ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΠΑΡΑΣΚΕΥΗ 30 MAΪΟΥ

Transcript

1 ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΠΑΝΕΛΛΑ ΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΠΑΛ (ΟΜΑ Α Β ) ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΠΑΡΑΣΚΕΥΗ 30 MAΪΟΥ 04 Λύσεις των θεµάτων Έκδοση η (30/05/04, 3:30) Οι απαντήσεις και οι λύσεις είναι αποτέλεσµα συλλογικής δουλειάς των Επιµελητών των φακέλων του Λυκείου του ικτυακού Τόπου mathematca.gr µε βάση υλικό που αναρτήθηκε στο mathematca Συνεργάστηκαν οι: Στράτης Αντωνέας, Ανδρέας Βαρβεράκης, Βασίλης Κακαβάς, Γιώργης Καλαθάκης, Φωτεινή Καλδή, Σπύρος Καρδαµίτσης, Νίκος Κατσίπης,Στάθης Κούτρας, Χρήστος Κυριαζής, Γρηγόρης Κωστάκος, Βαγγέλης Μουρούκος, Ροδόλφος Μπόρης, Μίλτος ΠαπαγρηγοράκηςΛευτέρης Πρωτοπαπάς, Γιώργος Ρίζος, Σωτήρης Στόγιας, Αλέξανδρος Συγκελάκης, Αχιλλέας Συνεφακόπουλος Κώστας Τηλέγραφος, Χρήστος Τσιφάκης

2 Το ελτίο διατίθεται ελεύθερα από το δικτυακό τόπο mathematca.gr

3 ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΕΠΑΛ (ΟΜΑ Α Β ) ΠΑΡΑΣΚΕΥΗ 30 MAΪΟΥ 04 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ Θέµα.. Α. Αν η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιµη στο ΙR και c σταθερός πραγµατικός αριθ- µός, να αποδείξετε µε τη χρήση του ορισµού της παραγώγου ότι ( ( )) ( ) c f = c f, για κάθε IR Μονάδες 7 Α. Πότε µια συνάρτηση f λέγεται γνησίως φθίνουσα σε ένα διάστηµα του πεδίου ορισµού της; Μονάδες 4 Α3. Πότε µια ποσοτική µεταβλητή λέγεται διακριτή και πότε συνεχής; Μονάδες 4 Α4. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας στο τετράδιό σας, δίπλα στο γράµµα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση, τη λέξη Σωστό, αν η πρόταση είναι σωστή, ή Λάθος, αν η πρόταση είναι λανθασµένη. = και η παράγωγός α) Αν για τη συνάρτηση f ισχύει f ( ) 0, για ( α,β) 3 0 0,της f διατηρεί πρόσηµο εκατέρωθεν του 0, τότε η f είναι γνησίως µονότονη στο (α, β) και δεν παρουσιάζει ακρότατο στο διάστηµα αυτό. (µονάδες ) β) Για δύο οποιαδήποτε ενδεχόµενα Α, Β ενός δειγµατικού χώρου Ω ισχύει: P( A B) = P( B) P( A B) (µονάδες )

4 γ) Σε µια κανονική ή περίπου κανονική κατανοµή το 95% περίπου των παρατηρήσεων βρίσκονται στο διάστηµα ( s, + s), όπου η µέση τιµή και s η τυπική απόκλιση των παρατηρήσεων. (µονάδες ) δ) Αν είναι τιµή µιας ποσοτικής µεταβλητής X, τότε η αθροιστική συχνότητα N εκφράζει το πλήθος των παρατηρήσεων που είναι µεγαλύτερες της τι- µής (µονάδες ) ε) Το κυκλικό διάγραµµα είναι ένας κυκλικός δίσκος χωρισµένος σε κυκλικούς τοµείς, τα εµβαδά ή, ισοδύναµα, τα τόξα των οποίων είναι ανάλογα προς τις αντίστοιχες συχνότητες ν ή τις σχετικές συχνότητες f των τιµών της µεταβλητής. ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Α. Θεώρηµα, σχολικό βιβλίο σελίδα 30. Α. Ορισµός, σχολικό βιβλίο σελίδα 3 Α3. Ορισµός, σχολικό βιβλίο σελίδα 59 Α4. α) Σ, προκύπτει από τη σελίδα 40 β) Λ, σελίδα 5 γ) Λ, σελίδα 95 δ) Λ, σελίδα 66 ε) Σ, σελίδα 70 (µονάδες ) Μονάδες 0 Θέµα.. Στο παρακάτω σχήµα φαίνεται το ιστόγραµµα συχνοτήτων, το οποίο παριστάνει τις πωλήσεις σε χιλιάδες ευρώ που έγιναν από τους πωλητές µιας εταιρείας κατά τη διάρκεια ενός έτους. 4

5 Β. Να βρείτε το πλήθος των πωλητών της εταιρείας. Μονάδες 5 Β. Να µεταφέρετε στο τετράδιό σας τον παρακάτω πίνακα συχνοτήτων της κατανοµής των πωλήσεων κατάλληλα συµπληρωµένο, δικαιολογώντας τη στήλη µε τις σχετικές συχνότητες f, =,, 3, 4 Μονάδες 8 Β3. α) Να υπολογίσετε τη µέση τιµή των πωλήσεων του έτους. (µονάδες 6) β) Να βρείτε το πλήθος των πωλητών που έκαναν πωλήσεις τουλάχιστον 4,5 χιλιάδων ευρώ (θεωρούµε ότι οι παρατηρήσεις κάθε κλάσης είναι οµοιό- µορφα κατανεµηµένες). (µονάδες 6) Μονάδες ΛΥΣΗ Β. Το πλήθος των πωλητών της εταιρείας είναι = 40. 5

6 Β. κλάσεις v f [, 4) 3 0,30 [4, 6) 5 8 0,0 [6, 8) 7 4 0,35 [8, 0) 9 6 0,5 Σύνολο 40,00 f = 0,3 40 =, f = 8 0, 40 =, f 3 = 4 0,35 40 =, f 4 = 6 0,5 40 = B3. α) κλάσεις v f v [, 4) 3 0,30 36 [4, 6) 5 8 0,0 40 [6, 8) 7 4 0,35 98 [8, 0) 9 6 0,5 54 Σύνολο 40, v = = = = v = 5,7 χιλιάδες ευρώω. β) Αφού οι παρατηρήσεις κάθε κλάσης είναι οµοιόµορφα κατανεµηµένες πρέπει να πάρουµε τον αριθµό των πωλητών στις κλάσεις [6, 8) και [8, 0) και τα 3 των πωλητών της κλάσης [4, 6). 4 ηλαδή = 6. 6

7 Θέµα.3. Ένα δοχείο περιέχει κόκκινες (Κ), άσπρες (Α) και πράσινες (Π) µπάλες. Επιλέγουµε τυχαία µία µπάλα. Η πιθανότητα να προκύψει κόκκινη µπάλα είναι Ρ( Κ) Ρ A =, ενώ η πιθανότητα να προκύψει άσπρη µπάλα είναι ( ) =, όπου, είναι οι θέσεις των τοπικών ακροτάτων της συνάρτησης 3 7 f( ) = 4 +, IR µε < Γ. Να βρείτε τις πιθανότητες P(Κ), P(A) και P(Π), όπου P(Π) η πιθανότητα να προκύψει πράσινη µπάλα. Μονάδες 0 Γ. Αν P( K) = και Ρ( Α) =, να βρείτε τις πιθανότητες των παρακάτω 4 3 ενδεχοµένων: Γ: «η µπάλα που επιλέγεται τυχαία να είναι κόκκινη ή άσπρη» : «η µπάλα που επιλέγεται τυχαία να είναι ούτε κόκκινη ούτε άσπρη» Ε: «η µπάλα που επιλέγεται τυχαία να είναι άσπρη ή να µην είναι πράσινη». Μονάδες 9 Γ3. Αν οι άσπρες µπάλες είναι κατά τέσσερις (4) λιγότερες από τις πράσινες µπάλες, να βρείτε πόσες µπάλες έχει το δοχείο. Μονάδες 6 ΛΥΣΗ Γ. Η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιµη µε Είναι f () = 7+ f () = 0 7+ = 0 = ή = 3 4 και επειδή < θα είναι = και =, 4 3 συνεπώς P(K) = και P(A) =. 4 3 Αν Ω είναι ο δειγµατικός χώρος τότε Ω= K A Π. 7

8 Άρα Π= ( A K ) και επειδή τα ενδεχόµενα K,A,Π είναι ασυµβίβαστα ανά δύο, είναι (( ) ) 5 P(Π) = P A K = P(A K) = P(A) P(K) = = 3 4 Γ. Είναι Γ= A K άρα από τον απλό προσθετικό νόµο έχουµε 7 P(A K) = P(A) + P(K) = + = 3 4 Εάν η µπάλα που επιλέγεται δεν είναι ούτε κόκκινη ούτε άσπρη, είναι υποχρεωτικά πράσινη συνεπώς = Π οπότε Τέλος, ισχύει E A Π A ( A K) A (A K) = A K= Γ άρα E = Γ οπότε 5 P( ) = P(Π) =. = = και επειδή A A K άρα 7 P(E) = P(Γ) = Γ3. Αν N(A), N(Π), N(Ω) είναι το πλήθος των στοιχείων των ενδεχοµένων A,Π και του δειγµατικού χώρου Ω αντίστοιχα τότε σύµφωνα µε την εκφώνηση έ- χουµε N(A) N(Π) 4 =. ιαιρώντας την τελευταία µε N(Ω) 0 παίρνουµε τελικά P(A) = P(Π) = = N(Ω) = 48 N(Ω) 3 N(Ω) N(Ω) Άρα το δοχείο περιέχει 48 µπάλες. Θέµα.4. 8

9 Θεωρούµε ένα κουτί σχήµατος ορθογωνίου παραλληλεπιπέδου µε βάση ορθογώνιο και ανοικτό από πάνω. Το ύψος του κουτιού είναι 5 dm. Η βάση του κουτιού έχει σταθερή περίµετρο 0 dm και µία πλευρά της είναι dm µε 0 < < 0.. Να αποδείξετε ότι η συνολική επιφάνεια του κουτιού ως συνάρτηση του είναι ( ) E() 0 00, 0, 0 = + + και να βρείτε για ποια τιµή του το κουτί έχει µέγιστη επιφάνεια. Μονάδες 8 Στη συνέχεια, θεωρούµε τα σηµεία A (, y ), όπου y = E ( ), =,,...,5 µε 5 = < <... < 4 < 5 = 9.. Αν το δείγµα των τετµηµένων, =,,...,5 των παραπάνω σηµείων A (, y ), δεν είναι οµοιογενές έχει µέση τιµή = 8 και τυπική απόκλιση s τέτοια, ώστε τότε: α) να αποδείξετε ότι s = β) να βρείτε τη µέση τιµή των ίνεται ότι: s = v t v = s 5s+ = 0, µε =,,...,5 v = t v (µονάδες 4) (µονάδες 4) Μονάδες 8 9

10 3. Επιλέγουµε τυχαία ένα από τα παραπάνω σηµεία A (, y ), =,,...,5. Να βρείτε την πιθανότητα του ενδεχοµένου: ΛΥΣΗ { A (,y ),,,...,5τέτοιαώστε y 4 R } B= = > + 9 +, όπου R είναι το εύρος των y = E ( ), =,,...,5 Μονάδες 9. Αφού η περίµετρος Π του ορθογωνίου της βάσης είναι 0 dm άρα, αν y είναι η άλλη πλευρά του ορθογωνίου της βάσης έχουµε + y= 0 δηλαδή y= 0 Συνεπώς επειδή έχουµε ένα ορθογώνιο µε διαστάσεις, y, αφού το κουτί είναι ανοιχτό από πάνω, ορθογώνια διαστάσεων 5 και και δύο ορθογώνια διαστάσεων 5 και y, άρα η συνολική επιφάνεια του κουτιού ως συνάρτηση του είναι E() = (0 ) (0 ) + 5(0 ) = = = 0 00 = + + Η συνάρτηση E() είναι παραγωγίσιµη µε E () = + 0 και ισχύει E () = 0 = 5. E () < 0 + 0< 0 > 5 συνεπώς η συνάρτηση E() είναι γνησίως φθίνουσα στο διάστηµα [5, 0). Επίσης E () > 0 + 0> 0 < 5 συνεπώς η συνάρτηση E() είναι γνησίως αύξουσα στο διάστηµα (0,5]. f () f() 0 Ò Ó 0 Άρα η συνάρτηση E() παρουσιάζει µέγιστο για = 5.. α) Είναι s 5s+ = 0 s= ή s= 0

11 s Αν s= τότε CV= = < 0, άρα το δείγµα είναι οµοιογενές οπότε η 6 τιµή s= απορρίπτεται. s Αν s= τότε CV= = > 0. άρα το δείγµα δεν είναι οµοιογενές οπότε η 4 τιµή s= είναι δεκτή. Άρα s= β) Αν συµβολίσουµε µε έχουµε τη µέση τιµή των τότε από το δοσµένο τύπο ν 5 5 ν = = = ν = ν 5 5 s = 4= 4= = 68. Άρα η ζητούµενη µέση τιµή των είναι = Η συνάρτηση E() είναι γνησίως φθίνουσα στο [5,0) άρα αφού 5= < < < = 9 άρα 5 5= E(5) = E( ) > E( ) > E( ) = E(9) = 09 5 συνεπώς το εύρος των τιµών R είναι R= 5 09 δηλαδή R= 6 Όµως E( ) = y > 4 + 9R > άρα τα µόνα σηµεία είναι τα A και Α < Συνεπώς B { A, A,,A } (5,9) A που εξαιρούµε από το δειγµατικό χώρο των 5 σηµείων 3 4 = οπότε αν N(B),N(Ω) είναι το πλήθος των στοιχείων του B και το πλήθος των στοιχείων του δειγµατικού χώρου Ω τότε 3 N(B) = 3 και N(Ω) = 5 άρα τελικά P(B) =. 5

12 ΣΧΟΛΙΑ: Εναλλακτικές αποδείξεις Β. Το πλήθος των πωλητών ν είναι το άθροισµα των συχνοτήτων ν. Έτσι έχουµε : 4 ν = ν = = 40 =. Η συνάρτηση E() είναι τριώνυµο δευτέρου βαθµού µε α= < 0 άρα ως γνωστόν από τη θεωρία του τριωνύµου παρουσιάζει µέγιστο στη θέση β 0 = = = 5. α ( )