ΗΛΕΚΤΡΟΜΑΓΝΗΤΙΣΜΟΣ. Ενότητα 8: Αυτεπαγωγή. Αν. Καθηγητής Πουλάκης Νικόλαος ΤΜΗΜΑ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ Τ.Ε.

ΗΛΕΚΤΡΟΜΑΓΝΗΤΙΣΜΟΣ Ενότητα 8: Αυτεπαγωγή Αν. Καθηγητής Πουλάκης Νικόλαος ΤΜΗΜΑ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ Τ.Ε.

Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται σε άλλου τύπου άδειας χρήσης, η άδεια χρήσης αναφέρεται ρητώς. 2

Χρηματοδότηση Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό έχει αναπτυχθεί στα πλαίσια του εκπαιδευτικού έργου του διδάσκοντα. Το έργο «Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο TEI Δυτικής Μακεδονίας και στην Ανώτατη Εκκλησιαστική Ακαδημία Θεσσαλονίκης» έχει χρηματοδοτήσει μόνο τη αναδιαμόρφωση του εκπαιδευτικού υλικού. Το έργο υλοποιείται στο πλαίσιο του Επιχειρησιακού Προγράμματος «Εκπαίδευση και Δια Βίου Μάθηση» και συγχρηματοδοτείται από την Ευρωπαϊκή Ένωση (Ευρωπαϊκό Κοινωνικό Ταμείο) και από εθνικούς πόρους. 3

Σκοποί ενότητας Υπολογισμός αυτεπαγωγής ενός κυκλώματος Αμοιβαία επαγωγή μεταξύ ηλεκτρικών κυκλωμάτων Υπολογισμός πλάτους και συχνότητας του ρεύματος σε κυκλώματα ηλεκτρικών ταλαντώσεων RLC. 4

1797 1878. Joseph Henry Αμερικανός φυσικός, ο πρώτος διευθυντής του ιδρύματος Smithsonian, ο πρώτος πρόεδρος της Ακαδημίας Φυσικών Επιστημών των Η.Π.Α.. Βελτίωσε τη σχεδίαση του ηλεκτρομαγνήτη. Κατασκεύασε έναν από τους πρώτους κινητήρες. Ανακάλυψε το φαινόμενο της αυτεπαγωγής. Δεν δημοσίευσε τα αποτελέσματά του. Η μονάδα του συντελεστή αυτεπαγωγής έχει ονομαστεί henry προς τιμή του. Εικόνα 1:Joseph Henry. Πηγή: R.A. SERWAY, J.W. JEWETT. «Φυσική για επιστήμονες και μηχανικούς: Ηλεκτρισμός και Μαγνητισμός, Φως και Οπτική, Σύγχρονη Φυσική», 8η Αμερικανική/ 2013, Εκδόσεις ΚΛΕΙΔΑΡΙΘΜΟΣ. 5

Αυτεπαγωγή (1/4) Μόλις κλείσει ο διακόπτης, το ρεύμα I που προκαλεί η πηγή δεν αποκτά αμέσως τη μέγιστη τιμή του. Για να περιγράψουμε το φαινόμενο αυτό, χρησιμοποιούμε τον νόμο του Faraday για την ηλεκτρομαγνητική επαγωγή. Καθώς το ρεύμα αυξάνεται με την πάροδο του χρόνου, αυξάνεται και η μαγνητική ροή που διαπερνά τον βρόχο του κυκλώματος λόγω αυτού του ρεύματος. Η αυξανόμενη ροή δημιουργεί στο κύκλωμα Ηλεκτρεγερτική Δύναμη (ΗΕΔ) από επαγωγή. 6

Αυτεπαγωγή (2/4) Εικόνα 2: Αυτεπαγωγή. Πηγή: R.A. SERWAY, J.W. JEWETT. «Φυσική για επιστήμονες και μηχανικούς: Ηλεκτρισμός και Μαγνητισμός, Φως και Οπτική, Σύγχρονη Φυσική», 8η Αμερικανική/ 2013, Εκδόσεις ΚΛΕΙΔΑΡΙΘΜΟΣ. 7

Αυτεπαγωγή (3/4) Η φορά της επαγόμενης ΗΕΔ L είναι τέτοια ώστε το ρεύμα που προκαλεί (επαγόμενο ρεύμα) να δημιουργεί μαγνητικό πεδίο αντίθετο προς τη μεταβολή του αρχικού μαγνητικού πεδίου. Η φορά της επαγόμενης ΗΕΔ είναι αντίθετη της ΗΕΔ της μπαταρίας. Αυτό έχει ως αποτέλεσμα τη σταδιακή αύξηση του ρεύματος στην τελική τιμή ισορροπίας του. Το φαινόμενο ονομάζεται αυτεπαγωγή. Επειδή η ΗΕΔ από επαγωγή προκαλείται από το ίδιο το κύκλωμα ονομάζεται ΗΕΔ από αυτεπαγωγή. 8

Αυτεπαγωγή (4/4) Εικόνα 3: Αυτεπαγωγή. Πηγή: R.A. SERWAY, J.W. JEWETT. «Φυσική για επιστήμονες και μηχανικούς: Ηλεκτρισμός και Μαγνητισμός, Φως και Οπτική, Σύγχρονη Φυσική», 8η Αμερικανική/ 2013, Εκδόσεις ΚΛΕΙΔΑΡΙΘΜΟΣ. 9

Ορολογία Όταν το ρεύμα και η ΗΕΔ δημιουργούνται από μπαταρίες ή άλλες πηγές, τότε χρησιμοποιούμε τους παραπάνω όρους χωρίς άλλο προσδιορισμό. Όταν το ρεύμα και η ΗΕΔ δημιουργούνται από μεταβαλλόμενα μαγνητικά πεδία, τότε χρησιμοποιούμε τους όρους επαγόμενο ρεύμα και επαγόμενη ΗΕΔ ή ΗΕΔ από επαγωγή, αντίστοιχα. Στα προβλήματα ηλεκτρομαγνητισμού είναι σημαντικό να ξεχωρίζουμε τις δύο περιπτώσεις. 10

Αυτεπαγωγή Εξισώσεις Η ΗΕΔ από αυτεπαγωγή είναι πάντα ανάλογη του ρυθμού μεταβολής του ρεύματος. όπου το L είναι μια σταθερά αναλογίας, που ονομάζεται συντελεστής αυτεπαγωγής του βρόχου. Εξαρτάται τόσο από τη γεωμετρία του βρόχου όσο και από άλλα φυσικά χαρακτηριστικά του. 11

Συντελεστής αυτεπαγωγής πηνίου Ένα πηνίο με N πυκνές σπείρες που φέρει ρεύμα I έχει συντελεστή αυτεπαγωγής: Από την εξίσωση για την ΗΕΔ από αυτεπαγωγή L μπορούμε να γράψουμε για το συντελεστή αυτεπαγωγής: Ο συντελεστής αυτεπαγωγής είναι ένα μέτρο της αντίδρασης του πηνίου στη μεταβολή του ρεύματος. 12

Μονάδα μέτρησης του συντελεστή αυτεπαγωγής Η μονάδα μέτρησης του συντελεστή αυτεπαγωγής στο σύστημα SI είναι το henry (H), όπου: Ονομάστηκε έτσι προς τιμή του Joseph Henry. 13

Παράδειγμα Η10.1 Συντελεστής αυτεπαγωγής σωληνοειδούς (1/3) Θεωρήστε ένα ομοιόμορφα περιελιγμένο σωληνοειδές, με N σπείρες και μήκος l. Υποθέστε ότι το l είναι πολύ μεγαλύτερο από την ακτίνα των σπειρών του σωληνοειδούς και ότι στον πυρήνα του υπάρχει ατμοσφαιρικός αέρας. Βρείτε το συντελεστή αυτεπαγωγής του σωληνοειδούς. Υπολογίστε τον συντελεστή αυτεπαγωγής του σωληνοειδούς αν αυτό έχει 300 σπείρες, μήκος 25.0 cm και το εμβαδόν κάθε σπείρας είναι 4.00 cm 2. Υπολογίστε την ΗΕΔ από αυτεπαγωγή που αναπτύσσεται στο σωληνοειδές αν το ρεύμα του μειώνεται με ρυθμό 50.0 A/s. 14

Παράδειγμα Η10.1 Συντελεστής αυτεπαγωγής σωληνοειδούς (2/3) Λύση: Η μαγνητική ροή Φ B που διέρχεται από κάθε σπείρα, εμβαδού A, είναι: Φ Β = ΒΑ = μ 0 nia = μ 0 N l IA. Αντικαθιστωντας στη σχέση L = NΦ Β αυτεπαγωγής, παίρνουμε: L = N μ N 0 l IA I ή L = μ 0 N 2 l A. I για το συντελεστή 15

Παράδειγμα Η10.1 Συντελεστής αυτεπαγωγής σωληνοειδούς (3/3) Λύση (συνέχεια): Αντικαθιστώντας τις αριθμητικές τιμές στην εξίσωση, βρίσκουμε: L = 4π 10 7 Tm/A 1,81 10 4 Tm 2 A = 0,181mH. 300 2 25,0 10 2 m 4,00 10 4 m 2 = Αντικαθιστώντας την τιμή του ρυθμού μεταβολής di/dt = - 50.0 A/s στη σχέση ε L = L di dt έχουμε: ε L = 1,81 10 4 Τμ 2 Α 50,0Α s = 9,05mV. 16

Κύκλωμα RL Εισαγωγή Πηνίο ή επαγωγέας ονομάζεται ένα στοιχείο κυκλώματος το οποίο έχει μεγάλο συντελεστή αυτεπαγωγής. Στο διάγραμμα κυκλώματος, το πηνίο συμβολίζεται με. Θεωρούμε ότι ο συντελεστής αυτεπαγωγής που οφείλεται στα υπόλοιπα στοιχεία του κυκλώματος είναι αμελητέος συγκριτικά με εκείνον του πηνίου. Ωστόσο, ακόμα και ένα κύκλωμα χωρίς πηνίο έχει πάντα κάποια αυτεπαγωγή. 17

Η επίδραση του πηνίου στο κύκλωμα Η αυτεπαγωγή δημιουργεί αντι-ηλεκτρεγερτική δύναμη (αντι-ηεδ), L, δηλαδή, μια ΗΕΔ που αντιτίθεται στην πηγή του κυκλώματος. Άρα το πηνίο (ή επαγωγέας) του κυκλώματος αντιτίθεται στη μεταβολή του ρεύματος στο κύκλωμα. Το πηνίο προσπαθεί να διατηρήσει το ρεύμα αμετάβλητο, δηλαδή στο επίπεδο που είχε πριν τη μεταβολή. Επειδή το πηνίο αντιτίθεται στις μεταβολές της τάσης, το κύκλωμα θα έχει αργή απόκριση σε αυτές. 18

Κύκλωμα RL Ανάλυση (1/4) Το κύκλωμα RL περιλαμβάνει ένα πηνίο (επαγωγέα) και έναν αντιστάτη. Έστω ότι ο διακόπτης S 2 είναι στη θέση α. Μόλις κλείσει ο διακόπτης S 1 (τη χρονική στιγμή t = 0), το ρεύμα αρχίζει να αυξάνεται. Ταυτοχρόνως, στο πηνίο επάγεται μια αντι-ηεδ,, η οποία αντιτίθεται στο αρχικό ρεύμα που αυξάνεται. 19

Κύκλωμα RL Ανάλυση (2/4) Εικόνα 4: Κύκλωμα RL Ανάλυση. Πηγή: R.A. SERWAY, J.W. JEWETT. «Φυσική για επιστήμονες και μηχανικούς: Ηλεκτρισμός και Μαγνητισμός, Φως και Οπτική, Σύγχρονη Φυσική», 8η Αμερικανική/ 2013, Εκδόσεις ΚΛΕΙΔΑΡΙΘΜΟΣ. 20

Κύκλωμα RL Ανάλυση (3/4) Εφαρμόζοντας στο κύκλωμα τον κανόνα των τάσεων του Kirchhoff δεξιόστροφα παίρνουμε: Λύνοντας ως προς το ρεύμα, βρίσκουμε: Εικόνα 5: Κύκλωμα RL Ανάλυση. Πηγή: R.A. SERWAY, J.W. JEWETT. «Φυσική για επιστήμονες και μηχανικούς: Ηλεκτρισμός και Μαγνητισμός, Φως και Οπτική, Σύγχρονη Φυσική», 8η Αμερικανική/ 2013, Εκδόσεις ΚΛΕΙΔΑΡΙΘΜΟΣ. 21

Κύκλωμα RL Ανάλυση (4/4) Λόγω του πηνίου, το ρεύμα μεταβάλλεται εκθετικά. Το ρεύμα δεν αυξάνεται αμέσως στην τελική τιμή ισορροπίας του ( /R). Αν στο κύκλωμα δεν υπήρχε πηνίο, ο εκθετικός όρος θα ήταν ίσος με μηδέν και το ρεύμα θα αποκτούσε αμέσως τη μέγιστη τιμή του. 22

Κύκλωμα RL Σταθερά χρόνου Η σχέση που δίνει το ρεύμα μπορεί να επίσης γραφτεί συναρτήσει της σταθεράς χρόνου, t, του κυκλώματος ως εξής: I = ε R 1 e t τ, όπου τ = L R. Ως προς τη φυσική σημασία της, η σταθερά χρόνου,τ, είναι το χρονικό διάστημα που χρειάζεται το ρεύμα για να φτάσει στο 63.2% της μέγιστης τιμής του. 23

Κύκλωμα RL Γράφημα ρεύματος-χρόνου Η τιμή ισορροπίας του ρεύματος είναι e/r και επιτυγχάνεται καθώς το t τείνει στο άπειρο. Αρχικά, το ρεύμα αυξάνεται πολύ γρήγορα. Στη συνέχεια, τείνει σταδιακά στην τιμή ισορροπίας του. Εικόνα 6: Κύκλωμα RL Γράφημα ρεύματοςχρόνου. Πηγή: R.A. SERWAY, J.W. JEWETT. «Φυσική για επιστήμονες και μηχανικούς: Ηλεκτρισμός και Μαγνητισμός, Φως και Οπτική, Σύγχρονη Φυσική», 8η Αμερικανική/ 2013, Εκδόσεις ΚΛΕΙΔΑΡΙΘΜΟΣ. 24

Κύκλωμα RL Ανάλυση (1/2) Μόλις ο διακόπτης S 2 τεθεί στη θέση β (τη χρονική στιγμή t = 0), η πηγή ε βγαίνει εκτός κυκλώματος. Το ρεύμα αρχίζει να μειώνεται. Η μόνη τάση στο κύκλωμα είναι η αντι-ηεδ ε L = di dt που επάγεται στο πηνίο και η οποία αντιτίθεται στη μείωση του ρεύματος. 25

Κύκλωμα RL Ανάλυση (2/2) Εφαρμόζοντας στο κύκλωμα τον κανόνα των τάσεων του Kirchhoff δεξιόστροφα παίρνουμε: Λύνοντας ως προς το ρεύμα, βρίσκουμε: Εικόνα 7: Κύκλωμα RL Ανάλυση. Πηγή: R.A. SERWAY, J.W. JEWETT. «Φυσική για επιστήμονες και μηχανικούς: Ηλεκτρισμός και Μαγνητισμός, Φως και Οπτική, Σύγχρονη Φυσική», 8η Αμερικανική/ 2013, Εκδόσεις ΚΛΕΙΔΑΡΙΘΜΟΣ. 26

Κύκλωμα RL Γράφημα ρεύματος-χρόνου Εκφόρτιση Ο ρυθμός μεταβολής του ρεύματος είναι μέγιστος όταν t = 0. Το ρεύμα μειώνεται εκθετικά καθώς το t τείνει στο άπειρο. Εικόνα 8: Κύκλωμα RL Γράφημα ρεύματος-χρόνου Εκφόρτιση. Πηγή: R.A. SERWAY, J.W. JEWETT. «Φυσική για επιστήμονες και μηχανικούς: Ηλεκτρισμός και Μαγνητισμός, Φως και Οπτική, Σύγχρονη Φυσική», 8η Αμερικανική/ 2013, Εκδόσεις ΚΛΕΙΔΑΡΙΘΜΟΣ. 27

Ενέργεια μαγνητικού πεδίου (1/3) Σε ένα κύκλωμα στο οποία υπάρχει πηνίο, η μπαταρία πρέπει να παρέχει περισσότερη ισχύ απ όση θα παρείχε σε ένα κύκλωμα χωρίς πηνίο. Ένα μέρος της ισχύος που παρέχει η μπαταρία αποδίδεται στον αντιστάτη ως εσωτερική ενέργεια. Η υπόλοιπη ισχύς αποθηκεύεται στο μαγνητικό πεδίο του πηνίου. 28

Ενέργεια μαγνητικού πεδίου (2/3) Παίρνοντας τον κανόνα των τάσεων του Kirchhoff ε = IR L di dt = 0 για ένα κύκλωμα με πηγή και πηνίο και πολλαπλασιάζοντας επί το ρεύμα παίρνουμε τη σχέση για τις ισχύς: Iε = I 2 R + LI di dt I : είναι η ισχύς την οποία παρέχει η μπαταρία. I 2 R: είναι η ισχύς που καταναλώνεται στον αντιστάτη. Επομένως, LI (di/dt) είναι ο ρυθμός με τον οποίο αποθηκεύεται ενέργεια στο μαγνητικό πεδίο, δηλαδή, η ισχύς που πηγαίνει στο μανγητικό πεδίο. 29

Ενέργεια μαγνητικού πεδίου (3/3) Έστω U η ενέργεια που είναι αποθηκευμένη στο πηνίο σε οποιαδήποτε χρονική στιγμή. Ο ρυθμός μεταβολής της αποθηκευμένης ενέργειας είναι: du dt = LI di dt. Για να βρούμε τη συνολική ενέργεια, που είναι αποθηκευμένη στο μαγνητικό πεδίο του πηνίου, ολοκληρώνουμε: du = LIdI 0 I du = 0 I LIdI U = L 0 I IdI U = 1 2 LI2. 30

Αποθήκευση ενέργειας Σύνοψη Ο αντιστάτης, το πηνίο (επαγωγέας), και ο πυκνωτής αποθηκεύουν ενέργεια με διαφορετικούς μηχανισμούς. Ο φορτισμένος πυκνωτής. Αποθηκεύει ενέργεια με τη μορφή ηλεκτρικής δυναμικής ενέργειας. Το πηνίο (επαγωγέας). Όταν φέρει ρεύμα, αποθηκεύει ενέργεια με τη μορφή μαγνητικής δυναμικής ενέργειας. Ο αντιστάτης. Μετασχηματίζει την ενέργεια που αποδίδεται σε αυτόν σε εσωτερική ενέργεια (θερμότητα). 31

Παράδειγμα Η10.4 Ομοαξονικό καλώδιο (1/4) Τα ομοαξονικά καλώδια χρησιμοποιούνται συχνά στη σύνδεση ηλεκτρικών συσκευών, όπως των συστημάτων αναπαραγωγής βίντεο, καθώς και για τη λήψη τηλεοπτικού σήματος. Μοντελοποιούμε ένα ομοαξονικό καλώδιο μεγάλου μήκους ως λεπτό, κυλινδρικό, αγώγιμο κέλυφος, ακτίνας b, το οποίο είναι ομόκεντρο με έναν συμπαγή κύλινδρο ακτίνας a. Στους αγωγούς κυκλοφορούν ρεύματα με την ίδια τιμή I, αλλά με αντίθετη φορά. Υπολογίστε τον συντελεστή αυτεπαγωγής L για ένα τμήμα μήκους l του καλωδίου. 32

Παράδειγμα Η10.4 Ομοαξονικό καλώδιο (2/4) Εικόνα 9: Παράδειγμα Η10.4 Ομοαξονικό καλώδιο. Πηγή: R.A. SERWAY, J.W. JEWETT. «Φυσική για επιστήμονες και μηχανικούς: Ηλεκτρισμός και Μαγνητισμός, Φως και Οπτική, Σύγχρονη Φυσική», 8η Αμερικανική/ 2013, Εκδόσεις ΚΛΕΙΔΑΡΙΘΜΟΣ. 33

Παράδειγμα Η10.4 Ομοαξονικό καλώδιο (3/4) Σύμφωνα με το νόμο του Ampère, μαγνητικό πεδίο υπάρχει μόνο στο χώρο μεταξύ των αγωγών και το μαγνητικό αυτό πεδίο οφείλεται αποκλειστικά στον εσωτερικό αγωγό. Το μέτρο του πεδίου αυτού είναι B = μ 0I Η8.5). 2πR (βλ. Παράδειγμα Η μαγνητική ροή που διέρχεται μέσα από τον ορθογώνιο χώρο πλάτους b - a και μήκους l μεταξύ των δύο αγωγών είναι: Φ Β = BdA = Bldr. 34

Παράδειγμα Η10.4 Ομοαξονικό καλώδιο (4/4) Λύση (συνέχεια): Φ B = Bldr = μ 0 I 2πr ldr = μ b 0Il dr 2π r = μ 0Il 2π ln b a a Άρα, ο συντελεστής αυτεπαγωγής L ισούται με: L = Φ B I = μ 0l 2π ln a b. 35

Αμοιβαία επαγωγή (1/3) Συχνά, η μαγνητική ροή που διέρχεται από την επιφάνεια που περικλείεται από ένα κύκλωμα μεταβάλλεται με τον χρόνο εξαιτίας χρονικά μεταβαλλόμενων ρευμάτων σε παρακείμενα κυκλώματα. Αυτό το φαινόμενο ονομάζεται αμοιβαία επαγωγή, επειδή προκαλείται από την αλληλεπίδραση των δύο κυκλωμάτων. 36

Αμοιβαία επαγωγή (2/3) Το ρεύμα του πηνίου 1 δημιουργεί μαγνητικό πεδίο. Κάποιες από τις γραμμές του μαγνητικού πεδίου διέρχονται από το πηνίο 2. Το πηνίο 1 φέρει ρεύμα I 1 και έχει N 1 σπείρες. Το πηνίο 2 έχει N 2 σπείρες. Εικόνα 10: Αμοιβαία επαγωγή. Πηγή: R.A. SERWAY, J.W. JEWETT. «Φυσική για επιστήμονες και μηχανικούς: Ηλεκτρισμός και Μαγνητισμός, Φως και Οπτική, Σύγχρονη Φυσική», 8η Αμερικανική/ 2013, Εκδόσεις ΚΛΕΙΔΑΡΙΘΜΟΣ. 37

Αμοιβαία επαγωγή (3/3) Ο συντελεστής αμοιβαίας επαγωγής, M 12, του πηνίου 2 ως προς το πηνίο 1 είναι: Ο συντελεστής αμοιβαίας επαγωγής εξαρτάται τόσο από τη γεωμετρία των δύο κυκλωμάτων όσο και από τον προσανατολισμό του ενός ως προς το άλλο. 38

Επαγόμενη ΗΕΔ στην αμοιβαία επαγωγή (1/2) Αν το ρεύμα I 1 μεταβάλλεται με τον χρόνο, τότε η ΗΕΔ που επάγεται από το πηνίο 1 στο πηνίο 2 ισούται με: Αν το ρεύμα διαρρέει το πηνίο 2, τότε υπάρχει συντελεστής αμοιβαίας επαγωγής M 21. Αν το ρεύμα 2 μεταβάλλεται με τον χρόνο, τότε η ΗΕΔ που επάγεται από το πηνίο 2 στο πηνίο 1 ισούται με: 39

Επαγόμενη ΗΕΔ στην αμοιβαία επαγωγή (2/2) Στην αμοιβαία επαγωγή, η ΗΕΔ που επάγεται στο ένα πηνίο είναι πάντα ανάλογη του ρυθμού μεταβολής του ρεύματος στο άλλο πηνίο. Ο συντελεστής αμοιβαίας επαγωγής του ενός πηνίου ισούται με τον συντελεστή αμοιβαίας επαγωγής του άλλου πηνίου. M 12 = M 21 = M. Μπορούμε να εκφράσουμε τις επαγόμενες ΗΕΔ με τις σχέσεις. 40

Κυκλώματα LC Στο κύκλωμα LC, ένας πυκνωτής είναι συνδεδεμένος σε σειρά με ένα πηνίο. Υποθέτουμε ότι αρχικά ο πυκνωτής είναι φορτισμένος με φορτίο Q max και ότι στη συνέχεια κλείνουμε τον διακόπτη S. Υποθέτουμε ότι δεν υπάρχει ωμική αντίσταση και ότι δεν έχουμε απώλειες ενέργειας μέσω ακτινοβολίας. Εικόνα 11: Κυκλώματα LC. Πηγή: R.A. SERWAY, J.W. JEWETT. «Φυσική για επιστήμονες και μηχανικούς: Ηλεκτρισμός και Μαγνητισμός, Φως και Οπτική, Σύγχρονη Φυσική», 8η Αμερικανική/ 2013, Εκδόσεις ΚΛΕΙΔΑΡΙΘΜΟΣ. 41

Ταλαντώσεις σε κυκλώματα LC (1/7) Ο διακόπτης S είναι ανοικτός. Ο πυκνωτής είναι πλήρως φορτισμένος. Η ενέργεια U του κυκλώματος είναι αποθηκευμένη στο ηλεκτρικό πεδίο του πυκνωτή. Η ενέργεια είναι ίση με Το ρεύμα στο κύκλωμα είναι μηδέν. Στο πηνίο δεν υπάρχει αποθηκευμένη ενέργεια. 42

Ταλαντώσεις σε κυκλώματα LC (2/7) Εικόνα 12: Ταλαντώσεις σε κυκλώματα LC. Πηγή: R.A. SERWAY, J.W. JEWETT. «Φυσική για επιστήμονες και μηχανικούς: Ηλεκτρισμός και Μαγνητισμός, Φως και Οπτική, Σύγχρονη Φυσική», 8η Αμερικανική/ 2013, Εκδόσεις ΚΛΕΙΔΑΡΙΘΜΟΣ. 43

Ταλαντώσεις σε κυκλώματα LC (3/7) Ο διακόπτης S κλείνει. Καθώς ο πυκνωτής εκφορτίζεται, η ενέργεια που είναι αποθηκευμένη στο ηλεκτρικό πεδίο μειώνεται. Εφόσον πλέον στο κύκλωμα κυκλοφορεί ρεύμα, ένα μέρος της ενέργειας αποθηκεύεται στο μαγνητικό πεδίο του πηνίου:. Δηλαδή, μεταφέρεται ενέργεια από το ηλεκτρικό πεδίο στο μαγνητικό πεδίο. Το ρεύμα είναι ίσο με τον ρυθμό μεταβολής του φορτίου του πυκνωτή:. 44

Ταλαντώσεις σε κυκλώματα LC (5/7) Τελικά, ο πυκνωτής εκφορτίζεται πλήρως. Δεν έχει αποθηκευμένη καθόλου ενέργεια στον πυκνωτή. Όλη η ενέργεια είναι αποθηκευμένη στο μαγνητικό πεδίο του πηνίου. Το ρεύμα αποκτά τη μέγιστη τιμή του I max. 46

Ταλαντώσεις σε κυκλώματα LC (7/7) Στη συνέχεια, το ρεύμα μειώνεται και ο πυκνωτής αρχίζει πάλι να φορτίζεται, αλλά με την πολικότητα των οπλισμών του να είναι τώρα αντίθετη της αρχικής. Τελικά, ο πυκνωτής φορτίζεται πλήρως (Εικόνα δ) και ο κύκλος επαναλαμβάνεται. Η ενέργεια συνεχίζει να «ταλαντώνεται» (δηλαδή να μεταφέρεται) μεταξύ του πηνίου και του πυκνωτή. Η συνολική ενέργεια που είναι αποθηκευμένη στο κύκλωμα LC παραμένει σταθερή με τον χρόνο και ισούται με: 48

Χρονικές συναρτήσεις ενός κυκλώματος LC (1/2) Μπορούμε να εκφράσουμε το φορτίο του πυκνωτή ενός κυκλώματος LC συναρτήσει του χρόνου με τη σχέση: Q = Q max cosωt. Η σχέση αυτή ισχύει για ένα ιδανικό κύκλωμα LC (μηδενική αντίσταση R ). Η κυκλική συχνότητα, ω, του κυκλώματος εξαρτάται από τον συντελεστή αυτεπα-γωγής του πηνίου και από τη χωρητικότητα του πυκνωτή. Η ιδιοσυχνότητα, ή φυσική συχνότητα ταλάντωσης του κυκλώματος LC είναι: ω = 1 LC. 49

Ταλαντώσεις σε κυκλώματα LC (συνέχεια) Όταν επικρατούν οι παραπάνω αρχικές συνθήκες, το ρεύμα στο κύκλωμα και το φορτίο του πυκνωτή ταλαντώνονται μεταξύ μέγιστων θετικών και αρνητικών τιμών. Αν η αντίσταση είναι μηδενική (ιδανική περίπτωση), κανένα ποσό ενέργειας δεν μετατρέπεται σε εσωτερική ενέργεια (θερμότητα). Οι ταλαντώσεις του κυκλώματος συνεχίζονται επ άπειρον. 50

Φορτίο και ρεύμα κυκλώματος LC - Γραφήματα Το φορτίο του πυκνωτή ταλαντώνεται μεταξύ των τιμών Q max και Q max. Το ρεύμα του πυκνωτή ταλαντώνεται μεταξύ των τιμών I max και I max. Τα Q και I έχουν διαφορά φάσης 90 o. Όταν το Q είναι μέγιστο, το I είναι μηδέν, κ.ο.κ. Εικόνα 15: Φορτίο και ρεύμα κυκλώματος LC - Γραφήματα. Πηγή: R.A. SERWAY, J.W. JEWETT. «Φυσική για επιστήμονες και μηχανικούς: Ηλεκτρισμός και Μαγνητισμός, Φως και Οπτική, Σύγχρονη Φυσική», 8η Αμερικανική/ 2013, Εκδόσεις ΚΛΕΙΔΑΡΙΘΜΟΣ. 51

Χρονικές συναρτήσεις ενός κυκλώματος LC (2/2) Μπορούμε να εκφράσουμε το ρεύμα συναρτήσει του χρόνου με τη σχέση: I = dq dt = ωq maxsinωt ή I = I max sinωt, όπου, I max = ωq max. Μπορούμε να εκφράσουμε τη συνολική ενέργεια συναρτήσει του χρόνου με τη σχέση: U = U c + U L = Q 2 max 2C cos2 ωt + 1 LI 2 2 maxsin 2 ωt. 52

Παράδειγμα Η10.6 Ταλαντώσεις σε κυκλώματα LC (1/3) Στο κύκλωμα της παρακάτω εικόνας, η μπαταρία έχει ΗΕΔ 12.0 V, ο συντελεστής αυτεπαγωγής του πηνίου είναι 2.81 mh και η χωρητικότητα του πυκνωτή είναι 9.00 pf. Έχουμε αφήσει το διακόπτη στη θέση α για μεγάλο χρονικό διάστημα, οπότε ο πυκνωτής είναι πλήρως φορτισμένος. Στη συνέχει, θέτουμε το διακόπτη στη θέση β, οπότε αφαιρούμε τη μπαταρία από το κύκλωμα και συνδέουμε τον πυκνωτή απευθείας στο πηνίο. Βρείτε τη συχνότητα ταλάντωσης του κυκλώματος. ποιές είναι οι μέγιστες τιμές του φορτίου στον πυκνωτή και του ρεύματος στο κύκλωμα;. Εικόνα 16: Ταλαντώσεις σε κυκλώματα LC. Πηγή: R.A. SERWAY, J.W. JEWETT. «Φυσική για επιστήμονες και μηχανικούς: Ηλεκτρισμός και Μαγνητισμός, Φως και Οπτική, Σύγχρονη Φυσική», 8η Αμερικανική/ 2013, Εκδόσεις ΚΛΕΙΔΑΡΙΘΜΟΣ. 53

Παράδειγμα Η10.6 Ταλαντώσεις σε κυκλώματα LC (2/3) Λύση: f = ω 2π 1 2π LC Αντικαθιστώντας τις τιμές, έχουμε: 1 f = 2π 2,81 10 3 H 9,00 10 12 F = 1,00 10 6 Hz 1 2 f 54

Παράδειγμα Η10.6 Ταλαντώσεις σε κυκλώματα LC (3/3) Λύση (συνέχεια): Το αρχικό φορτίο του πυκνωτή, που είναι και το μέγιστο φορτίο του, είναι: Q max = CΔV = 9,00 10 12 F 12,0V Q max = 1,0810 10 C. Tο μέγιστο ρεύμα στο πηνίο είναι: I max = ωq max = 2πfQ max = 2π 1,00 10 6 Hz 1,08 10 10 C = I max = 6,79 10 4 A. 55

Επισημάνσεις σχετικά με τα πραγματικά κυκλώματα LC Τα πραγματικά κυκλώματα πάντα έχουν κάποια ωμική αντίσταση. Επομένως, ένα μέρος της ενέργειας μετατρέπεται σε εσωτερική ενέργεια (θερμότητα). Επίσης, στα κυκλώματα αυτού του τύπου, η ακτινοβολία είναι αναπόφευκτη. Λόγω αυτών των διεργασιών, η συνολική ενέργεια του κυκλώματος μειώνεται συνεχώς. 56

Κυκλώματα RLC Ένα κύκλωμα που περιλαμβάνει έναν αντιστάτη, ένα πηνίο, και έναν πυκνωτή σε σειρά ονομάζεται κύκλωμα RLC. Έστω ότι η αντίσταση του αντιστάτη ισούται με τη συνολική αντίσταση του κυκλώματος. Εικόνα 17: Κυκλώματα RLC. Πηγή: Πηγή: R.A. SERWAY, J.W. JEWETT. «Φυσική για επιστήμονες και μηχανικούς: Ηλεκτρισμός και Μαγνητισμός, Φως και Οπτική, Σύγχρονη Φυσική», 8η Αμερικανική/ 2013, Εκδόσεις ΚΛΕΙΔΑΡΙΘΜΟΣ. 57

Κύκλωμα RLC Ανάλυση (1/5) Κλείνοντας το διακόπτη στο β, το ρεύμα που προκαλεί ο πυκνωτής αυξάνει, οπότε αναπτύσσεται αντι-ηεδ στο πηνίο -LdI/dt. Η τάση στα άκρα του πυκνωτή είναι Q/C. Εφαρμόζοντας τον κανόνα των τάσεων του Kirchhoff (π.χ. αριστερόστροφα), παίρνουμε την σχέση: L di dt RI + Q C = 0 και θέτοντας I = - dq/dt, παίρνουμε την εξίσωση L d2 Q dt 2 + R dq dt + Q C = 0. 58

Κύκλωμα RLC Ανάλυση (2/5) Όταν R = 0: Το κύκλωμα ανάγεται σε κύκλωμα LC και εκτελεί αρμονικές ταλαντώσεις χωρίς απόσβεση. Εικόνα 18: Κύκλωμα RLC Ανάλυση. Πηγή: Πηγή: R.A. SERWAY, J.W. JEWETT. «Φυσική για επιστήμονες και μηχανικούς: Ηλεκτρισμός και Μαγνητισμός, Φως και Οπτική, Σύγχρονη Φυσική», 8η Αμερικανική/ 2013, Εκδόσεις ΚΛΕΙΔΑΡΙΘΜΟΣ. 59

Κύκλωμα RLC Ανάλυση (3/5) Όταν η αντίσταση R του αντιστάτη είναι μικρή: Το κύκλωμα RLC εκτελεί ταλαντώσεις με μικρή απόσβεση. Το πλάτος των ταλαντώσεων μειώνεται σταδιακά. Η εξίσωση του φορτίου του πυκνωτή με το χρόνο είναι: Q = Q max e R 2L t cosωt όπου, ω d η κυκλική συχνότητα ταλάντωσης του κυκλώματος ω = 1 LC R 2L 2 60

Κύκλωμα RLC Ανάλυση (4/5) Εικόνα 19: Κύκλωμα RLC Ανάλυση. Πηγή: R.A. SERWAY, J.W. JEWETT. «Φυσική για επιστήμονες και μηχανικούς: Ηλεκτρισμός και Μαγνητισμός, Φως και Οπτική, Σύγχρονη Φυσική», 8η Αμερικανική/ 2013, Εκδόσεις ΚΛΕΙΔΑΡΙΘΜΟΣ. 61

Κύκλωμα RLC Ανάλυση (5/5) Όταν η αντίσταση R του αντιστάτη είναι πολύ μεγάλη, η απόσβεση των ταλαντώσεων γίνεται πολύ γρήγορα. Υπάρχει μια κρίσιμη τιμή R C της τιμής της αντίστασης πάνω από την οποία δεν συμβαίνει καν ταλάντωση. Αν R = R C, τότε λέμε ότι το κύκλωμα παρουσιάζει κρίσιμη απόσβεση. Όταν R > R C, τότε λέμε ότι το κύκλωμα παρουσιάζει υπεραπόσβεση. 62

Πρόβλημα 8, σελ. 381 (1/2) Το ρεύμα σε ένα πηνίο 4.00 mh μεταβάλλεται με το χρόνο σύμφωνα με το γράφημα της Εικόνας Π Η10.8. Σχεδιάστε το γράφημα της ΗΕΔ από αυτεπαγωγή στα άκρα του πηνίου για το χρονικό διάστημα t = 0 έως t = 12.0 ms. Εικόνα 20: Πρόβλημα 8, σελ. 381. Πηγή: R.A. SERWAY, J.W. JEWETT. «Φυσική για επιστήμονες και μηχανικούς: Ηλεκτρισμός και Μαγνητισμός, Φως και Οπτική, Σύγχρονη Φυσική», 8η Αμερικανική/ 2013, Εκδόσεις ΚΛΕΙΔΑΡΙΘΜΟΣ. 63

Πρόβλημα 8, σελ. 381 (2/2) ΛΥΣΗ. Η ΗΕΔ στο πηνίο είναι: Ο ρυθμός μεταβολής του ρεύματος di/dt είναι : 64

Βιβλιογραφία 1. Raymond A. Serway, John W. Jewett, «ΦΥΣΙΚΗ ΓΙΑ ΕΠΙΣΤΗΜΟΝΕΣ ΚΑΙ ΜΗΧΑΝΙΚΟΥΣ: ΗΛΕΚΤΡΙΣΜΟΣ ΚΑΙ ΜΑΓΝΗΤΙΣΜΟΣ, ΦΩΣ ΚΑΙ ΟΠΤΙΚΗ, ΣΥΓΧΡΟΝΗ ΦΥΣΙΚΗ», 8η Έκδοση Αμερικανική/ 2013, ΙSBN: 978-960- 461-509-4, Εκδ. ΚΛΕΙΔΑΡΙΘΜΟΣ ΕΠΕ. 2. Young D. Hugh, «Πανεπιστημιακή Φυσική, Τόμος Β, Ηλεκτρομαγνητισμός-Οπτική-Σύγχρονη Φυσική», 1η εκδ./1994, ΙSBN: 978-960-02-1088-0, Εκδ. ΠΑΠΑΖΗΣΗ ΑΕΒΕ. 3. Knight D. Randall, «ΦΥΣΙΚΗ ΓΙΑ ΕΠΙΣΤΗΜΟΝΕΣ ΚΑΙ ΜΗΧΑΝΙΚΟΥΣ: Τόμος ΙΙ - ΤΑΛΑΝΤΏΣΕΙΣ, ΚΎΜΑΤΑ, ΟΠΤΙΚΉ, ΗΛΕΚΤΡΟΜΑΓΝΗΤΙΣΜΌΣ», 1η έκδ./2010, ΙSBN: 978-960-319-306-7, Εκδ. Σ.ΠΑΡΙΚΟΥ & ΣΙΑ ΕΕ. 65

Τέλος Ενότητας

Σημείωμα Αναφοράς Copyright ΤΕΙ Δυτικής Μακεδονίας, Πουλάκης Νικόλαος. «Ηλεκτρομαγητισμός». Έκδοση: 1.0. Κοζάνη 2015. Διαθέσιμο από τη δικτυακή διεύθυνση: URL.

Σημείωμα Αδειοδότησης Το παρόν υλικό διατίθεται με τους όρους της άδειας χρήσης Creative Commons Αναφορά, Μη Εμπορική Χρήση Παρόμοια Διανομή 4.0 [1] ή μεταγενέστερη, Διεθνής Έκδοση. Εξαιρούνται τα αυτοτελή έργα τρίτων π.χ. φωτογραφίες, διαγράμματα κ.λ.π., τα οποία εμπεριέχονται σε αυτό και τα οποία αναφέρονται μαζί με τους όρους χρήσης τους στο «Σημείωμα Χρήσης Έργων Τρίτων». [1] http://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/4.0/ Ως Μη Εμπορική ορίζεται η χρήση: που δεν περιλαμβάνει άμεσο ή έμμεσο οικονομικό όφελος από την χρήση του έργου, για το διανομέα του έργου και αδειοδόχο. που δεν περιλαμβάνει οικονομική συναλλαγή ως προϋπόθεση για τη χρήση ή πρόσβαση στο έργο. που δεν προσπορίζει στο διανομέα του έργου και αδειοδόχο έμμεσο οικονομικό όφελος (π.χ. διαφημίσεις) από την προβολή του έργου σε διαδικτυακό τόπο. Ο δικαιούχος μπορεί να παρέχει στον αδειοδόχο ξεχωριστή άδεια να χρησιμοποιεί το έργο για εμπορική χρήση, εφόσον αυτό του ζητηθεί. 68

Διατήρηση Σημειωμάτων Οποιαδήποτε αναπαραγωγή ή διασκευή του υλικού θα πρέπει να συμπεριλαμβάνει: το Σημείωμα Αναφοράς. το Σημείωμα Αδειοδότησης. τη δήλωση Διατήρησης Σημειωμάτων. το Σημείωμα Χρήσης Έργων Τρίτων (εφόσον υπάρχει). μαζί με τους συνοδευόμενους υπερσυνδέσμους. 69

Σημείωμα Χρήσης Έργων Τρίτων Το Έργο αυτό κάνει χρήση των ακόλουθων έργων: Εικόνες/Σχήματα/Διαγράμματα/Φωτογραφί ες: 1. R.A. SERWAY, J.W. JEWETT. «Φυσική για επιστήμονες και μηχανικούς: Ηλεκτρισμός και Μαγνητισμός, Φως και Οπτική, Σύγχρονη Φυσική», 8η Αμερικανική/ 2013, Εκδόσεις ΚΛΕΙΔΑΡΙΘΜΟΣ. 70