5. Δείξτε με λεκτικούς ισχυρισμούς ότι ο χρόνος κίνησης από τη θέση x = + A στην θέση

Transcript

1 Στα μεγέθη και στις περιγραφές των κινήσεων που ακολουθούν δεν γίνεται λεπτομερής ορισμός. Θεωρούνται καλώς ορισμένα (για τους σχετικούς φυσικά). Γενικά οι περιγραφές είναι σχετικά «χαλαρές» και επί της ουσίας. 1. Αποδείξτε ότι φ u φ x = π και ότι φ x φ α = π.. Δύο σώματα διαφορετικής μάζας ηρεμούν στα άκρα δυο ιδανικών κατακόρυφων ελατηρίων ευρισκόμενα στο ίδιο οριζόντιο επίπεδο. Αποδείξτε ότι αν τα εκτρέψουμε κατά d από τη θέση που ηρεμούν, θα αποκτήσουν ίσες μέγιστες ταχύτητες ταλάντωσης. 3. Αποδείξτε με λεκτικούς ισχυρισμούς ότι σε κάθε θέση αντιστοιχούν δύο ταχύτητες και μία επιτάχυνση, ενώ σε κάθε ταχύτητα αντιστοιχούν δύο επιταχύνσεις και δύο θέσεις. Μετά αποδείξτε και τους τύπους: u = ±ω A x, a = ±ω u 0 u 4. Η εξίσωση της ταχύτητας δίνεται από u = ωa ημ(ωt). Προσδιορίστε την αρχική φάση της ταλάντωσης χωρίς να εφαρμόσετε τριγωνομετρικά «κόλπα» αλλά με απλές «φυσικές» σκέψεις. Μετά προσδιορίστε και με τριγωνομετρικές τεχνικές την αρχική φάση. 5. Δείξτε με λεκτικούς ισχυρισμούς ότι ο χρόνος κίνησης από τη θέση x = + A στην θέση x = +A είναι μεγαλύτερος από το χρόνο που χρειάζεται για τη μετάβαση από τη θέση x = 0 στη θέση x = + A και μετά υπολογίστε τους χρόνους αυτούς. Αν η προηγούμενη ταλάντωση έχει αρχική φάση φ 0 = π, διαφοροποιούνται οι 6 υπολογισμοί σας; Αν ναι, πως. 6. Η κλίση στη γραφική παράσταση της συνισταμένης δύναμης με την απομάκρυνση (θέση) για τα δεδομένα μιας ταλάντωσης είναι μεγαλύτερη σε σχέση με την κλίση στο αντίστοιχο διάγραμμα μιας άλλης ταλάντωσης ίδιου πλάτους και του ίδιου σώματος.

2 Συγκρίνετε τις περιόδους των δύο ταλαντώσεων. 7. Τη χρονική στιγμή t = 0 το σώμα κινείται κατά τη θετική φορά κίνησης έχοντας αρνητική απομάκρυνση (θέση) και κινητική ενέργεια ίση με τη δυναμική. Προσδιορίστε την αρχική φάση της ταλάντωσής του. 8. Οι χρόνοι «κάλυψης» δύο τμημάτων ταλάντωσης συμμετρικών ως προς τη Θ. I. T. είναι ίσοι και ανεξάρτητοι της φοράς κίνησης. Αν συμφωνείτε αποδείξτε την προηγούμενη πρόταση, αλλιώς δώστε αντιπαράδειγμα. 9. Ποια είναι τα δύο μεγέθη σε μία απλή αρμονική ταλάντωση που θεωρούνται σταθερά, αν δεν υπάρχει σαφής καθορισμός της μεταβολής τους; Αν διπλασιάσουμε τη μάζα του ταλαντούμενου σώματος διατηρώντας σταθερό το πλάτος, αποδείξτε ότι το μέτρο της μέγιστης επιτάχυνσης θα υποδιπλασιαστεί. 10. Υπολογίστε το μέγιστο πλάτος (κατακόρυφης) ταλάντωσης συστήματος δύο σωμάτων με το ένα σώμα να είναι απλά τοποθετημένο πάνω στο άλλο. (Δίνονται g, ω.) 11. Δείξτε με τις κατάλληλες σχέσεις και σχήματα ότι όταν ένα σώμα προσδεθεί στο ένα άκρο ελατηρίου με άξονα παράλληλο σε λείο κεκλιμένο επίπεδο και του δοθεί ενέργεια θα εκτελέσει απλή αρμονική ταλάντωση. 1. Σώμα ταλαντώνεται. Μία χρονική στιγμή (t=0) και ενώ αυτό οδεύει προς τη Θ. I. T. ευρισκόμενο στη θέση x = 3A, με κατάλληλο μηχανισμό μεταβάλουμε την ταχύτητά του από u 1 σε u 1. Εξηγείστε και αιτιολογείστε αν και με ποιο τρόπο θα μεταβληθούν τα μεγέθη: A, u 0, T, ω, f, E 0, φ 0, a 0.

3 13. Σώμα είναι δεμένο στο ελεύθερο άκρο κατακόρυφου ελατηρίου, το άλλο άκρο του οποίου είναι στερεωμένο στην οροφή ανελκυστήρα ο οποίος ανεβαίνει με σταθερή ταχύτητα μέτρου u 1. Κάποια στιγμή ο ανελκυστήρας σταματά ακαριαία και το σώμα ξεκινά A. A. T. Αποδείξτε ότι το μέτρο της μέγιστης ταχύτητας είναι u ax = u Σώμα μάζας 1 = 1 kg δεμένο σε οριζόντιο ελατήριο (k = 400 N ) εκτελεί A. A. T. πλάτους A = 0.1. Όταν αυτό διέρχεται από τη Θ. I. T. συγκρούεται μετωπικά με άλλο (ακίνητο) σώμα μάζας = 3 kg. Συγκρίνετε τα πλάτη των ταλαντώσεων που θα προκύψουν αν κρούση είναι ελαστική και αν είναι πλαστική. 15. Σώμα μάζας εκτελεί ταλάντωση πλάτους A, δεμένο σε οριζόντιο ελατήριο σταθεράς (k) και τη χρονική στιγμή που αυτό βρίσκεται στη Θ. I. T., προσκολλάται πάνω του σώμα ίδιας μάζας που κινούταν, πριν την κρούση, κατακόρυφα. Προσδιορίστε το πλάτος ταλάντωσης του συσσωματώματος. 16. Σώμα μάζας = 1 kg ισορροπεί δεμένο στο ένα άκρο κατακόρυφου ελατηρίου σταθεράς k = 100 N του οποίου το άλλο άκρο στερεώνεται σε οροφή. Σώμα ίσης μάζας κινούμενο κατακόρυφα προς τα πάνω συγκρούεται μετωπικά και πλαστικά με το πρώτο την χρονική στιγμή t = 0 και έχοντας μέτρο ταχύτητας (πριν την κρούση) u 1 = 6. Βρείτε τη χρονοεξίσωση της απομάκρυνσης (x(t)) του συσσωματώματος και υπολογίστε το χρόνο που θα χρειαστεί το συσσωμάτωμα για να σταματήσει στιγμιαία. 17. Το ένα άκρο κατακόρυφου ιδανικού ελατηρίου σταθεράς k = 0 Ν είναι στερεωμένο σε οροφή. Στο άλλο άκρο του είναι συνδεδεμένο

4 σώμα Σ 1 μάζας = 0, Kg το οποίο εκτελεί απλή αρμονική ταλάντωση πλάτους Α = 0,. Κάποια στιγμή που θεωρούμε ως αρχή του χρόνου t = 0, ενώ το σώμα βρίσκεται στο μισό του πλάτους του κατερχόμενο προς τη θέση ισορροπίας της ταλάντωσης, συγκρούεται μετωπικά με σώμα Σ, ίσης μάζας που έχει αντίθετη ταχύτητα. Να βρείτε τις εξισώσεις που περιγράφουν τη κίνηση κάθε σώματος αν η κρούση είναι : i) Ελαστική ii) Πλαστική 18. Σ 1 Σ u Σώμα Σ 1 μάζας = 16 kg είναι προσδεμένο στο ένα άκρο ιδανικού ελατηρίου (το άλλο άκρο του οποίου είναι ακλόνητο) σταθεράς k = 36π N και ισορροπεί επί λείου οριζόντιου επιπέδου, όπως φαίνεται στο σχήμα. Δεύτερο σώμα Σ (ίσης μάζας με το Σ 1 ) κινείται οριζόντια και εναντίον του πρώτου σώματος με σταθερή ταχύτητα μέτρου u = π και τη χρονική στιγμή t = 0 συγκρούεται κεντρικά με αυτό. Αν τα δυο σώματα συγκρούονται ξανά (δεύτερη φορά) τη χρονική στιγμή t = 5 9 : 1. Ελέγξτε αν η κρούση είναι ελαστική ή όχι.. Βρείτε το πλάτος της ταλάντωσης του Σ

5 Σώμα μάζας = 0.1 kg είναι προσδεμένο στο ελεύθερο άκρο οριζόντιου ιδανικού ελατηρίου σταθεράς k = 10 N, το άλλο άκρο του οποίου είναι ακλόνητο. Το σώμα μπορεί να κινείται πάνω σε οριζόντιο επίπεδο το οποίο είναι λείο μόνο αριστερά (x < 0) από τη θέση (x = 0) φυσικού μήκους του ελατηρίου ενώ δεξιά (x > 0) από αυτήν ο συντελεστής τριβής ολίσθησης είναι ίσος με μ. Μεταφέρουμε το σώμα στη θέση x 1 = 0. και τη χρονική στιγμή t = 0 του προσδίδουμε ταχύτητα u 1 = 3 οπότε το σώμα αρχίζει να εκτελεί απλή αρμονική ταλάντωση. α. Υπολογίστε τη χρονική στιγμή που το σώμα θα περάσει από τη Θ. Φ. M. πρώτη φορά. β. Αν κατά την κίνηση (πρώτη φορά) του σώματος στο μη λείο ημιεπίπεδο, το ελατήριο επιμηκυνθεί κατά dx = 0.3 υπολογίστε τη μέγιστη συμπίεσή του ελατηρίου αφού το σώμα περάσει για δεύτερη φορά από τη Θ. Φ. M. x < 0 x = 0 x > 0