ΕΥΘΕΙΕΣ ΠΟΥ ΤΕΜΝΟΝΤΑΙ ΑΠΟ ΜΙΑ ΑΛΛΗ ΕΥΘΕΙΑ Έχουµε 2 ευθείες ε 1,ε 2 και τουλάχιστον µία ευθεία που τέµνει αυτές τις 2 ευθείες, εδώ τη (δ). Ονοµάζουµε τις γωνίες µε βάση το: 1. Πού βρίσκονται σε σχέση µε τις ευθείες ε 1, ε 2, δηλαδή αν είναι «εντός» της ζώνης τους ή «εκτός». 2. Αν βρίσκονται στο ίδιο ηµιεπίπεδο της ευθείας (δ), προς το ίδιο µέρος της, δηλαδή στα «επί τ αυτά µέρη» της ευθείας ή «εναλλάξ». Έτσι έχουµε ότι οι γωνίες: Βάσει των ευθειών ε 1, ε 2: Οι γωνίες Αˆ ˆ 3, Α βρίσκονται «εντός» ενώ οι 4 Βˆ ˆ 3, Β «εκτός». 4 Οι γωνίες Β 1, Β2 βρίσκονται Οι γωνίες Α 1, Α2 βρίσκονται Σελίδα 1
Βάσει της τέμνουσας ευθείας δ Οι γωνίες Α 2, Α 3, Β 2, Β3 βρίσκονται «επί τ αυτά», καθώς και οι γωνίες,,, Αν τώρα πάρουµε µία από τις Α 2, Α 3, Β 2, Β3 και µία από τις Α 1, Α 4, Β 1, Β4, τότε ο συνδυασµός αυτών των δύο γωνιών, βάσει της τέµνουσας είναι γωνίες. Π.χ. Περιγράφουµε την ονοµασία των γωνιών: Α 4 και Β 2, Α2. και Β 1,.και, και, και Αν συνδυάσουµε ζεύγη από τις παραπάνω γωνίες, τότε παίρνουµε 6 ονοµασίες για τα 16 διαφορετικά ζεύγη γωνιών, τις εξής: Παραδείγµατα: α. Εντός εναλλάξ (π.χ. Α 3, Β1 ) των ευθειών ε1, ε 2 µε τέµνουσα την δ. β. Α 2, Β4 : εναλλάξ γ. Α 3, Β2 : και επί τ αυτά. δ. Α 1, Β4 : Εκτός ε. Α 4, Β3 : Εντός, εκτός εναλλάξ των στ. Α 2, Β2 : Εντός, εκτός ε 1, ε 2 µε τέµνουσα την δ Σηµείωση Υπάρχουν και άλλα ζεύγη γωνιών που θα τα δούµε παρακάτω Σελίδα 2
ΠΑΡΑΛΛΗΛΕΣ ΕΥΘΕΙΕΣ ΠΟΥ ΤΕΜΝΟΝΤΑΙ ΑΠΟ ΜΙΑ ΑΛΛΗ ΕΥΘΕΙΑ Όπως είδαµε και πριν µπορούµε να ονοµάσουµε τις γωνίες του σχήµατος µε βάση τη θέση τους ως προς τις παράλληλες ευθείες ε 1 και ε 2 ή / και ως προς την τέµνουσα ευθεία (δ) : Βάσει των παραλλήλων Α, Α 3 4 βρίσκονται «εντός» καθώς και οι, Ενώ οι, βρίσκονται «εκτός» καθώς και οι Β 3, Β4 Βάσει της τέµνουσας ευθείας δ Οι γωνίες Α 2, Α 3, Β 2, Β3, βρίσκονται «επί τ αυτά», καθώς και οι,, Ενώ αν πάρω µία από τις Α 2, Α 3, Β 2, Β3 και µία από τιςα 1, Α 4, Β 1, Β4, τότε ο συνδυασµός αυτών των 2 γωνιών, βάσει της τέµνουσας είναι γωνίες. Π.χ. Α 4. και Β 2, Α2 και Β 1,.και, και, και Σελίδα 3
Αν συνδυάσουµε ζεύγη από τις παραπάνω γωνίες, τότε παίρνω 6 ονοµασίες για τα 16 διαφορετικά ζεύγη γωνιών, τις εξής: α. Εντός εναλλάξ (π.χ. Α 3, Β1 ) των παραλλήλων ε1, ε 2 µε τέµνουσα τη δ ) β. εναλλάξ (π.χ. Α 2, Β4 γ. κι επί τ αυτά (π.χ. Α 3, Β2 ) δ. Εκτός (π.χ. Α 1, Β4 ) ε. Εντός, εκτός εναλλάξ (π.χ. Α 4, Β3 ) στ. Εντός, εκτός (π.χ. Α 2, Β2 ) Σελίδα 4
ραστηριότητα Γράψτε τα υπόλοιπα ζεύγη γωνιών για τις 6 αυτές ονοµασίες. Εφαρµογή 1 Να συγκριθούν οι γωνίες που σχηµατίζονται από τις δύο παράλληλες (ε 1 //ε 2 ) και την τέµνουσα (δ) και να τις ταξινοµήσετε ανάλογα µε ποιες είναι: Οξείες και ίσες Αµβλείες και ίσες Παραπληρωµατικές Απάντηση Υπάρχουν 4 ζεύγη γωνιών που είναι οξείες και ίσες: Από τις εντός εναλλάξ των παραλλήλων ε 1, ε 2 µε τέµνουσα τη δ:..= Από τις εκτός εναλλάξ των παραλλήλων ε 1, ε 2 µε τέµνουσα τη δ:..= Από τις εντός, εκτός και επί τ αυτά των παραλλήλων ε 1, ε 2 µε τέµνουσα τη δ:..= και = Υπάρχουν 4 ζεύγη γωνιών που είναι αµβλείες και ίσες: Από τις εντός εναλλάξ των παραλλήλων ε 1, ε 2 µε τέµνουσα τη δ:..= Από τις εκτός εναλλάξ των παραλλήλων ε 1, ε 2 µε τέµνουσα τη δ:..= Από τις εντός, εκτός και επί τ αυτά των παραλλήλων ε 1, ε 2 µε τέµνουσα τη δ:..= και = Σελίδα 5
Τα υπόλοιπα ζεύγη που δηµιουργούνται αν πάρω µια οξεία και µία αµβλεία γωνία, είναι παραπληρωµατικές, αφού ισχύει ότι: φ + ω =. Οι εντός και επί τ αυτά των παραλλήλων ε 1, ε 2 µε τέµνουσα τη δ: Α3 + Β2 = + = Οι εκτός και επί τ αυτά των παραλλήλων ε 1, ε 2 µε τέµνουσα τη δ: Α1+ Β4 = + = και + = Οι εντός, εκτός εναλλάξ των παραλλήλων ε 1, ε 2 µε τέµνουσα τη δ: Α1 + Β2 = και + = και + = και + = και Εφαρµογή 2 Να δείξετε ότι το άθροισµα των γωνιών ενός τριγώνου είναι, δηλ. ότι Α + Β + Γ =. Απάντηση Φέρνω παράλληλη από το σηµείο Α, ευθεία ε 1, παράλληλη προς το ευθύγραµµο τµήµα ΒΓ. Έχω τότε: Σελίδα 6
= ως εντός εναλλάξ των παραλλήλων µε την τέµνουσα ΑΒ = ως των παραλλήλων µε την τέµνουσα Όµως + + = (ευθεία γωνία) τότε καια + Β + Γ =. Εφαρµογή 3 Να δείξετε ότι αν δύο ευθείες ε 1 και ε 2 µε τέµνουσα τη δ, σχηµατίζουν τις εντός εναλλάξ γωνίες Β 1 και Γ 1 ίσες, τότε οι ευθείες είναι παράλληλες. Από το Β φέρνουµε το ευθύγραµµο τµήµα ΑΒ, ώστε να είναι κάθετο στην ε2. Από το άθροισµα γωνιών τριγώνου, γνωρίζω ότι Α + Β2 + Γ1 =, άρα + Β2 + Γ1 =, άρα Β2 + Γ1 = (σχέση 1). Επίσης µας έχει δοθεί ότι = (σχέση 2). Οπότε από τις δύο προηγούµενες σχέσεις έχουµε Β1 + Β2 =.. Αυτό σηµαίνει ότι το ευθύγραµµο τµήµα ΑΒ είναι κάθετο και στην ευθεία ε1. Άρα ε2 // ε1 Σελίδα 7
Ασκήσεις 1. Αν ε 1 //ε 2, τότε να υπολογίσετε τις γωνίες που σχηµατίζονται αν α = 40. 2. Να δείξετε ότι το άθροισµα 2 γωνιών τριγώνου, ισούται µε την εξωτερική της τρίτης γωνίας. (Σε ένα τρίγωνο ΑΒΓ, η γωνία ΑΓx, που σχηµατίζεται από την ΑΓ και την προέκτασή της ΒΓ προς το µέρος του Γ, ονοµάζεται εξωτερική γωνία της Γ.) 3. Nα υπολογιστούν οι γωνίες α, β και γ, αν ε1 // ε 2 Σελίδα 8
4. Να βρεθούν οι άγνωστες γωνίες του σχήµατος που ακολουθεί, αν ε 1 // ε 2 και ε 3 // ε 4 5. Αν ε 1 // ε 2 και ε κάθετη στην ε 1, να υπολογίσετε τις γωνίες α, β, γ, δ και ζ. Σελίδα 9
6. Οι ευθείες ε 1, ε 2 είναι παράλληλες. Να υπολογίσετε τη γωνία Ο. 7. Αν ε 1 // ε 2, να δείξετε ότι α + β + γ = 4 ορθές. 8. Αν οι ευθείες ε1 και ε2 είναι παράλληλες, να αποδείξετε ότι και η ευθεία ε είναι παράλληλη σ αυτές. Σελίδα 10