ΘΕΜΑΤΑ ΚΑΙ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 2013 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ

Transcript

1 ΘΕΜΑΤΑ ΚΑΙ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 0 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΘΕΜΑ Α Α. Να αποδείξετε ότι η παράγωγος της ταυτοτικής συνάρτησης f()= είναι f ()=, για κάθε R Μονάδες 7 Α. Έστω μια συνάρτηση f με πεδίο ορισμού Α. Πότε λέμε ότι η συνάρτηση f παρουσιάζει τοπικό ελάχιστο στο 0 Α; Μονάδες 4 Α. Να δώσετε τον ορισμό της διαμέσου (δ) ενός δείγματος ν παρατηρήσεων. Μονάδες 4 Α4. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας στο τετράδιό σας, δίπλα στο γράμμα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση, τη λέξη Σωστό, αν η πρόταση είναι σωστή, ή Λάθος, αν η πρόταση είναι λανθασμένη. α) Για τη συνάρτηση f() =, 0 ισχύει ότι f'() = (μονάδες ) β) Για το γινόμενο δύο παραγωγίσιμων συναρτήσεων f, g ισχύει ότι (f()g())' = f '()f() + f()g'() (μονάδες ) γ) Το ραβδόγραμμα χρησιμοποιείται για τη γραφική παράσταση των τιμών μιας ποσοτικής μεταβλητής. (μονάδες ) δ) Η διάμεσος είναι ένα μέτρο θέσης, το οποίο επηρεάζεται από τις ακραίες παρατηρήσεις. (μονάδες ) ε) Για δύο ενδεχόμενα Α και Β ενός δειγματικού χώρου Ω με Α Β, ισχύει ότι Ρ(Α)>Ρ(Β) (μονάδες ) Μονάδες 0 ΘΕΜΑ Β Δίνεται ο δειγματικός χώρος Ω={ω, ω, ω, ω 4 } και τα ενδεχόμενα Α={ ω, ω 4 } και Β={ ω, ω } Για τις πιθανότητες των απλών ενδεχομένων {ω } και {ω } του Ω ισχύει ότι: Ρ(ω ) + + = lim + Η Ρ(ω ) είναι ίση με το ρυθμό μεταβολής της f() ως προς, όταν =, όπου f() = ln, > 0. Ρ(ω ) Β. Να αποδείξετε ότι 4 = και Ρ(ω ) = Μονάδες0

2 ΘΕΜΑΤΑ ΚΑΙ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 0 Β. Να αποδείξετε ότι Ρ(Α'), όπου Α το συμπληρωματικό του Α. 4 Β. Αν Ρ(Α'), 4 Μονάδες7 = τότε να βρείτε τις πιθανότητες Ρ(ω ), Ρ(ω 4 ), Ρ[(Α-Β) (Β-Α)] και Ρ(Α -Β ), όπου Β το συμπληρωματικό του Β. Μονάδες 8 ΘΕΜΑ Γ Θεωρούμε ένα δείγμα ν παρατηρήσεων μιας συνεχούς ποσοτικής μεταβλητής Χ, τις οποίες ομαδοποιούμε σε 4 ισοπλατείς κλάσεις. Δίνεται ότι: η μικρότερη παρατήρηση είναι 50 η κεντρική τιμή της τέταρτης κλάσης είναι Χ 4 =85 η σχετική συχνότητα της τέταρτης κλάσης είναι διπλάσια της σχετικής συχνότητας της τρίτης κλάσης η διάμεσος των παρατηρήσεων του δείγματος είναι δ=75 και η μέση τιμή των παρατηρήσεων του δείγματος είναι = 74 Γ. Να αποδείξετε ότι το πλάτος είναι c=0. Μονάδες 4 Γ. Να μεταφέρετε στο τετράδιό σας τον παρακάτω πίνακα συμπληρωμένο σωστά Κλάσεις Κεντρικές τιμές Σχετική Συχνότητα i fi Σύνολο Μονάδες 8 Γ. Δίνεται ότι f =0,, f =0,, f =0, και f 4 =0,4 Να αποδείξετε ότι η μέση τιμή των παρατηρήσεων, που είναι μικρότερες του 80, είναι 00 Μονάδες7 Γ4. Επιλέγουμε κ παρατηρήσεις του αρχικού δείγματος με κ<ν, οι οποίες ακολουθούν κανονική κατανομή με το,5% των παρατηρήσεων αυτών να είναι τουλάχιστον 74 το 6% των παρατηρήσεων αυτών να είναι το πολύ 68 Να βρείτε τη μέση τιμή και την τυπική απόκλιση των παρατηρήσεων αυτών καθώς και να εξετάσετε αν το δείγμα των παρατηρήσεων αυτών είναι ομοιογενές. Μονάδες 6

3 ΘΕΜΑΤΑ ΚΑΙ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 0 ΘΕΜΑ Δ Θεωρούμε τη συνάρτηση f()=ln+k, >0, όπου κ ακέραιος με κ> και την εφαπτομένη (ε) της γραφικής παράστασης της f στο σημείο (, f()), η οποία σχηματίζει με τους άξονες, τρίγωνο εμβαδού Ε, με Ε<. Δ. Να αποδείξετε ότι κ=. Μονάδες 5 Δ. Έστω,,, 50 οι τετμημένες 50 σημείων της (ε) των οποίων οι αντίστοιχες τετραγωνικές τεταγμένες τους έχουν μέση τιμή y= α) Να αποδείξετε ότι = 0 (μονάδες ) β) Για τις τετμημένες των παραπάνω σημείων θεωρούμε ότι: Κάθε μία από τις τετμημένες,,, 0 αυξάνεται κατά, οι επόμενες 5 τετμημένες παραμένουν σταθερές και κάθε μία από τις υπόλοιπες ελαττώνεται κατά λ R με λ>0. Να βρείτε το λ, ώστε η νέα μέση τιμή των τετμημένων να είναι ίση με (μονάδες 4) Μονάδες 6 όπου f() = ln +. Δ. Αν <α<β<γ< με α β γ 7 α β γ =, τότε να βρείτε το εύρος R και τη μέση τιμή των τιμών f(α), f(β), f(γ), f( ), f Μονάδες 7 Δ4. Θεωρούμε τον δειγματικό χώρο Ω= {t n,n =,,,...,0:0 < t< t <... < t0 < < t <... < t0 = } με ισοπίθανα απλά ενδεχόμενα, καθώς και τα ενδεχόμενα A = {t Ω: η εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της f στο σημείο (t,f(t)), να σχηματίζει με τον άξονα οξεία γωνία} Β = { t Ω: f(t) > f (t) + } όπου f(t)=tlnt+ Να βρεθούν οι πιθανότητες: α) να πραγματοποιηθεί το ενδεχόμενο Α (μονάδες ) β) να πραγματοποιηθούν συγχρόνως τα ενδεχόμενα Α και Β(μονάδες 4) ΘΕΜΑ Α Α. Σχολικό βιβλίο σελίδα 8 Α. Σχολικό βιβλίο σελίδα 4 Α. Σχολικό βιβλίο 87 Α4. α) Λ β) Σ γ) Λ δ) Λ ε) Λ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ

4 ΘΕΜΑΤΑ ΚΑΙ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 0 ΘΕΜΑ Β Β. ( + + ) ( )( ) + + Ρ( ω ) = lim = lim = lim = ( ) 4 f ( ) = ln +,> 0 Έχουμε P( ω ) = f () = ln+ = Β. Είναι A = { ω, ω } Επειδή { ω} Α,τότε P( ω) P(A ),δηλαδή Επειδή A Γ= { ω, ω, ω 4}, τότε P(A ) ΡΑ Γ = ω + ω + ω = ω = = ( ) P( ) P( ) P( ) P( 4) P( ) 4 4 Άρα Ρ( Α ) 4 5 Β. Έχουμε ΡΑ ( ) = Ρω ( ) +Ρω ( ) = Ρω ( ) = = Ρω ( 4) = Ρω ( ) +Ρω ( ) +Ρω ( ) = + + = 0 4 Α Β= { ω4}, Β Α= { ω }, οπότε ( Α Β) ( Β Α ) = { ω, ω 4} και Α Β=Α Β =ΒI Α=Β Α= { ω} ( ) Άρα Ρ ( Α Β) U ( Β Α ) =Ρ( ω ) +Ρ( ω 4) = και ( ) ( ) Ρ Α Β =Ρω = ΘΕΜΑ Γ Αν c το πλάτος κάθε κλάσης τότε οι κλάσεις είναι: [50,50+c), [50+c,50+c), [50+c,50+c), [50+c,50+4c) 50 + c c Έχουμε 4 = 85 = 85 c= 0 Γ. Επειδή σε κάθε κλάση οι τιμές κατανέμονται ομοιόμορφα με δ= = 75 και η διάμεσος έχει αθροιστική σχετική συχνότητα 50%, τότε: f f + f4 = 0,5 + f = 0,5 f = 0, Επομένως f4 = f = 0,4.

5 ΘΕΜΑΤΑ ΚΑΙ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 0 Έχουμε f+ f + f + f4 = f+ f + 0, + 0, 4 = f+ f = 0, 4 f = 0, 4 f = 74 f+ f+ f+ 4f4= 74 55f+ 65(0,4 f ) , ,4 = 74 f = 0,, άρα f = 0,4 0,= 0, Κλάσεις Κεντρικές τιμές i Σχετική Συχνότητα f [50,60) 55 0, [60.70) 65 0, [70.80) 75 0, [80.90) 85 0,4 Σύνολο -,0 Γ. Αν ν το πλήθος των παρατηρήσεων τότε οι παρατηρήσεις που είναι μικρότερες του 80 έχουν πλήθος: v+ v + v = fv+ fv+ fv= 0,6v Η μέση τιμή των παρατηρήσεων που είναι μικρότερες του 80 είναι: v+ v + v fv + fv + fv 55 0,+ 65 0, , 00 = = = v+ v + v 0,6v 0,6 Γ4. Αν y η μέση τιμή και s η τυπική απόκλιση των παρατηρήσεων τότε: Αφού το,5 % των παρατηρήσεων είναι τουλάχιστον 74, έχουμε y+ s= 74και επειδή το 6% των παρατηρήσεων είναι το πολύ 68, έχουμε y s= 68. Άρα s = και y= 70. s Επειδή CV = = = < = 0%, το δείγμα των παρατηρήσεων είναι ομοιογενές. y ΘΕΜΑ Δ Δ. f () = ln +,>0 Οπότε f() = κ και f () = Η εξίσωση της εφαπτομένης στο σημείο (,f()) είναι y κ = f () ( ), οπότε y = + κ Τα σημεία που τέμνει του άξονες είναι Α(0,κ ) και Β( κ, 0). Το εμβαδόν είναι Ε = ( ΟΑ)( ΟΒ ) = κ κ = ( κ ), αφού κ > Ε < ( ) κ < κ κ < 0 <κ< και αφού κ ακέραιος με κ >,τότε κ =. Δ. α) y = + = y Από εφαρμογή σχολικού = y = 0 i

6 ΘΕΜΑΤΑ ΚΑΙ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 0 β) Οι νέες τετμημένες είναι: +, +, +,...,0 +,,,..., 5, 6 λ,...,50 λ Επομένως η μέση τιμή τους είναι = λ = λ = + λ λ = λ Έχουμε = 0 + = λ= 50 Δ. Έχουμε f( ) = + και f = 0. f() = ln+, > 0 Το πρόσημο της f και η μονοτονία της f φαίνονται στον παρακάτω πίνακα: 0 + f () - + f() Γνησίως Γνησίως φθίνουσα αύξουσα Αφού <α<β<γ< και η f είναι γνησίως αύξουσα στο, +, τότε f < f( α ) < f( β ) < f( γ ) < f() f = 0< < f( α ) < f( β ) < f( γ ) < f() α β γ 7 α β γ 7 α β γ Έχουμε α β γ = ln( α β γ ) = ln ln α + lnβ + ln γ = 7 αln α+βlnβ+γln γ= 7 Επομένως το εύρος είναι R = f( ) f = + 0 = + αln α+ +βlnβ+ +γln γ και η μέση τιμή τους είναι: = 5 5 Δ4. α) f(t) > 0 lnt+ > 0 t> και αφού t Ω τότε: ΝΑ ( ) 0 A = {t,t,...,t 0} και P(A) = = = ΝΩ ( ) 0 β) Επίσης tlnt+ > lnt+ + ( t ) lnt> 0 lnt< 0 t< και αφού t Ωτότε: B = {t,...,t 9}. N(A B) 9 Έχουμε Α Β= {t,t,...,t 9} και P(A B) = = N( Ω) 0

7 ΘΕΜΑΤΑ ΚΑΙ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 0 ΤΙΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΕΠΙΜΕΛΗΘΗΚΕ Ο ΤΟΜΕΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΤΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΩΝ «ΟΜΟΚΕΝΤΡΟ» ΦΛΩΡΟΠΟΥΛΟΥ ΚΟΥΣΗΣ Π. ΣΙΦΝΑΙΟΣ Δ. ΤΖΩΡΤΖΙΝΗΣ Ι. ΦΙΛΙΟΓΛΟΥ Ε. ΦΛΩΡΟΠΟΥΛΟΣ Α.