ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ

ΑΡΧΗ ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΕΠΑΛ (ΟΜΑΔΑ Β ) ΔΕΥΤΕΡΑ 0 ΜΑΪΟΥ 0 - ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙΔΩΝ: ΠΕΝΤΕ (5) ΘΕΜΑ Α Α. Να αποδείξετε ότι η παράγωγος της ταυτοτικής συνάρτησης f()= είναι f( =, ) για κάθε Μονάδες 7 Α. Έστω μια συνάρτηση f με πεδίο ορισμού Α. Πότε λέμε ότι η συνάρτηση f παρουσιάζει τοπικό ελάχιστο στο Α ; 0 Μονάδες Α. Να δώσετε τον ορισμό της διαμέσου (δ) ενός δείγματος ν παρατηρήσεων. Μονάδες Α. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας στο τετράδιό σας, δίπλα στο γράμμα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση, τη λέξη Σωστό, αν η πρόταση είναι σωστή, ή Λάθος, αν η πρόταση είναι λανθασμένη. α) Για τη συνάρτηση f( ) =, 0 ισχύει ότι f ( ) = (μονάδες ) β) Για το γινόμενο δύο παραγωγίσιμων συναρτήσεων f,g ισχύει ότι f( ) g( ) = f ( ) g( ) + f( ) g( ) ( ) (μονάδες ) γ) Το ραβδόγραμμα χρησιμοποιείται για τη γραφική παράσταση των τιμών μιας ποσοτικής μεταβλητής. (μονάδες ) δ) Η διάμεσος είναι ένα μέτρο θέσης, το οποίο επηρεάζεται από τις ακραίες παρατηρήσεις. (μονάδες ) ε) Για δύο ενδεχόμενα Α και Β ενός δειγματικού χώρου Ω με Α Β, ισχύει ότι Ρ ( Α) > Ρ( Β) (μονάδες ) Μονάδες 0 ΤΕΛΟΣ ΗΣ ΑΠΟ 5 ΣΕΛΙ ΕΣ

ΑΡΧΗ ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΘΕΜΑ Β Δίνεται ο δειγματικός χώρος Ω= { ω ω ω ω},,, και τα ενδεχόμενα {, } και Β = { ω, ω } Α= ω ω Για τις πιθανότητες των απλών ενδεχομένων { ω } και { } + + P( ω ) = lm + ω του Ω ισχύει ότι: H P( ω ) είναι ίση με το ρυθμό μεταβολής της f( ) ως προς, όταν =, όπου f () = ln, > 0 Β. Να αποδείξετε ότι P( ω ) = και ω = P( ) Μονάδες 0 Β. Να αποδείξετε ότι P(A ), όπου A το συμπληρωματικό του A. Β. Αν P(A ) =, τότε να βρείτε τις πιθανότητες P( ω ), ω και P(Α -Β ), όπου Β το συμπληρωματικό του Β. Μονάδες 7 P( ), P(A [ B) (B A) ] Μονάδες 8 ΘΕΜΑ Γ Θεωρούμε ένα δείγμα ν παρατηρήσεων μιας συνεχούς ποσοτικής μεταβλητής X, τις οποίες ομαδοποιούμε σε ισοπλατείς κλάσεις. Δίνεται ότι: η μικρότερη παρατήρηση είναι 50 η κεντρική τιμή της τέταρτης κλάσης είναι = 85 η σχετική συχνότητα της τέταρτης κλάσης είναι διπλάσια της σχετικής συχνότητας της τρίτης κλάσης η διάμεσος των παρατηρήσεων του δείγματος είναι δ = 75 και η μέση τιμή των παρατηρήσεων του δείγματος είναι = 7 ΤΕΛΟΣ ΗΣ ΑΠΟ 5 ΣΕΛΙ ΕΣ

ΑΡΧΗ ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ Γ. Να αποδείξετε ότι το πλάτος είναι c = 0 Μονάδες Γ. Να μεταφέρετε στο τετράδιό σας τον παρακάτω πίνακα συμπληρωμένο σωστά Kλάσεις [, ) [, ) [, ) [, ) Σύνολο Κεντρικές Τιμές Σχετική Συχνότητα f Μονάδες 8 Γ. Δίνεται ότι f = 0,, f = 0,, f = 0, και f = 0, Να αποδείξετε ότι η μέση τιμή των παρατηρήσεων, που είναι μικρότερες του 80, είναι 00 Μονάδες 7 Γ. Επιλέγουμε κ παρατηρήσεις του αρχικού δείγματος με κ < ν, οι οποίες ακολουθούν κανονική κατανομή με το,5% των παρατηρήσεων αυτών να είναι τουλάχιστον 7 το 6% των παρατηρήσεων αυτών να είναι το πολύ 68 Να βρείτε τη μέση τιμή και την τυπική απόκλιση των παρατηρήσεων αυτών καθώς και να εξετάσετε αν το δείγμα των παρατηρήσεων αυτών είναι ομοιογενές. Μονάδες 6 ΘΕΜΑ Δ Θεωρούμε τη συνάρτηση f() = ln + κ, > 0, όπου κ ακέραιος με κ > και την,f(), η οποία εφαπτομένη (ε) της γραφικής παράστασης της f στο σημείο ( ) σχηματίζει με τους άξονες, τρίγωνο εμβαδού E, με E < Δ. Να αποδείξετε ότι κ = Μονάδες 5 ΤΕΛΟΣ ΗΣ ΑΠΟ 5 ΣΕΛΙ ΕΣ

ΑΡΧΗ ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ Δ. Έστω,,..., 50 οι τετμημένες 50 σημείων της (ε) των οποίων οι αντίστοιχες τεταγμένες τους έχουν μέση τιμή y = α) Να αποδείξετε ότι = 0 (μονάδες ) β) Για τις τετμημένες των παραπάνω σημείων θεωρούμε ότι : Κάθε μία από τις τετμημένες,,..., 0 αυξάνεται κατά, οι επόμενες 5 τετμημένες παραμένουν σταθερές και κάθε μία από τις υπόλοιπες ελαττώνεται κατά λ με λ > 0. Να βρείτε το λ, ώστε η νέα μέση τιμή των τετμημένων να είναι ίση με (μονάδες ) Δ. Αν < α < β < γ < e e μέση τιμή των τιμών Δ. Θεωρούμε τον δειγματικό χώρο Μονάδες 6 α β γ 7 με α β γ = e,τότε να βρείτε το εύρος R και τη f(α),f(β), f(γ),f(e), f, όπου f() = ln + e Ω= t n, n =,,,...,0 : 0 < t < t <... < t0 < < t <... < t0 = e με ισοπίθανα απλά ενδεχόμενα, καθώς και τα ενδεχόμενα Α={ t Ω: η εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της f στο σημείο ( t,f(t) ), να σχηματίζει με τον άξονα οξεία γωνία }, { } Β = t Ω : f(t) > f (t) +, όπου f(t) = tlnt + Μονάδες 7 Να βρεθούν οι πιθανότητες: α) να πραγματοποιηθεί το ενδεχόμενο Α (μονάδες ) β) να πραγματοποιηθούν συγχρόνως τα ενδεχόμενα Α και Β (μονάδες ) Μονάδες 7 ΤΕΛΟΣ ΗΣ ΑΠΟ 5 ΣΕΛΙ ΕΣ

ΑΡΧΗ 5ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΟΔΗΓΙΕΣ (για τους εξεταζομένους). Στο εξώφυλλο του τετραδίου να γράψετε το εξεταζόμενο μάθημα. Στο εσώφυλλο πάνω-πάνω να συμπληρώσετε τα ατομικά στοιχεία μαθητή. Στην αρχή των απαντήσεών σας να γράψετε πάνω-πάνω την ημερομηνία και το εξεταζόμενο μάθημα. Να μην αντιγράψετε τα θέματα στο τετράδιο και να μην γράψετε πουθενά στις απαντήσεις σας το όνομά σας.. Να γράψετε το ονοματεπώνυμό σας στο πάνω μέρος των φωτοαντιγράφων αμέσως μόλις σας παραδοθούν. Τυχόν σημειώσεις σας πάνω στα θέματα δεν θα βαθμολογηθούν σε καμία περίπτωση. Κατά την αποχώρησή σας να παραδώσετε μαζί με το τετράδιο και τα φωτοαντίγραφα.. Να απαντήσετε στο τετράδιό σας σε όλα τα θέματα μόνο με μπλε ή μόνο με μαύρο στυλό με μελάνι που δεν σβήνει. Μολύβι επιτρέπεται, μόνο αν το ζητάει η εκφώνηση, και ΜΟΝΟ για πίνακες, διαγράμματα κλπ... Κάθε απάντηση επιστημονικά τεκμηριωμένη είναι αποδεκτή. 5. Διάρκεια εξέτασης: τρεις () ώρες μετά τη διανομή των φωτοαντιγράφων. 6. Χρόνος δυνατής αποχώρησης: 0.0 π.μ. KΑΛΗ ΕΠΙΤΥΧΙΑ ΤΕΛΟΣ ΜΗΝΥΜΑΤΟΣ ΤΕΛΟΣ 5ΗΣ ΑΠΟ 5 ΣΕΛΙ ΕΣ

ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕ ΕΞΕΣΑΕΙ Γ ΣΑΞΗ ΗΜΕΡΗΙΟΤ ΓΕΝΙΚΟΤ ΛΤΚΕΙΟΤ ΚΑΙ ΕΠΑΛ (ΟΜΑΔΑ Β ) ΔΕΤΣΕΡΑ 0 ΜΑΪΟΤ 0 ΕΞΕΣΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Θέμα Α Απαντήσεις Α) Θεωρία (σχολικό βιβλίο σελ. 8) Α) Θεωρία (σχολικό βιβλίο σελ. ) Α) Θεωρία (σχολικό βιβλίο σελ. 87) Α) α) β) γ) δ) ε) Λ Λ Λ Λ Θέμα Β Β) 0 0 Ρ ω lm lm lm lm lm lm Δηλαδή: Ρω Ρω f όπου f ln με 0. υνεπώς: ln f ln ln ln ln Για είναι: f ln 0. υνεπώς: Ρω Β) ελίδα από 7

Ο δειγματικός χώρος είναι Ω ω,ω,ω,ω Α ω,ω άρα Α ω,ω. Έστω Γ και Δ ενδεχόμενα με. Σότε ΡΓ και Δ ω,ω,ω Όμως Γ Α Δ Β) Ρ Α και το ενδεχόμενο Α είναι Ρ Δ Ρ ω Ρ Γ Ρ Α Ρ Δ ΡΑ Ρ ω Ρ ω Ρω Ρω Ρω Ρω Ρ Α 9 5 Ρ Α Ρ ω Ρω 0 ΡΑ ΡΑ Ρ ω Ρ ω Γ ω και 5 ΡΩ Ρω Ρω Ρω Ρ ω Ρ ω 0 5 5 Ρ ω Ρω Ρω Ρω 7 Ρ Β Ρ ω Ρ ω Α Β ω Ρ Α Β Ρ Α Β Β Α Ρ Α Β Ρ Β Α Ρ Α Ρ Α Β Ρ Β Ρ Α Β 7 7 7 6, δηλαδή Ρ Α Β Β Α Θέμα Γ Γ) η κλάση: 50, 50 c η κλάση: 50 c, 50 c η κλάση: 50 c, 50 c η κλάση: 50 c, 50 c 85 50 c 50 c 85 00 7c 85 00 7c 70 7c 70 00 7c 70 c 0 ελίδα από 7

Γ) Κλάσεις 50, 60 55 60, 70 65 70, 80 75 80, 90 85 f F f 55f f f f f f 65f f f f f f 75f f f f 70f ύνολα 55f 65f 5f f f f f f f 7 55f 65f 5f 7 ΑΒΓ ΔΕΓ f 0,5 f ΑΒ ΑΓ 0 F F ΔΕ ΔΓ 5 0,5 F f 0,5 f f 0,5 f f f f 0,5 f 0,5 f 6f f 6f f 5f f 5 υνεπώς f f f f 5 5 Και επειδή f f f f f f f f f 5 5 5 f f 5 Όμως 55f 65f 5f 7 55f 65 f 5 7 5 5 55f 6 65f 9 7 55f 65f 7 6 9 0f 7 75 0f f 0 ελίδα από 7

f f f f f 5 5 0 0 0 0 Κλάσεις 50, 60 55 0, 60, 70 65 0, 70, 80 75 0, 80, 90 85 0, ύνολα f Γ) Κλάσεις f ν ν 50, 60 55 0, 0,ν 5,5ν 60, 70 65 0, 0,ν 9,5ν 70, 80 75 0, 0,ν 5ν ύνολα 0,6ν 0ν υνεπώς: 0ν 00 00 0,6ν 6 Γ) ελίδα από 7

Σο,5% των παρατηρήσεων αυτών να είναι τουλάχιστον 7, άρα s 7 Σο 6% των παρατηρήσεων αυτών να είναι το πολύ 68, άρα s 68 υνεπώς: s 7 s 7 s 7 s 7 s 68 s 68 s 6 s 7 7 70 s s s Έτσι: s CV 70 5 0 Άρα το δείγμα είναι ομογενές. Θέμα Δ Δ) f ln κ f ln κ f κ f ln ln ln ln. f ln f f ln Έτσι: ε : y f f ε : y κ Βρίσκω που τέμνει τους άξονες: Για y 0 έχουμε: 0 κ κ Σον άξονα τον τέμνει στο σημείο Α κ, 0 Για 0 έχουμε: y κ Σον άξονα yy τον τέμνει στο σημείο B0, κ ε : y κ Βρίσκω το εμβαδόν του ορθογωνίου τριγώνου ΟΑΒ: Ε ΟΑ ΟΒ κ κ κ κ Έτσι: Ε κ κ κ κ κ κ κ Όμως κ ακέραιος μεγαλύτερος του, άρα κ Δ) α) Για κ έχουμε y y y 0 β)... 0... 5 6 λ 7 λ... 50 λ 50 ελίδα 5 από 7

... 50 0 5λ 50... 50 60 5λ 50 50 5 λ 50 λ 0 0 λ 0 0 λ 0 0 λ λ 0 λ λ Δ) α β γ e α β γ 7 α lnα βlnβ γ ln γ 7 f ln α β γ 7 ln α β γ lne lnα α lnβ β ln γ γ 7 f e elne f e e f ln f ln f f 0 e e e e Βρίσκω τη μονοτονία της f f 0 ln 0 ln e e α β γ e e f 0 f f α f β f γ f e e. e e Δηλαδή: f fα f β f γ f e e Βρίσκω το εύρος: R f e f e e Βρίσκω τη μέση τιμή: ελίδα 6 από 7

f fα f β f γ f e e α lnα βlnβ γ ln γ e 5 5 α lnα βlnβ γ ln γ e 8 7 e 8 5 e 5 5 5 Δ) Αφού η γωνία που σχηματίζει η εφαπτομένη με τον είναι οξεία πρέπει t ft 0 lnt 0 e Ν Α 0. Άρα A t,t,...,t 0 με NA 0 Έτσι: PA ή PA NΩ 0 f t ft t lnt 0 t lnt lnt t lnt lnt t lnt lnt 0 t 0 και lnt 0 ή t 0 και lnt 0 t lnt 0 Η δεύτερη περίπτωση δεν μπορεί να ισχύει διότι t Ω, άρα t. υνεπώς 0 t B t,t,...,t, άρα 9 Και έτσι Α Β t,t,...,t 9 με NΑ Β 9 P ΑΒ P ΑΒ NΩ 0 Ν Α Β 9 και επειδή είναι ισοπίθανα ελίδα 7 από 7

ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΠΑΛ (ΟΜΑΔΑ Β ) ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΔΕΥΤΕΡΑ 0 MAΪΟΥ 0 Λύσεις των θεμάτων Έκδοση η (/05/0, : 00)

Οι απαντήσεις και οι λύσεις είναι αποτέλεσμα συλλογικής δουλειάς των Επιμελητών του Δικτυακού Τόπου mathematca.gr με βάση υλικό που αναρτήθηκε στο mathematca http://www.mathematca.gr/forum/vewtopc.php?f=6&t=76 Συνεργάστηκαν οι: Στράτης Αντωνέας, Ανδρέας Βαρβεράκης, Βασίλης Κακαβάς, Γιώργης Καλαθάκης, Φωτεινή Καλδή, Σπύρος Καρδαμίτσης, Νίκος Κατσίπης, Στάθης Κούτρας, Χρήστος Κυριαζής, Γρηγόρης Κωστάκος, Δημήτρης Ιωάννου, Βαγγέλης Μουρούκος, Ροδόλφος Μπόρης, Μίλτος Παπαγρηγοράκης, Λευτέρης Πρωτοπαπάς, Γιώργος Ρίζος, Μπάμπης Στεργίου, Σωτήρης Στόγιας, Αλέξανδρος Συγκελάκης, Αχιλλέας Συνεφακόπουλος, Χρήστος Τσιφάκης, Κώστας Τηλέγραφος, Σωτήρης Χασάπης, Το Δελτίο διατίθεται ελεύθερα από το δικτυακό τόπο mathematca.gr

ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΕΠΑΛ (ΟΜΑΔΑ Β ) ΔΕΥΤΕΡΑ 0 MAΪΟΥ 0 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΘΕΜΑ Α Α. Να αποδείξετε ότι η παράγωγος της ταυτοτικής συνάρτησης ƒ IR. είναι ƒ, για κάθε Μονάδες 7 Α. Έστω μια συνάρτηση ƒ με πεδίο ορισμού A. Πότε λέμε ότι η συνάρτηση ƒ παρουσιάζει τοπικό ελάχιστο στο 0 A ; Α. Να δώσετε τον ορισμό της διαμέσου δ ενός δείγματος ν παρατηρήσεων. Μονάδες Μονάδες Α. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας στο τετράδιό σας, δίπλα στο γράμμα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση, τη λέξη Σωστό, αν η πρόταση είναι σωστή, ή Λάθος, αν η πρόταση είναι λανθασμένη. α) Για τη συνάρτηση ƒ, 0 ισχύει ότι ƒ (μονάδες ) β) Για το γινόμενο δύο παραγωγίσιμων συναρτήσεων ƒ,g ισχύει ότι ƒ g ƒ g ƒ g (μονάδες ) γ) Το ραβδόγραμμα χρησιμοποιείται για τη γραφική παράσταση των τιμών μιας ποσοτικής μεταβλητής. (μονάδες ) δ) Η διάμεσος είναι ένα μέτρο θέσης, το οποίο επηρεάζεται από τις ακραίες παρατηρήσεις. (μονάδες ) ε) Για δύο ενδεχόμενα A και B ενός δειγματικού χώρου Ω με Α Β, ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ισχύει ότι ΡΑ Ρ Β. (μονάδες ) Α. Η απόδειξη βρίσκεται στη σελίδα 8 του σχολικού βιβλίου. A. Ο ορισμός βρίσκεται στη σελίδα του σχολικού βιβλίου. Α. O ορισμός βρίσκεται στη σελίδα 87 του σχολικού βιβλίου. Α. α) Λ β) Σ γ) Λ δ) Λ ε) Λ Μονάδες 0

ΘΕΜΑ Β ΛΥΣΗ: Δίνεται ο δειγματικός χώρος Ω ω, ω, ω, ω και τα ενδεχόμενα Α ω, ω και B ω, ω Για τις πιθανότητες των απλών ενδεχομένων Ρω lm ω και H Pω είναι ίση με το ρυθμό μεταβολής της όπου f ln, 0 Β. Να αποδείξετε ότι Pω και Ρω Β. Να αποδείξετε ότι ΡΑ ω του Ω ισχύει ότι: f ως προς, όταν,, όπου Α το συμπληρωματικό του Α. Μονάδες 0 Μονάδες 7 Β. Αν ΡΑ, τότε να βρείτε τις πιθανότητες Ρω,Ρω,Ρ Α ΒΒα και ΡΑ Β Β. Η συνάρτηση Όμως όπου Β το συμπληρωματικό του Β. f(), ορίζεται για εκείνα τα για τα οποία 0 και 0 0 για κάθε ΙR διότι Δ 0 και α 0 0 ( ) 0 0 και., κι ακόμα, Μονάδες 8 Επομένως η συνάρτηση ορίζεται στο σύνολο (, ) (,0) (0, ), οπότε το ζητούμενο όριο έχει νόημα. Ο υπολογισμός του ορίου οδηγεί σε απροσδιόριστη μορφή 0 0. Είναι lm ( )( ) lm ( )( ) ( ) lm lm ( )( ) ( )( ) ( ) lm lm ( )( ) ( ) ( )

Άρα P(ω ) lm Η συνάρτηση f ln είναι παραγωγίσιμη στο (0, ) ως γινόμενο των παραγωγίσιμων συναρ- τήσεων με τύπους (πολυωνυμική) και ln, με f () ln ln (ln) ln (ln ). Ο ρυθμός μεταβολής της συνάρτησης f υπολογισμένος στο είναι η παράγωγος της συνάρτησης στο. Άρα P(ω ) f () (ln) (0 ) Β. Το συμπληρωματικό Α του ενδεχόμενου Α είναι Α' {ω,ω } και P(A ) P(ω ) P(ω ) P(ω ) Έχουμε P(ω ) P(ω ) P(ω ) P(ω ) P(ω ) P(ω ) 5 P(ω ) P(ω ) 5 5 Άρα P(ω ) P(ω ) αφού P(ω ) 0 Επομένως, 5 5 9 0 P(ω ) P(ω ) P(A ) P(A ) B. Είναι P(A ) P(A) P(ω ) P(ω ) P(ω ) 0 Ακόμα 5 P(ω ) P(ω ) P(ω ) P(ω ) 0 P A B B A P {ω } {ω } 0 Είναι A ω,ω,b ω,ω, συνεπώς AB ω, άρα PAB Pω 5

ΘΕΜΑ Γ Θεωρούμε ένα δείγμα v παρατηρήσεων μιας συνεχούς ποσοτικής μεταβλητής X, τις οποίες ομαδοποιούμε σε ισοπλατείς κλάσεις. Δίνεται ότι: η μικρότερη παρατήρηση είναι 50 η κεντρική τιμή της τέταρτης κλάσης είναι 85 η σχετική συχνότητα της τέταρτης κλάσης είναι διπλάσια της σχετικής συχνότητας της τρίτης κλάσης η διάμεσος των παρατηρήσεων του δείγματος είναι δ 75 και η μέση τιμή των παρατηρήσεων του δείγματος είναι 7 Γ. Να αποδείξετε ότι το πλάτος είναι c 0 Γ. Να μεταφέρετε στο τετράδιό σας τον παρακάτω πίνακα συμπληρωμένο σωστά Μονάδες Κλάσεις [.,. ) [.,. ) [.,. ) [.,. ) Σύνολο Κεντρικές τιμές Σχετική Συχνότητα f Γ. Δίνεται ότι f 0,, f 0,, f 0, και f 0, Μονάδες 8 Να αποδείξετε ότι η μέση τιμή των παρατηρήσεων, που είναι μικρότερες του 80, είναι 00 Μονάδες 7 Γ. Επιλέγουμε κ παρατηρήσεις του αρχικού δείγματος με κ ν, οι οποίες ακολουθούν κανονική κατανομή με το,5% των παρατηρήσεων αυτών να είναι τουλάχιστον 7 το 6% των παρατηρήσεων αυτών να είναι το πολύ 68 Να βρείτε τη μέση τιμή και την τυπική απόκλιση των παρατηρήσεων αυτών καθώς και να εξετάσετε αν το δείγμα των παρατηρήσεων αυτών είναι ομοιογενές. Μονάδες 6 6

ΛΥΣΗ: Γ. Η μικρότερη παρατήρηση είναι t mn 50 και 85 η κεντρική τιμή της ης κλάσης. Αν θεωρήσουμε c το πλάτος της κάθε κλάσης τότε είναι 50 c c c c 85 50 c c 85 50 7c 85 c 0 Γ. Ισχύει ότι f f () και δ 75 συνεπώς f % f % f% 50% ή f f f 0,5 () Επιπλέον f f f f (). Tότε () () f f 0,5 (). Η () () f f 5f 0,5 0,5 f 0, Τότε, λόγω της (), f 0, Άρα η () γράφεται f f 0, (5) Καθώς η μέση τιμή των παρατηρήσεων του δείγματος είναι 7, ισχύει v 7 f 7 55f 65f 75f 85f v 7 55f 65f 750, 850, 7 55f 65f 5 5 55f 65f (6) Η (6) (5) 5 55(0, f ) 65f 5 55f 65f 0f f 0, άρα από (5) f 0, Κλάσεις Κεντρικές τιμές Σχετική Συχνότητα f [50, 60) 55 0, [60, 70) 65 0, [70, 80) 75 0, [80, 90) 85 0, Σύνολο Γ. Αν A είναι η μέση τιμή των παρατηρήσεων που είναι μικρότερες του 80 και B η μέση τιμή των παρατηρήσεων που είναι μεγαλύτερες του 80 και αντίστοιχα ν Α το πλήθος των παρατηρήσεων μέχρι 80 και ν Β το πλήθος από 80 έως 90 θα ισχύει 7

AvA v A v BvB B 7 ή AvA v BvB va vb 7 ή A B v v 7 ή A f A B f B 7 ή A (f f f ) B 0, 7 ή A 0,6 B 0, 7 και αφού η τιμή B 85 είναι κεντρική τιμή της ης κλάσης θα είναι A 0,6 850, 7 6 A 700 A 00 6 A 00. Γ. Σε μια κανονική κατανομή τα ποσοστά κατανέμονται ως εξής,5% % %,5% s s s s 68% 95% Στο διάστημα s, s βρίσκεται το 95% των παρατηρήσεων συνεπώς το υπόλοιπο 5% των παρατηρήσεων είναι μοιρσμένο σε κάθε ένα από τα διαστήματα έξω από το παραπάνω διάστημα. Άρα,5% των παρατηρήσεων βρίσκεται πάνω από τη χαρακτηριστική τιμή s συνεπώς s 7 () Επίσης στο διάστημα s, s βρίσκεται το 68% των παρατηρήσεων συνεπώς το υπόλοιπο % των παρατηρήσεων είναι μοιρασμένο σε κάθε ένα από τα διαστήματα που βρίσκονται έξω από το παραπάνω διάστημα. Άρα 6% των παρατηρήσεων βρίσκεται κάτω από τη χαρακτηριστική τιμή s συνεπώς s 68 () Λύνοντας το σύστημα των (), (), προκύπτει s 6 s και 70 Το δείγμα ως προς την ομοιογένεια χαρακτηρίζεται από το συντελεστή μεταβολής που είναι Άρα το δείγμα είναι ομοιoγενές. CV s 70 5 0. 8

ΘΕΜΑ Δ ΛΥΣΗ: Θεωρούμε τη συνάρτηση f() ln k, 0, όπου k ακέραιος με k και την εφαπτομένη (ε) της γραφικής παράστασης της f στο σημείο (, f()), η οποία σχηματίζει με τους άξονες, τρίγωνο εμβαδού E, με E. Δ. Να αποδείξετε ότι k 9 Μονάδες 5 Δ. Έστω,,,50 οι τετμημένες 50 σημείων της (ε) των οποίων οι αντίστοιχες τεταγμένες τους έχουν μέση τιμή y α) Να αποδείξετε ότι 0 (μονάδες ) β) Για τις τετμημένες των παραπάνω σημείων θεωρούμε ότι : Κάθε μία από τις τετμημένες,,,0 αυξάνεται κατά, οι επόμενες 5 τετμημένες παραμένουν σταθερές και κάθε μία από τις υπόλοιπες ελαττώνεται κατά λ ΙR με λ 0. Να βρείτε το λ, ώστε η νέα μέση τιμή των τετμημένων να είναι ίση με. (μονάδες ) Δ. Αν α β γ e e με α β γ 7 α β γ e, τότε να βρείτε το εύρος R και τη μέση τιμή των f(α),f(β),f(γ),f(e),f, όπου f() ln e Δ. Θεωρούμε το δειγματικό χώρο Ω {t n,n,,,,0: 0 t t t0 t t0 } e με ισοπίθανα απλά ενδεχόμενα, καθώς και τα ενδεχόμενα A {tω: η εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της f στο σημείο t,f t, να σχηματίζει με τον άξονα οξεία γω νία } B {tω: f(t) f (t) }, όπου f(t) tlnt Να βρεθούν οι πιθανότητες: α) να πραγματοποιηθεί το ενδεχόμενο A (μονάδες ) β) να πραγματοποιηθούν συγχρόνως τα ενδεχόμενα A και B (μονάδες ) Μονάδες 6 Μονάδες 7 Μονάδες 7 Δ. Η συνάρτηση με τύπο ln είναι παραγωγίσιμη στο (0, ) ως γινόμενο των παραγωγίσιμων συναρτήσεων με τύπους (πολυωνυμική) και ln, επομένως η f() ln κ είναι παραγωγίσιμη στο (0, ) ως άθροισμα των παραγωγίσιμων συναρτήσεων με τύπους ln και κ (σταθερά), με f () ln ln.

Η εξίσωση της εφαπτομένης είναι Επίσης f() ln κ κ y α β με α f () ln y β Άρα το (, κ) είναι το σημείο επαφής το οποίο ανήκει στην ευθεία, επομένως Άρα η εφαπτομένη είναι η y κ κ β β κ. Θέτουμε στην ε όπου y 0 για να βρούμε το σημείο τομής A με τον άξονα κ, οπότε A( κ,0). Θέτουμε στην ε όπου 0 για να βρούμε το σημείο τομής B με τον άξονα yy y κ, οπότε B(κ,0). OA OB κ κ (κ ) E (OAB), αφού κ. Πρέπει (κ ) * και αφού κ έχουμε ότι κ. E κ κ 0 κ και έχουμε και έχουμε Δ. α) Για κ η ευθεία ε έχει εξίσωση y. Αφού y 0, χρησιμοποιώντας το γεγονός ότι για τις μεταβλητές X, Y και τη σταθερά c, με Y X c, ισχύει y c. β) Ισχύει Οι νέες τιμές είναι οι 50 50 0 0 500 50.,,,0,,,, 5,6 λ,7 λ,,50 λ, και ορίζουν μια νέα μεταβλητή W, για την οποία θέλουμε w. Συνεπώς 50 w 50 50 w 550 500 60 5λ 550 5λ 550 500 60 0 5λ 0 λ 5 0

Δ. Δ. Έχουμε ότι f () ln. Για κάθε ln ln 0 f () 0 e και άρα η f είναι γνησίως αύξουσα στο [, ) e. Δηλαδή α β γ e f( ) f(α) f(β) f(γ) f(e) e e Aλλά f( ) 0, ενώ e e απ όπου προκύπτει ότι f ln 0. e e f f(α) f(β) f(γ) f(e). e Συνεπώς το εύρος R είναι ίσο με R f(e) f f(e) e. e Αφού H ζητούμενη μέση τιμή είναι ίση με α β γ e ln(α β γ ) lne α β γ 7 α β γ 7 α β γ lnα lnβ lnγ 7 αlnα βlnβ γlnγ 7 f f(α) f(β) f(γ) f(e) e αlnα βlnβ γlnγ e 7 8 e 5 e. 5 5 5 5 Η εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της συνάρτησης f σχηματίζει οξεία γωνία με τον άξονα όταν f (t) 0 t e, οπότε t t,t,,t0 και κατά συνέπεια A t,t,,t.. 0 Επίσης για t Ω, δηλαδή για t <, έχουμε f(t) f (t) tlnt lnt που ισχύει για κάθε t, αφού για Έτσι B t,t,,t. 9 N(A) 0 α) P(A). N(Ω) 0 tlnt lnt 0 (t ) lnt 0 t 0 t lnt lnlnt 0 β) Το ενδεχόμενο να πραγματοποιηθούν ταυτόχρονα τα ενδεχόμενα A και B είναι το 9 A B t,t,,t9, οπότε P(A B). 0

ΠΡΟΣΘΕΤΕΣ ΛΥΣΕΙΣ: Β. η ΛΥΣΗ: Αρκεί να δείξω ότι Έχουμε P(A') P(A) P(A) P(A) A Β ω ω ω ω η ΛΥΣΗ: A B A B A B B Α Β Α Έτσι Ρ(Α Β) και Ρ(Β Α ) Ρ(Β) Ρ(Α Β) Ισχύει ότι οπότε P( A B) PA PA A B Α, Επίσης Είναι Επίσης Συνεπώς η ΛΥΣΗ: Είναι Όμοια Ρ(ΑUΒ) Ρ(Α) Ρ(Β) Ρ(Α Β) Ρ(ΒΑ ) Ρ(Α) Ρ(Α) Ρ(Α) P(A) P({ω }) P({ω }) P({ω }) A Ω {ω } P(A) P(Ω {ω }) P(A) P(A) P(A) P(A ) {ω } A P(ω ) P(A ) P(A ) () {ω } A P(ω ) P(A) P(A) P(A ) P(A ) P(A ) ()

Από τις σχέσεις (),() λαμβάνω το ζητούμενο: P(A ) Β. η ΛΥΣΗ: (Με κανόνες De morgan) P A B P(A ) P(A B ) P(A ) P (A B) P(A ) ( P(A B)) P(A) P(A B) P(A B) P(A) P({ω } {ω } {ω }) P({ω } {ω }) P({ω }) Απόδειξη τύπου De Morgan AB Aκαι B A και B AB ( AB) η ΛΥΣΗ: Έχω 5 P(A ) P(ω ) P(ω ) P(ω ) Είναι επομένως A B {ω } B A {ω } A BB A {ω,ω } και 5 PΩ P(ω ) P(ω ) P(ω ) P(ω ) P(ω ) 0 P(ω ) 0 Συνεπώς P A BB A P(ω ) P(ω ) 0 Γ. η ΛΥΣΗ: Η η κλάση θα είναι [50,50 c) η η κλάση... [50 c,50 c) η η κλάση... [50 c,50 c) η η κλάση... [50 c,50 c) (50 c) (50 c) Οπότε 85 85 c 0. η ΛΥΣΗ: R Το πλάτος c κάθε κλάσης δίνεται από την σχέση c, όπου R το εύρος και ο αριθμός των κλάσεων. Τότε R tm 50 οπου t m είναι η μεγαλύτερη παρατήρηση.

Ως μεγαλύτερη παρατήρηση θωρούμε το άθροισμα της κεντρικής τιμής της ης (δηλαδή της τελευταίας κλάσης) 85 συν το, ώστε στο πολύγωνο συχνοτήτων το εμβαδό κάθε ορθογωνίου να c παριστάνει το ν. c 85 50 Έτσι βρίσκουμε c. Λύνοντας την πρωτοβάθμια εξίσωση έχουμε c 0. Γ. η ΛΥΣΗ: Αν Α,Β σημεία του πολυγώνου αθροιστικων συχνοτητων με A(70, F ), B(80,F ) τότε το σημείο M(75,50) είναι σημείο της ΑΒ οπότε από το θεώρημα του Θαλή είναι AM 75 70 50 00F ή f f f AB 0 00(F F ) λύνοντας το σύστημα f f f f f f 55f 65f 75f 85f 7 f f f βρίσκουμε τα f Γ. η ΛΥΣΗ: To 'των τριών πρώτων κλάσεων δεν δίνεται από τη σχέση ' f καθώς για τις τρεις πρώτες σχετικές συχνότητες του αρχικού δείγματος f, f, f ισχύει ότι Συνεπώς με αναγωγή στη μονάδα προκύπτει Στην περίπτωση αυτή η ΛΥΣΗ: Έστω y η ζητούμενη μέση τιμή Έχουμε f f f 0,6 f 0,, f 0,, f 0,. 0,6 6 0,6 0,6 'f 55 6 65 75 55 95 50 00 00 6 6 ν ν ν y ν ν ν όμως f ν ν fν ν άρα y fν f ν f ν f f f 00 f ν f ν f ν f f f y

η ΛΥΣΗ: Το δείγμα κάτω από 80 είναι το 0,6 του ν δηλαδη 0,6ν άρα 55 ν 65 ν 75 ν 55 ν 65 ν 75 v y y 0,6ν 0,6 ν ν ν y (55 f 65 f 75 f ) (55 0, 65 0, 75 0,) 0,6 0,6 00 y 5 η ΛΥΣΗ: Οι νέες σχετικές συχνότητες θα είναι ν ν f f ν ν ν ν ν f 6 ν f f και όμοια f, f. f f 6 η ΛΥΣΗ: Δ. (...) η ΛΥΣΗ: Οπότε, η νέα μέση τιμή είναι 00 f f f... Έστω v οι συχνότητες των κλάσεων,,,,, X η ζητούμενη μέση τιμή και v το μέγεθος του δείγματος. Τότε v v v 55 65 75 v v v v v v X v v v v v v v v v v v 55 65 75 55f 65f 75f 0 0 0 00 00 f 6 0 Για την εύρεση της εφαπτομένης Η συνάρτηση με τύπο ln είναι παραγωγίσιμη στο (0, ) ως γινόμενο των παραγωγίσιμων συναρτήσεων με τύπους (πολυωνυμική) και ln, επομένως η f() ln κ είναι παραγωγίσιμη στο (0, ) ως άθροισμα των παραγωγίσιμων συναρτήσεων με τύπους ln και κ (σταθερά), Επίσης f() κ και f (), οπότε η εφαπτομένη της C f στο A(,f()) έχει εξίσωση y κ ( ) y κ, ε 5

Δ. η ΛΥΣΗ: (...) Για τον υπολογισμό του κ (κ ) κ κ κ. E (κ ) Έχουμε ότι και f () 0 ln 0 ln e f () 0 ln 0 ln e. Οπότε έχουμε τον παρακάτω πινάκα μεταβολών της f και πρόσημου της f. Δικαιολόγηση των πρόσημων f () 0 ln 0 ln e Συνεπώς η συνάρτηση f είναι γνησίως φθίνουσα στο 0, e, γνησίως αύξουσα στο, e και παρουσιάζει ολικό ελάχιστο για, το f ln. e e e e e Όμως f 0 e που ισχύει, άρα και η αρχική, οπότε e e f 0. e Επίσης αφού η συνάρτηση f γνησίως αύξουσα στο, e και ισχύει α β γ e e προκύπτει f f(α) f(β) f(γ) f(e) (). e Επιπλέον f ln 0 και f ln 0 e e e e e e οπότε η () γίνεται 0 f f f(α) f(β) f(γ) f(e), e e απ όπου προκύπτει ότι f f(α) f(β) f(γ) f(e). e Συνεπώς το εύρος R είναι ίσο με R f(e) f f(e) e. e 6

ΣΧΟΛΙΑ: Για το Α α) Λ (είναι σελ. 9) β) Σ (σελ. ) γ) Λ (χρησιμοποιείται για τη γραφική παράσταση ποιοτικής μεταβλητής σελ.67 ) δ) Λ (αντίθετα με τη μέση τιμή, που επηρεάζεται από τις ακραίες παρατηρήσεις, σελ. 87) ε) Λ ( ισχύει ότι P(A) P(B), σελ. 5) Για το Γ Σύμφωνα με το σχολικό βιβλίο σελίδα 7: "Ξεκινώντας από την μικρότερη παρατήρηση, ή για πρακτικούς λόγους λίγο πιο κάτω από την μικρότερη παρατήρηση, και προσθέτοντα κάθε φορά το πλάτος c δημιουργούμε τις κ κλασεις.", θεωρούμε για λόγους μαθηματικής ακρίβειας ότι δεν είναι αυτονόητο από την εκφώνηση του θέματος Γ: "η μικρότερη παρατήρηση είναι 50" ότι το αριστερό άκρο της πρώτης κλάσης είναι το 50, αλλά ότι είναι μία τιμή α με α 50. Για το Γ Παρά το ότι η εκφώνηση θα έπρεπε να ζητάει και όχι να υπονοεί τη δικαιολόγηση εύρεσης της σχετικής συχνότητας, ωστόσο θεωρούμε ότι η συμπλήρωση της σχετικής συχνότητας θα πρέπει να δικαιολογηθεί από τους μαθητές σαν να μην υπήρχε το ερώτημα Γ. Παλαιότερα η έλλειψη πλήρους δικαιολόγησης έδινε όλα τα μόρια στους μαθητές για σωστή συμπλήρωση στοιχείων του πίνακα των οποίων όμως η εύρεση ήταν άμεση από τα δεδομένα του προβλήματος. Στα παρόντα θέματα δε συμβαίνει κάτι τέτοιο και η άμεση συμπλήρωση του πίνακα απαιτεί σύνθετους αλγεβρικούς συλλογισμούς. 7