Σκοπός της άσκησης Σε αυτή την άσκηση θα μελετήσουμε την συμπεριφορά ελατηρίων. Θα μελετηθεί ο νόμος του Hooke και θα χρησιμοποιηθεί αυτός ώστε να προσδιοριστεί η σταθερά του ελατηρίου. Η σταθερά του ελατηρίου θα προσδιοριστεί και από την περίοδο της ταλάντωσης σώματος κρεμασμένου στο άκρο του ελατηρίου. Επιπλέον, θα μελετηθεί η συνδεσμολογία ελατηρίων. Α. Μελέτη του νόμου του Hooke Στοιχεία από την θεωρία Όταν σε ένα υλικό εφαρμοστεί συμπίεση ή εφελκυσμός μπορεί να προκληθούν μεταβολές της απόστασης μεταξύ των μορίων σε σχέση με τις αποστάσεις ισορροπίας. Μικρές μεταβολές της απόστασης μεταξύ των μορίων γύρω από την θέση ισορροπίας έχουν σαν αποτέλεσμα την αύξηση της δυναμικής ενέργειας των μορίων. Η δύναμη που ασκείται στο κάθε μόριο έχει την μορφή: F = K l (1) όπου Κ είναι μία σταθερά αναλογίας. H σχέση (1) αποτελεί ορισμό της απλής αρμονικής ταλάντωσης και ορίστηκε σε μικροσκοπική κλίμακα αφού το l αφορά διαφορά αποστάσεων ανάμεσα στα μόρια. Όμως η σχέση αυτή ισχύει 1
και μακροσκοπικά οπότε το l αθροιστικά μετράει την μεταβολή της διάστασης του υλικού. Η σχέση (1) αποτελεί τον νόμο του Hooke: οι παραμορφώσεις των υλικών είναι ανάλογες με το αίτιο το οποίο τις προκαλεί. Ο νόμος του Hooke πριν από την θεωρητική του επαλήθευση έχει αποδειχθεί πειραματικά. Ο νόμος του Hooke ισχύει για μεταβολές μέχρι μιας ορισμένης τιμής που ονομάζεται όριο ελαστικότητας. Πέραν της τιμής αυτής έχουμε πλαστικές ή μόνιμες παραμορφώσεις, οι οποίες δεν περιγράφονται από την σχέση (1). Για ελατήριο, το Κ ονομάζεται κατευθύνουσα δύναμη ή σκληρότητα ή σταθερά του ελατηρίου. Θεωρητική βάση του πειράματος Ένα ελατήριο είναι τοποθετημένο κατακόρυφα και στο κάτω άκρο του προστίθενται βάρη: B = mg (2) Για κάθε βάρος μετράμε την παραμόρφωση (επιμήκυνση) του ελατηρίου, L : L= L L O (3) όπου L O και L είναι το μήκος του ελατηρίου πριν κρεμάσουμε το βάρος και αφού κρεμάσουμε το βάρος αντίστοιχα. 2
Αφού η σχέση (1) είναι γραμμική, η συνάρτηση B=f(ΔL) θα είναι μια ευθεία γραμμή της οποίας η κλίση θα είναι η σταθερά του ελατηρίου.! Προσοχή: Σε όλα τα πειραματικά στάδια θα πρέπει να επιλέγονται προσεκτικά τα βάρη που θα κρεμαστούν στο κάθε ελατήριο ώστε να μην καταστρέψουν το ελατήριο. Το ελατήριο δεν θα πρέπει να επιμηκυνθεί περισσότερο από δύο φορές το φυσικό του μήκος ώστε να μην παραμορφωθεί ανελαστικά. Όταν ένα ελατήριο επιμηκύνεται χωρίς να ξεπερνιέται το ελαστικό όριο του φυσικού του μήκους L o, η επιμήκυνση ΔL είναι ανάλογη του βάρους-φορτίου mg. Η σταθερά αναλογίας Κ στην εξίσωση: mg = K L (4) είναι η σταθερά του ελατηρίου. Η σταθερά Κ μπορεί να μετρηθεί λοιπόν με μέτρηση της επιμήκυνσης του ελατηρίου όταν κρεμιέται μάζα m σε αυτό. 3
Εκτέλεση του πειράματος 1. Επιλέξτε προσεκτικά τις μάζες που θα κρεμάσετε στο ελατήριο. 2. Συνδέστε την κρεμάστρα μαζών στην βάση του δείκτη και τοποθετήστε την πρώτη μάζα. Καταγράψτε την επιμήκυνση και το βάρος της μάζας που κρεμάσατε. Μην ξεχάσετε να συμπεριλάβετε την μάζας της κρεμάστρας. 3. Προσθέστε 4 ακόμα μάζες και κάθε φορά καταγράψτε την επιμήκυνση και το βάρος της μάζας που κρέμεται από το ελατήριο. α/α m (kg) B (N) L (m) ΔL=L-L O (m) 1 2 3 4 5 4. Φτιάξτε το διάγραμμα Δύναμη-Επιμήκυνση, B=f(ΔL). 5. Προσδιορίστε την εξίσωση της ευθείας με την μέθοδο των ελαχίστων τετραγώνων. Σιγουρευτείτε ότι χρησιμοποιήσατε κατάλληλες μεταβλητές, αριθμούς και μονάδες. 4
6. Η κλίση της ευθείας Δύναμη-Επιμήκυνση ισούται με την σταθερά του ελατηρίου. Η τεταγμένη επί την αρχή εκφράζει την δύναμη που είναι απαραίτητη για να αρχίσει να επιμηκύνεται το ελατήριο και ονομάζεται αρχική τάση. Καταχωρήστε τα αποτελέσματά σας: Σταθερά του ελατηρίου = Αρχική τάση = 5
Β. Μελέτη συμπεριφοράς ελατηρίων Θεωρητική βάση του πειράματος Το ελατήριο είναι τοποθετημένο κατακόρυφα και στο κάτω άκρο του προστίθενται βάρη Β. Αφήνουμε το ελατήριο να πάρει την νέα θέση ισορροπίας του. Μετά εκτρέπουμε ελαφρά το κάτω άκρο του ελατηρίου (προς τα κάτω) και το αφήνουμε ελεύθερο. Αφού οι σχέση (1) περιγράφει μιαν αρμονική ταλάντωση, η κίνηση που θα εκτελέσει το κάτω άκρο του ελατηρίου θα είναι επίσης μια αρμονική ταλάντωση. Αποδεικνύεται, ότι η περίοδος της αρμονικής αυτής ταλάντωσης, όταν το ελατήριο είναι αβαρές, δίνεται από την σχέση: T m = 2π (5) K Από την σχέση αυτή μπορούμε να βρούμε το Κ μετρώντας την περίοδο ταλάντωσης Τ. Τα ελατήρια όμως δεν είναι αβαρή. Έχουν κάποια μάζα κατανεμημένη γραμμικά σε όλο το μήκος του ελατηρίου. Η μάζα αυτή δεν λαμβάνεται υπόψη όταν κάνουμε υπολογισμούς με την σχέση (5) και φυσικά η σταθερά Κ του ελατηρίου που υπολογίζεται από την σχέση αυτή θα έχει κάποιο σφάλμα. Θα μπορούσε κάποιος να προτείνει να προσθέσουμε την μάζα του ελατηρίου, Μ, στην σχέση (5), έτσι ώστε η σχέση να διορθωθεί και να γίνει: T m+ M = 2π. K Όμως αυτό είναι λάθος! Η σχέση (5) αναφέρεται σε αβαρές ελατήριο και μάζα στο κάτω άκρο του ελατηρίου. Η μάζα όμως Μ είναι κατανεμημένη σε όλο το μήκος του ελατηρίου και όχι μόνο στο κάτω άκρο του. Είναι δυνατόν να 6
αποδειχθεί θεωρητικά ότι μόνο το 1/3 της μάζας του ελατηρίου συνεισφέρει στην ταλάντωση. Έτσι η σχέση (5) πρέπει να γραφεί με την μορφή: T m+ M/3 = 2π. (6) K Εκτέλεση του πειράματος Μελέτη ενός ελατηρίου 1. Κρεμάστε το ελατήριο από το οριζόντιο στήριγμα και μετρήστε την απόσταση από την βάση του ελατηρίου στην επιφάνεια του εργαστηριακού πάγκου. Καταγράψτε αυτή την τιμή H ο =. 2. Κρεμάστε τώρα στο ελεύθερο άκρο του ελατηρίου βάρος 0.3 kp και επαναλάβετε την διαδικασία του βήματος 1. H 1 =. 3. Βρείτε την επιμήκυνση του ελατηρίου αφαιρώντας τις παραπάνω δύο μετρήσεις ΔL = H ο - H 1 =. 4. Υπολογίστε την σταθερά του ελατηρίου. K =. 5. Στη συνέχεια θα προσδιορίσουμε την σταθερά του ελατηρίου με μια άλλη μέθοδο: 7
Με το ελατήριο φορτισμένο με βάρος 150 p εκτρέψτε ελαφρά το ελατήριο από την θέση ισορροπίας και μετρήστε τον χρόνο 10 πλήρων αιωρήσεων (10 Τ ). Βρείτε την περίοδο Τ. T =. 6. Από την σχέση (5) βρείτε την σταθερά του ελατηρίου K. K =. 7. Συγκρίνετε τις δύο τιμές. Ποια τιμή του K νομίζετε ότι είναι πιο σωστή; Εξηγήστε γιατί. 8. Ζυγίστε το ελατήριο και βρείτε την μάζα του Μ. 9. Χρησιμοποιώντας την σχέση (6) και την περίοδο της ταλάντωσης που μετρήθηκε, βρείτε ξανά την σταθερά Κ του ελατηρίου. K =. 10. Συγκρίνετε την με την τιμή που βρήκατε στην εργασία 5. Προσεγγίζουν οι δύο τιμές; Συνδεσμολογία ελατηρίων 1. Επιλέξτε ένα ελατήριο, A, από αυτά που διαθέτετε. Κρεμάστε μία μάζα στο ελεύθερο άκρο του και προσδιορίστε την σταθερά του: 8
K A =. 2. Προσδιορίστε το μέσο του ελατηρίου και κρεμάστε από εκεί την μάζα. Προσδιορίστε την σταθερά του ελατηρίου με το μισό μήκος: K A/2 =. Τι συμπεραίνετε; Πως θα μπορούσατε να επιβεβαιώσετε το συμπέρασμα σας; 3. Επιλέξτε ένα άλλο ελατήριο, B, και προσδιορίστε την σταθερά του. K B =. 4. Κρεμάστε στη συνέχεια το πρώτο ελατήριο, A, στην οριζόντια βάση και στο ελεύθερο άκρο του κρεμάστε το δεύτερο ελατήριο, B. Κρεμάστε μία μάζα στο ελεύθερο άκρο του δεύτερου ελατηρίου και προσδιορίστε την σταθερά του συστήματος των δύο ελατηρίων. K AB =. Τι συμπεραίνετε για την σταθερά του συστήματος των ελατηρίων που έχουν συνδεθεί σε σειρά; 5. Μπορείτε να επαναλάβετε αντίστοιχη διαδικασία για να βρείτε την σταθερά συστήματος ελατηρίων που έχουν συνδεθεί παράλληλα; K AB =. 9