαγωγή. 3.2 Πολυωνυμική παρεμβολή Παρεμβολή Lagrange Παρεμβολή Newton. 3.3 Παρεμβολή με κυβικές splines
Κεφ. 3: Παρεμβολή 3. Εισαγωγή 3. Πολυωνυμική παρεμβολή 3.. Παρεμβολή Lagrage 3.. Παρεμβολή Newto 3.3 Παρεμβολή με κυβικές splies 3.4 Μέθοδος ελαχίστων τετραγώνων 3.5 Παρεμβολή με ορθογώνια πολυώνυμα 3.
Διαβάστε περισσότεραΠίνακας Περιεχομένων
Πίνακας Περιεχομένων Πρόλογος... 13 Πρώτο Μέρος: Γενικές Έννοιες Κεφάλαιο 1 ο : Αλγοριθμική... 19 1.1 Περιγραφή Αλγορίθμου... 19 1.2. Παράσταση Αλγορίθμων... 21 1.2.1 Διαγράμματα Ροής... 22 1.2.2 Ψευδογλώσσα
Διαβάστε περισσότερα11 ΣΥΝΗΘΕΙΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ
11 ΣΥΝΗΘΕΙΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 11.1 Γενικά περί συνήθων διαφορικών εξισώσεων Μια συνήθης διαφορική εξίσωση (ΣΔΕ) 1 ης τάξης έχει τη μορφή dy d = f (, y()) όπου f(, y) γνωστή και y() άγνωστη συνάρτηση.
Διαβάστε περισσότεραΑριθµητική Ανάλυση. ιδάσκοντες: Καθηγητής Ν. Μισυρλής, Επίκ. Καθηγητής Φ.Τζαφέρης ΕΚΠΑ. 16 Ιανουαρίου 2015
Αριθµητική Ανάλυση ιδάσκοντες: Καθηγητής Ν. Μισυρλής, Επίκ. Καθηγητής Φ.Τζαφέρης ΕΚΠΑ 16 Ιανουαρίου 2015 ιδάσκοντες:καθηγητής Ν. Μισυρλής,Επίκ. Καθηγητής Φ.Τζαφέρης Αριθµητική (ΕΚΠΑ) Ανάλυση 16 Ιανουαρίου
Διαβάστε περισσότεραQ 12. c 3 Q 23. h 12 + h 23 + h 31 = 0 (6)
Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Σχολή Πολιτικών Μηχανικών Τοµέας Υδατικών Πόρων Μάθηµα: Τυπικά Υδραυλικά Έργα Μέρος 2: ίκτυα διανοµής Άσκηση E0: Μαθηµατική διατύπωση µοντέλου επίλυσης απλού δικτύου διανοµής
Διαβάστε περισσότεραΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΗ ΔΙΠΛΩΜΑΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ. Κωνσταντίνος Ξ. Τσιόκας. Αν. Καθηγήτρια Α.Π.Θ.
ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ & ΘΕΩΡΙΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΚΑΙ ΕΛΕΓΧΟΥ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ ΕΠΙΛΥΣΗΣ ΥΨΗΛΗΣ ΤΑΞΗΣ ODE ΜΕ ΥΨΗΛΗΣ ΤΑΞΗΣ
Διαβάστε περισσότεραΥΠΟΛΟΓΙΣΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟ ΟΙ
ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟ ΟΙ Σηµειώσεις µαθήµατος ηµήτρης Βαλουγεώργης Αναπληρωτής Καθηγητής Τµήµα Μηχανολόγων Μηχανικών Βιοµηχανίας Εργαστήριο Φυσικών και Χηµικών ιεργασιών Πολυτεχνική Σχολή Πανεπιστήµιο Θεσσαλίας
Διαβάστε περισσότεραMEM 253. Αριθμητική Λύση ΜΔΕ * * *
MEM 253 Αριθμητική Λύση ΜΔΕ * * * 1 Ένα πρόβλημα-μοντέλο Ροή θερμότητας σε ένα ομογενές μέσο. Ζητούμε μια συνάρτηση x [0, 1] και t 0 τέτοια ώστε u(x, t) ορισμένη για u t u(0, t) u(x, 0) = u xx, 0 < x
Διαβάστε περισσότερα15 εκεµβρίου εκεµβρίου / 64
15 εκεµβρίου 016 15 εκεµβρίου 016 1 / 64 Αριθµητική Ολοκλήρωση Κλειστοί τύποι αριθµητικής ολοκλήρωσης Εστω I(f) = b µε f(x) C[a, b], τότε I(f) = F(b) F(a), όπου F(x) είναι το αόριστο ολοκλήρωµα της f(x).
Διαβάστε περισσότεραΚεφ. 2: Επίλυση συστημάτων αλγεβρικών εξισώσεων. 2.1 Επίλυση απλών εξισώσεων
Κεφ. : Επίλυση συστημάτων αλγεβρικών εξισώσεων. Επίλυση απλών εξισώσεων. Επίλυση συστημάτων με απευθείας μεθόδους.. Μέθοδοι Gauss, Gauss-Jorda.. Παραγοντοποίηση LU (ειδικές περιπτώσεις: Cholesky, Thomas)..
Διαβάστε περισσότεραΜέθοδοι πολυδιάστατης ελαχιστοποίησης
Μέθοδοι πολυδιάστατης ελαχιστοποίησης με παραγώγους Μέθοδοι πολυδιάστατης ελαχιστοποίησης Δ. Γ. Παπαγεωργίου Τμήμα Μηχανικών Επιστήμης Υλικών Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων dpapageo@cc.uoi.gr http://pc64.materials.uoi.gr/dpapageo
Διαβάστε περισσότεραKΕΦΑΛΑΙΟ 8 ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟ ΟΙ ΕΠΙΛΥΣΗΣ ΣΥΝΗΘΩΝ. Το τυπικό πρόβληµα αρχικών τιµών που θα µας απασχολήσει, είναι το ακόλουθο:
KΕΦΑΛΑΙΟ 8 ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟ ΟΙ ΕΠΙΛΥΣΗΣ ΣΥΝΗΘΩΝ ΙΑΦΟΡΙΚΩΝ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ Έστω [ α, b], f :[ α, b], y. Το τυπικό πρόβληµα αρχικών τιµών που θα µας απασχολήσει, είναι το ακόλουθο: Ζητείται µια συνάρτηση y :[
Διαβάστε περισσότεραΠίνακας Περιεχομένων
Πίνακας Περιεχομένων Πρόλογος... 11 Κεφάλαιο 1o: Εισαγωγικά... 15 1.1 Με τι ασχολείται η Αριθμητική Ανάλυση... 15 1.2 Πηγές Σφαλμάτων... 17 1.2.1 Εισόδου... 17 1.2.2 Αριθμητικής Υπολογιστών... 18 1.2.3
Διαβάστε περισσότεραΨηφιακή Επεξεργασία Σημάτων
Ψηφιακή Επεξεργασία Σημάτων Ενότητα 3: Συστήματα Διακριτού Χρόνου Δρ. Μιχάλης Παρασκευάς Επίκουρος Καθηγητής 1 Συστήματα Διακριτού Χρόνου Εισαγωγή στα Συστήματα Διακριτού Χρόνου Ταξινόμηση Συστημάτων ΔΧ
Διαβάστε περισσότεραΣυνήθεις Διαφορικές Εξισώσεις Ι Ασκήσεις - 19/10/2017. Ακριβείς Διαφορικές Εξισώσεις-Ολοκληρωτικοί Παράγοντες. Η πρώτης τάξης διαφορική εξίσωση
Συνήθεις Διαφορικές Εξισώσεις Ι Ασκήσεις - 19/10/2017 Ακριβείς Διαφορικές Εξισώσεις-Ολοκληρωτικοί Παράγοντες Η πρώτης τάξης διαφορική εξίσωση M(x, y) + (x, y)y = 0 ή ισοδύναμα, γραμμένη στην μορφή M(x,
Διαβάστε περισσότεραΜέθοδοι μονοδιάστατης ελαχιστοποίησης
Βασικές αρχές μεθόδων ελαχιστοποίησης Μέθοδοι μονοδιάστατης ελαχιστοποίησης Οι μέθοδοι ελαχιστοποίησης είναι επαναληπτικές. Ξεκινώντας από μια αρχική προσέγγιση του ελαχίστου (την συμβολίζουμε ) παράγουν
Διαβάστε περισσότεραΕπιμέλεια απαντήσεων: Ιωάννης Λυχναρόπουλος
ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ, 9-, 5 Ο ΕΞΑΜΗΝΟ ΕΡΓΑΣΙΑ #: ΣΥΝΗΘΕΙΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΔΥΟ ΟΡΙΑΚΩΝ ΤΙΜΩΝ ΤΑΞΙΝΟΜΗΣΗ ΜΕΡΙΚΩΝ ΔΙΑΦΟΡΙΚΩΝ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ ΠΑΡΑΔΟΣΗΣ:..9 ΔΙΔΑΣΚΩΝ: Δ. Βαλουγεώργης Επιμέλεια
Διαβάστε περισσότεραA Τελική Εξέταση του μαθήματος «Αριθμητική Ανάλυση» Σχολή Θετικών Επιστημών, Τμήμα Μαθηματικών, Πανεπιστήμιο Αιγαίου
A Τελική Εξέταση του μαθήματος «Αριθμητική Ανάλυση» Εξεταστική περίοδος Ιουνίου 6, Διδάσκων: Κώστας Χουσιάδας Διάρκεια εξέτασης: ώρες (Σε παρένθεση δίνεται η βαθμολογική αξία κάθε υπο-ερωτήματος. Σύνολο
Διαβάστε περισσότεραΑριθμητικές Μέθοδοι σε Προγραμματιστικό Περιβάλλον
Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής Αριθμητικές Μέθοδοι σε Προγραμματιστικό Περιβάλλον Δρ. Δημήτρης Βαρσάμης Επίκουρος Καθηγητής Οκτώβριος 2014 Δρ. Δημήτρης Βαρσάμης Οκτώβριος 2014 1 / 42 Αριθμητικές Μέθοδοι
Διαβάστε περισσότεραy 1 (x) f(x) W (y 1, y 2 )(x) dx,
Συνήθεις Διαφορικές Εξισώσεις Ι Ασκήσεις - 07/1/017 Μέρος 1ο: Μη Ομογενείς Γραμμικές Διαφορικές Εξισώσεις Δεύτερης Τάξης Θεωρούμε τη γραμμική μή-ομογενή διαφορική εξίσωση y + p(x) y + q(x) y = f(x), x
Διαβάστε περισσότερα1 Αριθμητική κινητής υποδιαστολής και σφάλματα στρογγύλευσης
1 Αριθμητική κινητής υποδιαστολής και σφάλματα στρογγύλευσης Στη συγκεκριμένη ενότητα εξετάζουμε θέματα σχετικά με την αριθμητική πεπερασμένης ακρίβειας που χρησιμοποιούν οι σημερινοί υπολογιστές και τα
Διαβάστε περισσότερατην κεντρώα έκφραση πεπερασμένων διαφορών 2 ης τάξης και για τη παράγωγο f την ανάδρομη έκφραση πεπερασμένων διαφορών 2 ης τάξης xxx
ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ, 0-0, Ο ΕΞΑΜΗΝΟ ΕΡΓΑΣΙΑ #: ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΠΑΡΑΓΩΓΙΣΗ και ΟΛΟΚΛΗΡΩΣΗ Ημερομηνία παράδοσης --0 Επιμέλεια απαντήσεων: Ιωάννης Λυχναρόπουλος ΑΣΚΗΣΗ Με βάση τη σειρά Taylor βρείτε για τη παράγωγο
Διαβάστε περισσότερα2.1 Αριθμητική επίλυση εξισώσεων
. Αριθμητική επίλυση εξισώσεων Στο κεφάλαιο αυτό διαπραγματεύεται μεθόδους εύρεσης των ριζών εξισώσεων γραμμικών ή μη-γραμμικών για τις οποίες δεν υπάρχουν αναλυτικές 5 4 3 εκφράσεις. Παραδείγματα εξισώσεων
Διαβάστε περισσότεραΚεφάλαιο 0: Εισαγωγή
Κεφάλαιο : Εισαγωγή Διαφορικές εξισώσεις Οι Μερικές Διαφορικές Εξισώσεις (ΜΔΕ) αλλά και οι Συνήθεις Διαφορικές Εξισώσεις (ΣΔΕ) εμφανίζονται παντού στις επιστήμες από τη μηχανική μέχρι τη βιολογία Τις περισσότερες
Διαβάστε περισσότεραΜέθοδοι μονοδιάστατης ελαχιστοποίησης
Βασικές αρχές μεθόδων ελαχιστοποίησης Μέθοδοι μονοδιάστατης ελαχιστοποίησης Οι μέθοδοι ελαχιστοποίησης είναι επαναληπτικές. Ξεκινώντας από μια αρχική προσέγγιση του ελαχίστου (την συμβολίζουμε ) παράγουν
Διαβάστε περισσότεραΌριο συνάρτησης στο x. 2 με εξαίρεση το σημείο A(2,4) Από τον παρακάτω πίνακα τιμών και τη γραφική παράσταση του παραπάνω σχήματος παρατηρούμε ότι:
Όριο συνάρτησης στο Στα παρακάτω θα προσεγγίσουμε την διαισθητικά με τη βοήθεια γραφικών παραστάσεων και πινάκων τιμών. 4 4 Έστω η συνάρτηση f με τύπο f ) = και πεδίο ορισμού το σύνολο ) ) η οποία μπορεί
Διαβάστε περισσότεραf στον κόμβο i ενός πλέγματος ( i = 1, 2,,N
ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ, 008-009, Ο ΕΞΑΜΗΝΟ ΕΡΓΑΣΙΑ #: ΣΥΝΗΘΕΙΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΟΡΙΑΚΩΝ ΤΙΜΩΝ ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ ΠΑΡΑΔΟΣΗΣ:..008 ΔΙΔΑΣΚΩΝ: Δ. Βαλουγεώργης Επιμέλεια απαντήσεων: Ιωάννης Λυχναρόπουλος
Διαβάστε περισσότερα1.1. Διαφορική Εξίσωση και λύση αυτής
Εισαγωγή στις συνήθεις διαφορικές εξισώσεις 9 Διαφορική Εξίσωση και λύση αυτής Σε ότι ακολουθεί με τον όρο συνάρτηση θα εννοούμε μια πραγματική συνάρτηση μιας πραγματικής μεταβλητής, ορισμένη σε ένα διάστημα
Διαβάστε περισσότεραΑΡΙΘΜΗΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ, , 5 Ο ΕΞΑΜΗΝΟ ΔΙΔΑΣΚΩΝ: Δ. Βαλουγεώργης Απαντήσεις: ΠΡΟΟΔΟΣ 1, Επιμέλεια λύσεων: Γιώργος Τάτσιος
ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ, 6-7, 5 Ο ΕΞΑΜΗΝΟ ΔΙΔΑΣΚΩΝ: Δ. Βαλουγεώργης Απαντήσεις: ΠΡΟΟΔΟΣ, --6 Επιμέλεια λύσεων: Γιώργος Τάτσιος Άσκηση [] Επιλύστε με μία απευθείας μέθοδο διατηρώντας τρία σημαντικά ψηφία σε
Διαβάστε περισσότεραΚεφάλαιο 1: Προβλήµατα τύπου Sturm-Liouville
Κεφάλαιο : Προβλήµατα τύπου Stur-Liouvie. Ορισµός προβλήµατος Stur-Liouvie Πολλές τεχνικές επίλυσης µερικών διαφορικών εξισώσεων βασίζονται στην αναγωγή της µερικής διαφορικής εξίσωσης σε συνήθεις διαφορικές
Διαβάστε περισσότεραwebsite:
Αλεξάνδρειο Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ιδρυμα Θεσσαλονίκης Τμήμα Μηχανικών Αυτοματισμού Μαθηματική Μοντελοποίηση Αναγνώριση Συστημάτων Μαάιτα Τζαμάλ-Οδυσσέας 6 Μαρτίου 2017 1 Εισαγωγή Κάθε φυσικό σύστημα
Διαβάστε περισσότεραΑριθμητική Ανάλυση και Εφαρμογές
Αριθμητική Ανάλυση και Εφαρμογές Διδάσκων: Δημήτριος Ι. Φωτιάδης Τμήμα Μηχανικών Επιστήμης Υλικών Ιωάννινα 07-08 Πεπερασμένες και Διαιρεμένες Διαφορές Εισαγωγή Θα εισάγουμε την έννοια των διαφορών με ένα
Διαβάστε περισσότεραΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΔΙΑΦΟΡΩΝ ΟΡΙΣΜΟΙ: διαφορές των αγνώστων συναρτήσεων. σύνολο τιμών. F(k,y k,y. =0, k=0,1,2, δείκτη των y k. =0 είναι 2 ης τάξης 1.
ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΔΙΑΦΟΡΩΝ ΟΡΙΣΜΟΙ: Οι Εξισώσεις Διαφορών (ε.δ.) είναι εξισώσεις που περιέχουν διακριτές αλλαγές και διαφορές των αγνώστων συναρτήσεων Εμφανίζονται σε μαθηματικά μοντέλα, όπου η μεταβλητή παίρνει
Διαβάστε περισσότεραΚεφάλαιο 9. Αριθμητική επίλυση Διαφορικών Εξισώσεων
Κεφάλαιο 9. Αριθμητική επίλυση Διαφορικών Εξισώσεων Σύνοψη Στο κεφάλαιο αυτό παρουσιάζονται οι πιο συνηθισμένες μέθοδοι αριθμητικής επίλυσης διαφορικών εξισώσεων. Ξεκινώντας από τις διαφορικές εξισώσεις
Διαβάστε περισσότεραΣυνήθεις Διαφορικές Εξισώσεις Ι ΣΔΕ Bernoulli, Riccati, Ομογενείς. Διαφορικές Εξισώσεις Bernoulli, Riccati και Ομογενείς
Συνήθεις Διαφορικές Εξισώσεις Ι ΣΔΕ Bernoulli, Riccati, Ομογενείς Διαφορικές Εξισώσεις Bernoulli, Riccati και Ομογενείς Οι εξισώσεις Bernoulli αποτελούν την κλάση των μη γραμμικών διαφορικών εξισώσεων
Διαβάστε περισσότεραΚανόνας της αλυσίδας. J ανοικτά διαστήματα) ώστε ( ), ( ) ( ) ( ) fog ' x = f ' g x g ' x, x I (2)
8 Κανόνας της αλυσίδας Από τον Απειροστικό Λογισμό για συναρτήσεις μιας μεταβλητής γνωρίζουμε ότι: Αν g : I R R και f : J R R είναι συναρτήσεις ( όπου I, J ανοικτά διαστήματα ώστε, g( τότε η : I g I J
Διαβάστε περισσότεραιδάσκοντες :Τµήµα Α ( Αρτιοι) : Καθηγητής Ν. Μισυρλής,Τµήµα Β (Περιττοί) : Αριθµητική Επίκ. Καθηγητής νάλυση Φ.Τζαφέρης (ΕΚΠΑ) 27 Μαΐου / 20
Αριθµητική Ανάλυση ιδάσκοντες: Τµήµα Α ( Αρτιοι) : Καθηγητής Ν. Μισυρλής, Τµήµα Β (Περιττοί) : Επίκ. Καθηγητής Φ.Τζαφέρης ΕΚΠΑ 27 Μαΐου 2010 ιδάσκοντες:τµήµα Α ( Αρτιοι) : Καθηγητής Ν. Μισυρλής,Τµήµα Β
Διαβάστε περισσότεραΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΔΑΣΟΛΟΓΙΑΣ
Ασκήσεις ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΔΑΣΟΛΟΓΙΑΣ για Γενική Επανάληψη Πολυχρόνη Μωυσιάδη, Καθηγητή ΑΠΘ ΟΜΑΔΑ 1. Συναρτήσεις 1. Δείξτε ότι: και υπολογίστε την τιμή 2. 2. Να υπολογισθούν οι τιμές και 3. Υπολογίστε τις τιμές
Διαβάστε περισσότεραΑριθμητική Ανάλυση και Εφαρμογές
Αριθμητική Ανάλυση και Εφαρμογές Διδάσκων: Δημήτριος Ι. Φωτιάδης Τμήμα Μηχανικών Επιστήμης Υλικών Ιωάννινα 2017-2018 Παρεμβολή και Παρεκβολή Εισαγωγή Ορισμός 6.1 Αν έχουμε στη διάθεσή μας τιμές μιας συνάρτησης
Διαβάστε περισσότεραΧρήστος Ι. Σχοινάς Αν. Καθηγητής ΔΠΘ. Συμπληρωματικές σημειώσεις για το μάθημα: «Επιχειρησιακή Έρευνα ΙΙ»
Χρήστος Ι. Σχοινάς Αν. Καθηγητής ΔΠΘ Συμπληρωματικές σημειώσεις για το μάθημα: «Επιχειρησιακή Έρευνα ΙΙ» 2 ΔΥΝΑΜΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ Προβλήματα ελάχιστης συνεκτικότητας δικτύου Το πρόβλημα της ελάχιστης
Διαβάστε περισσότεραΠεριεχόμενα. Κεφάλαιο 1 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΩΝ ΣΕ ΜΙΑ ΕΥΘΕΙΑ... 13 1.1 Οι συντεταγμένες ενός σημείου...13 1.2 Απόλυτη τιμή...14
Περιεχόμενα Κεφάλαιο 1 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΩΝ ΣΕ ΜΙΑ ΕΥΘΕΙΑ... 13 1.1 Οι συντεταγμένες ενός σημείου...13 1.2 Απόλυτη τιμή...14 Κεφάλαιο 2 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΩΝ ΣΕ ΕΝΑ ΕΠΙΠΕΔΟ 20 2.1 Οι συντεταγμένες
Διαβάστε περισσότεραΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΟΡΘΟΓΩΝΙΩΝ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΩΝ...23 ΑΠΟΛΥΤΗ ΤΙΜΗ. ΑΝΙΣΟΤΗΤΕΣ...15 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΕΥΘΕΙΕΣ...32 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ΚΥΚΛΟΙ...43
ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΩΝ. ΑΠΟΛΥΤΗ ΤΙΜΗ. ΑΝΙΣΟΤΗΤΕΣ...5 ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΟΡΘΟΓΩΝΙΩΝ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΩΝ... ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΕΥΘΕΙΕΣ... ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ΚΥΚΛΟΙ...4 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΚΑΙ ΟΙ
Διαβάστε περισσότεραΜαθηματικά. Ενότητα 2: Διαφορικός Λογισμός. Σαριαννίδης Νικόλαος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων (Κοζάνη)
Μαθηματικά Ενότητα 2: Διαφορικός Λογισμός Σαριαννίδης Νικόλαος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων (Κοζάνη) Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό
Διαβάστε περισσότεραΠ Ε Ρ Ι Ε Χ Ο Μ Ε Ν Α. Πρόλογος...15 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1. Σφάλματα
Π Ε Ρ Ι Ε Χ Ο Μ Ε Ν Α Πρόλογος...15 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Σφάλματα 1.1 Εισαγωγή...17 1.2 Αρχικά Σφάλματα (σφάλματα μετρήσεων)...18 1.2.1 Απλές μετρήσεις...18 1.2.2 Σύνθετες μετρήσεις...19 1.2.3 Σημαντικά ψηφία και
Διαβάστε περισσότεραNon Linear Equations (2)
Non Linear Equations () Τρίτη, 17 Φεβρουαρίου 015 5:14 μμ 15.0.19 Page 1 15.0.19 Page 15.0.19 Page 3 15.0.19 Page 4 15.0.19 Page 5 15.0.19 Page 6 15.0.19 Page 7 15.0.19 Page 8 15.0.19 Page 9 15.0.19 Page
Διαβάστε περισσότεραMatrix Algorithms. Παρουσίαση στα πλαίσια του μαθήματος «Παράλληλοι. Αλγόριθμοι» Γ. Καούρη Β. Μήτσου
Matrix Algorithms Παρουσίαση στα πλαίσια του μαθήματος «Παράλληλοι Αλγόριθμοι» Γ. Καούρη Β. Μήτσου Περιεχόμενα παρουσίασης Πολλαπλασιασμός πίνακα με διάνυσμα Πολλαπλασιασμός πινάκων Επίλυση τριγωνικού
Διαβάστε περισσότεραΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΔΥΟ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ
ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΔΥΟ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ Έννοια συνάρτησης Παραγώγιση Ακρότατα Ασκήσεις Βασικές έννοιες Στην Οικονομία, τα περισσότερα από τα μετρούμενα μεγέθη, εξαρτώνται από άλλα μεγέθη. Π.χ η ζήτηση από την τιμή,
Διαβάστε περισσότεραΠαράδειγμα 14.2 Να βρεθεί ο μετασχηματισμός Laplace των συναρτήσεων
Κεφάλαιο 4 Μετασχηματισμός aplace 4. Μετασχηματισμός aplace της εκθετικής συνάρτησης e Είναι Άρα a a a u( a ( a ( a ( aj F( e e d e d [ e ] [ e ] ( a e (c ji, με a (4.9 a a a [ e u( ] a, με a (4.3 Η σχέση
Διαβάστε περισσότερα7. ΑΝΩΜΑΛΑ ΣΗΜΕΙΑ, ΠΟΛΟΙ ΚΑΙ ΤΟ ΘΕΩΡΗΜΑ ΤΩΝ ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΩΝ ΥΠΟΛΟΙΠΩΝ. και σε κάθε γειτονιά του z
7. ΑΝΩΜΑΛΑ ΣΗΜΕΙΑ, ΠΟΛΟΙ ΚΑΙ ΤΟ ΘΕΩΡΗΜΑ ΤΩΝ ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΩΝ ΥΠΟΛΟΙΠΩΝ Ένα σημείο λέγεται ανώμαλο σημείο της συνάρτησης f( ) αν η f( ) δεν είναι αναλυτική στο και σε κάθε γειτονιά του υπάρχει ένα τουλάχιστον
Διαβάστε περισσότεραΑριθµητική Ανάλυση. ιδάσκοντες: Τµήµα Α ( Αρτιοι) : Καθηγητής Ν. Μισυρλής, Τµήµα Β (Περιττοί) : Επίκ. Καθηγητής Φ.Τζαφέρης. 25 Μαΐου 2010 ΕΚΠΑ
Αριθµητική Ανάλυση Κεφάλαιο 9. Αριθµητική Ολοκλήρωση ιδάσκοντες: Τµήµα Α ( Αρτιοι) : Καθηγητής Ν. Μισυρλής, Τµήµα Β (Περιττοί) : Επίκ. Καθηγητής Φ.Τζαφέρης ΕΚΠΑ 5 Μαΐου 010 ιδάσκοντες:τµήµα Α ( Αρτιοι)
Διαβάστε περισσότεραΑριθµητική Ολοκλήρωση
Κεφάλαιο 5 Αριθµητική Ολοκλήρωση 5. Εισαγωγή Για τη συντριπτική πλειοψηφία των συναρτήσεων f (x) δεν υπάρχουν ή είναι πολύ δύσχρηστοι οι τύποι της αντιπαραγώγου της f (x), δηλαδή της F(x) η οποία ικανοποιεί
Διαβάστε περισσότερα(a) = lim. f y (a, b) = lim. (b) = lim. f y (x, y) = lim. g g(a + h) g(a) h g(b + h) g(b)
1 ΑΝΑΛΥΣΗ ΙΙ Μερική Παράγωγος Μερικές Παράγωγοι Ορισμός 1: a) Εστω f(x y) : U R R μία συνάρτηση δύο μεταβλητών και (a b) ένα σημείο του U. Θεωρούμε ότι μεταβάλλεται μόνο το x ένω το y παραμένει σταθερό
Διαβάστε περισσότεραΠεπερασμένες διαφορές
Κεφάλαιο 2 Πεπερασμένες διαφορές Αυτό το κεφάλαιο αποτελεί μια εισαγωγή στο αντικείμενο των πεπερασμένων διαφορών για την επίλυση διαφορικών εξισώσεων. Θα εισαγάγουμε ποσότητες που προκύπτουν από διαφορές
Διαβάστε περισσότεραz είναι οι τρεις ανεξάρτητες
Κεφάλαιο 5 Επίλυση παραβολικών διαφορικών εξισώσεων µε πεπερασµένες διαφορές 5. Εξίσωση θερµότητας ή διάχυσης Η πλέον αντιπροσωπευτική εξίσωση µεταξύ των παραβολικών εξισώσεων είναι η εξίσωση θερµότητας
Διαβάστε περισσότερα6. ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ LAPLACE
6. ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ APACE Σκοπός του κεφαλαίου είναι να ορίσει τον αμφίπλευρο μετασχηματισμό aplace ή απλώς μετασχηματισμό aplace (Μ) και το μονόπλευρο μετασχηματισμό aplace (ΜΜ), να περιγράψει
Διαβάστε περισσότεραΒασίλειος Μαχαιράς Πολιτικός Μηχανικός Ph.D.
Βασίλειος Μαχαιράς Πολιτικός Μηχανικός Ph.D. Μη γραμμικός προγραμματισμός: βελτιστοποίηση χωρίς περιορισμούς Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας Σχολή Θετικών Επιστημών ΤμήμαΠληροφορικής Διάλεξη 7-8 η /2017 Τι παρουσιάστηκε
Διαβάστε περισσότεραΒασίλειος Μαχαιράς Πολιτικός Μηχανικός Ph.D.
Βασίλειος Μαχαιράς Πολιτικός Μηχανικός Ph.D. Μη γραμμικός προγραμματισμός: μέθοδοι μονοδιάστατης ελαχιστοποίησης Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας Σχολή Θετικών Επιστημών ΤμήμαΠληροφορικής Διάλεξη 6 η /2017 Τι παρουσιάστηκε
Διαβάστε περισσότεραΕφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Εξέταση Σεπτεμβρίου 25/9/2017 Διδάσκων: Ι. Λυχναρόπουλος
Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Εξέταση Σεπτεμβρίου 5/9/07 Διδάσκων: Ι. Λυχναρόπουλος Άσκηση (Μονάδες ) Να δειχθεί ότι το πεδίο F( x, y) = y cos x + y,sin x
Διαβάστε περισσότεραΑριθμητικές Μέθοδοι σε Προγραμματιστικό Περιβάλλον
Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής Αριθμητικές Μέθοδοι σε Προγραμματιστικό Περιβάλλον Δρ. Δημήτρης Βαρσάμης Επίκουρος Καθηγητής Οκτώβριος 2015 Δρ. Δημήτρης Βαρσάμης Οκτώβριος 2015 1 / 68 Αριθμητικές Μέθοδοι
Διαβάστε περισσότερα