Απλοποιημένη πιθανοτική μελέτη σήραγγας Smplfed probablstc tuel study ΝΟΜΙΚΟΣ, Π.Π. Μηχανικός Μεταλλείων Μεταλλουργός, Πολιτικός Μηχ., Λέκτορας, Ε.Μ.Π. ΧΡΙΣΤΟΔΟΥΛΟΠΟΥΛΟΥ Σ., Μηχανικός Μεταλλείων Μεταλλουργός, Ε.Μ.Π. ΣΟΦΙΑΝΟΣ, Α.Ι. Πολιτικός Μηχανικός, Καθηγητής, Ε.Μ.Π. ΠΕΡΙΛΗΨΗ : Παρουσιάζεται μία απλοποιημένη πιθανοτική προσέγγιση όπως μπορεί να εφαρμοσθεί στην περίπτωση μελέτης σηράγγων. Οι γεωτεχνικές παράμετροι της γεωμάζας, το φυσικό ε- ντατικό πεδίο και συγκεκριμένες υπολογιστικές παραδοχές θεωρούνται ως τυχαίες μεταβλητές με γνωστή μέση τιμή και τυπική απόκλιση. Αρχικά, εντοπίζονται οι παράμετροι που επηρεάζουν περισσότερο τους υπολογισμούς. Στη συνέχεια, εφαρμόζεται η Μέθοδος Σημειακής Εκτίμησης για τον υπολογισμό της μέσης τιμής και τυπικής απόκλισης συγκεκριμένων μεγεθών απόκρισης της σήραγγας. Η πιθανοτική ανάλυση μπορεί να παρέχει συμπεράσματα για την πιθανότητα υπέρβασης των ορίων αποδεκτής συμπεριφοράς κατά την κατασκευή. ABSTRACT : A smplfed probablstc aalyss s preseted as t ca be appled for tuel studes. The geotechcal parameters of the rock mass, the atural stress feld ad specfc calculato assumptos are cosdered as radom varables wth kow mea value ad stadard devato. Itally, the parameters that affect mostly the calculatos are foud. The, the Pot Estmate method s appled for the calculato of the mea value ad the stadard devato of specfc tuel resposes. The probablstc aalyss ca provde coclusos for the probablty of exceedg the lmts of acceptable behavor durg tuel costructo.. ΕΙΣΑΓΩΓΗ Τα αποτελέσματα της γεωτεχνικής έρευνας, που προηγείται της μελέτης διάνοιξης και άμεσης υποστήριξης σηράγγων, χαρακτηρίζονται συχνά από μεγάλη διακύμανση των τιμών των γεωτεχνικών παραμέτρων της γεωμάζας, ακόμη και εντός του ίδιου σχηματισμού. Η αβεβαιότητα αυτή των γεωτεχνικών συνθηκών του υπεδάφους, η εξασφάλιση της οικονομικότητας του έργου και η απαίτηση για ασφαλείς συνθήκες διάνοιξης καθιστούν απαραίτητη την ενόργανη παρακολούθηση κατά την κατασκευή. Η συστηματική παρατήρηση της συμπεριφοράς σε συνδυασμό την εφαρμογή πρόσθετων μέτρων στήριξης ή ακόμη και με την επανεξέταση του σχεδιασμού είναι γνωστή ως «μέθοδος της παρατήρησης» (observatoal method), όρος που καθιερώθηκε αρχικά από τον Peck (969), ο οποίος έθεσε και τις βασικές αρχές της μεθόδου. Στον Ευρωκώδικα 7 (EN 997-) η μέθοδος της παρατήρησης αναφέρεται ως εν δυνάμει κατάλληλη όταν η γεωτεχνική συμπεριφορά είναι δύσκολο να προβλεφθεί. Η εφαρμογή της συνδέεται, μεταξύ άλλων, με τον καθορισμό ορίων αποδεκτής συμπεριφοράς και την εκτίμηση του εύρους πιθανής συμπεριφοράς, εισάγοντας παράλληλα και τη λογική της αποδεκτής διακινδύνευσης. Έτσι, ο γεωτεχνικός σχεδιασμός από προσδιορισμικός γίνεται πιθανοτικός, και θα πρέπει να λαμβάνει υπόψη όλες εκείνες τις αβεβαιότητες που σχετίζονται με τη φύση των γεωυλικών, τις μεθόδους ανάλυσης αλλά και την μέθοδο κατασκευής. Κατά τη συνήθη μελετητική πρακτική, οι σχηματισμοί από τους οποίους θα διέλθει η σήραγγα ταξινομούνται σε κατηγορίες, βάσει μίας ή περισσότερων γεωτεχνικών ταξινομήσεων. Στη συνέχεια, η διάνοιξη και άμεση υ- ποστήριξη της σήραγγας προσομοιώνεται με προσδιορισμικές αναλύσεις, για τις χαρακτηρι- 6ο Πανελλήνιο Συνέδριο Γεωτεχνικής & Γεωπεριβαλλοντικής Μηχανικής, ΤΕΕ, 9/09 /0 00, Βόλος
στικές τιμές των γεωτεχνικών παραμέτρων κάθε γεωτεχνικής κλάσης. Τα αποτελέσματα των αναλύσεων χρησιμοποιούνται για τη διαστασιολόγηση των στοιχείων υποστήριξης και για τον καθορισμό ορίων αποδεκτής συμπεριφοράς. Εντούτοις, η πιθανότητα υπέρβασης των ορίων αυτών δεν προσδιορίζεται (Σοφιανός & Χαλακατεβάκης 003). Στην παρούσα εργασία, παρουσιάζεται μία απλοποιημένη πιθανοτική προσέγγιση όπως μπορεί να εφαρμοσθεί στην περίπτωση μελέτης σηράγγων. Οι παράμετροι αντοχής και παραμορφωσιμότητας της γεωμάζας μαζί με τα χαρακτηριστικά του φυσικού εντατικού πεδίου και συγκεκριμένες υπολογιστικές παραδοχές θεωρούνται ως τυχαίες μεταβλητές με γνωστή μέση τιμή και τυπική απόκλιση. Ο πιθανοτικός σχεδιασμός περιλαμβάνει δύο στάδια. Στο πρώτο, που υλοποιείται με την εκτέλεση ενός μικρού σχετικά αριθμού προσδιορισμικών υπολογισμών, εντοπίζονται και απομονώνονται οι παράμετροι που επηρεάζουν περισσότερο τους υπολογισμούς. Στο δεύτερο στάδιο, εφαρμόζεται η Μέθοδος Σημειακής Εκτίμησης (Pot Estmate Method, PEM) για τον υπολογισμό της μέσης τιμής και τυπικής απόκλισης συγκεκριμένων μεγεθών απόκρισης της σήραγγας. Υιοθετώντας λογικές παραδοχές για την κατανομή της απόκρισης, η πιθανοτική ανάλυση μπορεί να παρέχει συμπεράσματα για την πιθανότητα υπέρβασης των ορίων αποδεκτής συμπεριφοράς κατά την κατασκευή.. ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ.. Συνάρτηση συμπεριφοράς Κατά τη μελέτη της διάνοιξης και άμεσης υποστήριξης σηράγγων, η συμπεριφορά της γεωμάζας και της υποστήριξης εκτιμάται με μεγέθη απόκρισης, όπως οι μετατοπίσεις των στοιχείων της υποστήριξης, οι παραμορφώσεις της περιβάλλουσας γεωμάζας, η αναπτυσσόμενη ένταση στην επένδυση κλπ. Τα μεγέθη αυτά, ανεξάρτητα ή σε συνδυασμό, μπορούν να α- ποτελέσουν τη συνάρτηση συμπεριφοράς (performace fucto) της πιθανοτικής ανάλυσης, όπου: g,,..., ) () ( και, =,.., οι τυχαίες μεταβλητές της Υ. Οι παράμετροι που εισάγονται σε ένα αριθμητικό μοντέλο για την προσομοίωση της διάνοιξης και υποστήριξης μίας σήραγγας είναι πολλές και δεν είναι πρακτικά εφικτό να περιληφθούν όλες ως τυχαίες μεταβλητές σε μία πιθανοτική ανάλυση. Απαιτείται επομένως προσδιορισμός εκείνων των παραμέτρων που έχουν τη μεγαλύτερη επιρροή στα αποτελέσματα της ανάλυσης. Μόνο οι παράμετροι αυτές θα θεωρηθούν στους υπόλοιπους υπολογισμούς ως στοχαστικές. Για να έχει πρακτική χρησιμότητα η πιθανοτική ανάλυση, ο καθορισμός της συνάρτησης συμπεριφοράς θα πρέπει λαμβάνει υπόψη το προτεινόμενο πρόγραμμα οργανομετρήσεων... Μέθοδος FOSM Η μέθοδος FOSM (Frst Order Secod Momet) είναι μία σχετικά απλή μέθοδος για την εκτίμηση των δύο πρώτων ροπών μίας συνάρτησης τυχαίων μεταβλητών Υ, χρησιμοποιώντας τους γραμμικούς όρους του αναπτύγματος Taylor της συνάρτησης και τις δύο πρώτες ροπές των μεταβλητών της. Η μέση τιμή και η διασπορά της Υ υπολογίζονται από τις σχέσεις (Baecher & Chrsta 003): E ] g(,,..., ) () [ Var[ ] Var[ ] Cov j j j (3) Ε[ ] και Var[ ] είναι η αναμενόμενη τιμή και η διασπορά αντίστοιχα της μεταβλητής που περιέχεται στην αγκύλη, μ η μέση τιμή της μεταβλητής, Cov(, j ) η συνδιασπορά των τυχαίων μεταβλητών και j και / η μερική παράγωγος της ως προς. Οι σχέσεις () και (3) είναι ακριβείς μόνο όταν η Υ είναι πολυώνυμο πρώτου βαθμού. Στη γενική περίπτωση οι σχέσεις είναι προσεγγιστικές και το σφάλμα που εισάγουν εξαρτάται από τη μορφή της συνάρτησης και τη διασπορά των τυχαίων μεταβλητών της. Όταν οι τυχαίες μεταβλητές είναι ασυσχέτιστες, Cov(, j )=0, η διασπορά της Υ υ- πολογίζεται ως: Var[ ] Var[ ] (4) 6ο Πανελλήνιο Συνέδριο Γεωτεχνικής & Γεωπεριβαλλοντικής Μηχανικής, ΤΕΕ, 9/09 /0 00, Βόλος
Η επίδραση μίας τυχαίας μεταβλητής στη συνάρτηση συμπεριφοράς μπορεί να ποσοτικοποιηθεί από τη συνεισφορά της στη διασπορά της Υ (Nadm 007), ορίζοντας ένα δείκτη ευαισθησίας s: s[ Var[ ] ] (5) Var[ ] Έτσι, η μέθοδος FOSM μπορεί να χρησιμοποιηθεί για τον προσδιορισμό των παραμέτρων που έχουν τη μεγαλύτερη επίδραση στα αποτελέσματα της συνάρτησης συμπεριφοράς. Ο υπολογισμός των μερικών παραγώγων της στις σχέσεις (3) (5) μπορεί να γίνει α- ναλυτικά μόνο σε ορισμένες απλές περιπτώσεις, όπως π.χ. όταν η απόκριση της σήραγγας εξετάζεται σε αρχικό στάδιο με κλειστές λύσεις. Όταν η μελέτη πραγματοποιείται με αριθμητική προσομοίωση της πολυσταδιακής διάνοιξης και προσωρινής υποστήριξης της σήραγγας τότε οι μερικές παράγωγοι μπορούν να υπολογιστούν από ένα σχήμα πεπερασμένων διαφορών σε ένα διάστημα περί τη μέση τιμή. Η συνάρτηση Υ υπολογίζεται για δύο τιμές της που απέχουν από την αναμενόμενη τιμή της κατά + ε και - ε (με τις υπόλοιπες μεταβλητές να λαμβάνουν την αναμενόμενη τιμή τους). Η μερική παράγωγος υπολογίζεται από το πηλίκο της διαφοράς των τιμών της Υ προς ε : g g (6) Αν το ε επιλεγεί ίσο με την τυπική απόκλιση της τότε: g g και η διασπορά της Υ γίνεται: (7) g g Var[ ] (8) 4.3. Μέθοδος PEM (Pot Estmates Method) Η μέθοδος PEM αναπτύχθηκε από τον Roseblueth (975) ως μία προσεγγιστική μέθοδος για την εκτίμηση των πρώτων ροπών μίας συνάρτησης Υ με τυχαίες μεταβλητές, όταν είναι γνωστές οι πρώτες ροπές των μεταβλητών της. Η μέθοδος χρησιμοποιείται για περισσότερο από τρεις δεκαετίες κατά την ανάλυση διακινδύνευσης σε γεωτεχνικά προβλήματα. Οι συνεχείς τυχαίες μεταβλητές με συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας f (x) αντικαθίστανται από τις διακριτές τυχαίες μεταβλητές P με συνάρτηση πιθανότητας p (x) που έχει τις ίδιες ροπές m-τάξης με την f (x). Η σχέση () υπολογίζεται για όλους τους δυνατούς συνδυασμούς των τιμών των P πολλαπλασιάζοντας με την πιθανότητα του συνδυασμού. Αθροίζοντας προκύπτει μία διακριτή συνάρτηση με συνάρτηση πιθανότητας p (y), όπου οι πρώτες ροπές της θεωρούνται ίσες με τις ροπές της συνεχούς συνάρτησης g(,,.., ). Στην πρακτική εφαρμογή της μεθόδου για τυχαίες μεταβλητές με συντελεστή λοξότητας μηδέν η συνάρτηση Υ υπολογίζεται =4 φορές, όπου η κάθε τυχαία μεταβλητή Χ λαμβάνει τις τιμές μ +σ και μ -σ. Η αναμενόμενη τιμή και η διασπορά της Υ προσεγγίζονται από τις σχέσεις (9) και (0) αντίστοιχα: E [ ] P P P P (9) Var [ ] P P P P E[ ] (0) g, (α) g, (β) g, (γ) g, (δ) Οι συντελεστές P ++, P +-, P -+ και P -- υπολογίζονται ως: P P 0.5 (α) P P 0.5 (β) όπου ρ ο συντελεστής συσχέτισης των μεταβλητών Χ και Χ. Οι παραπάνω σχέσεις μπορούν να γενικευθούν για τυχαίες μεταβλητές. Η συνάρτηση Υ υπολογίζεται =k φορές με αντίστοιχους συνδυασμούς των τιμών των μεταβλητών της. Η αναμενόμενη τιμή και η διασπορά της Υ υπολογίζονται από τις σχέσεις: 6ο Πανελλήνιο Συνέδριο Γεωτεχνικής & Γεωπεριβαλλοντικής Μηχανικής, ΤΕΕ, 9/09 /0 00, Βόλος 3
E[ ] P k k (3) Var k [ ] Pk k k E[ ] (4) ενώ οι συντελεστές P k δίνονται από τη σχέση (Baecher & Chrsta 003): Pk P( s... ) s s ss j j (5) j όπου s,, όταν όταν Για παράδειγμα, εάν οι μεταβλητές είναι τρεις οι δυνατοί συνδυασμοί των τιμών τους είναι = 3 =8. Εάν ένας από τους 8 συνδυασμούς (έστω ο 5 ος συνδυασμός) είναι (μ +σ, μ -σ, μ 3 +σ 3 ), τότε: 3 P5 P( ) s 3 s j j j ( )( ) ( )( ) 3 8 ( )( ) P 8 5 P( ) 3 3 3 Όταν οι μεταβλητές είναι ασυσχέτιστες (ρ j =0) τότε P k =P=/. Η μέθοδος PEM είναι σαφής, εύχρηστη και δεν απαιτεί ιδιαίτερες γνώσεις της θεωρίας των πιθανοτήτων. Για περιορισμένο αριθμό μεταβλητών παρέχει μία μέθοδο εκτίμησης της μέσης τιμής και της διασποράς της συνάρτησης συμπεριφοράς με σαφώς λιγότερους υπολογισμούς από αυτούς που απαιτεί π.χ. μία ανάλυση Mote Carlo. Αυξάνοντας το πλήθος των τυχαίων μεταβλητών, οι απαιτούμενοι υπολογισμοί της PEM αυξάνονται απαγορευτικά για πρακτική εφαρμογή. Για 5 τυχαίες μεταβλητές απαιτούνται 5 =3 υπολογισμοί ενώ για 0 οι απαιτούμενοι υπολογισμοί είναι 04 και για 0 τυχαίες μεταβλητές 048576. Τόσο ο Roseblueth (975) όσο και άλλοι ερευνητές (Harr 989, Hog 998, Baecher & Chrsta 003) παρουσίασαν τροποποιήσεις της PEM ώστε οι απαιτούμενοι υπολογισμοί να μειώνονται σε ή +, με σχετικά μικρή μείωση της ακρίβειας. Οι μέθοδοι αυτές περιγράφονται αναλυτικά από τους Baecher & Chrsta (003), οι οποίοι επιπλέον παρέχουν διαγράμματα με την ακρίβεια προσδιορισμού της μέσης τιμής και της διασποράς που επιτυγχάνεται με την PEM για ορισμένες στοιχειώδεις συναρτήσεις. 3. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ ΕΦΑΡΜΟΓΗΣ 3.. Δεδομένα Ως παράδειγμα εφαρμογής των μεθόδων FOSM και PEM, μελετάται πιθανοτικά η διάνοιξη και άμεση υποστήριξη σήραγγας, που διανοίγεται σε μία τεχνικογεωλογική ενότητα με τα μέτρα υποστήριξης συγκεκριμένης κατηγορίας υποστήριξης. Η διατομή της σήραγγας είναι πεταλοειδής με εσωτερική ακτίνα διατομής χρήσης 6 m. Σύμφωνα με τα αποτελέσματα της γεωτεχνικής έρευνας η σήραγγα διανοίγεται πάνω από τη στάθμη του υδροφόρου ορίζοντα και διέρχεται από αργιλοϊλυώδεις και αμμώδεις σχηματισμούς, ελαφρώς συγκολλημένα αμμοχάλικα, μέτρια έως καλά συγκολλημένα κροκαλοπαγή καθώς και από μικτές συνθήκες. Οι τιμές των γεωτεχνικών παραμέτρων σχεδιασμού για τη τεχνικογεωλογική ενότητα που εξετάζεται είναι: μοναδιαίο βάρος γ=0 kn/m 3, μέτρο ελαστικότητας Ε=00 MPa, λόγος Posso v=0.35, γωνία τριβής φ=33 ο και συνοχή c=50 kpa. Η σήραγγα διανοίγεται σε βάθος 60 m. Η διάνοιξη πραγματοποιείται σε δύο φάσεις: άνω ημιδιατομή και βαθμίδα. Το βήμα προχώρησης είναι m και m στην άνω ημιδιατομή και στη βαθμίδα αντίστοιχα. Τα μέτρα προσωρινής υποστήριξης περιλαμβάνουν προενίσχυση με δοκούς προπορείας, εκτοξευόμενο σκυρόδεμα 5 cm στο θόλο, τις παρειές και το ανάστροφο τόξο του πυθμένα, πλαίσια HEB 40 ανά m, που θεμελιώνονται σε διεύρυνση στην άνω ημιδιατομή, και διατρητικά αγκύρια μήκους 6 m και φέρουσας ικανότητας 300 kn. Για τη στήριξη του μετώπου εφαρμόζεται εκτοξευόμενο σκυρόδεμα 0 cm και τοποθετούνται αγκύρια υαλονήματος μήκους m και φέρουσας ικανότητας 00 kn. Κατά τη διάνοιξη της άνω ημιδιατομής διαμορφώνεται προσωρινό ανάστροφο τόξο με εκτοξευόμενο σκυρόδεμα πάχους 0 cm. Κατά τη διάνοιξη της σήραγγας προβλέπεται η διενέργεια γεωτεχνικών μετρήσεων με 6ο Πανελλήνιο Συνέδριο Γεωτεχνικής & Γεωπεριβαλλοντικής Μηχανικής, ΤΕΕ, 9/09 /0 00, Βόλος 4
στόχο τον έλεγχο της συμπεριφοράς της υπόγειας εκσκαφής. Μεταξύ άλλων προβλέπονται: μετρήσεις μετατοπίσεων, παραμορφώσεων με μηκυνσιόμετρα διατρήματος τριών σημείων, μετρήσεις φορτίου ηλώσεων και εκτοξευόμενου σκυροδέματος. 3.. Αριθμητική προσομοίωση Για την αριθμητική προσομοίωση της διάνοιξης και υποστήριξης της σήραγγας χρησιμοποιήθηκε ο κώδικας πεπερασμένων διαφορών FLAC (Itasca 008). Τα όρια του πλέγματος πεπερασμένων διαφορών εκτείνονται σε επαρκή απόσταση γύρω από την εκσκαφή ώστε να μειώνεται η επίδραση των ορίων του προσομοιώματος στους υ- πολογισμούς. Οι συνοριακές συνθήκες που εφαρμόσθηκαν για την περίπτωση αυτή είναι η παρεμπόδιση των οριζοντίων μετατοπίσεων στα πλευρικά όρια και η παρεμπόδιση των κατακόρυφων μετατοπίσεων στη βάση του μοντέλου. Οι λεπτομέρειες του πλέγματος πλησίον της σήραγγας φαίνονται στο Σχήμα. υπερκειμένων, ενώ ο συντελεστής οριζοντίων τάσεων θεωρήθηκε Κ=. Για την προσομοίωση του εκτοξευόμενου σκυροδέματος και των μεταλλικών πλαισίων χρησιμοποιήθηκαν γραμμικά στοιχεία δοκού με γραμμικώς ελαστικό υλικό διατομής. Για κάθε στοιχείο καθορίζονται οι ροπές αδρανείας ως προς τους κεντροβαρικούς άξονες της διατομής του και οι ελαστικές σταθερές του υλικού. Τα αγκύρια προσομοιώθηκαν με ραβδωτά στοιχεία που μπορούν να διαρρέουν σε θλίψη ή εφελκυσμό και να αναπτύσσουν δυνάμεις σε όλο το μήκος τους με την παραμόρφωση του πλέγματος πεπερασμένων διαφορών. Οι δοκοί προπορείας δεν προσομοιώθηκαν. Η ανάλυση της διάνοιξης και άμεσης υποστήριξης πραγματοποιήθηκε σε 6 στάδια που αναπαριστούν την αρχική εντατική κατάσταση, τη σταδιακή αποτόνωση των πιέσεων της γεωμάζας στην περιοχή του μετώπου, την εκσκαφή της άνω ημιδιατομής και της βαθμίδας, τη σταδιακή τοποθέτηση των μέτρων άμεσης υποστήριξης και τη σκλήρυνση του σκυροδέματος. Ο ακριβής χρονισμός των σταδίων προσομοίωσης ακολούθησε εκείνο της οριστικής μελέτης του έργου για τη συγκεκριμένη κατηγορία υποστήριξης. 3.3. Πιθανοτική ανάλυση Σχήμα. Λεπτομέρειες του πλέγματος πεπερασμένων διαφορών πλησίον της σήραγγας. Fgure. Detals of the fte dffereces grd close to the tuel Η γεωμάζα θεωρείται ότι είναι ελαστικήαπολύτως πλαστική και ακολουθεί το γραμμικό κριτήριο αστοχίας Mohr-Coulomb. Οι ελαστικές σταθερές και οι παράμετροι διατμητικής αντοχής της είναι αυτές που περιγράφονται στην παραγρ. 3.. Η γωνία διαστολής κατά τη διαρροή τέθηκε ίση με μηδέν. Η κατακόρυφη τάση του φυσικού εντατικού πεδίου θεωρήθηκε ότι οφείλεται στο βάρος των Για την πιθανοτική ανάλυση επιλέχθηκε ως συνάρτηση συμπεριφοράς η τιμή της κατακόρυφης μετατόπισης στη στέψη της σήραγγας και η μέγιστη αξονική δύναμη στην επένδυση, που υπολογίζεται από τον κώδικα FLAC. Για την εφαρμογή της μεθόδου FOSM επιλέχθηκαν =8 τυχαίες μεταβλητές: οι ελαστικές σταθερές Ε και v της γεωμάζας, οι παράμετροι διατμητικής αντοχής c και φ, ο συντελεστής οριζοντίων τάσεων Κ, το ύψος υπερκειμένων Η και οι συντελεστές αποτόνωσης των τάσεων στο μέτωπο της άνω ημιδιατομής λ Α και της βαθμίδας λ Β. Το ύψος υπερκειμένων επιλέγεται ως τυχαία μεταβλητή λόγω της αβεβαιότητας που ενίοτε υπάρχει στην ακριβή οριοθέτηση τεχνικογεωλογικών ενοτήτων κατά μήκος της σήραγγας. Ως μέση τιμή των μεταβλητών ορίσθηκε η τιμή σχεδιασμού που επιλέχθηκε στη μελέτη του έργου και με την οποία πραγματοποιήθηκαν οι προσδιορισμικές αναλύσεις. Ως τυπική απόκλιση ορίσθηκε ένα ποσοστό 0% της μέσης τιμής κάθε μεταβλητής (Πίνακας ). Οι απαιτούμενες αναλύσεις για τη μέθοδο FOSM είναι +=7. Η μία ανάλυση πραγματοποιήθηκε με τις μέσες τιμές των 8 τυχαίων μεταβλητών. Σε κάθε μία από τις υπόλοιπες 6 6ο Πανελλήνιο Συνέδριο Γεωτεχνικής & Γεωπεριβαλλοντικής Μηχανικής, ΤΕΕ, 9/09 /0 00, Βόλος 5
αναλύσεις, μία από τις τυχαίες μεταβλητές λαμβάνει τιμή μ +σ ή μ -σ και οι υπόλοιπες τη μέση τιμή. Πίνακας. Μέση τιμή και τυπική απόκλιση των 8 τυχαίων μεταβλητών για τη μέθοδο FOSM. Table. Mea value ad stadard devato of the radom varables used the FOSM. μ μ +σ μ -σ Ε 00 MPa 0 MPa 80 MPa v 0.35 0.4 0.8 c 50 kpa 80 kpa 0 kpa φ 33 ο 39.6 ο 6.4 ο Η 60 m 7 m 48 m Κ. 0.8 λ Α 0.35 0.8 0.4 λ Β 0.5 0.0 0.30 Σε κάθε ανάλυση μετρούνται οι τιμές της κατακόρυφης μετατόπισης στη στέψη της διατομής της σήραγγας και της μέγιστης αξονικής δύναμης που αναπτύσσεται στο εκτοξευόμενο σκυρόδεμα. Υποθέτοντας ότι οι 8 τυχαίες μεταβλητές είναι ασυσχέτιστες μεταξύ τους και εφαρμόζοντας τις σχέσεις () και (8) υπολογίζονται η μέση τιμή και η διασπορά για την κατακόρυφη μετατόπιση στην οροφή και για τη μέγιστη α- ξονική δύναμη στο εκτοξευόμενο σκυρόδεμα. Η τυπική απόκλιση προκύπτει ως η τετραγωνική ρίζα της διασποράς. Τα αποτελέσματα της μεθόδου δίνονται στον Πίνακα. Πίνακας. Μέση τιμή και τυπική απόκλιση των συναρτήσεων συμπεριφοράς από εφαρμογή της μεθόδου FOSM. Table. Mea value ad stadard devato of the performace fuctos by applyg the FOSM method. u y,στέψη N max (mm) (kn) Ε[] 6.55 456 σ Υ 5.84 500 Στον Πίνακα 3 δίνεται ο δείκτης ευαισθησίας s (%) που υπολογίζεται από τη σχέση (5). Όπως παρατηρείται από αυτόν, οι τέσσερις παράμετροι που επιδρούν περισσότερο στα αποτελέσματα είναι το μέτρο ελαστικότητας Ε, το ύψος υπερκειμένων Η, ο συντελεστής Κ και ο συντελεστής αποτόνωσης λ Α. Οι τέσσερις αυτές παράμετροι επιλέγονται στη συνέχεια για την εφαρμογή της μεθόδου PEM. Για την εφαρμογή της μεθόδου PEM οι τυχαίες μεταβλητές Ε, Η, Κ, και λ Α αναπαρίστανται από δύο σημειακές εκτιμήτριες μ +σ και μ -σ με τιμές όπως στον Πίνακα. Οι απαιτούμενες αριθμητικές αναλύσεις είναι 4 =6. Θεωρώντας ότι οι μεταβλητές είναι ασυσχέτιστες οι συντελεστές P k των σχέσεων (3) και (4) υπολογίζονται από τη (5) ως P k =P=/6. Πίνακας 3. Δείκτης ευαισθησίας των τυχαίων μεταβλητών υπολογιζόμενος από τη σχέση (5). Table 3. Sestvty dex of the radom varables calculated from eq. (5). s (%) u y,στέψη N max Ε.5 9.8 v. 0.0 c 0. 0.0 φ.8 0. Η 7.8 46.4 Κ 43.9 35. λ Α.7 8. λ Β 0.5 0. Η μέση τιμή και η διασπορά για την κατακόρυφη μετατόπιση στην οροφή και στον πυθμένα, καθώς και για τη μέγιστη αξονική δύναμη στο εκτοξευόμενο σκυρόδεμα υπολογίζονται από τις σχέσεις (3) και (4). Η τυπική απόκλιση προκύπτει ως η τετραγωνική ρίζα της διασποράς. Τα αποτελέσματα της μεθόδου δίνονται στον Πίνακα 4. Πίνακας 4. Μέση τιμή και τυπική απόκλιση των συναρτήσεων συμπεριφοράς από εφαρμογή της μεθόδου PEM. Table 4. Mea value ad stadard devato of the performace fuctos by applyg the PEM method. u y,στέψη N max (mm) (kn) Ε[] 8.70 456 σ Υ 6.34 48 Σύμφωνα με τα αποτελέσματα των Πινάκων και 4, παρατηρείται ότι οι μέθοδοι FOSM και PEM δίνουν για τη συγκεκριμένη περίπτωση παραπλήσια αποτελέσματα. 3.4. Αξιολόγηση αποτελεσμάτων Η μέση τιμή και η τυπική απόκλιση που προ- 6ο Πανελλήνιο Συνέδριο Γεωτεχνικής & Γεωπεριβαλλοντικής Μηχανικής, ΤΕΕ, 9/09 /0 00, Βόλος 6
κύπτουν από εφαρμογή των μεθόδων FOSM και PEM παρέχουν μία εικόνα για την επίδραση της αβεβαιότητας των παραμέτρων στο σχεδιασμό της διάνοιξης και προσωρινής υ- ποστήριξης της σήραγγας. Έτσι, παρατηρείται ότι για τυπική απόκλιση των τυχαίων μεταβλητών ίση με το 0 % της μέσης τιμής ο συντελεστής διασποράς της κατακόρυφης μετατόπισης προκύπτει μεγαλύτερος από 0.5 (δηλ. η τυπική απόκλιση είναι μεγαλύτερη από 50 % της μέσης τιμής) που δεικνύει σημαντική αβεβαιότητα για τη συγκεκριμένη μεταβλητή. Για την καλύτερη αξιοποίηση των αποτελεσμάτων και τη συσχέτιση τους με τις γεωτεχνικές μετρήσεις κατά την κατασκευή απαιτείται να γίνει μία παραδοχή για τη στατιστική κατανομή που ακολουθούν. Συνήθεις κατανομές που χρησιμοποιούνται για τις συναρτήσεις συμπεριφοράς σε πιθανοτικές αναλύσεις γεωτεχνικών προβλημάτων είναι η κανονική κατανομή, η λογαριθμοκανονική κατανομή και η κατανομή Γάμμα. Στο Σχήμα φαίνονται οι συναρτήσεις κατανομής της κατακόρυφης μετατόπισης στη στέψη για τις τρεις στατιστικές κατανομές που αναφέρθηκαν προηγούμενα. Όπως φαίνεται σε αυτό, η πιθανότητα υπέρβασης της μέσης τιμής είναι 50 %, 40 % και 4 % για παραδοχή κανονικής κατανομής, λογαριθμοκανονικής κατανομής και κατανομής Γάμμα αντίστοιχα. Η πιθανότητα υπέρβασης περισσότερο από μία τυπική απόκλιση είναι 5 % περίπου και για τις τρεις κατανομές. Αθροιστική πιθανότητα.0 0.9 0.8 0.7 0.6 0.5 0.4 0.3 0. 0. 0.0 Κανονική κατανομή Λογαριθμοκανονική κατανομή Κατανομή Γάμμα 0 0 30 40 50 60 Κατακόρυφη μετατόπιση στη στέψη (mm) Σχήμα. Συναρτήσεις κατανομής για την κατακόρυφη μετατόπιση στη στέψη Fgure. Dstrbuto fuctos for the roof vertcal dsplacemet. Αντίστοιχα στο Σχήμα 3 φαίνονται οι συναρτήσεις κατανομής της μέγιστης αξονικής δύναμης στο εκτοξευόμενο σκυρόδεμα, από το ο- ποίο μπορεί να εκτιμηθεί η πιθανότητα υπέρβασης μίας προκαθορισμένης τιμής. Ειδικότερα για τη φόρτιση της επένδυσης, τα αποτελέσματα της πιθανοτικής ανάλυσης μπορούν να χρησιμοποιηθούν για την ανάλυση αξιοπιστίας της υποστήριξης. Αθροιστική πιθανότητα.0 0.9 0.8 0.7 0.6 0.5 0.4 0.3 0. 0. 0.0 Κανονική κατανομή 000 3000 4000 5000 6000 7000 8000 Μέγιστη αξονική δύναμη (kn) Λογαριθμοκανονική κατανομή Κατανομή Γάμμα Σχήμα 3 Συναρτήσεις κατανομής για την μέγιστη αξονική δύναμη στο εκτοξευόμενο σκυρόδεμα. Fgure 3. Dstrbuto fuctos for the maxmum axal force the shotcrete lg. Τέτοια διαγράμματα σε συνδυασμό με τον καθορισμό αποδεκτών ορίων συμπεριφοράς κατά την κατασκευή μπορούν να βοηθήσουν κατά τη μελέτη της σήραγγας στην αποδοχή ή στην τροποποίηση του σχεδιασμού. 4. ΣΥΖΗΤΗΣΗ ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΑ Οι μηχανικές παράμετροι, που υπεισέρχονται στα προσομοιώματα ανάλυσης των φάσεων της διάνοιξης σηράγγων, δεν μπορεί να έχουν αυστηρά καθορισμένες τιμές. Οι τιμές τους κυμαίνονται μέσα σε κάποιο διάστημα, με πιθανότερες τις κεντρικές τιμές, και λιγότερο πιθανές τις ακραίες. Σε μία μελέτη επομένως, θα έπρεπε να λαμβάνεται υπόψη το εύρος τιμών των παραμέτρων της ανάλυσης, και στο στάδιο του σχεδιασμού η απόφαση για την επιλογή της λύσης να στηρίζεται σε μια πιθανότητα αστοχίας και τις επιπτώσεις της. Μια τέτοια πιθανοτική ανάλυση απαιτεί σήμερα υπερβολικά μεγάλο υπολογιστικό κόπο σε σχέση με μία προσδιορισμική ανάλυση, χωρίς να είναι βέβαιο πάντα ότι από αυτήν θα προκύπτει το α- ντίστοιχο όφελος. Αντίθετα, μία απλοποιημένη πιθανοτική ανάλυση σήραγγας, που με μικρή σχετικά αύξηση του υπολογιστικού κόπου θα επέτρεπε την αξιολόγηση της επιλεγμένης λύσης στη βάση της αξιοπιστίας, θα αποτελούσε πρόκληση για αλλαγή στην μέχρι τώρα εφαρμοσμένη πρακτική. 6ο Πανελλήνιο Συνέδριο Γεωτεχνικής & Γεωπεριβαλλοντικής Μηχανικής, ΤΕΕ, 9/09 /0 00, Βόλος 7
Προκειμένου να απλοποιηθεί η πιθανοτική ανάλυση μιας σήραγγας, προτείνεται η πραγματοποίησή της σε δύο στάδια. Στο πρώτο στάδιο εφαρμόζεται η μέθοδος FOSM για τον προσδιορισμό των παραμέτρων που έχουν τη μεγαλύτερη επίδραση στα αποτελέσματα. Στη συνέχεια, στο δεύτερο στάδιο εφαρμόζεται η μέθοδος PEM για τον προσδιορισμό της μέσης τιμής και της διασποράς της συνάρτησης συμπεριφοράς. Η μεθοδολογία αυτή αποδεικνύεται ότι είναι αρκετά απλή, δεν απαιτεί ιδιαίτερες γνώσεις της θεωρίας πιθανοτήτων και μπορεί να εφαρμοσθεί σε συνδυασμό τόσο με κλειστές λύσεις όσο και με αριθμητικές επιλύσεις. Ειδικά, κατά το δεύτερο στάδιο, ο απαιτούμενος αριθμός αριθμητικών επιλύσεων μπορεί να ελαχιστοποιηθεί με την προσεκτική επιλογή των σημαντικών μεταβλητών που καθορίζονται από τα αποτελέσματα του πρώτου σταδίου της ανάλυσης. Κατά την επιλογή των παραμέτρων του αρχικού πρώτου σταδίου, ως τυχαίες μεταβλητές θα πρέπει να λαμβάνονται υπόψη οι παράμετροι που χρησιμοποιούνται από την ακολουθούμενη μελετητική πρακτική. Ειδικότερα, αν οι παράμετροι σχεδιασμού προκύπτουν από τη χρήση εμπειρικών ταξινομήσεων, τότε είναι λογική και η θεώρηση του δείκτη της ταξινόμησης ως τυχαίας μεταβλητής που κυμαίνεται σε ένα διάστημα αντιπροσωπευτικό της τεχνικογεωλογικής ενότητας που μελετάται. Επίσης, παράμετροι για τις οποίες δεν υπάρχουν ε- παρκή διαθέσιμα στοιχεία, θα πρέπει να λαμβάνονται υπόψη με αυξημένο συντελεστή διασποράς ή να αποτελούν αντικείμενο παραμετρικών αναλύσεων. Η εφαρμοζόμενη μέθοδος PEM ασφαλώς δεν προσφέρει την ίδια ακρίβεια που προσφέρουν κλασικές μέθοδοι επιχειρησιακής έρευνας, όπως η Mote Carlo, και τα αποτελέσματα από την εφαρμογή της μπορεί σε ορισμένες περιπτώσεις να αποκλίνουν. Ειδικότερα, σύμφωνα με τη διεθνή βιβλιογραφία, η ακρίβεια της μεθόδου μειώνεται πολύ όταν οι τυχαίες μεταβλητές είναι συσχετισμένες και οι συντελεστές λοξότητας των κατανομών των τυχαίων μεταβλητών δεν είναι μηδενικές. Γενικά, τα αποτελέσματα για τη μέση τιμή είναι πιο ακριβή σε σχέση με εκείνα της διασποράς. Η α- πλουστευμένη πιθανοτική ανάλυση δεν λαμβάνει επίσης υπόψη τη χωρική μεταβλητότητα των γεωτεχνικών παραμέτρων, που θα μπορούσε να αντιμετωπιστεί μόνο με την εφαρμογή κατάλληλων μεθόδων της γεωστατιστικής. Εν τούτοις, η προτεινόμενη μέθοδος, έδειξε ότι αποτελεί μία ενδιάμεση πρακτικά εφαρμόσιμη μέθοδο για την ανάλυση και το σχεδιασμό σηράγγων. Ο σύγχρονος υπολογιστικός εξοπλισμός και το υπάρχον λογισμικό ανάλυσης των κατασκευών, επιτρέπουν σήμερα στο μελετητή σηράγγων, με την εφαρμογή μιας α- πλοποιημένης πιθανοτικής ανάλυσης, να αξιολογεί με αντικειμενικό τρόπο τις λύσεις κατασκευής, και να αποφασίζει για την επιλογή της βέλτιστης, στη βάση της οικονομίας και της ασφάλειας. 5. ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ Baecher G.B., Chrsta J.T. (003), Relablty ad statstcs geotechcal Egeerg, Wley, Eglad, p. 605. ΕΝ 997- (004), Ευρωκώδικας 7 Γεωτεχνικός σχεδιασμός - Μέρος : Γενικοί κανόνες, CEN. Harr M.E. (989), Probablstc estmates for multvarate aalyses, Appled Mathematcal Modellg, Vol. 3, No. 5, p.p. 33 38. Hog H.P. (998), A effcet pot estmate method for probablstc aalyss, Relablty Egeerg ad System Safety, Vol. 59, No 3, pp. 6 67. Itasca Co (008), FLAC User s Maual, Mesota, USA. Nadm F. (007), Tools ad Strateges for Dealg wth Ucertaty Geotechcs. I: Probablstc methods geotechcal egeerg, Grffths DV & Feto G.A. (Eds), Sprger We New ork, p. 346. Peck R.B. (969), Advatages ad lmtatos of the observatoal method appled sol mechacs, Géotechque 9, No., pp. 7-87. Roseblueth E. (975), Pot estmates for probablty momets, Proceedgs Natoal Academy of Scece, Vol. 7, No 0, 38 384. Σοφιανός Α.Ι., Χαλακατεβάκης Ν. (003), Πιθανοτική Εκτίμηση του Βάθους Ήλωσης Σήραγγας, Τεχνικά Χρονικά Επιστ. Έκδ. ΤΕΕ, V, τεύχ. -, pp. 9-7. 6ο Πανελλήνιο Συνέδριο Γεωτεχνικής & Γεωπεριβαλλοντικής Μηχανικής, ΤΕΕ, 9/09 /0 00, Βόλος 8