Εφαρμογές μεγάλης και μικρής κλίμακας στην «ομαλή» κυκλική κίνηση

Εφαρμογές μεγάλης και μικρής κλίμακας στην «ομαλή» κυκλική κίνηση Εφαρμογή η Η μέση στρική ημέρα* έχει διάρκεια 3h 5min 4sec. Η ακτίνα της ης στον ισημερινό είναι R =,38 0 m. ια έναν ερευνητή του στεροσκοπείου ήνας που βρίσκεται σε εωγραφικό Πλάτος** 37 58 7 = 37,974, να υπολογίσετε: α. Το μέτρο της γραμμικής ταχύτητάς του β. Το μέτρο της γωνιακής ταχύτητάς του γ. Το μέτρο της κεντρομόλου επιτάχυνσης του, λόγω της συμμετοχής του στην περιστροφική κίνηση της ης γύρω από τον άξονά της. Δίνεται π 3,4 και συν 37,974 =0,7888 α. Η γωνία φ= 37 58 7 αντιστοιχεί στο εωγραφικό Πλάτος της ω ήνας(στεροσκοπείο ήνας) το οποίο λόγω της περιστροφής της ης γύρω από τον άξονά της διαγράφει κυκλική τροχιά ακτίνας Rσυνφ ή Rημ.Η γραμμική ταχύτητα του ερευνητή που εκτελεί ομαλή κυκλική κίνηση είναι: Rσυνφ. φ πr συνφ 3,4,380 συν37,974 m R υ = υ = 3,5548. Τ 8.4 s π 3,4 5 rad β. ω = 7,884 0. Τ 8.4 s υ 0 m γ. α κ = = ω R = 7,884 0,38 0 33,893 0. R s Η μεγάλη τιμή της ακτίνας της κυκλικής τροχιάς δίνει μεγάλη τιμή για την γραμμική ταχύτητα, αντίετα η γωνιακή ταχύτητα και η κεντρομόλος επιτάχυνση έχουν ιδιαίτερα μικρές τιμές. * Ηλιακή ημέρα (solar day) είναι ο χρόνος που μεσολαβεί μεταξύ δύο διαδοχικών διελεύσεων του ήλιου από το μεσημβρινό ενός τόπου. Ο χρόνος αυτός όπως καταγράφεται από έναν παρατηρητή που βρίσκεται στο συγκεκριμένο τόπο ονομάζεται Φαινόμενη Ηλιακή Μέρα και έχει διάρκεια 4h. στρική ημέρα (sidereal day) είναι ο χρόνος που (3) μεσολαβεί μεταξύ δύο διαδοχικών μεσουρανήσεων σε έναν τόπο. Η διάρκειά της δεν είναι σταερή, μεταβάλλεται λόγω της μετάπτωσης, της κλόνησης και () από το γεγονός ότι το μακρινό αστέρι ως προς το οποίο () υπολογίζεται η διάρκειά της στην πραγματικότητα δεν είναι ακίνητο. Η διάρκεια της Μέσης στρικής Ημέρας είναι 3h 5min 4sec=3,934499 h. Στη διάρκεια μιας πλήρους περιστροφής της γύρω από τον άξονά της η η στρέφεται κατά πάνω στην τροχιά της γύρω από τον Ήλιο, αυτό έχει ως συνέπεια να χρειάζεται να περιστραφεί λίγο περισσότερο από τη διάρκεια μιας στρικής Ημέρας πριν ο Ήλιος ξαναφτάσει σε μεσουράνηση στο συγκεκριμένο τόπο παρατήρησης. Έτσι, η ηλιακή ημέρα είναι μεγαλύτερη κατά 3 min και 5 sec. Η διαφορά μεταξύ Ηλιακής Ημέρας και στρικής Ημέρας φαίνεται στη διπλανή εικόνα που υπάρχει στο Wikipedia όπου ο

μικρός κόκκινος κύκλος αντιστοιχεί σε ένα μακρινό αστέρι. Στη έση () το μακρινό αστέρι και ο Ήλιος είναι σε μεσουράνηση στον τοπικό μεσημβρινό. Στη έση () σε μεσουράνηση βρίσκεται μόνο το μακρινό αστέρι (Μέση στρική Ημέρα) και στη έση (3) λίγα λεπτά αργότερα ο Ήλιος βρίσκεται πάλι στον τοπικό μεσημβρινό (Ηλιακή Ημέρα). Σε σχέση με το «μακρινό αστέρι», συνήως χρησιμοποιείται το Πρώτο Σημείο του Κριού που είναι η έση της Εαρινής Ισημερίας, δηλαδή το ένα από τα δύο σημεία της Ουράνιας Σφαίρας στα οποία ο Ουράνιος Ισημερινός συναντά το επίπεδο της Εκλειπτικής, το άλλο είναι το Πρώτο Σημείο του Ζυγού που είναι αντιδιαμετρικό του προηγούμενου. ** εωγραφικό Πλάτος (latitude) είναι η μία από τις δύο γεωγραφικές συντεταγμένες (η άλλη είναι το εωγραφικό Μήκος) και εκφράζει τη γωνιακή απόσταση ενός τόπου από τον Ισημερινό. Συμβολίζεται με φ και έχει τιμές 00-90 Ν (όρειο), ή 00-90 S (Νότιο). Η γωνία που είναι συμπληρωματική της φ, συχνά αναφέρεται και ως colatitude (co-mplementary of latitude=συμπληρωματική γωνία του γεωγραφικού πλάτους). Εφαρμογή η Ένας μεγάλος φυγοκεντρητής, όπως αυτός της εικόνας, που υπάρχει στη NASA, χρησιμοποιείται για την εκπαίδευση των υποψήφιων αστροναυτών σε συνήκες παρόμοιες με αυτές που βιώνουν κατά την εκτόξευση των πυραύλων και την επανείσοδό τους στην ατμόσφαιρα. Ο βραχίονας που συνδέεει τον «κλωβό» που επιβαίνει ο εκπαιδευόμενος αστροναύτης με το κέντρο περιστροφής έχει μήκος =5,9m και πρόκειται να δεχτεί κεντρομόλο επιτάχυνση α κ = 0 *, όπου η επιτάχυνση της βαρύτητας στην επιφάνεια της ης. α. Να υπολογιστεί το μέτρο της γωνιακής ταχύτητας με την οποία στρέφεται η διάταξη. β. Ο «κλωβός» άδειος συνδέεται στο άκρο του βραχίονα έτσι ώστε να μπορεί να αιωρείται κατά τη διάρκεια της περιστροφής του.να υπολογιστεί η γωνία ˆ που σχηματίζει ο βραχίονας με την οριζόντια διεύυνση για την τιμή της κεντρομόλου επιτάχυνσης του προηγούμενου ερωτήματος. γ. Να υπολογιστεί η δύναμη που δέχεται από τον «κλωβό» ένας αστροναύτης μάζας m α =59,9K, όταν στρέφεται δεχόμενος κεντρομόλο επιτάχυνση α κ = 0. Δίνεται ότι =9,8 m/s και εφ5,7 =0,, συν5,7 =0,99 ακ 0 0 9,8 rad α. πό τη σχέση α κ = ω ω ω = ω = ω =,5 5,9 s β. Ο «κλωβός» καώς περιστρέφεται δέχεται την επίδραση του βάρους W και την επίδραση της δύναμης από τον βραχίονα, η οποία έχει διεύυνση του βραχίονα, δηλαδή σχηματίζει γωνία ˆ με την οριζόντια.η συνισταμένη των δύο αυτών δυνάμεων παίζει το ρόλο της κεντρομόλου δύναμης: πό το διάγραμμα των δυνάμεων που επιδρούν στον «κλωβό» προκύπτει ότι ˆ W εφ = ραχίονας W

m εφ ˆ = εφ ˆ = εφ ˆ = εφ ˆ = 0, ( ˆ 5,7 ).Όπως προκύπτει, η γωνία ˆ είναι mα κ ακ 0 ανεξάρτητη από τη μάζα του «κλωβού». γ. Στον εκπαιδευόμενο αστροναύτη επιδρούν το βάρος του W α και η δύναμη ραχίονας A από τον «κλωβό», η συνισταμένη τους α παίζει ρόλο κεντρομόλου A δύναμης για τον αστροναύτη που περιστρέφεται μαζί με τον «κλωβό»: ˆ α α συν = ˆ m συν = 0 = m 0 συνˆ 59,9 0 9,8 = = 5900. 0,99 W α * Το πηλίκο της κεντρομόλου επιτάχυνσης προς την επιτάχυση της βαρύτητας στην επιφάνεια της γης ονομάζεται και σχετική φυγόκεντρος δύναμη (Relative Centrifual orce ω R RC), είναι αδιάστατο μέγεος και μετριέται σε πολλαπλάσια της : RC = Στην φωτογραφία εικονίζεται ο σύγχρονος φυγοκεντρητής για ανρώπους των 0 που βρίσκεται στο NASA Ames Research Center. Οι πρώτοι φυγοκεντρητές χρησιμοποιήηκαν σε έρευνα για ανρώπους από τον Erasmus Darwin παππού του διάσημου Charles Darwin.Ο πρώτος μεγάλης κλίμακας φυγοκεντρητής για ανρώπους που σχεδιάστηκε για αεροναυτική εκπαίδευση δημιουργήηκε στη ερμανία το 933. Εφαρμογή 3 η. Η ακροβάτισσα διατηρεί λυγισμένα τα πόδια της και με προτεταμένο προς το έδαφος το χέρι της συγκρατεί την ακροβάτισσα. Η ακροβάτισσα για να συγκρατήσει την ακροβάτισσα : α. καταβάλλει μεγαλύτερη προσπάεια, όταν και οι δύο ισορροπούν ευρισκόμενες στην κατακόρυφη έση β. καταβάλλει μεγαλύτερη προσπάεια, όταν η ακροβάτισσα αιωρούμενη σε τμήμα κυκλικής τροχιάς διέρχεται από την κατακόρυφη έση γ. καταβάλλει την ίδια προσπάεια και στις δύο προηγούμενες περιπτώσεις.. Να δικαιολογήσετε την απάντησή σας.. β. Όταν η ακροβάτισσα ισορροπεί οι δυνάμεις που ασκούνται σε αυτήν είναι η βαρυτική δύναμη W B και η δύναμη που της ασκεί η ακροβάτισσα (Σχήμα ). = 0 =W () (B) B Όταν η ακροβάτισσα αιωρούμενη διέρχεται με ταχύτητα μέτρου υ από την κατακόρυφη έση οι δυνάμεις που ασκούνται σε αυτήν φαίνονται στο (Σχήμα ). Η συνισταμένη τους αποτελεί την 3 (Σχήμα ) W B υ W B (Σχήμα )

απαραίτητη κεντρομόλο δύναμη που πρέπει να δέχεται η ακροβάτισσα : mυ mυ (B) = κ -WB =WB () Όπου m B = η μάζα, υ=το μέτρο της γραμμικής ταχύτητας και = η ακτίνα της κυκλικής τροχιάς για την ακροβάτισσα. πό τις () και () προκύπτει ότι η ακροβάτισσα ασκεί μεγαλύτερη δύναμη, άρα καταβάλλει μεγαλύτερη προσπάεια, όταν η ακροβάτισσα αιωρούμενη διέρχεται από την κατακόρυφη έση. Εφαρμογή 4 η Το σφαιρίδιο Σ μάζας m του σχήματος έχει συνδεεί στα άκρα δύο αβαρών μη εκτατών νημάτων μήκους το καένα.το άλλο άκρο του ενός νήματος έχει συνδεεί στο σταερό σημείο του λείου κατακόρυφου σύρματος, ενώ το άλλο άκρο του άλλου νήματος έχει συνεεί σε δακτύλιο Δ, μάζας km με k > 0, που μπορεί να ολισαίνει χωρίς τριβές πάνω στο κατακόρυφο σύρμα. Το σφαιρίδιο διαγράφει οριζόντια κυκλική τροχιά με σταερή γωνιακή ταχύτητα μέτρου ω. Το νήμα Σ σχηματίζει με το κατακόρυφο σύρμα γωνία ˆ. ν Τ και Τ είναι οι τάσεις των νημάτων Σ και ΣΔ αντίστοιχα και ο δακτύλιος Δ ισορροπεί: 4 α. Να υπολογίσετε την τιμή της παραμέτρου k, ώστε 3 β. Να δείξετε ότι mω γ. Να προσδιορίσετε το εύρος τιμών της γωνιακής ταχύτητας σε συνάρτηση με τη γωνία ˆ, το μήκος των νημάτων και την επιτάχυνση της βαρύτητας. α. Θεωρούμε ότι η τάση του νήματος Σ έχει μέτρο Τ και η τάση του νήματος ΣΔ έχει μέτρο Τ. T T y Το σφαιρίδιο Σ ισορροπεί στην κατακόρυφη διεύυνση: T m R T x x Σ y(σ) = 0 T y = T y + m T συν - Τσυν = m T - Τ () m συν T y T T πό την ισορροπία του δακτύλιου Δ: T y Δ T ' Τ km y(δ) = 0 T' y = km T' συν = km Τ () συν (k +)m km πό () και (): T = (3) συν πό τη διαίρεση των (3) και (): T (k +)m 4 k + = 4k = 3k + 3 k = 3 (4) T km 3 k β. πό την οριζόντια ομαλή κυκλική κίνηση που εκτελεί το σφαιρίδιο Σ: mυ κ(σ) = Τ x + T x = T ημ + Τημ mω R = (Τ + Τ )ημ R λλά η ακτίνα της κυκλικής τροχιάς του σφαιριδίου R είναι R = ημ και η προηγούμενη σχέση γράφεται: mω ημ = (Τ + Τ )ημ Τ + Τ = mω (5) γ. πό την πρόσεση των () και (5): m (3) T 4m m 7 7 mω mω ω συν συν (4) συν συν συν ω Δ Σ 4

7 7 λλά: συν < ω 7 ω ω. Εφαρμογή 5 η Ένα κατακόρυφο μεταλλικό στέλεχος Ο μήκους 4,έχει το άκρο του Ο στερεωμένο σε οριζόντιο τραπέζι.τα άκρα ενός αβαρούς και μη ελαστικού νήματος μήκους 4 έχουν συνδεεί στο 4 και σ ένα σημείο του στελέχους που απέχει από το απόσταση. Μια μικρή χάντρα μάζας m έχει συνδεεί στο μέσο του νήματος.θέτουμε τη χάντρα σε οριζόντια κυκλική κίνηση με σταερή γωνιακή ταχύτητα μέτρου ω και τα δύο τμήματα του νήματος τεντωμένα. Με κέντρο το Ο και Ο 5 ακτίνα 5 πάνω στο τραπέζι υπάρχει μια κυκλική εγκοπή. Κάποια χρονική στιγμή (t=0) κόβουμε ταυτόχρονα και τα δύο τμήματα του νήματος και η χάντρα αφού εκτελέσει οριζόντια βολή πέφτει μέσα στην εγκοπή. Η αντίσταση του αέρα αμελείται, με δεδομένες τις τιμές των m, και να υπολογίσετε: α. Τον χρόνο που μεσολαβεί από τη χρονική στιγμή που κόβουμε τα δύο τμήματα του νήματος και μέχρι η χάντρα να πέσει μέσα στην εγκοπή. β. Να υπολογίσετε την τιμή του μέτρου της γωνιακής ταχύτητας ω της χάντρας κατά τη διάρκεια της κυκλικής κίνησής της. γ. Όταν η χάντρα εκτελεί κυκλική κίνηση, να υπολογίσετε τις τιμές των τάσεων στα δύο τμήματα του νήματος. δ. Να υπολογίσετε σε συνάρτηση με το το εύρος των τιμών της ακτίνας της κυκλικής εγκοπής, ώστε η χάντρα να πέφτει μέσα στην εγκοπή. α. Το τρίγωνο A B είναι y T T y 0 o ισόπλευρο πλευράς. Το Κ είναι R Κ μέσο της και κέντρο της Δ T x 30 o υ T x οριζόντιας κυκλικής τροχιάς που m 0 o T T y διαγράφει η χάντρα με ακτίνα 4 h ο R= ημ0 R = 3 (). Μετά την ταυτόχρονη κοπή των δύο τμημάτων του νήματος η χάντρα εκτελεί οριζόντια βολή από ύψος R Ο h=(κ)+ h = 3 (). O Η εξίσωση της κίνησης της 5 5 προβολής της χάντρας στον άξονα Ο y είναι: Ζ x h y = h - t t t (3) y=0 () t =tολ ολ ολ β. ν η χάντρα τη χρονική στιγμή που κόβουμε τα δύο τμήματα του νήματος βρίσκεται στην τυχαία έση Δ, τότε για την κίνηση της προβολής της στον άξονα Ο x έχουμε: 5

x=sβ (3) x = υt s υt s υ β ολ β t =tολ πό το ορογώνιο τρίγωνο Ο Ο' Ζ (4) έχουμε: () β β β β ( ) ( ') ( ' ) (3 ) = R s s 5 R s 5 3 s (5) (5) πό = υ (4) υ () 3 λλά από την οριζόντια ομαλή κυκλική κίνηση της χάντρας: () υ = ωr ω 3 ω (7) () 3 9 γ. Η χάντρα ισορροπεί στην κατακόρυφη διεύυνση: ο ο = 0 T = T + m T ημ30 - Τ ημ30 = m T - Τ m (8) y y y πό την οριζόντια ομαλή κυκλική κίνηση που εκτελεί η χάντρα: mυ () ο ο ο κ x x 3 = Τ + T = T συν30 + Τ συν30 mω R = (Τ + Τ )συν30 mω 3 = (Τ + Τ ) R Τ + Τ mω (9) πό την πρόσεση των (8) και (9) κατά μέλη έχουμε: (7) 0m Τ = m + mω Τ = m + m Τ =. (0) 9 9 (0) 0m m πό (8) T = - m T =. 9 9 δ. ν r = η ακτίνα της κυκλικής εγκοπής, τότε από το ορογώνιο τρίγωνο Ο Ο' Ζ έχουμε: () ( ) ( ') ( ' ) r = R s r = 3 + υ r = 3 + ω 3 β (4) (r - 3 ) ω () 8 3 πό την αφαίρεση των (9) και (8) κατά μέλη έχουμε: T = mω - m,όμως το νήμα μόνο έλκει, άρα πρέπει T 0 και από την προηγούμενη σχέση πό τις () και () : mω - m 0 ω > (r - 3 ) r - 3 3 8 8 r - 3 > 8 r r ().